DISCIPLINA DE MATEMÁTICA APLICADA

PROF. ODEMAR WETH

UNIDADE 1: LÓGICA MATEMÁTICA

AULA 1:

Objetivo: Rever os conjuntos dos números reais e aplicação das operações matemáticas.

OPERAÇÕES MATEMÁTICAS

1. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

Ao falarmos do conjunto dos Números Reais, podemos compreender que estamos citando todos os

números existentes, com exceção do conjunto dos Números Complexos.

Ao fazermos uma analogia dos números Reais vamos procurar conhecer os conjuntos que a ele

pertence.

- Conjunto dos Números Naturais

O conjunto dos números Inteiros é representado pela letra IN¸ e compreende todos os números inteiros

e positivos. Veja: IN= {0;1;2;3;4;5;6;. . . }

- Conjunto dos Números Inteiros

O conjunto dos números Inteiros é representado pela letra Z, e compreende todos os números inteiros

positivos e também os negativos, que são números muito utilizados no nosso dia -a- dia.

Veja:. {. . .; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; . . .}

- Conjunto dos Números Racionais

O conjunto dos números racionais é representado Q, é formado por todos os números que podem ser

representados pelo quociente de dois números inteiros.

Em símbolo temos: Q= { Zab

a/ e Zb com 0b }

Ex:. 2= 1

2 -5=

1

5 34,2=

10

342 3,42=

10

342

-100,435= 1000

435,100 3,444. . .= 3 +

9

4=

9

31

Dessa forma o conjunto dos números racionais também pode ser entendido como um conjunto de

frações.

- Conjunto dos Números Irracionais

Número Irracional é aquele que tem uma representação decimal infinita e não periódica.

Ex:. 5 = 2,236067978. . .

= 3,141592654. . . (número pi)

6 = 2,449489743. . .

As raízes quadradas dos números naturais que não são quadrados perfeitos são números irracionais.

FATORAÇÃO (N)

Fatorar um número natural é transformá-lo num produto de

fatores primos. Todo número composto pode ser composto de

um só modo no produto de vários fatores primos.

Decomposição de um número em fatores primos: Para

decompor um número em fatores primos, ou seja, transformá-

lo num produto de fatores primos, basta dividirmos esse

número, sucessivamente, pelos números primos:

2,3,5,7,11,13,17,19 ... até encontrar 1. Assim:

120 2

60 2 Obs.: As divisões devem ser

exatas

30 2 Então, 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 ou

120 5323

15 3

5 5

1

Mínimo Múltiplo Comum (mmc): Chama-se de mínimo

múltiplo comum ao menor valor diferente de zero da

intersecção dos conjuntos dos múltiplos dos números dados..

Utilizando a fatoração conjunta (Método prático)-

determina-se o m.m.c de dois ou mais números

decompondo-os em fatores primos todos ao mesmo

tempo, e depois multiplica-se os fatores obtidos. Assim:

10 15 8 2 45 21 3

5 15 4 2 15 7 3

5 15 2 2 5 7 5

5 15 1 3 1 7 7

5 5 1 5 1 1 315

1 1 1 120

Observe que o mmc de dois ou mais números é o menor

número diferente de zero que é divisível pelos números

dados.

3 = 1,732050808. . . 10 = 3,16227766. . .

7 = 2,645751311. . . 61 =7,810249676. . .

As operações envolvendo números irracionais, na prática, são realizadas de modo geral considerando

sua representação decimal aproximada. Por exemplo:

1) 2 1,41

2) 705,112

41,11

2

2

Conjunto dos Números Reais

Ao reunirmos os números

Racionais com os Irracionais, formamos

o conjunto dos números Reais, que

representamos pela letra (R).

Operações com Frações

a) Adição e Subtração

Para somar ou subtrair frações,

usamos o menor múltiplo comum.

Exemplo: 6

1

3

5

2

1

O menor múltiplo comum de 2,

3 e 6 é 6. portanto:

6

1

3

5

2

1 = 2

6

12

6

1103

b) Multiplicação

O produto de duas frações é uma

fração que tem por numerador o produto

dos numeradores e que tem denominador

o produto dos denominadores.

Exemplo: 10

3

5

2

4

3

c) Divisão

O quociente de duas frações é uma fração resultante do produto da primeira fração pelo inverso da

segunda fração.

Exemplos:. 3

2

6

4

3

4

2

1

4

3

2

1

EXERCICIOS

1) Converta cada número decimal em fração

decimal.

2) Converta cada fração decimal em número

decimal.

a) 0,2 =

b) 1,3 =

c) 0,08 =

d) 0,201

e) 0,485 =

f) 34,72 =

g) 7,345 =

h) 764,34 =

a) 3

10 =

b) 5

100 =

c) 7

1000 =

d) 56

10 =

e) 43

1000 =

f) 1234

10 =

g) 51005

100 =

h) 57803

100 =

3) Determine as somas e as subtrações.

a) 6,52 + 4,58 =

b) 7,318 + 3,002 =

c) 10,94 – 6,328 =

d) 12,345 – 9,12 =

e) 13,8 +22,234 + 0,567 =

f) 7 + 3,45 + 0,432 =

g) 0,856 – 0,046 =

h) 0,09 + 4,97 + 5,1 + 0,5 =

4) Efetue os produtos.

a) 4,5 x 0,4 =

b) 3,4 x 1,2 =

c) 0,45 x 0,5 =

d) 3,25 x 0,15 =

e) 0,48 x 0,005 =

f) 1,047 x 0,02 =

g) 25 x 0,04 =

h) 0,425 x 100 =

5) Calcule os quocientes.

a) 1,5 : 0,5 =

b) 0,08 : 0,04 =

c) 3,4 : 0,17 =

d) 10 : 0,25 =

e) 34,5 : 10 =

f) 21,8 : 4,36 =

g) 77 : 0,7 =

h) 0,88 : 8 =

Respostas

1) a) 1/5 b) 13/10 c) 2/25 d) 201/1000 e) 485/1000

f) 3472/100 g) 7345/1000 h) 76434/100

2) a) 0,3 b) 0,05 c) 0,007 d) 5,6 e) 0,043

f) 123,4 g) 510,05 h) 578,03

3)

a) 11,10 b) 10,320 c) 4,612 d) 3,225 e) 36,601

f) 10,882 g) 0,81 h) 10,66

4)

a) 1,80 b) 4,08 c) 0,225 d) 0,4875 e) 0,0024

f) 0,02094 g) 1 h) 42,5

5) a) 3 b) 2 c) 20 d) 40 e) 3,45

f) 5 g) 110 h) 0,11

Cálculo do valor de expressões Numéricas

Para calcularmos corretamente o valor de expressões numéricas, basta obedecer atentamente à

prioridade dos sinais indicativos de prioridades (parênteses, colchetes e chaves) e das operações

matemáticas.

PRIORIDADES DOS SINAIS PRIORIDADE DAS OPERAÇÕES

1. ( ) 1. Exponenciação e logaritmação

2. [ ] 2. Potenciação e radiciação

3. { } 3. Multiplicação e divisão

4. Adição e Subtração

Exemplo:.

1. Calcular o valor da expressão:

2+ {5[3 – (5 – 10) + 1] + 4} –3

Como o sinal de parênteses é prioritário, devemos calcular inicialmente a operação 5–10= – 5; com isso, a

expressão original reduz-se a:

2+ {5[3 –(–5)+1]+4} –3

Segundo a prioridade dos colchetes, devemos calcular 3 –(–5)+1=9, e a expressão anterior será reduzida a:

2+ {5(9)+4} – 3

Segundo a prioridade das chaves, devemos calcular 5(9) + 4. Como a multiplicação tem prioridade sobre a

adição, está última expressão reduz-se – a:

45 + 4 = 49

Podemos escrever então 2+(49) – 3 = 48, e, portanto:

2+ {5[3 – (5 – 10) + 1] + 4} –3= 48

Potenciação

Potencia de expoente inteiro

Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Então:

1. na = a.a.a. . . (n vezes)

2. 0a = 1

3. 1a =a

4. n

n

aa

1

, 0a

5. nmmn aaa

6. nmmn aaa , 0a

7. nmnm aa

8. n

nn

b

a

b

a

, 0b

Exercícios Propostos

Calcular o valor das expressões:

1) 23

2) (-2)3

3) 10

4) (-1)0

5) 20

6)

3

5

2

7) 3-2

Repostas

1. 8

2. – 8

3. 1

4. 1

5. 1

ATIVIDADE AUTOAVALIATIVA

Calcular o valor das expressões numéricas, apresentado o resultado na forma fracionária e na forma decimal,

com aproximação para duas casas decimais.

1) 5

4(3 + 0,4) – 3,21

2) 0,22(11 – 0,3) + 7

4

3) 5

1

9

4

2

1

5

7

3

4

4)

5

2

8

17

10

1

11

43

Respostas

1) 100

49; - 0,49

2) 3500

239.10; 2,93

3) 90

221; 2,46

4) 400.4

429.30;6,92 5)

91

384; 4,22

8)

3

2

1

9) (( 43))1

10) (0,5)3

11) 00

12) 1+ (0,41)2

13) 43 254

1

14) 53 )4(2

6. 125

8

7. 9

1

8. 8

1

9. 1

10. 0,125

11. 1

12. 1,1681

13. 109,25

14. 0,1240

6) 125

48; -0,38

7) 4

1; - 0,25

8) 2

1; 0,50

9) 48

259.4; 88,73

10) -414; - 414,00

5) 425,03,4

1

6)

39

2

13

7

5

4

7) )2(2

43

8) )1(2

165

9) 11628

1

3

2

4

13224

10)

11

3

114131213