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Aula 1: Hidrostática

UFABC – Fenômenos Térmicos – Prof. Germán Lugones

Um fluido é qualquer substância que pode escoar e alterar a forma do volume que ele ocupa. Ao contrário, um sólido tende a manter sua forma.

Usamos o termo “fluido” para gases e líquidos. Principal diferença: um líquido tem coesão e um gás, não.

As moléculas em um líquido estão próximas entre si ➝ podem exercer forças de atração umas sobre as outras ➝ tendem a permanecer juntas (ou seja, coesas) ➝ uma quantidade de líquido mantém o mesmo volume enquanto flui.

As moléculas de gás são separadas na média por distâncias muito maiores que o tamanho de uma molécula ➝ as forças entre as moléculas são fracas ➝ há pouca ou nenhuma coesão, e um gás pode facilmente mudar de volume.

Exemplo: Se você derramar 500 ml de água em uma tigela, a água ainda ocupará um volume de 500 ml. Se você abrir a válvula em um tanque de oxigênio comprimido que possui um volume de 500 ml, o oxigênio se expandirá para um volume muito maior.

Fluidos

Os fluidos desempenham papel vital na Natureza. Alguns exemplos:

• Biologia, Medicina: hemodinâmica • Engenharia: aerodinâmica de aviões, carros, etc. • Ciências Atmosféricas, • Astrofísica/ Cosmologia.

Hidrostática: estudo de fluidos em repouso, em situação de equilíbrio. - analogamente a outras situações de equilíbrio, ela se pauta na primeira e na terceira leis de Newton. - Vamos analisar os conceitos básicos de densidade, pressão e empuxo.

Hidrodinâmica ou dinâmica dos fluidos: estudo de fluidos em movimento. - é muito mais complexa; trata-se, na verdade, de um dos ramos mais complexos da mecânica. - Felizmente, podemos analisar muitas situações importantes utilizando modelos idealizados simples e princípios familiares, como as leis de Newton e a lei da conservação da energia. - Mesmo assim, trataremos apenas superficialmente deste vasto e interessante tópico.

Hidrostática e Hidrodinâmica

Uma propriedade importante de qualquer material, fluido ou sólido, é sua densidade, definida como a massa por unidade de volume. Em português, um sinônimo de densidade é massa específica.

Um material homogêneo, como o gelo ou o ferro, possui a mesma densidade em todas as suas partes.

Para um material homogêneo:

A unidade SI de densidade é o quilograma por metro cúbico (1 kg/m3). A unidade CGS, grama por centímetro cúbico (1 g/cm3), também é muito empregada.

Densidade82 Física II

coesão, e um gás pode facilmente mudar de volume. Se você abrir a válvula em um tanque de oxigênio comprimido que possui um volume de 500 ml, o oxigênio se expandirá para um volume muito maior.

Uma propriedade importante de qualquer material, fluido ou sólido, é sua den-sidade, definida como a massa por unidade de volume. Em português, um sinô-nimo de densidade é massa específica. Um material homogêneo, como o gelo ou o ferro, possui a mesma densidade em todas as suas partes. Usaremos a letra grega r (pronuncia-se “rô”) para simbolizar a densidade. Para um material homogêneo,

(14.1)Massa do material

Volume ocupado pelo material

Densidade de um material homogêneo

Vm

r =

Dois objetos feitos com o mesmo material possuem a mesma densidade, mesmo que tenham massas e volumes diferentes. Isso acontece porque a razão entre a massa e o volume é a mesma para ambos os objetos (Figura 14.1).

A unidade SI de densidade é o quilograma por metro cúbico (1 kg/m3). A uni-dade cgs, grama por centímetro cúbico (1 g/cm3), também é muito empregada. O fator de conversão entre ambas é

1 g/cm3 ! 1.000 kg/m3

Na Tabela 14.1, listamos as densidades de algumas substâncias comuns em tem-peraturas normais. Observe a grande variedade das ordens de grandeza. O material mais denso encontrado na superfície terrestre é o ósmio (r ! 22.500 kg/m3), porém essa densidade é muito pequena se comparada à densidade de corpos astronômicos exóticos, como a estrela de nêutrons e a anã branca.

A densidade relativa de um material é a razão entre a densidade do material e a densidade da água a 4,0 °C, 1.000 kg/m3; trata-se de um número puro, sem unidades. Por exemplo, a densidade relativa do alumínio é 2,7.

A densidade de alguns materiais varia de um ponto a outro no interior do material. Um exemplo disso é o corpo humano, que inclui gordura, de baixa densidade (cerca de 940 kg/m3), e ossos, de alta densidade (de 1.700 a 2.500 kg/m3). Dois outros exemplos são a atmosfera terrestre (que é menos densa em altitudes elevadas) e os oceanos (que são mais densos em profundidades elevadas). Para esses materiais, a Equação 14.1 descreve apenas a densidade média. Em geral, a densidade de um material depende de fatores ambientais, como a temperatura e a pressão.

TABELA 14.1 Densidades de algumas substâncias comuns.

Material Densidade (kg/m3 )*


Ar (1 atm, 20 °C) 1,20 Ferro, aço 7,8 " 103

Etanol 0,81 " 103 Bronze 8,6 " 103

Benzeno 0,90 " 103 Cobre 8,9 " 103

Gelo 0,92 " 103 Prata 10,5 " 103

Água 1,00 " 103 Chumbo 11,3 " 103

Água do mar 1,03 " 103 Mercúrio 13,6 " 103

Sangue 1,06 " 103 Ouro 19,3 " 103

Glicerina 1,26 " 103 Platina 21,4 " 103

Concreto 2 " 103 Estrela anã branca 1010

Alumínio 2,7 " 103 Estrela de nêutrons 1018

*Para obter a densidade em gramas por centímetro cúbico, simplesmente divida os valores por 103.

Figura 14.1 Dois objetos de massas diferentes e volumes diferentes, mas com a mesma densidade.

Chave inglesa de aço

Prego de aço

Massas diferentes, mesma densidade: tanto a chave inglesa quanto o prego, por serem feitos de aço, possuem a mesma densidade (massa por unidade de volume).

BIO Aplicação Coesão líquida em árvores Como é que as árvores — algumas delas crescendo até mais de 100 m — fornecem água às suas folhas mais altas? A resposta está nas forças coesivas fortes entre as moléculas da água no estado líquido. Estreitos canais dentro da árvore se estendem desde as raízes até as folhas. À medida que a água se evapora das folhas, as forças de coesão puxam a água substituta para cima através desses canais.

Book_SEARS_Vol2.indb 82 02/10/15 1:49 PM

82 Física II






Vm

r =



1 g/cm3 ! 1.000 kg/m3







Ar (1 atm, 20 °C) 1,20 Ferro, aço 7,8 " 103

Etanol 0,81 " 103 Bronze 8,6 " 103

Benzeno 0,90 " 103 Cobre 8,9 " 103

Gelo 0,92 " 103 Prata 10,5 " 103

Água 1,00 " 103 Chumbo 11,3 " 103


Sangue 1,06 " 103 Ouro 19,3 " 103







Prego de aço




Dois objetos feitos com o mesmo material possuem a mesma densidade, mesmo que tenham massas e volumes diferentes.

Isso acontece porque a razão entre a massa e o volume é a mesma para ambos os objetos.

82 Física II






Vm

r =



1 g/cm3 ! 1.000 kg/m3







Ar (1 atm, 20 °C) 1,20 Ferro, aço 7,8 " 103

Etanol 0,81 " 103 Bronze 8,6 " 103

Benzeno 0,90 " 103 Cobre 8,9 " 103

Gelo 0,92 " 103 Prata 10,5 " 103

Água 1,00 " 103 Chumbo 11,3 " 103


Sangue 1,06 " 103 Ouro 19,3 " 103







Prego de aço




A densidade de alguns materiais varia de um ponto a outro no interior do material.

Exemplo: o corpo humano possui gordura, com densidade cerca de 940 kg/m3, e ossos com densidade entre 1.700 e 2.500 kg/m3.

Nesses casos a equação 𝜌=m/V descreve apenas a densidade média.

Em geral, a densidade de um material depende de fatores ambientais, como a temperatura e a pressão.

Um fluido exerce uma força perpendicular sobre qualquer superfície que esteja em contato com ele, como a parede do recipiente ou um corpo imerso no fluido.

Embora o fluido como um todo esteja em repouso, as moléculas que o constituem estão em movimento; as forças exercidas pelo fluido são oriundas das colisões moleculares com as superfícies vizinhas.

Se pensarmos em uma superfície imaginária no interior do fluido, este exerce forças iguais e contrárias sobre os dois lados da superfície. Caso contrário, a superfície seria acelerada e o fluido não estaria em repouso.

Pressão

Considere uma pequena superfície de área dA centralizada em um ponto do fluido; a força normal exercida pelo fluido sobre cada lado da superfície é dF⊥.

Capítulo 14 – Mecânica dos fluidos 83

Ache a massa e o peso do ar a 20 °C no interior de uma sala de estar com altura de 3,0 m e piso com área de 4,0 m ! 5,0 m. Quais seriam a massa e o peso de um volume igual de água?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: vamos supor que o ar seja homo-gêneo, de modo que a densidade seja a mesma em toda a sala. (É verdade que o ar é menos denso em regiões elevadas do que perto do nível do mar, mas a densidade varia muito pouco para uma sala com 3,0 m de altura; veja a Seção 14.2.) Usaremos a Equação 14.1 para relacionar a massa mar com o volume V (que iremos calcular a partir das dimensões da sala) e a densidade rar (conforme a Tabela 14.1).EXECUTAR: o volume da sala é V " (4,0 m) (5,0 m) (3,0 m) " 60 m3. Logo, pela Equação 14.1:

mar " rarV " (1,20 kg/m3) (60 m3) " 72 kgPar " mar g " (72 kg) (9,8 m/s2) " 700 N " 160 libras

A massa e o peso de um volume igual de água são

mágua " rágua V " (1.000 kg/m3) (60 m3) " 6,0 ! 104 kgPágua " mágua g " (6,0 ! 104 kg) (9,8 m/s2)

" 5,9 ! 105 N " 1,3 ! 105 libras " 66 toneladas

AVALIAR: uma sala cheia de ar pesa o mesmo que um adulto de tamanho médio! A água é quase mil vezes mais densa que o ar, e sua massa e peso são maiores nesse mesmo fator. O peso de uma sala cheia de água faria com que o piso de uma casa comum afundasse.

EXEMPLO 14.1 PESO DO AR NO INTERIOR DE UMA SALA

TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 14.1 Coloque os seguintes objetos em ordem da maior à menor densidade média: (i) massa " 4,00 kg, volume V " 1,60 ! 10–3 m3; (ii) m " 8,00 kg, V " 1,60 ! 10–3 m3; (iii) m " 8,00 kg, V " 3,20 ! 10–3 m3; (iv) m " 2.560 kg, V " 0,640 m3; (v) m " 2.560 kg, V " 1,28 m3. \

14.2 PRESSÃO EM UM FLUIDOUm fluido exerce uma força perpendicular sobre qualquer superfície que esteja

em contato com ele, como a parede do recipiente ou um corpo imerso no fluido. Essa é a força que pressiona suas pernas quando você as movimenta em uma piscina. Embora o fluido como um todo esteja em repouso, as moléculas que o constituem estão em movimento; as forças exercidas pelo fluido são oriundas das colisões moleculares com as superfícies vizinhas.

Se pensarmos em uma superfície imaginária no interior do fluido, este exerce forças iguais e contrárias sobre os dois lados da superfície. (Caso contrário, a su-perfície seria acelerada e o fluido não estaria em repouso.) Considere uma pequena superfície de área dA centralizada em um ponto do fluido; a força normal exercida pelo fluido sobre cada lado da superfície é dF# (Figura 14.2). Definimos a pressão P nesse ponto como a força normal por unidade de área, ou seja, pela razão entre dF# e dA (Figura 14.3):

(14.2)P = dAdF#

Força normal exercida pelo fluido sobre uma pequena superfície nesse ponto

Área de superfície

Pressão em um ponto em um fluido

Quando a pressão for a mesma em todos os pontos de uma superfície plana de área A, então

P =F#A

(14.3)

onde F# é a força normal resultante sobre um dos lados da superfície. A unidade SI de pressão é o pascal, onde

1 pascal " 1 Pa " 1 N/m2

Já havíamos trabalhado com o pascal no Capítulo 11. Duas unidades relaciona-das, usadas principalmente em meteorologia, são o bar, igual a 105 Pa, e o milibar, igual a 100 Pa.

A pressão atmosférica Pa é a pressão exercida pela atmosfera terrestre, a pres-são no fundo desse oceano de ar em que vivemos. Essa pressão varia com as condições do tempo e com a altitude. A pressão atmosférica normal ao nível do

A superfície não acelera, então o fluido circundante exerce forças normais iguais em ambos os lados da superfície. (O fluido não pode exercer qualquer força paralela à superfície, já que isso faria com que a superfície acelerasse.)

dAdF#

dF#

Uma pequena superfície de área d A no interior de um fluido em repouso

Figura 14.2 Forças atuando sobre uma pequena superfície dentro de um fluido em repouso.

... a pressão sobre elas (a força dividida pela área) é a mesma(e é escalar).

Embora essas duas superfícies difiram em área e orientação...

dA2dAdF#dF#

2dF#

2dF#

Figura 14.3 A pressão é uma grandeza escalar com unidades de newtons por metro quadrado. Já a força é uma grandeza vetorial, e sua unidade é o newton.


Definimos a pressão P nesse ponto como a força normal por unidade de área, ou seja, pela razão entre dF⊥ e dA:

Quando a pressão for a mesma em todos os pontos de uma superfície plana de área A, então:

onde F⊥ é a força normal resultante sobre um dos lados da superfície.

A unidade SI de pressão é o pascal, onde

Duas unidades relacionadas, usadas principalmente em meteorologia, são o bar, igual a 105 Pa, e o milibar, igual a 100 Pa.



SOLUÇÃO












(14.2)P = dAdF#





P =F#A

(14.3)






dAdF#

dF#





dA2dAdF#dF#

2dF#

2dF#





SOLUÇÃO












(14.2)P = dAdF#





P =F#A

(14.3)






dAdF#

dF#





dA2dAdF#dF#

2dF#

2dF#



A pressão atmosférica Pa é a pressão exercida pela atmosfera terrestre. Essa pressão varia com as condições do tempo e com a altitude.

A pressão atmosférica normal ao nível do mar (um valor médio) é:

84 Física II

mar (um valor médio) é 1 atm (atmosfera), equivalente a 101.325 Pa. Com quatro algarismos significativos,

(Pa)m ! 1 atm ! 1,013 " 105 Pa ! 1,013 bar ! 1.013 millibar ! 14,70 lb/pol2

ATENÇÃO Não confunda pressão e força Na linguagem cotidiana, “pressão” e “força” significam praticamente o mesmo. Contudo, na mecânica dos fluidos, essas palavras descrevem grandezas distintas com características físicas diferentes. A pressão do fluido sempre atua ortogonalmente sobre qualquer superfície orientada em qualquer direção (Figura 14.3). Portanto, a pressão não tem nenhuma direção própria; trata-se de uma grandeza escalar. Em contraste, a força é uma grandeza vetorial, que possui módulo, di-reção e sentido. Lembre-se também de que a pressão é força por unidade de área. Como mostra a Figura 14.3, uma superfície com o dobro da área é submetida ao dobro da força pelo fluido, de modo que a pressão é a mesma.

Na sala descrita no Exemplo 14.1, ache a força total de cima para baixo exercida pela pressão do ar de 1,00 atm sobre a superfície do piso.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo usa a relação entre a pressão P de um fluido (neste caso, o ar), a área A sobre a qual essa força age e a força normal F# exercida pelo fluido. A pres-são é uniforme, então usamos a Equação 14.3, F# ! PA, para determinar F#. A superfície do piso é horizontal, portanto, F# é vertical (de cima para baixo).

EXECUTAR: a área do piso é A ! (4,0 m) (5,0 m) ! 20 m2; logo, a Equação 14.3 fornece

F# ! PA ! (1,013 " 105 N/m2) (20 m2) ! 2,0 " 106 N ! 4,6 " 105 lb ! 230 toneladas

AVALIAR: diferente da água no Exemplo 14.1, F# não é sufi-ciente para fazer o piso afundar, porque há uma força de igual módulo exercida de baixo para cima sobre o piso. Se a casa tiver um porão, essa força é fornecida pelo ar existente embaixo do piso. Nesse caso, desprezando-se a espessura do piso, a força resultante exercida pela pressão do ar é igual a zero.

EXEMPLO 14.2 A FORÇA DO AR

Pressão, profundidade e lei de PascalQuando desprezamos o peso do fluido, a pressão no interior do fluido é a mesma

em todos os pontos de seu volume. Na Seção 11.4, usamos essa aproximação na discussão da tensão e da deformação volumétrica. Porém, geralmente o peso de um fluido não é desprezível; as variações de pressão são importantes. A pressão atmosférica em altitudes elevadas é menor que a pressão atmosférica ao nível do mar; por essa razão, a cabine de um avião deve ser pressurizada. Quando você mergulha em águas profundas, seus ouvidos informam a você que a pressão está crescendo com o aumento da profundidade.

Podemos deduzir uma expressão geral entre a pressão P em um dado ponto no interior de um fluido em repouso e a altura y desse ponto. Vamos supor que a den-sidade r e a aceleração da gravidade g permaneçam constantes em todos os pontos do fluido (ou seja, a densidade é uniforme). Quando o fluido está em equilíbrio, qualquer elemento fino do fluido com espessura dy também está em equilíbrio (Figura 14.4a). As superfícies inferior e superior possuem área A e estão em elevações y e y # dy acima de algum nível de referência, onde y ! 0. O volume do elemento de fluido é dV ! A dy, sua massa é dm ! r dV ! rA dy e seu peso é dP ! dm g ! gA dy.

Quais são as outras forças que atuam sobre esse elemento de fluido (Figura 14.4b)? Chame de P a pressão na superfície inferior; o componente y da força resultante que atua sobre essa superfície é PA. A pressão na superfície superior é P # dP, e o componente y da força resultante que atua (de cima para baixo) sobre a superfície superior é – (P # dP)A. O elemento de fluido está em equilíbrio; logo, o componente y da força total resultante, incluindo o peso e as outras forças men-cionadas, deve ser igual a zero:

gFy ! 0, logo PA – (P # dP) A – rgA dy ! 0

(a)

Força decorrente da aressão P + dP sobre a superfície superior:

As forças sobreos quatro lados do elemento se anulam.

Como o fluido está em equilíbrio, a soma vetorial das forças verticais sobre o elemento de fluido deve ser igual a zero: PA - (P + dP)A - dP = 0.

Força decorrente da pressão P sobre a superfície inferior

Peso do elemento de fluido

y

dy

0

Um elemento de fluido em repouso com área A e altura dy

(b)

dy

dPPA

(P + dP)A

A

Figura 14.4 As forças que atuam sobre um elemento de fluido em equilíbrio.


Quando desprezamos o efeito do campo gravitacional (negligenciamos o peso do fluido), a pressão no interior do fluido é a mesma em todos os pontos de seu volume.

Porém, geralmente o efeito do campo gravitacional não é desprezível ➝ a pressão varia com a altura.

Exemplos: - A pressão atmosférica em altitudes elevadas é menor que a pressão atmosférica ao nível do mar; por essa razão, a cabine de um avião deve ser pressurizada. - Quando você mergulha em águas profundas, seus ouvidos informam a você que a pressão está crescendo com o aumento da profundidade.

Pressão, profundidade e lei de Pascal

Agora vamos deduzir uma expressão para a variação da pressão no interior de um fluido em repouso em função da altura.

Suponhamos que a densidade 𝜌 e a aceleração da gravidade g sejam constantes em todos os pontos do fluido.

Quando o fluido está em equilíbrio, qualquer elemento fino do fluido com espessura dy também está em equilíbrio (ver Figura).

84 Física II





SOLUÇÃO











(a)






y

dy

0


(b)

dy

dPPA

(P + dP)A

A



As superfícies inferior e superior possuem área A e estão em elevações y e y+dy acima de algum nível de referência, onde y=0.

O elemento de fluido tem: • Volume: dV=Ady • Massa: dm=𝜌dV=𝜌Ady • Peso: dP = dm g = gA dy.

Quais são as forças que atuam sobre esse elemento de fluido?

• Seja P a pressão na superfície inferior ⟹ A componente y da força resultante que atua sobre essa superfície é PA.

• A pressão na superfície superior é P+dP ⟹ A componente y da força resultante que atua (de cima para baixo) sobre a superfície superior é – (P+dP)A.

• Peso do elemento de fluido: dm g = 𝜌dV g = 𝜌Ady g. • As forças sobre os lados do elemento de fluido se anulam.

O elemento de fluido está em equilíbrio ⟹ o componente y da força total resultante, incluindo o peso e as outras forças mencionadas, deve ser igual a zero:

Dividindo pela área A e reagrupando os termos, obtemos

Esta equação mostra que, quando y aumenta, P diminui; ou seja, à medida que subimos através do fluido, a pressão diminui, como era de se esperar.

Se P1 e P2 forem, respectivamente, as pressões nas alturas y1 e y2, e se 𝜌 e g permanecerem constantes, então:

84 Física II





SOLUÇÃO











(a)






y

dy

0


(b)

dy

dPPA

(P + dP)A

A





dP

dy= -rg (14.4)

Esta equação mostra que, quando y aumenta, P diminui; ou seja, à medida que subimos através do fluido, a pressão diminui, como era de se esperar. Se P1 e P2 forem, respectivamente, as pressões nas alturas y1 e y2, e se r e g permanecerem constantes, então

P2 - P1 = -rg(y2 - y1) (14.5)Diferença de pressão entre dois pontos em um fluido de densidade uniforme

Aceleração decorrente da gravidade (g 7 0)

Densidade uniforme do fluido

Alturas dos dois pontos

Costuma ser mais conveniente expressar a Equação 14.5 em termos da pro-fundidade abaixo da superfície do fluido (Figura 14.5). Considere o ponto 1 em qualquer nível do fluido e seja P a pressão nesse nível. Considere o ponto 2 na superfície do fluido, onde a pressão é P0 (subscrito 0 para a profundidade zero). A profundidade do ponto 1 abaixo da superfície do fluido é h ! y2 – y1, e a Equação 14.5 pode ser escrita na forma

P0 – P ! –rg (y2 – y1) ! – rgh ou

P = P0 + rgh (14.6)Pressão na profundidade h em um fluido com densidade uniforme

Pressão na superfície do fluido Aceleração decorrente da gravidade (g 7 0)

Profundidade abaixo da superfície


A pressão P em uma profundidade h é maior que a pressão P0 na superfície, e a diferença entre elas é rgh. Observe que a pressão em qualquer dos dois pontos do fluido é sempre igual em todos os pontos no mesmo nível do fluido. A forma do recipiente não altera essa pressão (Figura 14.6).

A Equação 14.6 mostra que, se aumentarmos o valor da pressão P0 no topo da superfície, possivelmente usando um pistão que se adapta firmemente ao interior do recipiente e empurra a superfície do fluido para baixo, a pressão P em qualquer profundidade do fluido aumenta de um valor exatamente igual ao do aumento da pressão. Esse fato é chamado de lei de Pascal.

LEI DE PASCAL: a pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente é transmitida sem nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente.

Um elevador hidráulico (Figura 14.7) ilustra a lei de Pascal. Um pistão, cuja seção reta possui pequena área A1, exerce uma força F1 sobre a superfície de um líquido como um óleo. A pressão aplicada P ! F1/A1 é transmitida integralmente através dos tubos até um pistão maior com área A2. A pressão aplicada nos dois cilindros é a mesma, logo

P =F1

A1=

F2

A2 e F2 =

A2

A1 F1 (14.7)

O elevador hidráulico é um dispositivo que multiplica o valor de uma força, e o fator de multiplicação é dado pela razão entre as áreas dos dois pistões. Cadeiras de dentista, elevadores de carro, macacos hidráulicos, diversos elevadores e freios hidráulicos são exemplos de aplicação desse princípio.

Diferença de pressão entre os níveis 1 e 2:P2 - P1 = -rg(y2 - y1)

A pressão é maior no nível mais baixo.

A uma profundidade h , a pressão P é igual à pressão de superfície P0 mais a pressão rgh decorrente do fluido sobreposto: P = P0 + rgh .

P2 = P0

P1 = P

y1

y2

y2 - y1 = h

2

1

Fluido, densidade r

Figura 14.5 Como a pressão varia com a profundidade em um fluido com densidade uniforme.

A pressão na base de cada coluna de líquido possui o mesmo valor P.

A pressão no topo de cada coluna de líquido é a pressão atmosférica, P0.

A diferença entre P e P0 é rgh, onde h é a distância do topo à base da coluna de líquido. Logo, todas as colunas apresentam a mesma altura.

h

Figura 14.6 Todas as colunas de fluido apresentam a mesma altura, independentemente de sua forma.




dP

dy= -rg (14.4)







P0 – P ! –rg (y2 – y1) ! – rgh ou









P =F1

A1=

F2

A2 e F2 =

A2

A1 F1 (14.7)





P2 = P0

P1 = P

y1

y2

y2 - y1 = h

2

1

Fluido, densidade r





h



Às vezes é mais conveniente expressar a Equação anterior em termos da profundidade abaixo da superfície do fluido.

• Considere o ponto 1 em qualquer nível do fluido e seja P a pressão nesse nível.

• Considere o ponto 2 na superfície do fluido, onde a pressão é P0 (subscrito 0 para a profundidade zero).



dP

dy= -rg (14.4)







P0 – P ! –rg (y2 – y1) ! – rgh ou









P =F1

A1=

F2

A2 e F2 =

A2

A1 F1 (14.7)





P2 = P0

P1 = P

y1

y2

y2 - y1 = h

2

1

Fluido, densidade r





h



A profundidade do ponto 1 abaixo da superfície do fluido é h = y2 – y1, logo:



dP

dy= -rg (14.4)







P0 – P ! –rg (y2 – y1) ! – rgh ou









P =F1

A1=

F2

A2 e F2 =

A2

A1 F1 (14.7)





P2 = P0

P1 = P

y1

y2

y2 - y1 = h

2

1

Fluido, densidade r





h



Portanto temos:

A pressão P em uma profundidade h é maior que a pressão P0 na superfície, e a diferença entre elas é 𝜌gh.

Observe que a pressão em qualquer dos dois pontos do fluido é sempre igual em todos os pontos no mesmo nível do fluido.

A forma do recipiente não altera essa pressão (ver Figura no próximo slide).



dP

dy= -rg (14.4)







P0 – P ! –rg (y2 – y1) ! – rgh ou









P =F1

A1=

F2

A2 e F2 =

A2

A1 F1 (14.7)





P2 = P0

P1 = P

y1

y2

y2 - y1 = h

2

1

Fluido, densidade r





h



A Equação P = P0 + 𝜌gh mostra que, se aumentarmos o valor da pressão P0 no topo da superfície (por exemplo usando um pistão que empurra a superfície do fluido para baixo) a pressão P em qualquer profundidade do fluido aumenta de um valor exatamente igual ao do aumento da pressão. Esse fato é chamado de lei de Pascal.


Um elevador hidráulico ilustra a lei de Pascal. • Um pistão, cuja seção reta possui pequena área A1, exerce uma força F1

sobre a superfície de um líquido como um óleo. • A pressão aplicada P=F1/A1 é transmitida integralmente através dos tubos

até um pistão maior com área A2. • A pressão aplicada nos dois cilindros é a mesma, logo

86 Física II

F2

PA2

F1

PA1

Uma força pequena é aplicada a um pistão pequeno.

Como a pressão P é a mesma em todos os pontos em determinada altura no fluido...

... um pistão com área maior na mesma altura experimenta uma força maior.

Figura 14.7 O elevador hidráulico é uma aplicação da lei de Pascal. Para maior clareza, o tamanho do recipiente que contém o fluido está exagerado.

Em se tratando de gases, a hipótese de que a densidade r permanece constante é realista apenas para pequenas diferenças de altura. Em uma sala com 3,0 m de altura cheia de ar com densidade uniforme igual a 1,2 kg/m3, a diferença de pressão entre o piso e o teto, de acordo com a Equação 14.6, é

rgh ! (1,2 kg/m3) (9,8 m/s2) (3,0 m) ! 35 Pa

ou cerca de 0,00035 atm, uma diferença muito pequena. Contudo, entre o nível do mar e o topo do Monte Everest (8.882 m) a densidade do ar varia de um fator aproximadamente igual a 3, e, neste caso, não podemos usar a Equação 14.6. Em contraste, um líquido é aproximadamente incompressível; portanto, geralmente é uma boa aproximação considerar sua densidade como indepen-dente da pressão.

Pressão absoluta e pressão manométricaSe a pressão no interior do pneu de um automóvel fosse igual à pressão atmosfé-

rica, o pneu ficaria arriado. A pressão deve ser maior que a pressão atmosférica para que ele possa sustentar o peso do carro, logo, a grandeza física importante neste caso é a diferença entre as pressões interna e externa. Quando dizemos que a pressão de um pneu é de “32 libras” (na realidade, 32 lb/pol2, igual a 220 kPa ou 2,2 " 105 Pa), queremos dizer que ela é maior que a pressão atmosférica (14,7 lb/pol2 ou 1,01 " 105 Pa) por esse valor. A pressão total no pneu é, então, 47 lb/pol2, 320 kPa. O excesso de pressão acima da atmosférica denomina-se pressão manométrica, e a pressão total denomina-se pressão absoluta. Quando a pressão absoluta for menor que a atmosférica, como no caso de um recipiente no qual existe um vácuo parcial, a pressão manométrica é negativa.

Um tanque de armazenamento de 12,0 m de profundidade está cheio de água. O topo do tanque é aberto ao ar. Qual é a pressão absoluta no fundo do tanque? Qual é a pressão manométrica?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: a Tabela 11.2 indica que a água é quase sempre incompressível, de modo que podemos tratá-la como um fluido de densidade uniforme. O nível da parte supe-rior do tanque corresponde ao ponto 2 na Figura 14.5, e o nível do fundo do tanque corresponde ao ponto 1. Logo, a variável que queremos encontrar é P na Equação 14.6. Temos h ! 12,0 m e P0 ! 1 atm ! 1,01 " 105 Pa.

EXECUTAR: de acordo com a Equação 14.6, a pressão absoluta é

P ! P0 # rgh ! (1,01 " 105 Pa) # (1.000 kg/m3) (9,80 m/s2) (12,0 m) ! 2,19 " 105 Pa ! 2,16 atm ! 31,8 lb/pol2

A pressão manométrica é

P – P0 ! (2,19 – 1,01) " 105 Pa ! 1,18 " 105 Pa ! 1,16 atm ! 17,1 lb/pol2

AVALIAR: quando um tanque possui um manômetro, ele nor-malmente é calibrado para medir a pressão manométrica, e não a pressão absoluta.

EXEMPLO 14.3 CÁLCULO DAS PRESSÕES MANOMÉTRICA E ABSOLUTA


Exemplo: elevador hidráulico



dP

dy= -rg (14.4)







P0 – P ! –rg (y2 – y1) ! – rgh ou









P =F1

A1=

F2

A2 e F2 =

A2

A1 F1 (14.7)





P2 = P0

P1 = P

y1

y2

y2 - y1 = h

2

1

Fluido, densidade r





h



O elevador hidráulico é um dispositivo que multiplica o valor de uma força, e o fator de multiplicação é dado pela razão entre as áreas dos dois pistões.

Cadeiras de dentista, elevadores de carro, macacos hidráulicos, diversos elevadores e freios hidráulicos são exemplos de aplicação desse princípio.

Exemplo02:AForçadaÁguaemumaRepresaAáguapreencheumaalturaH deumarepresadelarguraw.Determine:(a)AforçaresultantesobrearepresaEmumadadaalturay apressãoé:P = ρgh = ρg H − y( )AforçadF exercidaemumafaixadelargurady aumaalturay é:F = PA→ dF = PdA→ dF = ρg H − y( )wdy

F = dF → F = ρgw H − y( )dy0

H

∫∫ = ρgw H − y( )dy0

H

∫ → F = 12ρgwH 2

(b)Apressãomédia(P)exercidasobrearepresa

P =FTotal

A→ P =

12ρgwH 2

wH→ P = 1

2ρgH


F = dF → F = ρgw H − y( )dy0

H

∫∫ = ρgw H − y( )dy0

H

∫ → F = 12ρgwH 2


P =FTotal

A→ P =

12ρgwH 2

wH→ P = 1

2ρgH


F = dF → F = ρgw H − y( )dy0

H

∫∫ = ρgw H − y( )dy0

H

∫ → F = 12ρgwH 2


P =FTotal

A→ P =

12ρgwH 2

wH→ P = 1

2ρgH

Exemplo: A força da água em uma represa

A figura ao lado mostra um barômetro de mercúrio, inventado por E. Torricelli. Ele consiste de um tubo cheio de mercúrio, que é colocado invertido num recipiente cheio de mercúrio.

Pelo fato da extremidade superior ser fechada, forma-se uma coluna de mercúrio. Na porção superior sem mercúrio, forma- se praticamente um vácuo, onde P = 0.

Como os pontos A e B estão no mesmo nível, PA = PB. Mas o ponto B se encontra na superfície aberta, logo PB é igual à pressão atmosférica, Patm (ou P0).

Medições da pressão: barômetro de mercúrio

MediçõesdaPressão

(a)BarômetrodeMercúrio:EvangelistaTorricelli(1608-1647)−Tubolongocheiodemercúrio(Hg)emborcadoemumrecipientecheiodemercúrio.

−Usadoparamedirapressãoatmosférica.

Equilíbrio⇒ PA = PB = Patm = 1atm=1,013×105 Pa

PA = ρHggh→ ρHggh = Patm → h =PatmρHgg

PB = Patm → h = 1,013×105 Pa13,6×103 × 9,8

→ h = 760mm

∴ 1atm=760mmHg medidoa0°Celsius

b)Manômetrodetuboaberto:−Usadoparamedirapressãodeumgásemumrecipiente−Apressãodogás(PA)deveserigualàpressãoemB(PB )

PB = P0 + ρgh→ P = P0 + ρgh






PB = Patm → h = 1,013×105 Pa13,6×103 × 9,8

→ h = 760mm




O manômetro de tubo aberto, mostrado na figura ao lado, é um dispositivo para medir a pressão de um gás contido em um recipiente.

Uma extremidade do tubo em U, que contém líquido, está aberta, e a outra conectada com um tubo fechado com gás, a pressão P.

Como os pontos A e B estão no mesmo nível, PA = PB. Logo, a pressão do gás deve ser igual à pressão em B.

Medições da pressão: Manômetro de tubo aberto






PB = Patm → h = 1,013×105 Pa13,6×103 × 9,8

→ h = 760mm




Medicoes de pressao – manometro de tubo

abertoPressao e Empuxo

Aula 1 18 / 25

■ O manometro de tubo aberto, mostrado na figura aolado, e um dispositivo para medir a pressao de um gascontido em um recipiente. Uma extremidade do tuboem U, que contem lıquido, esta aberta, e a outra conec-tada com um tubo fechado com gas, a pressao P .

■ Como A e B estao no mesmo nıvel, possuem a mesmapressao. Mas PA = P , a pressao do gas que se quermedir, e da lei de Stevin, PB = P0 + ρgh.

Gás

Líquido

Segue portanto queP = P0 + ρgh

◆ P e chamada de pressao absoluta, enquanto que P − P0 = ρgh e apressao manometrica.

◆ Medidas da pressao do pneu de um carro e da pressao arterial, p. ex., saopressoes manometricas.

Um corpo imerso na água parece possuir um peso menor que no ar.

Quando o corpo possui densidade menor que a do fluido, ele flutua. O corpo humano normalmente flutua na água, e um balão cheio de hélio flutua no ar.

Estes são exemplos de empuxo, um fenômeno descrito pelo princípio de Arquimedes:

quando um corpo está parcial ou completamente imerso em um fluido, este exerce sobre o corpo uma força de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo.

Princípio de Arquimedes

Um material homogêneo, como o gelo ou o ferro, possui a mesma densidade em todas as suas partes.

EmpuxoePrincípiodeArquimedes

Todocorpoimersoemumfluidoexperimentaumaforçadebaixoparacima(Empuxo)igualaopesodovolumedofluidoporeledeslocado

PorçãoqualquerdefluidodeáreadabaseAealturahemequilíbrio.Pressãodependentedaprofundidade→ PFundo > PTopoF = PA ⇒ FFundo > FTopo

B→ EmpuxoB = FFundo − FTopo ⇒ B = PFundoA− PTopoA→ B = ΔPA

ΔP = ρfluidogh → B = ρfluidoghA → B = ρfluidogVM fluido = ρfluidoV ⇒ B = M fluidog

∴!B = −

!Fg

!Fg →pesodofluidocontidonovolumeV

Suponha que a balança tenha medido 7,84 N no ar e 6,84 N na água. A que conclusão Arquimedes chegou?

Exemplo: desafio de Arquimedes

Eureka! (achei, em grego). Segundo lenda, Herão, rei de Siracusa, solicitou a Arquimedes descobrir se uma coroa feita para ele era de ouro puro.

Arquimedes resolveu o problema pesando primeiro a coroa no ar e em seguida, imersa na água, conforme mostra a figura.

90 Física II

dade do ácido de uma bateria ou de um anticongelante. A extremidade inferior do tubo maior é imersa no líquido, e o bulbo é comprimido para expelir o ar e a seguir liberado, funcionando como um conta-gotas gigante. O líquido sobe no tubo e o flutuador atinge o equilíbrio na amostra do líquido.

Uma estátua de ouro sólido de 15,0 kg está sendo içada de um navio submerso (Figura 14.13a). Qual é a tensão no cabo de sustentação (desprezando sua massa) quando a estátua está em repouso (a) completamente submersa; (b) fora da água?

Figura 14.13 Qual é a tensão no cabo que sustenta a estátua?

(a) Estátua submersa em equilíbrio

y

T

Bx

mg = 147 N

(b) Diagrama do corpo livre para a estátua

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: nos dois casos, a estátua está em equilíbrio e experimenta três forças: seu peso, a tensão do cabo e uma força de empuxo igual em módulo ao peso do fluido deslocado pela estátua [água do mar na parte (a), ar na parte (b)]. A Figura 14.13b mostra o diagrama de forças da estátua em equilíbrio. Nossas variáveis-alvo são a tensão na água do mar (Tágua) e no ar (Tar). O problema forneceu a massa mestátua, e podemos calcular a força de empuxo na água do mar (Bágua) e no ar (Bar) por meio do princípio de Arquimedes.EXECUTAR: (a) para encontrar o empuxo Bágua, calcule pri-meiro o volume V da estátua, verificando a densidade do ouro na Tabela 14.1:

V =mestátua

rouro=

15,0 kg

19,3 * 103 kg>m3 = 7,77 * 10-4 m3

A força de empuxo Bágua é igual ao peso desse mesmo volume de água do mar. Usando a Tabela 14.1 mais uma vez:

Bágua ! págua ! máguag ! ráguaVg

! (1,03 " 103 kg/m3) (7,77 " 10–4 m3) (9,8 m/s2) ! 7,84 N

Como a estátua está em repouso, a força externa resultante que atua sobre ela é igual a zero. Pela Figura 14.13b,

gFy ! Bágua # Tágua # (–mestátuag) ! 0Tágua ! mestátuag – Bágua ! (15,0 kg) (9,80 m/s2) – 7,84 N ! 147 N – 7,84 N ! 139 N

Se um dinamômetro for preso à extremidade superior do cabo, ele indicará 7,84 N a menos que o peso real da estátua, mestátuag ! 147 N.(b) A densidade do ar é aproximadamente igual a 1,2 kg/m3, de modo que a força de empuxo do ar sobre a estátua é

Bar ! rarVg ! (1,2 kg/m3) (7,77 " 10–4 m3) (9,80 m/s2) ! 9,1 " 10–3 N

Isso é desprezível em relação ao peso real da estátua, mestátuag ! 147 N. Assim, dentro da precisão requerida neste problema, a tensão no cabo com a estátua no ar é Tar ! mestátuag ! 147 N.AVALIAR: note que o empuxo é proporcional à densidade do fluido, não à densidade da estátua. Quanto mais denso é o fluido, maior o empuxo e menor a tensão no cabo. Se o fluido tivesse a mesma densidade que a estátua, o empuxo seria igual ao peso da estátua e a tensão seria zero (o cabo ficaria frouxo). Se o fluido fosse mais denso que a estátua, a tensão seria negativa: o empuxo seria maior que o peso da estátua e uma força de cima para baixo seria necessária para impedir a estátua de emergir.

EXEMPLO 14.5 EMPUXO

Tensão superficialSe um objeto é menos denso que a água, ele flutua com parte de seu volume

abaixo da superfície. Um clipe de papel, por outro lado, pode flutuar sobre a superfície da água, embora sua densidade seja diversas vezes maior que a dela. Essas situações exemplificam o fenômeno da tensão superficial: a superfície do líquido se comporta como uma membrana submetida à tensão (Figura 14.14). A tensão superficial ocorre porque as moléculas de um líquido exercem forças de atração mútuas. A força resultante sobre qualquer molécula situada no interior do volume do líquido é igual a zero, porém uma molécula na superfície é puxada para dentro do volume (Figura 14.15). Ou seja, o líquido tende a minimizar a área da superfície, da mesma forma que uma membrana esticada.

Figura 14.14 A superfície da água age como uma membrana sob tensão, permitindo que essa aranha d’água literalmente “ande sobre as águas”.


Solução:

• Equilíbrio de forças no ar (na direção vertical):

Tar – mg =0 ⟹ Tar – 𝜌cVcg = 0 (1)

onde Vc e 𝜌c são, respectivamente, o volume e a densidade da coroa.

• Equilíbrio de forças quando a coroa está mergulhada na agua:

Tagua + E – mg =0 ⟹ Tagua + 𝜌aguaVcg – 𝜌cVcg =0 (2)

Da Eq (1) isolamos o volume da coroa Vc: Vc = Tar / (𝜌cg)

Substituindo na Eq. (2) obtemos :

Portanto:

Tagua +ρagua

ρcTar − Tar = 0

ρc = ρaguaTar

Tar − Tagua

Substituindo os valores dados das tensões e sabendo-se que 𝜌agua = 1×103 kg/m3, temos que a densidade da coroa é:

𝜌c =7,83 ×103 kg/m3

Como a densidade do ouro é 𝜌Au =19,3 ×103 kg/m3, existem duas possibilidades: a coroa não é de ouro puro ou que a coroa é de ouro puro, mas não deve ser maciça.

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