MATEMÁTICA IIIAULA 09:

POLIEDROS

EXERCÍCIOS PROPOSTOSSemestral

VOLUME 3

OSG.: 096353/15

01. O cubo tem 6 faces e 8 vértices. Cada vértice do cubo corresponde a uma face triangular do poliedro e cada face do cubo corresponde a uma face quadrada. Logo, o poliedro tem 8 faces triangulares e 6 faces quadradas.

Resposta: B

02. O icosaedro tem 20 faces e cada face transformou-se em 4. Assim, a geodésica tem 20·4 = 80 faces, todas triangulares. Daí, o número de arestas (A) é tal que:2A = 80·3A = 120

Resposta: B

03. I. F = F

4 = 30

II. 2A = 30·4 → A = 60 III. V + F = A + 2 V + 30 = 60 + 2 V = 32

Resposta: A

04. Dados: F3 = 8 e F

4 = 18.

Devemos ter:I. F = 8 + 18 → F = 26II. 2A = 8·3 + 18·4 → 2A = 24 + 72 → A = 48III. V + F = A + 2 V + 26 = 48 + 2 V = 24IV. Os vértices são idênticos, então, de cada vértice, parte um mesmo número m de arestas. Daí: Dobro do número de arestas = V·m = 2A 24·m = 96 m = 4 Logo, o rombicuboctaedro apresenta 24 vértices, dos quais partem, de cada um, 4 arestas.

Resposta: B

05. Sendo F5 = x e F

6 = y os números de faces pentagonais e hexagonais, respectivamente, devemos ter:

I. V = 60 e F = x + yII. Cada vértice tem 3 arestas (triedros ou ângulos triédricos). Assim, obtemos: Dobro do número de arestas = 2A = 3.V = F

5·5 + F

6·6

2A = 3·60 = x·5 + y·6 Daí: • 2A = 3·60 → A = 90 • x·5 + y·6 = 3·60 → 5x + 6y = 180III. Relação de Euler: V + F = A + 2 60 + F = 90 + 2 F = 32 → x + y = 32

IV. Resolvendo o sistema 5 6 18032

x yx y

+ =+ ={ , obtemos:

x = 12 (faces pentagonais) e y = 20 (faces hexagonais)

Resposta: A

06. I. O tetraedro regular (Piramix) tem quatro faces e em cada face há 9 triângulos equiláteros congruentes. Daí, a

L/3

L/3

L

L/3

superfície do Piramix corresponde à área de 4·9 = 36 triângulos equiláteros; II. Ao retirar, em cada um dos 4 vértices do Piramix, uma pirâmide de aresta 1/3 da aresta do Piramix, cada

face inicial perde três triângulos, fi cando apenas com 6 triângulos equiláteros. Mas, em cada vértice, surge um novo triângulo. Assim, a superfície do sólido corresponde à área de 4·6 + 4 = 28 triângulos

equiláteros.Logo, sendo S a área de um dos triângulos equiláteros, temos: Á ó

Á

rea do s lido

rea do Piramix= =

285

365

7

9

Resposta: C

OSG.: 096353/15

Resolução – Matemática III

07. Ao retirar uma pirâmide de cada vértice, as faces, que eram todas, inicialmente, triangulares, viram faces hexagonais; e em cada vértice surge uma face pentagonal. Daí, temos:Face do icosaedro: Face da bola (não infl ada)

Corte do vértice (’bico’pirâmide).

Fica no lugar dovértice.

I. 20 faces triangulares no icosaedro → 20 faces hexagonais no polígono da bola (F6 = 20)

II. 12 vértices no icosaedro → 12 faces pentagonais no polígono da bola (F5 = 12)

III. F = 20 + 12 → F = 32IV. 2A = 20·6 + 12·5 → A = 90 Para cada aresta, gastam-se 7 cm de linha, então, para 90 arestas, gastam-se 90 × 7 cm = 630 cm = 6,3 m

Resposta: B

08. (Os ângulos poliédricos estão associados aos vértices do poliedro, de modo que se o ângulo é constituído de n semirretas é porque do respectivo vértice do poliedro partem n arestas.)Dados: V

4 = 3, V

5 = 6 e V

8 = 4.

Daí, devemos ter:I. V = 3 + 6 + 4 → V = 13II. 2A = 3·4 + 6·5 + 4·8 → 2A = 12 + 30 + 32 → A = 37III. Relação de Euler: V + F = A + 2 13 + F = 37 + 2 → F = 26

Resposta: A

09. Temos:

I. Soma dos ângulos das faces = (V – 2)·360° = 2880° → V – 2 = 2880

360

°°

→ V – 2 = 8 → V = 10II. Relação de Euler: V + F = A + 2 10 + F = 20 + 2 → F = 12

III. Sendo F3 = x e F

4 = y, obtemos:

F x yA x y

x yx y

= + == ⋅ + ⋅ = ⋅{ − − = −

+ ={122 3 4 2 20

3 3 363 4 40

~

Assim, y = 4 (quatro faces quadrangulares) e x = 8 (oito faces triangulares). Portanto, o poliedro tem 10 vértices e 12 faces, sendo 8 triangulares e 4 quadrangulares.

Resposta: A

10. Temos que:I. A = V + 0,50V → A = 1,5VII. V + A + F = 14 → V + F = 14 – AIII. Relação de Euler: V + F = A + 2 → 14 – A = A + 2 → 12 = 2A → A = 6IV. A = 1,5V → 6 = 1,5V → 60 = 15V → V = 4V. V + A + F = 14 → 4 + 6 + F = 14 → F = 4

Logo, F

A= =

4

6

2

3

Resposta: D

naldo – Rev.: RR09635315-pro-aula 09-Poliedros