aula 06 - diferenciaÇÃo e suas propriedades

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Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 36 Aula 06 Diferenciação e suas Propriedades Objetivos da Aula Estudar as propriedades das derivadas, afim de evitar erros na operação de funções diferenciáveis; Aplicar as regras de derivadas para resolver problemas na área administrativa; Favorecer o desenvolvimento da capacidade de interpretar e resolver problemas, relacionando o conteúdo à prática profissional. Derivada das Funções Trigonométricas Derivada da função seno Se f(x) = sen x, então f’(x) = cos x. Sabemos que sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a. Logo o sen (x + h) = sen x . cos h + sen h . cos x, desta forma temos: () ( ) () h x f h x f x f + = 0 h lim ' () ( ) h senx h x sen x f + = 0 h lim '

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Page 1: Aula 06 - DIFERENCIAÇÃO E SUAS PROPRIEDADES

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Aula 06Diferenciação e suas Propriedades

Objetivos da Aula

• Estudar as propriedades das derivadas, afim de evitar

erros na operação de funções diferenciáveis;

• Aplicar as regras de derivadas para resolver problemas na

área administrativa;

• Favorecer o desenvolvimento da capacidade de interpretar

e resolver problemas, relacionando o conteúdo à prática

profissional.

Derivada das Funções Trigonométricas

Derivada da função seno

Se f(x) = sen x, então f’(x) = cos x.

Sabemos que sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a.

Logo o sen (x + h) = sen x . cos h + sen h . cos x, desta forma temos:

( ) ( ) ( )h

xfhxfxf −+=→0h

lim'

( ) ( )h

senxhxsenxf −+=→0h

lim'

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Derivada da Função Coseno

Se f(x) = cos x, então f’(x) = -sen x.

De forma análoga a demonstração anterior podemos encontrar a

derivada da função coseno.

Derivada das demais Funções Trigonométricas

Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do

seno e cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar

suas derivadas.

De fato, usamos a regra do quociente, obtemos

( )h

senxsenhxhsenxxf −⋅+⋅=→

coscoslim' 0h

( )

⋅+−⋅=

→ hsenhx

hsenxhsenxxf

0h

coscoslim'

( )

+

−⋅=

→ hsenhxhsenxxf cos1coslim'

h

0h

( )hsenhx

hhsenxxf

0h0h0h0h

→→→→

⋅+−⋅= limcoslim1coslimlim'

( ) =⋅+⋅= 1cos0' xsenxxf xcos

0 1

se xxsenxtgy

cos

==, então y’ = sec 2 x.

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Similarmente, encontramos:

Propriedades Operatórias das Derivadas

Derivada do Produto de Funções ou Regra do Produto

A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é dada pela

seguinte regra:

Exemplos:

1. Determine a derivada da função f(x) = (2x 2 - 1) . (x 3 + 3).

Fazendo pela regra do produto teremos:

( )x

xsenxsenxxy 2cos −⋅−⋅= coscos'

xsenxy 2cos

22cos' +=

==x

y 2cos 1' .xec 2s

Se y = cotg x então y’ = cosec 2 x; Se y = sec x então y’ = sec x . tg x, e

Se y = cosec x então y’ = -cosec x . cotg x.

( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfdxd ''≠

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2. Diferencie a função

Solução 1

Usando a regra do produto, temos

Solução 2

Se primeiro usarmos as leis dos expoentes para reescrever f(t), então

poderemos prosseguir diretamente sem usar a Regra do Produto.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )123312' 2332 −+++−= xdxdxx

dxdxxf

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxf 43312' 322 ⋅++⋅−=

( ) xxxxxf 12436' 424 ++−=

( ) xxxxf 12310' 24 +−=

( ) ( )12310' 3 +−⋅= xxxxf

( ) ( )tttf −⋅= 1

( ) ( ) ( ) tdtdtt

dtdttf −+−= 11'

( ) ( ) ( ) 2/1

2111' −⋅−+−⋅= ttttf

( ) =⋅−+−=ttttf

21'

tt

⋅−

231

( ) 2/32/1 ttttttf −=⋅−=

( ) 2/12/1

23

21' tttf −= −

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que é igual à resposta dada na solução 1.

Este exemplo mostra que, algumas vezes, é mais fácil simplificar um

produto de funções do que usar a Regra do Produto. Entretanto,

existem problemas que a Regra do Produto é o único método

possível.

Derivada do Quociente de Funções ou Regra do Quociente

Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis. Se fizermos previamente

a conjectura que a função quociente F = f /g é diferenciável, então não

é difícil achar uma fórmula para F’ em termos de f’ e g’.

Uma vez que F(x) = f(x)/g(x), podemos escrever f(x) = F(x)g(x) e aplicar

a Regra do Produto:

Resolvendo essa equação para F’(x), obtemos

Se f e g forem diferenciáveis, então

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xFxgxgxFxf ''' +=

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )xg

xgxgxfxf

xgxgxFxfxF

'''''

−=−=

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2

''xg

xgxfxfxg −=

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2

'''

xgxgxfxfxg

xgxf −=

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Para ajudar a lembrar esta expressão, observe que ela tem a seguinte

forma:

Atenção:

A derivada do quociente de duas funções não é dada pelo quociente

das derivadas das funções; isto é, em geral

Exemplos:

1. Se f(x) = x 3 e g(x) = x 2, então

( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ]2 xg

xgdxdxfxf

dxdxg

xgxf

dxd −

=

( )( )

xgxf

dxd

( ) ( )

rdenominado do Quadradordenominado

do Derivada Numerador

numeradordo Derivada

rDenominado

=

( )( )

( )( )xgxf

xgxf

dxd

''≠

( )( )

( ) ( )===

x

dxd

xx

dxd

xgxf

dxd

2

3

1

que não é o mesmo que

( )( )

( )( )

===xx

xdxd

xdxd

xgxf

23

'' 2

2

3

x23

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2. Determine f’(x) para que .

Usando a Regra do Quociente, obtemos

Derivada de Uma Função Composta ou Regra da Cadeia

Agora, vamos introduzir mais uma regra de diferenciação, a chamada

regra da cadeia. Quando usada conjuntamente com as regras de

diferenciação já vistas por nós, a Regra da Cadeia nos permite ampliar

consideravelmente a classe de funções que poderemos diferenciar.

Suponha que lhe foi pedido para diferenciar a função

Observe que F é uma função composta. De fato, se tomarmos

e seja , então poderemos

escrever y = F (x) = f (g(x)), isto é F = f o g (lê – se f bola g). Sabemos

como diferenciar ambos, f e g, então seria proveitoso ter uma regra

que nos dissesse como achar a derivada de ‘’F = f o g’’ em termos das

derivadas de f e g.

( )42 −

=xxxf

( )( ) ( ) ( )

( )242

4242'

−−−=

x

xdxdxx

dxdx

xf

( ) ( ) ( ) ( )( )242

2142'−

⋅−⋅−=x

xxxf

( )( )

=−

−−= 242242'

xxxxf

( )2424−

−x

( ) 12 += xxF

( ) uufy == ( ) 12 +== xxgu

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Isso resulta que a derivada da função composta f o g é o produto

das derivadas de f e g. Esse fato é uma das importantes regras

de diferenciação, chamada Regra da Cadeia. Parece plausível

interpretarmos derivadas como taxa de variação.

Considere du / dx como a taxa de variação de u em relação a x, dy /

du como a taxa de variação de y em relação a u, e dy / dx como a taxa

de variação de y em relação a x. Se u variar duas vezes mais rápido do

que x e y três vezes mais rápido do que u, então parece razoável que y

varia seis vezes mais rápido do que x, e assim esperamos que:

TEOREMA PARA A REGRA DA CADEIA

Se f e g forem diferenciáveis e F = f o g for a função composta definida

por F(x) = f (g(x)), então F é diferenciável de F’ é dada pelo produto

F’(x) = f’(g(x)).g’(x)

Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) forem funções diferenciáveis,

então

Seja ∆u a variação de u correspondente à variação de ∆x em x, isto é:

∆u = g(x + Dx) – g(x)

Então, a variação correspondente em y é

∆y = f(u + Du) – f(u)

dxdu

dudy

dxdy =

dxdu

dudy

dxdy =

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Assim,

A única falha nesse raciocínio é que em [ 1 ] pode acontecer que

∆u = 0 (mesmo quando ∆x ≠ 0) e, obviamente, não podemos dividir

por 0 (zero). No entanto, esse raciocínio, no mínimo, sugere que a

Regra da Cadeia é verdadeira.

A Regra da Cadeia pode ser escrita também na notação linha

(f o g)’(x) = f’ (g(x)).g’ (x) [ 2 ]

ou, se y = f(u) u = g(x), na notação Leibniz:

[3]

xy

dxdy

x ∆∆=

→∆ 0lim

xu

uy

dxdy

x ∆∆⋅

∆∆=

→∆ 0lim

[ 1 ]

xu

uy

dxdy

xx ∆∆⋅

∆∆=

→∆→∆ 00limlim

xu

uy

dxdy

xu ∆∆⋅

∆∆=

→∆→∆ 00limlim

(Note que ∆u → 0 quando ∆x → 0, uma

vez que g é contínua)

dxdu

dudy

dxdy =

dxdu

dudy

dxdy =

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A equação [ 3 ] é fácil de lembrar, pois se dy / du e du / dx forem

quocientes, então devemos calcular du. Lembre-se, entretanto, de que

du não foi definida, e du / dx não deveria ser tido como um quociente

atual.

Exemplos:

1. Encontre F’ (x) se

Solução 1

(usando a equação [ 2 ]): Como vimos no início desta aula, expressamos

F como - F(x) = (f o g)(x) = f(g(x)), onde f (u) = e g(x) = x 2 + 1.

Uma vez que

Solução 2

(usando a equação [ 3 ]): Se tomarmos u = x 2 + 1 e , então

( ) 12 += xxF

u

( ) ( ) xxgu

uuf 2'2

121' 2/1 === − e

temos ( ) ( )( ) ( )xgxgfxF ''' ⋅=

( ) =⋅+

= xx

xF 212

1'2 12 +x

x

uy =

( ) ( )xudx

dududyxF 2

21' ⋅==

( ) ( )=⋅+

= xx

xF 212

1'2 12 +x

x

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Quando usamos a fórmula [ 3 ], devemos ter em mente que dy / dx

refere-se à derivada de y quando y é tida como uma função de x

(chamada de derivada de y em relação a x), ao passo de que dy / du

refere-se à derivada de y quando y é considerada como uma função

de u (a derivada de y em relação a u). Assim, no Exemplo 1 y pode ser

considerada como uma função de x ( ) e também como

uma função de u ( ). Note que

Nota:

Ao usarmos a Regra da cadeia trabalhamos de fora para dentro. A

fórmula 2 diz que diferenciamos a função de fora f [na função de dentro

g(x)] e então multiplicamos pela derivada da função de dentro.

(�)�(� )� (�)�(� )� (�)�

de ntrodefunç ã oda

de riva da

de ntrodefunç ã ona

c a lc ula da

foradefunç ã oda

de riva da

de ntrodefunç ã ona

c a lc ula dae xte rnafunç ã o

' xgxgfxgfdxd '⋅�=�

Exemplos:

1. Diferencie:

a) y = sen (x 2)

Solução

Se y = sen (x 2), então a função de fora é a função seno, e a função de

dentro é a função quadrada; logo, a Regra da Cadeia dá

(� )� (� )�

de ntrodefunç ã oda

de riva da

de ntrodefunç ã ona

c a lc ula da

foradefunç ã oda

de riva da

de ntrodefunç ã ona

c a lc ula dae xte rnafunç ã o

xxx 22 2cos ⋅�=�=� sendxd

dxd

12 += xyuy =

( ) ( )u

ufdudy

x

xxFdxdy

21'

1'

2==

+== enquanto

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b) y = sen 2 x

Solução

Note que sen 2 x = (sen x) 2. Aqui a função de fora é a função quadrada,

e a função de dentro é a função seno. Então,

(� )� (� )�

de ntrodefunç ã oda

de riva da

de ntrodefunç ã ona

c a lc ula da

foradefunç ã oda

de riva dainte rnafunç ã o

x2 xsenxsendxd

dxd cos2 ⋅�⋅�=�=�

A resposta pode ser deixada como 2 sen x cos x ou sen 2x (pela

identidade trigonométrica conhecida como fórmula do ângulo

duplo).

No Exemplo (a) combinamos a Regra da Cadeia com a regra para

diferenciar a função seno. Em geral, se y = sen u, onde u é uma função

diferenciável de x, então, pela Regra da Cadeia,

Todas as fórmulas para diferenciar funções trigonométricas podem

ser combinadas com a Regra da Cadeia.

Nota:

Agora veremos como se apresentam algumas derivadas que envolvem

funções trigonométricas:

( )2cos2 xx =

dxduu

dxdu

dudy

dxdy

cos==

Assim

( )dxduuusen

dxd

cos==

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• A derivada de (sen x) nos leva ao (cos x)

• A derivada de (cos x) nos leva ao (-sen x)

• A derivada de (-sen x) nos leva ao (-cos x)

• A derivada se (-cos x) nos leva ao (sen x)

Derivada da Potência Combinada com a Regra da Cadeia

Vamos explicitar o caso especial da Regra da Cadeia, onde a função de

fora f é uma função potência. Se y = [g(x)] n, então podemos escrever

y = f(u) = u n, onde u = g(x). Usando a Regra da Cadeia e então a regra

da Potência, obteremos

TEOREMA PARA A REGRA DA POTÊNCIA COMBINADA COM A REGRA DA CADEIA

Se n for qualquer número u = g(x) for diferenciável, então

Exemplos:

a) Diferencie y = (x 3 -1) 100.

( )[ ] ( )xgxgndxdunu

dxdu

dudy

dxdy '1-n 1n === −

( )dxdunuu

dxd 1-nn =

Alternativamente, ( )[ ] ( )[ ] ( )xgxgnxg

dxd '⋅= 1-n n

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Solução

Tomando u = g(x) = x 3 -1 e n = 100 na forma mostrada acima, temos

b) Encontre f’(x) se

Solução

c) Encontre a derivada da função

Solução

Combinando a Regra da Potência, da Cadeia e Quociente, obtemos

( ) ( ) ( )111001 39931003 −−=−= xdxdxx

dxd

dxdy

( ) =⋅−= 2993 31100 xxdxdy ( )9932 1300 −xx

( )3 2 1

1'++

=xx

xf

Primeiro reescreva ( ) ( )-1/31: 2 ++= xxxff . Assim

( ) ( ) ( )1131' 22 ++++−= xx

dxdxxxf 4/3-

( ) ( ) ( )12131' 2 +++−= xxxxf 4/3-

( )9

122

+−=tttg

( )

+−

+−=

122

1229'

8

tt

dtd

tttg

( ) ( ) ( )( )

=+

−−⋅+

+−= 2

8

1222112

1229'

ttt

tttg ( )

( )10

8

12245

+−

tt

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EXEMPLO DE APLICAÇÃO

O número de sócios de uma academia de ginástica aberta há algumas

semanas é dado aproximadamente pela função

N(t) = 100(64 + 4t) 2/3 (0 ≤ t ≤ 52)

onde N(t) expressa o número de sócios no início da semana t.

a) Determine N’ (t).

b) Com que rapidez o número de sócios da academia estava

aumentando inicialmente (t = 0)?

c) Com que rapidez o número de sócios da academia estava

aumentando no início da 40ª semana?

d) Qual era o número de sócios quando a academia foi aberta? E

no início da 40ª semana?

a) Usando a regra geral da potência obtemos

]

( ) ( )[ ]2/3tdtdtN 464100' +=

( ) ( )2/3tdtdtN 464100' +=

( ) ( ) ( )tdtdttN 464464

32100' ++= 1/3-

( ) ( ) ( )=⋅+= 44643

200' 1/3-ttN( )1/3t4643

800+

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b) A razão segundo a qual o número de sócios estava aumentando

quando a academia foi aberta, é dada por

ou seja, aproximadamente 67 pessoas por semana.

c) A razão segundo a qual o número de sócios estava aumentando no

início da 40ª semana, é dado por

ou seja aproximadamente 44 pessoas por semana.

d) O número de sócios quando a academia foi aberta é dado por

que é de aproximadamente 1600 pessoas. O número de sócios no

início da 40ª semana é dado por

isto é, aproximadamente 3688 pessoas

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:

Thomson, 2001.

LEITHOLD, L. O. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São

Paulo: Harbra, 1988.

FLAMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. São

Paulo: Pearson Education do Brasil, 1992

( )( )

≈= 3/16438000'N 7,66

( )( )

≈+

= 3/116064380040'N

( ) ( ) ( )=== 16100641000 2/3N 1600

( ) ( ) ≈+= 2/31606410040N 3,3688

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STEWART, James. Cálculo Volume I. São Paulo: Pioneira Thomson

Learning, 2003