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RESUMO

O trabalho inicia contando a história das geometrias não euclidianas, sendo elas geometria hiperbólica, dos fractais e esférica. O estudo dessas geometrias faz parte do currículo da Secretaria do Estado da Educação do Paraná. Traz algumas aplicações dessas geometrias no nosso cotidiano e sugere algumas atividades aplicadas para os estudantes do 9º ano do ensino fundamental. A importância de ser ensinada tal geometria é que conseguimos abordar conceitos interdisciplinares, um exemplo disso está na geometria esférica pois podemos utilizar os conceitos abordados na disciplina de geografia tais como: polos, meridianos, curvas geodésicas, latitude e longitude. Os estudantes do 9º ano do ensino fundamental foram levados ao laboratório de matemática onde fizeram atividades que foram enriquecedoras para que aprimorassem os seus conhecimentos sobre as mais diversas geometrias. Foram formados 10 grupos cada grupo contendo de 3 a 4 alunos para que eles fizessem um comparativo entre a geometria euclidiana e não euclidiana. No final da aplicação das atividades com os estudantes no nono ano do ensino fundamental, percebeu-se que os estudantes compreenderam os conceitos das diferentes geometrias. Palavras Chaves: geometrias não euclidiana, geometria esférica, geometria de fractais, geometria hiperbólica.

ABSTRACT

The work presents the story of non-Euclidean geometry, as hyperbolic geometry, fractals and spherical. The study of these geometries is part of the curriculum of the Paraná’s State Secretariat of Education. It brings some applications of this geometry in our daily life and suggests some activities applied to the students of the 9th year of elementary school. The importance of teach such geometry is that we were able to address interdisciplinary concepts, an example of this is in spherical geometry because we can use the concepts covered in the geography discipline such as: polos, meridians, geodesic curves, latitude and longitude. Students of the 9th year of elementary school were taken to the Math Lab where did activities that were enriching for students to improve their knowledge about different geometries. Were formed 10 groups, each group containing 3 to 4 students so that they make a comparison between Euclidean and non-Euclidean geometry. At the end of the activities implementation with the students in the ninth grade, it was realized that the students understand the concepts of different geometries.

Key words : non-Euclidean geometry, spherical geometry, fractal geometry, hyperbolic geometry.

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1 INTRODUÇÃO

O objetivo deste trabalho é desenvolver atividades escolares concretas

sobre geometria não euclidiana. Esta geometria está muito presente no cotidiano

das nossas vidas, como por exemplo, na utilização do GPS, no estudo da

Astronomia, na forma do Globo Terrestre e etc. Queremos contribuir para deixar

esse conceito mais claro para os estudantes desenvolvendo as atividades propostas

neste artigo, de maneira que eles possam enxergar a utilização da geometria não

euclidiana, assim como os estudantes enxergam a geometria euclidiana e a

geometria espacial.

A escolha do tema deve-se ao fato de que o nosso cotidiano é cercado de

geometria não euclidiana, assim como da geometria euclidiana. Entretanto poucas

pessoas, inclusive professores de matemática, conhecem sobre o assunto.

Geometrias não euclidianas foram incluídas nos conteúdos estruturantes do ensino

fundamental e médio de Matemática pela Secretaria de Educação do Estado do

Paraná.

As geometrias não euclidianas se dividem em geometria hiperbólica, da

superfície esférica e dos fractais.

2 GEOMETRIA EUCLIDIANA

O livro “Os Elementos” de Euclides traz os cinco postulados de Euclides, que

norteiam a Geometria Euclidiana, são eles:

1. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos a

vontade.

2. Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente.

3. Um círculo por ser traçado com centro e raio arbitrários.

4. Todos os ângulos retos são iguais.

5. Se uma reta secante a duas outras forma ângulos, de um mesmo lado

dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas

retas se prolongadas suficientemente encontrar-se-ão em um ponto

desse mesmo lado.

A geometria não euclidiana surgiu da negação do quinto postulado de

Euclides. (ÁVILA, RPM, Nº 45).

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3 HISTÓRIA DA GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA

O estudo da geometria iniciou-se com o grego Euclides há 300 a.C cujo livro

mais famoso é “Os Elementos”. O tema deste livro não se refere apenas à

geometria, como muitas pessoas pensam. Um exemplo disso é que nos capítulos

VII, VIII e IX trata da teoria dos números. Muitos matemáticos tentaram provar o

quinto postulado de Euclides, que trata do postulado das paralelas, pois eles

acreditavam que se tratava de um teorema dada à complexidade do postulado.

(Ávila, RPM, nº45).

Os primeiros matemáticos a estudar a geometria não-euclidiana foram Carl

Friedrich Gauss (1777-1855); Nicolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856), Johann

Bolyai (1802-1860) e Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). (SILVA, p 13).

Segundo Silva, “a geometria hiperbólica surgiu da negação do quinto

postulado de Euclides por Johann Bolyai em 1820 e este afirmava que existia mais

de uma paralela a tal reta”.

O primeiro matemático a fazer uma publicação sobre geometria não

euclidiana foi Lobachevsky, em 1829, e atraiu pouca atenção, morrendo sem ter o

reconhecimento pelo seu trabalho. Anos mais tarde (1848), Bolyai também publicou

seu trabalho sobre geometria não euclidiana, dando créditos do seu trabalho junto

com Bolyai. (SILVA, p 13).

Os trabalhos de Lobachevski e Bolyai foram divulgados e reconhecidos a

partir de 1866. Os três matemáticos que concluíram que o quinto postulado de

Euclides era independente dos demais foram Bolyai, Gauss e Lobachevsky. (SILVA,

p. 15).

A pseudoesfera foi o primeiro modelo matemático de geometria não

euclidiana, tal modelo foi desenvolvido pelo matemático italiano Eugênio Beltrami

(1835-1900), trata-se de uma superfície de curvatura negativa. (SILVA, p. 17).

É comum as pessoas acharem que a geometria não euclidiana trata-se

apenas da Geometria Hiperbólica e Elíptica. Basta analisar as Diretrizes Curriculares

do Estado do Paraná para verificar que a geometria não euclidiana vai além destas

duas, temos como geometria não euclidiana: Geometria Projetiva, Geometria

Topológica e Geometria dos Fractais. (SILVA, p. 19). A Geometria do Táxi também é

uma geometria não euclidiana.

A Geometria Fractal descreve a natureza e iniciou-se com o matemático

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polonês Benoit Mandelbrot (1924-2010). (SILVA, p. 20).

“Por volta de 1830 já havia sérias suspeitas de que o postulado das paralelas não pudesse ser demonstrado a partir dos outros. Suspeitava-se que ele fosse independente dos outros quatro, e que se pudesse desenvolver uma geometria a partir de negociações do postulado das paralelas, ao lado dos outros postulados de Euclides. Foi nessa época que o matemático húngaro János Bolyai (1802-1860) e o russo Nicokolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) publicaram, independentemente um do outro, a descoberta de geometrias não euclidianas, ou seja, geometrias que negam o postulado das paralelas” (ÁVILA) “Nicolai Ivonovich Lobachevsky (1793 – 1856) é considerado o “Copérnico da Geometria”, o homem que revolucionou o assunto pela criação de todo um ramo novo, a geometria de Lobachevsky, mostrando que a geometria euclidiana não era a ciência exata ou a verdade absoluta que antes se supunha ser. Em 1829, Lobachevsky publicou um artigo “Sobre os Princípios da Geometria”, que marca o nascimento oficial da geometria não euclidiana. Nesta data, tornou-se o primeiro matemático a dar o passo revolucionário de publicar uma geometria especificamente baseada em uma hipótese em conflito direto com o postulado das paralelas: por um ponto C fora de uma reta AB podem ser traçadas mais de uma reta no plano que não encontram AB. Jonas Bolyai (1802-1860), por volta de 1829 chegou a conclusão a que Lobachevsky chegara poucos anos antes. Bolyai partiu da hipótese de que por um ponto não sobre uma reta, não uma, mas infinitas retas podem ser traçadas no plano, cada uma paralela à reta dada.” (BOYER)

4 A GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA NO COTIDIANO

Buscando dentro da geometria não euclidiana uma utilização no cotidiano,

pode-se falar da utilização de um equipamento presente no dia a dia, que é o GPS

(Sistema de Posicionamento Global). Este equipamento mostra claramente a

utilização da geometria não euclidiana. Com o uso do GPS podemos associar

matemática com a disciplina de geografia.(ALVES, RPM, nº 59).

Esse instrumento é utilizado por taxistas, velejadores e pilotos de aviões

todos os dias para saberem com precisão a sua localização, também é utilizado por

vários outros profissionais, tais como roteirista de viagens para localizar os pontos

turísticos mais próximos um do outro; monitoramento de abalos sísmicos, pois sabe-

se que os abalos sísmicos alteram o campo gravitacional da Terra, distorcendo as

ondas de rádio, sendo assim, é possível prever terremotos com horas de

antecedência; aplicações industriais, pois quando uma área rural muito grande é

infectada por pestes, é possível utilizar um GPS para fazer a localização exata do

ocorrido, guiando tratores para a área infectada e fazer o controle da peste com

pesticidas. (ALVES, RPM, n° 59 e GLOBO CIÊNCIA. TÍT ULO GPS).

O GPS é constituído de uma constelação de vinte e quatro satélites

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orbitando em torno da Terra a uma altura aproximada de 20200 Km acima do nível

do mar, em seis planos orbitais com quatro satélites em cada plano de forma que no

mínimo seis sejam visíveis em qualquer ponto da Terra. (ALVES, RPM, n° 59 e

GLOBO CIÊNCIA. TÍTULO GPS).

O GPS precisa de no mínimo quatro satélites para dar uma posição exata

permitindo a receptores conhecer sua posição em qualquer lugar com uma notável

precisão, e pode calcular a velocidade, aceleração e direção. A localização é feita

não em coordenadas cartesianas, mas em coordenadas geográficas (latitude,

longitude e a elevação). (GLOBO CIÊNCIA TÍTULO GPS).

A geometria fractal também tem suas contribuições no cotidiano, tais como:

diagnóstico de câncer. O câncer bucal é o mais difícil de ser diagnosticado, sendo

assim, é possível medir a tortuosidade da borda em que o tumor se encontra. Na

construção civil e na arquitetura foi feito um estudo sobre a estrutura do concreto,

que é um fractal, mais leve e durável. (SILVA, p 43).

5 GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA NOS ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO

De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação

Básica do Paraná, para o ensino fundamental e médio, os conteúdos estruturantes

de Geometria pede-se que se trabalhe as noções básicas de geometrias não-

euclidiana, dentre as outras geometrias.

Ainda de acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação

Básica do Paraná, um estudante do ensino fundamental precisa conhecer as noções

da geometria não euclidiana sendo elas: geometria projetiva (pontos de fuga e linhas

do horizonte), geometria topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira,

vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e noções da

geometria de fractais. No Ensino Médio, o mesmo deve aprofundar o seu

conhecimento de geometrias não euclidianas, ao abordar a geometria dos fractais,

geometria hiperbólica e elíptica. Para a geometria dos fractais, pode-se explorar o

floco de neve e as curvas de Koch, tapete e triângulo de Sierpinski. Ainda no ensino

médio, para abordar a geometria hiperbólica pode-se trabalhar com o postulado de

Lobachevsky (partindo-se do conceito de pseudoesfera, pontos ideais, triângulo

hiperbólico e a soma dos ângulos internos de um triângulo hiperbólico). Para a

geometria elíptica, abordar postulado de Riemann, curva na superfície esférica e o

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conceito de geodésia, círculos máximos e menores, distância na superfície esférica,

ângulo esférico, triângulo esférico e a soma das medidas dos ângulos internos de

um triângulo, classificar os triângulos esféricos quanto à medida dos lados e dos

ângulos, conceitos referentes à superfície da Terra: polos, equador, meridianos,

paralelos e direções de movimento.

A sugestão dada pelas diretrizes curriculares de Matemática do estado do

Paraná é que a geometria não euclidiana seja avaliada a partir do 7° ano (6ª série)

da seguinte maneira: o estudante compreende noções topológicas através do

conceito de interior, exterior, fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos

aberto e fechados. No 8° ano (7ª série) ele deverá conhecer fractais através da

visualização e manipulação de materiais e discuta suas propriedades). No 9° ano (8ª

série) o estudante deverá ter as noções básicas de geometria projetiva. No Ensino

Médio, o ensino de geometrias não euclidianas continua a partir do 1° ano sendo

que ao final da sua vida escolar ele compreenda e perceba a necessidade das

geometrias não euclidianas para a compreensão de conceitos geométricos, quando

analisados em planos diferentes do plano de Euclides. Compreenda a necessidade

das geometrias não euclidianas para o avanço das teorias científicas, e por fim,

articule ideias geométricas em planos de curvatura nula, positiva e negativa.

Conheça os conceitos básicos da geometria elíptica, hiperbólica e fractal.

6 GEOMETRIA HIPERBÓLICA

O primeiro modelo matemático para a geometria hiperbólica é a

pseudoesfera. Por definição, pseudoesfera é uma superfície gerada pela revolução

de uma curva conhecida como tractriz em torno de uma reta ou eixo (sua assíntota).

(SILVA, p. 25).

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Figura 1 - revolução de uma curva tractriz

Fonte<http://www.searadaciencia.ufc.br/donafifi/hiperbolica/hiperbolica5>

Em curvaturas negativas a soma dos ângulos internos de um triângulo não é

180°. Outro modelo matemático para a geometria hipe rbólica é o disco de Poincaré,

desenvolvido por Henry Poincaré. (SILVA, p 26-27).

Na geometria hiperbólica a soma das medidas dos ângulos internos de um

triângulo é sempre menor que 180°. (COUTINHO, p. 57 ).

Na geometria hiperbólica, o teorema de Pitágoras não é válido, pois não

existem retângulos. (SILVA, p. 40).

Num quadrilátero hiperbólico, a soma dos ângulos internos será sempre

menor que 360°. (SILVA, p 52). Na geometria hiperbó lica, figuras semelhantes são

inexistentes. Segundo Coutinho (p.59), todos os triângulos de mesma forma têm,

necessariamente, a mesma área. Um ponto é dito ideal quando é o encontro de

duas retas paralelas na geometria hiperbólica. ( COUTINHO, p. 59).

Figura 2 - pseudoesfera

Fonte: Karolina Barone, 2011, p 24

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7 GEOMETRIA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

Na geometria plana, a menor distância entre dois pontos é uma reta; na

geometria espacial o menor arco de uma das circunferências máximas da superfície

esférica é um segmento esférico.

Uma linha na geometria esférica é uma circunferência máxima da esfera,

embora seja ilimitada não é infinita. Numa superfície não plana as linhas são curvas.

Geodésicas são circunferências máximas com o mesmo diâmetro da esfera.

É a secção plana da esfera passando pelo seu centro.

Figura 3 - geodésicas

Fonte -

<http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/irene_conceicao_rodrigues_prestes.

pdf >

Curvas Geodésicas são as linhas que cobrem a menor distância entre dois

de seus pontos. Um meridiano é uma linha geodésica pois é um círculo máximo do

nosso planeta; um paralelo terrestre é uma linha e não é uma geodésica da Terra.

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Figura 4 – curva geodésica

Fonte -


pdf >

Ângulo Esférico é a reunião de dois arcos de circunferência máxima, que se

cruzam em certo ponto. Tal ponto é o vértice do ângulo. Na superfície esférica dois

pontos distintos determinam infinitas retas distintas.

Figura 5 – ângulo esférico

Fonte -


pdf >

Triângulo Esférico é uma figura obtida ao unir três pontos distintos numa

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superfície esférica, tais que, dois a dois, pertençam a um mesmo arco de

circunferência máxima e a soma dos seus ângulos internos é maior que 180°. Num

triângulo esférico tem-se o triângulo retângulo, com apenas um ângulo reto.

Triângulo Birretângulo é aquele com dois ângulos retos. E o trirretângulo é aquele

com três ângulos retos.

Figura 6 – triangulo esférico

Fonte -


pdf >

Segue em uma tabela a comparação da definição de retas na geometria

euclidiana e na geometria esférica, no quadro 1.

Quadro 1

Euclidiana Esférica

Um segmento de reta é um caminho

mais curto entre dois pontos

Uma reta é infinita

Uma reta não tem centro

Um arco de círculo máximo é o caminho

mais curto entre dois pontos

Um círculo máximo é finito

Um círculo máximo tem dois centros que

são os polos

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Duas retas podem ser paralelas

Duas retas não paralelas se interceptam

em um ponto

Percorrendo uma reta, a partir de um

ponto, nunca se retorna a esse ponto

Por dois pontos, passa uma única reta,

estes pontos dividem a reta em duas

semirretas e um segmento

Dois círculos máximos nunca são paralelos

Dois círculos máximos se interceptam em

dois pontos

Percorrendo um círculo máximo a partir de

um ponto,sempre se retorna a ele.

Por dois pontos passa um único círculo

máximo. Se esses pontos forem os polos,

então passam infinitos círculos máximos.

Dois pontos dividem o círculo máximo em

dois arcos finitos.

Fonte: adaptada do site

<http://ww4pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/joao_pedro_marqueze.pdf

8 GEOMETRIA FRACTAL

São figuras com detalhes que se multiplicam em partes cada vez menores,

sem perder a forma original. Uma dimensão fractal é aquela dimensão maior que 1 e

menor que 2, pois trata-se de uma dimensão fracionária, e portanto, é uma

dimensão fractal.

O primeiro exemplo de fractal que podemos citar é a curva de Koch, criada

pelo matemático alemão Helge Von Koch em 1904. Para construir a curva de Koch,

basta pegarmos um segmento de reta de comprimento 1 e dividir o segmento em

três partes iguais e retirar o terço médio. Para cada segmento formado, vamos

dividindo em três partes e tirando o terço médio.

Na figura a seguir, temos os primeiros níveis de construção da curva de

Koch.

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Figura 7 - curva de Koch

Fonte: Celso Penteado Serra e Elizabeth Wagner Karas, 1997, p 7 (adaptado)

Os fractais possuem características fundamentais sendo elas: estrutura fina,

autossimilaridade e simplicidade da lei de formação.

Estrutura Fina: Um fractal possui detalhes mínimos. Isso quer dizer que cada

vez que recorta-se um fractal, obtém-se um fractal menor com as mesmas

características da figura inicial.

Autossimilaridade: É a semelhança observada em qualquer nível de fractal,

ou seja, uma parte do fractal será igual ao todo.

Simplicidade da lei de formação: A construção de fractais é feita com

algoritmos simples. Apesar de terem um alto grau de detalhamento e a estrutura de

um fractal seja complexa, isso não impede que sejam formados por processos

simples e diretos.

9 EXERCÍCIOS SUGERIDOS AOS ESTUDANTES

As atividades a seguir propostas neste artigo foram adaptadas do site

(UNICAMP – recursos educacionais multimídia para a matemática do ensino médio)

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e trabalhadas com os estudantes do 9º ano do ensino fundamental na aula de

laboratório.

Antes de iniciarmos esta aula os estudantes já haviam visto nas aulas

anteriores as definições de ponto, reta e plano.

Primeiro foi apresentado um vídeo do super-herói RADIX que mostra a

necessidade de uma geometria não euclidiana no lançamento de um satélite,

comenta da locomoção dos mesmos no espaço e que algumas regras da geometria

euclidiana não são válidas na geometria esférica.

Contou-se uma parte da história da matemática em que houve a

necessidade de se negar o quinto postulado de Euclides e surge então a geometria

não euclidiana, apresentou-se novamente os cinco postulados e então distribuiu-se

as tarefas digitadas nas folhas sulfites com uma bola de isopor para cada estudante

afim de que pudessem comparar a geometria plana com a geometria esférica. Os

materiais utilizados para as atividades foram os seguintes: lápis, lápis de cor, caneta

hidrocor, régua, compasso profissional, bolinhas de isopor de 75mm, folha A3 com o

molde do triângulo equilátero de 30cm de lado.

Atividade 1

As atividades propostas foram realizadas no laboratório de Matemática, com

duração de duas aulas de 50 minutos cada uma. Quando os estudantes chegaram

ao laboratório, os materiais já estavam disponíveis nas mesas e formaram-se grupos

de três ou quatro estudantes, para realizarem as atividades. A atividade foi aplicada

em quatro turmas do nono ano do ensino fundamental. Em duas turmas, iniciou-se a

aula falando dos cinco postulados de Euclides e explanou-se que a geometria não

euclidiana surgiu da negação do quinto postulado. Após essa explanação, passou-se

um vídeo no qual explica-se como funciona o lançamento de um foguete, e que para

lançá-lo são necessários os conhecimentos da geometria não euclidiana. Após o

vídeo os estudantes responderam as questões da primeira atividade. As conclusões

foram as mais diversas. Nas duas outras turmas, primeiro falou-se apenas da

geometria euclidiana e propuseram-se as questões a e b. Em seguida, explicou-se a

diferença entre geometria euclidiana e não euclidiana e exibiu-se um vídeo; logo em

seguida, encaminhou-se as questões c e d. Nas outras duas turmas mudou-se a

metodologia, pois percebeu-se que alguns estudantes estavam concluindo de

maneira equivocada as questões propostas. O resultado obtido após a mudança de

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metodologia, foi que alguns estudantes ainda continuavam concluindo as questões

de maneira errônea. O estudante faz o mesmo exercício na folha de papel e na bola

de isopor para poder comparar as duas situações e perceber a necessidade de outra

geometria, as respostas na sua maioria foram corretas, isso indicou que os

estudantes entenderam as propostas dos exercícios. Uns 5% dos estudantes na

primeira atividade fizeram no plano um triângulo sugerindo que o caçador volta para

casa nas condições propostas. Quando faltavam dez minutos para o final da

segunda aula, foram feitas as considerações finais das atividades propostas,

esclarecendo aos estudantes as diferenças entre os dois conceitos e comentando as

dificuldades encontradas por eles em relação às duas geometrias e corrigindo os

estudantes que tiveram uma conclusão equivocada.

''Um jovem caçador saiu de sua fazenda e andou 10 km ao sul. Depois virou

a oeste e andou mais 10 km. Então virou ao norte e andou novamente mais 10 km.

Ele ficou espantado, pois descobriu que tinha retornado novamente a sua fazenda.''

a) Em uma folha de papel, desenhe o caminho percorrido pelo jovem caçador.

b) De acordo com a história descrita acima é possível que o jovem caçador volte ao

ponto de partida? Escreva suas conclusões.

c) Em uma bola de isopor, desenhe o caminho percorrido pelo jovem caçador.

d) Analisando o caminho desenhado na bola, é possível para o jovem caçador voltar

ao mesmo ponto de partida? Justifique sua resposta.

Pode-se ver a seguir algumas conclusões dos estudantes.

Foto 01 – caminho percorrido pelo jovem caçador no plano

Fonte: própria autora

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Foto 05 – caminho percorrido pelo jovem caçador na esfera


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Foto 06 – caminho percorrido pelo jovem caçador na esfera


Atividade 2

Para os estudantes terem uma noção da geometria dos fractais distribuiu-se

para cada um uma folha de papel A3 com um triângulo equilátero de lado igual a 30

cm desenhado com o software Geogebra, exibiu-se um vídeo cujo tema era a

construção do triângulo de Sierpinski e sugeriu-se que eles construíssem o triângulo

de Sierpinski. A atividade foi adaptada do site

<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2207-8.pdf> A

orientação dada para os estudantes foi a seguinte: com o triângulo equilátero de

30cm de lado, marque o ponto médio em cada um de seus lados, e ligue esses

pontos. Para cada triângulo formado, exceto o central, marque o ponto médio em

cada um de seus lados e ligue esses pontos novamente. Repita o processo mais

uma vez para os triângulos restantes. Sabendo que esse fractal é formado retirando

o triângulo central em cada etapa, pinte os triângulos restantes de uma mesma cor.

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A cada etapa da construção do triângulo, eles deveriam completar a tabela

proposta na atividade.

Pense e responda:

a) Qual o nome do fractal que você acabou de construir?

b) Registre na tabela abaixo o número de triângulos em cada etapa da construção.

Etapa Números de triângulos

0

1

2

3

Tabela 2: Etapa x Número de triângulos Fonte: site <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2207-8.pd >

Para realizar essa atividade os estudantes devem ter um conhecimento

prévio de desenho geométrico. Neste caso específico os estudantes já tinham esse

conhecimento, pois na grade curricular do colégio onde foi aplicada a atividade, a

disciplina de desenho geométrico faz parte do currículo no oitavo e nono anos.

Entretanto nada impede do professor de matemática dar tais noções elementares

aos estudantes, caso eles não possuam na grade curricular a disciplina de desenho

geométrico. Para realizar a atividade o único conceito necessário era saber como

traçar ponto médio com o compasso. Alguns estudantes encontraram dificuldade em

traçar o ponto médio na extremidade da folha, que foi resolvido com o conhecimento

prévio do ano anterior e com orientação do professor de matemática. Nessa

atividade todos acertaram a construção do triângulo de Sierpinski, mas alguns

estudantes erraram ao completar a tabela, pois deixaram para preenchê-la ao

término da construção do triângulo e também porque não prestaram muita atenção

no vídeo que foi passado como introdução da atividade. A tarefa foi mais trabalhosa,

pois os estudantes tiveram que desenhar os triângulos, pintar para colocar em

evidência o triângulo que era retirado da figura e repetir o processo três vezes

lembrando sempre de completar a tabela com o número de triângulos em cada

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etapa. Os estudantes fizeram três iterações.

Figura 2 – triângulos de Sierpiski

Fonte: Site<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2207-8.pdf

A seguir algumas fotos dos trabalhos realizados pelos estudantes.

Foto 7 – construção do triangulo de Sierpiski


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CONCLUSÃO

O trabalho foi de grande valia, pois pode-se conhecer muito sobre as

geometrias não euclidianas. Tinha-se um conhecimento prévio sobre o assunto, mas

após o trabalho enriqueceu-se o conhecimento sobre as geometrias euclidianas e

não euclidianas. Encontraram-se dificuldades em conseguir literatura que trate do

assunto. Ainda é um assunto pouco conhecido dos profissionais matemáticos,

gerando muita dificuldade em encontrar atividades práticas de serem aplicadas aos

estudantes. As geometrias estão no cotidiano muito mais do que se imagina, pois

encontra-se na aviação, navegação, no GPS. Pode-se fazer um comparativo entre a

geometria euclidiana e não euclidiana, observando que os conceitos válidos para a

geometria euclidiana não são válidos para a não euclidiana. A geometria de fractais,

por exemplo, é de fundamental importância para o estudo da medicina. A geometria

esférica ilustra bem como o GPS funciona. As geometrias não euclidianas estão

muito próximas dos estudantes, ficando acessível ensiná-las com exemplos práticos

e que os motivam.

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REFERÊNCIAS

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