assunto1 pre ime 1 matheus

7/25/2019 Assunto1 Pre Ime 1 Matheus

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PRÉ IME 1 - CURSO pH

Professor Matheus Secco

ASSUNTO 1: OS NÚMEROS REAIS

1) INTRODUÇÃO: Neste prieiro assu!to" #ue $ %asta!te e&te!so" estu'areos ua s$rie 'e su%t(picos)*istarei a+ora tais su%t(picos e e&p,icarei por #ue $ to iporta!te o estu'o 'estaat$ria) A#ui" .ereos assu!tos coo pro'utos !ot/.eis e fatora0o" reso,.ereossisteas 'e e#ua0es" e!tre outras coisas) Te!ha e e!te #ue estes assu!tos serocruciais para o seu %o 'ese!.o,.ie!to !a Mate/tica) 2asicae!te" a#ui o !ossoo%3eti.o $ apre!'er a fa4er co!tas rapi'ae!te para #ue .oc5 possa o%ter sucesso eassu!tos #ue sero .istos posteriore!te" coo 6eoetria A!a,7tica e Tri+o!oetria)

2) AXIOMAS:

U axioma ou u postulado e ua certa teoria $ ua proprie'a'e iposta coo.er'a'eira) E Mate/tica" uti,i4aos o $to'o a&io/tico" ou se3a" aceitaos a

priori 8se 'eo!stra0o9 a,+uas .er'a'es para #ue possaos co!struir o resta!te 'ateoria)

No co!3u!to 'os !eros reais" teos 'uas opera0es %/sicas: a a'i0o 8represe!ta'a

por ;9 e a u,tip,ica0o 8represe!ta'a por ou×

9) <ua!'o fi4er se!ti'o" oitireos o

si!a, 'e u,tip,ica0o" ou se3a" escre.eosab

e .e4 'ea b×

) Estas opera0essatisfa4e os se+ui!tes a&ioas:

A19 Coutati.i'a'e: as opera0es ; e so coutati.as" isto $"a b b a+ = +

e

a b b a× = × #uais#uer #ue se3a os reais

"a b)

A=9 Associati.i'a'e: as opera0es ; e so associati.as" isto $"( ) ( )a b c a b c+ + = + +

e( ) ( )a b c a b c× × = ×

#uais#uer #ue se3a os reais" "a b c

)

A>9 ?istri%uti.i'a'e: a opera0o 'e u,tip,ica0o $ 'istri%uti.a co re,a0o @ 'e

a'i0o" isto $" .a,e #ue( )a b c a b a c× + = × +

#uais#uer #ue se3a os reais" "a b c

)

A9 E&ist5!cia 'e e,ee!tos !eutros: os !eros racio!ais B e 1 so e,ee!tos !eutros

respecti.ae!te para as opera0es 'e a'i0o e u,tip,ica0o" ou se3a"B Ba a a+ = + =

e1 1a a a× = × =

para to'o rea,a

)

A9 *ei 'o ca!ce,ae!to: se"a b

so reais tais #ueBa b× =

" e!toBa =

ouBb =

)



AD9 E&ist5!cia 'os i!.ersos a'iti.o e u,tip,icati.o: sea

$ rea," e!to e&isteb

rea, ta,

#ueBa b+ =

8represe!taos o i!.erso a'iti.o 'ea

pora−

9) Sea

$ rea, !o !u,o"

e!to e&isteb

rea, ta, #ue1a b× = 8represe!taos o i!.erso u,tip,icati.o 'e

a por

1

a

9)

A partir 'a a'i0o e 'a u,tip,ica0o" 'efi!ios outras 'uas opera0es para os !eros

reais: a su%tra0o" represe!ta'a por−

" $ 'efi!i'a por( )a b a b− = + −

) A 'i.iso"

represe!ta'a porE

" $ 'efi!i'a coo

1Ea b a

b= ×

) É ais cou escre.eros" para a

'i.iso"

ab

) Fe3a #ue a 'i.iso s( est/ 'efi!i'a paraBb ≠

)

3) PRODUTOS NOT!"IS

Os pro'utos !ot/.eis so e&presses a,+$%ricas #ue aparece a to'o i!sta!te !aMate/tica) Por isso" chaa-se !ot/.eis e" assi se!'o" $ fu!'ae!ta, eori4ar asi'e!ti'a'es #ue sero aprese!ta'as a#ui) Estas sero 'e'u4i'as uti,i4a!'o a proprie'a'e'istri%uti.a 'a u,tip,ica0o co re,a0o @ a'i0o)

2#1) $UADRADO DA SOMA " DA DI%"R"NÇA D" DOIS T"RMOS:

( ) ( ) ( )= = = = ==a b a b a b a ab ba b a ab b+ = + + = + + + = + +

( ) = = ==a b a ab b+ = + +

( ) ( )( ) ( ) ( )== == = == =a b a b a a b b a ab b− = + − = + × − + − = − +

( ) = = =

=a b a ab b− = − +

E&ep,os:

( ) = = = => = > > D Ga a a a a+ = + × × + = + +

( ) = = = =G = G G 1H H1a a a a a− = − × × + = − +

2#2) $UADRADO DA SOMA D" TR&S T"RMOS:

( ) ( )( ) ( ) ( )== = = = = == = = =a b c a b c a b a b c c a b c ab ac bc+ + = + + = + + + + = + + + + +



( ) = = = =

= = =a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +

E&ep,os:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = ==

= = =

A A = = A = A

1D = H H

a b c a b c a b a c b c

a b c ab ac bc− + = + − + + × − + × + × − ×+ + − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = ==

= = =

= > = > = = = > = = >

A G A D 1=

a b c a b c a b a c b c

a b c ab ac bc

+ − = + + − + × + × − + × × −

+ + + − −

O'S"R!AÇÃO: S( uis(*mos +al+ula* o uad*ado da soma d( mais t(*mos, op*o+(dim(-to . +ompl(tam(-t( a-/lo0o# T(mos

( ) = = = =

1 = 1 = 1 = 1 = > = 1= = = = =n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a−

+ + + = + + + + + + + + + + +K K K K K

, ou s(a, o uad*ado da soma . i0ual soma dos uad*ados mais duas (4(s asoma dos p*odutos dos t(*mos tomados dois a dois#

2#3) PRODUTO DA SOMA P"5A DI%"R"NÇA:

( ) ( ) = = = =a b a b a ab ba b a b+ − = − + − = −

( ) ( ) = =a b a b a b+ − = −

E&ep,o:

( ) ( ) ( ) == = =

C C C =C x y x y x y x y+ − = − = −

2#6) 7U'O DA SOMA " DA DI%"R"NÇA D" DOIS T"RMOS:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )> = = = > = = = = >

> = = >

= = =

> >

a b a b a b a ab b a b a a b a b ab b a b

a a b ab b

+ = + + = + + + = + + + + + =

+ + +

( ) > > = = >> >a b a a b ab b+ = + + +

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )>> = >> = > = = >

> > > >a b a b a a b a b b a a b ab b− = + − = + × − + × − + − = − + −

( ) > > = = >

> >a b a a b ab b− = − + −

E&ep,os:

( ) > > = = > > => > > > > > G =I =I x x x x x x x+ = + × + × + = + + +



( ) ( ) ( ) ( )> = >> = > = = >> > > > > > G =I =Ia b a a b a b b a a b ab b− = − × + × − = − + −

O'S"R!AÇÃO: . (xt*(mam(-t( 8til (s+*((* (st(s p*odutos -ot/(is dass(0ui-t(s 9o*mas:

( ) ( )

> > > >a b a b ab a b+ = + + +

( ) ( )> > >

>a b a b ab a b− = − − −

2#) TRI;N<U5O D" PAS7A5:

Po'eos +e!era,i4ar os pro'utos !ot/.eis =)1 e =) para ca,cu,ar e&presses coo

( ) ( ) ( )A C D

" " "a b a b a b+ + + K

) Para isso" usareos o triJ!+u,o 'e Pasca, 8associa'o ao %i!Kio 'e NeLto! #ue ser/ estu'a'o !o = a!o9:

1

1 1

1 = 1

1 > > 1

1 A D A 1

1 C 1B 1B C 1

1 D 1C =B 1C D 11 I =1 >C >C =1 I 1

Ua ,i!ha 'o triJ!+u,o 'e Pasca, $ fora'a a partir 'a soa 'e e,ee!tos co!secuti.os'a ,i!ha a!terior) Fe3a" por e&ep,o" #ue 1 ; " 1B ; D" 1B D; " ; 1 e

assi por 'ia!te) A ,i!ha 'e !erok

correspo!'e aos coeficie!tes 'a e&pa!so 'e

( ) k

a b+ ) Teos assi:

( ) A A > = = > A

A D Aa b a a b a b ab b+ = + + + +

( ) C C A > = = > A C

C 1B 1B Ca b a a b a b a b ab b+ = + + + + +

( ) D D C A = > > = A C DD 1C =B 1C Da b a a b a b a b a b ab b+ = + + + + + +

E&ep,o:

( ) C C A > = = > A C C A > =1 C 1 1B 1 1B 1 C 1 1 C 1B 1B C 1a a a a a a a a a a a+ = + × + × + × + × + = + + + +



2#=) 7U'O DA SOMA D" TR&S T"RMOS:

6e!era,i4a!'o u pouco =)" teos o se+ui!te pro'uto !ot/.e,:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )> = = = =

> > > = = = = = =

= = =

> > > > > > D

a b c a b c a b c a b c ab ac bc a b c

a b c a b a c b a b c c a c b abc

+ + = + + + + = + + + + + + + =

+ + + + + + + + +

Po'eos reescre.er ai!'a ta, pro'uto !ot/.e, !a se+ui!te fora" %asta!te ti,:

( ) ( ) ( ) ( )> > > >

>a b c a b c a b a c b c+ + = + + + + + +

E&ep,o:

( ) ( ) ( ) ( )> > >1 1 > 1 1a b a b a b a b+ + = + + + + + +

Fe3aos a+ora a,+u!s e&erc7cios reso,.i'os:

"R 1: Se3a" " x y z

reais !o to'os !u,os tais #ueB x y z + + =

) Ca,cu,e os poss7.eis

.a,ores 'a e&presso

= = = x y z

xy yz zx

+ ++ +

)

SO5UÇÃO:

CooB x y z + + = " se+ue #ue ( )

=

B x y z + + = ) ?esta fora" teos #ue= = = = = = B x y z xy xz yz + + + + + =

) Assi"( )= = = = x y z xy yz zx+ + = − + +

) Coo

B xy yz zx+ + ≠ 8te!te .er por #u59" se+ue #ue

= = =

= x y z

xy yz zx

+ += −

+ + )

"R 2: Se3aa

eb

racio!ais positi.os tais #ueab

$ irracio!a,) Pro.e #uea b+

$

irracio!a,)SO5UÇÃO:

Supo!ha por a%sur'o #ue s a b= +

$ racio!a,) E,e.a!'o ao #ua'ra'o esta ,tia

i+ua,'a'e" teos #ue

== s a b ab= + +

e 'a7 se+ue #ue

=

=

s a bab

− −=

) Coo



" " s a b so racio!ais" ter7aos #ue

=

=

s a bab

− −=

$ racio!a," o #ue co!tra'i4 a

hip(tese 'o e!u!cia'o) *o+oa b+

$ irracio!a,)

"R 3: Se3a" "a b c

reais tais #ueBa b c+ + =

) Pro.e #ue> > > >a b c abc+ + =

)

SO5UÇÃO:

A!tes 'e coe0aros a reso,u0o" te!ha e e!te #ue este fato $ MUITO MUITOiporta!te) Faos a+ora @ so,u0o:

CooBa b c+ + =

" teos #uea b c+ = −

) E,e.a!'o ao cu%o esta ,tia re,a0o" teos:

( ) ( ) ( )

> > > > >

>a b c a b ab a b c+ = − ⇔ + + + = − ) Su%stitui!'oa b+ por

c− " teos #ue> > > >a b c abc+ + =

" coo #uer7aos)

"R 6: Se3a" " "a b c d

reais tais #ue> > > > Ba b c d a b c d + + + = + + + =

) Pro.e #ue asoa 'e 'ois 'estes !eros $ i+ua, a B)

SO5UÇÃO:

Teos #ue

a b c d + + = −

) E,e.a!'o ao cu%o esta ,tia re,a0o e usa!'o o cu%o 'asoa 'e tr5s teros" teos #ue

( ) ( ) ( ) ( ) ( )> > > > > >>a b c d a b c a b a c b c d + + = − ⇔ + + + + + + = −

) Assi" se+ue #ue

( ) ( ) ( ) ( )> > > >> Ba b a c b c a b c d + + + = − + + + =" 'o!'e o%teos #ue

( ) ( ) ( ) Ba b a c b c+ + + = ) ?esta fora"

Ba b+ = "

Ba c+ = ou

Bb c+ = " isto $" a

soa 'e 'ois 'estes !eros $ i+ua, a B)

6) %ATORAÇÃO:

atorar ua e&presso si+!ifica escre.5-,a coo pro'uto 'e teros ais sip,es 8oschaa'os fatores9) Fe3aos a+ora 'ifere!tes t$c!icas 'e fatora0o e fatora0es c,/ssicas#ue 'e.e ser co!heci'as)

T>7NI7A 1 ?7O5O7AR "M "!ID&N7IA): <ua!'o u tero aparece e to'as as parce,as 'e ua e&presso a,+$%rica" $ poss7.e, co,oca-,o e e.i'5!cia)Mateaticae!te" teos o se+ui!te:

( )ab ac a b c+ = +



E&ep,o:( )A = = > = x x y xy x x xy y+ + = + +

T>7NI7A 2 ?A<RUPAM"NTO): Esta t$c!ica $ uito uti,i4a'a e co!siste !a

se+ui!te i'eia:

( ) ( ) ( ) ( )ab ac bd cd a b c d b c b c a d + + + = + + + = + + ) Fe3a #ue o

a+rupae!to $ ua ap,ica0o sucessi.a 'a t$c!ica 'e co,ocar e e.i'5!cia)

E&ep,o:( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 xy x y x y y x y+ + + = + + + = + +

)

E&ep,o =: Coo co!se#u5!cia 'o a+rupae!to" po'eos 'e'u4ir o chaa'o Pro'uto

'e Ste.i!:( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = x a b x ab x ax bx ab x x a b x a x a x b+ + + = + + + = + + + = + +

)

%ATORAÇÃO 1 ?DI%"R"NÇA D" $UADRADOS): Esta fatora0o $ sip,ese!te

o pro'uto !ot/.e, >)> 8PRODUTO DA SOMA P"5A DI%"R"NÇA9) Por sua +ra!'eiportJ!cia" ressa,taos !o.ae!te:

( ) ( )= =a b a b a b− = + −

E&ep,o:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

A = = = = = = = =1D A A A = A = = A x x x x x x x x x− = − = − + = − + = − + +)

%ATORAÇÃO 2 ?SOMA D" 7U'OS): O o%3eti.o a#ui $ fatorar a e&presso

> >

a b+ )

Para isso" ,e%re #ue( ) ( )

> > >>a b a b ab a b+ = + + +

8escre.e!'o !a fora

e&treae!te ti,9 ) Coo #uereos fatorar

> >a b+" $ !atura, iso,ar esta e&presso 'e

u 'os ,a'os 'a ,tia i+ua,a'e) Assi" teos #ue( ) ( )

>> > >a b a b ab a b+ = + − +)

Co,oca!'o( )a b+

e e.i'5!cia" teos #ue

( ) ( )( ) ( ) ( )=> > = =>a b a b a b ab a b a ab b+ = + + − = + − +

) Assi" che+aos @ se+ui!tefatora0o:

( ) ( )> > = =a b a b a ab b+ = + − +

E&ep,o:( ) ( )> > > =H = = = A x x x x x+ = + = + − +



%ATORAÇÃO 3 ?DI%"R"NÇA D" 7U'OS): A+ora" #uereos fatorar a e&presso> >a b−

) Para isso" .aos apro.eitar a fatora0o a!terior:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )> => > > = = =a b a b a b a a b b a b a ab b− = + − = + − − × − + − = − + +

) Assi"teos:

( ) ( )> > = =a b a b a ab b− = − + +

E&ep,o:( ) ( )> > > =1=C C C C =C x x x x x− = − = − + +

%ATORAÇÃO 6 ?SOMA " DI%"R"NÇA D" POT&N7IAS): 6e!era,i4a!'o as 'uas,tias fatora0es" teos os se+ui!tes resu,ta'os:

Paran

i!teiro positi.o #ua,#uer" .a,e:

( ) ( )1 = = 1n n n n n n x a x a x x a xa a− − − −− = − + + + +K

O%ser.e #ue as pot5!cias 'e x .o 'ii!ui!'o 'e 1 e 1 e as 'e a .o aue!ta!'o 'e 1e 1)

E&ep,o:

( ) ( ) ( ) ( )C C C A > = = > A A > =

>= = = = = = = = = A H 1D x x x x x x x x x x x x− = − = − + × + × + × + = − + + + +

Para n i!teiro positi.o @MPAR " .a,e:

( ) ( )1 = = 1n n n n n n x a x a x x a xa a− − − −+ = + − + − +K

O%ser.e #ue as pot5!cias 'e x .o cai!'o 'e 1 e 1 e as 'e a .o aue!ta!'o 'e 1 e1) A,$ 'isso" !ote #ue os si!ais a,ter!a)

E&ep,o:

( ) ( ) ( ) ( )C C C A > = = > A A > =>= = = = = = = = = A H 1D x x x x x x x x x x x x+ = + = + − × + × − × + = + − + − +

T>7NI7A 3 ?7OMP5"TANDO $UADRADOS): Esta t$c!ica $ uito ti, #ua!'oteos ua e&presso #ue $ #uase u #ua'ra'o perfeito) Fe3aos 'ois e&ep,os parafi&ar as i'eias:

E&ep,os:



8I'e!ti'a'e 'e Sophie 6erai!9 A e&presso a ser fatora'a $

A AAa b+

) Fe3a #ue

( ) ( )= =

A A = =A =a b a b+ = +) ?a fora #ue escre.eos" a e&presso ,e%ra uito o

#ua'ra'o 'e ua soa 8'e fato 3/ teos o #ua'ra'o 'o prieiro tero e o 'o se+u!'otero9) Pe!se a+ora: o #ue est/ fa,ta!'o para isto ser o #ua'ra'o 'e ua soa Est/fa,ta!'o o tero 'o eioQQ Para co!sertar isso" .aos soar e su%trair o tero 'o eio"

#ue $( )= = = == = Aa b a b× × =

) Assi" teos #ue

( ) ( )= =A A A = = A = = = =A A A A = =a b a a b b a b a b ab+ = + + − = + −

) A+ora" teos ua 'ifere!0a'e #ua'ra'os e po'eos fatorar !ossa e&presso" o%te!'o o se+ui!te:

( ) ( )

A A = = = =A = = = =a b a ab b a ab b+ = + + − +

Fe3aos ais u e&ep,o:

A e&presso a ser fatora'a $

A =1 x x+ +

)

Esta e&presso $" ais ua .e4" #uase o #ua'ra'o 'e ua soa) Cop,eta!'o assi o

#ua'ra'o" teos:( )

=A = A = = = =1 = 1 1 x x x x x x x+ + = + + − = + −

) Mais ua .e4" che+aos

a ua 'ifere!0a 'e #ua'ra'os e o%teos:

( ) ( )A = = =1 1 1 x x x x x x+ + = + + − +

T>7NI7A 6 ?"XPR"SS"S DO S"<UNDO <RAU): É fre#ue!te !os 'epararos

co e&presses 'a fora

=ax bx c+ + pe,a fre!te) O $to'o para fatorar tais e&presses

$ o se+ui!te:

19 E!co!trar as ra74es

1 x

e

= x

'a e#ua0o

= Bax bx c+ + =

usa!'o a f(ru,a 'e

2hasara" por e&ep,o)

=

1"=

A

=

b b ac x

a

− ± −= ÷

÷

=9 eito isso" teos a se+ui!te fatora0o:( ) ( )=

1 =ax bx c a x x x x+ + = − −

Fe3aos u e&ep,o para fi&ar a i'eia:

E&ep,o: atore

=1C = x x+ −

)



Faos se+uir o $to'o:

19 As ra74es so

( )=

1

1 1 A 1C = 1 11 1

= 1C >B > x

− + − × × − − += = =

× e

( )=

=

1 1 A 1C = 1 11 =

= 1C >B C x

− − − × × − − −= = = −

× )

=9 ?esta fora" teos #ue:

( ) ( )= 1 = 1 =1C = 1C > C > 1 C =

> C > C x x x x x x x x

+ − = − − − = − + = − + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

)

T>7NI7A ?"N7ONTRANDO RA@B"S D" UMA "XPR"SSÃO A5<>'RI7A):

O se+ui!te resu,ta'o $ e&treae!te ti,: se ua e&presso a,+$%rica e x se a!u,a

para x a=

" e!to x a−

'e.e ser u fator 'a e&presso) Fe3aos u e&ep,o:

E&ep,o: atore

> =D 11 D x x x− + −

)

Fe3a #ue su%stitui!'o x

por 1" teos #ue a e&presso se a!u,a) ?esta fora"1 x −

'e.eser u fator) Sa%e!'o 'esta i!fora0o" .aos for0ar a apari0o 'este fator:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

> = > = = = =

D 11 D C C D D 1 C 1 D 1 1 C D x x x x x x x x x x x x x x x x− + − = − − + + − = − − − + − = − − +

) Ai!'a po'eos fatorar( ) ( )=

C D = > x x x x− + = − −" o%te!'o assi #ue

( ) ( ) ( )> =D 11 D 1 = > x x x x x x− + − = − − −)

%ATORAÇÃO : <uereos fatorar a+ora a e&presso> > > >a b c abc+ + −

) Para isso"usareos o artif7cio 'e cop,etar o cu%o 8see,ha!te ao cop,etae!to 'e #ua'ra'os9)

Escre.a ( ) ( )

>> > > >

> > >a b c abc a b ab a b c abc+ + − = + − + + − ) u!ta!'o o prieiro fator co o terceiro e o se+u!'o co o #uarto" teos:

( ) ( ) ( )( ) ( )=> > > => >a b c abc a b c a b a b c c ab a b c+ + − = + + + − + + − + +

) i!a,e!te"

co,oca!'oa b c+ +

e e.i'5!cia" se+ue #ue:

( ) ( )> > > = = =>a b c abc a b c a b c ab bc ca+ + − = + + + + − − −



T>7NI7A = ?ADI!INCANDO %ATOR"S): Esta t$c!ica $ uito ap,ica'a parafatorar e&presses 'e +rau " #ua!'o !o co!heceos !e!hua rai4 'e ta, e&presso)Fe3aos u e&ep,o para i,ustrar a t$c!ica:

<uereos fatorar

A > => = = x x x x− − − +

) I!fe,i4e!te" !o $ poss7.e, e!co!trar!e!hua rai4 'este po,i!Kio" o #ue ipossi%i,ita o uso 'a t$c!ica ) ?esta fora"

precisareos 'e u artif7cio !o.o) A i'eia a#ui ser/ escre.erA > => = = x x x x− − − +

coo pro'uto 'e 'ois fatores 'e +rau = co coeficie!tes i!teiros 8!e sepre ser/

poss7.e, fa4er isso" as $ sepre %o te!tarQ9) Fe3aos:

( ) ( )A > = = => = = x x x x x ax b x cx d − − − + = + + + +

Copara!'o os coeficie!tes 'e a%os os ,a'os" teos as se+ui!tes e#ua0es:

>

1

=

=

a c

ac b d

ad bc

bd

+ = − + + = − + = − =

Se te!taros reso,.er este sistea pe,as .ias tra'icio!ais" aca%areos .o,ta!'o ao po,i!Kio ori+i!a,) ?esta fora" 'e.eos !os apro.eitar 'o fato 'e #ue estaos

chuta!'o #ue os coeficie!tes" " "a b c d

so i!teiros) E +era," $ ua %oa i'eia

coe0ar pe,a ,tia e#ua0o: coo=bd = " teos poucas possi%i,i'a'es para

b e

d :

po'eos ter( ) ( ) ( )" ="1 " =" 1b d = − −

8.e3a #ue po'er7aos ter por e&ep,o( ) ( )" 1" =b d =

" as coo a or'e 'a fatora0o !o iporta" po'eos supor #ue( ) ( )" ="1b d =

9)

Faos te!tar e!to=b =

e1d =

) Co isso" as e#ua0es fica:

>

A

= =

a c

ac

a c

+ = − = − + = −

Reso,.e!'o este sistea 8%e ais f/ci, #ue o a!terior9" se+ue #ue1c =

eAa = −

8,e%re-se sepre 'e co!ferir se os .a,ores e!co!tra'os satisfa4e TODAS ase#ua0es9)

Co isso" o%teos a se+ui!te fatora0o:( ) ( )A > = = => = = A = 1 x x x x x x x x− − − + = − + + +

)



Fe3aos ais a,+u!s e&erc7cios reso,.i'os:

"R : Se a e b so !eros reais tais #ue a - b = e a2b - ab2 = =1B" 'eteri!e o .a,or'e ab)SO5UÇÃO:

Po'eos co,ocarab

e e.i'5!cia !a e&presso= =a b ab− " o%te!'o #ue

( ) =1Bab a b− = ) Coo

I=− ba" teos #ue

>B=1BI =⇒= abab)

"R =: ?eteri!e #ua!tos pares 'e i!teiros( )" x y

so tais #ue1 1GGD 1GGH x y xy+ + =

)

SO5UÇÃO:

A e#ua0o $ e#ui.a,e!te a1GGD 1GGH 1 xy x y− − =

) Fe3a #ue( )1GGD 1GGD xy x x y− = −

)

Para cop,etar a fatora0o" soareos porta!to1GGD 1GGH×

aos 'ois ,a'os 'a

i+ua,'a'e" o%te!'o assi1GGD 1GGH 1GGD 1GGH 1GGD 1GGH 1 xy x y− − + × = × +

) ?esta

fora" se+ue #ue( ) ( )1GGD 1GGH 1GGD 1GGD 1GGH 1 x y y− − − = × +

) Usa!'o #ue1GGD 1GGI 1= −

e1GGH 1GGI 1= +

" pe,a 'ifere!0a 'e #ua'ra'os" teos #ue a e#ua0o

fica:( ) ( )

=

1GGH 1GGD 1GGI x y− − =) Coo 1GG $ prio 8.erifi#ueQ9" teos as se+ui!tes

possi%i,i'a'es:

=

=

=

=

1GGH 1" 1GGD 1GGI

1GGH 1GGI" 1GGD 1GGI

1GGH 1GGI " 1GGD 1

1GGH 1" 1GGD 1GGI

1GGH 1GGI" 1GGD 1GGI

1GGH 1GGI " 1GGD 1

x y

x y

x y

x y

x y

x y

− = − =− = − =

− = − =

− = − − = −− = − − = −

− = − − = −

?esta fora" h/ D pares 'e i!teiros #ue satisfa4e a e#ua0o)

"R : Se3ar

u rea, ta, #ue

>

>

1>r

r + =

) Ca,cu,e o .a,or 'e

=

=

1r

r +

)

SO5UÇÃO:

E,e.a!'o ao cu%o a re,a0o 'a'a" teos #ue:



>

>> > >

> > >

1 1 1 1> > =Ir r r r

r r r r

+ = ⇔ + + × × + = ÷ ÷

Su%stitui!'o !a ,tia i+ua,'a'e

>

>

1>r

r + =

" teos #ue

1

=I > > 1Hr r + = − × = )

E,e.a!'o a+ora ao #ua'ra'o esta ,tia i+ua,'a'e" teos:

=

= = =

= =

1 1 1 11H = >=A >==r r r r

r r r r

+ = ⇔ + + × = ⇔ + = ÷

)

"X"R7@7IOS:

19 ?a'o #ue

1> x

x

+ =

" o .a,or 'e

=

=

1 x

x

+

$:

a9

%9 D

c9

'9

e9 G

=9 SeV9WV8W9VW8 baba +=+

" co a e % !o !u,os" e!to o .a,or !u$rico 'eab

ba +

$:a91 %9= c91= '9=> e9>=

>9 ?a'o #ue xy y x D

== =+ 8

B>> y x

9" o .a,or 'e y x

y x

−+

$:a9 1

%9

=

c9>

'9 =

e9

9 Sa%e!'o #ue

= >& X 1+ = e

A D& X =+ =" o .a,or 'e

( )=

= > A = > D& X & =& X X− − − − $

a9 B



%91

c91−

'9 =

e9=−

9 O pro'uto( ) ( ) ( ) ( )C D I C D I C D I C D I P = + + + − − + − + +

$:

a9 1BB

%9 1B1

c9 1B=

'9 1B>

e9 1B

D9 O .a,or 'e

= = =1GGG1GGH1GGI = 1GGG1GGH1GGA 1GGG1GGH1GG1− × +

$ i+ua, a:

a9 1= %9 1 c9 1D '9 1 e9 =B

9 Ca,cu,e

=1=>ACD 1=>ACD 1=>ACI+ +

)

9 <ua, o .a,or 'e= = = = = ==BBH =BBI =BBD =BBC = 1− + − + + −K

G9 ?eteri!e o .a,or 'as e&presses a%ai&o:

a9

CG>= DBB1 DG

CG>= DBB1 CG>1

× −+ ×

%9

( ) ( )= ==BBA =B1B =BBA ABBH > =BBC

=BB1 =BB> =BBD =BBI

− × + − ×

× × ×

c9

> > >AB1G =B1A =B1C

AB1G =B1A =B1C

− −× ×

1B9 Se3a" x y

i!teiros positi.os tais #ue>A x y xy+ + =

) ?eteri!e o .a,or 'e x y+

)

119 Se> x y xy+ = =

" 'eteri!e o .a,or 'e

> > x y+)



1=9 Seα

$ ua 'as ra74es 'a e#ua0o=

1 B x x+ − =" 'eteri!e o .a,or 'e

C Cα α −)

1>9 Sip,ifi#ue:

a9( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

a b a c b a b c c a c b+ +− − − − − − )

%9( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

> > >a b c

a b a c b a b c c a c b+ +

− − − − − −

19 SeB x >

e

1C x

x+ =

" 'eteri!e

C

C

1 x

x+

)

19 Se"a b

so i!teiros co!secuti.os" ostre #ue( ) == =a b ab+ +

$ u #ua'ra'o perfeito)

1D9 Ca,cu,e( ) ( ) ( ) ( )1BBBBBB 1BBBBB1 1BBBBB= 1BBBBB> 1× × ×

)

19 Se=

1 B x x+ + = " ca,cu,e o .a,or !u$rico 'e

= = = =

= > =I

= > =I

1 1 1 1

x x x x x x x x

+ + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ K

19 atore as se+ui!tes e&presses:

a) > = = = = = > = >

ab x a b x ab x a bx− + −

E)

> = > = = = = = = =1C C 1C Ca bx y a bxy a b x y a b xy− − +

+)

A > = = >C > AC =Ia a b a b ab− − +

d) A = 1Da a− +

()

C C A A x y xy x y+ − −

9)A =1B =B x x x− + +

0)

( ) ( )= == =

C A = x y xy+ − − +



F)( ) ( ) ( ) ( )

= == = = =1 1 A A 1 1 x y xy x y y x + + − − + − +

i)

( ) ( ) ( )= = = = = => xyz x y z y z x z x y+ + + + + +

)( ) ( ) ( ) =bc b c ca c a ab a b abc+ + + + + +

G)( ) ( ) ( )

> > > x y y z z x− + − + −

l)( ) ( )= = = =ab c d cd a b+ + +

m) ( ) ( )

=

1 1 1 y x xy+ + +

-)1B C 1 x x+ +

1G9 8O2M9 ?eteri!e x y+

" sa%e!'o #ue

> > G x y+ ="

= = D x y xy+ = e #ue x e y so

!eros reais)

a9 1

%9 =c9 >

'9

e9

=B9 8O2M9 Se3aa

eb

reais positi.os tais #ue

=a b a b

b a

+ +=

) O .a,or 'e

( ) =

a b

ab

+

$:

a9

%9> >+

c9= = =+

'9= C+

e9



=19 Pro.e #ue se" "a b c

so i!teiros cu3a soa $ 4ero" e!to( )A A A= a b c+ +

$ u#ua'ra'o perfeito)

==9 SeB x y z + + =

" pro.e #ueG

y z z x x y x y z

x y z y z z x x y

− − −

+ + + + = ÷ ÷− − − )

=>9 ?a'o #ue1 xyz =

" 'eteri!e o .a,or 'e

1 1 1

1 1 1

x y z

xy x yz y zx z

+ + ++ +

+ + + + + + )

=9 Se" "a b c

so racio!ais tais #ue

1 1 1B

a b b c c a+ + =

− − −" ostre #ue

( ) ( ) ( )= = =

1 1 1

a b b c c a+ +− − − $ o #ua'ra'o 'e u racio!a,)

=9 8AIME9 Se3a" " "a b x y

!eros reais tais #ue

= =

> >

A A

>

I

1D

A=

ax by

ax by

ax by

ax by

+ =

+ =

+ =

+ =

?eteri!e o .a,or 'e

C Cax by+)

D"SA%IOS:

19 Se3a x

e y


>

>

1> >

> 1>

x x y

y x y

= +

= + " co

x y≠) ?eteri!e o

.a,or 'e ( )

== =

x y− )

=9 8O2M 1B9 Ca,cu,e

( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )1>1>11CC1>>111

1>=>=1DD1AA1===A=A=A=A

=A=A=A=A

++++++++++++++++

>9 8AIME 9 Ca,cu,e

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A A A A A

A A A A A

1B >=A == >=A >A >=A AD >=A CH >=A

A >=A 1D >=A =H >=A AB >=A C= >=A

+ + + + +

+ + + + +

)



9 Ca,cu,e

1 1

1 1= 1

1 1> 1

1 1A >

1 1

A 1=BBC

=BBC

++ +

+ ++ +

+ + +K

K

)

9 Reso,.a o sistea 'e e#ua0es:

= =

= =

>>

>B

x y x

x y

x y y

x y

− + = + + − = +

D9 Se3a" " x y z

!eros tais #ue= x y z + + =

"

= = => x y z + + =

eA xyz =

) Ca,cu,e o.a,or 'e

1 1 1

1 1 1S

xy z yz x zx y= + +

+ − + − + −

9 ?eteri!e !eros racio!ais" "a b c

tais #ue

> > > > >= 1 a b c− = + +)

9 Se" "a b c

so i!teiros positi.os tais #ue1BBBabc ab ac bc a b c+ + + + + + =

"

'eteri!e o .a,or 'ea b c+ +

)

G9 8Co!e Su,9 Pe'ro e Cec7,ia participa 'e u 3o+o co as se+ui!tes re+ras: Pe'roesco,he u i!teiro positi.o a e Cec7,ia +a!ha 'e,e se pu'er e!co!trar u i!teiro positi.o

b" prio e!tre si co a" ta, #ue> >a b+

co!te!ha ao e!os tr5s prios 'isti!tos) Mostre#ue Cec7,ia sepre po'e +a!har)

1B9 Se3a" "a b c

reais !o !u,os tais #ueBa b c+ + =

) ?eteri!e os poss7.eis .a,ores'e

( ) ( )

( )

=> > > A A A

=C C C

a b c a b c

a b c

+ + + +

+ +

119 8O2M9 Se3aa

eb

reais tais #ue( ) ( ) ( )1 1 =a b a b+ + + =

e> > 1a b+ =

) E!co!tre

o .a,or 'ea b+ )



1=9 Se3a" "a b c


1a b c

b c c a a b+ + =

+ + +) Ca,cu,e

= = =a b c

b c c a a b+ +

+ + + )

1>9 8Trei!ae!to 2rasi, Co!e Su,9 Se3a" " " " "a b c x y z

reais 'isti!tos tais #ue

Bax by cz + + =) Pro.e #ue a e&presso

( ) ( ) ( )

= = =

= = =

ax by cz

bc y z ca z x ab x y

+ +

− + − + − !o

'epe!'e !e 'e x" !e 'e y" !e 'e z )

19 E!co!tre to'os os pares 'e i!teiros ( )" x y tais #ue

> >

=BBI>

x y xy

++ =

)

19 Se3aa

eb

reais tais #ue

( )

( )

> =

> =

> 1

> 1

a ab

b a b

= +

= −

?eteri!e o .a,or 'e

= =a b+

)

1D9 8O2M9 Se

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=B1B

=B11

a b b c c a

a b b c c a

− − −=

+ + + , 'eteri!e o .a,or 'e

a b c

a b b c c a+ +

+ + +

)

<A'ARITO:

"X"R7@7IOS:

19 C

=9 ?

>9 2

9 ?

9 E

D9 ?

9 1=>

9 =B1B>DG9



a9 1

%9 =BB

c9 >

1B9 1B119 B

1=9 Y >

1>9

a9 B

%9a b c+ +

19 ==19 ?EMONSTRAZ[O

1D91= D1B > 1B 1+ × +

19

19

a9( ) ( )=abx b a b x− +

%9( ) ( )=C >a bxy a b x y− −

c9( ) ( ) ( )> > C >a a b a b a b− + −

'9( ) ( )= => A > Aa a a a+ + − +

e9( ) ( ) ( )

= = = x y x y x y+ − +

f9( ) ( )= =A C x x x x− − + −

+9( ) ( ) ( ) ( )1 1 > > x y x y x y x y+ + + − − + − −

h9( ) ( ) ( ) ( )

= = = =1 1 1 1 x x y y+ − + −

i9( ) ( ) x y z xy xz yz + + + +



39( ) ( ) ( )a b a c b c+ + +

9( ) ( ) ( )> x y y z z x− − −

,9( ) ( )ac bd ad bc+ +

9( ) ( )=1 1 xy y x y xy+ + + +

!9( ) ( )= H I C A >1 1 x x x x x x x x+ + − + − + − +

1G9 C

=B9 ?

=19 ?EMONSTRAZ[O

==9 ?EMONSTRAZ[O

=>9 =

=9 ?EMONSTRAZ[O

=9 =B

D"SA%IOS:19 1>>

=9 1B

>9 >>

9 1

9( ) ( )" 1" 1 x y = −

ou( ) ( )" ="1 x y =

D9

=G

−

9

A = 1" "

G G Ga b c= = − =

9 =

G9 ?EMONSTRAZ[O



1B9

1H

=C

119 1

1=9 B

1>9 ?EMONSTRAZ[O

19( ) ( )" 1H"> x y =

ou( ) ( )" >"1H x y =

19

> 1H

assunto1 pre ime 1 matheus

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