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INTRODUÇÃO Este trabalho tem por objetiva, apresentar um estudo dos conceitos da velocidade instantânea e da aceleração instantânea. Será aplicada a derivada nas equações da velocidade e do espaço e apresentaremos os vínculos com a musica e a física através das harmônicas. estudaremos também a teoria de Euler-Mascheroni Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação Etapa 1 Passo 1 Pesquisar o conceito de velocidade instantânea Passo 2 Os cálculos e plotenum gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) Passo 3 Pesquisar sobre a aceleração instantânea Passo 4 gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação Etapa 2 Passo 1 - O que é a Constante de Euler? Passo 2 - Pesquisar sobre “séries harmônicas Passo 3 - CRESCIMENTO POPULACIONAL Conclusão------------------------------------------------------------- ---------------------- Bibliografia---------------------------------------------------------- -----------------------

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INTRODUÇÃO

Este trabalho tem por objetiva, apresentar um estudo dos conceitos da velocidade instantânea e da aceleração instantânea. Será aplicada a derivada nas equações da velocidade e do espaço e apresentaremos os vínculos com a musica e a física através das harmônicas. estudaremos também a teoria de Euler-Mascheroni 

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Etapa 1Passo 1 Pesquisar o conceito de velocidade instantâneaPasso 2 Os cálculos e plotenum gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s)Passo 3 Pesquisar sobre a aceleração instantâneaPasso 4 gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Etapa 2Passo 1 - O que é a Constante de Euler?Passo 2 - Pesquisar sobre “séries harmônicasPasso 3 - CRESCIMENTO POPULACIONAL

Conclusão-----------------------------------------------------------------------------------

Bibliografia---------------------------------------------------------------------------------

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Etapa 1

Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Passo 1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com .

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Velocidade instantânea: Ao trafegar em uma estrada observamos no velocímetro do carro que a velocidade varia no decorrer do tempo. A velocidade lida em um determinado instante é denominada velocidade instantânea. Para sabermos a velocidade temos que calcular o limite de ( S/ t), para  t tendendo a zero.

Podemos concluir que o módulo da velocidade média entre esses instantes é obtido através segmento de reta secante do gráfico da posição/tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2 .

Exemplo: Função x = 4.x t²+ + t3 + 7t – 8

Velocidade no tempo 3s

V = d.x 8.x+3c+7d.tV = 8.3+3.3²+7V = 58 m/s

Aceleração no tempo 2s

V = d.x 8.x+3t²+7d.ta = d.v 8+6.td.ta = 8+6.ta = 8+6 .2a = 20 m/s²

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Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plotenum gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.Gráfico s(m) x t(s) x = 4.x t²+ + t3 + 7t – 8Gráfico v(m) x t(s) v = 8x+3t²+7

Passo 3

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade.Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Aceleração instantânea da partícula no instante t é o limite dessa razão quando Δt tende a zero. Representando a aceleração instantânea por ax, temos então:

A aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está alterando naquele instante. A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a = dv dt. Vamos derivar a equação da velocidade instantânea para obter a aceleração instantânea. Função da velocidade em um determinado instante.

V = V0¹-¹ + a*t¹-¹V = 1*V0¹-¹ + 1*a*t¹-¹a = a

Podemos observar que a derivada da velocidade instantânea resulta direto na aceleração.

Passo 4

Plotar num gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer que tipo de função você tem.Gráfico aceleração a (m/s²) x t(s) a = 8+6t

Etapa 2

Aula-tema: Conceito de Derivadas e Regras de Derivação

Passo1

O que é a Constante de Euler?

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32º casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.) (Wikipédia, 24/03/2012).

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Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97). Em 1736, quando publicou o seu livro Mechanica, onde a dinâmica de Newton (1642-1727) foi apresentada de forma analítica, foi impresso pela primeira vez o número ℮.

A partir deste momento, a notação do número foi facilmente aceita e adotada nos cálculos matemáticos, bem como a padronização da denominação de exponencial. A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural,que pode ser condensada assim :

em que E(x) é a parte inteira de x.]

Resumidamente a constante de Euler nos mostra o valor do limite quando n tende para o infinito.

n ℮=lim→∞ 1+1 n 1+1℮=lim→∞ (2) ℮=lim→∞ = 2 ℮=lim→∞ 5 ℮=lim→∞ 1+1 5 ;Valores de n 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 1000000 (0,000001) 1

℮=lim→∞ (1,2) ℮=lim→∞ = 2,48832 ;

Constante ℮ 2 2,48832 2,59374246 2,691588029 2,704813829 2,71556852 2,716923931 2,718010049 2,718145935 2,718268297 1000000 ℮ ≈ 2,718 2,717 2,716 2,705 2,692 2,594 2,488 2 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 n

Conforme a função tende a +∞, mais ela se aproxima de 2,72.

Conforme tabela abaixo:

℮ = lim (1+1)n

n⇾∞ n

1 25 2,4883210 2,5937424650 2,691588029100 2,704813829500 2,7155685211000 2,7169239325000 2,7180100510000 2,718145927100000 2,7182682371000000

2,718280469

Passo2

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações sobre o assunto de pelo menos 1 página e explicar como a Constante de Euler se relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenças.

Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Os estudos realizados por Pitagoras,revela que uma corda colocada em vibração não vibra apenas em sua extensão total, mas em seções menores, os ventres, que vibram em frequências mais altas que a fundamental. Pela relação entre os comprimentos das seções e as frequências produzidas por

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cada uma das subdivisões, pode-se facilmente concluir que a corda soa simultaneamente, na frequência fundamental (F) e em todas as suas frequências múltiplas inteiras.

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de um piano e de uma flauta são um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocam duas notas idênticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra. Como isso ocorre, se a nota tocada é a mesma? O que diferencia os sons do piano e da flauta é o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido como a impressão sonora ou o “colorido” particular de cada som. Os timbres, por sua vez, resultam da série harmônica, que pode ser explicada como o conjunto de frequências sonoras que soa em simultaneidade com uma nota principal.

Uma série harmônica alternada é convergente como conseqüência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural. Se definirmos no enésimo número harmônico tal que então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral cujo valor é ln(n). Mais precisamente, se considerarmos o limite: onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser provado que: 1. O único Hn inteiro é H1. 2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.

Passo 3

CRESCIMENTO POPULACIONAL

Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica a cada 8 hora. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?

Nt= No x ert n48= 50xe48x0,137326No= 50xer8 n48= 50xe6x591673150= 50xer8 n48= 36449,59er8= 150/50er8= 3Ln er8 = 3r8 = Ln3r= Ln3/8r= 0,137326

Conclusão

Aprendemos as relações que a matemática tem na física, na musica, as relações harmônicas nas diversas áreas Aprendemos que a constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números.Aprendemos um pouco mais relações as matemáticas com o nosso cotidiano.