Instituto de Ciências Exatas e TecnologiaCampus Brasília

Curso Engenharia – Ciclo Básico

Disciplina Tópicos em Física Geral e Experimental

Professor Maurício Falleiros

Aula 01

Objetivos Compreender o aspecto evolutivo e cultural da ciênciaIdentificar os primeiros marcos no surgimento da físicaRelacionar o estudo dos fenômenos físicos com temas do dia-a-diaOperar matematicamente num contexto físico

Conteúdo Civilizações antigas e civilização gregaOscilação em cordas

Civilizações antigas

A curiosidade humana sobre os fatos ao seu redor, para além da necessidade biológica de auto-preservação, busca de alimento e reprodução, remonta a tempos anteriores ao registro histórico. Possivelmente, está associada ao surgimento da linguagem simbólica e à necessidade psicológica de comunicar e conviver.

Se procurarmos as mais antigas ligações dos registros históricos com aquilo que temos hoje como o campo de atuação da Física, encontraremos as observações sobre os eventos astronômicos – em todas as civilizações anteriores aos gregos, do Egito à China, os agrupamentos humanos das mais variadas formas de organização social, reconheciam os padrões de repetição dos eventos celestiais – desde a alternância entre o dia e a noite até os alinhamentos entre determinadas estrelas, conforme observadas a olho nu. Tem-se que uma das principais motivações da atenção despertada por estes eventos era a necessidade de tirar o melhor proveito possível dos recursos agrícolas: a energia do sol, o ciclo das água, os ventos, as estações e o que mais facilitasse a produção de alimentos. Há, até mesmo, registros históricos de previsão de eclipses – não que eles compreendessem o fenômeno em si, mas sabiam quando voltariam a acontecer.

Em paralelo com registro e estudo detalhado das efemérides astronômicas, a linguagem simbólica começava a dar os primeiros passos em direção à Matemática. Os Egípcios eram bons em aritmética, que era necessária para estágio avançado de técnicas administrativas de um grande império, como por exemplo, na demarcação de terras agrícolas e propriedades particulares e no controle financeiro. Os babilônios, por sua vez, já avançavam em álgebra, tendo desenvolvido técnicas para solucionar equações quadráticas, cúbicas e biquadradas, e criaram uma notação fracionária sexagesimal (de onde se originam nossas divisões da circunferência em 360 graus e da hora em 60 minutos).

Ao lado destas necessidades práticas, havia também uma associação muito forte dos objetos e eventos celestes com as divindades, e a posição dos astros era utilizada também como base para a Astrologia – os soberanos faziam questão de ter, em suas cortes, estudiosos que pudessem lhes dizer os momentos mais favoráveis para declarar uma guerra ou celebrar um pacto.

Um pouco mais para o Oriente, a Índia também dominava estes dois conhecimentos – Matemática e Astronomia – e tinha dois elementos que hoje nos são tão usuais que é difícil imaginar como os egípcios e babilônios (entre outros) se viravam sem eles: inventaram o zero e, com ele, uma notação posicional que lhes permitia fazer somas e tábuas de multiplicação de maneira semelhante à que fazemos hoje. A civilização árabe absorveu estas técnicas e as trouxe ao Oriente, mas apenas alguns milênios mais tarde, com o declínio do Império Romano (que usava os esdrúxulos algarismos romanos, tão inadequados às operações matemáticas).

Quanto à Astronomia, o registro histórico é de que todos estes povos acreditavam – alguns sem dar muita importância ao fato – que os astros giravam em torno da Terra.

Cabe aqui observar que ainda não havia uma noção cultural de ciência. Parte de todo esse conhecimento era, como consideramos válido em ciência atualmente, derivado de observações sobre a natureza e de raciocício sobre eles – mas ainda eram muito fortes o caráter místico e divinatório de muitos "conhecimentos" e a manipulação política deles em função da preservação do poder instituído. Os argumentos baseados em revelação e em autoridade eram tidos como absolutamente válidos, tanto quanto a observação dos fatos e a lógica coerente, se não mais do que eles.

A civilização grega

Tida muitas vezes como milagrosa, pelo desenvolvimento que apresentou, a civilização grega herdou um vasto tesouro de informações astronômicas e métodos matemáticos dos povos que vieram antes, fato que é, algumas vezes, desconsiderado. É bem verdade que desenvolveu um corpo de conhecimentos ainda mais vasto, mas é difícil imaginar que teria sido igual se já não existisse a aritmética, a álgebra e os registros dos eventos celestiais. Ainda que muito misturada a teorias e explicações baseadas em revelações, autoridade e tradição, a necessidade de dar coerência lógica às afirmações e o interesse por questões menos imediatadas começavam a dar o tom daquilo que hoje chamamos de Ciência.

Como também já era mais corrente o uso da escrita para efetuar registros históricos, podemos hoje saber quem foram as pessoas que fizeram muitas das contribuições importantes para a cultura da civilização humana como um todo, como foi que aconteceu, em que contexto histórico – a História já era uma atividade, havia pessoas com a profissão de historiador.

Uma das questões mais notáveis que começaram a ser abordadas pelos gregos foi a da constituição da matéria. Leucipo e seu discípulo Demócrito, por volta de 400 a.C., difundiram a idéia de que a matéria do Universo é formada por átomos indestrutíveis e minúsculos. Até mesmo a luz e o som seriam formados pelos indivisíveis átomos. A dificuldade é que na época não havia como demonstrar isto experimentalmente, mas a idéia colou e foi mantida por muito tempo. Entretanto, a visão de Demócrito sobre o Universo era profundamente determinista, não deixando espaço para a intervenção divina: tudo decorreria logicamente dos fatos mais básicos. Desta forma, ficava difícil para as classes poderosas – os governantes e os sacerdotes – favorecer seus interesses através da imposição de explicações e necessidades de natureza divina ou sobrenatural. Mais tarde, quando a Igreja Católica passou a dominar todo o mundo conhecido, na Idade Média, o atomismo passou a ser considerado heresia.

Um século antes deles, viveu na Península Itálica, que ainda era parte do império grego, Pitágoras, importante filósofo e matemático. Sua crença mais profunda era a de que o Universo seria regido por uma rígida mas harmoniosa e bela ordem matemática, e sua obra é repleta de relações matemáticas relevantes até hoje, algumas de sua autoria, outras de seus discípulos.

Sua contribuição mais conhecida para a Física foi o estudo das vibrações de cordas produzindo sons. Não tanto pelas relações matemáticas que conseguiu estabelecer, mas principalmente pelo método de criar experimentos com variáveis controladas e observar os resultados. Os instrumentos de cordas já eram conhecidos, e sabia-se que a altura (nota) emitida pela vibração de uma corda tensa depende de alguns fatores: o comprimento da corda, a tensão a que está sujeita, o material de que é feita (sua densidade) e sua espessura. Utilizando uma única e mesma corda todo o tempo, ele manteve fixos os dois últimos fatores; imobilizando um extremo da corda e pendurando no outro um peso constante, fixou também a tensão; com isto, ele podia variar isoladamente o comprimento da corda e observar os resultados. Outras versões da história dizem que a corda era presa nas duas extremidades, sob tração constante, e o comprimento era controlado por um suporte móvel que gerava um ponto fixo em posição variável. Esta versão é mais coerente com a história de

que ele usou um monocórdio, instrumento musical de uma única corda, com funcionamento semelhante ao dos instrumentos de corda conhecidos e usados atualmente.

Nestes experimentos, ele observou que os intervalos musicais (relação entre as frequências produzidas pela vibração de cordas com as extremidades fixas) eram agradáveis quando produzidos por cordas com comprimentos em relações simples, como 2:1 (intervalo de oitava), 3:2 (de quinta) e 4:3 (de quarta), e desagradáveis em quase todos os outros casos. Isto corroborava sua ideia de que beleza e ordem caminham juntas.

Em linguagem moderna, dizemos que a frequência de oscilação da corda é inversamente proporcional ao comprimento dela (mantidos fixos os outros fatores). Assim, se uma determinada corda tensa oscila 110 vezes por segundo (emite um som de 110 Hertz, correspondente à corda Lá de um violão), a mesma corda com apenas metade do comprimento, vai oscilar 220 vezes por segundo (o que acontece quando o violonista prende a corda no 12º traste), o que corresponde a um Lá oitava acima do primeiro. Os dois Lá tocados em sequência ou ao mesmo tempo produzem uma sensação auditiva agradável, harmônica.

Se a mesma corda for posta a oscilar com dois terços de seu comprimento (a corda do violão presa no 7º traste), sua frequência de oscilação será de

12/3

×110Hz =32×110Hz = 165Hz

que corresponde a um Mi, um "intervalo de quinta" em relação ao Lá original. O intervalo de quinta também é agradável de se ouvir. Com três quartos do comprimento (5º traste do violão), a frequência será de 146,67Hz, correspondente a Ré, um "intervalo de quarta" acima do Lá (110Hz).

A harmonia dos acordes compostos por estes pares de sons se deve ao fato de que numa corda vibrante (e também na coluna de ar vibrante no interior de uma flauta), a vibração correspondente ao extremos fixos e todo o resto da corda vibrando não é a única coisa que acontece. A vibração da corda não é uma semi-senoide, como poderia se supor a partir dos desenhos acima. Ela tem uma forma aparentemente caótica que pode ser decomposta numa série harmônica. Quando a corda real vibra, ela tem "modos" de vibração. Seu movimento real é equivalente à superposição destes modos, e estes modos são justamente formas de onda que têm pontos fixos em intervalos da corda correspondentes a sucessivas divisões da corda em partes iguais.

O primeiro modo de vibração é chamado fundamental ou primeiro harmônico. Os subsequentes, segundo harmônico, terceiro harmônico e assim por diante. Acontece que, quando duas cordas têm comprimentos em razões de inteiros pequenos, como no exemplo acima, muitos dos harmônicos coincidem – é como se a vibração de uma corda contivesse boa parte da vibração da outra! Daí a harmonia entre os sons. Existem outras condições, mais complexas, que definem formalmente a consonância, mas elas são perfeitamente satisfeitas quando há esta coincidência de harmônicos.

Série harmônica (imagem: wikipedia)

Na decomposição da forma aparentemente caótica da oscilação da corda real, cada harmônico aparece com uma intensidade decrescente, em relação à fundamental (por isto, o modo fundamental é que determina a frequência da nota). A proporção exata de cada harmônico em relação ao fundamental determina o timbre do som gerado: uma flauta, as cordas de um piano e as placas de um xilofone têm sonoridades diferentes pois é diferente a proporção dos harmônicos em seus sons.

Os gregos tratavam as quantidades em termos de proporções (expressas em linguagem corrente, em palavras!!), o que não lhes dava muita agilidade com as contas (embora a geometria desenvolvida por Euclides toda com base em proporções seja refinada). Além disso, não tinham instrumentos precisos de medição nem mesmo muitos conceitos de quantidades mensuráveis que viriam a ser concebidos mais tarde. Pouco mais de dois milênios depois de Pitágoras, durante o Renascimento, alguns cientistas voltaram a se debruçar sobre o assunto, entre eles o famoso Galileu Galileu, e os matemáticos Joseph-Louis Lagrange e Marin Mersenne.

Perceberam que, na verdade, a corda oscila inicialmente de forma caótica, com pulsos de ondas se propagando pela corda e, após algumas idas e vindas refletindo nas extremidades fixas, as vibrações que voltam em fase com as que estão indo, se somam e ganham amplitude; ao passo que as que voltam fora de fase com as que estão indo se anulam. E as que voltam em fase são justamente aquelas cujo comprimento é uma fração inteira do dobro do comprimento da corda:

n=2.L

n

As frequências corrrespondentes são determinadas pela razão entre a velocidade de propagação da onda na corda e o comprimento de onda:

f n=vn

E, finalmente, a velocidade de propagação de uma onda numa corda é influenciada pela força de tração atuando sobre a corda e pela densidade linear (razão entre massa e comprimento) dela segundo a expressão

v= F

Juntando estas três equações, obtemos aquela que ficou conhecida como fórmula de Lagrange ou fórmula de Mersenne/Taylor:

f n=n

2.L F

onde L é o comprimento da corda, n é o número do harmônico, F é a intensidade da força de tração sobre ela e é sua densidade linear.

Exemplo

Podemos utilizar esta relação para calcular algebricamente as observações de Pitágoras. Considere uma corda de meio metro de comprimento, com uma densidade linear de 10 gramas por metro e submetida a uma tensão de 121 newtons. Observe que, usualmente, expressamos uma fórmula sem especificar quais unidades de medida devem usadas – neste caso, espera-se apenas que as quantidades estejam todas num mesmo sistema (em geral, o Sistema Internacional). Do contrário,

Modos sobrepostos (imagem: http://www.music-center.com.br/ Menu: Acervo / Instrumentos / Escalas musicais...)

a unidade de medida resultante não será uma unidade comum, conhecida. Quando falamos em newtons para forças e metros para comprimentos, estamos no sistema internacional, mas a unidade de medida da massa, neste, é kilogramas. Então temos que converter a densidade linear para 0,01 kilogramas por metro.

Substituindo na fórmula acima, obtemos 110 Hz para o modo fundamental (n = 1). Os harmônicos subsequentes terão frequências de 220Hz (oitava), 330Hz (quinta), 440Hz (mais uma oitava) e assim por diante (o próximo harmônico, 550Hz, corresponde a um intervalo de terça, mas vamos deixar a música para os músicos – apenas repare que o seguinte será de 660Hz, uma oitava acima da quinta, que apresenta a mesma sensação auditiva de uma quinta. Por que?).

Exercício

1. Agora calcule os cinco primeiros modos harmônicos (incluindo o fundamental) de uma outra corda de meio metro, cuja densidade linear seja de 5,29 gramas por metro, sob tensão de 144 newtons (arredonde para números inteiros) e compare as sequências. Qual a razão entre a fundamental desta corda e a da anterior? Corresponde a qual intervalo observado por Pitágoras? Quais são os modos harmônicos coincidentes e suas frequências?

Exemplo

Ainda não observamos nenhuma coincidência com o intervalo de quarta mencionado acima. Vamos aproveitar para trabalhar um pouco mais com álgebra, deixando os números para o final. Suponha uma corda de meio metro cuja frequência fundamental seja de 146,67 Hz – não nos importa agora sua densidade linear nem a tensão a que está submetida. Veja que é justamente a frequência correspondente a um intervalo de quarta, em relação ao Lá de 110 Hz. Como podemos usar a equação de Lagrange dos modos harmônicos para calcular os modos harmônicos desta corda? Ora, sabemos que

146,67=1

2×0,5 F

Se queremos saber quanto vale a frequência para os modos em que n = 2, 3, 4 etc, podemos manipular a equação:

f n=n×1

2.L F

sendo que o segundo fator da multiplicação é um número conhecido (não por acaso, igual a f1, a fundamental desta corda). Quer dizer, os modos harmônicos superiores (do segundo em diante) são múltiplos simples da fundamental: 293,33 Hz, 440 Hz, 586,67 Hz, 733,33 Hz, 880 Hz. Observe as coincidências com os harmônicos de Lá (110 Hz).

Para os músicos

Vejam que existe também uma coincidência indireta entre os harmônicos de um Mi e um Ré (ou vice-versa), pois as sequências contêm, alternadamente, os harmônicos do Lá. Então, o intervalo "dissonante" de sétima dominante também tem alguma harmonia, assim como o de nona, que é o reverso da sétima, se ajustadas as oitavas. Para ser mais exato, o 9º harmônico do Ré coincide com o 8º do Mi, então, o intervalo de nona (que é a oitava do de segunda) é mais agradável que uma de segunda imediata, e o de sétima acima mais agradável do que o de sétima invertido (um tom abaixo), pois a coincidência de harmônicos acontece "mais cedo" na sequência, e a proporção constituinte do harmônico no som geral da nota é maior.

Exercícios

2. Calcule a frequência de vibração de uma corda A de 1 metro, constituída e tensionada pelas

extremidades de forma que F=396 m/ s (observe que a unidade Hz corresponde a 1/s), nos

modos harmônicos n=1 (fundamental), 2, 3 e 4.

3. Se a corda tiver metade do comprimento (chame de corda B), qual é a frequência de vibração no modo fundamental?

4. Verifique que para uma corda C, de material e fabricação idêntica e sob as mesmas condições da original mas com dois terços do comprimento, sua frequência de vibração no segundo modo harmônico será igual à frequência de vibração do terceiro modo harmônico da corda original A.

5. Qual comprimento deve ter uma corda D, também idêntica em material e fabricação e sob as mesmas condições da primeira, para que seu segundo modo harmônico tenha a mesma frequência que o quarto modo harmônico da primeira?

6. Qual é a intensidade da força, em newtons, a que está submetida uma corda de densidade linear =6,4 g /m e um metro de comprimento, presa nas duas extremidades, se sua frequência fundamental é de 82,5 Hz?

7. Qual deve ser a densidade linear de uma corda de 75 centrímetros fixa nas duas extremidades e submetida a uma tração de 225 N para que seus segundo harmônico seja de 528 Hz (Dó)?

8. Mostre algebricamente (isto é, manipulando a equação, sem usar valores) que as frequências dos modos harmônicos de uma corda qualquer (qualquer comprimento, qualquer tração e qualquer densidade linear) correspondem às frequências fundamentais de cordas com a mesma densidade linear e sob a mesma tração mas com comprimentos iguais a frações inteiras sucessivas do comprimento da original.

Respostas

As respostas são dadas a seguir, pois o importante nos exercícios é saber como chegar a elas.

Observe que a unidade de medida é parte integrante da resposta. Um número solto não significa coisa alguma, na maioria dos casos (a exceção são as razões e alguns coeficientes)

1. 165 Hz, 330 Hz, 495 Hz, 660 Hz e 825 Hz. A razão é de 1,5 ou 3/2, que corresponde a um intervalo de quinta. O segundo e o quarto modos desta coincidem com o 3 e o sexto da anterior (do exemplo).

2. 198 Hz, 396 Hz, 594 Hz e 792 Hz.

3. 396 Hz

4. Você pode calcular e ver que é 594 Hz. Ou pode fazer algebricamente: escreva as expressões para f2c (segundo harmônico da corda C) e f3A (terceiro harmônico da corda A), segundo a fórmula de Lagrange e manipule-as de modo a isolar um fator comum.

5. Deve ter 0,5 m (ou seja, é a mesma corda B do exercício 3)

6. 174,24 N

7. 1,43 g/m

8. Uma manipulação algébrica bem simples: passe o n do modo harmônico, que está no numerador da fórmula, como divisor do denominador e, como a divisão é uma operação associativa, coloque-a dividindo o comprimento da corda. Como sobrou a unidade no numerador, a expressão corresponde ao modo n = 1 das cordas de comprimento L/n, n = 2,

3 etc (onde L é o comprimento qualquer da corda original).