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Praticando Geometria Espacial com Vistas 1Tas Aline Bruno de Azevedo, 1Marcus Vincius de Azevedo Basso, 2Evandro Manara Miletto1Instituto de Matemtica Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) Caixa Postal 15.064 91.501-970 Porto Alegre RS Brazil 2Instituto de Informtica Universidade Federal de Educao Cincia e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS) Porto Alegre RS Brazil taetirs@yahoo.com.br, mbasso@ufrgs.br, evandro.miletto@poa.ifrs.edu.br Praticando Geometria Espacial com Vistas Abstract. This article aims to show the tool View, that was created and developed in conjunction with an instructional sequence for teaching spatial geometry through activities that involve two-dimensional and three-dimensional geometric visualization. View helps the user to exercise the activities object location in space, one of the topics where the student of geometry find more difficult. For its development, studies have been conducted on the space representation of Jean Piaget and the theories of geometric development by Van Hiele. Both were taken as the basis for the development of this instructional sequence that was tested with students from elementary school. Resumo. Este artigo tem como objetivo apresentar a ferramenta Vistas, que foi criada e desenvolvida juntamente com uma sequncia didtica para o ensino de geometria espacial atravs de atividades que envolvem visualizaes geomtricas bidimensionais e tridimensionais. Vistas auxilia o usurio a exercitar atividades de localizao do objeto no espao, um dos tpicos em que o estudante de geometria encontra mais dificuldade. Para o seu desenvolvimento, foram realizados estudos sobre a representao no espao de Jean Piaget e as teorias de desenvolvimento geomtrico de Van Hiele. Ambas foram tomadas como base para o desenvolvimento dessa sequncia didtica que foi testada com estudantes do Ensino Fundamental. ISSN: 2176-4301Anais do XXII SBIE - XVII WIE Aracaju, 21 a 25 de novembro de 2011321 Introduo O conhecimento de Geometria Espacial essencial para resoluo de problemas prticos do quotidiano, bem como, para desenvolver a capacidade de abstrao, estimar e comparar resultados e reconhecer propriedades das formas geomtricas [Brasil 2006]. Entretanto, a realidade vivenciada nas escolas revela uma lentido na relao contedo e realidade, especificamente com respeito geometria, uma das reas da Matemtica em que a maioria dos estudantes apresenta deficincia e dificuldade no aprendizado. Este um problema que abrange tambm cursos superiores, em particular no curso de Matemtica da UFRGS, onde os alunos demonstram dificuldade de compreenso ou realizao de atividades que envolvam a noo de forma e espao relacionada com visualizao espacial, j relatado por Gravina [Gravina 1996]: Aos alunos ingressantes no curso de Licenciatura em Matemtica da UFRGS oferecido como obrigatrio, no primeiro ano, uma disciplina de Geometria Plana e Espacial. Constata-se nesta disciplina que os alunos chegam universidade sem terem atingido os nveis mentais da deduo e do rigor. Raciocnio dedutivo, mtodos e generalizaes - processos caractersticos e fundamentais da Geometria - os alunos pouco dominam. At mesmo apresentam pouca compreenso dos objetos geomtricos, confundindo propriedades do desenho com propriedades do objeto [Gravina 1996]. Hoje, devido a essas dificuldades no ensino e aprendizagem da geometria, alguns professores e pesquisadores se dedicam reflexo, elaborao, implementao e avaliao de atividades dessa rea, buscando superar eventuais deficincias de abordagem encontradas na escola bsica. Os Parmetros Curriculares Nacionais [1997] tratam da Geometria como parte essencial e importante no Ensino Fundamental: Os conceitos geomtricos constituem parte importante do currculo de Matemtica no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. O estudo da Geometria um campo frtil para trabalhar com situaes problema e um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente [SEF 1997, p. 51]. Numa tentativa de tornar o ensino da Geometria mais atrativo e significativo para o aluno, o objeto de aprendizagem Vistas foi desenvolvido juntamente com uma sequncia didtica que aponta alternativas para a aplicabilidade desse contedo em sala de aula. O Vistas possibilita ao aluno interagir com objetos e compreender melhor a noo da sua representao no espao. Este artigo tem por objetivo apresentar o objeto de aprendizagem Vistas, que em conjunto com uma sequncia elaborada de acordo com o aprendizado de geometria pelo homem, visa contribuir para: a) identificar as vistas do objeto; b) observar e identificar os objetos atravs da conservao de sua imagem; c) reproduzir mentalmente os objetos atravs de suas vistas; d) observar e planificar os objetos atravs de suas vistas; e e) atravs de suas vistas, identificar a localizao dos objetos no espao. Alm desta introduo, o artigo est estruturado com um referencial terico apresentado na seo 2. A metodologia utilizada descrita na seo 3 e a apresentao do Objeto Aprendizagem na seo 4. Os testes realizados e resultados preliminares so descritos na seo 5 e, por fim, na seo 6, as consideraes finais. Anais do XXII SBIE - XVII WIE Aracaju, 21 a 25 de novembro de 20113222. Referencial terico O desenvolvimento do Vistas tem como base terica a Representao do Espao de Jean Piaget [Piaget 1993], assim como o estudo sobre a teoria do casal Van Hiele sobre o Desenvolvimento Geomtrico. Tambm foi realizado um estudo na dissertao de mestrado de Becker Uma alternativa para o ensino da geometria: visualizao geomtrica e representaes de slidos no plano [Becker 2009]. 2.1. Piaget e a representao do espao Um dos objetivos dos estudos do bilogo Jean Piaget o de estudar o desenvolvimento humano e sua formao mental e ele inclui em sua obra, estudos sobre como se d a representao da noo de espao pelo homem. De acordo com Piaget o estudo do desenvolvimento do espao que toda a investigao psicolgica suscetvel aplicao prtica. O ensino da geometria ganha muito ao adaptar-se evoluo espontnea, ainda que possamos pressenti-lo. [Piaget 1993, p. 12]. Segundo o autor, este desenvolvimento mental est dividido em trs etapas: o perodo sensrio motor, o perodo pr-operatrio e o perodo operatrio [Piaget 1993, p. 19]. Resumidamente, estes estgios se iniciam na infncia (absoro de conhecimento atravs de aes sensoriais) e vai se desenvolvendo com o tempo (incio do raciocnio intuitivo com objetos e coordenao de aes) at a adolescncia (lgica interna consistente, raciocnio lgico e sistemtico, raciocnio abstrato e pensamento sobre ideias abstratas). Para o desenvolvimento da noo de espao e sua representao existem trs estgios: incapacidade sinttica, realismo intelectual e realismo visual. A Incapacidade Sinttica se d entre 3 a 4 anos de idade. Neste estgio a criana est mais preocupada em representar os objetos de forma diferenciada, no integrando o conjunto de forma coerente, abstendo-se aos detalhes de que tem importncia para ela naquele momento, exagerando ou omitindo partes, representando o seu ponto de vista, relacionando tudo a si. nesse estgio que a criana comea a construir as relaes topolgicas entre as formas, preocupando apenas com as partes gerais dos objetos como: a) Vizinhana, que corresponde proximidade dos elementos percebidos num mesmo campo visual; b) Separao, que depende de uma percepo analtica, dado que consiste em dissociar elementos vizinhos que podem fazer com que a criana se confunda por possuir muitas caractersticas semelhantes; c) Ordem, ou sucesso espacial, que estabelece uma sequncia para elementos separados arranjados de maneira constante; d) Envolvimento que faz perceber a existncia de elementos entre os outros; e e) Continuidade, que faz com que o campo perceptivo evolua para a construo de um campo espacial contnuo. J no realismo intelectual, a criana est interessada em representar do objeto, no s o que v, mas tudo o que ali existe, dando a cada objeto a sua forma exemplar e para melhor evidenciar a forma dos objetos, a criana mistura vrios pontos de vista, representando todos num mesmo desenho, simultaneamente. Conforme Piaget (1993) nesse estgio que a criana inicia a construo paralela de relaes (perspectiva com projees e seces) e as construes Euclidianas (propores e distncias) para representar o espao. No Realismo Visual a criana abandona as estratgias utilizadas no estgio anterior, representando apenas os elementos visveis do objeto. O rebatimento e as mudanas de ponto de vista se coordenam dando incio perspectiva. Os objetos Anais do XXII SBIE - XVII WIE Aracaju, 21 a 25 de novembro de 2011323passam a ser representados de acordo com essa nova construo, a perspectiva, e os detalhes agora tm por finalidade particularizar as formas que antes eram genricas. Encerra-se aqui, a construo das relaes projetivas e Euclidianas para representar o espao e esses dois sistemas se desenvolvem apoiando-se um no outro. H, portanto, um aprimoramento do sistema do desenho construdo no estgio do realismo intelectual. Em suma, no momento em que o sujeito comea a situar os objetos no espao e suas configuraes, uns em relaes aos outros quando se d a noo projetiva. Os objetos passam a ser considerados atravs de um ponto de vista, e as configuraes so necessrias para desenvolver a capacidade de coordenar diversos pontos de vista, incluindo os que no so prprios do observador. Tambm conforme Piaget (1993, pgina 471) a percepo e a representao do espao perceptivo so construdas muito mais rapidamente do que o espao representativo, isso acontece devido percepo ser constituda em contato direto com o objeto, medida que, a imagem intervm em sua ausncia. 2.2. Van Hiele e a aprendizagem da geometria Esta teoria iniciou-se atravs de uma pesquisa realizada por um casal de professores holandeses Pierre Van Hiele e Dina Van Hiele atravs da investigao do desenvolvimento do pensamento geomtrico, no qual, em 1959 foram publicados seus primeiros resultados. O Modelo de Van Hiele [Apud Becker, 2009] sobre o pensamento geomtrico consiste em cinco nveis de compreenso, chamados: visualizao, anlise, deduo informal, deduo formal e rigor. Segundo este modelo, os alunos progridem hierarquicamente atravs dessa sequncia de nveis, da a necessidade do professor conhecer previamente em qual nvel de desenvolvimento o aluno se encontra, e ou realizar uma sequencia didtica na qual siga esta hierarquia de conhecimento. De acordo com Van Hiele [Apud Becker, 2009, p. 24] estes nveis descrevem as caractersticas do processo do pensamento, no qual ser mostrada uma sinopse de cada um deles: a) Nvel 1: Visualizao e Reconhecimento: os alunos tm seu primeiro contato com as figuras geomtricas, que se d de forma visual; b) Nvel 2: Anlise: os alunos reconhecem e podem caracterizar as figuras geomtricas por suas propriedades a partir de atividades empricas; c) Nvel 3: Deduo Informal ou Classificao: os alunos j entendem definies abstratas, distinguem condies necessrias e suficientes num conceito; d) Nvel 4: Deduo formal: o aluno chega nesse nvel quando capaz de trabalhar com caractersticas de relaes intrnsecas; e e) Nvel 5: Rigor: nesse nvel, os alunos desenvolvem o rigor matemtico. Podem formalmente manipular indicaes geomtricas como axiomas, definies e teoremas. Para o aluno obter xito no desenvolvimento geomtrico relativo a um determinado assunto em geometria e em cada nvel de compreenso, o casal Van Hiele criou um roteiro quanto metodologia a ser aplicada pelo professor. Segundo Kaleff (1994) e Becker (2009) esta teoria consiste em que a aprendizagem da geometria se faz passando por nveis graduais de pensamento, colocando-se como guia para a aprendizagem e para a avaliao das habilidades dos alunos em geometria. Estes nveis no esto associados idade, e tm as seguintes propriedades representadas: 1) Sequencial: No se pode alcanar o nvel n sem haver passado pelo nvel anterior n-1, ou seja, o progresso dos alunos atravs dos nveis invariante; 2) Avano: um aluno Anais do XXII SBIE - XVII WIE Aracaju, 21 a 25 de novembro de 2011324no pode estar em um nvel, sem ter dominado todos os nveis anteriores; 3)Intrnseco e extrnseco: Em cada nvel de pensamento, o que era implcito, no nvel seguinte volta explcito; 4)Lingustica: Cada nvel tem sua linguagem prpria utilizada (smbolos lingusticos) e respectiva significncia dos contedos (conexo destes smbolos com algum significado); Segundo Van Hiele [apud Kaleff, 1994] a proposta de ensino deve seguir cinco fases de aprendizagem, essa sequncia favorece a obteno de um nvel de pensamento no determinado contedo e ou conceito geomtrico conforme a sntese a seguir: a) Fase 1 Questionamento ou Informao: esta fase quando o professor estabelece um dilogo com os alunos, expondo o material que vai ser utilizado; b) Fase 2 Orientao Direta: esta fase quando o aluno inicia o processo de explorao do assunto de geometria que est sendo estudado, atravs de materiais cuidadosamente selecionados que o levaro a se familiarizar gradualmente com as estruturas e caractersticas deste nvel; c) Fase 3 Explicitao: esta fase dada com base nas experincias anteriores do aluno, ampliando e refinando a sua linguagem, nesta fase o aluno comea a expressar suas opinies a respeito das estruturas que observaram; d) Fase 4 Orientao livre: nesta fase as atividades devem apresentar mais etapas, possibilitando ao aluno resolver de vrias maneiras diferentes, porm chegando ao resultado proposto; e e) Fase 5 Integrao: nesta o aluno contextualiza o conhecimento adquirido, a fase da reviso e sntese do que foi estudado, estabelecendo uma integrao entre os objetos e a relao com a consequncia da unificao e internalizao do pensamento. Ao final dessas cinco fases, os alunos devem ter atingido um novo nvel de pensamento, tornando-se aptos a realizar as atividades de aprendizagem do prximo nvel. Para Van Hiele [Apud Kaleff, 1994] o avano de um nvel para outro no se d de forma natural, o professor o intermediador deste desenvolvimento, atravs de um ensino adequado e sequencial. 2.3. Viso de Gutirrez sobre as habilidades espaciais atravs da Teoria de Van Hiele Com base na teoria de Van Hiele sobre a geometria espacial, Gutirrez (1992) dividiu o problema do aprendizado em duas partes: a aquisio das habilidades espaciais e o entendimento das relaes entre os conceitos geomtricos. Gutirrez (1992) afirma que o fundamental para se trabalhar a geometria espacial conseguir visualizar em sua mente o que ocorre. Essa capacidade que temos e devemos desenvolver, bsica no aprendizado deste campo de conhecimento. Quem tiver dificuldades em visualizar os objetos em suas vrias formas e o que ocorrem com eles, ter dificuldades em entender os livros didticos, que por terem representao plana, exigem que a pessoa tenha que representar em sua mente esses objetos espacialmente. Del Grande [1990, apud Gutirrez, 1991] especificou habilidades importantes que o indivduo deve ter para auxiliar a representao espacial, num contexto mais amplo que o da Geometria. So eles: a) Coordenao motriz dos olhos: a habilidade de observar e seguir com os olhos o movimento dos objetos de maneira gil e eficaz; b) Identificao visual: a habilidade de reconhecer uma figura desligada de seu contexto; c) Conservao da percepo: a habilidade de reconhecer que um objeto mantm sua forma mesmo que girado, ocultado ou que deixe de v-lo; d) Reconhecimento de posies no espao: a habilidade de relacionar posies de um objeto de acordo com um referencial; e) Reconhecimento de figuras espaciais: a Anais do XXII SBIE - XVII WIE Aracaju, 21 a 25 de novembro de 2011325habilidade que permite reconhecer as formas e suas caractersticas; f) Determinao visual: a habilidade que permite identificar semelhanas e diferenas entre os objetos; e g) Memria visual: a habilidade de recordar caractersticas visuais e posicionais quando um objeto girado ou ocultado, parcialmente ou no. 3. Metodologia Procuramos selecionar as atividades de acordo com os nveis de desenvolvimento de Van Hiele e com suas habilidades. As atividades foram montadas de acordo com o fluxograma mostrado na figura 1 logo a seguir. Figura 1. Fluxograma Foram realizadas nove atividades em uma escola Municipal de Porto Alegre de ensino fundamental, em duas turmas de mesmo nvel, com a participao de 10 alunos em cada turma. Este projeto ocorreu em trs encontros, sendo que nos dois primeiros foram aplicadas atividades de materiais manipulveis e desenhos no papel, utilizando figuras e objetos geomtricos. No terceiro encontro ocorreu a aplicao do objeto VISTAS, tema principal deste artigo, que foi realizado no laboratrio de informtica. Na primeira turma o objeto VISTAS foi realizado sem a sequncia didtica e os alunos no conseguiram realizar a atividade com xito, j na segunda turma foi aplicada esta sequncia e o trabalho foi completado com sucesso. Os resultados foram analisados de acordo com os erros obtidos, perguntas realizadas pelos alunos durante a realizao das atividades e tambm atravs de suas facilidades na realizao dos mesmos. 4. Conhecendo Vistas A ferramenta VISTAS est subdivida em trs partes: planificaes, vista pura e vista superior. Estas atividades foram criadas em Flash podendo ser acessadas no seguinte endereo eletrnico: http://mdmat.mat.ufrgs.br/repositorio/vistas (acessado em agosto de 2011). Foram atividades criadas juntamente com os acadmicos do Curso de Licenciatura em Matemtica, Vinicius Cardoso, Tamiris Duarte Carpin e Gabriel Wolf Flores. Anais do XXII SBIE - XVII WIE Aracaju, 21 a 25 de novembro de 2011326As atividades esto distribudas da seguinte forma, explicadas apenas sinteticamente: a) Planificaes atividades com planificaes de dados no qual o aluno deve somar sete em suas faces opostas, como podemos demonstrar na figura 2. Figura 2. Dados Esta a atividade onde o objetivo a conservao da imagem do objeto planificado e o aluno deve tentar reproduzi-lo mentalmente. b) Vista pura atividade na qual o aluno deve localizar o objeto atravs das projees de suas formas. A atividade de Vista pura divida em cinco desafios aumentando o grau de dificuldade para cada nvel que o aluno percorre, representada na figura 3. Figura 3. Vista em pura Esta atividade tem como objetivo mostrar em uma visualizao 3D e os rebatimentos das vistas dos objetos, em geral, so objetos de formas mais regulares de fcil relao. c) Vista Superior Atividade onde o aluno deve localizar e organizar os objetos em um cmodo atravs da viso de duas de suas vistas. A atividade de Vista Superior divida em cinco desafios aumentando o grau de dificuldade para cada nvel que o aluno Anais do XXII SBIE - XVII WIE Aracaju, 21 a 25 de novembro de 2011327percorre. A manipulao do objeto intuitiva e bastante dinmica, como podemos observar na figura 4. Figura 4. Vista superior Esta atividade tem como objetivo a noo de localizao dos objetos no espao atravs de sua vista superior. Segundo Gutirrez (1992) na fase 4 de Van Hiele que ocorre a habilidade do reconhecimento de figuras espaciais, que permitem reconhecer as formas e suas caractersticas. 5. Testes e resultados preliminares Em todas as atividades foram coletados materiais para as anlises posteriores, assim como tambm foi realizado registro de perguntas e comentrios dos alunos para futura contribuio de modificaes do VISTAS, pois um dos objetivos tornar atrativo o ensino da geometria e no cansativo. Cury (2008) tratando desse tema, afirma que: Na anlise das respostas dos alunos, o importante no o acerto ou o erro em si que so pontuados em uma prova de avaliao da aprendizagem -, mas as formas de se apropriar de um determinado conhecimento, que emergem na produo escrita e que podem evidenciar dificuldades de aprendizagem. (Cury, 2008 p. 63) No objeto Dados, a priori, os alunos no conseguiram entender o que era para ser feito, sendo necessrio explicar que a soma de duas faces opostas de um dado sete. Com isso reforamos as nomenclaturas e algumas das propriedades do quadrado, conforme a fase 3 da Teoria de Van Hiele (1970) que diz que nesta fase que as experincias anteriores do aluno so relevantes, podendo ser ampliada e refinada a linguagem na qual est sendo trabalhada. Foi tambm durante a realizao desta atividade, que percebemos que os alunos estavam procurando alternativas para a resoluo do problema, como por exemplo, colocando os dedos na tela e simulando com a mo o fechamento da caixa. De acordo com a fase 4 de Van Hiele importante que o aluno ganhe a experincia da busca de informao, de conhecimento e procure tambm sua prpria forma de resolver a atividade, com isso, adquirindo sua prpria orientao, tornando mais claro o objeto estudado. Anais do XXII SBIE - XVII WIE Aracaju, 21 a 25 de novembro de 2011328Acreditamos que esta atividade foi de grande importncia, pois ela complementa as atividades realizadas com material concreto, alm dos alunos gostarem bastante de ir ao laboratrio de informtica. No objeto Vista pura se inicia a noo de localizao dos objetos no espao. necessria uma breve explicao do que Vista em pura e sobre o rebatimento das projees, pois no foi tratada nas atividades anteriores. Este objeto possui desafios com elementos de fcil identificao visual. No objeto Vista Superior o aluno tem que chegar habilidade Conservao da percepo, da Teoria de Van Hiele [Gutirrez, 1992] que a de reconhecimento de figuras espaciais, que permite reconhecer as formas e suas caractersticas, pois ao resolver as atividades eles procuraram pelas caractersticas dos mveis e objetos, como o livro em cima da mesa conforme mostrado na figura 4. Segundo Van Hiele [Apud Kaleff, 1994] os alunos chegaram na fase 5 que a de Integrao, pois o aluno contextualiza o conhecimento adquirido, a fase da reviso e sntese do que foi estudado, estabelecendo uma integrao entre os objetos e as relaes com a consequncia da unificao e internalizao do pensamento.6. Consideraes finais Este objeto de aprendizagem tem como objetivo fazer com que os alunos consigam visualizar e representar as formas geomtricas atravs de suas vistas, bem como, consigam trabalhar atravs de suas representaes, pois estas so as que eles encontraram nos livros e na internet. Desta forma, os alunos obtm um melhor entendimento das formas o que colabora no ensino da geometria. Outro fator importante para este objeto o fato de existir uma variedade muito pequena de aplicativos educacionais que abordam este tema, pois a geometria pode ser explorada de vrias formas, porm apropriando-se cada vez mais de seus conceitos, como, por exemplo, temos no site da RIVED do MEC, uma atividade que envolve o conhecimento das vistas dos objetos como mostrado http://www.cead.ddns.com.br/rived/matematica/geometria/index.htmEsta ferramenta ajuda a auxiliar no ensino da Geometria, principalmente a espacial, pois ao aplic-la conseguimos perceber at que ponto o aluno consegue representar os objetos mentalmente, j que a geometria espacial muitas vezes dada sem a preocupao de como est o nvel de pensamento do estudante, ou seja, se o mesmo j possui as habilidades de localizao espacial, assim como a sua visualizao e representao Bi e Tridimensional, o que facilita o aprendizado de teoremas e axiomas. A anlise das fases de desenvolvimento do aluno muito importante para um bom trabalho de acordo com Piaget (1993) e Van Hiele (1976). 7. Concluses e trabalhos futuros Esta prtica com os estudos serviu-nos como um instrumento para ampliar a viso que temos sobre o ensino da Geometria nas escolas e melhorar a forma de conduzir um trabalho de geometria em sala de aula. Alm de ter-nos dado um enorme satisfao de termos criado uma ferramenta que realmente foi vlida, pois conseguimos xito nas atividades propostas, (e) chegamos ao objetivo final que era que os alunos conseguissem realizar a atividade VISTAS. Anais do XXII SBIE - XVII WIE Aracaju, 21 a 25 de novembro de 2011329http://www.cead.ddns.com.br/rived/matematica/geometria/index.htmCom ela, conseguimos perceber que os alunos conseguiram identificar as formas dos objetos representados, visualizando as suas diferenas, e conseguindo localizar os objetos atravs de suas vistas geomtricas. Este objeto VISTAS pode auxiliar na construo da representao geomtrica do aluno, bem como na introduo das nomenclaturas da Geometria Euclidiana como mostrado nas anlises. Consideramos importante que os alunos reconheam as formas atravs de suas vistas, e consigam represent-las mentalmente, formando assim, um conceito coerente do objeto por completo. References Becker, Marcelo. Uma Alternativa para o ensino de Geometria: visualizao geomtrica e representaes de slidos no plano. 2009, 111p. Dissertao (Ps-Graduao em Ensino de Matemtica). Programa de Ps-Graduao em Ensino de Matemtica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre. Brasil (2006). Cincias da natureza, matemtica e suas tecnologias. In da Educao Bsica, S., editor, Orientaes curriculares para o ensino mdio. Ministrio da Educao. Cury, Helena N. (2008). Anlise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autntica. Gravina, Maria Alice (1996). Geometria dinmica: Uma nova abordagem para o aprendizado da geometria. In Anais do VII Simpsio Brasileiro de Informtica na Educao, volume 1, pages 113, Belo Horizonte. DCC/UFMG. Guitierrez, A. (1992). Exploring the links between Van Hiele levels and 3-dimensional Geometry. Departamento de Didtica de la matemtica, Universidade de Valencia, Sapain, 1992. Kaleff, Ana Maria, Henriques, Almir, REI, Dulce M., Figueiredo, Luiz G. (1994). Desenvolvimento do pensamento geomtrico: modelo de van Hiele. Bolema. Rio Claro, v.10. Piaget, Jean (1993). Representao do espao na criana. Artes Mdicas. Trad. Bernardina M. Albuquerque, Porto Alegre. Piaget (1995), Jean. Seis estudos de psicologia. Traduo: Maria Alice Magalhes D'amorim e Paulo Sergio Lima Silva. Rio de Janeiro: Forense Universitria. SEF (1997). Matemtica. In MEC, editor, Parmetros Curriculares Nacionais. Secretaria de Educao Fundamental, Braslia. RIVED Rede Interativa Virtual de Educao. Secretaria de Educao a Distncia SEED. In. http://rived.mec.gov.br (acessado em agosto de 2011). Anais do XXII SBIE - XVII WIE Aracaju, 21 a 25 de novembro de 2011330

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