MATEMÁTICA IIAULA 09: FUNÇÃO DO 2º GRAU

(QUADRÁTICA) – 1ª PARTE

EXERCÍCIOS PROPOSTOSANUALVOLUME 2

OSG.: 091239/15

01. Sejam p → preço do ingresso x → número de pessoasAssim, a receita R(x) é dada por:R(x) = p · x ⇒ R(x) = (800 – 4x) · x ⇒ R(x) = – 4x2 + 800x

R xa

( )[ ] = − = −− ⋅ −( ) ⋅⋅ −( )m xá

∆4

800 4 4 0

4 4

2

R x( )[ ] =m x á 40000 00,

Resposta: C

02. 1º) Concavidade da parábola p/ baixo ⇒ a < 02º) Parábola passa pela origem ⇒ C = 0

3º) XV > 0 → −b

a2 como a < 0, temos que b > 0

Resposta: E

03. Custo ⇒ 30 (90 – k)Venda ⇒ k (90 – k)L(k) = k (90 – k) – 30 (90 – k) ⇒ L(k) = 90k – 2700 – k2 + 30k

– k2 + 120k – 2700 = 900L(k) = – k2 + 120k – 2700L(k) = 900

⇒

⇒ k2 – 120k + 3600 = 0 ⇒ k = 60∴ no objetos: (90 – k) = 90 – 60 = 30

Resposta: B

04. Como as raízes são – 2 e 1 temos pela forma fatorada que:y = a (x – (–2)) · (x – 1) ⇒ y = a (x + 2) · (x – 1)mas f(0) = –4 ⇒ – 4 = a · (0 + 2) · (0 + 1) ⇒ a = 2

Logo?

f(x) = 2 · (x + 2) (x – 1) ⇒ f(x) = 2x2 + 2x – 4

Resposta: D

05. Do enunciado, temos:v = (100 + x) · (400 – 4x)

v = 40000 – 4x2

Resposta: B

06. f(x) = – x2 + 2x∆ = 22 – 4 · – 1 · 0 = 4

xxx

xb

a

ya

v

v

= − ±⋅ −

= ± ⇒ =={

= − = −⋅ −

=

= − = −⋅ −

=

2 2

2 11 1

20

2

2

2 11

4

4

4 11

’”

*

∆

Logo: V (1,1)

���

A (a, 0)B (a;– a2 + 2a)C (2 – a; –a2 + 2a)D (2 – a; 0)

AD BC aAB CD a a

= = −= = − +

2 222

OSG.: 091239/15

Resolução – Matemática II

Logo: a2 – 4a + 2 = 0∆ = –42 – 4 · 1 · 2 = 16 – 8 = 8

a

aa

a

=− −( ) ±

= ± ⇒ = + > ⇒= −

4 2 2

2

2 22 2 1

2 2

’

”

Não convém

Então:

AB BC CD AD

AB BC CD AD

= = = = − ⋅ −= = = = − − = −

2 2 2 2

2 1 2 2 2 2 1

Outra solução:Note que o eixo de simetria do gráfi co de f(x) = – x2 + 2x é a reta vertical x = 1. Sendo L o lado do quadrado ABCD, temos:

CL

L f x

f xL L

L

12

12

2 12

1

2

+

∈

= − +

+ ⋅ +

=

− +

; ( )

( )

Logo:

LLL

L

LL L

L

22 1

2

12

2

12

2 1

2

2

2

= − ⋅ +

− +

= − −

+

= ⇒ ++ =

= − ⇒ = ⋅ −

L

LL

22

22 1 2 2 1( )

Resposta: E

07. L (x) = 100 · (10 – x) · (x – 2)

1º) Raízes:

100 · (10 – x) · (x – 2) = 0 → − = → =− = → ={10 0 10

2 0 2x x

x x2º) Análise do gráfi co:

x

Lmáxi

= yV

L(x)

0 2 xy

10

3º)

x

x xV = + = + =1 2

2

2 10

26

4º) Lmáx

= 100 (10 – xV) · (x

V – 2)

Lmáx

= 100 (10 – 6) · (6 – 2)

Lmáx

= 100 · 4 · 4 = 1600 (O que torna a alternativa D falsa)

Verifi que que o lucro é positivo para valores de x entre 2 e 10.

Resposta: E

08. Temos que:I) Para a = 0 e b = 0, f(x) = c, cujo gráfi co é uma reta paralela ao eixo x, ou sobre o eixo x, se c = 0;II) Para a = 0 e b ≠ 0, f(x) = bx + c, cujo gráfi co é uma reta crescente ou decrescente.III) Para a ≠ 0, f(x) = ax2 + bx + c, cujo gráfi co é uma parábola. Em qualquer dos casos, f(0) = c, ou seja, o par (0,c) pertence a função;

e (0,c) fi ca sobre o eixo das ordenadas (eixo y).

Resposta: C

OSG.: 091239/15

Resolução – Matemática II

09. Sejam t(x) → Função “linha do telhado” p(x) → Função “porta”

De acordo com o desenho fornecido no encunciado, podemos construir os gráfi cos de t(x) e p(x)

y

x

t(x)

p(x)

2

3

2–1 1

1

–2

1o. Obtendo t(x)

t(x) = ax + b ⇒ t(x) = ax + 3 (–2, 1) ∈ t(x)

1 = a · (–2) + 3 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1.

Logo:

t(x) = x + 3

2o. Obtendo p(x)

p(x) = a (x – x1) · (x – x

2) ⇒ p(x) = a · (x + 1) · (x – 1)

(0, 2) ∈ p(x) 2 = a · (0 + 1) · (0 – 1) ⇒ a = –2;

Logo:

p(x) = –2(x + 1) · (x – 1) ⇒ p(x) = –2(x2 – 1)

3o. A menor ripa vertical r(x) ocorre quando t(x) – p(x) for mínimo, assim: r(x) = t(x) – p(x) = x + 3 – [–2(x2 – 1)] r(x) = x + 3 + 2x2 – 2 ⇒ r(x) = 2x2 + x + 1

[r(x)]mín

= − = = =∆4

7

80 875 87 5

am cm, ,

Resposta: E

10. Pelo ponto pode e deve haver uma vertical que o torna um ponto de simetria. Logo, o tempo transcorrido para voltar ao início das observações = 2 · 2,5 = 5 dias.

2,5

H H

Resposta: B

Cl@udi@: 14/08/15 Rev.: N.S09123915_pro_Aula 09 - Função do 2º Grau (Quadrática) – 1ª Parte