16 OLIMPADA - 20111 fase

01) Para facilitar a contagem de germes de uma determinada amostra de leite, foram feitas duas diluies, ambas em gua des lada. Na primeira, misturou-se 1 cm3 de leite em 99 cm3 de gua. Depois, diluiu-se 1 cm3 dessa mistura em 9 cm3 de gua con da em um segundo frasco. A razo entre a quan dade de leite e a quan dade de gua nesse segundo frasco igual a:

a) ( ) 1/999 b) ( ) 1/989 c) ( ) 1/99 d) ( ) 1/98 e) ( ) 1/97

02) Um barril cheio, contendo uma mistura com 70% de vinho puro e 30% de suco, custa R$ 24.000,00. O preo do litro de vinho puro R$ 600,00 e o preo do litro do suco R$ 200,00.A capacidade do barril, em litros, :

a) ( )30 b) ( ) 40 c) ( ) 50 d) ( ) 75 e) ( ) 120

03) Uma escada de 13,0 m de comprimento encontra-se com a extremidade superior apoiada na parede v cal de um edi io e a parte inferior apoiada no piso horizontal desse mesmo edi io, a uma distncia de 5,0 m da parede.Se o topo da escada deslizar 1,0 m para baixo, o valor que mais se aproxima de quanto a parte inferior escorregar :

a) ( ) 1,0m b) ( ) 1,5m c) ( ) 2,0m d) ( ) 2,6m e) ( ) 2,8m

04) Deseja-se pintar duas leiras de cinco quadrados num muro retangular de 5 metros de comprimento por 2,2 metros de altura, conforme a gura a seguir.Os lados dos quadrados sero paralelos s laterais do muro e as distncias entre os quadrados e entre cada quadrado e a borda do muro sero todas iguais. Nessas condies, a medida do lado de cada quadrado, em metros, ser:

a) ( ) 0,52 b) ( ) 0,60 c) ( ) 0,64 d) ( ) 0,72 e) ( ) 0,80

05) Luiza, Maria, Antonio e Julio so irmos. Dois deles tm a mesma altura. Sabe-se que:

Luiza maior que Antonio Antonio maior do que Jlio Maria menor que Luiza Julio menor do que Maria

Qual deles tem a mesma altura?

a) ( ) Maria e Julio

b) ( ) Julio e Luiza

c) ( ) Antonio e Luiza

d) ( ) Antonio e Julio

e) ( ) Antonio e Maria

06) Quantos nmeros entre 1 e 601 so m plos de 3 ou m plos de 4?

a) ( ) 100 b) ( ) 150 c) ( ) 250 d) ( ) 300 e) ( ) 430 07) O algarismo da unidade do nmero 1 x 3 x 5 x 79 x 97 x 113 :

a) ( ) 1 b) ( ) 3 c) ( ) 5 d) ( ) 7 e) ( ) 9

08) Qual a metade do nmero 2 + 3 x 20 ?

a) ( ) 26 + 3 x 25 b) ( ) 26 + 3 x 210 c) ( ) 211 + 3 x 25 d) ( ) 211 x 7 e) ( ) 29 x 7

09) Para fazer um modelo de ladrilho, certo desenhista une um dos vr es de um quadrado aos pontos mdios dos lados que no contm esse vr e, obtendo um tringulo issceles. A razo entre a medida da rea desse tringulo e a medida da rea desse quadrado igual a:

a) ( ) 0,350 b) ( ) 0,375 c) ( ) 0,380 d) ( ) 0,385 e) ( )0, 395

.

10) O permetro de um retngulo mede 100cm e a diagonal mede X cm. Qual a rea desse retngulo em funo de X?

a) ( ) 625 x b) ( ) 625 x/2

c) ( ) 1250 x/2 d) ( ) 225 x/2

e) ( ) 2500 x/2

11) Um disco se desloca no interior de um quadrado, sempre tangenciando pelo menos um dos seus lados. Uma volta completa do disco ao longo dos quatro lados divide o interior do quadrado em duas regies: a regio A dos pontos que foram encobertos pela passagem do disco e a regio B dos pontos que no foram encobertos. O raio do disco mede 2 cm e o lado do quadrado mede 10 cm. Determine a rea da regio B.

Resoluo:

NOME:

ESCOLA:

Assinale a alterna va correta com caneta. Questes com rasuras sero desconsideradas.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A X B X X C X X X X D X E X X

16 OLIMPADA - 20112 fase

01) Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor ex (que funciona com lcool e com gasolina). Numa determinada poca, neste conjunto de 1000 carros, 36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com motor ex sofrem converso para tambm funcionar com gs GNV. Sabendo-se que, aps esta converso, 556 dos 1000 carros desta empresa so bicombu veis, qual ser a quan dade de carros tricombu veis?

Resoluo:

Sejam g e f as quan dades de carros inicialmente com motor a gasolina e ex, respec vamente. Ento temos que g + f = 1000. Aps as converses, os 556 carros bicombu veis so resultado da soma dos carros com motor a gasolina que sofreram converso para funcionar tambm com gs GNV e dos carros com motor ex que no sofreram converso. Equacionando camos com 0,36g + 0,64f = 556.

Resolvemos ento o sistema linear de equaes:

g + f = 1000

0,36g + 0,64f = 556

Da primeira equao temos que g = 1000 - f

Sub ndo na segunda vem 0,36 X (1000 f) + 0,64f = 556

360 0,36f + 0,64f = 556

0,28f = 196

f = 700 g = 300

Portanto, como os carros tricombu veis so resultantes dos carros com motor ex que sofreram converso, basta saber a quan dade correspondente a 36% de f.

Logo, aps a converso, 252 carros sero tricombu veis.

02) Um an go problema chins: No alto de um bambu ve est presa uma corda. A parte da corda em contato com o solo mede 3 chih (uma an ga unidade de medida usada na China). Quando a corda es cada, sua extremidade toca o solo a uma distncia de 8 chih do p do bambu. Qual o comprimento aproximadamente do bambu?

Resoluo: Considerando o comprimento do bambu igual a " " e u lizando a relao de Pitgoras temos:

(3 + x) = 8 + x

x + 6x + 9 = 64 + x 6x = 55 x = 9,17 chih

03) A gura abaixo mostra uma pilha de crculos iguais, com 1cm de raio, arrumados em vrios andares

no interior do trapzio (no mostrado integralmente). Os crculos do primeiro andar tangenciam a base menor do trapzio e os do mo andar, a base maior. Se a pilha ver 20 andares completos, determine:

(use 3=1,73) (a) a quan dade de crculos que foram izados; (b) a altura aproximada do trapzio.

Resoluo:

(a) De baixo para cima, o primeiro andar tem 3 bolas; o segundo, 4; o terceiro, 5, e assim por diante. Logo, o vigsimo termo dessa progresso aritm ca a = 3 + 19 1 = 22 .

A soma 3 + 4 + 5 + + 22 = = 20 ( 3 + 22)

2= 250 . Foram utilizados 250 crculos .

(b) Observe a gura ao lado. A distncia entre a linha dos centros do

primeiro e a do segundo andar

2 32

= 3

e o mesmo se d entre dois andares conse vos.

A distncia da base inferior do trapzio reta dos centros do 1 andar 1, e a distncia da reta dos centros do 20 andar base superior tambm igual a 1. Assim, a altura do trapzio

= 1 + 193 + 1 ,

...

=> =~

04) Considere a sequncia formada por todos os naturais no nulos menores ou iguais a 201, exceto os m plos de 4 ou de 9. Com relao a essa sequncia responda:

(a) Qual o total de termos? (b) Quantos termos esto compreendidos entre 20 e 60? (c) Do total de termos, quantos so quadrados perfeitos?

Resoluo:

(a) Os nmeros de termos ml plos de 4 ou 9 existentes na sequncia so:

= { 4, 8, , 200 } 200 = 4 + ( 1) 4 = 50

= { 9, 18, , 198 } 198 = 9 + ( 1) 9 = 22

, = { 36, 72, , 180 } 180 = 36 + ( 1) 36= 5 2

Logo, o nmero de termos : = 201 50 22 + 5 =

(b)

= { 24, 28, , 56} 56 = 24 + ( 1) 4 = 9

= { 27, 36, , 54} 54 = 27 + ( 1) 9 = 4

, = { 36} = 1

= { 21, 22, , 59} 59 = 21 + ( 1) 1 = 39

Logo, o nmero de termos :

= 39 9 4 + 1 =

(c) 1 = 1 5 = 25 9 = 81 13 = 1692 = 4 6 = 36 10 = 100 14 = 1963 = 9 7 = 49 11 = 121

4 = 16 8 = 64 12 = 144

Os termos anulados so m plos de 4 ou 9. Portanto, os quadrados perfeitos so 5.

=>

=>

=>

=>

=>

=>

=>

=>

=>

=>

=>

=>

=>

05) Qual a razo entre o permetro de um crculo e o permetro de um quadrado que tem a mesma rea?

Resoluo:

Sabemos que a rea de um crculo de raio dada por = e que a rea de um quadrado de lado = . Portanto, igualando estas duas reas encontramos a seguinte relao:

= = .

Dessa forma, considerando que os permetros desta circunferncia e quadrado so, respe vamente, = 2 e = 4 , e aplicando a relao encontrada, teremos que a razo procurada ser:

24

= 2

=

2

=

.

06) Uma torneira enche de gua um tanque em forma de paraleleppedo de dimenses 3m x 4m x 5m,

em uma hora. Uma outra torneira enche o mesmo tanque em duas horas. (a) Quanto tempo necessrio para encher esse tanque se as duas torneiras so abertas ao mesmo

tempo? (b) Qual deve ser a vazo (volume no tempo) de uma terceira torneira que, aberta junto com as outras

duas, enchem o mesmo tanque em apenas meia hora? Resoluo:

= 3 4 5 = 60 = 60 / = 30 /

(a)

6060

+3060

= 60 32

= 60 =

(b)

6060

30 +3060

30 +60

30 = 60 30 + 15 + 0,5 = 60 0,5 = 15 = /

07) As fraes esto localizadas na reta abaixo:

=>

=> =>

=> => =>

Em qual posio localiza-se a frao ?

Resoluo:

Temos que o mnimo m plo comum de 3, 4 e 5 60.

Transformando as fraes para o denominador comum, temos que

13

=2060

, 14

=1560

15

=1260

.

Observando a reta, vemos que h 16 posies entre as fraes e , mas a diferena entre estas

fraes . Portanto, as fraes de 60 esto representadas a cada duas posies dessa reta. Logo a

frao localiza-se na posio "a" (conforme mostra a gura abaixo).

08) Mister MM, o Mgico da Matem apresentou-se diante de uma platia com 50 chas, cada uma contendo um nmero. Ele pediu a uma espectadora que ordenasse as chas de forma que o nmero de cada uma, excetuando-se a primeira e a ma, fosse a mdia aritm ca do nmero da anterior com o da posterior. Mister MM solicitou a seguir espectadora que lhe informasse o valor da dcima sexta e da trigsima primeira cha, obtendo como resposta 103 e 58 respec vamente. Para delrio da platia, Mister MM adivinhou ento o valor da ma cha. Determine voc tambm este valor.

Resoluo:

= { , , , } , =+2

.

Logo, a razo dessa P.A. :

= + 15 58 = 103 + 15 = 3

E o termo (l ma cha) :

= + 19 = 58 + 19 ( 3) =

09) Um caminho parte da cidade A ao meio dia e dirige-se cidade B com velocidade constante de 40

km/h, devendo chegar s 6h da tarde desse mesmo dia. Um outro caminho que saiu s 2h da tarde da cidade B, dirigindo-se cidade A com velocidade constante de 60 km/h, dever encontrar-se com o primeiro, nessa mesma tarde, s?

Resoluo:

Sabendo que um dos caminhes parte ao meio dia da cidade A para a cidade B com velocidade constante de 40 km/h, devendo chegar s 6h da tarde, podemos encontrar a distncia entre as cidades:

= 40 6 = 240 .

Como o outro caminho sai da cidade B em direo cidade A as 2h da tarde, neste momento o primeiro caminho j ter percorrido 80 , e assim a distncia entre os dois, neste momento, ser de 160 .

Ento devemos ter

40 + 60 = 160 =160100

= 1,6 = 1h36min.

Como este tempo tem incio a p das 2h da tarde, os caminhes devero se encontrar s da tarde.

10) Um recipiente (no transparente) contm s bolas verdes, outro, s bolas azuis e um outro contm bolas verdes e azuis. Entretanto, as e quetas foram colocadas erroneamente em todos eles. Re rando apenas uma bola de um dos recipientes, possvel corrigir o engano e recolocar cada e queta no recipiente correto. Pergunta-se:

(a) De que recipiente deve ser da a bola? (b) Como devem ser colocadas as e quetas?

=> =>

=> =>

=> => =>

AZUL VERDE MISTO

Resoluo:

a) Deve-se re rar uma bola do recipiente misto. b) Se a bola re rada for azul, colocar a e queta azul neste recipiente, a e queta verde no go

recipiente com a e queta azul e a e queta mista no an go verde. VERDE MISTO AZUL

Se a bola re rada for verde, fazer procedimento anlogo. MISTO AZUL VERDE