AS POSSIBILIDADES DE ABORDAGENS DO CICLO

TRIGONOMÉTRICO E DISCUSSÃO DAS FUNÇÕES

TRIGONOMÉTRICAS POR MEIO DA MÍDIA INFORMÁTICA

SOFTWARE GEOGEBRA

Donizete Gonçalves da Cruz donizetegcruz1@gmail.com

Eixo Temático: Educação Matemática Agência Financiadora: não contou com financiamento

Resumo

Através deste artigo, pretende-se relatar um trabalho realizado no Núcleo Regional de Educação de Curitiba (NREC), com professores (as) da educação básica, no segundo semestre do ano de 2009. Trata-se de minicursos realizados sobre o ensino e a aprendizagem de conceitos, sobre o ciclo trigonométrico e as funções trigonométricas por meio do software geogebra, e para isso foi utilizado a sala do Paraná Digital e também a TV laranja. A intenção foi apresentar aos (as) professores (as) as possibilidades de abordagens do ciclo trigonométrico e das funções trigonométricas no ambiente computacional, com uma metodologia que se diferencia da tradicional abordagem por meio do quadro negro e do giz. Parte-se do pressuposto que os recursos tecnológicos são ferramentas e a base teórica são os estudos sistematizados que defendem e amparam o uso das mídias tecnológicas no campo da educação matemática. Assim, foram fundamentais as produções de autores que investigam, no contexto das mídias tecnológicas aplicadas ao ensino e à aprendizagem matemática, no âmbito de abrangência ou que possuem pontos de contatos com a educação matemática.

Palavras-chave: Software Geogebra. Educação Matemática. Ciclo Trigonométrico. Funções Trigonométricas.

Introdução

A sociedade tecnológica passa por contínuas transformações, em uma velocidade

surpreendente. Fazendo parte de uma sociedade em mudança, os professores sentem, muitas

vezes, angústias e preocupações, pois tem que se atualizar constantemente para acompanhar,

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estudar e filtrar aquilo que é necessário, abordando em sala de aula, mediado pelo acervo de

recursos tecnológicos que diariamente aparecem em nosso meio.

Ora, a sociedade muda e com ela as suas demandas. Então, está posto o desafio, ou

seja, preparar os alunos para a mobilidade em uma sociedade otimizada pelas tecnologias.

Nos últimos anos, vem ocorrendo o surgimento de vários softwares educacionais que

possibilitam aos alunos o trabalho com conceitos matemáticos, sem a necessidade de

conhecimentos da linguagem de programação. Estes, sem dúvida, compõem-se de um

poderoso ambiente de aprendizagem, no qual é possível trabalhar em uma perspectiva que

incorpora a construção de conhecimentos relacionados aos conteúdos específicos da Educação

Matemática.

Presume-se que a prática docente possa melhorar significativamente, quando os

profissionais dessa área se empenharem em buscar processos adequados para o exercício

profissional, tendo como ferramenta o recurso tecnológico: computador.

Os softwares de geometria dinâmica, entre os quais se insere o software geogebra,

instalados nas salas do Paraná Digital1, que apresentam estrutura, funcionamento e

características de fácil domínio, sendo explorados por uma proposta condizente, e podendo

possibilitar a postura autônoma de aprendizagem. Mais ainda, conjectura-se em favor da ideia

que por meio deles os alunos têm a possibilidade de apropriar de conhecimento matemático,

bem como de construir conhecimento matemático.

Partindo de tal conjectura, no segundo semestre do ano de 2009, realizou-se um

trabalho com os (as) professores (as) de Matemática das escolas estaduais do NREC, cuja

delimitação do problema apontou para as possibilidades de abordagens do ciclo

trigonométrico e discussão das funções trigonométricas por meio da mídia informática

software geogebra.

O NREC está dividido em 08 setores e abrange 168 escolas localizadas no âmbito do

território geográfico do município de Curitiba, sendo que em cada setor existem

aproximadamente 20 escolas. No segundo semestre de 2009 existia aproximadamente 740

professores (as) de Matemática atuando no NREC.

1 O Paraná Digital é um projeto de inclusão digital das escolas da rede pública do Estado do Paraná. Tem o

objetivo de melhorar a qualidade do ensino e encontra-se fundamentado na disponibilidade de meios educacionais através de computadores e da Internet. Nos computadores estão instalados o software geogebra.

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O trabalho realizado com os (as) professores (as) de Matemática do NREC

caracterizou-se em uma atividade de formação que teve como objetivo instrumentalizá-los,

tanto teoricamente como metodologicamente, para atuar nas salas do Paraná Digital e explorar

conceitos matemáticos por meio das mídias software geogebra, internet e TV Pendrive. Os

(as) professores (as) foram convidados por meio de e-mails e por meio de comunicados por

escrito enviados às escolas. Em cada setor ocorreram dois encontros de 04 horas de duração,

um no período da manhã e o outro no período da tarde, sendo que os (as) professores (as)

tiveram a liberdade de optar por um dos horários.

Os encontros foram pensados, organizados, sistematizados e executados segundo

uma metodologia que permitisse ao (a) professor (a) conhecer a mídia ou as mídias (para

aqueles que ainda não haviam tido contato com as mídias envolvidas) até a situação que

possibilitasse aos (as) professores (as) explorar, por meio da construção, visualização e

movimentação, os conceitos matemáticos em foco. Desta forma, utilizou-se a seguinte

metodologia2: Organização da interface, construção no geogebra do ciclo trigonométrico com

recursos para a movimentação e manipulação, inserção no ciclo trigonométrico de ações que

possibilitasse a realização de análises por meio do gráfico, discussão sobre os conceitos e

conclusão em que os (as) professores (as) foram solicitados a responder aos seguintes itens:

domínio, imagem, periodicidade, limitação, sinal e monotonicidade.

Ainda sugeriu-se aos professores que ao realizarem tais atividades com os alunos,

poderiam salvá-las e utilizá-las como meio para avaliação. Da mesma forma, poderiam, no

caso de realizar a discussão com os alunos sobre os conceitos envolvidos, lançarem mão da

internet e em sites confiáveis buscarem o conceito, por exemplo, de domínio e imagem.

Justificou-se essa atividade de formação partindo do princípio que os computadores e

os softwares instalados em seu disco rígido, assim como a internet e a TV, são ferramentas

que contribuem para abordar os conteúdos da disciplina de matemática com os alunos, em

uma perspectiva crítica de aprendizagem. Da mesma forma, esclarece que este trabalho foi de

cunho teórico e prático e, sendo assim, a fundamentação foi baseada em autores que

investigam sobre mídias informáticas no cenário da educação matemática e/ou que possuem

pontos de contatos com a educação matemática. Com isso, adotou-se a mesma visão de

2 No final deste artigo há, no tópico operacionalização, uma das atividades desenvolvidas com os professores.

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Penteado e Borba (2001) que defendem o computador e os softwares como um novo ator que

se faz presente na ação docente. Os autores assumem uma postura:

[...] que o conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias e não, como sugerem outras posturas, por seres humanos solitários ou coletivos formados apenas por seres humanos. (BORBA e PENTEADO, 2001, p. 46).

Nesta visão, há a interação entre humanos e não humanos. Assim, os computadores,

os softwares, a internet e a TV devem ser usados como extensão do pensamento das pessoas

e, desta forma, caracterizam-se como meios que contribuem significativamente para a

abordagem de conteúdos matemáticos.

Ainda, do ponto de vista de metodologia, se fez necessário abordar com os

professores (não em momentos específicos, mas durante o decurso do encontro) pontos

importantes tais como: software geogebra, educação matemática, uma concepção para

computadores, softwares, internet e TV. Diante disso, abaixo será descrita a fundamentação

do ponto de vista de concepção.

Software geogebra

O geogebra é um programa livre de geometria dinâmica para ser utilizado em sala de

aula. Permite que os alunos construam figuras, realizem investigações sobre propriedades e

conceitos matemáticos, manipulando o objeto e os seus elementos dinamicamente na tela do

computador, identificando especialmente as características das construções realizadas, por

isso pode-se caracterizá-lo como um ambiente dinâmico e interativo.

Os softwares de geometria dinâmica dispõem de vários recursos, partindo dos mais

simples como as cores, até alguns mais sofisticados como a calculadora interna e as macro

construções. Aliados aos recursos, eles apresentam uma vantagem muito importante, ou seja,

quando o usuário abre um desses aplicativos se depara com uma tela branca e, diante da gama

de opções, tem a possibilidade de usufruir dos mecanismos que possibilitam a efetivação da

construção de conhecimentos matemáticos.

Geometria dinâmica

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Parafraseando Cruz (2005, p. 72), a geometria dinâmica é aquela que permite sua

exploração por meio do movimento de figuras geométricas na tela de um computador, em um

ambiente dinâmico e interativo, cujas características estabelecem condições para que o

usuário (aluno) manuseie seus componentes e realize conjecturas, atendendo aos requisitos

necessários para que se observem regularidades. Em outras palavras, é a geometria factível no

ambiente dinâmico e interativo.

Educação matemática

Compreende-se a Educação Matemática como campo de estudo no qual professores e

investigadores encontram fundamentação teórica e metodológica para direcionar a sua prática

docente e realizar as suas pesquisas.

A Educação Matemática é "o estudo de todos os fatores que influem, direta ou

indiretamente, sobre todos os processos de ensino-aprendizagem em Matemática e a atuação

sobre estes fatores." (PITOMBEIRA, 1991, p. 18).

Considera-se também que:

[...] a educação matemática realiza-se numa prática, numa ação de comprometimento e vinculação com mundo, o que, no senso comum, chamamos de ‘o mundo real’ [...] é uma área de conhecimento teórico-prático, que ocorre exatamente no campo de interseção dos avanços teóricos que visam à prática e são possíveis a partir dessa mesma prática, num processo de retroalimentação. (GARNICA, 2001, p. 52).

Ainda não há consenso sobre a configuração do objeto de estudo da Educação

Matemática, de modo que os investigadores da área preferem dizer que se encontra em

construção. De outra forma, é bem claro que ele está centrado na prática pedagógica e

trabalha com as relações entre o ensino, a aprendizagem e o conhecimento matemático.

Torna-se assim, bem claro que os objetivos básicos da Educação Matemática consistem em

desenvolvê-la como campo de investigação e de produção de conhecimento, em sua natureza

científica; e na melhoria da qualidade de ensino, em sua natureza pragmática.

A Educação Matemática é ampla e isto exige que o educador matemático tenha a

capacidade de exercer a docência articulando ensino, aprendizagem e conhecimento

matemático. Com isso, pode-se dizer que o educador matemático deve estar atento aos

diferentes aspectos que vão desde a vida escolar do aluno, à vida familiar, à vida social,

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até o desenvolvimento tecnológico. Da mesma forma, é necessário que se busque leituras

em outros campos do conhecimento, tais como: na Psicologia, na Sociologia, na História

e na Filosofia. Assim, os professores devem atuar profissionalmente com uma visão

ampla dos acontecimentos e do mundo, de forma a discernir, filtrar e pensar

metodologias de abordagens a tal ponto de formar o aluno para uma atuação crítica no

meio em que ele está inserido. O professor deve ver o conhecimento como uma atividade

humana em que todas as pessoas conseguem produzi-lo.

Em razão disso, surgiram tendências no âmbito da Educação Matemática, tais

como filosofia da educação matemática, sociologia da educação matemática, psicologia

da educação matemática, história da matemática, modelagem matemática,

etnomatemática, investigações matemáticas, resolução de problemas e mídias

tecnológicas aplicadas ao ensino e à aprendizagem matemática.

Aqui, é importante ressaltar, sucintamente, que a produção bibliográfica e a

práxis de sala de aula, no cenário da tendência de tecnologias aplicadas ao ensino e à

aprendizagem matemática, propicia a base teórica e metodológica para o exercício

docente, por meio de tecnologias, tais como: os softwares de geometria dinâmica, no qual

o geogebra é um deles. Entretanto, é necessário discutir uma concepção para computador

e softwares.

Concepção para computadores, softwares, internet e tv

Não se tem dúvidas que computadores e softwares são fundamentais para se abordar

os conteúdos de Matemática, entretanto, uma concepção coerente a ser adotada por

professores é compreender tais recursos como ferramentas que organizam e reorganizam a

atividade matemática com vistas à produção de conhecimentos. O foco principal é o conteúdo

matemático, e as ferramentas são meios que contribuem na resolução do problema

matemático.

Pode-se alegar que o ser humano não pensa por si só, ou seja, ele precisa

fundamentalmente das tecnologias para processar o seu pensamento. É interessante conceber

as ferramentas como extensão da memória. Tal idéia fundamenta-se no fato que o homem

altera a natureza e, ao alterá-la, está alterando o seu modo de pensar e, conseqüentemente,

mudando a si próprio. Na medida em que o homem resolve os problemas, cria tecnologias,

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insere-as no acervo das ferramentas que irão mediar soluções aos problemas que ele enfrenta

no seu dia a dia.

Na tentativa de respaldar teoricamente, buscou-se dar a fundamentação em autores

que ao investigar sobre o uso dos recursos tecnológicos em salas de aulas, no cenário de

integração de novas mídias e a relação com o conhecimento, adotam:

[...] uma perspectiva teórica que se apóia na noção de que o conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias e não, como sugerem outras teorias, por seres humanos solitários ou coletivos formados apenas por seres humanos. (BORBA, 2002, p. 139).

Contribuindo com esta maneira de conceber as mídias no meio educacional, assume-

se o pensamento como realizações de um coletivo que inclui seres humanos, mídias e

tecnologias intelectuais, que se entrecruzam no âmbito de seus relacionamentos. É possível

conceber que as máquinas informáticas tanto podem ser consideradas dispositivos de

inteligência, atuando em interface com os humanos, como também podem estabelecer redes

de subjetividades, cuja produção é uma inteligência coletiva.

Nesta direção:

É impossível separar o humano de seu ambiente material, assim como dos signos e das imagens por meio dos quais ele atribui sentido à vida e ao mundo. Da mesma forma, não podemos separar o mundo material – e menos ainda sua parte artificial – das idéias por meio das quais os objetos técnicos são concebidos e utilizados, nem dos humanos que os inventam, produzem e utilizam. Acrescentamos, enfim, que as imagens, as palavras, as construções de linguagem entranham-se nas almas humanas, fornecem meios e razões de viver aos homens e suas instituições, são recebidas por grupos organizados e instrumentalizados, como também por circuitos de comunicação e memórias artificiais. (LÉVY, 1999, p. 22).

É válido realizar pesquisas no sentido de que computadores, softwares e outras

mídias tecnológicas sejam utilizadas em processos de formação em que as pessoas sejam

capazes de criar e pensar.

Os computadores e o software geogebra podem ser considerados instrumentos de

mediação. Ainda é importante ressaltar que o aprendizado se dá por meio de ações

concretizadas nas relações entre as pessoas, cujas intermediações podem ocorrer por meios

artificiais. Estes meios podem ser denominados instrumentos, são criados e recriados pelos

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sujeitos, com o objetivo de transmitir e construir conhecimentos. Desse modo, eles

influenciam na maneira de pensar e organizar as ações.

Em relação à internet, adota-se a postura que enfatiza a contrariedade da dicotomia

ser humano versus tecnologia, e entende-se que o conhecimento pode ser concebido como

uma elaboração coletiva de seres humanos com mídias. Nesta direção, a internet condiciona a

forma como se conhece e insere um grande acervo de produções à nossa disposição, para ser

consultado, lido e analisado, contribuindo para a construção de conhecimento. (BORBA,

MALHEIROS e ZULATTO, 2008, p. 87).

Da mesma forma, a TV é uma ótima ferramenta que se utiliza para mediar a ação

docente. Em especial, cita-se aqui a TV como um instrumento onde se pode ligá-la a um

computador e, por meio da visualização, ampliar as possibilidades de discussão e análises

sobre o conteúdo matemático. No caso do trabalho desenvolvido, foi ligado o notebook na TV

laranja e assim, juntamente com o grupo de professores (as), falou-se sobre os conceitos

matemáticos no sentido de organização, reorganização e conclusão de idéias.

Nesse sentido, o amparo para a ação realizada está no fato que:

[...] a função do instrumento é servir como um condutor da influência humana sobre o objeto da atividade; ele é orientado externamente; deve necessariamente levar a mudanças nos objetos. Constitui um meio pelo qual a atividade humana externa é dirigida para o controle e domínio da natureza. (VYGOTSKY, 1994, p. 72).

Entretanto, é necessário deixar claro que não se podem fixar crenças, pura e

estritamente no ensino, por meio dos instrumentos aqui abordados, acreditando serem estes,

um meio suficiente para superar problemas que perpassam as instâncias do fazer educação.

Reconhece-se que não se pode dar a tais instrumentos o caráter de mitos tecnológicos que

solucionam problemas educacionais crônicos.

Operacionalização

Abaixo consta uma das atividades desenvolvidas ao longo dos encontros. Todos os

presentes receberam um material impresso e, mediados por este material, realizaram suas

construções. Defende-se que, em encontros de formação, os participantes levem para si algum

material escrito, pois estes se configuram como documentos e apoio para sua ação docente,

tornando-se um meio para a crítica e o aprimoramento de nossas elaborações.

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Abordando a função y = a . sen(x). Explorando amplitude: altura máxima e altura mínima

a) Mude o eixo x para radianos. Clique com o botão contrário (direito) do mouse sobre o eixo

x e clique em propriedades. Abrirá uma janela. No meio desta janela há a palavra distância.

Marque-a e abra-a e mude de π a π ou de 2

π a

2

π. Clique em fechar.

b) Faça um seletor de -3,14 a 3,14. Acione a ferramenta seletor (janela 9). Clique na tela

e digite para mínimo -3.14 e para máximo 3.14. Clique em aplicar.

c) Digite, no campo de entrada, a*sin (x).

d) Faça a edição: mude cor e estilo. Para isso clique com o botão contrário (direito) do mouse

em cima do gráfico. Clique em propriedades e, ao abrir a janela, acione as opções cor e estilo

e faça alterações. Em seguida clique em fechar.

Investigando

Movimente o seletor a, anote suas observações e discuta com os colegas.

Concluindo

Discuta: domínio, imagem, periodicidade, limitação, sinal e monotonicidade.

Conclusão

Embora a inserção das mídias tecnológicas no ensino e na aprendizagem da

matemática, inserindo-se também a abordagem de conteúdos matemáticos com o uso do

geogebra, não é um fato novo, pode-se dizer que na rede pública estadual se encontra o seu

estágio inicial. Tem-se, portanto, desafios pela frente, ou seja, buscar pela investigação

matemática e no contexto da Educação Matemática, buscar pela sistematização de materiais

de cunhos teóricos e didático-pedagógico, para que os professores e os alunos tenham, em seu

alcance, meios para se apropriarem do conhecimento matemático por meio desta mídia, que às

vezes amedronta, mas por outro lado é muito fascinante.

Os encontros foram importantes, pois refletiu-se sobre a prática pedagógica usada em

sala e, por meio dessa reflexão, discutiu-se também sobre os conceitos matemáticos. Segundo

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os comentários dos 227 professores (as) participantes, os encontros foram de grande valia,

pois passaram a ter em mãos um material que permite uma abordagem diferente,

acompanhada de uma ferramenta única e diferenciada sobre um importante conteúdo

matemático.

Ao concluir este artigo, acredita-se que as idéias apresentadas poderão se configurar

como ponto de partida para outras investigações e, desta forma, contribuir para consolidar a

educação matemática como uma prática social dos conteúdos matemáticos.

REFERÊNCIAS

BORBA, M. C. Coletivos seres-humanos-com-mídias e a produção de Matemática. In: Simpósio Brasileiro de psicologia da Educação Matemática. 1. 2002. Curitiba - PR., 2002. Anais... Curitiba – PR: UTP, 2002. p. 135- 146. BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação matemática. 1. ed. Belo Horizonte – MG: Autêntica, 2001. BORBA, M. C.; MALHEIROS, A. P. S. ; ZULATTO, R. B. A. Educação a distância online. 2. ed. Belo Horizonte – MG: Autêntica, 2008. CRUZ, D. G. A utilização do ambiente dinâmico e interativo na construção de conhecimento distribuído. Curitiba – PR, 2005. 169 f. Dissertação (Mestrado em Educação – linha de pesquisa educação matemática). Setor de Educação. UFPR. FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. O profissional em educação matemática. Disponível em: <http://sites.unisanta.br/teiadosaber/apostila/matematica/O_profissional _em_Educacao_Matematica-Erica2108.pdf>. Acesso em: 23 mar. 2006. GARNICA, A. V. M. É necessário ser preciso? É preciso ser exato? Um estudo sobre argumentação matemática ou uma investigação sobre a possibilidade de investigação. In: CURY, H. N. (org). Formação de professores de Matemática: uma visão multifacetada. Porto Alegre – RS: EDIPUCRS, 2001. p. 49-87. LÉVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática . 7. ed. Rio de Janeiro – RJ: Editora 34, 1993.

13216

VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente - o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores. Tradução de: José Cipolla Neto, Luis Silveira Menna Barreto e Solange Castro Afeche. 5. ed. São Paulo – SP: Martins Fontes, 1994.