aula 01 introdução, conceitos e incerteza aula 01 prof. valner … · termopares e sensores...

Aula 01

Prof. Valner Brusamarello Aula baseada na bibliografia descrita no último slide e em apresentação de:

Paulo R. G. Couto - [email protected]

Luiz C. Monteiro - [email protected]

INMETRO, Laboratório de Pressão

Aula 01 – Introdução, conceitos e

Incerteza

Motivação : controle de uma usina

nuclear

Motivação : aeronave

Motivação: tecnologia

Motivação

O conhecimento do problema é fundamental...

• Para o dimensionamento da solução ...

Instrumentação

O que é instrumentação? Existem várias definições:

.. the study, development, and manufacture of instruments, as for scientific or industrial use.

The American Heritage® Dictionary of the English Language, Fourth Edition copyright ©2000 by Houghton Mifflin Company. Updated in 2009. Published by Houghton Mifflin Company. All rights reserved.

.. the use of instruments or tools Collins English Dictionary – Complete and Unabridged © HarperCollins Publishers 1991, 1994, 1998,

2000, 2003

.. designing, manufacturing, and utilizing physical instruments or instrument systems for detection, observation, measurement, automatic control, automatic computation, communication, or data processing.

McGraw-Hill Dictionary of Scientific & Technical Terms, 6E, Copyright © 2003 by The McGraw-Hill Companies, Inc.

Uma definição prática

Instrumentação é o conjunto de dispositivos e técnicas utilizadas

para monitorar e/ou controlar fenômenos físicos que ocorrem

em um sistema termodinâmico (Processo).

PROCESSO

Variáveis 1 a n

Transdutor 1

Transdutor n

Registro de

Informação

Registro de

Informação

e/ou Controle

das Variáveis

Valores

desejados

Transdutores

sensores e transdutores

Sensores e transdutores

Os termos sensores e transdutores são definidos por vários autores de forma diferente e essa é uma questão que ainda precisa de uniformidade.

Instituições como o NIST (National Institute of Standard and Technology) e o BIPM (Bureau International des Poids et Mesures), entre outras, possuem dentre suas funções, a atividade de normalização e uniformação de procedimentos e termos relacionados a medidas de forma geral.

Nesse sentido, são gerados documentos com o intuito de servirem como referência no mundo inteiro.

Definições em Metrologia

Sensores e Transdutores

(VIM)

SENSORES: Segundo o VIM (2012), elemento dum sistema de medição que é diretamente afetado por um fenômeno, corpo ou substância que contém a grandeza a ser medida. EXEMPLOS: bobina sensível dum termômetro de resistência de platina, rotor dum medidor de vazão (caudal) de turbina, tubo de Bourdon dum manômetro, etc. TRANSDUTORES: Segundo o VIM (2012), é um dispositivo, utilizado em medição, que fornece uma grandeza de saída, a qual tem uma relação especificada com uma grandeza de entrada. EXEMPLOS :Termopar, transformador de corrente elétrica, extensômetro, eletrodo de pH, tubo de Bourdon, tira bimetálica. INSTRUMENTO: Conforme o VIM o Instrumento de medição consiste em um Dispositivo utilizado para realizar medições, individualmente ou associado a um ou mais dispositivos suplementares. Condicionador de Sinal - converte a saída do transdutor (ou sensor) em um sinal elétrico apropriada para o dispositivo de apresentação ou controle

Sensores e Transdutores

Conceitos

A indicação de um instrumento pode ser analógica (contínua ou

descontínua) ou digital.

O Instrumento de medição é denominado de analógico quando o sinal de

saída ou a indicação é uma função contínua do mensurando ou do

sinal de entrada.

O Instrumento de medição é denominado de digital quando o mesmo

fornece um sinal de saída ou uma indicação em forma digital.

Os termos “analógico” e “digital” são relativos à forma de apresentação do

sinal de saída ou da indicação e não ao princípio de funcionamento do

instrumento.

Conceitos

Qualquer sensor é um conversor de energia. Sempre haverá

transferência de energia entre o objeto medido e o sensor.

O processo de sensoriamento é um caso particular de

transmissão de informação, com transferência de energia.

O transdutor é um dispositivo que converte um sinal de uma

forma física para um sinal correspondente de outra forma

física. Portanto, também se trata de um conversor de energia.

A palavra “transdutor” implica que as quantidades de entrada e

saída não são do mesmo tipo.

Conceitos

transdutor de entrada e transdutor de saída: os transdutores de entrada são utilizados para detectar sinais enquanto que os transdutores de saída são utilizados para gerar movimentos mecânicos ou executar uma ação, atuadores.

Um atuador pode ser descrito como um dispositivo com a função inversa de um sensor, geralmente convertem energia elétrica em outra forma de energia.

Um sensor passivo (self generating) não necessita de energia adicional e gera um sinal elétrico em resposta a um estímulo externo, isto é, o estímulo de entrada é convertido pelo sensor em um sinal de saída. Nos sensores passivos a potência de saída tem origem na entrada. Termopares e sensores piezoelétricos são exemplos de sensores passivos.

Conceitos

Os sensores ativos (modulated) requerem uma fonte de energia externa para sua operação, o qual é chamado de sinal de excitação. Este sinal é modificado pelo sensor para produzir o sinal de saída. Sensores ativos adicionam energia ao ambiente de medida como parte do processo de medição.

Nos sensores ativos, pode-se dizer que um parâmetro do sensor modula o sinal de excitação e esta modulação transporta informação do valor medido.

Por exemplo, o termistor é um resistor sensor de temperatura. Fazendo passar uma corrente por ele, sua resistência pode ser medida monitorando as variações de corrente ou tensão.

Em relação à saída, os sensores podem ser analógicos ou digitais.

Conceitos

Conceitos

Considerando o modo de operação, os sensores são geralmente classificados em: sensores de deflexão ou de ponto nulo (ou ponto de zero).

Nos sensores de deflexão, as quantidades medidas produzem um efeito físico que gera em alguma parte do instrumento um efeito similar, mas oposto ao qual é relacionado.

Por exemplo, em um dinamômetro de mola.

Conceitos

Sensores de ponto nulo tentam prever a deflexão do ponto de zero aplicando um efeito conhecido que se opõe a quantidade sendo medida. Existe um detector de desbalanço e algum meio para restabelecer este balanço.

uma balança de pratos, por exemplo

O sistema de medidas com ponto nulo ou neutro é geralmente mais repetitivo porque o efeito oposto conhecido pode ser calibrado contra um padrão de alta qualidade.

Definições

Grandeza : propriedade de um fenômeno, de um corpo ou de uma substância, que pode ser expressa quantitativamente sob a forma de um número e de uma referência.

o valor de uma grandeza é a “expressão quantitativa de uma grandeza específica, geralmente sob a forma de uma unidade multiplicada por um número ”

Definições - VIM

2.1 (2.1) medição

Processo de obtenção experimental de um ou mais valores que podem ser, razoavelmente, atribuídos a uma grandeza.

NOTA 1: A medição não se aplica a propriedades qualitativas.

NOTA 2: A medição implica na comparação de grandezas e engloba contagem de entidades.

NOTA 3: A medição pressupõe uma descrição da grandeza que seja compatível com o uso pretendido de um resultado de medição, de um procedimento de medição e de um sistema de medição calibrado que opera de acordo com um procedimento de medição especificado, incluindo as condições de medição.

2.2 (2.2) Metrologia

Ciência da medição e suas aplicações.

NOTA: A metrologia engloba todos os aspectos teóricos e práticos da medição, qualquer que seja a incerteza de medição e o campo de aplicação.

Definições - VIM

2.3 mensurando

Grandeza que se pretende medir.

3.10 Cadeia de medição: Série de elementos de um sistema de medição que constitui um único caminho para o sinal, do sensor até o elemento de saída.

exemplo: Cadeia de medição eletroacústica composta por um microfone, um atenuador, um filtro, um amplificador e um voltímetro.

Calibração

2.39 calibração

Operação que estabelece, numa primeira etapa e sob condições especificadas, uma relação entre os valores e as incertezas de medição fornecidos por padrões e as indicações correspondentes com as incertezas associadas; numa segunda etapa, utiliza esta informação para estabelecer uma relação visando a obtenção de um resultado de medição a partir de uma indicação.

NOTA 1: Uma calibração pode ser expressa por meio de uma declaração, uma função de calibração, um diagrama de calibração, uma curva de calibração ou uma tabela de calibração. Em alguns casos, pode consistir de uma correção aditiva ou multiplicativa da indicação com uma incerteza de medição associada.

NOTA 2: Convém não confundir a calibração com o ajuste de um sistema de medição, freqüentemente denominado de maneira imprópria de “auto-calibração”, nem com a verificação da calibração.

NOTA 3: Frequentemente, apenas a primeira etapa na definição acima é entendida como sendo calibração

Padrões

Padrões: consistem em grandezas referências para que em qualquer partes do mundo os

resultados de experimentos possam ser comparados com bases consistentes.

Segundo o VIM, o padrão consiste na Realização da definição duma dada grandeza, com um valor

determinado e uma incerteza de medição associada, utilizada como referência.

EXEMPLO 1 Padrão de medição de massa de 1 kg com uma incerteza-padrão associada de 3 μg.

EXEMPLO 2 Resistor-padrão de 100 Ω com uma incerteza-padrão associada de 1 μΩ.

EXEMPLO 3 Padrão de medição de frequência de césio com uma incerteza-padrão relativa

associada de 2 x 10-15.

EXEMPLO 4 Solução-tampão de referência com um pH de 7,072 e uma incerteza padrão

associada de 0,006.

EXEMPLO 5 Conjunto de soluções de referência de cortisol no soro humano, para o qual cada

solução tem um valor certificado com uma incerteza de medição.

EXEMPLO 6 Material de referência que fornece valores com incertezas de medição associadas

para a concentração em massa de dez proteínas diferentes.

Padrões

É fundamental entender que a precisão do padrão de referência deve ser melhor que a do instrumento sob calibração. Quanto melhor?

A resposta é um compromisso entre custo e precisão. Como recomendação, a precisão do padrão deve ser entre quatro a dez (NIST) ou três a dez (INMETRO) vezes melhor que a precisão do instrumento sob calibração.

Abaixo de três ou quatro, a incerteza do padrão é da ordem do instrumento sob calibração e deve ser somada à incerteza dele. Acima de dez, os instrumentos começam a ficar caros demais e não se justifica tal rigor.

Assim, para calibrar um instrumento com precisão de 1%, deve-se usar um padrão com precisão entre 0,3% a 0,1%.

Definições - VIM

Calibrar para quê?

Indicação correta dos resultados de uma medição

Uniformidade na expressão das grandezas (comércio, p.ex.)

Confiabilidade

Rastreabilidade nacional e internacional

VIM

2.41 rastreabilidade metrológica

Propriedade de um resultado de medição pela qual tal resultado pode ser relacionado a uma referência através de uma cadeia ininterrupta e documentada de calibrações, cada uma contribuindo para a incerteza de medição.

Veja Notas no VIM.

Hierarquia do sistema

metrológico

Indústria e outros setores

Ensaios

Calibração

Padrões Nacionais

BIPM

Unidades do SI

Padrões Internacionais

Padrões dos Institutos Nacionais de Metrologia

Padrões de referência dos laboratórios de calibração

Padrões de referência. dos laboratórios de ensaio

Padrões de trabalho dos laboratórios do chão de fábrica

COMPARABILIDADE

BIPM: Bureau

International des Poids et

Mesures (www.bipm.org)

Grandezas

30

Grandezas

31

Grandezas

32

Grandezas

33

Grandezas

34

Sistema Internacional de Unidades - SI

Sistema SI, baseado nas sete grandezas de base: comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, temperatura termodinâmica, quantidade de matéria e intensidade luminosa.

Nome Grandeza Símbolo

Metro comprimento m

segundo tempo s

quilograma massa kg

ampère corrente A

Kelvin Temperatura K

Mol Quantidade de matéria mol

candela Intensidade de luz cd

Algarismos significativos

Algarismo ou dígito significativo em um número é o dígito que pode ser considerado confiável como um resultado de medições ou cálculos.

O algarismo significativo correto expressa o resultado de uma medição de forma consistente com a precisão medida.

O número de algarismos significativos em um resultado indica o número de dígitos que pode ser usado com confiança.

Os algarismos significativos são todos aqueles necessários na notação científica.


Em procedimentos experimentais com várias medidas, onde é necessário calcular a média aritmética, é necessário adequar o número de algarismos significativos do resultado de acordo com os recursos utilizados na medição.

Exemplo: uma série de medidas de temperatura com um termômetro - resolução de 0,1°C, mesmo que a média de N medidas resulte em um número maior de dígitos, devemos utilizar apenas uma casa após a vírgula.


Qualquer dígito, entre 1 e 9 e todo zero que não anteceda o primeiro dígito não zero e alguns que não sucedam o último dígito não zero é um algarismo significativo.

QUE CONFUSÃO!!! VAMOS AO EXEMPLO:

O status do zero é ambíguo, por que o zero também é usado para indicar a

magnitude do número. Por exemplo:

708 3 algarismos significativos

54,9 3 algarismos significativos




0,830 06 5 algarismos significativos


105 3 algarismos significativos






1000 1 algarismo significativo

0,001 1 algarismo significativo


Se nenhuma informação é fornecida, podemos assumir que quando o zero é utilizado apenas para posicionar o ponto decimal ele não é significativo.

Porém, em instrumentação a medida representada pelo número 1,0 m é diferente de 1,00 m, uma vez que a última garante que a segunda casa depois da vírgula é significativa, ou seja foi executada por um instrumento capaz de medir a segunda casa a direita do ponto decimal.

Verifica-se então que existem ambiguidades!!!! Veja exemplos!!


1000 1 algarismo significativo

0,001 1 algarismo significativo


20 000 = 2 x 10^4 1 dígito significativo

20 000 = 2,0 x 10^4 2 dígitos significativos

20 000 = 2,00 x 10^4 3 dígitos significativos

20 000 = 2,000 x10^4 4 dígitos significativos

7 x 10^-3 1 dígito significativo

7,0 x 10^-3 2 dígitos significativos

7,000 x 10^-3 4 dígitos significativos

7,000 00 x 10^-3 6 dígitos significativos

Em instrumentação essa diferença é importante!!!


Todos os números associados à medição de uma grandeza física devem ter os algarismos significativos correspondentes à precisão do instrumento de medição.

O voltímetro analógico indica uma tensão elétrica de 1,45 V. O último algarismo, 5, é duvidoso e foi arbitrariamente escolhido.

Alguém poderia ler 1,49 e a leitura estaria igualmente correta. Os algarismos confiáveis são apenas o 1 e o 4; o último é estimado e duvidoso.

O voltímetro com uma escala com esta graduação pode dar, no máximo, três algarismos significativos. É errado dizer que a indicação é de 1,450 ou 1,4500, pois está se superestimando a precisão do instrumento.

Do mesmo modo, é incorreto dizer que a indicação é de 1,4 pois agora está se subestimando a precisão do indicador e não usando toda sua capacidade

Arredondamento

Na realização das operações aritméticas, cada número no cálculo é fornecido com um determinado número de algarismos significativos e o resultado final deve ser expresso com um número correto de algarismos significativos.

Quando se fazem as operações aritméticas, deve-se seguir as seguintes recomendações.

1. Fazer a computação de modo que haja um número excessivo de dígitos.

2. Arredonde o número correto de algarismos significativos. Para arredondar, aumente o último número retido de 1, se o primeiro número descartado for maior que 5.

Arredondamento

Se o dígito descartado for igual a 5, o último dígito retido deve ser aumentado de 1 somente se for ímpar. Se o dígito descartado for menor que 5, o último dígito retido permanece inalterado.

3. Para multiplicação e divisão, arredonde de modo que o número de algarismos significativos no resultado seja igual ao menor número de algarismos significativos contidos nas parcelas da operação.

4. Para adição e subtração, arredonde de modo que o dígito menos significativo (da direita) do resultado corresponda ao algarismo mais significativo duvidoso contido na adição ou na subtração.

Arredondamento

5. Para combinações de operações aritméticas, fazer primeiro as

multiplicações e divisões, arredondar quando necessário e depois fazer

as somas e subtrações. Se as somas e subtrações estão envolvidas para

posterior multiplicação e divisão, fazê-las, arredondar e depois

multiplicar e dividir.

6. Em cálculos mais complexos, como solução de equações algébricas

simultâneas, quando for necessário obter resultados intermediários

com algarismos significativos extras, garantir que os resultados finais

sejam razoavelmente exatos, usando o bom senso e deixando de lado

as regras acima.

Arredondamento

7. Quando executar os cálculos com calculadora eletrônica ou microcomputador, também ter bom senso e não seguir as regras rigorosamente. Não é necessário interromper a computação em cada estágio para estabelecer o número de algarismos significativos. Porém, depois de completar a computação, considerar a precisão global e arredondar os resultados corretamente.

8. Em qualquer operação, o resultado final deve ter uma quantidade de algarismos significativos igual à quantidade da parcela envolvida com menor número de significativos.

Exemplos de arredondamento para três algarismos significativos:

1,8765 1,88

8,455 8,46

6,965 6,96

10,580 10,6

Arredondamento

Os algarismos a partir de uma posição no número, devido a incerteza, não são significativos.

Consideremos a leitura da tensão com um voltímetro digital de 3 e 1/2 dígitos na escala de 20 V. Nesse caso, a resolução de saída do visor do instrumento é de 0,01 V e o mesmo não pode garantir medidas menores que 10 mV. Considerando que foram feitas 5 medidas: podemos calcular o valor médio .

Devemos arredondar esse resultado. A incerteza deve cobrir uma faixa de valores representados pelos algarismos menos significativos do resultado de uma medida. Exemplos de representações de medidas e suas incertezas:

o número de dígitos depois da vírgula na incerteza é igual ao número de dígitos depois da vírgula no mensurando

Arredondamento .

Exemplo 1: considere duas balanças diferentes que produzem medidas distintas com incertezas distintas, de modo que (omitindo as incertezas) e . Ao executar a operação de adição, devemos posicionar o ponto decimal e preencher com zeros para obtermos o mesmo número de casas:

+

__________

que deve ser arredondado para

Exemplo 2: que deve ser arredondado para

Definições - VIM

2.11 valor verdadeiro (de uma grandeza)

Valor de uma grandeza compatível com a definição da grandeza.

NOTA 1: Na Abordagem de Erro para descrever as medições, o valor verdadeiro é considerado único

e, na prática, desconhecido. A Abordagem de Incerteza consiste no reconhecimento de que, devido à

quantidade intrinsecamente incompleta de detalhes na definição de uma grandeza, não existe um valor

verdadeiro único, mas um conjunto de valores verdadeiros consistentes com a definição. Entretanto,

este conjunto de valores é, em princípio e na prática, desconhecido. Outras abordagens evitam

completamente o conceito de valor verdadeiro e avaliam a validade dos resultados de medição com

auxílio do conceito de compatibilidade metrológica.

NOTA 2: No caso particular de uma constante fundamental, considera-se que a grandeza tenha um

valor verdadeiro único.

NOTA 3: Quando a incerteza definicional, associada ao mensurando, é considerada desprezível em

comparação com os outros componentes da incerteza de medição, pode-se considerar que o

mensurando possui um valor verdadeiro essencialmente único”. Esta é a abordagem adotada pelo

GUM e documentos associados, onde a palavra “verdadeiro” é considerada redundante.

Definições - VIM

2.46 comparabilidade metrológica

Comparabilidade de resultados de medição que, para grandezas duma dada

natureza, são rastreáveis metrologicamente à mesma referência.

EXEMPLO: Resultados de medição, para as distâncias entre a Terra e a Lua, e

entre Paris e Londres, são comparáveis metrologicamente quando ambas são

rastreáveis metrologicamente à mesma unidade de medida, por exemplo, o

metro.

5.18 VALOR DE REFERÊNCIA

Valor de uma grandeza, utilizado como base para a comparação com valores de

grandezas da mesma natureza.

NOTA 2: Um valor de referência com sua incerteza de medição associada é geralmente

relacionado a:

a) um material, por exemplo, um material de referência certificado; b) um

dispositivo, por exemplo, um laser estabilizado; c) um procedimento de medição

de referência; d) uma comparação de padrões.

Definições - VIM 2.9 resultado de medição

Conjunto de valores atribuídos a um mensurando, juntamente com toda outra informação pertinente disponível.

NOTA 1: Um resultado de medição geralmente contém “informação pertinente” sobre o conjunto de valores, alguns dos quais podem ser mais representativos do mensurando do que outros. Isto pode ser expresso na forma de uma função de densidade de probabilidade (FDP).

NOTA 2: Um resultado de medição é geralmente expresso por um único valor medido e uma incerteza de medição. Caso a incerteza de medição seja considerada desprezível para alguma finalidade, o resultado de medição pode ser expresso como um único valor medido. Em muitas áreas, esta é a maneira mais comum de expressar um resultado de medição.

NOTA 3: Na literatura tradicional e na edição brasileira anterior do VIM, o resultado de medição era definido como um valor atribuído a um mensurando obtido por medição, que poderia ser representado por uma indicação, ou um resultado não corrigido, ou um resultado corrigido, de acordo com o contexto.

SENSORES (SISTEMAS DE

MEDIÇÃO)

52

SENSORES (SISTEMAS DE

MEDIÇÃO)

53

Sistemas para medição

Função de Transferência

Estabelece as relações que existem entre as entradas e saídas de um sistema de

medição

Caracteriza cada dispositivo de um sistema de medição

Depende dos princípios físicos que regem o comportamento do dispositivo

Em geral, os dispositivos de um sistema de medição são construídos visando uma função de

transferência linear

Dispositivo de

Apresentação

xe3 xe1

Transdutor

Sensor

Fonte de Alimentação

Mensurando

xm

y1

Condicionador de Sinal

xe2

y2

Display=h(y2) y2=g(y1)

y1=f(xm)

SENSORES

55

Sistemas para medição

Os sistemas de medição são compostos por diversas partes

Infinitas variáveis afetam a variável de saída de cada parte

Dispositivo de

Apresentação

xe3

xe1

Transdutor

Sensor

Fonte de Alimentação

Mensurando

xm

y1 Condicionador de Sinal

xe2

y2

Display=h(y2,ex3) y2=g(y1,ex2)

y1=f(xm,ex1)

Parte do

Instrument

o

Variável de

interesse

para

medida

xm

Variável de

saída y

Variáveis

espúrias

Variáveis

espúrias

xe1

xe2 xe4 xe3

xe5

xe6

xe7 xe9

xek

y = f (xm, xe1, xe2, xe3, ...., xek, ...., xe) Os sistemas de medição são construídos com a intenção de medirem

(serem mais sensíveis à) algumas variáveis de entrada desejadas

As variáveis indesejadas são ditas espúrias

O desempenho do sistema de medição é determinado por sua sensibilidade às variáveis desejadas e rejeição às variáveis indesejadas

Caracterização de Sistemas de

Medição

Faixa (range): A região entre os limites nos quais a grandeza é

medida, recebida ou transmitida. Expresso em limite inferior e

superior. Ex.: Faixa de temperatura de -20 a 200 ºC.

x1

y=f(x1)

Faixa de Operação

(saída)

Fundo de escala de saída

FSs

Fundo de escala da entrada

FSe

Sensor de terminação única

58

Sensor diderencial

59


Medição

Sensibilidade Estática (Ganho): A razão da variação na saída pela variação da entrada depois do regime permanente ser alcançado. Ex.: A sensibilidade de um termômetro pode ser 1 mV/ºC. Matematicamente definida pela derivada da saída em relação a entrada.

,...,,321 ooo

k

k

xxxx

fSx

x1

y=f(x1)

x1o


Medição

Sensibilidade Estática para uma Função de Transferência Linear

1 2 3

constante, , ,...

k k

k

fSx

x x xx

2

1 1 2 2 3 1 3

1 2 31

1 2, ,

fSx x x x

x x xx

Sensibilidade Estática para uma Função de Transferência não Linear

A sensibilidade varia em função do valor das variáveis

1 2 3, , , ....y f x x x Exemplo:

2 2

1 1 2 2 3 1 31y x x x x

1 1 2 2 3 3 ...y x x x


Medição

Linearidade (em instrumentos de medição)

Quantifica quanto a curva saída x entrada se aproxima de uma linha reta.

Indica o máximo desvio da função de transferência do instrumento de uma reta de referência média que representa o comportamento do instrumento.

Aplica-se a sistemas de medição projetados para serem lineares

Linearidade % = 100.Difmax/FSs

Na verdade expressa a não

linearidade

x1

y=f(x1) Difmax


Medição

• Conformidade

– Quantifica o quão a função de transferência do instrumento se conforma à função de transferência prevista teoricamente

– Máximo desvio da função de transferência do instrumento em relação a uma curva de referência

– Aplica-se a sistemas de medição não lineares

y=f(x1)

Conformidade % =100.Difmax/FSs

Na verdade expressa a não

conformidade

Difmax

Definições

Relação Sinal Ruído (SNR-signal to noise ratio): define a razão entre as potências do sinal e do ruído total presente nesse sinal.

dB

Geralmente é melhor obtermos uma razão sinal ruído maior que 0 dB.

Imagine que você está assistindo uma partida de futebol ao vivo em um estádio, escutando a transmissão por um rádio AM. É preciso que o sinal do rádio seja mais intenso que o ruído causado pela torcida, caso contrário será impossível entender o que o locutor está falando.

Para um sinal v(t) com um valor RMS Vrms(t) a SNR pode ser definida como:

Alternativamente, pode-se definir a SNR como a razão entre os valores (rms ou de pico) entre o sinal de interesse e o ruído introduzido no processo.

potência do sinal10.log

potência do ruídoSNR

2

210log

RMS

RMSn

vSNR

v


Medição

Resolução:Menor variação da grandeza medida que causa uma variação perceptível na indicação correspondente.

Resolução de Entrada (threshold)

A menor variação no sinal de entrada (mensurando) que resultará numa variação mensurável na saída (dxmin). Ex.: A resolução de um LVDT hipotético é de 0,1 µm.

Resolução de Saída

Maior salto da medida em resposta a uma variação infinitesimal do mensurando (dymax). Ex.: A resolução do termômetro ao lado é de 0,1C

x1

y=f(x1) dymax

dxmin

Instrumentos Analógicos e Digitais

Analógicos: Eletromecânicos – utilizam geralmente um ponteiro

deslocando-se sobre uma escala para indicar a medida

Digitais: Eletrônicos – Geralmente utilizam dígitos para indicar

a medida.


Os indicadores digitais possuem uma precisão limitada. Neste

caso, é direto o entendimento da quantidade de algarismos

significativos. Nos displays digitais, o último dígito é o

também duvidoso. Na prática, é o dígito que está

continuamente variando.

Classes dos Instrumentos

Índice de Classe Limites de erros

0,05 0,05%

0,1 0,1%

0,2 0,2%

0,5 0,5%

1,0 1,0%

1,5 1,5%

2,5 2,5%

5,0 5,0%

Os erros são sempre relativos ao fundo de escala sendo utilizado na medida.

Multímetro Digital de

Bancada - 740 01

Classe 0,05% + 2 dgt.

4,5 dígitos 50000 Count

True RMS Multimeter

Permanent moving moving-coil

instrument class 1.5 / double scale

Multímetros Digitais (DMM)

• A resolução dos instrumentos digitais é fornecida em função do número de dígitos.

• Se um determinado instrumento mostrar uma grandeza com 999, diz-se que a mesma é representada por 3 dígitos.

• Displays LCDs regulares representam as grandezas com um fundo de escala do tipo 1999 (2000 contagens) - neste caso diz-se que este instrumento é 3 e ½ dígitos.

• Caso o fundo de escala seja 19999 (20000 contagens), diz-se que este instrumento é 4 e ½ dígitos.

• Estes instrumentos tem os fundos de escala em múltiplos de 2 unidades (20 mA, 200 mA, 2 V, 20 V, 200 V ...

• Existem ainda instrumentos que ao invés de possuírem fundos de escala 2 (unidade) tem outros números – geralmente 4. Nestes casos diz-se que o instrumento tem n ¾ dígitos.

• Observe que o número de dígitos do instrumento também define a resolução do mesmo, uma vez que o dígito mais a direita representa menor variação lida por este instrumento. Porém a composição da incerteza possui outros fatores

Dígitos Contagens Total

3 e 1/2 0-1999 2000

3 e 3/4 0-3999 4000

4 e 1/2 0-19999 20000

4 e 3/4 0-39999 40000

4 e 4/5 0-49999 50000

Sugestão de documentário

70

Precision: The Measure of All Things

https://www.youtube.com/watch?v=hS3eKT23-K0




Exercícios

1. Porque a Instrumentação é importante no contexto do controle de porcessos?

2. No que consiste a calibração de um sistema de medida?

3. Qual a diferença entre transdutores de entrada e de saída?

4. O que são sensores ativos?

5. Cite dois sensores passivos.

6. O que é rastreabilidade? Qual a sua utilizade

7. Um sensor, calibrado por comparação utiliza outro sensor. Quais as especificações necessárias a esse sensor “padrão”?

71

Exercícios

1. O que é resolução? Qual a diferença entre resolução de entrada e de saída?

2. Defina a sensibilidade de um sensor de uma grandeza genérica. Forneça 3 exemplos práticos.

3. Defina linearidade de um sistema de medida (cuidado, diferente da definição de outros contextos como sistemas e sinais). Forneça um exemplo.

4. Por que, utilizar um sensor linear é geralmente melhor que utilizar um sensor não linear?

5. Como estabelecer um valor determinado por uma avaliação experimental com uma média em função dos seus números significativos apenas:

6. A,XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX? A e X são dígitos (0 a 9).

7. Qual a diferença em indicar o resultado da medição entre a. 52,10 mm e b. 52,100 mm?

8. Quantos números significativos há nos valores a seguir?

a. 1,0 b. 1,00 c. 1,000 d. 1,0000 e. 10 f. 100 g. 1000

72

Introdução a análise de

Incertezas

Nessa parte são introduzidos conceitos úteis no entendimento da análise da propagação de incertezas.

73

Interpretação da medição

te

Se

ae

.. .... ..

::. :::: . ... ..

:: ::

..::

.. .... ..

::. ::::

VRef

x

Conceitos

2.13 exatidão de medição

Grau de concordância entre um valor medido e um valor verdadeiro de um mensurando.

NOTA 1: A “exatidão de medição” não é uma grandeza e não lhe é atribuído um valor numérico. Uma medição é dita mais exata quando é caracterizada por um erro de medição menor.

NOTA 2: O termo “exatidão de medição” não deve ser utilizado no lugar de veracidade, assim como o termo precisão de medição não deve ser utilizado para expressar “exatidão de medição”, o qual, entretanto, está relacionado a ambos os conceitos.

NOTA 3: A “exatidão de medição” é algumas vezes entendida como o grau de concordância entre valores medidos que são atribuídos ao mensurando.

Conceitos

2.14 - veracidade de medição Grau de concordância entre a média de um número infinito de valores medidos repetidos e um valor de referência.

NOTA 1: A veracidade não é uma grandeza e, portanto, não pode ser expressa numericamente. Porém, a norma ISO 5725 apresenta medidas para o grau de concordância.

NOTA 2: A veracidade está inversamente relacionada ao erro sistemático, porém não está relacionada ao erro aleatório.

NOTA 3: Não se deve utilizar o termo exatidão de medição no lugar de “veracidade” e vice-versa.

c

VRef

ae

.. .... ..

::. :::: .

... ..

:: ::

..::

c = correção

ea = erro aleatório

Conceitos

2.15 precisão de medição

Grau de concordância entre indicações ou valores medidos, obtidos por medições repetidas, no mesmo objeto ou em objetos similares, sob condições especificadas.

NOTA 1: A precisão de medição é geralmente expressa na forma numérica por meio de medidas de dispersão como o desvio-padrão, a variância ou o coeficiente de variação, sob condições de medição especificadas.

NOTA 2: As “condições especificadas” podem ser, por exemplo, condições de repetitividade, condições de precisão intermediária ou condições de reprodutibilidade (ver ISO 5725–3: 1994).

NOTA 3: A precisão de medição é utilizada para definir a repetitividade de medição, a precisão intermediária de medição e a reprodutibilidade de medição.

NOTA 4: O termo “precisão de medição” é algumas vezes utilizado, erroneamente, para designar a exatidão de medição.

Conceitos

2.16 erro de medição

Diferença entre o valor medido de uma grandeza e um valor de referência.

2.17 erro sistemático

Componente do erro de medição que, em medições repetidas, permanece constante ou varia de maneira previsível.

2.19 erro aleatório

Componente do erro de medição que, em medições repetidas, varia de maneira imprevisível.

Conceitos – Precisão e

Exatidão não são unânimes

Segundo a norma IEC 61298-2 a exatidão é expressa quantitativamente: erro máximo entre o valor verdadeiro e o valor medido, incluindo erros como não linearidades, erros de zero e histerese entre outros.

A norma ISO 5725-1, define a exatidão como o grau de concordância entre o resultado da medida e o valor esperado e aceito como referência.

Essas definições tratam a exatidão como uma composição de erros sistemáticos (de tendência, caracterizados pela veracidade de medição) e erros aleatórios (caracterizados pela precisão de medição).

O VIM-GUM assume que o mensurando não é mensurável, as demais normas assumem que o mensurando é mensurável.

A definição do VIM-GUM permite a possibilidade de levar em consideração incertezas do tipo B, como incertezas herdadas na calibração, garantindo a rastreabilidade dos instrumentos de medição de padrões primários.

Erro sistemático e aleatório

te

Se

ae

.. .... ..

::. :::: . ... ..

:: ::

..::

.. .... ..

::. ::::

VRef

x

es = erro sistemático

ea = erro aleatório

et = erro total

Definições VIM

2.21 repetibilidade de medição

Precisão de medição sob um conjunto de condições de repetibilidade.

2.26 incerteza de medição

Parâmetro não negativo que caracteriza a dispersão dos valores atribuídos a um mensurando, com base nas informações utilizadas.

x

Distribuição Normal 22

/2

1

2

1

x

ey

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA

z 0 1 2 3 -1 -2 -3

xz

Observe: é o desvio padrão da população é a média da população

zp .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359

.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753

.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141

.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517

.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879

.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224

.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549

.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852

.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133

.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389

1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621

1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830

1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015

1.2 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177

1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319

1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441

1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545

1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633

1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706

1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767

Tabela

EXEMPLO

11,0

201,20

ixz

Coordenada Z

C020 Cxi

01,20 C01,0

1z )1,20%(13,84 ixp

)1,20%(87,15 ixp

Distribuição Normal

86

Amostragem e distribuições

de amostragens

87

Suponha que uma fábrica produz pregos e queremos saber quantas, desses pregos saem com defeitos.

Queremos saber a taxa de sucessos (pregos sem defeitos) ! Monitoramos uma amostra aleatória e encontramos que x deles estão Ok!

Quanto boa é essa estimativa?

88

Amostragem e distribuições

de amostragens

Amostragem

Não podemos afirmar nada sobre (amostral) porque nada

sabemos sobre p populacional.

Ideia: vamos pegar várias amostras de 1000 pregos. Os valores de

devem se distribuir em torno de p populacional.

89

Amostragem

Agora os valores de se parecem com uma

variável aleatória: a escolha de n unidades de

pregos é um experimento aleatório e a

observação de uma saída.

Se x é o número de sucessos na amostra então

x é uma variável binomial aleatória! (n

tentativas com probabilidade p).

Definimos a proporção observada como

variável aleatória

90

a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta

do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as

tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas

possibilidades, sucesso ou fracasso; a probabilidade de cada

tentativa, p, permanece constante.

Amostragem

91

Amostragem

está centrado em p e o desvio

padrão é proporcional a n!

Como é uma variável com

distribuição normal, (teorema

do limite central) concluímos

que em 1 desvio padrão

teremos 68% dos valores

verdadeiros de p.

92

Distribuição t de Student

93

Se não conhecemos o desvio padrão da população temos que

Calcular o devio padrão amostral e ....

t de Student

publicada por um autor que se chamou de Student, pseudônimo

deWilliam Sealy Gosset, que não podia usar seu nome

verdadeiro para publicar trabalhos enquanto trabalhasse para

a cervejaria Guinness.

http://pt.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset





http://pt.wikipedia.org/wiki/Guinness

http://pt.wikipedia.org/wiki/Guinness

t de student

95

•Depende do número de graus de liberdade; •Determinação da média de uma população (que segue a distribuição normal) a partir de uma amostra. •Utilizando os estimadores de média e desvio padrão: e •Então a variável t segue uma distribuição de student

1 2( ... )nn

x x xx

N

22

1

1

1

n

n i n

i

s x xn

n

xt

s n

n1

n3

n2

n4

, 1

, 2

, 3

, 4

n1>n2>n3>>n4

1<2<3<4

DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT


t 0 +t -t

ns

xxt i

/

Observe: média amostral

s desvio padrão amostral

x

df t.60 t.70 t.80 t.90 t.95 t.975 t.99 t.995

1 .325 .727 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657

2 .289 .617 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925

3 .277 .584 .978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841

4 .271 .569 .941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604

5 .267 .559 .920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

6 .265 .553 .906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707

7 .263 .549 .896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 .262 .546 .889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 .261 .543 .883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 .260 .542 .879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 .260 .540 .876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106

12 .259 .539 .873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055

13 .259 .538 .870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012

14 .258 .537 .868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977

15 .258 .536 .866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947

16 .258 .535 .865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921

17 .257 .534 .863 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898

18 .257 .534 .862 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878

19 .257 .533 .861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861

20 .257 .533 .860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

21 .257 .532 .859 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831

22 .256 .532 .858 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819

23 .256 .532 .858 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807


EXEMPLO

Coordenada t

Cx 020 Cxi

01,20 Cs 01,0

162,3

10

1,0

201,20

n

s

xxt i

t p

2,821 99

3,162 ?

3,250 99,5

)1,20%(4,99(?) ixp

)1,20%(6,0 ixp

10n

DISTRIBUÍÇÕES “NORMAL

PADRONIZADA”E “t DE SUDENT”

ix

z

n

s

xxt i

Coordenada Z

Coordenada t

OBSERVE QUE A MEDIDA

QUE O NÚMERO DE

OBSERVAÇÃOES n

CRESCE A COORDENADA

t TENDE A INFINITO, O

QUE CORRESPONDE A

CURVA NORMAL.

Na prática, de n<=30 utiliza-

se a distribuição t de student.

Se n>30 utiliza-se a normal.

Incertezas

Tipo A

Avaliadas por métodos estatísticos

Caracterizadas pela variância i2 ou desvio padrão i (definido como o

desvio padrão da média) e pelo número de graus de liberdade

Tipo B

Avaliadas por outros meios:

• dados obtidos previamente

• experiência ou conhecimento do comportamento do sistema de medição

• especificação do fabricante

• dados obtidos de curvas de aferição ou outros documentos

Caracterizadas pela quantidade uj2 ou uj que podem ser tratadas como

aproximações de variância e desvio padrão para efeitos de cálculos.

Incerteza

A incerteza de uma estimativa de entrada, xi, é denotada por u(xi).

A incerteza padrão de uma estimativa de saída, y, determinada pela propagação da incerteza, é chamada de incerteza padrão combinada, e é denotada por uc(y).

Incerteza expandida

Multiplique a incerteza padrão combinada, uc(y), por um número k, chamado fator de cobertura para obter a incerteza expandida, U.

A probabilidade que o intervalo y +- U contém o valor do mensurando é chamada de nível de cobertura ou nível de confidência ou de confiança.

Incertezas

• Intervalo de Confiança

• O intervalo de confiança consiste em um número fixo, positivo menor que 1 que representa a probabilidade de um determinado parâmetro da população (a ser estimado) estar compreendida entre dois limites.

1 2P L L

Para uma distribuição gaussiana

de resultados (por exemplo com

n>30)

Intervalo de confiança

nº de Intervalo de

confiança

Nível de

confiança

(%)

Nível de

Significância

(%)

3.30 3.3 3.3vy y y 99.9 0.1

3.0 3 3vy y y 99.7 0.3

2.57 2.57 2.57vy y y 99.0 1.0

2.0 2 2vy y y 95.4 4.6

1.96 1.96 1.96vy y y 95.0 5.0

1.65 1.65 1.65vy y y 90.0 10.0

1.0

(incerteza

padrão)

vy y y 68.3 31.7

Exercício: Valores Zα/2

• Calcule o valor crítico

• Zα/2 que corresponde

• ao NC de 90%.

• NC = 0,90 => α=0,10 =>

• α/2=0,05

• Na tabela α/2 = 0,05

• Área entre Z=0 e Z=α/2

• Zα/2 = 1,645

Na tabela: descontar metade da curva: -0,5 - > veja,

O valor situa-se entre z=1,64 e 1,65


Na prática, se n<30 observações é necessário utilizar a distribuição t de student.

Isso se faz necessário porque geralmente não possuímos a média e o desvio padrão da população e sim da amostra.

Nesse caso, busca-se na tabela de valores da distribuição t, o intervalo correspondente ao número de graus de liberdade dado geralmente por v=n-1


• exemplo:

• Sabendo-se que uma amostra tem 25 elementos,

que a sua média amostral é 150 e desvio padrão

amostral s=10. Represente um intervalo de

confiança em nível de 90%.

• Como a amostra é menor que 30 elementos,

usaremos a distribuição t de Student. Se desejamos

um intervalo de confiança de 90%, temos:

• número de graus de liberdade (n-1), é (25-1)=24.

• O nível de confiança desejado é 0,9 e


• Conhecendo o número de

graus de liberdade e o nível de

• confiança desejado vamos a

tabela e encontramos o valor

t, neste caso igual a 1,7109.

Exemplo

Conceitos

Utilize conceito 6 com próximo slide

Desvio padrão da média

Xp

ˆX

S

p

Se a média é com para i=1,2,...p então

Se X1, X2. ... Xp, são independentes com V(Xi)=2 para i=1,2,...p então

O desvio padrão da média é menor que da população . Este é o valor

utilizado como incerteza padrão!

Quando o estimador seguir uma distribuição normal, podemos ficar

razoavelmente confiantes de que o valor verdadeiro do parâmetro encontra-

se no intervalo da incerteza padrão estimada.

2

( )V Xp

1 2 ... pX X XX

p

( )E X ( )iE X

Avaliação da Incerteza do

tipo A

Aplicada quando algumas observações independentes foram executadas para uma das grandezas de entrada sob as mesmas condições de medida.

Assumindo que a medida repetida da quantidade de entrada é a quantidade Q. Com n observações estatisticamente independentes , a estimativa da quantidade Q é a média aritmética dos valores individuais observados

1

1 n

j

j

q qn


tipo A

A incerteza de medida associada com a estimativa é avaliada de acordo com um dos seguintes métodos:

a) Uma estimativa da variância da distribuição de probabilidades é obtida com a variância experimental dos valores que são dados por:

22

1

1

1

n

j

j

s q q qn

Incerteza do tipo A

A melhor estimativa da variância da média aritmética é a variância experimental da média dada por :

A incerteza padrão associada com a estimativa de entrada é o próprio desvio padrão experimental da média.

Cuidado: Geralmente quando o número de repetições de medidas é baixo (n<10), a confiabilidade da avaliação da incerteza do tipo A deve ser considerada. Se o número de observações não pode ser aumentado, outros meios de avaliação da incerteza devem ser considerados.

2

2s q

s qn

u q s q

Incerteza tipo A

Exemplo: Uma especificação diz que a leitura de uma balança está dentro do intervalo de 0,2 mg com um nível de confiança de 95%. A partir das tabelas padrão de pontos de percentagem sobre a distribuição Normal, calcula-se um intervalo de confiança de 95%, usando-se um valor de 1,96 . O uso desse valor lido dá uma incerteza padrão de:

0,2 0,11,96

Avaliação da Incerteza tipo B

A avaliação da incerteza padrão do tipo B é a avaliação da incerteza associada com uma estimativa de uma quantidade de entrada por qualquer meio diferente da análise estatística da série de observações. A incerteza padrão é avaliada por julgamento científico baseado em informação disponível na variabilidade possível de valores pertencentes a essa categoria que podem ser originados de: Medidas executadas previamente; Experiência com conhecimento geral do comportamento e propriedades de materiais e instrumentos relevantes; Especificações de fabricantes; Dados de calibrações e outros certificados; Incertezas oriundas de referências bibliográficas como manuais ou semelhantes.

Avaliação da incerteza tipo B

Se apenas os valores limites superior e inferior podem ser estimados para os valores da quantidade uma distribuição de probabilidades com densidade de probabilidades retangular deve ser assumida para a possível variabilidade da quantidade de entrada . Assim, a estimativa da entrada pode ser definida:

Exemplo de utilização de uma distribuição retangular: Um frasco volumétrico grau A de 10 mL é certificado em uma faixa de 0,2 mL. A incerteza padrão é de ml.

2 21

3iu x a

0,2 0,123


tipo B

Mas se existe a certeza de que os valores das quantidades em questão estão mais próximos ao centro do intervalo do que nos seus limites, uma distribuição triangular seria um modelo melhor. Nesse caso a incerteza é calculada com

Exemplo de utilização de uma distribuição triangular: Um frasco volumétrico grau A de 10 mL é certificado em uma faixa de 0,2 mL, mas as verificações internas de rotina mostram que valores extremos são raros. A incerteza padrão é de ml.

6

au x

6

au x

Incerteza Expandida

Multiplique a incerteza padrão combinada, uc(y), por um número k, chamado fator de cobertura para obter a incerteza expandida, U.

A probabilidade que o intervalo y +- U contém o valor do mensurando é chamada de nível de cobertura ou nível de confidência ou de confiança.

Incerteza Combinada

Efeito da Incerteza sobre “y” 1 1 2 2, , , ,k ky f x u x u x u

k

k

k

uxxxx

fxxxfy

,,,,,,

321

321

uc Variação em y

incerteza

uc

uk x

y

xk

f(x1 , x2 ,...)

Expansão em

Série de Taylor:

Observe que ao truncarmos a série assumimos um comportamento “lento” da função!!!

Incerteza Combinada

Dada uma relação funcional entre algumas variáveis (x, y, z), Q=f(x, y, z) Qual é a incerteza de Q conhecendo-se as incertezas em x, y, e z? Consideramos a incerteza padrão em x, e escrevemos: x±s. Em muitos casos assumimos a incerteza “Gaussiana” e como visto anteriormente, 68% das vezes, esperamos que o valor de x esteja no intervalo [x-s, x+s]. Nem todas as medidas podem ser representadas por distribuições Gaussianas! Para calcular a variância de Q como função das variâncias em x e y, então usamos: Essa equação descreve a incerteza dada na forma de desvio padrão para a função Q aproximada pela série de Taylor truncada no primeiro termo.

Se variáveis não são correlacionadas:

y

Q

x

Q

y

Q

x

QxyyxQ

2

2

2

2

22

Incerteza combinada

Se as medidas não são correlacionadas (independentes) o último termo na equação anterior é zero;

2

,

2

2

,

22

yxyxy

Q

x

QyxQ

Medidas não

correlacionadas

Graus de Liberdade

O divisor da variância da amostra é o tamanho da amostra menos 1 (n-1), enquanto para a variância da população, é o tamanho da população n.

Se soubéssemos o valor verdadeiro da média populacional µ, então poderíamos encontrar a variância da amostra como a média dos quadrados dos desvios das observações da amostra em torno de µ. Na prática, o valor de µ quase nunca é conhecido, e dessa forma, a soma dos quadrados dos desvios em torno da média X tem que ser usada. No entanto as observações Xi tendem a estar mais próximas do seu valor médio X, do que a média populacional µ. A variância s2, da amostra é baseada em n-1 graus de liberdade. O termo “graus de liberdade” resulta do fato de que n desvios X1 -X,

X2 –X, ..., Xn –X sempre somam zero e assim, especificar os valores de quaisquer n-1 dessas quantidades determina automaticamente aquele restante.

Dessa forma, somente n-1 nos n desvios Xi –X, estão livremente determinados.

1

1

2

2

n

xx

s

n

i

i 2

2 1

n

i

i

x

N

Graus de Liberdade

- Graus de Liberdade Efetivos

N

i

i

ii

c

N

i

i

i

c

eff

xuc

yu

yu

yu

1

4

4

1

4

4

(

)(

)(

)(

cpukU

,

- Incerteza Expandida

Ao combinar incertezas combinadas de incertezas dos tipos B ou A com um número de

amostras inferior a 30, é necessário estimar um número de graus de liberdade.

Isso será muito importante porque ajudará a verificar qual o tipo de distribuição seguida pela

Incerteza combinada.

Graus de liberdade

• E se a incerteza é do tipo B, como calcular os graus de liberdade?

• o v, tal como aparece na distribuição-t, é uma medida da incerteza da variância s2(z), e a seguinte equação pode ser usada para definir os graus de liberdade vi:

• A grandeza entre colchetes maiores é a incerteza relativa de u(xi); para uma avaliação do Tipo B da incerteza padrão, é uma grandeza subjetiva cujo valor é obtido por julgamento científico baseado no conjunto de informações disponíveis .

Graus de liberdade

Exemplo

Massa Média = 10 kg 10 repetições Desvio Padrão = 0,03 g

Aceleração da Gravidade = 9,80665 m/s² Incerteza=0,00002m/s²;k=2

Balança Utilizada Incerteza = 0,01 g ; k=2; 95%

Exemplo (medidas não

correlacionadas)

x

yxf

x

lim

0

)('F

F

aa

a

a a

F

11mm

1m F

1m m

F

um

u au

m

F

a

F22

22

( )

Exemplo MNC

amF Certificado

m

F

a

Certificado

Repetição

diagrama de ishikawa

Exemplo MNC

MENSURANDO FORÇA

)(i

xfy amF

I -

II - GRANDEZAS DE

ENTRADA aem

kgm 10

Incerteza tipo A(repetição) gum 009487,010

03,01

²/80665,9 sma

Massa

Exemplo MNC

Massa

Incerteza tipo B(Balança-Cert.) ggum 005,02

01,02

Aceleração da gravidade

Incerteza tipo B

(certificado) ²100001,02

²100002,0 66

mxmx

ua

gum

01072000500094870 22,,,

Exemplo MNC

)(i

xfy

n

xsxu i

i

)()(

63)(

cou

cxu

i

k

Uu

declarada

ocertificad

)(

- Mensurando

- Incertezas Padrão (Grandezas de Entrada)

Avaliação Tipo A Avaliação Tipo B

onde c = estimativa

Exemplo MNC

III - COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE

m

Fc

mi

)( a 2/80665,9 sm

a

Fc

ai

)(m kg10

IV - CONTRIBUIÇÕES DE INCERTEZA

mmimF ucu )()( kgsm 32 1001072,0/80665,9 N000105,0

aaiaFucu

)()( ²/00001,010 smkg N0001,0

Exemplo MNC

V - INCERTEZA COMBINADA

Nu NF 000145,00001,0000105,0 22

)(

VI - GRAUS DE LIBERDADE EFETIVO

4

3 4

0,00014553

(9,80665 / ² 0,009487 10 )

9

m s kg

k=2,00

6

VI - INCERTEZA EXPANDIDA

NNUF 00029,02000145,0

VII - RESULTADO DE MEDIÇÃO

NsmkgF 06650,98²/80665,910

98,06650 0,00029 ; 2,0; 95%F N N k

Exemplo MNC

22

a

a

m

m

F

Fu

c

6

22

1048025,1²/80665,9

²/00001,0

10000

01073,0

sm

sm

g

g

F

Fuc

NNFuc

000145006659810480251 6,,,)(

Outro exemplo

Considere que é necessário determinar a incerteza de medida de um voltímetro na faixa de 100 a

1000,0000 V utilizando um sistema de referência (calibrador) . Tem-se os dados do calibrador e do

voltímetro:

U1= incerteza do calibrador; U2= certificado calibração do voltímetro; U3= componente

(resolução + experimental do voltímetro);

a. O sistema de referência (calibrador) possui um certificado de sua última calibração

(suponha que não existem restrições de prazo de calibração).

A Incerteza normalizada é fornecida de acordo com a faixa (considere o número de graus de

liberdade tendendo ao infinito ):

Trata-se de uma incerteza do tipo B. Na faixa de interesse U1= 20 mV/2,58 = 7,8 mV.

Faixa Incerteza nível de confiança

0 a 100,0000 mV 3,0 uV 99%

100mV a 1,000000 V 13 uV 99%

1 a 10,00000 V 135 uV 99%

10 a 100,0000 V 2,0 mV 99%

100 a 1000,000 V 20 mV 99%

22 2

31 2TU UU U

Outro exemplo O voltímetro, cuja incerteza o aluno precisa determinar também possui um certificado de

calibração (também dentro do prazo de validade) que é fornecido na tabela a seguir (considere o

número de graus de liberdade tendendo ao infinito):

Como a nível de confiança é 95,4% U2=10,1/2 = 5,1 mV

c. Finalmente uma componente de incerteza do voltímetro pode ser estimada a partir das

medidas experimentais em conjunto com a resolução do instrumento com . (S2)

depende da resolução do instrumento, a qual pode ser obtida do dígito menos significativo (LSB) de

um instrumento 7 e ½ dígitos. Por exemplo, na escala de 10 V o display mostra 10,000000 V para

uma medida exata. Nesse caso a casa mais a direita indica a resolução do instrumento (sem possíveis

correções). O termo S1 é obtido experimentalmente, de 60 medidas cuja média V

e o desvio padrão V da amostra (dados) são fornecidos; determinar incerteza do

voltímetro com um intervalo de confiança de 95%.

Faixa Incerteza nível de confiança

0 a 100,0000 mV 12,0 uV 95,4%

100mV a 1,000000 V 8,3 uV 95,4%

1 a 10,00000 V 80,5 uV 95,4%

10 a 100,0000 V 1,03 mV 95,4%

100 a 1000,000 V 10,1 mV 95,4%

2 2

1 2xU S S

x 1000,0036

s 0,000498519

Solução

S1 depende das medidas:

S2 depende da resolução do voltímetro nessa faixa: (veja que se a resolução do calibrador é pobre, essa parcela ganha importância já que o multímetro leria sempre a mesma medida). O dígito menos significativo de um DMM de 7 e ½ dígitos representa uma resolução de 0,0001 V = 100 uV. Assim

A incerteza total é determinada pela soma quadrática das 3 incertezas. Veja o fator de sensibilidade das 3 incertezas é 1, porque o modelo da incerteza total é uma soma das incertezas individuais.

2 2

3 1 2U S S

1

0,00049851964,5

60S V

2

(0,0001/2)29

3S V

22 2

31 2TU UU U

2 2

3 70,7(64,5) (29)U V

Comentários

Foram apresentadas apenas algumas das definições do VIM;

Foi apresentado um caso simples de análise de incertezas, utilizando o método clássico do GUM;

Para medidas correlacionadas veja o GUM;

Para outros métodos de análise de propagação de incertezas veja o GUM e seus suplementos

Exercícios

141

Exercícios

142

Exercícios

143

Exercícios

144

145

Fazer download : GUM: http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html

Fazer download: VIM:

http://www.bipm.org/en/publications/guides/vim.html

VIM : português:

www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/vim_2012.pdf

GUM: português:

http://www.inmetro.gov.br/noticias/conteudo/iso_gum_versao_site.pdf

Ler artigos!

http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html

http://www.bipm.org/en/publications/guides/vim.html

http://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/vim_2012.pdf



Bibliografia sugerida

BALBINOT A., BRUSAMARELLO, V1. 2ª. Ed. Instrumentação e Fundamentos de

Medidas LTC 2010;

BALBINOT A., BRUSAMARELLO, V2. 2ª. Ed. Instrumentação e Fundamentos de

Medidas LTC 2011;

Montgomery, D. C. "Design and Analysis of Experiments", John Wiley & Sons, 2001.

J. Antony, “Design of Experiments for Engineers and Scientists,” Elsevier Science &

Technology Books, 2003.

JCGM 2008, Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in

measurement.

Vocabulário Internacional de Metrologia – Conceitos fundamentais e gerais e termos

associados (VIM), Versão brasileira da 3a edição do “International Vocabulary of Metrology

— Basic and general concepts and associated terms” (VIM)

aula 01 introdução, conceitos e incerteza aula 01 prof. valner … · termopares e sensores...

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