aula 05-estat.stica inferencial aplicada a avalia. · estatística inferencial aplicada a...
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Carlos Aurélio Nadal | Curso de Avaliações – aula 05
Curso de Avaliações
Prof. Carlos Aurélio [email protected]
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AULA 05
EstatEstatíística stica InferencialInferencial aplicada a aplicada a AvaliaAvaliaççõesões
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NBR 14653 – Avaliação de bens
Parte 1: Procedimentos gerais;Parte 2: Imóveis urbanos;Parte 3: Imóveis rurais;Parte 4: Empreendimentos;Parte 5: Máquinas, equipamentos, instalações e bens industriais em geral;Parte 6: Recursos naturais e ambientais;Parte 7: Patrimônios históricos.
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Avaliação de bens: Análise técnica, realizada por engenheiro de avaliações, para identificar o valor de um bem, de seus custos, frutos e direitos, assim como determinar indicadores da viabilidade de sua utilização econômica, para uma determinada finalidade, situação e data.
bem tangível: Bem identificado materialmente (por exemplo: imóveis, equipamentos, matérias-primas).
bem intangível: Bem não identificado materialmente (por exemplo: fundo de comércio, marcas e patentes).
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imóvel: Bem constituído de terreno eeventuais benfeitorias a ele incorporadas. Pode ser classificado como urbano ou rural, em função da sua localização, uso ou vocação.
inferência estatística: Parte da ciência estatística que permite extrair conclusões sobre a população a partir de amostra.
modelo de regressão: Modelo utilizado para representar determinado fenômeno, com base numa amostra, considerando-se as diversas características influenciantes.
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Métodos para identificar o valor de um bem, de seus frutos e direitos
Método comparativo direto de dados de mercadoMétodo involutivoMétodo da rendaMétodo evolutivo
Métodos para identificar o custo de um imóvel
Método da quantificação do custoMétodo comparativo direto de custo
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Planejamento da pesquisa-amostra de dados de mercado deimóveis com características semelhantes às do avaliando.- caracterização e delimitação do mercado variáveis do modelodependente preço total ou unitárioindependentes
características físicas ( área, frente)localização (bairro, logradouro, distância a pólo de influência, etc) econômicas (oferta ou transação, época e condição do negócio – à vista ou a prazo).
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dimensão, frente, profundidade,topografia, localização,
coeficiente de aproveitamentouso do solo,
relação
REGRESSÃO
ESTATÍSTICA INFERENCIAL valor de mercado com base no conhecimento de variáveis que o influenciam.
VALOR DE UM TERRENO
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180
150
área
1402
1001
R$/m2imóvel
Y
X
Y = a + b X
150
100
180
140
a
i
b = tg i
Se não houvessem erros na amostragem, ou em um mercado perfeito
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Tem-se o seguinte sistema de equações:140 = a + b x 180 100 = a + b x 150
Resolvendo obtém-se:a = -100 (intercepto)b = 1,333 (declividade) i = arc tg 1,33 i = 53,06º
MODELO MATEMÁTICO ADOTADO
VALOR = -100 + 1,333 X ÁREA DO IMÓVEL
Ex.: Um imóvel cuja área seja 200 m2 será avaliado por
Valor = R$ 166,60/m2
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500,00550,00600,00650,00700,00750,00800,00850,00900,00950,00
1000,00
130 132 134 136 138 140
área dos imóveis
alug
uel
Regressão linear (qual a reta que deve ser usada? )
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Uma primeira forma é ajustar uma reta horizontal de valor igual à média dos valores da variável dependente y, que é uma reta de regressão com b=0.
>Esse critério não necessita de regressão, entretanto, será uma referência útil para medir o grau de explicação da reta de regressão.
Outra forma é ajustar uma reta que divida os pontos observados de forma que a soma dos desvios seja nula.
>Entretanto, como há muitas retas que cumprem com essa condição, esse critério não poderá ser utilizado.
Outra forma é ajustar uma reta de forma que minimize a soma dos quadrados dos desvios, lembrando a definição de variância.
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xxi
y
yi
ŷi ŷi = a + bx
di =yi - ŷi
Para cada valor de xi há uma diferença entre o valorAmostrado yi e o valor projetado ŷi
RESÍDUO OUDESVIO di
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Verdadeiro valor de Y só é possível no caso de população conhecida assim a equação é escrita para uma amostra:
onde: ε = resíduo da regressão
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS: (GAUSS)(SOMATÓRIO DOS QUADRADOS DOS RESÍDUOS
É MÍNIMO)
∑ v ² = min
Y = a + b X + v
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Y
X
observações
Y = a + b X
ε1ε2
ε3
ε4
ε5
ε6
X1
Y1
X6
Y6
MODELO AJUSTADOY^ = a + b X + v
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∑ (Y - Y^) ² = ∑ v ² = minPara determinar-se a condição de mínimo tem-se:
F = ∑ v2 = ∑(Y^ - a - b X )2
∂F = 0 e ∂ F = 0∂a ∂ b
F = (y1 – a – b x1) 2 +(y2 – a – b x2) 2+ .... + (yn – a – b xn) 2
Tem-se como resultado o sistema de equações (duas equações a duas incógnitas):
∑ Y = a n + b ∑X∑ XY = a ∑X + b ∑X ²
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∑ Y = a n + b ∑X∑ XY = a ∑X + b ∑X ²
Resolvendo o sistema:
a = [( ∑X ²)( ∑Y) - ( ∑X)( ∑XY)]n( ∑X ²) -( ∑X) ²
b = n( ∑X Y) - ( ∑X)( ∑Y)n( ∑X ²) -( ∑X) ²
Sistemas de equações normais:
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Simplificações: x = X - Xy = Y - Y
a = Y + b X b = ∑XY∑X ²
Covariância de X em Y
Variância de Xb = SXY
SXX
SXY = ∑XY - (∑X ∑.Y)n
SXX = ∑X ² - (∑X) ²n
SYY = ∑Y ² - (∑Y) ²n
X = média de XY = média de Y
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VANTAGENS DO AJUSTE PELO
MÉTODO MÍNIMOS DOS QUADRADOS
> Obtém as melhores estimativas.
> Onera os desvios maiores, fato desejável que evita grandes desvios.
>Permite realizar testes de significância na equação de regressão.
>A reta de regressão passa pelo ponto formado pelos valores das médias das duas amostras.
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REGRESSÕES NÃO LINEARES
a) Função logarítmica Transformada linear
b) Função exponencial
c) Função potencial
eY = ea + Xb
Y = a bX
Y = a Xb
Y = a + b ln X
ln Y = ln a + X ln b
ln Y = ln a + b ln X
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Regressão linear Y = a + bx
∑XY - ∑X ∑Y/nb = ———————
∑X2 - (∑X)2/n
∑Y ∑X a = —— - b ———
n n
[∑XY - ∑X ∑Y/n] 2r2 = ——————————————
[∑X2 - (∑X)2/n] [∑Y2 - (∑Y)2/n]
UFPR – Curso de Engenharia Cartográfica
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Regressão logarítmica
Y = a + b ln x
∑Y ln X - (∑ ln X ∑Y )/nb = ———————————
∑(ln X)2 - (∑ ln X)2/n
∑Y ∑ ln X a = —— - b ————
n n
[∑ ln X Y - (∑ ln X ∑Y)/n] 2r2 = —————————————————
[∑ ln X2 - (∑ ln X)2/n] [∑Y2 - (∑Y)2/n]
UFPR – Curso de Engenharia Cartográfica
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Regressão exponencialY = a + ebX
∑X ln Y - (∑X ∑ lnY )/nb = ———————————
∑X2 - (∑X)2/n
∑ ln Y ∑ X a = exp[ ——— - b —— ]
n n
[∑X ln Y - (∑X ∑ ln Y)/n] 2r2 = —————————————————
[∑X2 - (∑X)2/n] [∑(ln Y)2 - (∑ ln Y)2/n]
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Curva de Potência Y = a Xb
∑ lnX ln Y - (∑ lnX ∑ lnY )/nb = —————————————
∑( ln X)2 - (∑ ln X)2/n
∑ ln Y ∑ ln X a = exp[ ——— - b ——— ]
n n
[∑ ln X ln Y - (∑ ln X ∑ ln Y)/n] 2r2 = ————————————————————
[∑ ln X2 - (∑ ln X)2/n] [∑(ln Y)2 - (∑ ln Y)2/n]
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COEFICIENTE DE CORRELAÇÃOTraduz numericamente quanto as variáveis estão relacionadas
-1 ≤ r ≤ 1
Se r > 0 as variáveis variam no mesmo sentido
r = 0.............nula0 < r ≤ 0,30.....fraca
0,30 ≤ r ≤0,60.... Média0,60 ≤ r ≤ 0,90...forte
0,90 ≤ r ≤ 0,99 ...fortíssimar = 1 ... perfeita
r = SXY(SXX SYY)0,5
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COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
0 ≤ r2 ≤ 1
r 2 = ∑(Y^ - Y)∑.(Y - Y)2
Y^= variável estimada - explicadaY = média da variável explicadaY = variável explicada
Traduz numericamente o percentual da variável que estásendo explicitada pela equação ajustada de regressão
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Erro Padrão da Estimativa
Ao ajustar uma reta, espera-se que ela explique o grupo de valores amostrados.
Embora a reta de regressão tenha sido obtida minimizando a soma dos quadrados dos desvios, sempre haverá uma variabilidade dos dados ao redor da reta, exceto se os dados fizerem parte da própria reta de regressão.
O desvio padrão dos dados ao redor da reta de regressão édenominado erro padrão da estimativa Se cuja medida é obtida da variância com (n-2) graus de liberdade definida com a fórmula, ondeSSE mede a parte não explicada pela regressão:
> O conceito do erro padrão da estimativa é equivalente ao do desvio padrão que mede a variabilidade dos valores da amostra ao redor da média aritmética desses valores.
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)ˆ(1
2
−=
−
−
=∑=
nSSE
n
yyS
n
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e
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ANÁLISE DE VARIÂNCIA
a) TESTE DA SIGNIFICÂNCIA DO MODELO DE MELHORAJUSTE.
‘HIPÓTESE BÁSICA b=0 não existe regressão de Y em X
Nível rigoroso 5% Nível rigoroso especial 1%
Distribuição F de Fischer-Snedecor
Fcalc = ∑(Y^ - Y) 2 : K∑.(Y - Y)2 (n-K-1)
K = número de variáveis independentes n = número de dados da amostra
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Fcalc > Ftab aceita-se a hipótese de que há regressão
Fcal < Ftab rejeita-se a hipótese básica
CONFIABILIDADE DO MODELO
C = 100% - d
d = significância (incerteza) correspondente a Ftab
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b) TESTE DE HIPÓTESE PARA O REGRESSOR bSe b = 0 o valor de Y está sendo determinado por aa variável X não é importante na formação de Y
HIPÓTESE BÁSICA: b≠ 0 X tem um nível de significânciade importância na formação de Y
10% de incerteza nos testes unicaudais e 5% nos bicaudais
T = b/SB Sb = SSXX
S = { ∑(Y-Y^) ²/ n- 2} 0,5
Tcalc > Ttab b ≠ 0 a umnível de incerteza correspondente ao Tcalc
Tcalc < Ttab b não é diferentede zero
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c) INTERVALO DE CONFIANÇA PARA Y
Campo de arbítrio do Engenheiro de Avaliações 80% NB502/89
Limite inferior = Y^ - Tδ/2(n-k-1) S [1/n + x a 2 /SXX] 0,5
Limite superior = Y^ + Tδ/2(n-k-1) S [1/n + x a 2 /SXX] 0,5
T = coeficiente de Student
δ = significância exigida pela norma NB 502/89S = erro padrão da regressão
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0≤r≤0,30 correlação fraca
Fcal > Ftab há correlação
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K
n-K-1
K=1 para regressão linear
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Teste do regressor b≠0
SSb=
SXX
S² = ∑ (Y-Y^)² /√(n-2)
S = 116,1614753 Sb = 0,646876432
tcal= b/Sb tcal=6,904
Na distribuição t de StudentPara 95% de confiança α=0,05 gl =10-1-1=8
ttab=3,30
Como tcal > ttab aceita-se b≠0
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Intervalo de confiança
Limite inferior li= b – tα,n-k-1 Sb
Limite superior ls= b + tα,n-k-1 Sb
li = 4,466 – 2,306 x 0,6468 = 2,974
ls = 4,466 + 2,203 x 0,6468 = 5,958
b encontra-se dentro do intervalo com 95% deconfiança