CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Aula: 02

Temática: Soma de Riemann e a Integral Definida

Estudaremos agora um dos conceitos fundamentais do Cálculo

Integral: o cálculo da área sob a curva de uma função. Este conceito é de

grande importância no estudo de várias ciências como: matemática

(geometria), física, química, entre outras.

Integral de Riemann - Determinação da área sob uma curva

Ao calcularmos a área sob a curva da função x)x(f = entre os limites a e b,

conforme a figura a seguir, certamente calcularíamos a área do triângulo de

base igual a ( ab − ) e altura igual a ( )a(f)b(f − ), mais a área do retângulo de

base ( ab − ) e altura f(a), certo?

E se tentarmos calcular a área sob a curva da função no intervalo entre a e b,

conforme a figura a seguir?

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Uma das formas seria dividir a região de interesse em intervalos retangulares

iguais (conforme a figura a seguir) e calcular a área aproximada como sendo a

soma destes intervalos. Vamos fazer uma tentativa dividindo a área sob a

curva em três pedaços:

A área sob a função xe)x(f = seria aproximada por:

x)x(fx)x(fx)x(fA 332211 ∆∆∆ ++≅

onde xi∆ é igual a i1i xx −+

e )x(f i é valor médio de f(x) em xi∆ .

Entretanto, podemos perceber visualmente que esta aproximação não

representa exatamente a área sob a curva. Intuitivamente, se aumentarmos o

número de subdivisões do intervalo entre a e b, teremos retângulos com áreas

cada vez menores que se ajustaram melhor à função:

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Dividindo o intervalo em n intervalos iguais, poderíamos aproximar a área

através do somatório:

∑=

=++++=

n

1iiinn332211 x)x(fx)x(f...x)x(fx)x(fx)x(fA ∆∆∆∆∆

Esta equação é chamada soma de Riemann.

E, dividindo o intervalo entre a e b em infinitas divisões iguais aproximando o

valor de ∆x á zero:

Calculamos o que é chamada de integral definida da função f em [a,b]:

∑∫=

→

=

n

1i

ii0x

b

a

x)x(flimdx)x(f ∆∆

Esta expressão é numericamente igual à área sob a curva da função.

Geometricamente esta área seria difícil de calcular, mas, utilizando o Cálculo,

se torna muito mais fácil!

Outras propriedades da integral definida

a) 0dx)x(fa

a

=∫

b) dx)x(fdx)x(fa

b

b

a

∫∫ −=

c) dx)x(fdx)x(fdx)x(fb

c

c

a

b

a

∫∫∫ +=

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Nesta aula você aprendeu o conceito da integral definida e uma de

suas aplicações diretas: o cálculo da área sob uma curva. Na próxima aula

estudaremos outras aplicações da integral definida e faremos alguns

exercícios. Bons estudos!