aula 06 - diferenciaÇÃo e suas propriedades
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Aula 06Diferenciação e suas Propriedades
Objetivos da Aula
• Estudar as propriedades das derivadas, afim de evitar
erros na operação de funções diferenciáveis;
• Aplicar as regras de derivadas para resolver problemas na
área administrativa;
• Favorecer o desenvolvimento da capacidade de interpretar
e resolver problemas, relacionando o conteúdo à prática
profissional.
Derivada das Funções Trigonométricas
Derivada da função seno
Se f(x) = sen x, então f’(x) = cos x.
Sabemos que sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a.
Logo o sen (x + h) = sen x . cos h + sen h . cos x, desta forma temos:
( ) ( ) ( )h
xfhxfxf −+=→0h
lim'
( ) ( )h
senxhxsenxf −+=→0h
lim'
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Derivada da Função Coseno
Se f(x) = cos x, então f’(x) = -sen x.
De forma análoga a demonstração anterior podemos encontrar a
derivada da função coseno.
Derivada das demais Funções Trigonométricas
Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do
seno e cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar
suas derivadas.
De fato, usamos a regra do quociente, obtemos
( )h
senxsenhxhsenxxf −⋅+⋅=→
coscoslim' 0h
( )
⋅+−⋅=
→ hsenhx
hsenxhsenxxf
0h
coscoslim'
( )
+
−⋅=
→ hsenhxhsenxxf cos1coslim'
h
0h
( )hsenhx
hhsenxxf
0h0h0h0h
→→→→
⋅+−⋅= limcoslim1coslimlim'
( ) =⋅+⋅= 1cos0' xsenxxf xcos
0 1
se xxsenxtgy
cos
==, então y’ = sec 2 x.
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Similarmente, encontramos:
Propriedades Operatórias das Derivadas
Derivada do Produto de Funções ou Regra do Produto
A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é dada pela
seguinte regra:
Exemplos:
1. Determine a derivada da função f(x) = (2x 2 - 1) . (x 3 + 3).
Fazendo pela regra do produto teremos:
( )x
xsenxsenxxy 2cos −⋅−⋅= coscos'
xsenxy 2cos
22cos' +=
==x
y 2cos 1' .xec 2s
Se y = cotg x então y’ = cosec 2 x; Se y = sec x então y’ = sec x . tg x, e
Se y = cosec x então y’ = -cosec x . cotg x.
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfdxd ''≠
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2. Diferencie a função
Solução 1
Usando a regra do produto, temos
Solução 2
Se primeiro usarmos as leis dos expoentes para reescrever f(t), então
poderemos prosseguir diretamente sem usar a Regra do Produto.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )123312' 2332 −+++−= xdxdxx
dxdxxf
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxf 43312' 322 ⋅++⋅−=
( ) xxxxxf 12436' 424 ++−=
( ) xxxxf 12310' 24 +−=
( ) ( )12310' 3 +−⋅= xxxxf
( ) ( )tttf −⋅= 1
( ) ( ) ( ) tdtdtt
dtdttf −+−= 11'
( ) ( ) ( ) 2/1
2111' −⋅−+−⋅= ttttf
( ) =⋅−+−=ttttf
21'
tt
⋅−
231
( ) 2/32/1 ttttttf −=⋅−=
( ) 2/12/1
23
21' tttf −= −
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que é igual à resposta dada na solução 1.
Este exemplo mostra que, algumas vezes, é mais fácil simplificar um
produto de funções do que usar a Regra do Produto. Entretanto,
existem problemas que a Regra do Produto é o único método
possível.
Derivada do Quociente de Funções ou Regra do Quociente
Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis. Se fizermos previamente
a conjectura que a função quociente F = f /g é diferenciável, então não
é difícil achar uma fórmula para F’ em termos de f’ e g’.
Uma vez que F(x) = f(x)/g(x), podemos escrever f(x) = F(x)g(x) e aplicar
a Regra do Produto:
Resolvendo essa equação para F’(x), obtemos
Se f e g forem diferenciáveis, então
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xFxgxgxFxf ''' +=
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )xg
xgxgxfxf
xgxgxFxfxF
'''''
−=−=
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2
''xg
xgxfxfxg −=
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2
'''
xgxgxfxfxg
xgxf −=
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Para ajudar a lembrar esta expressão, observe que ela tem a seguinte
forma:
Atenção:
A derivada do quociente de duas funções não é dada pelo quociente
das derivadas das funções; isto é, em geral
Exemplos:
1. Se f(x) = x 3 e g(x) = x 2, então
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ]2 xg
xgdxdxfxf
dxdxg
xgxf
dxd −
=
( )( )
xgxf
dxd
( ) ( )
rdenominado do Quadradordenominado
do Derivada Numerador
numeradordo Derivada
rDenominado
−
=
( )( )
( )( )xgxf
xgxf
dxd
''≠
( )( )
( ) ( )===
x
dxd
xx
dxd
xgxf
dxd
2
3
1
que não é o mesmo que
( )( )
( )( )
===xx
xdxd
xdxd
xgxf
23
'' 2
2
3
x23
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2. Determine f’(x) para que .
Usando a Regra do Quociente, obtemos
Derivada de Uma Função Composta ou Regra da Cadeia
Agora, vamos introduzir mais uma regra de diferenciação, a chamada
regra da cadeia. Quando usada conjuntamente com as regras de
diferenciação já vistas por nós, a Regra da Cadeia nos permite ampliar
consideravelmente a classe de funções que poderemos diferenciar.
Suponha que lhe foi pedido para diferenciar a função
Observe que F é uma função composta. De fato, se tomarmos
e seja , então poderemos
escrever y = F (x) = f (g(x)), isto é F = f o g (lê – se f bola g). Sabemos
como diferenciar ambos, f e g, então seria proveitoso ter uma regra
que nos dissesse como achar a derivada de ‘’F = f o g’’ em termos das
derivadas de f e g.
( )42 −
=xxxf
( )( ) ( ) ( )
( )242
4242'
−
−−−=
x
xdxdxx
dxdx
xf
( ) ( ) ( ) ( )( )242
2142'−
⋅−⋅−=x
xxxf
( )( )
=−
−−= 242242'
xxxxf
( )2424−
−x
( ) 12 += xxF
( ) uufy == ( ) 12 +== xxgu
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Isso resulta que a derivada da função composta f o g é o produto
das derivadas de f e g. Esse fato é uma das importantes regras
de diferenciação, chamada Regra da Cadeia. Parece plausível
interpretarmos derivadas como taxa de variação.
Considere du / dx como a taxa de variação de u em relação a x, dy /
du como a taxa de variação de y em relação a u, e dy / dx como a taxa
de variação de y em relação a x. Se u variar duas vezes mais rápido do
que x e y três vezes mais rápido do que u, então parece razoável que y
varia seis vezes mais rápido do que x, e assim esperamos que:
TEOREMA PARA A REGRA DA CADEIA
Se f e g forem diferenciáveis e F = f o g for a função composta definida
por F(x) = f (g(x)), então F é diferenciável de F’ é dada pelo produto
F’(x) = f’(g(x)).g’(x)
Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) forem funções diferenciáveis,
então
Seja ∆u a variação de u correspondente à variação de ∆x em x, isto é:
∆u = g(x + Dx) – g(x)
Então, a variação correspondente em y é
∆y = f(u + Du) – f(u)
dxdu
dudy
dxdy =
dxdu
dudy
dxdy =
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Assim,
A única falha nesse raciocínio é que em [ 1 ] pode acontecer que
∆u = 0 (mesmo quando ∆x ≠ 0) e, obviamente, não podemos dividir
por 0 (zero). No entanto, esse raciocínio, no mínimo, sugere que a
Regra da Cadeia é verdadeira.
A Regra da Cadeia pode ser escrita também na notação linha
(f o g)’(x) = f’ (g(x)).g’ (x) [ 2 ]
ou, se y = f(u) u = g(x), na notação Leibniz:
[3]
xy
dxdy
x ∆∆=
→∆ 0lim
xu
uy
dxdy
x ∆∆⋅
∆∆=
→∆ 0lim
[ 1 ]
xu
uy
dxdy
xx ∆∆⋅
∆∆=
→∆→∆ 00limlim
xu
uy
dxdy
xu ∆∆⋅
∆∆=
→∆→∆ 00limlim
(Note que ∆u → 0 quando ∆x → 0, uma
vez que g é contínua)
dxdu
dudy
dxdy =
dxdu
dudy
dxdy =
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A equação [ 3 ] é fácil de lembrar, pois se dy / du e du / dx forem
quocientes, então devemos calcular du. Lembre-se, entretanto, de que
du não foi definida, e du / dx não deveria ser tido como um quociente
atual.
Exemplos:
1. Encontre F’ (x) se
Solução 1
(usando a equação [ 2 ]): Como vimos no início desta aula, expressamos
F como - F(x) = (f o g)(x) = f(g(x)), onde f (u) = e g(x) = x 2 + 1.
Uma vez que
Solução 2
(usando a equação [ 3 ]): Se tomarmos u = x 2 + 1 e , então
( ) 12 += xxF
u
( ) ( ) xxgu
uuf 2'2
121' 2/1 === − e
temos ( ) ( )( ) ( )xgxgfxF ''' ⋅=
( ) =⋅+
= xx
xF 212
1'2 12 +x
x
uy =
( ) ( )xudx
dududyxF 2
21' ⋅==
( ) ( )=⋅+
= xx
xF 212
1'2 12 +x
x
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Quando usamos a fórmula [ 3 ], devemos ter em mente que dy / dx
refere-se à derivada de y quando y é tida como uma função de x
(chamada de derivada de y em relação a x), ao passo de que dy / du
refere-se à derivada de y quando y é considerada como uma função
de u (a derivada de y em relação a u). Assim, no Exemplo 1 y pode ser
considerada como uma função de x ( ) e também como
uma função de u ( ). Note que
Nota:
Ao usarmos a Regra da cadeia trabalhamos de fora para dentro. A
fórmula 2 diz que diferenciamos a função de fora f [na função de dentro
g(x)] e então multiplicamos pela derivada da função de dentro.
(�)�(� )� (�)�(� )� (�)�
de ntrodefunç ã oda
de riva da
de ntrodefunç ã ona
c a lc ula da
foradefunç ã oda
de riva da
de ntrodefunç ã ona
c a lc ula dae xte rnafunç ã o
' xgxgfxgfdxd '⋅�=�
Exemplos:
1. Diferencie:
a) y = sen (x 2)
Solução
Se y = sen (x 2), então a função de fora é a função seno, e a função de
dentro é a função quadrada; logo, a Regra da Cadeia dá
(� )� (� )�
de ntrodefunç ã oda
de riva da
de ntrodefunç ã ona
c a lc ula da
foradefunç ã oda
de riva da
de ntrodefunç ã ona
c a lc ula dae xte rnafunç ã o
xxx 22 2cos ⋅�=�=� sendxd
dxd
12 += xyuy =
( ) ( )u
ufdudy
x
xxFdxdy
21'
1'
2==
+== enquanto
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b) y = sen 2 x
Solução
Note que sen 2 x = (sen x) 2. Aqui a função de fora é a função quadrada,
e a função de dentro é a função seno. Então,
(� )� (� )�
de ntrodefunç ã oda
de riva da
de ntrodefunç ã ona
c a lc ula da
foradefunç ã oda
de riva dainte rnafunç ã o
x2 xsenxsendxd
dxd cos2 ⋅�⋅�=�=�
A resposta pode ser deixada como 2 sen x cos x ou sen 2x (pela
identidade trigonométrica conhecida como fórmula do ângulo
duplo).
No Exemplo (a) combinamos a Regra da Cadeia com a regra para
diferenciar a função seno. Em geral, se y = sen u, onde u é uma função
diferenciável de x, então, pela Regra da Cadeia,
Todas as fórmulas para diferenciar funções trigonométricas podem
ser combinadas com a Regra da Cadeia.
Nota:
Agora veremos como se apresentam algumas derivadas que envolvem
funções trigonométricas:
( )2cos2 xx =
dxduu
dxdu
dudy
dxdy
cos==
Assim
( )dxduuusen
dxd
cos==
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• A derivada de (sen x) nos leva ao (cos x)
• A derivada de (cos x) nos leva ao (-sen x)
• A derivada de (-sen x) nos leva ao (-cos x)
• A derivada se (-cos x) nos leva ao (sen x)
Derivada da Potência Combinada com a Regra da Cadeia
Vamos explicitar o caso especial da Regra da Cadeia, onde a função de
fora f é uma função potência. Se y = [g(x)] n, então podemos escrever
y = f(u) = u n, onde u = g(x). Usando a Regra da Cadeia e então a regra
da Potência, obteremos
TEOREMA PARA A REGRA DA POTÊNCIA COMBINADA COM A REGRA DA CADEIA
Se n for qualquer número u = g(x) for diferenciável, então
Exemplos:
a) Diferencie y = (x 3 -1) 100.
( )[ ] ( )xgxgndxdunu
dxdu
dudy
dxdy '1-n 1n === −
( )dxdunuu
dxd 1-nn =
Alternativamente, ( )[ ] ( )[ ] ( )xgxgnxg
dxd '⋅= 1-n n
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Solução
Tomando u = g(x) = x 3 -1 e n = 100 na forma mostrada acima, temos
b) Encontre f’(x) se
Solução
c) Encontre a derivada da função
Solução
Combinando a Regra da Potência, da Cadeia e Quociente, obtemos
( ) ( ) ( )111001 39931003 −−=−= xdxdxx
dxd
dxdy
( ) =⋅−= 2993 31100 xxdxdy ( )9932 1300 −xx
( )3 2 1
1'++
=xx
xf
Primeiro reescreva ( ) ( )-1/31: 2 ++= xxxff . Assim
( ) ( ) ( )1131' 22 ++++−= xx
dxdxxxf 4/3-
( ) ( ) ( )12131' 2 +++−= xxxxf 4/3-
( )9
122
+−=tttg
( )
+−
+−=
122
1229'
8
tt
dtd
tttg
( ) ( ) ( )( )
=+
−−⋅+
+−= 2
8
1222112
1229'
ttt
tttg ( )
( )10
8
12245
+−
tt
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EXEMPLO DE APLICAÇÃO
O número de sócios de uma academia de ginástica aberta há algumas
semanas é dado aproximadamente pela função
N(t) = 100(64 + 4t) 2/3 (0 ≤ t ≤ 52)
onde N(t) expressa o número de sócios no início da semana t.
a) Determine N’ (t).
b) Com que rapidez o número de sócios da academia estava
aumentando inicialmente (t = 0)?
c) Com que rapidez o número de sócios da academia estava
aumentando no início da 40ª semana?
d) Qual era o número de sócios quando a academia foi aberta? E
no início da 40ª semana?
a) Usando a regra geral da potência obtemos
]
( ) ( )[ ]2/3tdtdtN 464100' +=
( ) ( )2/3tdtdtN 464100' +=
( ) ( ) ( )tdtdttN 464464
32100' ++= 1/3-
( ) ( ) ( )=⋅+= 44643
200' 1/3-ttN( )1/3t4643
800+
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b) A razão segundo a qual o número de sócios estava aumentando
quando a academia foi aberta, é dada por
ou seja, aproximadamente 67 pessoas por semana.
c) A razão segundo a qual o número de sócios estava aumentando no
início da 40ª semana, é dado por
ou seja aproximadamente 44 pessoas por semana.
d) O número de sócios quando a academia foi aberta é dado por
que é de aproximadamente 1600 pessoas. O número de sócios no
início da 40ª semana é dado por
isto é, aproximadamente 3688 pessoas
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:
Thomson, 2001.
LEITHOLD, L. O. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São
Paulo: Harbra, 1988.
FLAMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. São
Paulo: Pearson Education do Brasil, 1992
( )( )
≈= 3/16438000'N 7,66
( )( )
≈+
= 3/116064380040'N
( ) ( ) ( )=== 16100641000 2/3N 1600
( ) ( ) ≈+= 2/31606410040N 3,3688
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STEWART, James. Cálculo Volume I. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2003