aula 1 - matemática financeira

UFRN

Matemática Financeira

Aula 1

Prof. Lauro César

PLANO DE AULA

i. Conceitos da matemática financeira.

ii. Juros: conceito, aplicações, tipos de juros (simples e

composto) e representações.

iii. Montante: tipos, aplicações e equivalências.

iv. Taxas equivalentes: conceito, regime simples e

composto, aplicações.

v. Diagramas de Capital: representação e conceitos.

vi. Considerações finais.



Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o

dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O

conhecimento de matemática financeira é indispensável

para os agentes compreender, operar e tomar decisões

nos mercados financeiro, de capitais, de bens e

serviços.

Busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro

ao longo do tempo, determinando o valor das

remunerações relativas ao seu tempo.


Fatores de Produção: Fatores de Remuneração:

Trabalho Salário

Terra Aluguel

Capital

Não considerar o efeito dos juros em uma análise pode levar o

decisor a cometer erros representativos, o que pode acarretar

em decisões impróprias.

O Valor do Dinheiro no Tempo

Juros


O Valor do Dinheiro no Tempo

“Uma soma de dinheiro pode ser equivalente a outra, diferente,

mas num ponto diferente no tempo. O que proporciona a

equivalência é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro: os JUROS”.

Enfim, o juro é quem cria o valor do dinheiro no tempo!

O juro deve-se, entre outros fatores de menor importância, a:

Oportunidade;

Inflação;

Risco.


A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na

análise de algumas alternativas de investimentos ou

financiamentos de bens de consumo.

A ideia básica é simplificar a operação financeira a um

“Fluxo de Caixa” e empregar alguns procedimentos

matemáticos.

Para iniciar com o procedimento clássico de análise

financeira, precisa-se definir alguns conceitos

importantes da matemática financeira.


JURO, CONSUMO E CAPITAL

Existe juro porque os recursos são escassos.

As pessoas têm preferência temporal: preferem

consumir a poupar.

O prêmio para quem poupa é o juro.

O Capital também é escasso.

O Juro é a remuneração pelo uso do capital.

O Juro é a remuneração pelo custo do crédito.


TAXA DE JUROS

FORMA PORCENTUAL • Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do capital. Ex.: 12% ao ano.

FORMA UNITÁRIA • Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do capital. Ex.: 0,12 ao ano.


CÁLCULO DO JURO

- Ao valor aplicado;

- Ao tempo de aplicação.

JURO SIMPLES • A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional:


JUROS E TAXA DE JUROS

“Um real recebido hoje não será equivalente a um real recebido

dentro de t anos”

Conceito de Juros:

Pagamento pela oportunidade de dispor de um capital em

determinado período do tempo;

Custo do capital ou custo do dinheiro.



Modalidades de Juros:

Simples: São aqueles onde somente o capital renderá juros, ou seja, os juros irão ser diretamente proporcionais ao capital requerido.

onde:

Principal

Taxa de Juros

Número de períodos de juros

niPJ

in

P



Exemplo didático:

Uma empresa toma emprestados $ 10.000,00 a uma taxa de

juros simples de 5% ao mês. Quanto ela deverá pagar ao final

de 6 meses?

J = 10.000 x 0,05 x 6

J = 3.000,00

A empresa deve pagar 13 mil reais pelo empréstimo feito,

sendo que 3.000 serão somente referente aos juros do

período do empréstimo.

niPJ


CÁLCULO DO JURO

JURO SIMPLES • Variações da fórmula básica.

J = P.i.n

in

JP

Pn

Ji

Pi

Jn


MONTANTE

JURO SIMPLES

• Montante é a soma do juro mais o capital

aplicado.

M = P + J

onde: C= principal n= prazo de aplicação i = taxa de juros

M = C(1 + in)

EXEMPLO


MONTANTE

M = C(1 + in)

in

MC

1 n

CM

i1

i

CM

n1

JURO SIMPLES



Modalidades de Juros:

Compostos: Irão incorporar ao capital os próprios rendimentos dos juros do período anterior. Desta forma, quando compostos, os juros também irão render juros (são os „juros sobre juros‟).

onde:

Principal

Taxa de Juros

Número de períodos de juros

PiPJn 1

in

P



Exemplo didático anterior:

Uma empresa toma emprestados $ 10.000,00 a uma taxa de

juros compostos de 5% ao mês. Quanto ela deverá pagar ao

final de 6 meses?

J = 10.000 x (1+0,05)6 – 10.000

J = 3.400,96

A empresa deve pagar 13.400,96 pelo empréstimo feito, sendo

que 3.400,96 serão referentes aos juros do período do

empréstimo.

PiPJn 1



Comportamento destes juros, quando solicitado um capital P =

100,00 reais, a uma taxa de juros i = 10% ao ano, por um período

n = 10 anos:

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Período (anos)

Va

lor

(R$

)

Juros Simples

Juros Composto



NOMINAL

Ocorre quando o período referido na taxa de juros (aplicação) não é igual ao período de capitalização.

Exemplo: 60% a.a. com capitalização mensal

EFETIVA

Ocorre quando os períodos de capitalização coincidem com a taxa de juros.

Exemplo: 5% a.m. com capitalização mensal

A matemática financeira baseia-se em taxas de juros efetivas. Sendo assim, as taxas nominais devem ser

convertidas em taxas efetivas! Matemática Financeira


Conversão de taxas de juros de mesmo período de

capitalização:

Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros

efetiva de mesmo período de capitalização, faz-se:

onde:

taxa de juros efetiva

taxa de juros nominal

número de períodos de composição da taxa de juros,

isto é, número de vezes que a taxa nominal é

capitalizada

N

ii NOMINAL

EFETIVA

EFETIVAi

NOMINALi

N




capitalização:


efetiva de mesmo período de capitalização, faz-se:

Exemplo:

20% a.a. c.m determinar taxa efetiva mensal

20% a.a. c.m = 1,67% a.m. c.m

12

N

ii NOMINAL

EFETIVA




aplicação:


efetiva de mesmo período de aplicação, faz-se:

onde:

taxa de juros efetiva

taxa de juros nominal

número de períodos de composição da taxa de juros,

isto é, número de vezes que a taxa nominal é

capitalizada

EFETIVAi

NOMINALi

N

11

N

ii NOMINAL

EFETIVA

N




aplicação:


efetiva de mesmo período de aplicação, faz-se:

Exemplo:

20% a.a. c.m determinar taxa efetiva anual

(1 + 20% a.a. c.m )12 – 1 = 21,94% a.a. c.a. 12

11

N

ii NOMINAL

EFETIVA

N



Conversão de taxas de juros efetivas de períodos

diferentes:

Para converter taxas efetivas de períodos diferentes, faz-se:

onde:

taxa de juros efetiva do período maior

taxa de juros efetiva do período menor

quantidade de períodos menores (m) existentes no

período maior (M)

11 Q

EFEmEFEM ii

EFEMi

EFEmi

Q



Conversão de taxas de juros efetivas de períodos

diferentes:

Para converter taxas efetivas de períodos diferentes, faz-se:

Exemplo:

5% a.m. determinar taxa efetiva trimestral

(1 + 5% a.m.)3 – 1 = 15,76% a.t.

11 Q

EFEmEFEM ii



TAXA DE JUROS COM CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA

Partindo-se do princípio de que o dinheiro tem valor no tempo,

pode-se dizer que a desvalorização da base monetária ocorre

contínua e instantaneamente. Em outras palavras, o verdadeiro

período de capitalização corresponde ao menor período de tempo

possível: é a CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA.




Seja: r = taxa nominal

N = Número de períodos

i = taxa efetiva => i = r/N

i* = (1 + i)N -1 = (1 + r/N)N -1 = {(1 + 1/(N/r))N/r }r – 1

Fazendo-se K=N/r, tem-se então:

i* = {(1 + 1/K)K)r - 1

Se a capitalização é contínua, então N => e K => . Mas:

e = lim (1 + 1/K)K

Logo: Se K =>

i* = er -1

i* = taxa efetiva com capitalização contínua Matemática Financeira



Então:

i* = er -1

i* = taxa efetiva com capitalização contínua

F = P x (1+i)N => F = P x erN

P = F x (1+i)-N => P = F x e-rN




Joaquim aplicou $10.000,00 a uma taxa de juros de 20% ao ano, com

capitalização contínua.

a. Qual é a taxa efetiva anual?

b. Qual será o montante que ele terá disponível daqui a 5 anos?

i* = er -1 a.

F = P. erN

P = F. e-rN

b.

i* = er -1

i* = e0,2 -1 = 0,2214 => i* = 22,14% a.a.

F = P. erN

F = 10.000 x e0,2 x 5 => F = $ 27.182,82


SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA

N

P

0

F

N

0

A A A A A

0

A

1 5 4 3 6 2

P = Principal

F = Montante

A = Uniforme

Período de Capitalização: valores serão somente realizados ao final do período Matemática Financeira


Represente o seguinte fluxo de caixa de um projeto:

O projeto consiste de um investimento de $800 hoje e $500 daqui

a um ano e renderá $2000 em 4 anos e $1500 dentro de 5 anos.

0 1 5 4 3 2

800

500

2000

1500



Equivalência entre P (valor presente) e F (valor futuro)

Investindo hoje uma quantia P, qual será o montante F que eu

terei após n períodos?

Qual valor deverá ser investido hoje (P) para se obter um

montante F após n períodos, dada uma taxa de juros i ?

niPF 1

ni

FP

1

niP

FPF ;;

niF

PFP ;;



Carlos solicitou um empréstimo de R$ 6.000,00 a uma taxa de

juros de 3% ao mês para saldar em um ano. Quanto ele deverá

pagar ao final do ano de empréstimo?

F = 6.000 (1+0,03)12

F = 8.556,00 reais

niPF 1

F=?

P = 6.000

12

0



Equivalência entre P (valor presente) e A (série uniforme)

Permite calcular um valor presente P equivalente a uma série

uniforme A, dada a taxa de juros i.

n

n

ii

iAP

1

11

11

1

n

n

i

iiPA

niA

PAP ;;

niP

APA ;;



Você recebeu uma oferta para aquisição de um automóvel através

de um financiamento em 36 meses. Considerando que o

pagamento máximo mensal que você pode admitir é de $500 e que

você pode dar uma entrada de $3.000, qual é o valor do automóvel

que você poderá comprar dado que a taxa é de 2% a.m..

A = 500

Valor do carro = P + 3.000

36 0

1 . . . . . .

n

n

ii

iAP

1

11

36

36

02,0102,0

102,01500

P

42,744.15Valor

42,744.12P


TAXA EQUIVALENTE

Duas taxas de juros são equivalentes se: • aplicadas ao mesmo capital; • pelo mesmo intervalo de tempo. => Ambas produzem o mesmo juro. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes.

EXEMPLO


TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas de juros são equivalentes se, consi- derados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em uma ou em outra.

onde: iq = taxa referente a uma fração 1/q a que se refere a taxa “i”. i = taxa referente a um intervalo de tempo unitário

11 q

iiq

EXEMPLO


DIAGRAMAS DE CAPITAL

NO TEMPO

• Representam o fluxo de dinheiro no tempo; • Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de dinheiro; • Graficamente:

(PERÍODOS)

Entradas (+)

Saídas (-)

1 20

1000

500

2000


JUROS COMPOSTOS

Juros Simples: • Apenas o capital inicial rende juros; • O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa.

Juros Compostos:

• O Juro gerado pela aplicação, em um período, será incorporado; • No período seguinte, o capital mais o juro passa a ge- rar novos juros; • O regime de juros compostos é mais importante, porque retrata melhor a realidade.


DIFERENÇA ENTRE OS REGIMES DE

CAPITALIZAÇÃO

Co= 1000,00 i= 20 % a.a. n= 4 anos

n

Juro por Período Montante Juro por período Montante

1 1000 x 0,2 = 200 1200 1000 x 0,2 = 200 1200

2 1000 x 0,2 = 200 1400 1200 x 0,2 = 240 1440

3 1000 x 0,2 = 200 1600 1440 x 0,2 = 288 1728

4 1000 x 0,2 = 200 1800 1728 x 0,2 = 346 2074

Juros Simples Juros Compostos


MONTANTE

O cálculo do montante, em juros compostos é dado pela fórmula:

non iPP )1(

Pn = montante ao fim de “n” períodos Po = capital inicial n = número de períodos i = taxa de juros por período

EXEMPLO


CÁLCULO DE JURO

O juro é dado pela fórmula seguinte:

Jn = juros após “n” períodos Po = capital inicial n = número de períodos i = taxa de juros por período

.[(1 ) 1]nn oJ P i

EXEMPLO


CONSIDERAÇÕES FINAIS Todo recurso possui um “prêmio” para quem poupa e aplica-o.

Os recursos são escassos e a melhor aplicação é a que oferece o

maior juro (desconsiderando a incerteza e o risco).

O juro pode ser calculado apenas em cima do valor inicial ou do

“capital capitalizado”.

Existem dois métodos de calculo do juros: (i) simples ou (ii)

composto.

As taxas de juro equivalentes são aquelas taxas ao serem

aplicadas em um capital e ao mesmo período produzem o mesmo

valor de juros.


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