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RESISTNCIA DOS

MATERIAIS CAPITULO

Notas de Aula: Prof. Lindomar Matias

As anotaes, bacos, tabelas, fotos e grficos contidas neste texto, foram retiradas dos seguintes livros: -RESISTNCIA DOS MATERIAIS- Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw Hill-4 edio-2006 - RESISTNCIA DOS MATERIAIS-R. C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5 edio- 2004 -MECNICA DOS MATERIAIS-James M. Gere-Ed. THOMSON -5 edio-2003 -MECNICA DOS MATERIAIS- Ansel C. Ugural-Ed. LTC-1 edio-2009 -MECNICA DOS MATERIAIS- Riley, Sturges, Morris-Ed. LTC-5 edio-2003

1 Conceito de Tenso

RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. LINDOMAR MATIAS

Introduo

AResistncia dos Materiais o ramo da Mecnica dos Corpos Deformveis que se prope, basicamente, a selecionar os materiais de construo e estabelecer as propores e as dimenses dos elementos para uma estrutura ou mquina, a fim de capacit-las a cumprir suas finalidades, com segurana, confiabilidade, durabilidade e em condies econmicas.

Alimitao das deformaes, em muitos casos, se torna necessria para atender a requisitos de confiabilidade (deformaes exageradas podem ser confundidas com falta de segurana) ou preciso (caso de mquinas operatrizes ou ferramentas). A capacidade de um elemento reagir s deformaes chamada de rigidez do elemento.

A capacidade de um elemento, em uma estrutura ou mquina, de resistir runa chamada de resistncia do elemento e constitu o problema principal para a anlise nesta disciplina.

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1 - 3

Objetivos

O principal objetivo do estudo da Mecnica dos Materiais prover o futuro engenheiro de meios que o possibilitem empreender dois importantes estudos: a Anlise e o Projetos de mquinas e estruturas.

Ambos os estudos, a analise e o projeto de uma determinada estrutura, envolvem a determinao das tenses e das deformaes.

Neste captulo ser desenvolvido o conceito de tenso.

Em sua maioria, as construes e as mquinas so muito complicadas quanto s caractersticas dos materiais, a forma e geometria dos elementos estruturais, tipos de carregamento, vinculaes etc. e, a menos que sejam estabelecidas hipteses e esquemas de clculo simplificadores, a anlise dos problemas seria impraticvel. A validade de tais hipteses constatada experimentalmente.

Quanto aos Materiais:

Os materiais sero supostos contnuos (ausncia de imperfeies, bolhas etc) homogneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e istropos (iguais propriedades em todas as direes). Essas hipteses nos permitem aplicar as tcnicas elementares do clculo infinitesimal para a soluo matemtica dos problemas.

Deve-se ter cautela, entretanto, quanto sua aplicao para certos materiais de construo (como o concreto ou a madeira), ou materiais de estrutura cristalina (como o granito) cujas caractersticas heterogneas e anisotrpicas nos levariam a resultados apenas aproximados. Outra suposio freqentemente utilizada de que os materiais so perfeitamente elsticos (sofrendo deformaes cuja extenso proporcional aos esforos a que esto submetidos, retornando s dimenses originais quando cessam esses esforos).

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Quando Geometria dos Elementos Estruturais

BLOCOS corpos cujas trs dimenses principais so da mesma ordem de grandeza (a ~b ~c);

FOLHAS corpos que tm uma das dimenses (denominada espessura) muito menor (*) que as outras duas (e > a ~b).

(*) da ordem de 10 vezes ou mais.

Quanto ao Carregamento

Foras distribudas em volumes (como a ao gravitacional, como as foras de inrcia nos corpos acelerados), em superfcies (como a ao de esforos sobre placas, a ao da presso de fluidos, p = dF/dA) e em linha (como a ao ao longo de vigas, q = dF/dx);

q(x)

P

Foras Concentradas aes localizadas em reas de pequena extenso quando comparadas com as dimenses do corpo. fcil perceber que tal conceito (uma fora concentrada em um ponto) uma abstrao j que, para uma rea de contato praticamente nula, uma fora finita provocaria uma presso ilimitada, o que nenhum material seria capaz de suportar sem se romper.

F

4

Quanto aos Vnculos

Os vnculos so dispositivos mecnicos que impedem certos movimentos da estrutura ou mquina, atravs de esforos reativos cujos tipos so estudados nos cursos de Mecnica dos Corpos Rgidos. Para o caso particular e muito comum de esforos coplanares, os vnculos so classificados em trs categorias :

Apoio mvel - capaz de impedir o movimento do ponto vinculado do corpo numa direo pr-determinada;

APOIO MOVEL

Pino deslizante rodete

Biela ou conectora

R Simbolo

Quanto aos Vnculos

Apoio fixo capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo em todas as direes;

SMBOLO APOIO

FIXO

rtula R y

R x

Engastamento capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo e o movimento de rotao do corpo em relao a esse ponto.

SMBOLO

E N G A S T E R y

R x M z

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1 - 9

Tenso

tenso A

P

A

P

A

P

2

2 = tenso

O conceito de tenso importante por nos permitir fazer comparativos do esforo interno desenvolvido em peas sob diferentes carregamentos com os esforos admissveis para o material em estudo.

Observe que as barras BC e BC esto submetidas mesma tenso.

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A tenso normal em um ponto pode no ser igual a tenso normal mdia, mas a resultante das tenses na seo precisa satisfazer a equao:

A

med dA dF A P

Carga Axial : Tenso Normal

A fora resultante interna para um membro carregado axialmente normal seo transversal, perpendicular ao eixo da pea.

A P

A F

med A

0

lim

A tenso normal definida como:

O detalhamento da distribuio das tenses em uma determinada seo no pode ser determinado utilizando-se somente a esttica.

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1 - 11

Se duas foras so aplicadas excentricamente, ento a distribuio das tenses precisa levar em conta a fora axial e o momento fletor.

Carga Centrada e Carga Excntrica

A distribuio das tenses em um membro carregado excentricamente no uniforme e nem simtrica.

Uma distribuio de tenso uniforme considerada quando a linha de ao da resultante de cargas passa atravs do centride da seo.

Uma distribuio uniforme de tenses somente possivel, se as cargas concentradas nas extremidades da barra so aplicadas no centride da seo. Estas Cargas so chamadas de cargas centradas.

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Tenso de Cisalhamento

As Foras P e P so aplicadas transversalmente ao membroAB.

A

P

A

V med

A resultante das foras internas atuantes, neste caso, igual a carga V=P. A correspondente Tenso Mdia de Cisalhamento na seo :

Surgem foras internas, atuando na seo C, chamadas foras cortantes (V)

A distribuio das tenses de cisalhamento varia de zero na superficie da barra at um valor mximo no centro.

A distribuio das tenses de cisalhamento no pode ser assumida como uniforme.

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1 - 13

Exemplos de Cisalhamento

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Tenso de Esmagamento

Parafusos, rebites e pinos geram tenses nos seus pontos de contato com os membros que interligam.

d t

P

A

P c

A tenso mdia causada por esta fora, no caso de parafusos, pinos e rebites, dada por:

A resultante da distribuio das foras na superficie de contato igual e oposta fora exercida pelo pino.

Tambm chamada de Tenso de Contato, definida como a relao entre a fora e a rea em contato dos corpos:.

A

P

A

F

c

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Tenses em um Plano Oblquo ao Eixo

Iremos mostrar que tanto foras axiais como transversais causam, ao mesmo tempo, tenses normais e de cisalhamento em um plano oblquo ao eixo da pea.

Foras axiais causam somente tenso normal em um plano perpendicular ao eixo da barra.

Foras transversais em parafusos, rebites e pinos, causam somente tenses de cisalhamento em um plano perpendicular ao eixo dos mesmos.

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cos sin

cos

sin

cos

cos

cos

0 0

2 0 0

A P

A P

A V

A P

A P

A F

As tenses mdias, normal e de cisalhamento, no plano oblqo, so, respectivamente:

Tenses em um Plano Oblquo ao Eixo

Cortemos o membro em uma seo formando um ngulo com o plano normal..

sin cos P V P F

Decompondo P em duas componentes, normal e tangencial ao plano oblquo,

Pelas condies de equilbrio, a fora interna no plano deve ser igual a P.

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A tenso normal mxima ocorre no plano perpendicular ao eixo axial, para =0 0 :

0 0 0

0 A

P

A tenso de cisalhamento mxima ocorre para o plano que forma um ngulo de + 45 o com o eixo axial,

45 0 0

45 2

45 cos 45 sin A

P

A

P

Tenses em um Plano Oblquo ao Eixo

cos sin cos 0

2

0 A

P

A

P

Tenso normal e de cisalhamento num plano oblquo:

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Tenses Para Um Carregamento Qualquer

Um membro submetido a um carregamento qualquer cortado por um plano, passando pelo ponto Q.

Para o equilbrio, uma distribuio igual e de sentido oposto, precisa atuar na outra parte do membro.

A V

A V

A F

x z

A xz

x y

A xy

x

A x

lim lim

lim

0 0

0

A distribuio das tenses internas, no ponto, podem ser definidas por:

10

1 - 19

Podemos dizer ento, que so necessrias 6 componentes de tenso para definir o estado de tenso em um ponto:

x , y e z : definem as tenses normais

xy , yz e zx : definem as tenses tangenciais

O caso mais geral de tenso em um ponto pode ser representado pela figura ao lado

A combinao de foras geradas pelas tenses precisam satisfazer as condies de equilibrio:

0

0

z y x

z y x

M M M

F F F

Considere o momento em torno do eixo z:

Estado Geral de Tenses

similarmente, zy yz zy yz e

yx xy yx xy z a => A a A M 0

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Coeficiente de Segurana

Membros estruturais ou de mquinas devem ser dimensionados de modo a trabalharem com tenses que no ultrapassem a tenso admissvel do material para aquela determinada aplicao.

Tenso Admissvel

Tenso ltima

Coefic iente de Segurana

adm

u

CS

CS

Admissvel Tenso

Escoamento de Tenso CS

adm

e

Admissvel Tenso

Ruptura de Tenso CS

ainda ou

adm

R

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Coeficiente de Segurana

A escolha do C.S. adequado para as diferentes aplicaes prticas requer uma anlise cuidadosa que leve em conta muitos fatores, como:

Modificaes nas propriedades do material, funo do processo de fabricao, temperatura, etc.;

Tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poder atuar futuramente;

Nmero de vezes que a carga aplicada: fadiga (ser melhor estudado em Elementos de Mquinas)

Modo de ruptura que pode ocorrer; Mtodos de anlise utilizado; Deteriorao que poder ocorrer no futuro devido falta de manuteno ou por causas naturais imprevisveis; Aimportncia de um certo membro para a integridade de toda a estrutura;

Riscos de vida ou de propriedade;

Influncia na funo a ser desempenhada pela mquina; Etc.

Coeficiente de Segurana

O engenheiro recm formado, encontra muita dificuldade na

escolha do Coeficiente de Segurana a ser utilizado nas

diversas aplicaes prticas. Se utilizar um CS alto, estar fora

de mercado pelo alto custo do seu projeto e, se utilizar um CS

muito baixo, poder estar colocando em risco a segurana do

seu projeto. Como orientao, sugerimos que estes se baseiem

em projetos semelhantes que tenham obtido sucesso e nas

Norma Tcnicas especficas para aquela aplicao.

O mais importante ter bom senso nesta escolha.

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Coeficiente de Segurana

Quadro orientativo para determinao do Coeficiente de Segurana:

INFORMAO QUALIDADE DAS INFORMAES C.S. DADOS DAS

PROPRIEDADES DOS MATERIAIS DISPONVEIS

A PARTIR DE TESTES

CS_1 O material usado realmente foi testado 1,3 Dados representativos de testes do material disponveis 2,0 Dados razoavelmente representativos de testes do material 3,0 Dados insuficientemente representativos de testes do material 5,0+

CONDIES AMBIENTAIS NOS QUAIS O MATERIAL

SER UTILIZADO

CS_2 So idnticas s condies dos testes do material 1,3 Essencialmente igual ao ambiente de um laboratrio comum 2,0 Ambiente moderadamente desafiador 3,0 Ambiente extremamente desafiador 5,0+

MODELOS ANALTICOS PARA FORAS E TENSES

CS_2 Os modelos foram testados em experimentos 1,3 Os modelos representam precisamente o sistema 2,0 Os modelos representam aproximadamente o sistema 3,0 Os modelos so aproximaes grosseiras do sistema 5,0+

Materiais Dcteis: C.S.= Mximo entre: (CS_1, CS_2, CS_3 ) Materiais Frgeis: C.S.= 2 x Mximo entre: (CS_1, CS_2, CS_3 )

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Reviso de Esttica

A estrutura da figura deve suportar uma carga de 30 kN

- Determine as foras internas nas barras e as reaes de apoio para a estrutura.

kN 30

0 kN 30 0

kN 40

0

kN 40

m 8 . 0 kN 30 m 6 . 0 0

y y

y y y

x x

x x x

x

x C

C A

C A F

A C

C A F

A

A M

Condies de equilibrio da esttica:

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Diagrama de Corpo Livre

Adicionalmente, cada componente precisa satisfazer as condies de equilibrio

kN 30 kN 40 kN 40 y x C C Ax

Resultando:

0

m 8 . 0 0

y

y B

A

A M Considere o diagrama de corpo livre de AB

kN 30 y C

Substituindo na equao de equilibrio da estrutura, temos:

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Mtodo dos Ns

As barras AB e BC eto sujeitas somente a duas foras aplicadas nas suas extremidades

kN 50 kN 40 3 kN 30

5 4

0

BC AB

BC AB

B

F F

F F

F

O n precisa satisfazer as condies de equilibrio da esttica, a qual pode ser expressa atravs do tringulo de foras:

Para o equilibrio, as foras precisam ser paralelas ao eixo, entre os pontos de aplicao das foras, igual em magnitude e em direes opostas

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Verificao das Tenses

Concluso: a tenso no membro BC adequada.

Pode a estrutura da figura suportar com segurana a carga de 30 kN, sendo a tenso:

?

MPa 159 m 10 314 N 10 50

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A P

BC

Em qualquer seo da barra BC, a fora interna de 50 kN, provocando uma tenso de:

d BC = 20 mm

Da anlise anterior, temos:

F AB = 40 kN (compresso) F BC = 50 kN (trao)

MPa 165 adm

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Projeto

O projeto de uma nova estrutura requer a seleo do material adequado e das dimenses necessrias para o cumprimento das suas funes.

Por razes de custo, peso, disponibilidade, etc., a escolha para construir a barra BC foi o alumnio adm = 100 MPa) Qual o dimetro necessrio para a barra?

Uma barra de alumnio com 25,4 mm de dimetro (1pol) adequada.

mm m A d

d A

m Pa N P

A A P

adm adm

2 , 25 10 52 , 2 ) 10 500 .( 4 4

4

10 500 10 100 10 50

2 6

2

2 6 6 3

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Exemplo: Tenso Normal

A barra BC est sob trao, com uma fora axial de50 kN.

A barra AB est sob compresso, com uma fora axial de 40 kN e uma tenso normal mdia de 26.7 MPa.

A rea mnima da seo de AB no influi na tenso normal, uma vez que ela se encontra sob compesso.

MPa 167 m 10 300

10 50

m 10 300 mm 25 mm 40 mm 20

2 6

3 ,

2 6

N

A

P

A

m x BC

No ponto C a seo da barra reduzida pela presena do pino de ligao, logo:

No centro da barra, com A = 314x10 -6 m 2 a tenso normal mdia de BC = +159 MPa.

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Determine a tenso nas barras e conexes da estrutura da figura

Exemplo

Precisamos calcular a tenso normal mxima em AB e BC, a tenso de cisalhamento e de esmagamento em cada um dos pinos de conexo.

Da esttica, temos: F AB = 40 kN (compresso) F BC = 50 kN (trao)

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Exemplo: Cisalhamento nos Pinos

A seo normal para os pinos A, B, e C, :

2 6 2 2 m 10 491

2 mm 25

r A

M Pa 102 m 10 491 N 10 50

2 6 3

,

A P

m ed C

A fora atuante no pino C igual a fora exercida pela barra BC e est sob corte simples, logo:

No pino A, atua a fora exercida pela barra AB e este se encontra sob corte duplo, logo P=1/2 F AB :

MPa 7 . 40 m 10 491

kN 20 2 6 ,

A P

av e A

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O pino B deve ser dividido em sees para determinar aquela onde a fora cortante mxima,

kN 25

kN 15

G

E

P

P

MPa 9 . 50 m 10 491

kN 25 2 6 ,

A

P G

med B

A tenso mdia de cisalhamento no pino B :

Exemplo: Cisalhamento nos Pinos

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Exemplo: Tenso de Esmagamento

Para determinar a tenso de esmagamento no pino A (contato com a barra), usamos a rea projetada, com t = 30 mm e d = 25 mm,

MPa 3 , 53

mm 25 mm 30

kN 40

td

P c

Para determinar a tenso de esmagamento no pino A (contato com o suporte), usamos a rea projetada, t= 2x(25 mm) = 50 mm e d = 25 mm,

MPa 0 , 32

mm 25 mm 50 kN 40

td P

c