aula 1

Clculo Numrico

Zeros de Funes

Alessandro Alves SantanaUniversidade Federal de Uberlndia

Faculdade de Matemtica

11 de abril de 2015

Sumrio

1 Fundamentos 2

2 Isolamento de Razes 3

3 Refinamento 8

4 Mtodo da Bisseco 9

5 Estimativa do Nmero de Iteraes 12

6 Mtodo Iterativo Linear 13

7 Ordem de Convergncia do Mtodo Iterativo Linear 22

8 Exemplos de Aplicao do MIL 24

9 Mtodo de Newton 25

10Ordem de Convergncia do Mtodo de Newton 28

11Exemplos de Aplicao do Mtodo de Newton 29

Fundamentos Alessandro Alves Santana

1 Fundamentos

O objetivo nessa parte da disciplina consiste no estudo de mtodos de resoluo num-rica de equaes no-lineares do tipo f(x) = 0, sendo que essas funes f(x) podem serapenas contnuas ou contnuas e diferenciveis nos intervalos que contm suas solu-es. A exigncia de continuidade, diferenciabilidade, ou ambos, ir depender do mtodonumrico. importante ressaltar que os resultados que so obtidos aplicando mtodosnumricos so aproximaes das solues exatas. De um modo geral, soluo exata s possvel via mtodos analticos. O processo de resoluo numrica de uma equaof(x) = 0 passa por duas fases:

1a Fase: Isolamento das razes Consiste em localizar o intervalo que contm o zero dafuno f(x). Normalmente esse isolamento feito fazendo o grfico da funoem questo para localizar o intervalo, ou os intervalos, que a funo interceptao eixo x. Esse isolamento tambm pode ser feito analiticamente, sem construirgrficos da funo, s que esse caminho s vivel para funes mais simples.

2a Fase: Refinamento da soluo Consiste na aplicao de algum mtodo numricoconveniente, geralmente iterativo, para obter uma boa aproximao da soluoda equao. Uma observao importante que como esses mtodos so itera-tivos, necessrio utilizar critrios de parada. Em essncia, esses funcionamgerando uma seqncia de aproximaes xk que, sob determinadas condies,iro convergir para a soluo exata da equao.

Zeros de Funes 2

Isolamento de Razes Alessandro Alves Santana

2 Isolamento de Razes

Exemplo 1: f(x) = x cos(x)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

x

Zeros de Funes 3


Exemplo 2: f(x) = x2 ex

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

x

Zeros de Funes 4


Exemplo 3: f(x) = x3 7.63x2 + 17.0087x 10.990205

-15

-12.5

-10

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

y

x

Zeros de Funes 5


Exemplo 4: f(x) = 2cos(x) ex

2 g(x) = 2cos(x) e h(x) = e

x

2

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y

x

Zeros de Funes 6


Se a funo em estudo for simples, uma tcnica analtica pode ser empregada paraverificar a existncia de razes em um dado intervalo. Ela se baseia no teorema a seguir.

Teorema: Seja f(x) uma funo contnua em um intervalo [a, b]. Se f(a)f(b) < 0ento a funo dada tem pelo menos uma raiz no intervalo em questo. Se em adio aderivada dessa funo preservar o sinal, ento essa raiz nica.

Exemplo 5: Seja f(x) = x ex em [0, 1]. Note que essa funo tem f(0) = 1 ef(1) = 1 e1 > 0. Logo, f(0)f(1) = e1 1 < 0 e portanto podemos afirmar at aqui,sem fazer nenhum grfico, que essa funo tem pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1].Agora, perceba que a derivada dessa funo dada por f (x) = 1+ex, a qual positivapara qualquer x na reta real. Como a derivada preserva sempre o sinal positivo, entopodemos afirmar que essa raiz nica.

Exemplo 6: Seja f(x) = 2ex sen(2x) em [0, 4]. Note que essa funo tem f(0) = 2 ef(4) = 0.95273. Logo, f(0)f(4) = 1.9055 < 0 e portanto podemos afirmar at aqui,sem fazer nenhum grfico, que essa funo tem pelo menos uma raiz no intervalo [0, 4].A sua derivada dada por f (x) = 2ex 2cos(2x) cuja anlise do seu sinal no tosimples pela oscilao da funo seno. Para essa situao necessrio fazer o grfico.

Zeros de Funes 7

Refinamento Alessandro Alves Santana

3 Refinamento

Para tratar do processo numrico em si, necessrio antes abordar uma questo que muito importante que so os critrios de parada. Isso relevante por que os mtodosque sero estudados so iterativos, e precisam portanto de um critrio de parada, uma vezque os mesmos so processos infinitos.

Critrio de Parada 1 : Uma vez isolado o intervalo que contm a raiz, esse intervalo podeser reduzido sucessivamente at que seu comprimento fique sufi-cientemente pequeno menor que um valor , ou seja, realizar asiteraes at que o intervalo que contm fique tal que b a < ,onde [a, b] o intervalo que contm a raiz.

Critrio de Parada 2 : Uma vez isolado o intervalo que contm a raiz, realizar as itera-es at que o valor da funo f(x) fique bem pequeno, suficien-temente prximo de zero. Isso significa realizar as iteraes atque |f(x)| < onde x a aproximao da raiz e o critrio deparada.

Critrio de Parada 3 : Erro Relativo Realizar as iteraes at que |ab||a| < ou|ab||b| log(b a) log()log(2)

Exemplo 12: Supondo que o intervalo que contm a raiz dado por [a, b] = [0, 1] e apreciso utilizada = 102, temos que

k >log(b a) log()

log(2) k > log(1) log(10

2)

log(2) k > 2

log(2) k > 6.6439.

Como o valor de k (iteraes) tem que ser inteiro, segue que sero necessrias 7 iteraespara atingir a preciso solicitada.

Zeros de Funes 12

Mtodo Iterativo Linear Alessandro Alves Santana

6 Mtodo Iterativo Linear

O Mtodo Iterativo Linear (MIL) um mtodo iterativo de resoluo numrica deequaes f(x) = 0. Tem por essncia a transformao da equao f(x) = 0 em umaequao equivalente da forma x = (x), e a partir do esquema iterativo xk+1 = (xk),k = 0, 1, 2, . . . , gerar uma seqncia convergente para a soluo x da equao f(x) = 0.Note que se x soluo da equao x = (x), ento tambm soluo da equao f(x) =0. O MIL exige uma aproximao inicial x0, escolhida convenientemente (existe estratgiapara isso), para dar incio ao processo. A tcnica de obteno da equao x = (x) puramanipulao algbrica da equao f(x) = 0. Para exemplificar, considere o problema deresolver a equao x3 5x2 + 15 = 0, cujo grfico da funo f(x) dado abaixo.

Essa funo tem zeros em 1.517113095238095 [2,1], 2.403575615474795 [2, 3]e 4.113537617196433 [4, 5].Zeros de Funes 13


Exemplo 13:

x3 5x2 + 15 = 0 x(x2 5x) = 15 x = 15x2 5x xk+1 =

15

x2k 5xk.

Exemplo 14:

x3 5x2 + 15 = 0 x2(x 5) = 15 x =

15

5 x xk+1 =

15

5 xk.

Exemplo 15:

x3 5x2 + 15 = 0 x3 = 5x2 15 x = 35x2 15 xk+1 = 3

5x2k 15.

Exemplo 16:

x3 5x2 + 15 = 0 5x2 = x3 + 15 x =x3 + 15

5 xk+1 =

x3k + 15

5.

Zeros de Funes 14


Dos exemplos apresentados, temos quatro funes de iterao, as quais so:

1(x) = 15

x2 5x 2(x) =

15

5 x 3(x) =35x2 15 4(x) =

x3 + 15

5

Vamos apresentar ento uma tabela fazendo 10 iteraes com cada uma dessas funesde iterao para ver o que acontece ao aplicar o MIL para obter a raiz de f(x) no intervalo[2,1], o qual vale aproximadamente -1.517113095238095, tomando x0 = 1.5.

k 1(xk) 2(xk) 3(xk) 4(xk)

0 -1.5000000000 -1.5000000000 -1.5000000000 -1.50000000001 -1.5384615385 1.5191090506 nan 1.52479506822 -1.4911764706 2.0758712811 nan 1.92588413643 -1.5496684836 2.2648914194 nan 2.10443158474 -1.4778594739 2.3418460599 nan 2.20543663155 -1.5668470222 2.3755029022 nan 2.26835337316 -1.4578329542 2.3906862356 nan 2.30961671067 -1.5932968187 2.3976317274 nan 2.33753101398 -1.4278807632 2.4008291295 nan 2.35679397659 -1.6342989600 2.4023053803 nan 2.370264117510 -1.3834539784 2.4029878897 nan 2.3797690670

Note que nenhuma das funes de iterao utilizadas geraram uma seqncia con-vergente para a soluo da equao x3 5x2 + 15 = 0 no intervalo [2,1]. ComoZeros de Funes 15


existem infinitas manipulaes que podem serem feitas sobre a referida equao, ne-cessrio obter outras funes de iterao que garantam a convergncia para soluo -1.517113095238095.

Agora, vamos apresentar outra tabela fazendo 10 iteraes com as mesmas funes deiterao para ver o que acontece ao aplicar o MIL para obter a raiz de f(x) no intervalo[2, 3], o qual vale aproximadamente 2.403575615474795, tomando x0 = 2.5.

k 1(xk) 2(xk) 3(xk) 4(xk)

0 2.5000000000 2.5000000000 2.5000000000 2.50000000001 2.4000000000 2.4494897428 2.5328985096 2.47487373422 2.4038461538 2.4251136288 2.5752018215 2.45595609173 2.4035555556 2.4136072142 2.6284027036 2.44186978664 2.4035771115 2.4082323688 2.6935605051 2.43146891755 2.4035755103 2.4057339592 2.7709731263 2.42383762516 2.4035756292 2.4045752584 2.8599105198 2.41826462497 2.4035756204 2.4040384494 2.9585195035 2.41420880238 2.4035756210 2.4037898756 3.0639666993 2.41126458869 2.4035756210 2.4036747976 3.1727987196 2.409131259810 2.4035756210 2.4036215274 3.2814155406 2.4075875588

Para esse caso, apenas a funo de iterao 3(x) no foi til, pois no houve conver-gncia ao utiliz-la. Entre as que houve convergncia, a mais rpida foi utilizando 1(x).

Zeros de Funes 16


Para finalizar, vamos apresentar outra tabela fazendo tambm 10 iteraes, ainda comas mesmas funes de iterao, para ver o que acontece ao aplicar o MIL para obter a raizde f(x) no intervalo [4, 5], o qual vale aproximadamente 4.113537617196433, tomandox0 = 4.5.

k 1(xk) 2(xk) 3(xk) 4(xk)

0 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 4.50000000001 6.6666666667 5.4772255751 4.4182779612 4.60705979992 -1.3500000000 nan 4.3551557438 4.74941773813 -1.7497812773 nan 4.3059392916 4.94231662234 -1.2700411536 nan 4.2672757646 5.21005691565 -1.8836624220 nan 4.2367190906 5.59330663966 -1.1568275449 nan 4.2124525228 6.16420377687 -2.1060353137 nan 4.1931062512 7.06008168728 -1.0023011960 nan 4.1776343262 8.56630644909 -2.4933039550 nan 4.1652296243 11.345565884810 -0.8028652919 nan 4.1552638314 17.1780231864

Para esse ltimo caso, a convergncia garantida apenas utilizando a funo de iterao3(x).

Com tanta variao assim, dentre infinitas possibilidades, vem a seguinte pergunta:"Sob que condies tenho garantia de convergncia para o MIL ?". Existe resposta paraessa pergunta, e vem de um teorema que ser enunciado a seguir.

Zeros de Funes 17


Teorema do Mtodo Iterativo Linear: Seja x uma raiz para equao f(x) = 0, isoladaem um intervalo aberto I =]a, b[ centrado em x. Seja (x) uma funo de iterao paraequao f(x) = 0. Se

i) (x) e (x) so contnuas em I;

ii) |(x)| M < 1, x I;iii) x0 I.ento a seqncia xk gerada pelo esquema iterativo xk+1 = (xk) converge para x.

Para ilustrar, nas tabelas que foram anteriormente apresentadas, para o caso da raizno intervalo [2, 3] cujo valor aproximado 2.403575615474795, consideremos as funes deiterao 1(x) e 4(x), as quais geraram uma seqncia convergente, e a funo de itera-o 3(x), que gerou uma seqncia divergente. Essas funes de iterao tem derivadas

1(x) =

15 (2x 5)(x2 5x)2

3(x) =

10x

3 3

(5 x2 15) 4(x) =

35x2

10x3 + 15

Note que todas essas trs de funes de iterao, bem como suas derivadas, so con-tnuas no intervalo aberto ]2, 3[, satisfazendo a primeira condio do teorema do MIL. Ja no satisfeita. De fato, basta observar os grficos das derivadas dessas funes deiterao a seguir.

Zeros de Funes 18


-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

y

x

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

y

x

Na figura acima esquerda temos os grficos das derivadas da funo de iterao 1(x)(em vermelho) e 4(x) (em azul). Na figura direita temos a derivada da funo 3(x). Aconvergncia com 1(x) e 4(x) ocorreu por que as os valores das derivadas dessas duasfunes de iterao em todo intervalo [2, 3] so, em mdulo, menores que 1, satisfazendoassim a segundo item do teorema do MIL. Isso no ocorreu com a funo de iterao 4(x).Alm disso, faz-se necessrio aqui uma observao importante. A convergncia com 1(x)foi mais rpida por que os valores de suas derivadas so mais prximos de zero.

Zeros de Funes 19


Ilustrao Grfica do MIL

Os grficos abaixo ilustram o caminho percorrido pelas aproximaes ao aplicar o MILpara uma situao onde ocorre convergncia. A equao em questo x cos(x) = 0,que tem soluo no intervalo ]0, pi

2[ dada por 0.73908513321516, sendo a funo de iterao

utilizada (x) = cos(x).

Note que a funo de iterao utilizada satisfaz as duas primeiras condies do Teoremado MIL em todo intervalo aberto ]0, pi

2[ que contm a soluo. Nos dois exemplos foram

tomados duas aproximaes iniciais diferentes, a saber, x0 = 0.25 (figura esquerda)e x0 = 1.25 (figura direita). Perceba que a convergncia ocorreu em ambos os casosindependentemente da aproximao inicial no intervalo I (terceira condio do MIL).

Zeros de Funes 20


Considerando agora um outro exemplo, o grfico abaixo, esquerda, ilustra uma situa-o de divergncia ao aplicar o MIL. No caso, a equao do problema x3 5x2 + 15 = 0.Essa equao tem soluo no intervalo ] 2,1[ dada por 1.517113095238095, sendo1(x) = 15x25x a funo de iterao utilizada tomando x0 = 1.2 com aproximao ini-cial.

-4

0

0.5

y

x

direita temos o grfico da derivada de 1(x). Note que |1(x)| no menor 1 x ] 2,1[. Por isso ocorre a divergncia.

Zeros de Funes 21

Ordem de Convergncia do Mtodo Iterativo Linear Alessandro Alves Santana

7 Ordem de Convergncia do Mtodo Iterativo Linear

Definio: Seja xk uma seqncia que converge para um nmero x e seja ek = xk xo erro na k sima iterao. Se existir um nmero p > 1 e uma constante C > 0 taisque

limk

|ek+1||ek|p

= C

ento p chamado ordem de convergncia da seqncia xk e C a constante assin-ttica de erro. Se

limk

ek+1

ek= C

com 0 |C| < 1 ento a convergncia pelo menos linear.

A ordem de convergncia p de um mtodo iterativo dos fornece a velocidade de conver-gncia do esquema. Quanto mais alto por p mais rpido a seqncia xk converge para asoluo x. Da expresso do limite acima temos que |ek+1| = C|ek|p, com k +. Nessaexpresso fcil ver que quanto maior for p, mais rpido |ek+1| 0. Assim sendo, se tiver-mos dois mtodos iterativos convergentes para a soluo x de uma equao f(x) = 0, comuma mesma aproximao inicial e mesmo critrio de parada, o mtodo que ir convergirmais rpido aquele que tiver maior ordem de convergncia.

Zeros de Funes 22

Ordem de Convergncia do Mtodo Iterativo Linear Alessandro Alves Santana

Ordem de Convergncia do MIL

Seja (x) uma funo de iterao para uma equao f(x) = 0 satisfazendo todas ascondies do teorema do MIL em um intervalo I, sendo x a soluo da referida equaonesse intervalo. Partindo do erro na (k + 1)-sima iterao, temos que

xk+1 x = (xk) (x). (1)

Pelo Teorema do Valor Mdio (TVM), podemos afirmar que a cada intervalo tendo xk e xcomo extremos existe ck tal que

(ck) =

(xk) (x)xk x

(xk) (x) = (ck)(xk x). (2)

Substituindo (2) na equao (1), temos que

xk+1 x = (ck)(xk x)

ek+1 xk+1 xxk x

ek

= (ck) lim

k+ek+1

ek= lim

k+(ck) =

(x). (3)

Como C = |(x)| < 1, a expresso em (3) mostra que a ordem de convergncia do MIL pelo menos linear. Alm disso, pela expresso |ek+1| = |(x)||ek| vemos que quantomais prximo de zero por |(x)| mais rpido ser o MIL.

Zeros de Funes 23

Exemplos de Aplicao do MIL Alessandro Alves Santana

OBSERVAO IMPORTANTE

A forma geral das funes de iterao (x) (x) = x A(x)f(x) com a condio deque em x, chamado ponto fixo (ponto onde (x) = x e f(x) = 0), se tenha A(x) 6= 0.Ressalta-se que f(x) = 0 (x) = x. De fato, pois() Em x temos que (x) = xA(x)f(x). Como f(x) = 0, segue que (x) = x.() Se no ponto fixo temos que (x) = x, ento x A(x)f(x) = x e portanto

A(x)f(x) = 0. Como A(x) 6= 0, segue que f(x) = 0.

8 Exemplos de Aplicao do MIL

Exemplo 17: Obtenha duas funes de iterao para equao x2 6x + 8 = 0 quesatisfaam as condies do teorema do MIL e que permitam obter aproximaes para asduas solues da referida equao.

Exemplo 18: Faa uma anlise para resoluo numrica da equao 2x2 ex = 0 viao Mtodo Iterativo Linear.

Zeros de Funes 24

Mtodo de Newton Alessandro Alves Santana

9 Mtodo de Newton

O Mtodo de Newton um mtodo rpido, porm cobra por essa rapidez um custoadicional por exigir o clculo da derivada da funo envolvida na equao f(x) = 0. Adeduo desse mtodo pode ser feita, por exemplo, por duas formas: Determinando afuno de iterao mais rpida e pelo processo das retas tangentes. Vamos considerar oprimeiro mtodo de deduo. A anlise da ordem de convergncia do MIL foi verificado quequanto mais prximo de zero o valor de |(x)| mais rpido o mtodo. Assim sendo,para obter o mais rpido de todos, necessrio encontrar A(x) na expresso (x) =xA(x)f(x) de tal forma que (x) = 0. Calculando a derivada de (x), temos que

(x) = 1A(x)f(x)A(x)f (x). (4)

Substituindo x, soluo da equao f(x) = 0, em (4) impondo (x) = 0, segue que

1A(x)f(x)A(x)f (x) = 0 f(x)=0 1A(x)f (x) = 0 A(x) = 1f(x)

. (5)

Logo, a funo de iterao (x) com maior velocidade de convergncia

(x) = x f(x)f(x)

xk+1=(xk) xk+1 = xk f(xk)

f(xk)

. (6)

O esquema iterativo destacado em (6) define o chamado Mtodo de Newton.

Zeros de Funes 25


Vamos abordar agora o segundo mtodo de deduo. Suponha que a equao f(x) = 0tenha uma soluo x no intervalo aberto I centrado em x. Vamos supor ainda que f

(x) 6=

0 x I. Seja x0 I e P0(x0, f(x0)) o ponto do grfico de f(x). Vamos obter a funolinear r0(x) que define a reta tangente a f(x) em P0 e, em seguida, o ponto (x1, 0) que essareta intercepta o eixo x.

r0(x) = f(x0) f (x0)(x x0) r0(x1)=0 x1 = x0 f(x0)

f(x0)

. (7)

Considerando agora x1 obtido em (7) e P1(x1, f(x1)) o ponto do grfico de f(x), vamos obtera funo linear r1(x) que define a reta tangente a f(x) em P1, e em seguida encontrar oponto (x2, 0) que essa reta intercepta o eixo x.

r1(x) = f(x1) f (x1)(x x1) r1(x2)=0 x2 = x1 f(x1)

f(x1)

. (8)

Seguindo o mesmo raciocnio anterior sobre x2, iremos obter outro ponto (x3, 0), ponto quea reta r2(x) tangente a f(x) em (x2, f(x2)) intercepta o eixo x, o qual dado por

r2(x) = f(x2) f (x2)(x x2) r2(x3)=0 x3 = x2 f(x2)

f(x2)

. (9)

Generalizando o processo, iremos o obter o Mtodo de Newton definido pelo esquemaiterativo

xk+1 = xk f(xk)

f(xk)

. (10)

Zeros de Funes 26


O grfico abaixo ilustra a segunda forma de deduzir o Mtodo de Newton. Nesse exemplofoi considerado a resoluo da equao x2 ex2 = 0, O grfico em vermelho a funof(x) = x2 ex2. A partir da aproximao inicial x0 = 4.5 gerou-se uma sequnciade aproximaes xk que so as interseces das retas tangentes com o eixo x, as quaisconvergem para x = 0.7534684, soluo aproximada da equao em questo tomada comoexemplo.

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6

y

x

Zeros de Funes 27

Ordem de Convergncia do Mtodo de Newton Alessandro Alves Santana

10 Ordem de Convergncia do Mtodo de Newton

Seja x soluo da equao f(x) = 0. Continuando,

xk+1 x = (xk) (x) onde (x) = xf(x)

f(x)

. (11)

Expandindo em Srie de Taylor (x) em torno de x, temos que

xk+1 x = (x) + (x)(xk x) +(k)

2(xk x)2 (x) com k (xk, x). (12)

Como (x) = 0 no Mtodo de Newton, segue que

xk+1 x =(k)

2(xk x)2

xk+1 x(xk+1 x)2

=(k)

2 |xk+1 x||xk+1 x|2

=|(k)|

2. (13)

Passando o limite com k em ambos os membros de (13), temos que

limk

|ek+1

xk+1 x ||xk+1 x

ek

|2 = limk|(k)|

2 lim

k|ek+1||ek|2

=|(x)|

2. (14)

Portanto, pela definio de ordem de convergncia, temos que o Mtodo de Newton temordem de convergncia p = 2 ou convergncia quadrtica.

Zeros de Funes 28

Exemplos de Aplicao do Mtodo de Newton Alessandro Alves Santana

IMPORTANTE

A convergncia do Mtodo de Newton garantida por que ela foi deduzida pelo princpiodo MIL onde a velocidade de convergncia a maior possvel quando

(x) = 0, que

nesse caso tem em mdulo valor menor que 1. Assim sendo, desde que o intervalo Ique contm a soluo x da equao f(x) = 0 tenha f(x), f

(x) e f

(x) contnuas em I,

com f(x) 6= 0 x I, a convergncia garantida.

11 Exemplos de Aplicao do Mtodo de Newton

Exemplo 19: Determine as coordenadas do ponto P sobre a curva f(x) = x ln(x) maisprximo da reta x 2y+ 2 = 0 utilizando o Mtodo de Newton. Tome x0 = 2 e = 105como critrio de parada. Trabalhe com 6 casas decimais.

Exemplo 20: Determine o coeficiente na funo f(x) = 2 x2 de tal modo que area delimitada pela reta x = 0, pelas funes f(x) = 2 x2 e g(x) = cos(x) sejaigual a 0.8. Utilize no processo o mtodo de Newton. Tome como aproximao inicialx0 = 1.2 e como preciso = 106. Trabalhe com 8 casas decimais.

Zeros de Funes 29

aula 1

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