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Zentella, Ecuaciones diferenciales. Temas.

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Temario (versión condensada)

0. Preliminares

1. Breve reflexión: el número.2. Breve reflexión: los números.3. Breve reflexión: los enunciados lógicos llamados ecuaciones.4. Resumen con una perspectiva panorámica.

I. Ecuaciones Diferenciales Básicas

1. Características y clasificación.Orden, Grado, linealidad, incógnita, soluciones general y particular.

2. Integración de una ecuación diferencial. Diversas semánticas de "no integrabilidad".3. Ecuaciones diferenciales de diversos tipos. Métodos ad hoc.4. Teoremas de cálculo y métodos de resolución de ecuaciones diferenciales.5. Interpretación geométrica de la derivada.6. Integración de ecuaciones diferenciales mediante cambios de variable → sustitución.7. Cálculo con funciones de R² → R.8. Ejemplos y aplicaciones.Crecimiento de Población, radioactividad, flujo en reactores, ecuación logística,2ª ley de Newton (mlu, mua), ley de enfriamiento de Newton.

9. Comparación de métodos en un mismo problema.10. Soluciones generales defectivas y singulares.11. Resumen con perspectiva panorámica.

II. Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas con Énfasis en Coeficientes Constantes

1. Reflexiones previas y motivación2. Espacios vectoriales V sobre un campo K.3. Linealidad.4. Presentación de las ecuaciones diferenciales lineales.5. Propiedades de las funciones solución de las ecuaciones diferenciales linealeshomogéneas.

6. Polinomio característico y la obtención de sus raíces.7. Métodos I, según tipo de raíces del polinomio característico.8. Los números complejos, C.9. Métodos II, según tipo de raíces del polinomio característico.10. Funciones hiperbólicas.11. Ejemplos y aplicaciones.

Ecuación diferencial homogénea de 2º orden con coeficientes constantes.Oscilador armónico, dinámicas disipativas y con términos combinados.Obtención de fórmulas para sen(x+a), cos(x+a), senh(x+a) y cosh(x+a),mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales.

12. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes variables.13. Resumen.

III. Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas

1. Espacios vectoriales afines.2. El espacio solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas3. Coeficientes indeterminados u operador aniquilador.

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4. Variación de parámetros.5. Ejemplos y aplicaciones.Ecuación diferencial de 2º orden.2ª Ley de Newton. Sistemas mecánicos con fuerzas externas y con términos disipativos.Paracaídas, oscilador forzado, masa variable y cohete a reacción.Sistemas dinámicos lineales con términos combinados: inercial, restitutivo y disipativo.Otras ecuaciones no homogéneas.

IV. Transformada de Laplace

1. Integrales básicas de la transformada de Laplace.2. Presentación de la transformada de Laplace.3. Solución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace.4. Posibilidades adicionales del método de la transformada de Laplace.

V. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

1. Preliminares.2. Construcción de un método para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales.3. Resolución de sistemas lineales homogéneos.4. Resolución de sistemas lineales no homogéneos.

VI. Método de Frobenius

1. Funciones base para las series de Taylor.2. Verificación de resultados por métodos anteriores.3. Necesidad del parámetro de Frobenius. xy’ − 2y = 0.4. Aplicaciones.

Temario (versión desglosada)

0. Preliminares

1. Breve reflexión: el número.¿Qué es un número?Espacios infinitos y necesidad de trabajar con formulaciones axiomáticas.Manejo indirecto de objetos vía propiedades, en vez de enumeración exhaustiva.Conjuntos, operaciones, estructuras algebraicas: grupo, campo.

2. Breve reflexión: los números.¿Cómo se comportan los números?Definición indirecta de los números (N, Z,Q), vía estructuras algebraicas.

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Ejemplos de grupos y campos finitos (Z3) y la necesidad de incluir la condición N ⊂ Z ⊂ Q en la definición de estos números. Representaciones de los números.

Incluyendo irracionales entre los números.Noción de límite, axioma de completez, R.

3. Breve reflexión: los enunciados lógicos llamados ecuaciones.Enunciados lógicos, ecuaciones, incógnita, solución.Ecuaciones equivalentes, concepto y protocolo de "despejar".

4. Resumen con una perspectiva panorámica.

I. Ecuaciones Diferenciales Básicas

1. Características y clasificación.Orden, Grado, linealidad, incógnita, soluciones general y particular.

2. Integración de una ecuación diferencial. Diversas semánticas de "no integrabilidad".3. Ecuaciones diferenciales de diversos tipos. Métodos ad hoc.4. Teoremas de cálculo y métodos de resolución de ecuaciones diferenciales.

a. Teorema Fundamental del Cálculo → integración directa.Constantes de integración y orden. Noción de unicidad de la solución.

b. Regla de la Cadena → separación de variables.Concepto de solución implícita.

c. Regla de Leibnitz → ecuación diferencial general de primer orden.Ecuaciones no integrables y concepto de factor integrante.

5. Interpretación geométrica de la derivada.a. Pendiente de la tangente a la curva solución → Método de Euler.

Isoclinas y condición de isoclinas.Campo de direcciones.Curvas solución.Separatrices.Las soluciones no se cruzan. Noción de unicidad de la solución.Condiciones iniciales y su visualización geométrica.

6. Integración de ecuaciones diferenciales mediante cambios de variable → sustitución.a. Disminución de orden.b. Ecuación diferencial homogénea de grado cero.c. Ecuación de Bernoulli.

7. Cálculo con funciones de R² → R.a. Ecuación de un plano π.

Las rectas que resultan de la intersección de π con los planos cartesianos.Las pendientes del plano respecto a los ejes X y Y.La ordenada al origen.

b. El plano tangente a f(x,y).c. Función diferencial df, de f(x,y). Dominios y contradominio.d. Formas diferenciales exactas y no exactas.Extensión del Teorema Fundamental del Cálculo a formas diferenciales.

e. Búsqueda de un factor integrante para una forma diferencial no exacta.Ecuaciones diferenciales parciales.Resolver un problema "más difícil" para poder resolver otro "más fácil".

f. Hipótesis adicionales para simplificar la búsqueda de algún factor integrante.g. Integración de formas diferenciales → "Ecuaciones exactas".

8. Ejemplos y aplicaciones.Crecimiento de Población, radioactividad, flujo en reactores, ecuación logística,2ª ley de Newton (mlu, mua), ley de enfriamiento de Newton.

9. Comparación de métodos en un mismo problema.

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10. Soluciones generales defectivas y singulares.11. Resumen con perspectiva panorámica.

Concentración de resultados en un cuadro sinóptico o en un formulario.Desfile de tipos que aporta adquisición de experiencias.¿Existe UNA teoría de ecuaciones diferenciales?

II. Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas con Énfasis en Coeficientes Constantes

1. Reflexiones previas y motivaciónPensamiento y simplificación de la realidad.Linealización como mecanismo inherentemente humano.La proporcionalidad en etapas elementales dela geometría y la aritmética. Teorema de Tales. Regla de tres.Semánticas de "linealidad" en geometría y álgebra.Aproximación lineal, como una motivación histórica en la invención del cálculo.Linealización de ecuaciones diferenciales.

2. Espacios vectoriales V sobre un campo K.a. Definición y generalidades.b. Flechitas, n-adas, matrices, Rn, R¹, histogramas, funciones de R en R.c. Posibles operaciones adicionales en espacios lineales. Distancias y ángulos.Espacios lineales sin producto interno.

d. Combinaciones lineales: genéricas, nulas y nulas triviales. Independencia lineal.e. Bases y dimensión.

3. Linealidad.Definición de linealidad.Interpretación de las condiciones de linealidad.Ejemplos de funciones lineales y operadores lineales.

4. Presentación de las ecuaciones diferenciales lineales.Definición. Forma canónica.Coeficientes constantes y coeficientes variables.Homogéneas y no homogéneas.

5. Propiedades de las funciones solución de las ecuaciones diferenciales linealeshomogéneas.

a. Las funciones solución de una ecuación diferencial homogénea forman un espaciovectorialY las funciones también son vectores.

b. Constantes de integración y grados de libertad de las funciones solución.c. Dimensión. Bases. Resolución evitando la integración explícita.d. Funciones base. Solución general. Solución particular. Noción de unicidad de lasolución.

6. Polinomio característico y la obtención de sus raíces.La propuesta φ(x) = emx y el polinomio característico.Inexistencia de fórmulas cerradas generales para encontrar las raícesde polinomios de grado mayor a 5.Productos notables.Métodos numéricos.División sintética.

7. Métodos I, según tipo de raíces del polinomio característico.a. El caso de raíces reales simples. Independencia lineal de las soluciones.b. El caso de raíces de multiplicidad superior. Obtención de soluciones linealmenteindependientes.

c. El caso de raíces cero.d. Raíces no reales.

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8. Los números complejos, C.a. Presentación básica.

i. Significado de i. Números algebraicos.ii. El campo de los números complejos.iii. Nomenclatura y representaciones algebraica y geométrica.iv. Conjugación compleja. Interpretaciones algebraica y geométrica. Norma.v. n√z, con z ∈ C.vi. Interpretación geométrica de |eix|, con x ∈ R.vii. Interpretación de A y x en Aeix.

b. Polinomios de coeficientes reales. Distribución de sus raíces.c. Derivación e integración de funciones elementales. Fórmulas en C vs. R.d. Las funciones (eix − e−ix) ⁄ 2i  y  (eix + e−ix) ⁄ 2 satisfacen y´´ + y = 0.Ejemplo del uso de condiciones iniciales y unicidad para relacionarcon sen(x) ycos(x).

e. Euler-de Moivre. {sen(x), cos(x)} y {eix, e−ix} son dos bases del mismo espacio.9. Métodos II, según tipo de raíces del polinomio característico.

a. El caso de raíces complejas.i. Solución compleja o exponencial imaginaria.ii. Solución real o trigonométrica.

b. Independencia lineal de las soluciones.c. Casos combinados.

10. Funciones hiperbólicas.11. Ejemplos y aplicaciones.

Oscilador armónico y dinámicas disipativas.Obtención de fórmulas para sen(x+a), cos(x+a), senh(x+a) y cosh(x+a),mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales.

12. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes variables.a. Ecuación de Cauchy-Euler y su polinomio característico.b. Discusión de caso general de coeficientes variables.

13. Resumen.Concentración de resultados en un cuadro sinóptico o en un formulario.Perspectiva panorámica.Resolución sin integración explícita. Requiere una propuesta ingeniosa (ad hoc).Constantes de integración vs. coeficientes de la combinación lineal de la base.Condiciones iniciales y solución particular.Cuestiones pendientes. Coeficientes variables y ecuaciones no homogéneas.Posibles rutas y alternativas.

III. Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas

1. Espacios vectoriales afines.a. Definición.b. Espacio vectorial referencia del espacio afín.c. Bases.d. Vector de desplazamiento.e. Interpretación geométrica.

2. El espacio solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneasa. Ecuación homogénea asociada.b. φ, ψ soluciones de la no homogénea ⇒ φ−ψ es solución de la homogénea asociada.c. Las soluciones de la no homogénea forman un espacio vectorial afín.d. Solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea.

i. &phihomo, solución general de la homogénea asociada ↔ solución

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complementaria, &phic.ii. &phidespl, función de desplazamiento ↔ solución particular, &phipart.

e. Diferencia entre los casos de coeficientes constantes y de coeficientes variables.3. Coeficientes indeterminados u operador aniquilador.

a. Operadores sobre funciones.b. Correspondencia entre la factorización del polinomio característico yla factorización del operador diferencial de la ecuación.

c. Transformación de una ecuación no homogénea en una homogénea de mayororden.

d. Obtención sistemática de la solución general.e. Concentración de resultados en un cuadro sinóptico o en un formulario.

4. Variación de parámetros.a. Liberando los coeficientes de la combinación lineal de la base a coeficientesvariables.

b. Hipótesis de trabajo y construcción heurística del sistema wronskiano.c. Determinante wronskiano.d. Obtención sistemática de la solución general.

5. Ejemplos y aplicaciones.Ecuación diferencial de 2º orden.2ª Ley de Newton. Sistemas mecánicos con fuerzas externas y con términos disipativos.Paracaídas, oscilador forzado, masa variable y cohete a reacción.Sistemas dinámicos lineales con términos combinados: inercial, restitutivo y disipativo.Otras ecuaciones no homogéneas.

IV. Transformada de Laplace

1. Integrales básicas de la transformada de Laplace.a. ∫0∞e−stdt.b. ∫0∞tne−stdt.c. ∫0∞sen(t)e−stdt y ∫0∞sen(t)e−stdt.d. ∫0∞e−(a+ib)stdt.e. ∫0∞tne−(a+ib)stdt.

2. Presentación de la transformada de Laplace.a. Definción.b. Espacios s y t.c. Teoremas de corrimiento en los dominios sy t.d. L[y’] = −y0 + sL[y].e. Ventaja de obtener la solución particular, sin tener que pasar por la solucióngeneraly luego por la evaluación de parámetros genéricos, mediante condiciones iniciales.

3. Solución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace.a. Solución de un problema diferencial desde su versión algebraica.b. Transformada inversa de Laplace. Se requiere cálculo de variable compleja.c. Camino alternativo.Tablas de transformadas de Laplace y descomposición de Heavyside.

d. Concentración de resultados en un cuadro sinóptico o en un formulario.4. Posibilidades adicionales del método de la transformada de Laplace.

a. Funciones rampa, escalón y δ de Dirac.b. Problemas diferenciales con interacciones que se "encienden" y "apagan".

V. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

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1. Preliminares.a. Limitaciones de los problemas diferenciales con domino o contradominio R¹.b. Domino Rn → ecuaciones diferenciales parciales.c. Contradomino Rn → sistema de ecuaciones.d. Ecuación lineal de orden n vs. sistema de n×n de 1º orden.e. Transformación entre un sistema n×n y su equivalente ecuación de orden n.

2. Construcción de un método para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales.a. Identificación de términos en un sistema lineal de coeficientes constantes.

Vector de funciones incógnita, Y(t).Matriz de coeficientes a.Vector de inhomogeneidades b(t).Forma canónica de un sistemaY’(t)+aY(t)=b(t).

b. Presentación heurística inspirada en Ec. Lin. Gral. de 1º orden, escalar.c. Justificación y significado de los pasos involucrados en el camino heurístico.

i. Derivación de funciones matriz.ii. Teorema fundamental del cálculo en funciones matriz.iii. Regla de Leibnitz en producto de funciones matriz.iv. Inverso multiplicativo a−1 de la matriz cuadrada a.v. Definción y existencia de matriz exponencial.Series de Taylor matriciales.

vi. Validez de las leyes de los exponentes para eat.vii. Regla de la cadena para eat.

d. Transformaciones de eat, de series a sumas finitas matriciales.i. El espacio de matrices n×n se genera con n matrices base.ii. Teorema de Hamilton-Cayley.

e. Cálculo de eat, mediante Hamilton-Cayley.f. El método de la matriz exponencial.

3. Resolución de sistemas lineales homogéneos.4. Resolución de sistemas lineales no homogéneos.

VI. Método de Frobenius

1. Funciones base para las series de Taylor.2. Verificación de resultados por métodos anteriores.

a. y’ − y = 0.b. y” + y = 0.

3. Necesidad del parámetro de Frobenius. xy’ − 2y = 0.4. Aplicaciones.

a. Polinomios ortogonales. Hermite, Legendre, Laguerre.b. Frobenius como alternativa para soluciones numéricas.Funciones cilíndricas. Bessel