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BANCO DO BRASIL – RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH

Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 1

1. Apresentação Pessoal ................................................................................................. 2

2. Raciocínio Lógico para o BANCO DO BRASIL: Objetivo do Curso e Público-Alvo ..................................................................................................................................... 2

3. Programação do Curso ............................................................................................... 3

4. Mensagem Final ........................................................................................................... 3

5. Aula Demonstrativa – Juros Simples e Compostos .............................................. 6

5.1 Juros Simples ...................................................................................................................... 6 5.2 Juros Compostos................................................................................................................ 7

6. Exercícios comentados ............................................................................................. 10

7. Memorex ..................................................................................................................... 16

8. Lista das questões abordadas em aula ................................................................. 17

9. Gabarito ...................................................................................................................... 19

Aula Demonstrativa



1. Apresentação Pessoal Oi, tudo bem? Meu nome é Karine Waldrich. Nasci Blumenau, Santa Catarina. Sou Auditora-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovada em 39o no concurso de 2009. Depois comentarei um pouco mais sobre isso, mas, por hora, vamos aos detalhes do curso. 2. Raciocínio Lógico para o BANCO DO BRASIL: Objetivo do Curso e Público-Alvo O objetivo deste curso é ensinar Raciocínio Lógico-Matemático para os aspirantes ao cargo de Escriturário do concurso do BANCO DO BRASIL. Meus cursos aqui no Ponto seguem duas premissas principais:

1) Eu não sou teórica da matéria. Sou uma aprovada em concurso que estudou muito para passar e tem uma boa ideia do que as bancas cobram e como cobram. Por isso, não me aprofundo em teorias desnecessárias ao entendimento e que não caem em concursos.

2) Acho que mais explicação é melhor do que menos, portanto procuro esmiuçar o conteúdo, pois na época em que eu estudava preferia professores que fizessem isso. Nada ficará subentendido.

O curso se propõe a ser desenvolvido com base na teoria e em questões comentadas. O objetivo é ver tudo desde o começo. Mesmo que não possui conhecimento algum na matéria possui condição de acompanhar as aulas. A banca deste concurso é a FCC – Fundação Carlos Chagas. Vamos usar muitas questões da FCC durante nossas aulas. Assim, mais do que aprenderem a matéria, vocês aprenderão o jeito que a FCC cobra a matéria. Ao final de cada aula, será apresentada a lista de questões abordadas na aula, bem como um esquema dos pontos mais importantes – uma espécie de Memorex – para que vocês revisem o assunto de forma rápida. O edital do concurso diz: RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO: Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e operações com frações. Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas. Estatística descritiva; distribuição de probabilidade discreta. Juros simples e compostos: capitalização e descontos. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. Planos ou Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento. Taxas de Retorno.



Todos esses tópicos serão vistos no nosso curso, claro. 3. Programação do Curso Estruturei o nosso curso para possuir 4 aulas, mais a aula demonstrativa (esta). Agrupei os conteúdos nas aulas de acordo com sua semelhança, para que seja mais fácil de eu explicar e vocês o assimilarem. O cronograma encontra-se na tabela abaixo:

AULA DATA ASSUNTO AULA 0 Juros simples e compostos. AULA 1 30/10/2012 Números e grandezas proporcionais:

razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas.

AULA 2 06/11/2012 Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e operações com frações.

AULA 3 13/11/2012 Estatística descritiva; distribuição de probabilidade discreta.

AULA 4 20/11/2012 Capitalização e descontos. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, Proporcionais, real e aparente. Planos ou Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento. Taxas de Retorno.

Temos também o Fórum de dúvidas, muito importante e já tradicional nos cursos do Ponto. Estou, além disso, sempre disponível no [email protected]. Antes do curso (mesmo que você não se inscreva), durante o curso (para algum assunto que queira tratar de forma pessoal comigo, sem utilizar o fórum) e depois do curso (para alguma dúvida posterior). 4. Mensagem Final Pessoal, como falei no começo desta apresentação, sou de Blumenau.



Me formei em Engenharia Química pela Universidade Federal de Santa Catarina (2008) e em Administração de Empresas pela Escola Superior de Administração e Gerência da Universidade do Estado de Santa Catarina (2007). Quando saí da faculdade pensei nas coisas que poderia fazer, no que queria trabalhar. Depois de muito refletir, vi que, acima de qualquer aspiração profissional, minha maior vontade era simplesmente ser feliz, com qualidade de vida. Em 2009, quando saiu a autorização para o concurso da Receita Federal (mais precisamente, no dia 24 de abril de 2009), comecei a estudar para este concurso, para o cargo de Auditor-Fiscal. Claro que eu tinha um pouco de base das faculdades, mas não sabia nada dos Direitos e comecei do zero. Estudei muito, demais mesmo. Em setembro saiu o edital e em dezembro e janeiro (8 meses depois do início do meu estudo) foram as provas. Fui aprovada em 39o lugar, dentre os 70.000 candidatos. Atualmente, exerço este cargo na Inspetoria da Receita Federal de São Paulo. Quase gabaritei a prova de Raciocínio Lógico deste concurso, acertando 19 das 20 questões. A única questão que errei defendo que deveria ter sido anulada (inclusive já debati esse assunto em uma coluna no site do Ponto). Gosto muito da matéria e, por isso, hoje em dia dou aula dela no Ponto. Falando sobre meu estudo, Blumenau é uma cidade de 300.000 habitantes, sem muita opção de estudo para concursos. Estudei basicamente em casa, numa escrivaninha velha do lado da minha cama. Utilizei alguns cursos do Ponto, especialmente depois do edital, e foi o que salvou, por serem específicos para o concurso que eu estava pretendendo (naquele caso, o da Receita). Independente disso, o que foi determinante para a minha aprovação, sem dúvidas, foi a força de vontade. Foi estudar muito. Eu queria muito passar, queria muito sair daquela escrivaninha. Concurso público não pede foto para inscrição. Não importa se você é bonito ou feio, preto ou branco, rico ou pobre, gordo ou magro. O que importa é se você:

1) Quer passar; 2) Estudar muito para passar.

Se você quer passar, e estudar muito para passar, já tem 90% das chances de ser aprovado.



Meu objetivo aqui é ajudar você nisso, mas tenha a certeza de que o principal você terá que fazer sozinho, estudando. Espero que possamos ter um excelente curso, e conto com vocês para isso. Agora vamos ao conteúdo desta aula demonstrativa, propriamente dito.



5. Aula Demonstrativa – Juros Simples e Compostos 5.1 Juros Simples Juros são, em grossas palavras, o preço do dinheiro. Juros simples, hoje em dia, são pouco utilizados na prática. Isso porque a maioria da capitalização é feita com juros compostos. Mas os juros simples são muito úteis para entendermos a lógica da matemática financeira, e funcionam muito bem quando temos apenas 1 período de análise. Além de serem bem cobrados em concurso. Por exemplo: Imaginem que vocês cheguem a uma loja para comprar um carro. O vendedor diga assim: “Olha, o carro que você quer custa 10.000 à vista, ou 11.000 se você pagar em 30 dias”. Percebam que, para sair com o carro e pagar só no mês seguinte, o sujeito irá desembolsar 1.000 reais. Ou seja, esse é o preço do dinheiro, para o cliente, durante 1 mês. Para saber o a taxa de juros simples, temos que dividir esse valor pelo valor inicial que temos, e que deu origem aos juros. No nosso exemplo: 1.000/10.000 = 0,1 ao mês. Normalmente, as taxas de juros são apresentados em termos percentuais, ou seja, “tantos”% ao mês. Basta multiplicar o valor acima por 100, o que resultaria em 10% ao mês. Assim, temos: taxa de juros simples = isimples = valor dos juros em um período x 100 valor inicial E se tivéssemos mais de 1 mês? Se o vendedor chegasse para você e falasse: “Fulano, o preço à vista é 10.000, mas se você quiser pagar daqui à 2 meses o valor será de 12.000”? Para saber a taxa de juros, você teria que dividir o valor dos juros por 2 meses, certo? Aí saberíamos quanto de juros tivemos por mês. Teríamos o seguinte: isimples = (valor dos juros em dois períodos)/2 x 100 valor inicial



Reorganizando a equação, e generalizando para “n” períodos, temos: Em Matemática Financeira, o “valor inicial” é normalmente chamado de “valor presente” ou “capital”. No nosso curso, chamaremos de valor presente (VP). O valor dos juros é chamado J. Assim, temos nossa primeira equação: O valor final pago é o valor inicial (VP) mais os juros pagos (J). Ou seja: Valor total = VP + J Em Matemática Financeira, o “valor total” é chamado de “valor futuro” ou “montante”. Chamaremos de valor futuro (VF). Assim: VF = VP + J Podemos substituir o J por VP.n.isimples, derivada da equação anterior. Assim: VF = VP + VP.n.isimples

5.2 Juros Compostos A diferença dos juros simples para os juros compostos está no fato de quê, quando o sistema é de juros compostos, a taxa de juros do período seguinte incide também sobre os juros do período anterior. Relembrando o exemplo da loja de carros, imagine que você chegue à loja e o vendedor diga: “Beltrano, para você comprar esse carro, terá de dar 10.000 à vista, ou poderá pagar em 2 meses, com juros de 10% ao mês”.

isimples = valor dos juros em n períodos x 100 valor inicial.n

isimples = J__ VP.n

VF = VP.(1 + n.isimples)



Observação número 1: quando dizemos simplesmente “juros”, estamos, normalmente, nos referindo aos juros compostos. Isso vale também para as questões: quando elas dizem simplesmente “juros” (sem especificar se são compostos ou simples) isso indica que os juros são compostos. Se fossem juros simples, pagaríamos 10.000.(1 + 2.0,1) = 12.000. Mas agora temos juros compostos. O que muda? No caso dos juros compostos, incide juros, no 2º mês, também sobre o montante de juros capitalizado no primeiro mês. Ou seja, no segundo mês, os juros incidentes não seriam de 10.000 x 0,1 (que é VP x taxa), e sim de 11.000 x 0,1 (que é (VP + J) x taxa). Ou seja, enquanto nos juros simples temos: J1 = 1000 J2 = 1000 Período 1 Período 2

VP 10000 Nos juros compostos temos: J2 = 1100 Período 2 J1 = 1000 Período 1

VP 10000 Entenderam por que os juros são compostos? Porque eles incidem sobre os juros do período anterior... O nosso VF, com juros compostos, fica: VF = VP + J1 + J2 VF = VP + VP.i + (VP + J).i VF = VP + VP.i + (VP + VP.i).i

No segundo mês, a taxa de juros incide apenas em VP, ou seja, J2 = VP.i.

No segundo mês, a taxa de juros incide em VP + J, ou seja, J2 = (VP + J).i.



VF = VP + VP.i + VP.i + VP.i.i VF = VP.(1 + 2.i + i.i) = VP.(1 + i)2 = 1000.(1 + 0,1)2 = 12.100 Acima desenvolvemos a equação para 2 meses, que foi o tempo que o nosso vendedor deu para que paguemos o carro. A equação geral, para n períodos, é:

Assim como no caso dos juros simples, na equação devemos ter taxa e tempo na mesma unidade.

VF = VP.(1 + icomposto)n



6. Exercícios comentados

Uma questão sobre juros simples. A questão fornece um capital (é outra maneira de chamar o VP, de $10.500) e informa que o montante (outra maneira de chamar o FV, de $11.725) foi obtido após um período n (que a questão quer saber) a uma taxa de 42% ao ano. Com esses dados, basta colocar na equação que já vimos: 11.725 = 10.500.(1 + 0,42.n) 11.725/10500 = (1 + 0,42n) 1,1167 = 1 + 0,42.n 0,1167 = 0,42n n = 0,277777 ano... Esse n encontrado está expresso em anos. Mas percebam que as respostas falam em meses e dias. Portanto (como 1 ano possui 12 meses), multiplicamos esse valor encontrado por 12 para saber o equivalente em meses. n = 0,2777 ano x 12 (meses/ano) = 3,3333 meses 3,3333 meses corresponde a 3 meses e mais 0,333 mês. Esse 0,333, portanto, está expresso em dias na resposta. Como um mês possui 30 dias: n = 0,333 mês x 30 (dias/mês) = 10 dias. Portanto, a resposta correta é letra C – 3 meses e 10 dias. Resposta: Letra C.

Questão 1 – FCC/BB/Escriturário/2011

Um capital de R$ 10 500,00 foi aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ 11 725,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de aplicação?

(A) 4 meses. (B) 3 meses e 20 dias. (C) 3 meses e 10 dias. (D) 3 meses. (E) 2 meses e 20 dias.



Agora, temos uma questão em que é pedida a taxa de um sistema de pagamentos de juros simples.

O enunciado propõe um pagamento total à vista ou o pagamento de uma parte à vista e outra parte para um mês após a compra, e quer saber os juros inclusos.

Esquematizando:

Assim, o que temos de fazer é “trazer” o pagamento 2 (parte 2) para o início do mês, sabendo, assim o quanto de juros estão sendo pagos.

O pagamento 1 é de 225.

O pagamento 2 é de 125 + 125 = 250. Ou seja, Lucimara pode pagar 125 e deixar os outros 100 (ao invés de pagar os 225) para pagar no final do mês.

Questão 2 – FCC/TRT 4a Região/Técnico Judiciário/2011

Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento: - à vista, por R$ 225,00;

- R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela de R$ 125,00, um mês após a compra.

Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento é de

(A) 10%. (B) 20%. (C) 25%. (D) 27%. (E) 30%.

Pagamento 1 = 225

Pagamento 2 (parte1) = 125

Pagamento 2 (parte 2) = 125



Ocorre que, como incidiram juros, ao invés de pagar os mesmos 100, ela vai pagar 125, pagando 25 reais unicamente de juros.

Colocando isso na equação para saber a taxa:

VF = VP.(1 + i.n) 125 = 100.(1 + i.1) 1,25 = 1 + i i = 0,25 = 25% ao mês. Assim, a taxa é de 25% ao mês. Resposta: Letra C.

Mais uma questão de juros simples. O enunciado diz que é necessário gerar uma receita, a base de juros, aplicando um PV de 100.000 a uma taxa de 2,5% ao mês (0,025). Portanto, temos que o VF, após o período de n meses, deve ser de 122.500 (100.000 + 22.500). Colocando na equação: VF = VP.(1 + i.n) 122.500 = 100.000.(1 + 0,025n) 1,225 = 1 + 0,025n 0,225 = 0,025n n = 9. Portanto, o dinheiro deverá ficar aplicado por 9 meses. Resposta: Letra D.

Questão 3 – FCC/MPU/Analista/2007

A Empresa Beta S.A. precisa gerar uma receita de R$ 22.500,00, aplicando R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 2,5% a.m.. Considerando que o captador remunera a juros simples, o dinheiro deverá ficar aplicado por

(A) 3 meses. (B) 6 meses. (C) 7 meses. (D) 9 meses. (E) 12 meses.



Essa questão mistura juros simples e juros compostos. A primeira aplicação se refere a juros simples. Colocando na equação que já sabemos, podemos saber o capital aplicado. Como o prazo dado é de 8 meses e a taxa é expressa em anos, transformamos a taxa em taxa mensal. Basta dividi-la por 12 (afinal 1 ano possui 12 meses): i = 0,15 ao ano = 0,15/12 ao mês = 0,0125 ao mês. VF = VP.(1 + i.n)

13.200 = PV.(1 + 0,0125.8)

13.200 = PV.(1 + 0,1)

PV = 13.200/1,1 = 12.000

Esse PV, agora, será aplicado por 2 anos a uma taxa de juros compostos.

Portanto, agora temos um VP de 12.000, a ser aplicado a uma taxa de 15% ao ano durante 2 anos:

Assim:

VF = VP.(1 + i)n

VF = 12.000.(1 + 0,15)2

VF = 12.000(1,15)2

VF = 12.000(1,3225) = 15.870


Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a

(A) R$ 15.606,50. (B) R$ 15.870,00. (C) R$ 16.531,25. (D) R$ 17.192,50. (E) R$ 17.853,75.



Resposta: Letra B.

Essa questão pede a taxa de uma aplicação em juros compostos. A questão em si é simples, mas tem um pequeno detalhe que complica um pouco. Vamos ver: Colocando os dados na equação, temos: VF = VP.(1 + i)n

24687,50 = 15800.(1 + i)2 (1 + i)2 = 1,5625 E agora? Algumas provas fornecem uma tabela com valores de taxas e do valor resultante da operação acima. Mas eu fui atrás para olhar, e essa prova não fornece nada disso. Então, o jeito é substituir taxa por taxa na equação e ver qual taxa satisfaz a igualdade acima. Começando pela letra A, 25% = 0,25: (1 + 0,25)2 = 1,5625 1,5625 = 1,5625. Portanto, a letra A (25%) é a resposta correta. Pessoal, em prova, sugiro deixar essa questão para o final, só se der tempo de resolver mesmo. Porque aqui tivemos sorte de a resposta ser a letra A, mas se fosse a letra E teríamos perdido um tempo precioso... Resposta: Letra A.


Para que ao final de 2 anos de aplicação num regime de capitalização composta, um capital de R$ 15 800,00 produza o montante de R$ 24 687,50, a taxa anual da aplicação deverá ser de

(A) 25% (B) 22,5% (C) 22% (D) 20% (E) 18,5%



Até a próxima aula. Abraços, Karine



7. Memorex

VF = VP.(1 + n.isimples)

VF = VP.(1 + icompostos)n



8. Lista das questões abordadas em aula


Um capital de R$ 10 500,00 foi aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ 11 725,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de aplicação?

(A) 4 meses. (B) 3 meses e 20 dias. (C) 3 meses e 10 dias. (D) 3 meses. (E) 2 meses e 20 dias.


Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento: - à vista, por R$ 225,00;

- R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela de R$ 125,00, um mês após a compra.

Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento é de

(A) 10%. (B) 20%. (C) 25%. (D) 27%. (E) 30%.

Questão 3 – FCC/MPU/Analista/2007

A Empresa Beta S.A. precisa gerar uma receita de R$ 22.500,00, aplicando R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 2,5% a.m.. Considerando que o captador remunera a juros simples, o dinheiro deverá ficar aplicado por

(A) 3 meses. (B) 6 meses. (C) 7 meses. (D) 9 meses. (E) 12 meses.




Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a

(A) R$ 15.606,50. (B) R$ 15.870,00. (C) R$ 16.531,25. (D) R$ 17.192,50. (E) R$ 17.853,75.


Para que ao final de 2 anos de aplicação num regime de capitalização composta, um capital de R$ 15 800,00 produza o montante de R$ 24 687,50, a taxa anual da aplicação deverá ser de

(A) 25% (B) 22,5% (C) 22% (D) 20%

(E) 18,5%



9. Gabarito

1 – C

2 – C

3 – D

4 – D

5 – A

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