arranque e paragem de motores assincronos

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UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA E ELECTROTECNIA DEE Como separar páginas numeradas e não numeradas no Word Posted on March 15, 2011 Separando páginas numeradas e não numeradas no Word 2007 Prof. Walter Moreira – Unesp/FFC/DCI – [email protected] Para que a numeração apareça apenas na parte textual do TCC (ou seja, a partir da Introdução) é preciso usar um recurso chamado “Quebra de seção”. Este recurso possibilita a divisão do documento em partes (seções), como se existisse mais de um arquivo dentro do mesmo documento. Passo-a-passo 1. Abra o documento e clique no final da última linha que contém o Sumário. 2. Na aba Início, clique em Mostrar tudo, localizado no canto superior direito do bloco Parágrafo (Figura 1) Figura 1 – Mostrar tudo 3. Na aba Layout da Página, clique em Quebras e, dentro de Quebra de Seção, clique em Próxima Página (Figura 2).

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Page 1: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETOFACULDADE DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA E ELECTROTECNIADEE

Como separar páginas numeradas e não numeradas no WordPosted on March 15, 2011

Separando páginas numeradas e não numeradas no Word 2007Prof. Walter Moreira – Unesp/FFC/DCI – [email protected]

Para que a numeração apareça apenas na parte textual do TCC (ou seja, a partir da Introdução) é preciso usar um recurso chamado “Quebra de seção”. Este recurso possibilita a divisão do documento em partes (seções), como se existisse mais de um arquivo dentro do mesmo documento.Passo-a-passo1. Abra o documento e clique no final da última linha que contém o Sumário.

2. Na aba Início, clique em Mostrar tudo, localizado no canto superior direito do bloco Parágrafo (Figura 1)

Figura 1 – Mostrar tudo

3. Na aba Layout da Página, clique em Quebras e, dentro de Quebra de Seção, clique em Próxima Página (Figura 2).

Page 3: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

4. Após este processo, o final de sua página deve ficar como na Figura 3.

Figura 3 – Quebra de seção (próxima página)

5. Dê um clique duplo no cabeçalho da página seguinte à que contém a Quebra de Seção, no nosso caso, a página de Introdução. Observe as informações Cabeçalho-Seção2-, à esquerda, e Mesmo que seção anterior, à direita. Observe também que aparece acionada aba Design, com a função Vincular ao Anterior ativada (Figura 4).

Figura 4 – Cabeçalho de seção

6. O “segredo” está exatamente nesta opção. Em nosso caso queremos cabeçalhos diferentes nas duas seções, isto é, queremos número de página apenas na seção 2 (desvinculada da seção 1), por isso é preciso desabilitar a função Vincular ao Anterior.

7. Agora podemos inserir o número de página. Para isso clique na aba Inserir, selecione a opção Número de página, depois em Início da página e, se preferir, Números sem formatação (Figura 5).

Page 4: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 5 – Inserir número de página

Pronto!

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31 thoughts on “Como separar páginas numeradas e não numeradas no Word”

1. Priscila on March 16, 2011 at 7:35 pm said:

Muito bom, professor. No ano passado penei até descobrir que era assim. Queria aprender.

Reply ↓

2. Maria Aparecida Lemos de Souza on May 25, 2011 at 1:32 pm said:

Boa tarde prof.º Walter, obrigada pela dica.Por favor continue nos dando dicas úteis como esta.Cida Bibliotecária FATEA

Reply ↓

Page 5: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

3. Maria Aparecida Lemos de Souza on May 25, 2011 at 1:33 pm said:

Obrigada prof.º pela dica. Continue a nos passar estas dicas tão úteis.Cida

Reply ↓

o Walter on May 25, 2011 at 8:59 pm said:

Oi, Cida,

boa vontade (aquela mesma que já encheu outro lugar), eu tenho, tempo… tempo…. tempo… tempo…. este “senhor tão bonito quanto a cara do meu filho” (Velô) …. anda raro.

Reply ↓

4. Dani on July 15, 2011 at 4:16 pm said:

“Velô” foi ótima.Vc poderia deixar o site que vc passou pro meu word ancião, para os que também não estão tão atualizados né mesmo?!uauahuaha

Reply ↓

5. Loriane on June 18, 2012 at 2:01 pm said:

O meu worrd 2007 não tem esta opção vincular com anterior habilitado!

Reply ↓

o Walter on June 20, 2012 at 8:59 am said:

Neste caso, fica mais simples ainda, pois isso já vai criar cabeçalhos diferentes para as duas seções.

Reply ↓

Page 6: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Thais on January 14, 2013 at 9:23 am said:

No meu computador a opção também não está habilitada mas não consigo fazer esta alteração, porque quando eu mudo um, muda todos

Reply ↓

6. Leoni Cordeiro on November 28, 2012 at 8:25 pm said:

Walter…preciosas dicas! Muito obrigada por compartilhar seu conhecimento!! Abraços

Reply ↓

o Walter on November 29, 2012 at 4:49 pm said:

Obrigado, Leoni. Que bom que lhe foi útil.

[]s,

Reply ↓

7. jonas almada on January 26, 2013 at 10:03 am said:

Prefeita a dica, nunca escrevo nos comentários mas este aqui não poderia deixar de agradeçer pela ajuda preciosa.

Reply ↓

o Walter on January 28, 2013 at 7:27 am said:

Obrigado, Jonas.

Reply ↓

8. ROSIANE on March 2, 2013 at 9:17 am said:

Page 7: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Obrigada professor,muito boa sua explicação,simples porém de grande ajuda.Abraços.

Reply ↓

o Walter on March 5, 2013 at 9:58 am said:

Que bom que lhe ajudou. Abraço.

Reply ↓

9. Maria Bethânia on April 25, 2013 at 3:24 pm said:

Nossa!!!!!!!!!!!! Tudo que eu precisava!!!Obrigada por ser sucinto e eficiente.Valeu.

Reply ↓

10. Dani on May 24, 2013 at 2:57 pm said:

Não consigo encontrar a opção vincular com anterior no meu word 2007,pois depois que faço a parte de quebra de seção quando eu vou colocar a numeração fica errado do meu jeito,começa a numerar na primeira pag…por favor me ajude ^^

Reply ↓

o Walter on May 27, 2013 at 9:02 am said:

Dani, veja isso: http://www.infowester.com/tutpagword.php . Acho que vai lhe ajudar.

[]s,

Reply ↓

11. fabiana silva lopes on September 29, 2013 at 4:28 pm said:

Page 8: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Alguém pra me ajudar como faço pra quebrar pagina, como a regra da OAB.

Reply ↓

12. Kesia on January 24, 2014 at 4:12 pm said:

Nossa, muito obrigada! Eu sempre fazia meus trabalhos em dois documentos por não conseguir arrumar as páginas. Agora consegui! Obrigada!

Reply ↓

13. ADRIANE SOUZA on February 11, 2014 at 10:28 pm said:

MEU WORD NÃO APARECE VINCULAR AO ANTERIOR, ESTA INDISPONÍVELTEM COMO FAZER DE OUTRA FORMA?

Reply ↓

o Luana on March 6, 2014 at 12:26 am said:

Oi Adriane,Eu estava com o mesmo problema e descobri, graças ao tutorial do professor Walter, que existe uma diferença entre inserir a quebra pelo menu Inserir e pelo menu Layout da Página (neste a opção de Quebras está dentro da opção Configurar Página – o ícone é pequeno). Eu tentei inúmeras vezes pelo menu Inserir e não obtive êxito. Quando tentei pelo menu Layout da Página, consegui na primeira tentativa. Acredito que consegui porque pude escolher a opção da Quebras de Seção-Próxima Página. É importante ser a opção Próxima Página. Daí é só seguir o que o professor apresentou!Espero ter ajudado!

Reply ↓

14. Estela Solfa on March 19, 2014 at 4:35 pm said:

Prof. Excelente material, muito obrigada.

Reply ↓

Page 9: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

15. Carlos Vinicius on October 31, 2014 at 2:57 pm said:

O mulher tutorial de paginação encontrado na net. Valeu, bom trabalho, ajudou bastante.

Reply ↓

o Walter on November 1, 2014 at 10:36 am said:

Que bom, Carlos Vinicius, que lhe foi útil! Obrigado.

Reply ↓

16. Bernardino Coelho da Silva on November 9, 2014 at 7:04 am said:

Melhor e mais simples explicação sobre o tema que encontrei. Grato!

Reply ↓

17. Luisa on November 23, 2014 at 11:40 am said:

Professor,Consegui desvincular e tudo mais. Entretando, quando coloco a numeração na página, fica a mesma numeração pra todas as páginas. O que estou fazendo de errado?

Reply ↓

o Walter on November 24, 2014 at 9:30 am said:

Luisa, provavelmente, se a numeração está sequencial, significa que não foram criadas duas seções para o documento. Dê uma pesquisada sobre como criar seções no documento word, acho que vai lhe ajudar.

[],

Reply ↓

Page 10: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

18. Hellan Rodrigues da Silva on December 17, 2014 at 8:58 am said:

Ótimo post, já estava desesperado procurando por algum artigo que me ajudasse com a paginação. Valeu mesmo

Reply ↓

19. Jonathan on February 17, 2015 at 2:23 pm said:

Caro professor,Tua postagem foi extremamente útil, mas estou com o seguinte problema: tenho de incluir a numeração das páginas em um arquivo que contém cinco seções diferentes, e o Word só começa a numerar a partir da quinta seção, como página 1. Eu quero justamente incluir a paginação a partir da seção 2, mas não consigo, pois a partir da seção 5 permanece a mesma numeração anterior. Já tentei (dezenas de vezes) vincular uma seção à outra, mas isso não muda nada. Podes me informar, por favor, como posso criar um texto com apenas duas seções, extinguindo as outras três e mantendo a mesma paginação a partir da segunda seção? Ressalto que estou revisando o texto para outra pessoa, que foi quem criou essas inúmeras seções. Muito obrigado!

Reply ↓

o Walter on February 28, 2015 at 4:44 pm said:

Jonathan, em cada versão do Word resolvem complicar ainda mais algumas coisas que são muito simples, por isso essas ferramentas nos dão tanta dor de cabeça. Sobre a exclusão de seções, veja https://support.office.com/pt-br/article/Excluir-uma-quebra-de-seção-1e12f200-7215-4688-a55a-5130f383dc5f?ui=pt-BR&rs=pt-BR&ad=BR.

[],

Reply ↓

20. Frei FErnâncio on February 22, 2015 at 4:39 pm said:

ok, tudo certo, valeu e bons ensinamentos para o povo!

Reply ↓

Page 11: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

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ANÁLISE DOS PROCESSOS DE ARRANQUE E PARAGEM DOS MOTORES DE INDUÇÃO TRIFÁSICOS

Alunos: Schields Abel Gaspar Pedro & Wellington Nkuto Nanga

Orientador: Dr. Eng. Angel Costa Montiel

Co-Orientador: Msc. Eng. Joaquim Moreira Lima

Page 12: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

LUANDA 2012

Page 13: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Schields Abel Gaspar Pedro&

Wellington Nkuto Nanga

ANÁLISE DOS PROCESSOS DE ARRANQUE E PARAGEM DOS MOTORES DE INDUÇÃO TRIFÁSICOS

Monografia, apresentada ao Departamento de Electrónica e Eletrotecnia da Faculdade de Engenharia da Universidade Agostinho Neto (UAN), para a atenção do grau de Engenheiros Eletrotécnico na Especialidade de “Sistema de Potência”.

Orientador: Dr. Eng. Angel Costa MontielCo-Orientador: Msc. Eng. Joaquim M. Lima

LUANDA 2012

Page 14: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

AGRADECIMENTO

Ao professor e orientador Dr. Eng. Angel Costa Montiel, pela confiança em nós e em nosso trabalho.

Aos demais professores do curso, que proporcionaram a nós uma gama de conhecimentos, úteis para o desenvolvimento desse trabalho.

A todos os colegas pela disponibilidade e paciência.

Aos nossos pais e familiares, pelo apoio dado durante todo o curso, principalmente nos momentos mais difíceis.

A Deus, principalmente.

i

Page 15: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

“Entrega o teu caminho ao Senhor; confia nele, e ele tudo fará.”

Salmos 37:5

ii

Page 16: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

ÍNDECE

Como separar páginas numeradas e não numeradas no Word........................................................................3

31 thoughts on “Como separar páginas numeradas e não numeradas no Word” .......................................6Leave a Reply .........................................................................................................................................13

Alunos: Schields Abel Gaspar Pedro..........................................................................................................13AGRADECIMENTO.............................................................................................................................................. i

ÍNDECE............................................................................................................................................................. iii

LISTA DE FIGURAS.............................................................................................................................................v

LISTA DE TABELA.............................................................................................................................................vii

RESUMO.........................................................................................................................................................viii

ABSTRACT........................................................................................................................................................ ix

INTRODUÇÃO...................................................................................................................................................1

CAPÍTULO I .......................................................................................................................................................2

MOTOR ASSINCRONO DE INDUÇÃO ................................................................................................................2

Ao ser alimentado por uma rede de tensão e frequência constantes sua velocidade varia pouco perante variações na carga mecânica............................................................................................................................5

CAPÍTULO II ....................................................................................................................................................13

ARRANQUE E PARAGEM DE MOTORES ASSINCRONOS..................................................................................13

CAPÍTULO III ...................................................................................................................................................30

MODELO MATEMATICO DO MOTOR ASSÍNCRONO .......................................................................................30

CAPÍTULO IV ..................................................................................................................................................56

ANÁLISE DE UM ESTUDO DE CASO.................................................................................................................56

CONCLUSÕES..................................................................................................................................................78

RECOMENDAÇÃO...........................................................................................................................................79

.......................................................................................................................................................................79

BIBLIOGRAFIA.................................................................................................................................................79

Apêndece.......................................................................................................................................................80

iii

Page 17: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1: a) Corte Transversal do Motor de Indução Trifásico; b) Esquema do Circuito com Resistências Externas; c) Esquema de Circuito do Motor sem Resistências Externas. ....................... 2 Figura 1.2: Componentes de uma Máquina Assincróna de Gaiola de Esquilo ................................... 6 Figura 1.3: Circuito Equivalente por Fase do Motor Assíncrono Trifasico em Repouso ................... 7 Figura 1.4: Circuito Equivalente por Fase do Rotor ........................................................................... 7 Figura 1.5: Circuito Equivalente do Rotor Referido à Frequência do Estator .................................... 8 Figura 1.6: Circuito Equivalente Exacto do Motor Assincrono por Fase ........................................... 8 Figura 1.7: Circuito Equivalente Exacto do Motor Assíncrono com Separação da Potencia ............. 9 Figura 1.8: Circuito Equivalente tipo L do Motor Assincrono Trifásico ............................................ 9 Figura 1.9: Característica do Binário Electromagnético e do Escorregamento do Motor Assincrono ............................................................................................................................................................ 11 Figura 2.1: Circuito equivalente em Assincrono Motor de Arranque. .............................................. 15 Figura 2.2: Diagramas Fasoriais do Motor para Diferentes Resistências do Rotor. ......................... 15 Figura 2.3: Esquema do Circuito de Arranque do Motor de Rotor Bobinado. ................................. 16 Figura 2.4: Variação das Características Mecânicas do Esquema da figura 12 ................................ 17 Figura 2.5: Barras do rotor no Motor Assíncrono de Gaiola de Esquilo. ......................................... 18 Figura 2.6: Esquema do Arranque por Auto Transformador. ........................................................... 19 Figura 2.7: Arranque Estrela-Triângulo. ........................................................................................... 20 Figura 2.8: Regulador de Tensão Estático Utilizado nos Soft Starters. ............................................ 21 Figura 2.9: Comparação das Correntes no Arranque com Diferentes Métodos. .............................. 21 Figura 2.10: Variação da Tensão Aplicada no Soft Starter Programado com Rampas de Aceleração e Desaceleração. ................................................................................................................................. 22 Figura 2.11: Variação da Corrente com Ajuste de Limitação de Corrente Fixa. .............................. 22 Figura 2.12: Vista Externa de um Arrancador Suave com Seus Ajustes. ......................................... 23 Figura 2.13: A Variação da Frequência Inicial e Começar Rampa S. .............................................. 23 Figura 2.14: Esquema do Conversor Back to Back ........................................................................... 26 Figura 2.15: Características Mecânicas do Motor Assíncrono com paragem Regenerativa ............ 27 Figura 2.16: Esquema de Paragem Dinâmica de um Motor Assíncrono. ......................................... 27 Figura 2.17: Esquema de Paragem Dinâmica com o Motor Alimentado por um Conversor Estático. ............................................................................................................................................................ 28 Figura 2.18: Paragem por Aplicação de Corrente Contínua com o Motor Alimentado por Conversor Estático. ............................................................................................................................ 28 Figura 2.19: Esquema de paragem por Inverso ................................................................................. 29 Figura 3.1: Corte Transversal Esquemático do Motor Assíncrono ................................................... 30 Figura 3.2: Vector Espacial Trifásico. .............................................................................................. 34 Figura 3.3: V ector Espacial Trifásico em Sistemas de Coordenadas Diferentes. ............................. 36 Figura 3.4: Diagrama Fasorial Aproximado ao Circuito Equivalente. ............................................. 45 Figura 3.5: Circuito Equivalente do Motor no Arranque. ................................................................. 49 Figura 3.6: Circuito Equivalente do Motor no Assíncrono. .............................................................. 51 Figura 3.7: Diagrama de fase que corresponde a equação 78 . .......................................................... 52 Figura 4.1: Sistema Hidráulico Estudado. ........................................................................................ 63 Figura 4.2: Característica Da Instalação Hidráulica. ........................................................................ 63 Figura 4.3: Características das Bombas LHK da Alfa Laval ............................................................ 64 Figura 4.4: Característica da Carga Mecânica .................................................................................. 66 Figura 4.5: Modelo Geral em SIMULINK para o Estudo dos Procesos de Arranque e Paragem .... 67 Figura 4.6: Modelo da Máquina Assíncrona ..................................................................................... 68 Figura 4.7: Modelo da Carga Mecânica ............................................................................................ 68

v

Page 18: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 4.8: Selector de Alimentação ................................................................................................. 69 Figura 4.9: Bloco de Medições ......................................................................................................... 70 Figura 4.10: Velocidade em Função do Tempo no Arranque Directo à Rede. ................................ 71 Figura 4.11: Corrente em Função do Tempo no Arranque Directo à Rede . ..................................... 71 Figura 4.12: Binário em Função do Tempo no Arranque Directo à Rede . ....................................... 72 Figura 4.13: Característica Mecênica Dinâmica no Arranque Directo à Rede. ............................... 72 Figura 4.14: Velocidade em Função do Tempo no Arranque a Tensão Reduzida .......................... 73 Figura 4.15: Corrente em Função do Tempo no Arranque a Tensão Reduzida ................................ 73 Figura 4.16: Binário em Função do Tempo no Arranque a Tensão reduzida ................................... 73 Figura 4.17: Característica Mecânica dinâmica no Arranque a Tensão Reduzida ........................... 74 Figura 4.18: Velocidade em Função do Tempo no Arranque Suave na Rampa ............................... 74 Figura 4.19: Corrente em Função do Tempo no Arranque Suave na Rampa .................................. 74 Figura 4.20: Binario em Função do Tempo no Arranque Suave na Rampa ..................................... 75 Figura 4.21: Característica Mecânica Dinámica no Arranque Suave na Rampa .............................. 75 Figura 4.22: Velocidade em Função do Tempo no Arranque Suave Em S ...................................... 75 Figura 4.23: Corrente em Função do Tempo no Arranque Suave em S ........................................... 76 Figura 4.24: Binário em Função do Tempo no Arranque Suave em S ............................................. 76 Figura 4.25: Característica Mecânica Dinâmica no Arranque Suave em S ..................................... 76 Figura 4.26: Velocidade em Função do Tempo no Arranque a Frequência Variavel na Rampa .... 77 Figura 4.27: Corrente em Função do Tempo no Arranque a Frequência Variavel na Rampa ......... 77 Figura 4.28: Binário em Função do Tempo no Arranque a Frequência Variavel na Rampa. ........... 77 Figura 4.29: Característica Mecânica Dinâmica no Arranque a Frequência Variavel na Rampa . . . 78 Figura 4.30: Velocidade em Função do Tempo no Arranque a Frequência Variavel em S ............. 78 Figura 4.31: Corrente em Função do Tempo no Arranque a Frequência Variavel em S .................. 78 Figura 4.32: Binário em Função do Tempo no Arranque a Frequencia Variavel em S .................... 79 Figura 4.33: Característica mecânica Dinámica no Arranque a Frequência Variavel em S ............. 79 Figura 4.34: Variação da Velocidade na Paragem Dinâmica ........................................................... 81 Figura 4.35: Variação da Corrente na Paragem Dinâmica ............................................................... 81 Figura 4.36: Variação do Binário na Paragem Dinâmica ................................................................. 81 Figura 4.37: Variação da Velocidade na Paragem por Inversão ...................................................... 82 Figura 4.38: Variação da Corrente na Paragem por Inversão ........................................................... 82 Figura 4.39: Variação do Binário da Paragem por Inversão ............................................................ 82

vi

Page 19: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

LISTA DE TABELA

Tabela 4.1: Dados do Catalogo do Motor ......................................................................................... 51 Tabela 4.2: Valores Base ................................................................................................................... 57 Tabela 4.3: Parâmetros do Motor Assíncrono ................................................................................... 57 Tabela 4.4: Pontos da Característica Mecânica param a Tabela de Look Up. .................................. 58 Tabela 4.5: Possibilidades do Selector de Alimentação .................................................................... 61 Tabela 4.6: Comparação de Arranques ............................................................................................. 72

vii

Page 20: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

RESUMO

.

Como é conhecido, o motor de indução trifásico é o consumidor de mais do 60 % da energia eléctrica na indústria. Um dos principais problemas destes motores em sua utilização industrial é a elevada corrente que consomem no arranque que pode provocar importantes quedas de tensão na indústria, prejudicando a operação do resto dos motores e das demais cargas. Em alguns casos também é necessário parar estes motores muito rapidamente.

Esta tese se propõe como objectivo fazer uma análise destes processos. Para fazê-lo é necessário considerar um modelo do motor assíncrono trifásico que tenha em conta a variação da resistência e a reactância do rotor no arranque e na paragem. A realização deste modelo no SIMULINK do software MATLAB permitirá conhecer os valores de corrente no arranque e sua duração no tempo e um melhor ajuste das protecções.

O primeiro capítulo apresenta um resumo das características de construção e funcionamento dos motores assíncronos trifásicos destacando a sua simplicidade, robustez e pouca necessidade de manutenção. No segundo capítulo explicam-se os diferentes métodos de arranque e paragem desses motores. O terceiro segue o modelo dinâmico apropriado para o estudo deste tipo de processos e descreve um método simples para a identificação dos seus parâmetros a partir dos dados do catálogo do motor. Finalmente, no último capítulo comparam-se os diferentes métodos de arranque e paragem através de um modelo SIMULINK elaborado pelo orientador principal desta tese. Baseia-se no modelo derivado no capítulo anterior.

Palavras-Chave: Motor de Indução, Arranque e Paragem, Matlab.

viii

Page 21: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

ABSTRACT

As it is known, the three-phase induction motor is the consumer of more than 60% of the electrical power in industries. One of the chief problems of these engines in its industrial use is the high current they consume at starting that can cause significant voltage drops in industries, impairing the operation of the other motors and the of other loads. In some cases it is also necessary to stop these motors very quickly.

The goal of this thesis is to analyze these processes. To analyze them it is necessary to consider a three-phase asynchronous motor model that takes in consideration the variation of the rotor resistance and reactance at starting and shutting down. The realization of this model in MATLAB SIMULINK software will reveal the values of the current at starting and its duration in time and a better fit of the protections.

The first chapter summarizes the features of construction and operation of the three phase asynchronous motors highlighting its simplicity, robustness and a little necessity of maintenance. In the second chapter it is explained the different methods of starting and stopping these engines. The third follows the dynamic model suitable for the study of such processes and describes a simple method for identification of its parameters from the data of the engine catalogue. Finally, the last chapter compares the different methods of starting and stopping through a SIMULINK model developed by the head-tutor of this thesis. It is based on the model taken from the previous chapter.

Key words: Induction Motor, Starting and Stopping, Matlab.

ix

Page 22: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

INTRODUÇÃO

Como é bem conhecido, o motor assíncrono trifásico de rotor de gaiola ou de rotor em curto-circuito é do tipo de motor mais usado na indústria e constitui a força motriz mais importante neste tipo de instalações. A partir de vários estudos, foi identificado que mais de 60% da energia consumida pelas indústrias é feita por intermédio dos motores trifásicos assíncronos e, dentro deste por cento, mais de 70% movem bombas, compressores ou ventiladores cujo binário mecânico resistente é a função da velocidade.

Há uma série de estudos focados na redução de consumo de energia dos motores assíncronos que accionam este tipo de mecanismos principalmente mediante a utilização de motores de alto rendimento e a utilização de variadores de velocidade quando se quer regular o caudal ou fluxo de fluido movido por mecanismo.

Entretanto, poucos estudos se têm dedicado a analisar os processos dinâmicos de arranque e de paragem nestes mecanismos. A sua importância é que, mediante uma selecção adequada do tipo e do dispositivo de arranque e paragem podem evitar-se fenómenos mecânicos que produzem desgastes adicionais neste tipo de carga mecânica.

O impressionante desenvolvimento da electrónica de potência tem permitido construir conversores para variar e controlar a velocidade e a corrente destes motores e, assim, permitir uma utilização mais racional do mecanismo accionado tanto do ponto de vista energético, como do ponto de vista de aumentar a vida útil e reduzir a reparação e manutenção das bombas, ventiladores e compressores. Os mais importantes são os conhecidos como arrancadores suaves (Soft starters) e os variadores de velocidade (Variable Frequency Drives).

O objectivo principal desta tese é precisamente analisar e comparar os diferentes tipos de arranque e travagem nos motores assíncronos trifásicos de um modelo dinâmico que considera todos os parâmetros e sua simulação em SIMULINK do software MATLAB.

1

Page 23: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

CAPÍTULO I MOTOR ASSINCRONO DE INDUÇÃO

1.1. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO

No motor de indução a corrente alternada é fornecida diretamente ao estator, ao passo que o rotor recebe a corrente por indução, como em um transformador, a partir do estator.

Quando o motor é alimentado por uma fonte trifásica equilibrada, um campo magnético é produzido no entreferro girando na velocidade síncrona. Esta velocidade síncrona depende do número de polos do estator e da frequência imposta no estator do motor de indução.

A figura 1.1 mostra o diagrama e o circuito eléctrico de ligação de uma máquina assíncrona ou de indução trifásica. No enrolamento do estator, existe um enrolamento trifásico (fase A-A', B-B' e C-C'), na

qual se produz um campo magnético giratório cuja velocidade (ωs) depende do número de polos (P) e da

frequência (f1) da rede de eletricidade que o alimenta:

)2/(

..2 1

P

fs

πω = (1.1)

Figura 1.1: a) Corte Transversal do Motor de Indução Trifásico; b) Esquema do Circuito com Resistências Externas; c) Esquema de Circuito do Motor sem Resistências Externas.

Quanto aos aspectos construtivos do rotor de um motor de indução, tem-se:

2

Page 24: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Motores com rotor bobinado;

Motores com rotor gaiola de esquilo.

O rotor bobinado tem um enrolamento trifásico de mesmo número de polos e fase que o do estator e cujos terminais estão ligados a três anéis deslizantes sobre os quais repousam três escovas através das quais podem introduzir-se resistências externas (como se mostra na figura 1.1 b) ou ligar-se a outro circuito externo. Por outro lado, rotor de gaiola compreende um certo número de barras, de cobre ou de alumínio, curto circuitados através de anéis situados nas extremidades do rotor. Como pode ver-se, o rotor bobinado permite modificar as características de comportamento do rotor e o de gaiola não. A simplicidade e a robustez na construção do rotor em gaiola representam vantagens notáveis para esse tipo de motor de indução e fazem dele o tipo de motor mais comumente utilizado na indústria. Embora o rotor seja de gaiola para estudo pode se supor um rotor equivalente, com os seus terminais curto circuitados (como se mostra na figura 1.1c).

Para analisar o princípio de funcionamento desta máquina (neste caso, deverá funcionar como um motor), se supõem primeiro que o circuito do rotor está aberto e que, portanto, apena circula corrente através do enrolamento do estator. Este corrente serve para produzir o campo magnético de acoplamento (desprezando as perdas do núcleo) e é denominado Corrente de Magnetização, ou seja, para cada fase se cumpre que:

Ms ii = (1.2)

Onde:

iM – Valor instantâneo da corrente de magnetização;

Esta corrente provoca uma força magnetomotriz giratória mF

e um fluxo φm que induz uma força electromotriz no estator igual a:

mdevsSS KNfE φπ .....2= (1.3)

Onde:

Ns – Número de espiras por fase do enrolamento do estator;KdevS – Factor de enrolamento do estator que leva em conta a distribuição das bobinas

pelo estator e o possível encurtamento do passo;

Também em cada fase do rotor se induz uma fem ER dada por:

mdevsRR KNfE φπ .....2= (1.4)

Neste caso o rotor não gira devido à corrente que não circula por ele.

Se agora se fecha o circuito do rotor começa a circular corrente por ele. Esta corrente relaciona com o fluxo giratório do entreferro (φm ) e cria um binário electromagnético que faz rodar

3

Page 25: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

o motor, acelerando-o. Esta rotação ocorre no mesmo sentido que a do fluxo giratório, trazendo como consequência que a velocidade relativa dos condutores do rotor, com respeito ao fluxo do estator, diminua, diminuindo, por tanto, a fem induzida no rotor e a corrente. Este processo de redução de corrente e aumento da velocidade continua até que o valor de corrente é tal, que o binário que se produz equilibra o binário externo da carga mecânica do motor. Então, a velocidade e o valor eficaz da corrente são constantes e se atinge o estado estacionário. Esta velocidade ω m

estáveis deve ser menor que a velocidade síncrona Sω na qual se move o fluxo giratório para que

exista movimento relativo entre o fluxo e os condutores do rotor. Maior carga mecânica externa maior velocidade relativa, maior fem induzida e maior corrente, isto implica menor velocidade do rotor. O valor da velocidade relativa em por unidade é denominado Escorregamento e é dada por:

S

mSsω

ωω −= (1.5)

Devido à queda de tensão no estator da máquina ser muito pequena, a tensão aplicada é praticamente igual à fem induzida. Isto quer dizer que se a tensão permanece constante, a fem induzida também o faz e o fluxo do entreferro não varia, a frequência da fem e a corrente do rotor depende da velocidade relativa deste e do fluxo giratório do entreferro e é, portanto, igual a:

f s f2 1= . (1.6)

É importante demonstrar também que o fluxo do rotor gira com respeito ao estator à velocidade síncrona, independentemente do valor do escorregamento e por tanto, da frequência do rotor.

A velocidade do fluxo do rotor com respeito ao rotor ω FRR depende da frequência da corrente do rotor e é igual, por tanto, a:

SFRR sωω .= (1.7)

Por outra parte, a velocidade desta fmm com respeito ao estator é igual a sua velocidade com respeito ao rotor mais a velocidade do rotor:

ω ω ωFRS FRR R= + (1.8)

Da equação 1.5 vesse que a velocidade do rotor em função do deslizamento é igual a:

)1.( sSR −=ωω (1.9)

Substituindo a equação 1.7 e 1.9 na equação 1.8:

SSSFRS ss ωωωω =−+= )1.(. (1.10)

Assim demonstrou-se o que queríamos provar. Esta propriedade faz com que o binário electromagnético do motor permanece sempre constante pois é produzido pela interacção entre os fluxos que rodam à mesma velocidade, ou seja, são fixos em relação um ao outro.

4

Page 26: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

É importante notar, finalmente, alguns princípios básicos para a construção e operação da máquina assíncrona ou de indução trifásica, que caracterizam e diferenciam das demais:

Ao ser alimentado por uma rede de tensão e frequência constantes sua velocidade varia pouco perante variações na carga mecânica.

Para que funcione como gerador deve acoplar-se um motor primário, conectar-lhe à rede e fazer-lhe rodar a uma velocidade superior à síncrona.

O campo magnético de acoplamento, necessária para produzir a conversão de energia eletromecânica, surge a partir da tensão trifásica de alimentação do estator, o que significa que este campo não pode ser controlado, se a máquina é alimentada por uma rede de tensão e frequência constante. Isso resulta em vários factos importantes: primeiro, não pode funcionar como um gerador, se não for ligado em paralelo com um ou mais geradores síncronos, a rede eléctrica ou um banco de capacitores, em segundo, o factor de potência não pode ser controlado, diminuindo ostensivamente a carga e em terceiro lugar, existe um forte acoplamento entre os campos do estator e do rotor (ao contrário do motor de corrente contínua) que impede a sua utilização como componente de um sistema de controlo.

Em todas as máquinas eléctricas é a más simples, barata, robusta e menos necessidade de manutenção.

Na figura 1.2 pode ser visto um motor assíncrono com as peças com o nome de cada uma. Se comparado com uma máquina DC é visto como componentes muito mais simples e sem desgaste rápido, como escovas, anéis deslizantes (excepto o motor rotor bobinado), colector, etc. Por esse motivo, o funcionamento como motor domina amplamente o mercado.

5

Page 27: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 1.2: Componentes de uma Máquina Assíncrona Gaiola de Esquilo

1.2. CIRCUITO EQUIVALENTE DO MOTOR ASSÍNCRONO TRIFÁSICO

Para deduzir o circuito equivalente da máquina assíncrona se parte da sua semelhança com o transformador trifásico. Uma máquina assíncrona em repouso (velocidade zero) tem a mesma configuração electromagnético de um transformador trifásico com uma importante diferença, o circuito magnético do transformador só apresenta material ferromagnético enquanto que no circuito magnético da máquina assíncrona existe um entreferro entre o estator e o rotor, ou seja, um espaço de ar entre ambos. O ar, como se sabe tem uma permeabilidade magnética muito baixa em comparação com o aço e outro material ferromagnético e isto faz que, embora o espaço de ar seja muito pequeno (da ordem de alguns milímetros), a sua presença aumenta notavelmente a relutância do circuito magnético. Isto traz duas consequências práticas:

Um aumento de corrente de magnetização e de vazio, que já não pode ser desprezada como sucede com o transformador.

Também há um aumento da reactância de dispersão, tanto do estator como do rotor.Tendo em conta estas causas, o circuito equivalente do motor assíncrono trifásico por fase, em condições de repouso, como se mostra na figura 1.3 sem poder desprezar, a corrente de vazio, como foi feito com o transformador.

Neste circuito V1 é a tensão de fase e os outros parâmetros têm o mesmo significado que no transformador.

Figura 1.3: Circuito Equivalente por Fase do Motor Assíncrono Trifásico em Repouso

Supõem-se agora que o motor começa a rodar e alcança uma velocidade tal que seu escorregamento é s. A máquina comporta-se agora como um transformador com o secundário rotativo. Esta velocidade relactiva do secundário (rotor) com respeito ao primário (estator) tem uma importante consequência que é: A frequência do rotor não é igual à do estator e está dada pela equação 1.6. Portanto deve se analisar primeiro o circuito do rotor por fase e depois referi-lo à frequência do estator. Este circuito por fase se mostra na figura 1.4 em que E2 é a fem induzida no rotor em repouso referida ao estator e Xd2 é a reatância de dispersão do rotor em repouso (também

6

Page 28: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

referida ao estator), ou seja, à frequência da rede. Ao existir um escorregamento, ambas são multiplicadas por este valor, a fem por um problema de velocidades relativas e a reactância por ser proporcional à frequência que por ela circula.

Figura 1.4: Circuito Equivalente por Fase do Rotor

Mediante a equação 1.10 se demonstrou que o fluxo do rotor gira com respeito ao estator à mesma velocidade que o fluxo do estator, ou seja, à velocidade síncrona. Isto quer dizer que as quantidades de rotor “são vistas” desde o estator como se tivessem a mesma frequência da rede. Isto permite referir também o rotor à frequência do estator. Para fazê-lo, deve alimentar-se o escorregamento (s) da fem e da reactância. Isto deve fazer-se mantendo o valor da corrente do rotor referido ao estator. Portanto:

2'2

2'2

2

2'2

2'2

2'2

).(

.

d

dX

s

R

E

XsR

EsI

+

=

+=

(1.11)

Esta equação permite colocar o circuito equivalente do rotor como se mostra na figura 1.5 e incorporá-lo o Circuito Equivalente Exato do Motor Assíncrona Trifásico por Fase.

Figura 1.5: Circuito Equivalente do Rotor Referido à Frequência do Estator

7

Page 29: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 1.6: Circuito Equivalente Exato do Motor Assíncrono por Fase

Tendo em conta considerações energéticas, é evidente que a potência que se dissipa na resistência R2

’/s é a potência total que passa do estator ao rotor, denominado também Potência Electromagnética Pem, ou seja:

s

RIPem

'22'

2 ..3= (1.12)

No entanto, da potência que passa do estator ao rotor, uma parte se perde na resistência do

rotor em forma de perdas de cobre do rotor ∆pcobr iguais a 3.I2’2.R2

’. O resto, que geralmente é a

maior parte, é a parte da potência convertida à forma mecânica Pmec:

−=−=∆−=

s

sRIRI

s

RIpPP cobremmec

1...3..3..3 '

22'

2'2

2'2

'22'

2(1.13)

É conveniente no circuito equivalente separar a resistência onde ocorre as perdas de cobre do rotor e a resistência cuja potência dissipada é igual à potência convertida à forma mecânica, como mostra-se na figura 1.7. Este é outra forma de representar o Circuito Equivalente Exato do Motor Assíncrono.

Figura 1.7: Circuito Equivalente Exato do Motor Assíncrono com Separação da Potência Convertida à Forma Mecânica.

8

Page 30: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Este circuito equivalente exato é, como pode ser visto, do tipo T, que é relativamente de difícil solução. Para simplificar se faz uso de um Circuito Equivalente Aproximado tipo L como se mostra na figura 1.8. Como a corrente de vazio Io é menor que a de carga e está quase em quadratura com a tensão (Rm é muito maior que Xm), não se comete grande erro se passar este circuito paralelo à entrada.

Figura 1.8: Circuito Equivalente tipo L do Motor Assíncrono Trifásico

1.3. CARACTERÍSTICA MECÂNICA E CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO DA MÁQUINA ASSINCRONA TRIFÁSICA

Tal como já foi explicado no caso do motor de corrente contínua, a característica mais importante de um motor eléctrico como conversor de energia electromecânica é a velocidade de rotação em função do binário electromagnético. No caso particular da máquina assíncrona é habitual, também expressar esta relação mediante a característica do binário electromagnético em função do escorregamento. Esta secção se deduz ambas as características começando pela segunda. A partir destas características se analisaram as diferentes condições de funcionamento da máquina.

Primeiramente determinou-se a expressão do binário electromagnético que é igual à potência convertida à forma mecânica dividida pela velocidade de rotação:

R

mecem

PT

ω= (1.14)

Substituindo a equação 1.13 e 1.9 em 1.14 se obtém:

s

RI

s

s

sRI

TSS

em

'2

2'2

'2

2'2 .

.3

)1.(

1...3

ωω=

= (1.15)

9

Page 31: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Também pode dizer-se que o binário electromagnético é igual à potência electromagnética ou potência que passa do estator ao rotor dividida pela velocidade síncrona.

S

emem

PT

ω= (1.16)

Utilizando o circuito equivalente aproximado tipo L da figura 1.8, se deduz que a corrente do rotor referida ao estator é igual a:

( ) 2'

2'2

1

1'2

drds XXs

RR

VI

++

+

=(1.17)

Substituindo a equação 1.17 em 1.15 se obtém uma nova expressão do binário electromagnético:

( )

++

+

=2'

2'2

1

'2

21

.

..3

drds

Sem

XXs

RRs

RVT

ω (1.18)

Esta característica tem a forma que se mostra na figura 1.9. Primeiramente deve-se destacar que a característica define três modos de funcionamento na máquina:

Funcionamento como Motor: Ocorre quando o escorregamento é 0<s<1 e a velocidade é

0<ωR<ωS. A máquina recebe energia da rede eléctrica e a entrega à carga mecânica sendo o binário

eletromagnética do mesmo sentido que a velocidade.

Funcionamento como Gerador ou Paragem Regenerativa: Ocorre quando o

escorregamento s <0 e velocidade é ωR>ωS. A máquina recebe energia de um motor primário e

entrega a rede sendo o binário electromagnético de sentido contrario ao da velocidade.

Funcionamento em Paragem por Inversão ou Contracorrente: Ocorre quando o

escorregamento s>1 e a velocidade é ωR<0. A máquina recebe energia da parte mecânica e da rede

eléctrica simultaneamente, esta energia se dissipa no rotor da máquina. É utilizado para paragens muito rápidas ou inversão da rotação.

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Page 32: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 1.9: Característica do binário Electromagnético e do Escorregamento do Motor Assíncrono

É necessário destacar também que a máquina só pode funcionar de maneira estável apenas na zona mostrada na figura, uma vez que é estável, na zona em que o binário aumenta com o aumento de escorregamento. Isto se deve porque, quando a máquina opera como um motor e aumenta a carga mecânica no eixo, inicialmente se produz uma diminuição de velocidade e um aumento do escorregamento do motor. Se aumentar o escorregamento o binário diminui, a diferença entre o binário mecânico da carga e electromagnético é cada vez maior até que o motor parar. Tem que acontecer, para operar de forma estável, que ao diminuir a velocidade (aumento de escorregamento) aumente o binário electromagnético para atingir o equilíbrio mecânico. No funcionamento como gerador a zona instável dá lugar a um aumento progressivo da velocidade.Esta zona estável é caracterizada por valores muito pequenos de escorregamento, geralmente menor que 0,1. Como o escorregamento é muito pequeno, é possível fazer algumas aproximações na equação 1.18.

Primeiramente que: )( ''2

1

'2

drds XXs

ReR

s

R+>>>> . Com esta aproximação a equação 1.18

se converte em:

sR

VT

Sem .

.

.3'2

21

ω≈ (1.19)

Analisando esta equação conduz à conclusão de que, na zona de funcionamento estável do motor, o binário electromagnético é proporcional ao escorregamento e como, no estado estável o binário mecânico da carga é igual ao binário electromagnético, ao aumentar a carga imposta ao funcionamento da máquina como motor, aumenta o escorregamento e diminui a velocidade. No funcionamento como gerador, o binário eletromagnético é negativo, quer dizer que, se quiser aumentar a potência entregue à rede, deve-se, aumentar o binário eletromagnético e o valor

11

Page 33: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

modular do escorregamento, mas, como este escorregamento é negativo nesta zona, a velocidade deve aumentar.

Nas características se mostram alguns valores para os quais é importante para determinar a sua expressão. É de grande importância conhecer o binário máximo do motor, pois define sua capacidade de sobrecarga. Este é o valor para o qual a inclinação característica muda de positivo a negativo.

Como o binário electromagnético é proporcional à potência consumida na resistência s

R '2

de acordo com a equação 1.15, o binário máximo ocorre quando a energia consumida por esta resistência é máxima, o que acontece quando seu valor óhmico é igual a do resto da impedância do

circuito equivalente aproximada do tipo em L, ou seja, quando,

2'21

2'

)( drds XXRs

R ++=

e,

portanto o escorregamento para o binário máximo, trabalhando como motor é:

2'21

'2

)( drds

MXXR

Rs

++= (1.20)

Como:

2'1

21 )( drds XXR +<<

Então:

)( '1

2'

drdsM XX

Rs

+≈ (1.21)

Substituindo a equação 1.20 em 1.18 se obtém o valor do binário máximo como motor é:

])(.[.2

.32'

12

12

1

21

max

drdsS

mXXRR

VT

+++=

ω(1.22)

É aproximadamente:

).(.2

.3'

1

21

maxdrdsS XX

VT

+≈

ω(1.23)

Como gerador, o escorregamento é negativo e a expressão fica então da seguinte forma:

])(.[.2

.32'

12

12

1

21

max

drdsS

gXXRR

VT

++−=

ω(1.24)

12

Page 34: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Vesse que o binário máximo como motor é ligeiramente menor que o binário máximo como gerador.

Se dividir-se a equação 1.18 com a 1.24 se obtém:

[ ]2'2

'2

1

'22'2

11

max )()(

).()(.2

drds

drds

m

em

XXs

RR

s

RXXRR

T

T

+++

+++=

Utilizando esta expressão e fazendo drds XX

Ra

'1

+= , obtém-se:

[ ]

+++

++=

s

s

s

saa

aa

T

T

M

M

em

.1.2

1.2

2

2

max (1.25)

Em muitos casos, sobre tudo nas máquinas de potência média e grande, R1 que é quase

igual à resistência do estator, é muito pequena em comparação com a reactância total e o coeficiente “a” é desprezível, sendo a equação 1.25 de uma forma aproximada, conhecida como Fórmula de Kloss:

s

s

s

sT

T

M

M

em

+≈ 2

max (1.26)

CAPÍTULO II ARRANQUE E PARAGEM DE MOTORES ASSINCRONOS

2.2.1. INTRODUÇÃO

O processo que decorre desde que um motor eléctrico é ligado à rede, até atingir a sua velocidade e corrente estável de acordo ao mecanismo accionado, é chamado de Processo de Arranque e impõe ao motor e a seu sistema de alimentação e controlo determinados os requisitos gerais para qualquer motor e específicos dependendo do tipo de motor. Estes requisitos podem ser classificados em três tipos:

Os que impõe a rede eléctrica;

Os que impõe o próprio motor;

Os impostos pela carga mecânica ao mecanismo accionado acoplado ao eixo do motor.

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Page 35: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Quanto à rede eléctrica, ao arrancar o motor não deve provocar quedas de tensão importantes que afectam o funcionamento de outras cargas eléctricas existentes na rede nem provocar curto circuito ou outros fenómenos transitórios prejudiciais ao redor do motor.

Quanto ao motor em si, a corrente que circula no arranque não deve causar aquecimento excessivo que pode danificar o isolamento nem danificar algumas das suas partes que obrigam a uma reparação e manutenção muito frequente.

Quanto ao mecanismo accionado, por uma parte, no arranque o motor deve fornecer a este mecanismo o binário necessário para colocá-lo em movimento e alcançar um estado estável num tempo razoável de acordo com o processo de produção que faz parte do mecanismo, sobre tudo se este processo requer arranque frequente. Por outra parte, o binário de arranque não pode ser muito grande nem ter picos muito elevados que danificam o mecanismo accionado ou prejudicam o processo de produção, como por exemplo, num tear onde um pico de binário muito grande pode quebrar a fiação da máquina.

Como pode ser visto, os efeitos na rede tem a ver com a tensão, os problemas no motor com a corrente e os problemas no mecanismo accionado com o binário produzido.

No caso dos motores de corrente contínua, não se permite uma corrente de arranque superior que 1,5 a 2 vezes o valor nominal, porque uma maior corrente pode danificar o colector e as escovas e tirar o motor de serviço. Quanto à rede, estes motores funcionam com conversor estático que controlam e limitam automaticamente a corrente no motor e consequentemente na rede, produzindo também um arranque suave. Em este tipo de motores, que são arrancados com corrente de excitação máxima e constante, o binário produzido em por unidade é praticamente igual à corrente em por unidade, ou seja, que produz um binário de arranque de 1,5 a 2 vezes ao nominal, ao qual quase sempre é suficiente para pôr em movimento a carga. Se o motor de corrente contínua é do tipo em série, se produz, com a mesma corrente, um binário ainda maior. Por isso, este tipo de motores é utilizado em comboios eléctrico que têm que mover cargas de muita inércia que de outra forma faria o arranque demorar muito tempo com uma corrente elevada.

2.2. ARRANQUE DE MOTOR ASSÍNCRONO

Para analisar o processo de arranque do motor assíncrono é feita referência ao circuito equivalente do motor apresentado na figura 1.8 do Capítulo 1. No caso do arranque o escorregamento (s) é igual a 1 e a corrente de vazio (Io) é muito menor do que a referida corrente do rotor e o circuito equivalente é tal como se mostra na figura 2.1.

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Page 36: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 2.1: Circuito equivalente do Motor Assíncrono no Arranque.

De acordo a este circuito, a corrente de arranque é igual a:

221

2'21

1'21

)()( dd

arrXXRR

VIII

+++=== (2.1)

O parâmetro mais importante para determinar as características de funcionamento do circuito equivalente, tanto em estado estacionário como transitória é a resistência do rotor, neste caso, referida ao estator (R2

'). Como pode ser visto a partir da equação 2.1, uma resistência do rotor relativamente alta dá lugar a uma redução da corrente de arranque. Também do ponto de vista do binário de arranque é conveniente uma resistência do rotor não muito pequeno pois ao aumentar a resistência do rotor aumenta a componente de corrente do rotor em fase com a tensão que é a que produz o binário por ser a componente activa, embora diminuía seu valor absoluto. Isto é claramente visível na figura 2.2. Como pode ver-se, uma resistência pequena dá lugar a um ângulo de factor de potência do rotor grande e uma componente em fase Oa, enquanto que uma resistência mais alta diminui o ângulo de factor de potência aumentando a componente em fase, neste caso Ob, ainda que o valor absoluto da corrente diminuiu.

Figura 2.2: Diagramas Fasoriais do Motor para Diferentes Resistências do Rotor.

Ou seja que, do ponto de vista do arranque convém que o rotor tenha uma alta resistência, por isso não é conveniente do ponto de vista das características de funcionamento do motor já que aumenta as perdas no rotor e diminui o seu rendimento ou eficiência.

Se pretendermos uma solução de compromisso com uma resistência do rotor que não seja nem muito alta nem muito pequena, se obtém um motor com um rendimento relativamente baixo e um binário de arranque não muito alto. Portanto, a solução está em encontrar a forma de ter uma alta resistência no momento de arranque e uma baixa resistência em funcionamento normal depois de atingir o estado estacionário. Existem duas soluções gerais:

Utilizar um motor de indução de rotor bobinado inserindo resistências variáveis no rotor;

Utilizar um motor de indução de gaiola de esquilo com resistência do rotor variável de acordo com o escorregamento.

Motor de Rotor Bobinado com Resistência de Rotor Variável: O motor de rotor bobinado se caracteriza por ter um enrolamento trifásico no rotor idêntico ao do estator, mas ligado a três

15

Page 37: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

anéis deslizantes sobre os quais se encontram três escovas que permitem introduzir resistências externas. O esquema eléctrico é mostrado na figura 2.3. Para arrancar o motor se liga ao disjuntor C1 com C2, C3 e C4 aberta. Isso faz com que o motor arranca com uma resistência relactivamente alta no rotor que limita a corrente e fornece um bom binário de arranque. Passando um tempo o motor adquirir certa velocidade, fecha C2 com o qual a resistência diminui e a velocidade aumenta. Passado uma vez mais o tempo se fecha C3 e depois do mesmo processo se fecha C4 com o qual o motor entra em funcionamento estacionário com uma baixa resistência no rotor já que está sem resistências externas. O processo é gradual e por passos para evitar grandes picos de corrente.

Figura 2.3: Esquema do Circuito de Arranque do Motor de Rotor Bobinado.

O processo de variação das características mecânicas do motor é mostrado na figura 2.4. O binário máximo permanece constante já que, de acordo com as equações 1.22, 1.23 e 1.24 não depende da resistência do rotor. O que depende da resistência do rotor é o escorregamento a qual ocorre este binário máximo.

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Page 38: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 2.4: Variação das Características Mecânicas do Esquema da figura 2.1

Do ponto de vista técnico, este método é muito eficaz para limitar a corrente de arranque e aumentar o binário de arranque, mas tem a desvantagem de que necessita de utilizar um motor de rotor bobinado mais caro e a manutenção necessária é a mesma que uma de gaiola de esquilo. Por causa disso usa-se somente como mecanismo de arranque muito crítico e complicado.

Motor de Gaiola de Esquilo com Resistência do Rotor em Função do Escorregamento: No caso do rotor de gaiola, os condutores do rotor são barras profundas ou estão compostos por dois tipos de barras como se mostra na figura 2.5. Isto se faz para que os parâmetros do rotor não sejam iguais em condições normais de funcionamento quando o escorregamento é menor do que no arranque ou seja, quando o escorregamento é igual a 1. Para isto se aproveita o chamado Efeito Pelicular que faz com que, com corrente contínua ou alternada de frequência muito baixa, a corrente se distribua uniformemente em todo condutor, mas quando se vai aumentando a frequência, a densidade da corrente é maior na zona acima e isto é equivalente a uma diminuição da área efectiva e a um aumento da resistência. Outras vezes o rotor possui duas barras:

De elevada resistência que atua no arranque

De baixa resistência que actua em condições normal de funcionamento.

Com isto se consegue que no arranque

(escorregamento igual a 1) a resistência seja alta e aumente o binário de arranque limitando-se a corrente de arranque em funcionamento normal e estacionário (escorregamento muito pequeno) a resistência seja baixo permitindo um funcionamento eficiente do motor. Deve assinalar-se também que com a reactância de dispersão do rotor acontece o contrário é menor no arranque e maior em condições normais.

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Page 39: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 2.5: Barras do Rotor no Motor Assíncrono de Gaiola de Esquilo.

Aqui também é importante assinalar que entre os dados do catálogo do motor há duas que se referem ao arranque que são:

Binário máximo Tmax / Tn oscila entre 1,5 e 2,8;

Corrente de arranque em por unidade Iarr / In oscila entre 5,5 e 8.

Deve assinalar-se que existem motores que são construídos com um motor de alta resistência, tanto em arranque como em funcionamento normais, são os chamados de Alto Binário de Arranque e Alto Escorregamento cuja eficiência em funcionamento normal é baixa. Estes motores são usados em aplicações muito específicas, tais como as gruas de indústria metalúrgica que não trabalham de forma contínua (não muito interessado na eficiência ou rendimento) e exigem elevados binário de arranque, devido às condições difíceis no arranque.

Como se disse anteriormente, a característica mecânica de um motor de gaiola de esquilo depende, principalmente, e mais que de qualquer outra coisa, da construção do seu rotor, ou seja do valor da resistência da gaiola e sua variação com o escorregamento.

2.2.1. Métodos de Arranque de Motor Assíncrono Gaiola de Esquilo

Em geral existem três métodos de Arranque de motor de indução de gaiola esquilo:

Método de Arranque Directo a Rede;

Método de Arranque a Tensão Reduzida;

Método de Arranque a Frequência Variável.

Método de Arranque Directo: No método de arranque directo à rede o motor é ligado diretamente à rede no momento de arranque sem qualquer dispositivo intermediário. É o que leva menos inversão inicial e, portanto, deve ser realizada quando não se justifiquem os métodos de tensão reduzida. É usado principalmente em motores de pequeno porte cujo arranque não provoca uma queda de tensão apreciável na rede. Os valores de binário de arranque e corrente de arranque são os que veem no catálogo do motor.

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Page 40: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Arranque a Tensão Reduzida: Quando se trata de um motor relativamente grande em relação à capacidade da subestação que alimenta o Centro de Controlo de Motores donde se encontra localizado, o arranque directo geralmente provoca uma queda de tensão significativa na rede e é necessário reduzir esta corrente de arranque. Tratando-se de um motor que move uma carga proporcional à velocidade, tais como, por exemplo as bombas, compressores centrífugos e ventiladores se reduz esta corrente de arranque reduzindo a tensão aplicada no motor.

Existem três métodos de arranque a tensão reduzida:

Arranque por Autotransformador;

Arranque Estrela-Triangulo;

Arranque suave com Conversor Estático (Soft Starter).

Se o motor movimenta uma carga de binário constante o que requer elevado binário no arranque, estes métodos não são aplicáveis, pois se na equação 1.18 igualarmos a 1 o valor do escorregamento, veremos que o binário de arranque é proporcional ao quadrado da tensão, pelo qual, se por exemplo, se diminuir a tensão à metade, a corrente de arranque é a metade agora, mas o binário de arranque é a quarta parte.

Na figura 2.6 mostra-se o esquema de arranque por autotransformador. Ao arrancar o motor, ligando-o à rede trifásica, se fecham os contactos 1 e 3 deixando o autotransformador em estrela e a tensão aplicada ao motor se reduz do valor Vn a Vred. Portanto, a relacção de transformação do autotransformador é:

red

nred V

Vk = (2.2)

Ao aproximar-se a velocidade estacionária do motor, se abrem os contactos 1 e 3 e posteriormente se fecha o contacto 2 para deixar o motor ligado à tensão nominal.

Figura 2.6: Esquema de Arranque por Auto Transformador.

19

Page 41: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Supõe-se que a corrente de arranque a tensão nominal é Iarrn e a corrente de arranque tensão reduzida é Iarred. É importante ressaltar que a relação entre essas duas correntes é o Factor de Redução de Corrente de Arranque que é o que nos interessa calcular. No arranque, a relação entre a corrente da rede e a corrente do motor é:

redmot

arred

kI

I 1= (2.3)

Também é verdade que a redução da corrente do motor é proporcional à redução da tensão, ou seja:

red

arrnmot k

II = (2.4)

Combinando as equações 2.3 e 2.4 se obtém o fator de redução de corrente para este método:

2

1

redarrn

arredrc kI

IK == (2.5)

Uma vez que o binário é proporcional ao quadrado da tensão, a redução do binário é também igual a:

2

1

redrb k

K = (2.6)

Figura 2.7: Arranque Estrela-Triângulo.

Na figura 2.7 se mostram os enrolamentos do motor no arranque estrela-triângulo. A ligação à rede é feita através dos contactos 1 que permanecem sempre fechados. O arranque se faz com os enrolamentos ligado em estrela com os contactos 3 fechados e os 2 abertos. Ao aproximar-se à condição estacionária de funcionamento se abrem os contactos 3 e se fecham os 2 funcionando o motor em triângulo. O motor deve estar projectado para funcionar em triângulo em estado estacionário. Como é evidente, o factor de redução da tensão aqui é 3 e então, aplicando a equação 2.5 e 2.6 a corrente e o binário é reduzido a 1/3.

20

Page 42: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 2.8: Regulador de Tensão Estático Utilizado nos Soft Starters.

Os arrancadores Suaves ou Soft Starters são dispositivos que permitem variar a tensão de forma suave e continua evitando assim os elevados picos de corrente. Utilizam um conversor estático de tensão como o mostrado na figura 2.8. O ângulo de disparo dos tirístores vai diminuindo suavemente de acordo ao ajuste feito no controlo do equipamento. Quando se chega à tensão nominal, os três tirístores em antiparalelo se curto-circuitam como se pode ver na figura 2.8. Na figura 2.9 mostra-se uma comparação entre o comportamento da corrente nos três métodos de arranque gerais analisados até agora. Como se pode ver, este método tem a vantagem de permitir uma limitação de corrente muito mais elevada e evita os elevados picos de corrente. A desvantagem é que demora mais tempo ao arranca, mas geralmente acontece que este tipo de arrancadores é utilizado em bombas e compressores centrífugos que não arrancam mais de três vezes ao dia para o qual a demora em alcançar o estado estacionário não constitui um problema.

Figura 2.9: Comparação das Correntes no Arranque com Diferentes Métodos.

Com este método pode programar-se uma aceleração em rampa programando uma rampa de variação da tensão. Esta variação é mostrada na figura 2.10, donde se vê que este dispositivo também permite uma paragem suave mediante uma desaceleração em rampa.

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Page 43: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 2.10: Variação da Tensão Aplicada no Soft Starter Programado com Rampas de Aceleração e Desaceleração.

Outra opção importante é a Limitação de Corrente Fixa na qual se fixa um valor de corrente que é mantida pelo sistema de controlo automático do arrancador. Geralmente se limita a corrente a quatro vezes a corrente nominal. Uma limitação maior geralmente não é possível, porque o binário produzido não é suficiente para mover a carga. Esta situação é mostrada no diagrama da figura 2.11.

Figura 2.11: Variação da Corrente com Ajuste de Limitação de Corrente Fixa.

Na figura 2.12 mostra-se o aspecto externo de um Arrancador Suave com seus componentes e ajustes. Deve assinalar-se que este equipamento também contém as protecções do motor tanto de sobre corrente como de sobre carga, falta de fase, sequência invertida e defeito à terra.

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Page 44: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 2.12: Vista Externa de um Arrancador Suave com Seus Ajustes.

Arranque a Frequência Variável: Quando o motor eléctrico tem um controlo de velocidade por variação de frequência é possível arranca-lo pelo método mais eficaz do ponto de vista técnico e que é aplicável a qualquer tipo de carga mecânica ou mecanismo accionado que é a variação suave da frequência aumentando simultaneamente a tensão com a frequência.

Programa-se o arranque do motor de tal maneira que a frequência e a tensão vão aumentando progressivamente (em forma de rampa ou em S) até alcançar a velocidade desejada, permite também um limite de escorregamento, que faz com que em todo instante se trabalhe na zona estável da característica mecânica do motor. Nesta zona o factor de potência do rotor é alto e se consegue um determinado valor de binário, com uma corrente relativamente baixa. Isto não só provoca a redução da corrente de arranque, mas também um "achatamento" dos picos de binário, que protege o mecanismo accionado.

A figura 2.13 apresenta a variação da frequência de um arranque em rampa e um arranque em S. São usados com o objetivo de tornar o arranque mais suave. Os variadores de velocidade modernos permitem o ajuste à vontade da inclinação da rampa de arranque, parada ou dos parâmetros do arranque em S. Este último é utilizado em cargas críticas que podem ser danificadas com picos de binário elevado, tais como os utilizados na indústria têxtil e outros.

Figura 2.13: A Variação da Frequência Inicial e Começar Rampa S.

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Page 45: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Como é sabida, a equação dinâmica do accionamento é:

cM

em Tdt

dJT += ω

(2.7)

Onde:

Tem – Binário electromagnético produzido pelo motor; Tc – Binário mecânico de oposição do mecanismo accionado; J – Inércia total do motor e a carga.

Por outro lado, a velocidade do rotor é igual a:

sM 11 ωωω −= (2.8)

Onde:

ω1 – Velocidade síncrona;

s1ω – Escorregamento absoluto ou frequência de escorregamento.

Substituindo a equação (2.8) em (2.7) e resolvendo o binário dinâmico se obtém:

dt

dJ

dt

dJTTT s

cemdin11 ωω −=−= (2.9)

O binário dinâmico tem dois componentes:

Uma proporcional a velocidade de troca da frequência, ou seja, a inclinação da rampa de aceleração (este valor é selecionável pelo usuário nos variadores de velocidade industrial);

Outra proporcional à variação do escorregamento.

Este último valor é, geralmente, quase zero já que o escorregamento geralmente mantem-se quase constante e igual ao nominal. Isto quer dizer que, quanto maior o declive da rampa de aceleração, maior será o binário dinâmico e mais rápido é o arranque.

Deve assinalar-se que, embora este tipo de arranque é melhor do ponto de vista técnico, instalar um variador de velocidade somente para o arranque do motor não se justifica economicamente.

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Page 46: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

2.3. PARAGEM DE MOTOR ASSÍNCRONO

Denomina-se paragem de um motor ou accionamento eléctrico ao processo durante o qual a velocidade do motor diminui quando sujeita a uma desaceleração ou aceleração negativa. Este processo pode ou não ser intencional. Se o motor estiver desligado da rede, ou existe um comando de desaceleração por parte do operador, a paragem é intencional, mas se for problema de proteção que desliga o motor da rede ou simplesmente aumenta a carga e o motor desacelera a paragem não é intencional.

dt

dJTTT M

dincem

ω==− (2.10)

Colocando a equação 2.7 sob a forma mostrada na equação 2.10 veremos que para ocorrer uma aceleração negativa é necessário um binário dinâmico negativo e para isso o binário electromagnético Tem deve ser menor do que o binário mecânica Tc da carga.

Se desligarmos o motor de sua fonte de alimentação (que pode ser a rede ou um conversor estático), a corrente torna-se zero ou igual ao binário electromagnético e ao processo de desaceleração ou paragem é dirigida exclusivamente pela inércia e características mecânicas resistivas da carga ou mecanismo accionado. Este tipo de paragem é conhecido como Paragem Livre.

Em ocasiões, para que solicita o processo de produção onde se encontra o motor ou por razões de segurança, é necessário parar ou desacelerar rapidamente o motor e não se pode permitir a paragem livre. Neste caso deve ser negativo o binário electromagnética Tem ou mais exatamente o binário electromagnético deve ter um sentido oposto ao da velocidade. Isto é chamado de Paragem Forçada e será a que se tratará de agora em diante com o nome genérico de Paragem.

2.3.1. Tipos de Paragem de Motor Assíncrono

Existem três tipos de paragem nos motores assíncronos em geral, nos accionamentos e motores eléctricos:

Paragem Regenerativa;

Paragem Dinâmica;

Paragem Por Inversão ou Contracorrente.

Paragem Regenerativa: A paragem regenerativa se caracteriza porque a diminuição da energia cinética que se produz ao diminuir a velocidade se reintegre à rede (retirado por supostas perdas de potência no motor e seu esquema de alimentação) e é recuperada.

Este é o caso das cargas ou mecanismos submetidos à acção da gravidade como as gruas, elevadores e veículos eléctricos. Por exemplo, em um elevador que baixa com muitas pessoas na cabine, a cabine pesa mais do que o contrapeso e se o motor não está ligado a sua alimentação a

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Page 47: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

cabine se acelera rapidamente e provoca um acidente. Se estiver ligado à rede de alimentação uma parte da energia cinética é devolvida à rede permitindo que a velocidade se estabilize.

Este é o caso dos motores assíncronos alimentados por variadores de velocidade com conversores do tipo regenerativo ou Back to Back, o circuito mostrado na figura 2.14. Como se pode ver, consistem de dois conversores um lado do motor e outro do lado da rede. Normalmente, se a máquina funciona como um motor, o conversor do seu lado funciona como inversor e o do lado da rede como rectificador, ambos controlados. Quando se trabalha em paragem regenerativa, a máquina funciona como gerador, o conversor do seu lado como um rectificador e do lado da rede, como inversor invertendo-se o fluxo de energia que agora vai da máquina aos conversores e se entrega à rede.

Figura 2.14: Esquema do Conversor Back to Back

Para explicar como funciona a paragem regenerativa neste caso se faz referência à figura 2.15 onde se mostra duas características mecânicas do motor no primeiro e segundo quadrantes:

A primeira característica é para um determinado valor de frequência e a tensão f1 e V1.

A segunda característica para outros valores de frequência e tensão V2 e f2 mais baixas, ou seja, f2 < f1 e V2 < V1.

Primeiro se supõe que se move uma carga do tipo passiva, ou seja, cujo binário mecânico Tc

sempre se opõe ao sentido de rotação. No instante inicial, a máquina funciona como motor a uma

velocidade ωM1 na primeira caracteristica, o conversor do lado do motor como inversor e conversor

do lado da rede como retificado. A energia flui da rede ao motor. Se agora se dá um comando de diminuição de frequência tal que se passa a funcionar na segunda característica, a velocidade não pode mudar instantaneamente com o qual se passa produzir o binário eletromagnético T1 positivo e no sentido da velocidade o binário eletromagnética T2 negativo e, portanto, contrário à velocidade. Como agora está a funcionar no segundo quadrante, a máquina funciona como gerador, o conversor do seu lado como retificador e do lado da rede como inversor e a energia flui transitoriamente da máquina aos conversores para a rede. Isso faz com que o motor pará rapidamente, invertendo-se o sentido do binário electromagnético e, se for uma carga de binário constante, passa a funcionar novamente como motor com o mesmo binário anterior T1 mas agora a uma velocidade estacionária

ωM2 mais baixa. Com cargas passivas funciona como gerador da máquina somente pode se produzir

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Page 48: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

de forma transitória dando origem, graças a paragem regenerativa a uma diminuição da velocidade mais rápida.

Se funcionar com uma carga activa tal como um elevador, este pode está a funcionar

subindo o elevador cheio com o binário T1 e a velocidade ωM1 e se a cabine do elevador se esvaziar

o contrapeso do elevador pesa mais do que a cabine, o binário mecânico se inverte e o eletromagnético tem que ser também sendo agora T2, mas a velocidade seria agora maior ou igual a

ωM3. Se a frequência for diminuída de f1 para f2 a velocidade diminui ωM3. Neste caso, a máquina

funciona como gerador em estado estável e se considera como paragem desde o ponto de vista que está operação como gerador impede a aceleração descontrolada da cabine do elevador ao subir.

Figura 2.15: Características Mecânicas do Motor Assíncrono com paragem Regenerativa

Paragem Dinâmica: A paragem dinâmica consiste em pôr a funcionar a máquina como gerador invertendo o sendo do binário eletromagnético que se opõe agora a velocidade, levando rapidamente à velocidade a zero. A energia cinética que foi armazenada no rotor em suas massas rotativas se dissipada na resistência interna do motor. Nos motores assíncronos este tipo de paragem se realiza desligando o motor da rede e ligando a uma fonte de corrente continua, conforme é mostrado na figura 2.16. Em funcionamento normal K1 estão fechados e os KF abertos. Para parar se abri K1 desligando o motor, da rede e se fecha KF com o qual se alimentam com corrente continua duas fases do estator. A resistência de paragem limita a corrente continua aplicada.

Figura 2.16: Esquema de Paragem Dinâmica de um Motor Assíncrono.

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Page 49: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Ao aplicar corrente continua se cria um fluxo estacionário no entreferro da máquina. Como ele está girando, os condutores do rotor cortam este fluxo. Induz-se uma fem nas mesmas e circula uma corrente que ao relaccionar com o fluxo produz o binário electromagnético necessário para paragem.

Se a velocidade do rotor é regulada com um variador de velocidade variável, a paragem dinâmica se realiza inserindo uma resistência de paragem Rfr tal como se mostra no circuito da figura 2.17. Para parar se retiram os pulsos de travão do inversor trifásico e um pulso é enviado para o transístor ou IGBT de paragem em série com a resistência isso faz com que a corrente contínua circula da forma como é apresentada na figura. A paragem pode ser controlada, variando o tempo de ligar e desligar o transístor de paragem com qual se varia o valor equivalente da resistência de paragem.

Figura 2.17: Esquema de Paragem Dinâmica com o Motor Alimentado por um Conversor Estático.

Neste tipo de sistemas com conversores é possível também a paragem com corrente contínua com um circuito, como o que é mostrado na figura 2.17.

Figura 2.18: Paragem por Aplicação de Correntes Continua com o Motor Alimentado por Conversor Estático.

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Page 50: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Paragem por Inversão ou Contracorrente: A paragem por inversão ou contracorrente se produz quando se inverte a sequência das tensões aplicadas ao motor. Isto faz com que, imediatamente, o campo magnético rotativo inverte seu sentido e se opõe à velocidade criando um binário de paragem muito alto que diminui muito rapidamente a velocidade do motor. Se não for desligado da rede ao passar a velocidade por zero com um interruptor centrífugo ou sensível à rotação, o motor arranca no sentido oposto.

A figura 2.19 apresenta o esquema usado para este tipo de paragem. Se supõe que o motor funciona no estado estacionário com os contactos K1 fechados e K2 abertos e supõe-se girar em sentido horário. Para aplicar a paragem se abre K1 e imediatamente depois se fecha K2 invertendo-se desta forma a sequência das tensões aplicadas.

Neste tipo de paragem tanto a energia eléctrica de entrada como a energia mecânica cinética que vem através do eixo se dissipa no rotor por isso, no caso dos motores de gaiola de esquilo não deve ser aplicado frequentemente e nos motores de rotor bobinado se aplicada com toda a resistência externa incluída no rotor para limitar a corrente.

Figura 2.19: Esquema de paragem por Inverso

29

Page 51: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

CAPÍTULO III MODELO MATEMATICO DO MOTOR ASSÍNCRONO

3.1. INTRODUÇÃO

No capítulo 1, foi descrito as características construtivas e o princípio de funcionamento do motor assíncrono trifásico e utilizou-se como modelo o denominado Circuito Equivalente. Este modelo só é aplicável apenas para analisar o comportamento do motor no estado estacionário. No entanto, neste capítulo se vai analisar o processo de arranque e paragem que são os processos dinâmicos ou transitórios, nos quais não se pode aplicar o modelo de circuito equivalente, para a determinação das características do motor no estado estacionário.

Será necessário, portanto, utilizar um modelo dinâmico que tenha em conta as variações transitórias tanto das correntes, como da velocidade e o binário. Este modelo permitirá uma analisa do comportamento do motor no arranque e paragem a partir de uma linguagem de simulação apropriada como é o SIMULINK do MATLAB. Deve notar-se que este software possui na ferramenta SimPowerSystem um modelo do motor assíncrono que não consideramos apropriados pois considera constantes os parâmetros do rotor e como já se explicou, precisamente a variação destes parâmetros com o escorregamento desempenha um papel importante no processo de arranque e paragem. Portanto, o modelo utilizado para esta tese irá considerar esta variação dos parâmetros do rotor com o deslizamento.

3.2. EQUAÇÕES DO MODELO

A figura 3.1 abaixo é uma repetição da figura 1.1 do capítulo 1 sobre o qual será baseada a escritura das equações. Como é conhecido, e é mostrado na figura, este tipo de motor pode ser considerado, como composto por três bobinas no estator, localizados a 120o graus eléctricos entre si e três enrolamentos do rotor também localizado a 120o graus eléctricos. Obviamente, os enrolamentos do rotor estão em movimento em relação ao estator.

Figura 3.1: Corte Transversal Esquemático do Motor Assíncrono

30

Page 52: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Na abordagem deste modelo serão consideradas as seguintes suposições iniciais:

O campo magnético do entreferro distribui-se senoidalmente.

Analisa-se uma máquina de 2 polos, embora os resultados são aplicáveis a uma de P polos.

Os enrolamentos do estator e do rotor são simétricas e as três fases de cada uma deles estão situados a 120º grau eléctrico no espaço.

Despreza-se a saturação e a histerese.

As perdas de aço no estator e no rotor são desprezadas.

Os parâmetros do rotor supõem-se referidos ao estator.

Cada um dos seis enrolamentos da máquina (três fases do estator e três fases do rotor) nos permite escrever a equação fundamental da tensão (u) dos circuitos das máquinas eléctricas:

dt

diRu

ϕ+= . (3.1)

Onde:

R – Resistência de cada enrolamento;I – Corrente que circula por intermédio dele;Φ – Fluxo do enrolamento ligado correspondente.

Inicialmente deve se determinar as equações do fluxo concatenado, que são produzidas em cada enrolamento ou fase pela sua própria corrente e pela corrente dos outros enrolamentos.

As concatenações do fluxo dos enrolamentos ou fases do estator são:

cAcbAbaAaCACBABAAAA iLiLiLiLiLiL ).().().(... θθθϕ +++++= (3.2a)

cBcbBbaBaCBCBBBABAB iLiLiLiLiLiL ).().().(... θθθϕ +++++= (3.2b)

cCcbCbaCaCCCBCBACAC iLiLiLiLiLiL ).().().(... θθθϕ +++++= (3.2c)

E as do rotor:

cacbabaaaCaCBaBAaAa iLiLiLiLiLiL ...).().().( +++++= θθθϕ (3.3a)

cbcbbbabaCbCBbBAbAb iLiLiLiLiLiL ...).().().( +++++= θθθϕ (3.3b)

cccbcbacaCcCBcBAcAc iLiLiLiLiLiL ...).().().( +++++= θθθϕ (3.3c)

Onde:

CCBBAA LeLL ,, – São autoindutâncias ou indutâncias próprias, que são

constantes é igual a:

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Page 53: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

L L L L L LAA BB CC fs m sm= = = + = (3.4a)

O mesmo pode ser dito para indutâncias próprias do rotor:

L L L L L Laa bb cc fr m rm= = = + = (3.4b)

Onde:

fyfs LeL – São as indutâncias de filtração do estator e o rotor;

mL – Indutância magnetizante correspondente ao fluxo mutua que atravessa ambos

os enrolamentos. Devido à simetria magnética existente tanto no estator como no rotor, estas indutâncias são constantes e não dependem da posição de este último.

Pela mesma causa, as indutâncias mútuas entre os três enrolamentos do estator também são

iguais e independentes da posição:

2)

3

2(cos m

mCBBCCAACBAAB

LLLLLLLL −======= π

(3.5a)

O mesmo acontece com o rotor:

2)

3

2(cos. m

mcbbccaacbaab

LLLLLLLL −======= π

(3.5b)

A indutância mutua entre os enrolamentos do estator e os do rotor dependem entre si da posição e são iguais a:

)(cos. θmCcBbAa LLLL === (3.6a)

)3

2(cos.

πθ +=== mCaBcAb LLLL (3.6b)

)3

2(cos.

πθ −=== mCbBaAc LLLL (3.6c)

Substituindo nas equações (1.10), (1.9) e (1.8) em (1.6) e (1.7) obtém-se:

)]3

2(cos.)

3

2(cos.)(cos..[.

πθπθθϕ −++++= cbamASA iiiLiL (3.7a)

)]3

2(cos.)(cos.)

3

2(cos..[.

πθθπθϕ +++−+= cbamBSB iiiLiL (3.7b)

)](cos.)3

2(cos.)

3

2(cos..[. θπθπθϕ cbamCSC iiiLiL +−+++= (3.7c)

aRCBAma iLiiiL .)]3

2(cos.)

3

2(cos.)(cos..[ +++−+= πθπθθϕ (3.8a)

32

Page 54: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

bRCBAmb iLiiiL .)]3

2(cos.)(cos.)

3

2(cos..[ +−+++= πθθπθϕ (3.8b)

cRCBAmc iLiiiL .)](cos.)3

2(cos.)

3

2(cos..[ ++++−= θπθπθϕ (3.8c)

Nestas equações:

L L LS fs M= + (3.9a)

L L LR fr M= + (3.9b)

L LM m= 3

2. (3.9c)

Estas indutâncias são as mesmas que aparecem no circuito equivalente do motor.

Como se pode ver, as equações das ligações do fluxo são extremamente complicadas,

principalmente porque são funções não lineares da posição do rotor θ E ao aplicar a equação da

tensão 1, onde aparece a sua derivada a complicação torna-se ainda maior. Então, explica-se os passos seguintes para simplificar essas equações e torná-las mais fáceis de gerenciar.

Devido ao carácter trifásico deste motor, tanto o rotor como o estator, é um primeiro passo para simplificar as expressões das equações, desenvolver um modelo baseado no chamado Vector Espacial Trifásico na qual considera uma única entidade matemática das três fases. A sua definição para o caso das correntes é a seguinte:

)...(3

2 2CBA iaiaii

++= (3.10)

Onde:

iA, iB e iC – São as correntes para as três fases e definem também os três vectores unitários.

Para a fase A: oje 01 =

Para a fase B: ojea 120=

Para a fase C: ojea 1202 −=

A representação gráfica do vector se mostra na figura 3.2.

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Page 55: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 3.2: Vector Espacial Trifásico.

Como se pode ver, a projecção do vector em cada um dos eixos das três fases é o valor instantâneo da corrente através dessa fase.

Este vector não considera a componente de sequência zero, que pode ser definido como:

).(3

1CBAo iiii ++= (3.11)

Se der diferente de zero esta componente, seria subtraído a cada fase do estator.

A partir de agora será sempre o motor conectado em estrela sem neutro acessível, o que permite assegurar que acorrente de sequência zero seja igual a zero.

Em seguida, se aplicará esse conceito vectorial às equações de concatenações de fluxo deduzidas acima, mas aplicando antes as equações de Euler:

2

)(cosθθ

θjj ee −+= ;

2

..)

3

2(cos

2 θθπθjj eaea −+=+

;

2

..)

3

2(cos

2 θθπθjj eaea −+=−

.

e que:

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Page 56: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

1. 2 =aa

;

aaa =22 ;

01 2 =++ aa

Substituindo estas expressões em 7 e 8 obtém-se:

ϕ θA S A M

jaL i L e i= +. . . (3.12a)

bj

MBSB iaeLiL .... 2θϕ += (3.12b)

cj

MCSC iaeLiL .... θϕ += (3.12c)

ϕ θa M

jA R aL e i L i= +−. . . (3.13a)

bRBj

Mb iLiaeL .... 2 += − θϕ (3.13b)

cRCj

Mc iLiaeL .... += − θϕ (3.13c)

Multiplicando a equação 3.12a e 3.13a por 3

2; a equação 3.12b e 3.13b por a

3

2; a

equação 3.12c e 3.13c por 2

3

2a

, e aplicando a definição do vector espacial trifásico, obtém-se:

θϕ jRMSSS eiLiL ...

+= (3.14a)

RRj

SMR iLeiL... += − θϕ (3.14b)

Estes são os vectores da concatenação do fluxo do estator e do rotor.

Os vectores das concatenações do fluxo do estator e rotor dependem da posição θ. Isso cria grandes dificuldades na formulação e soluções das equações do motor. A razão pela qual isto acontece é que os vectores do estator são definidas num sistema de referência ou coordenadas fixas no estator e no rotor. Para resolvê-lo deve-se referir a todos os vetores a um sistema de referência comum. Geralmente utilizam-se os três sistemas de referência para a análise dessas máquinas:

O que esta fixo no estator;

O que esta fixo no rotor;

O que gira a uma velocidade síncrona.

O mais importante para uma máquina assíncrona trifásica é o primeiro e o terceiro e será as que se fará referência. Para analisar como se pode referir um vector de um sistema de referência a outro, se utilizará a figura 3.3.

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Page 57: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 3.3: Vector Espacial Trifásico em Sistemas de Coordenadas Diferentes.

Seja )(Si o vector em coordenadas do estator, )(Ri

em coordenadas do rotor e )(ki

em

coordenadas síncronas. Por exemplo, se o vector está em coordenadas do estator forma um ânguloψ com a referência, enquanto se referir a coordenadas síncronas irá formar um ângulo ( )ψ θ− k

onde θ ωk t= 1. . Portanto é evidente, que se cumpre as seguintes relações:

k

k

jkS

jSk

jRS

jSR

eii

eii

eii

eii

θ

θ

θ

θ

.

.

.

.

)()(

)()(

)()(

)()(

=

=

==

(3.15)

De acordo com esta equação se procederá referir as equações 3.14 das coordenadas do estator.

Aplicando a segunda equação 3.15 em (3.14a) obtém-se:

)()()( .. SRM

SSS

SS iLiL

+=ϕ (3.16a)

Multiplicando (3.14b) por e jθ e aplicando a primeira equação de (3.15) obtém-se:

)()()( .. SRR

SsM

SR iLiL

+=ϕ (3.16b)

Como se pode ver, as concatenações do fluxo não dependem da posição do rotor.

Para referir as concatenações do fluxo a um sistema que gira a velocidade sincrónica aplica-se a terceira equação (3.17) a (3.18a) e (3.18b) e obtém-se:

)()()(

)()()(

..

..k

RRk

SMk

R

kRM

kSS

kS

iLiL

iLiL

+=

+=

ϕϕ

(3.17)

36

Page 58: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Em seguida reduzem-se as equações vectoriais de tensão, tanto em coordenadas do estator como em coordenadas sincrónicas.

Se for aplicado a equação (1) para cada uma das fases do enrolamento do estator é obtém-se:

u R id

dt

u R id

dt

u R id

dt

A S AA

B S BB

C S CC

= +

= +

= +

.

.

.

ϕ

ϕ

ϕ

(3.18)

Onde:

RS – Resistência do enrolamento do estator por fase.

Multiplicando as equações (3.18) por 2/3, 2/3 e 2/3, e aplicando o conceito de vector espacial trifásico, obtém-se:

dt

dRiu

SS

SS

SS

S

)()()( .

ϕ += (3.19)

Seguindo o procedimento semelhante ao do rotor obtêm-se:

dt

dRiu

RR

RR

RR

R

)()()( .

ϕ += (3.20)

Onde:

RR – Resistência do enrolamento do estator por fase.

Primeiramente estas equações serão levadas a um sistema de referencia fixo no estator. A equação 3.19 já está assim trabalharemos com a equação 3.20. Fazendo primeiramente que

θϕϕ jSR

RR e−= .)()(

sendo a sua derivada:

)..(.. )()()(

)(

dt

dje

dt

de

dt

d jSR

SRj

RR θϕ

ϕϕ θθ −+= −−

(3.21)

Multiplicando a equação 3.20 por e jθ e aplicando a equação 1.2 do capítulo 1 tanto para as

tensões como para as correntes, obtém-se:

)()(

)()( .. SRR

SRS

RRS

R jdt

diRu ϕωϕ

−+= (3.22)

É interessante analisar os termos desta expressão:

O primeiro é a diminuição na resistência;

37

Page 59: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

O segundo é uma fem de transformação;

O terceiro é uma fem que depende das concatenações do fluxo do rotor e da velocidade, é por tanto, uma fem de velocidade, variável de acoplamento eletromecânica.

Portanto as equações vectórias da máquina em coordenadas do estactor seriam as equações 3.19 e 3.22. Cada vector tem uma componente real sobre o eixo denominado α e outra imaginaria ao eixo denominado β. Portanto, decompondo a parte real e a parte imaginária, estas equações obtêm-se:

Para o estator:

dt

diRu

dt

diRu

ssSs

ssSs

βββ

ααα

ϕ

ϕ

+=

+=

.

.

(3.23)

Para o rotor:

Considerando que a tensão aplicada é igual zero por ser uma máquina de rotor em curto circuito teremos que:

αβ

β

βα

α

ϕωϕ

ϕωϕ

RRR

RR

RRR

RR

dt

diR

dt

diR

..0

..0

−+=

++=(3.24)

Decompondo a equação16 na parte real e imaginária teremos que:

βββ

ααα

βββ

ααα

ϕϕϕϕ

RRSMR

RRSMR

RMSSs

RMsSs

iLiL

iLiL

iLiL

iLiL

..

..

..

..

+=+=

+=+=

Matricialmente obtém-se que:

38

Page 60: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

=

β

α

β

α

β

α

β

α

ϕϕ

ϕϕ

R

R

S

S

RM

RM

MS

MS

R

R

S

S

i

i

i

i

LL

LL

LL

LL

.

00

00

00

00

(3.25)

E achando a transformada inversa:

39

Page 61: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

=

β

α

β

α

σσ

σσ

σσ

σσ

β

α

β

α

ϕϕ

ϕϕ

R

R

s

s

SM

SM

MR

MR

R

R

s

s

LL

LL

LL

LL

i

i

i

i

.

10

10

01

01

10

10

01

01

Onde:

..

;.

;.

2

2

2

M

MRSM

R

MRSR

S

MRS

S

L

LLLL

L

LLLL

L

LLLL

−=

−=

−=

σ

σ

σ

(3.27)

Substituindo estas expressões da corrente em 3.23 e 3.24 e considerando que a velocidade

real do rotor em uma maquina de P polo é rm Pωω 2= quando quatro equações diferenciais com

40

Page 62: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

quatro incógnitas eléctricas que são as das concatenações do fluxo do estator e as do rotor e uma incógnita mecânica que é a velocidade do rotor:

αβ

βσ

βσ

βα

ασ

ασ

ββ

σβ

σβ

αα

σα

σα

ϕωϕ

ϕϕ

ϕωϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

RmR

RS

RS

M

R

RmR

RS

RS

M

R

SR

M

SS

R

SS

SR

M

SS

R

SS

Pdt

d

L

R

L

R

Pdt

d

L

R

L

R

dt

d

L

R

L

Ru

dt

d

L

R

L

Ru

.2

..0

.2

..0

..

..

−++−=

+++−=

+−=

+−=

(3.28)

A quinta equação que se necessita é a equação mecânica do movimento do rotor para o qual se deve determinar primeiro a expressão do binário electromagnético Tem produzido por motor assíncrono. Para fazê-lo devem determinar-se as relações da potencia.

A potência de entrada no motor esta dada por:

CCBBAAi iuiuiup ... ++= (3.29)

Agora, tanto para as tensões como para as correntes e concatenações do fluxo aplicam-se estas relações:

).(.2

3

).(.2

3

)(.2

3

2

xax

xax

xx

C

B

A

ℜ=

ℜ=

ℜ=

(3.30)

Substituindo estas expressões para tensão e corrente em 3.29 obtém-se finalmente:

[ ]...2

3 *sSi iupℜ= (3.31)

Onde:

ip – Potencia de entrada;*Su

– Conjugado do vector da tensão em coordenadas do estactor;ℜ – Potencia de entrada;

ip – Parte real.

41

Page 63: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Estas equações se cumprem para qualquer sistema de coordenadas, mais como o objectivo é calcular o binário que se exerce sobre o rotor deve trabalhar-se com as equações em coordenadas do rotor e não em coordenadas do estator como as equações 3.19 e 3.22. Em seguida os passos para obter as equações em coordenadas do rotor obtêm-se os seguintes resultados:

dt

diR

jdt

diRu

RRR

RR

RSr

RSR

SSR

S

)()(

)()(

)()(

.0

...

ϕ

ϕωϕ

+=

++=(3.32)

Se esta expressão é aplicada a cada um dos termos no lado direito da primeira equação 3.32 obtém-se, para o primeiro termo, a energia dissipada em forma de calor, para o segundo a energia armazenada no campo e para a terceira a energia convertida na forma mecânica, que é a interessa para determinar o binário electromagnético. Por tanto, pode-se argumentar que a diferencial de energia convertida na forma mecânica é igual a:

[ ] dtijdW SSRmec .....2

3 *ϕω −ℜ= (3.33)

Supondo-se um deslocamento angular virtual igual a dθ a diferencial da energia mecânica,

também pode ser expressa como:

dtTdTdW rememmec ... ωθ == (3.34)

Combinando as equações 3.33 e 3.34:

[ ]SSem ijT...

2

3 *ϕ−ℜ= (3.35)

Decompondo os vetores em seus componentes reais e imaginários:

βα

βα ϕϕϕ

ssS

ssS

ijii

j

.

.*

+=

−=

(3.36)

Então:

( ) [ ]SSssssem iiiT..

2

3...

2

3 *ϕϕϕ αββα ℑ=−= (3.37)

Onde:

ℑ – Parte imaginaria.

Esta expressão deduz-se para uma máquina de 2 polos, portanto se a máquina tiver P polos, a expressão será:

42

Page 64: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

[ ] ( )αββα ϕϕϕ ssssSSem iiP

iP

T ...2

.2

3..

2.

2

3 * −=ℑ= (3.38)

Esta equação é aplicável para qualquer sistema de coordenadas. Também é possível expressa-la com as variáveis em diferentes lados.

A equação mecânica do movimento do motor e do seu mecanismo accionado ou carga mecânica é:

)(2

. mmecm

em Tdt

d

PJT ωω += (3.39)

Onde:

Tmec (ωm) – Binário mecânico da carga, que em geral, é a função da velocidade. Substituindo 38 em 39 obtém-se:

( ) )(2

....2

.2

3mmec

mssss T

dt

d

PJii

P ωωϕϕ αββα +=− (3.40)

As equações dinâmicas do movimento que constituem finalmente o modelo matemático do motor (expressas em coordenadas do estator) seriam além da equação 3.40, as equações 3.28. As expressões das tensões de entrada são:

).(..2

).(cos..2

1

1

tsenUu

tUu

fS

fS

ω

ω

β

α

=

= (3.41)

Onde:

Uf – Tensão da fase do motor;

ω1 = 2.π.f1 e f1 – Frequência da rede.

3.3. CONSIDERAÇÃO DA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MOTOR

Como foi explicado no capítulo anterior, as barras que compõe a gaiola do rotor dos motores assíncronos são fabricados para apresentar uma resistência relativamente elevada no arranque e baixo durante o funcionamento normal. Isto é conseguido acentuando o chamado efeito pelicular fazendo com que as barras sejam altas e estreitas ou com duas gaiolas de rotor.

Agora, como a gaiola está composta por barra e o anel, nesta ultima resistência praticamente não varia, pode dizer-se que a resistência do rotor tem uma componente constante, a qual não depende da frequência do rotor e do escorregamento.

Por outro lado, a relação entre a resistência da corrente alterna e a resistência da corrente contínua é a seguinte:

43

Page 65: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

)..2.(..2

.2

.

)..2cos()..2cosh(

)..2()..2(...

12 fsf

dd

dsendsenhdRR

o

rccrca

ππωρµωα

ααααα

==

=

++=

(3.42)

Onde:

.d – Profundidade da barra.

oµ – Permeabilidade do vácuo

ρ – Resistividade do material da barra que pode ser de cobre ou alumínio

O termo entre parênteses não varia muito com o escorregamento, sendo a variação principal devido ao factor α. Seguindo este raciocínio, a expressão utilizada para a resistência do rotor será:

sRRsR RVRR .)( 0 += (3.43)

Enquanto à indutância de dispersão do rotor, que também varia de acordo com o escorregamento que se origina devido à mesma causa, mas tem um efeito contrário, ou seja, no arranque é menor do que no funcionamento normal, a sua expressão é a seguinte:

s

LLsL

fvffr += 0)( (3.44)

Isto significa que, ao considerar o efeito pelicular na determinação do comportamento transitório do motor deve- se determinar quatros parâmetros no rotor:

Dois para a resistência; Dois para a indutância de dispersão.

3.4. DETRMINAÇÃO DOS PARAMETROS DO MODELO

Ao usar o modelo matemático do motor de indução, tanto em estado estável ou em regime permanente como dinâmico ou transitório, é necessário conhecer os parâmetros deste modelo, fazendo uma identificação dos mesmos. No caso particular de máquinas eléctricas, existem quatro tipos de métodos para realizar esta identificação:

Métodos clássicos da teoria de controlo: Estes métodos têm conseguido grande desenvolvimento e são muito precisos, mas exigem instrumentos relativamente complexos e caros.

Métodos baseado em ensaios sem carga: Baseiam-se na realização dos ensaios em vazio, ensaios em rotor bloqueado e a medição da resistência do estator por fase. Necessitam de uma fonte de frequência variável.

44

Page 66: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Para a aplicação destes métodos é necessário ter fisicamente o motor que não é sempre possível uma vez que, em alguns casos se encontra instalado e em funcionamento em uma indústria e não pode ser desinstalado sem a interrupção da produção e em outros casos o motor não foi comprado e precisamente, a avaliação do seu comportamento através de um modelo é um fator que pode decidir sobre a compra. Para resolver esse problema, existem métodos que permitem a determinação dos parâmetros de um motor sem realizar-lhe ensaios. Estes são os seguintes:

Determinação dos parâmetros a partir da aplicação de um método numérico tal como o dos Elementos Finitos: Para aplicar este método é necessário conhecer todos os dados construtivos do motor incluindo as características dos aços e outros materiais que compõem o qual, em geral, torna-se muito difícil.

Método baseado no conhecimento dos dados do catálogo: Este método parte dos dados apresentados no catalogo do motor, e é menos preciso, mas é muito simples de implementar e pratico, os erros cometidos raramente invalidam as conclusões que pode ser removido a partir dos modelos utilizados com base nestes parâmetros como, geralmente são inferiores a 10% e não superior a 15%. Será usado nesta tese.

Os parâmetros necessários para a solução do modelo são:

Os que correspondem à resistência e indutância de dispersão (ver as equações 3.43 e 3.44);

A indutância de dispersão do estator;

A indutância magnetizante;

A resistência do estator;

A inércia e a característica da carga mecânica accionada pelo motor.

Estes parâmetros, que são necessários para a solução dos modelos do motor, não são dados por nenhum fabricante, salvo raríssimas excepções, contudo, eles são os que determinam os dados do catálogo do motor que pode ser obtido a partir de qualquer fabricante. Existe uma relação entre ambos os conjuntos, “o conjunto parâmetros e o conjunto dado do catálogo”, é possível determinar os primeiros a partir dos últimos. Os dados do catálogo necessário neste caso são:

Potência nominal (Pn) em kW: Expressa a potência mecânica entregue ao mecanismo accionado ou carga, para qual foi projectado o motor.

Tensão nominal (Un) em Volts: É a tensão aplicada para qual se calcula no motor e deverá funcionar para trabalhar realmente em condições nominais.

Frequência nominal (fn) em Hz: É a frequência da tensão aplicada para os quais se calculou no motor e deve operar para trabalhar realmente em condições nominais.

45

Page 67: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Corrente nominal (In) em Àmperes: A corrente que flui através do estator do motor quando, aplicado a tensão nominal da frequência nominal, é carregado pelo mecanismo accionado com a sua potência nominal.

Velocidade nominal (nn) em r/min: É a velocidade que o motor gira quando, aplicada a tensão nominal da frequência nominal, esta carregado por um mecanismo accionado com a sua potência nominal.

Rendimento ou eficiência nominal (ηn) em percentagem: É a relacção, em percentagem, entre a potência nominal e a potência nominal de entrada, entendida por potência nominal de entrada, e a potência que toma o motor quando, trabalhando a tensão e a frequência nominais, entrega potência nominal a carga.

Factor de potência nominal (fpn): É o factor de potência que o motor trabalha em condições nominais.

Factor de sobrecarga (tmax = Tmax/Tn): É a relação entre o par máximo com a tensão e frequências nominais e nominais.

Corrente de arranque por unidade ou corrente do rotor bloqueado (ia = irb/In): É a relacção entre a corrente quando o rotor está bloqueado e o motor tem aplicado a tensão e a frequências nominais e corrente nominal.

Momento de arranque em por unidade (ta = Tarr/Tn): É a relação entre o torque de arranque quando se aplica no motor a tensão e as frequências nominais e o momento nominal.

Inércia do motor em kg-m2 (Jm): É o elemento de inércia do rotor do motor. Para calcular os parâmetros da equação 43 da resistência do rotor deve calcular-se o valor da resistência do rotor em condições normais de operação RRn = RR (sn) e o valor da resistência do arranque RRk = RR (1).

Para determinar a expressão para a resistência do rotor em funcionamento normal se parte da expressão que relaciona a energia convertida na forma mecânica em condições nominais Pmec n e a potência nominal no eixo Pn:

adnmecnnnmec ppPP ++= 1000.. (3.45)

Esta expressão mecnp

são as perdas mecânicas nominais e as perdas adicionais nominais.

Acontece que, em condições nominais, estas perdas são muito pequenas e podem ser desprezadas, podendo-se supor então que a potência nominal de saída é igual à potência convertida para forma mecânica em condições nominais e de acordo ao explicado anteriormente na dedução da figura 30, pode se considerar a seguinte igualdade:

n

nrnrnn s

sRIP

−=

1...31000. 2 (3.46)

Nesta equação o número 3 é porque o circuito equivalente é por fase do motor e tem três fases.

46

Page 68: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Alem disso, no circuito equivalente (ver capítulo 1), a queda de tensão no ramo fSS XjR .+ ,

em condições nominais é desprezível podendo-se dizer que a tensão aplicada é aproximadamente

igual à tensão entre os pontos a e b. Também no circuito equivalente se cumpre que n

rn

s

R

é muito

maior do que a reactância de dispersão. Isto faz com que a corrente do rotor Ir esteja praticamente em fase com a tensão entre os pontos a e b que pode utilizar - se o diagrama fasorial da figura 3.4.

Figura 3.4: Diagrama Fasorial Aproximado ao Circuito Equivalente.

O diagrama fasorial da figura 3.4 pode-se desprezar a corrente nominal do rotor em função

da corrente nominal (que é do estator por suposição) e o factor de potencia nominal )cos( nnfp ϕ= :

)cos(. nnrn II ϕ≈ (3.47)

Substituindo a equação 3.47 e 3.46 e desprezando a resistência do rotor em condições nominais obtém-se:

2).).(1.(3

1000..

nnn

nnrn fpIs

PsR

−= (3.48)

O escorregamento nominal calcula-se como:

s

nsn n

nns

−= (3.49)

Nesta expressão ns é a velocidade síncrona.

P

fn n

s

.120= (3.50)

Como se pode verificar a partir da equação 3.48, a resistência do rotor em condições nominais pode ser calculada a partir da potência nominal, corrente nominal, velocidade nominal e do factor de potência nominal, “todos dados do catálogo”.

47

Page 69: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Para determinar a resistência do rotor a rotor bloqueado, que são as mesmas condições que no arranque, se parte da expressão do torque ou binário electromagnético:

s

RIT r

rs

em ..3 2

ω= (3.51)

Nesta expressão ωs é a velocidade síncrona em radianos por segundo que é igual a:

ss n.60

.2 πω = (3.52)

O binário electromagnético pode ser considerado aproximadamente igual binário mecânico da carga, desprezando as perdas mecânicas como já foi feito anteriormente. Então pode-se considerar a seguinte expressão para o binário nominal:

n

rnrn

sn s

RIT ..

3 2

ω= (3.53)

E para o binário de arranque (lembre-se que o deslocamento durante o arranque é igual a 1 (um) teremos que:

rkrarrs

arr RIT ..3 2

.ω= (3.54)

Nesta expressão Iarr.r é a corrente de arranque.

Dividindo a equação 3.54 por 3.53 obtém-se:

nrn

rk

rn

rarr

n

arr sR

R

I

I

T

T..

2

.

= (3.55)

O termo à esquerda é o binário de arranque por unidade (dado do catálogo). Uma vez que, durante o arranque a corrente de magnetização é muito baixa em comparação com as do estator e do rotor, é possível fazer a seguinte aproximação:

nrn

rkaa s

R

Rit ..2= (3.56)

A partir desta equação, isola-se a resistência do rotor durante o arranque ou a rotor bloqueado:

na

arnrk si

tRR

..

2= (3.57)

Como se pode ver, uma vez calculada a resistência do rotor em condições nominais é possível determinar com este valor:

A velocidade nominal;

48

Page 70: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

A corrente de arranque em por unidade e o binário de arranque em por unidade;

A resistência de rotor a rotor bloqueado ou no arranque.

Como no momento de arranque o escorregamento é igual a 1 e em condições normais de operação é igual ao escorregamento nominal sn, a partir da equação 3.43 podem surgir, as duas

equações seguintes que têm duas incógnitas;

0RR e RVR :

RVRrk

nRVRrn

RRR

sRRR

+=+=

0

0 .(3.58)

Resolvendo estas equações teremos:

n

rknrnR

s

RsRR

−=

1

.0 (3.59)

n

rnrkRV

s

RRR

−−

=1

(3.60)

Quando há acoplamento magnético entre duas bobinas, a maior parte do fluxo magnético produzido pela corrente em uma concatena passa também para o outro, bem há uma parte que não atinge o outro enrolamento, é o denominado Fluxo de Dispersão. As concatenações do fluxo por unidade de corrente deste fluxo dão lugar a indutância de dispersão. Como as máquinas eléctricas de indução trabalham com corrente alterna, o parâmetro que avalia o efeito indutivo é, neste caso, a reactância cuja relação com a indutância está dada pela expressão:

LfX ..2 ⋅⋅= π (3.61)

Como existe um fluxo de dispersão tanto no estator como no rotor, existe uma reatância de dispersão (e uma indutância de dispersão) no estator e uma no rotor que são as que aparecem nos circuitos equivalentes do capitulo 1 com as denominações Xd1 e Xd2

’.

Devido o acoplamento magnético apertado entre o estator e o rotor, é muito difícil separar mediante ensaios ou os cálculos estes dois parâmetros e normalmente trabalha com a denominada Reactância de Dispersão Total Xcc.

21 ddcc XXX ′+= (3.62)

Nos motores de uso geral geralmente supõem-se que 40% da reactância corresponde ao do estator e 60% do rotor.

O feito pelicular da mesma forma que afecta a resistência, afecta também a reactância mais em sentido contrário, ou seja, maior frequência menor reactância e vice-versa. Portanto, no arranque a reactância de dispersão do rotor é pequena e o funcionamento normal é maior. Para diminuir o erro que isto implica, se considerará de forma conjunta a variação da reactância do estator e do rotor

49

Page 71: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

embora se sabe que está vária muito mais e posteriormente se separam com o critério de 40% e 60%.

Seguindo o critério da equação 3.44 pode-se considerar que:

s

XXX dv

dcc += 0 (3.63)

Para encontrar a reatância de dispersão total se utilizará a expressão 3.23 do Capitulo 1 que será escrita da seguinte forma:

ccS

fn

X

UT

..2

.3 2

max ω≈ (3.64)

O binário máximo calcula-se a partir do factor de sobrecarga tmax como:

nTtT .maxmax = (3.65)

E o binário nominal calcula-se partir da seguinte fórmula:

=

30.

1000.

πn

nn

n

PT

(3.66)

Combinando estas três equações obtém-se a reatância de dispersão em condições normais.

A partir do valor da reatância de dispersão total em condições nominais, reduz-se a reatância de dispersão do estator, que se considera constante, e a reatância de dispersão do rotor avaliada neste caso para o escorregamento que corresponde ao binário máximo sm:

ccmd

ccd

mddcc

XsX

XX

sXXX

.6,0)(

.4,0

)(

2

1

21

=′=

′+=

(3.67)

Com as reactâncias calculam-se as indutâncias:

n

mdfr

n

dfs

f

sXL

f

XL

..2

)(

..2

2

1

π

π′

=

=

(3.68)

Para calcular o escorregamento que corresponde o binário máximo, utiliza-se a equação 3.25 do capitulo1 (fórmula de Kloss), considerando que a = 1 e substituindo o escorregamento por seu valor nominal sn obtém-se:

50

Page 72: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

)1.(2

.2max

maxm

mn

m

m

n

n s

ss

s

s

s

T

Tt

+

++== (3.67)

Isolando o escorregamento para o binário máximo teremos:

( )nn

nnnm sts

ststtss

..2.21

..2.21.

max

max2

maxmax

−+−+−+

= (3.68)

Figura 3.5: Circuito Equivalente do Motor no Arranque.

Para calcular a reatância no arranque Xcc.arr = Xd1 +X´d2k

se fará referencia ao circuito

equivalente aproximado do motor no arranque que é apresentada na figura 3.5. Como pode ser visto, despreza-se a corrente em vazio por ser muito menor que a corrente de arranque, que é então igual a corrente do rotor. De acordo com este circuito, a corrente de arranque é dada por:

( ) 2.

2)( arrccrkS

fnarr

XRR

UI

++= (3.69)

A equação 3.69 pode ser efectuada por unidade da seguinte forma:

2

.

22.

2

1

)(.

1

+

+=

++=

b

arrcc

b

rkSarrccrkSnn

arr

Z

X

Z

RRXRRII

I

(3.70)

Nesta expressão n

nfb I

UZ =

é a impedância base, igual à relação entre a tensão de fase e a

corrente de fase nominal, igual à de linha se supõem que o motor esta ligado em estrela (se não está pode ser assumida uma estrela equivalente), então:

( ) ( ) 2.

2

1

puarrccpurkS

a

XRRi

++= (3.71)

Nesta expressão isola-se a reatância de dispersão total em por unidade de arranque:

51

Page 73: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

( )( )2

2

.

1purkS

aarrpucc RR

iX +−

= (3.72)

Nesta expressão aparece a resistência do estator a qual se explicará posteriormente como se calcula.

Multiplicando pela impedância base obtém-se o valor absoluto:

bpuarrccarrcc ZXX .... = (3.73)

Ora eliminando a reactância de dispersão do rotor no arranque

1.'

2 darrcckd XXX −= (3.74)

E o valor de indutância de dispersão seria:

n

dkdfrk f

X

f

XL

..2

)1(

..2

'2

'2

ππ== (3.75)

Com esta informação pode-se calcular os coeficientes da equação 3.44 simultaneando as equações com duas incógnitas:

( )m

frkfrmfV

m

frmfrkf

s

LLsL

s

LsLL

−=

−=

1

.

1

.0

(3.76)

Em seguida vai se calcular o valor da indutância magnetizante ou mutua LM na qual se calcula determinando primeiro a reatância magnetizante XM com referência ao circuito equivalente do Capítulo 1, que é repetido na figura 3.6.

Figura 3.6: Circuito Equivalente do Motor no Assíncrono.

Seguidamente passa-se a calcular o valor da reatância magnetizante Xm é a que corresponde ao fluxo mútuo, por ela circula a corrente magnetizante Im como se pode verificar no circuito equivalente da figura 1.6. Observando este mesmo circuito equivalente e considerando a resistência

52

Page 74: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

de perdas de aço é muito maior do que a reatância e, portanto vai ser desprezada, conclui-se que a sua expressão é:

m

abnm I

UX = (3.77)

Onde:

abnU – Tensão entre os pontos a e b do circuito em condições nominais.

Para calcular esta tensão deve - se basear na seguinte equação fasorial:

)..( 1dSnnfabn XjRIUU +−= (3.78)

A equação fasorial 78 corresponde ao diagrama fasorial da figura 3.7.

Figura 3.7: Diagrama de Fase que Corresponde a Equação 78.

Neste diagrama fasorial verifica-se que:

2

2

1....

1..)(..

..)cos(..

nnSnnSnabn

nnSnnS

nnSnnS

abn

n

fpIXfpIRUU

fpIXsenIXBC

fpIRIRAB

UODOA

UOC

−−−≈

−=≈

=≈=≈

=

ϕ

ϕ (3.79)

A corrente magnetizante em condições nominais Im pode ser calculada a partir da figura 3.4.

22rnnm III −= (3.80)

Quando se trabalha a tensão e frequência constante ou com frequência variável, mas com uma lei de controlo que mantém o fluxo constante, esta reactância pode assumir-se constante.

Para o cálculo da resistência do estator se determinará primeiro as perdas de cobre no estator a partir de um balanço de potência no motor usando a seguinte expressão:

53

Page 75: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

∑ +++−= )( adnmecnacncobrncobsn pppppérdidasnp (3.81)

Onde:

cobsnp – Perdas de cobre nominais no estator;

cobrnp – Perdas de cobre nominais no rotor;

acnp – Perdas de aço nominais;

mecnp – Perdas mecânicas nominais;

adnp – Perdas adicionais ou indeterminadas nominais;

∑pérdidasn – Soma de todas as perdas existentes no motor em condições

nominais, que são calculadas a partir da seguinte expressão:

innn

n PP

perdasn −=∑100/

1000.

η(3.82)

Onde:

Pinn – Potencia nominal de entrada dada por:

nnninn fpIUP ..3= (3.83)

As perdas de cobre nominais no rotor são calculadas a partir da seguinte expressão:

rnrncobrn RIp ..3 2= (3.84)

As perdas de aço nominais estão entre 15% e 20% do somatório total do quadrado das perdas, supõem-se 20% para motores menores de 15 kW e 17% para motores entre 15 e 100 kW e 15% para motores maiores de 100 kW.

As perdas mecânicas nominais são sempre menores que as de aço, por isso devem ser considerados sempre ¾ do aço.

As perdas adicionais determinam-se seguindo as normas da IEEE, ou seja, se consideram 1,8% da potencia nominal para motores menores de 90 kW, 1,5% para motores entre 90 e 375 kW, 1,2% para motores entre 375 kW e 1850 kW e 0,9% para motores maiores.

Uma vez obtidas as perdas de cobre nominais no estator, a resistência do estator calcula-se pela seguinte expressão:

2.3 n

cobsnS I

pR = (3.85)

3.5. EQUAÇÕES EM POR UNIDADE

54

Page 76: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Como é bem conhecida, a expressão das equações das máquinas e sistemas eléctricos de potencia em por unidade facilita notavelmente a sua escrita e avaliação dos resultados obtidos por meio dos modelos de simulação. Nesta sessão, vamos tratar da abordagem em por unidade das equações da máquina assíncrona. A primeira coisa a ser feita, é seleccionar os valores de base dos diferentes parâmetros e variáveis.

Começa-se com a selecção dos seguintes valores base e o restante é deduzido a partir destas relações:

Tensão Base nb UU .2=

Corrente Base nb II .2=

Impedância base b

bb I

UZ =

Potencia Base 3

.2..2.. nnnbbb

SIUIUP ===

Velocidade base PSb

21ωωω ==

Fluxo Base 111 2

.2.2

f

UUU nnbb πωω

ϕ ===

Tempo em pu em radianos tP

t S .2

..1 ωωτ ==

Estes valores de base podem aplicar-se directamente às equações eléctricas 3.28, no entanto, é necessário definir os valores base de quantidades mecânicas tais como o binário base e a inércia base que deve ser compatível com as anteriores, devido ao carácter electromecânico das máquinas eléctricas rotativas.

A equação 3.40 pode ser definida também da seguinte forma:

2.....

2....

2.

2

3 P

d

d

JTIP

U

I

i

I

iPSS

S

m

mecbS

b

b

s

b

s

b

s

b

s ωωτωω

ωϕϕ

ϕϕ βββα +=

− (3.86)

( )2

...... 2.

P

d

dJT

sii S

mpumec

S

npuspuspuspus ω

τω

ωϕϕ αββα +=− (3.87)

Então o binário base é:

S

nb

sT

ω=

55

Page 77: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

E a inércia base é:

2.2 P

sJ

S

nb

ω=

A equação do movimento em por unidade é:

( )τ

ωϕϕ αββα d

dJTii mpu

pumecpupuspuspuspus .... +=−

CAPÍTULO IV ANÁLISE DE UM ESTUDO DE CASO

4.1. DESCRIÇÃO DO CASO DO ESTUDO

Neste caso de estudo, analisaram-se os processo de arranque e paragem de um motor assíncrono que move uma instalação hidráulica, conforme ilustrado na figura 4.1, cuja característica de altura manométrica ou carga hidráulica em função do fluxo ou caudal da água é apresentada na figura 37. O caudal ou fluxo da água deve ser regulado a partir de 18 m3/h até 25 m3/h.

Figura 4.1: Sistema Hidráulico Estudado.

56

Page 78: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

0 5 10 15 20 25 30 35 40 4550

55

60

65

70

Fluxo em m3/h

Alt

ura

ma

no

tric

a e

m m

Caracteristica da instalação hidraulica

Figura 4.2: Característica Da Instalação Hidráulica.

A bomba apropriada para esta instalação é a do tipo LHK da Alfa Laval de velocidade nominal 2930 rpm. Este fabricante constrói três tipos de bombas desta categoria cujas características são a presentadas na figura 4.3. Dadas as características e as exigências da instalação, verificou-se que a LHK 112 é a mais adequada. A inércia do rotor da bomba é de 0,2 kg-m2. Para encontrar o ponto de funcionamento da bomba com o fluxo máximo, ou seja, com a válvula de saída completamente aberta, se forem simultâneas as características das figuras 4.1 e 4.2.

Figura 4.3: Características das Bombas LHK da Alfa Laval

Conforme é mostrado na figura 4.3, o ponto de funcionamento da bomba corresponde a um caudal Q = 25,4 m3 e uma altura manométrica H = 58,6 m.

Esta bomba conta com o motor assíncrono, cujos dados são apresentados na Tabela 4.1.

Tabela 4.1: Dados do Catalogo do Motor

Marca Siemens

Tensão em V 400

57

Page 79: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Potência em kW 18,5Velocidade em rpm 2935Corrente em A 33Rendimento nominal em % 91,5Factor de potência 0,89Iarr/In 8,2Tarr/Tn 2,6Tmax/Tn 3,3Inércia do motor em kg-m2 0,054Inércia da carga em kg-m2 0,2

Seguindo o algoritmo explicado no capítulo anterior calcularam-se os valores bases e os parâmetros do motor assíncrono com os resultados dos valores mostrados na tabela 4.2 e os valores dos parâmetros na tabela 4.3.

Tabela 4.2: Valores Base

Tensão de base em V 326,6

Corrente base em A 46,67Velocidade base em rpm 3000Impedância base em ohms 7Binário base em N-m 72,58Inércia base em kg-m2 7,31.10-4

Tabela 4.3: Parâmetros do Motor Assíncrono

Parâmetro Valor Absoluto Por Unidade

Constantes da resistência do rotor RR0 e RRV em ohms

[0,1369 0,1457] [0,0196 0,0208]

Inductância de dispersão do estator LfS em mH 1,3 0,0582Constantes da inductância de dispersão do rotor Lf0y LfV em mH

[0,876 1] [0,0391 0,0462]

Inductância magnetizante Lm em mH 46,7 2,0934Resistência do estator RS em ohms 0,155 0,022Inércia total en kg-m2 0,1240 169,52

4.2. CARACTERÍSTICAS DA CARGA MECÁNICA

As características do processo do arranque da moto bomba dependem do binário mecânico

resistivo Tmec que a bomba impõe ao motor, que é diferente para cada valor de velocidade rω . Isto

é porque a equação mecânica fundamental que descreve este processo é a seguinte:

dt

dJTT r

trmecem

ωω .)( += (4.1)

58

Page 80: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Nesta equação, Tem é o binário electromagnético produzido pelo motor e Jt é a soma da inércia do motor e da inércia da carga.

Para determinar a característica mecânica do binário de acordo com a velocidade assume-se que o caudal é directamente proporcional à velocidade e que para 2930 rpm corresponde 25,4 m3/h.

Considera-se diferentes valores da velocidade entre 0 e 3000 rpm, e para cada fluxo é calculada o caudal ou fluxo e a partir da figura 2 a altura manométrica, conhecendo o rendimento da bomba e o rendimento da transmissão mecânica calcula-se a potência com a seguinte expressão:

tbmotor

HQP

ηηρ

.

..= (4.2)

Onde:

ρ – Peso específico da água;

Q – Caudal; H – Altura manométrica;

– Rendimento da bomba;

– Rendimento da transmissão mecânica.

Dividindo esta potência entre a velocidade em radianos/segundos se obtém o binário mecânico em Newton-metros.

Em seguida, obtém-se a característica da carga mostrada na figura 4.4. Estes valores estão em por unidades dos valores nominais do motor.

0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Binario em pu

Vel

oci

dad

e em

pu

Caracteristica da carga em pu

Figura 4.4: Característica da Carga Mecânica

Como a referência a esta característica será feita através de uma tabela de look up, onde selecionam seis pontos desta característica que é mostrada na tabela 4.4.

Tabela 4.4: Pontos da Característica Mecânica para a Tabela de Look Up.

npu 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

59

Page 81: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Tpu 0,344 0,3488 0,3556 0,3647 0,3772 0,3934

4.3. MODELO EM SIMULINK PARA A ANÁLISES DOS PROCESOS DE ARRANQUE E PARAGEM

Figura 4.5: Modelo Geral em SIMULINK para o Estudo dos Processos de Arranque e Paragem

A figura 4.5 mostra o padrão geral, utilizadas para estudo dos processos de arranque e paragem do motor assíncrono. Compreende, como se mostra, de quatro módulos:

A Máquina Assíncrona que é um modelo onde são resolvidas as equações dinâmicas eléctricas do motor que tem como entradas as componentes de tensão nos eixos de referência do estator (usx e usy) e o rotor (urx e ury considerados zero porque se trabalha

com um motor com rotor em curto circuito), a frequência angular ω = 2.π.f1 e a

velocidade do rotor ωm e tem como saídas os valores instantâneos das correntes do

estator e rotor (cas e car) e o valor efectivo da corrente do estator (corr1).

A Carga Mecânica onde se resolve a equação dinâmica mecânica do motor tem como

entrada o binário e como a saída a velocidade ωr.

60

Page 82: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

O selector de alimentação que é o bloco onde, mediante o número que aparece na entrada, seleciona o tipo de arranque e paragem que se deseja analisar. As saídas deste bloco são as componentes da tensão do estator e a frequência angular.

O Bloque de Medições onde se pode medir e armazenar as leituras das principais variáveis.

4.3.1. Máquina Assíncrona

4corr1

3par

2Iralfa

1Isalfa

s rr

rr

w1-wm

Idr

Iqr

Iralfa

ejsitak1

w1

Ids

Iqs

Isalfa

ejsitak

i1 o1

dcero

Terminator

Scope1

Scope

sqrt

MathFunction2

u2

MathFunction1

u2

MathFunction

Lm

s

delta

Ls

Lr

Inductancias rs

-K-

1/s

Fiqs

1/s

Fiqr

1/s

Fids

1/s

Fidr

deltaLmLsLrfidsfiqsfidrfiqr

ids

iqs

idr

iqr

Corrientes

Lmu

6wm

5ury

4urx

3usy

2usx

1w1

Figura 4.6: Modelo da Máquina Assíncrona

A figura 4.6 mostra o modelo em SIMULINK da máquina assíncrona, onde as equações 3.28 do Capítulo 3 são resolvidas tendo em conta a variação da resistência e da reatância de dispersão do rotor com o escorregamento. Existe uma janela onde se perguntam a resistência do estator, a indutância de dispersão do estator, a indutância magnetizante e as constantes que permitem calcular a resistência e a indutância do rotor em função do escorregamento. Todos estes valores são dados em por unidade.

4.3.2. Carga Mecânica

A figura 4.7 mostra o modelo da carga mecânica, onde se resolve a equação dinâmica fundamental do motor tendo em conta a características tendo em conta a característica mecânica na qual se apresenta na forma de tabela de Look Up. Deve-se introduzir-se também a inercia total, ou seja a soma da inercia do motor e a inercia da carga, neste caso, a bomba. Estes valores também estão em por unidade.

61

Page 83: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 4.7: Modelo da Carga Mecênica

4.3.3. Selector de Alimentação

Figura 4.8: Selector de Alimentação

A figura 4.8 mostra o selector que permite selecionar o tipo de análise transitório que se deseja obter. Utiliza-se uma ferramenta de SIMULINK que permite seleccionar uma entrada de 8 possibilidades, colocando na entrada do bloco o número correspondente. Por exemplo se colocarmos o número zero, aparece na saída a entrada da tensão correspondente ao arranque direto, se colocarmos o número 1 aparece a entrada correspondente ao arranque a tensão reduzida. As 8 possibilidades aparecem descritas na tabela 4.5.

Tabla 4.5: Possibilidades do Selector de Alimentação

Número Tipo de Alimentação

0 Arranque directo à rede1 Arranque a tensão reduzida

62

Page 84: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

2 Arranque suave em rampa com soft starter3 Arranque suave em S com soft starter4 Arranque com paragem dinámica5 Arranque com inversão6 Arranque a frequência variável em rampa7 Arranque a frequência variável em S

Para cada caso, aparece uma janela onde são pedidos os parâmetros de ajuste que caracterizam o fenômeno estudado.

4.3.4. Medições

Figura 4.9: Bloco de Medições

Na figura 4.9 mostra-se o bloco de medições, onde são recolhidos os dados para fazer os gráficos de velocidade, corrente e binário em função do tempo e da velocidade em função do binário nos diferentes processos dinâmicos.

Como o modelo da máquina está resolvido em por unidade, este bloco tem uma janela que pede os valores básicos de cada variável para dar os resultados em valores com unidade.

Para ilustrar estas variáveis se emprega um programa em MATLAB denominado ploteo dinamica que aparece abaixo:

%PROGRAMA DE PLOTEO DE VARIABLES

Figura (1):plot (tempo,velocidade,'r');grid

63

Page 85: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

figura (2):plot (tempo,corrente,'r');grid

figura (3):plot (tempo,binário,'r');grid

figura (4):plot (binário,velocidade,'b');grid

4.4. ANALISES DOS PROCESSOS DE ARRANQUE

A seguir analisa-se, para cada tipo de arranque, a variação da velocidade, o binário e a corrente em função do tempo e a característica mecânica dinâmica, ou seja, velocidade em função do binário no processo de arranque.

Nos arranques em que não são directo a rede são supostos ajustes dos parâmetros de arranque que dão lugar aos menores picos da corrente e do binário.

4.4.1. Arranque directo da rede.

0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .60

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

3 0 0 0

Tempo em segundos

Velo

cida

de e

m rp

m

Figura 4.10: Velocidade em Função do Tempo no Arranque Directo à Rede.

64

Page 86: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .60

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

3 5 0

4 0 0

Tempo em segundos

Corre

nte

em A

Figura 4.11: Corrente em Função do Tempo no Arranque Directo à Rede

0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6-2 0 0

-1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

Tempo em segundos

Bina

rio e

m N

-m

Figura 4.12: Binário em Função do Tempo no Arranque Directo à Rede

65

Page 87: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

- 2 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 00

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

3 0 0 0

Binario em N-m

Veloc

idade

em rp

m

Figura 4.13: Característica Mecânica Dinâmica no Arranque Directo à Rede.

4.4.2. Arranque a Tensão Reduzida (Y-∆)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tempo em segundos

Vel

oci

dad

e em

rp

m

Figura 4.14: Velocidade em Função do Tempo no Arranque a Tensão Reduzida

66

Page 88: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

50

100

150

200

250

Tempo em segundos

Cor

rent

e em

A

Figura 4.15: Corrente em Função do Tempo no Arranque a Tensão Reduzida

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

Tempo em segundos

Bin

ari

o e

m N

-m

Figura 4.16: Binário em Função do Tempo no Arranque a Tensão reduzida

-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 8000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Binario em N-m

Vel

ocid

ade

em r

pm

Figura 4.17: Característica Mecânica dinâmica no Arranque a Tensão Reduzida

4.4.3. Arranque Suave na Rampa

67

Page 89: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tempo em segundos

Vel

ocid

ade

em r

pm

Figura 4.18: Velocidade em Função do Tempo no Arranque Suave na Rampa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Tempo em segundos

Co

rren

te e

m A

Figura 4.19: Corrente em Função do Tempo no Arranque Suave na Rampa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Tempo em segundos

Bin

ari

o e

m N

-m

Figura 4.20: Binário em Função do Tempo no Arranque Suave na Rampa

68

Page 90: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 8000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Binario em N-m

Vel

ocid

ade

em r

pm

Figura 4.21: Característica Mecânica Dinâmica no Arranque Suave na Rampa

4.4.4. Arranque Suave em S

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tempo em segundos

Ve

loc

ida

de

em

rp

m

Figura 4.22: Velocidade em Função do Tempo no Arranque Suave Em S

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

50

100

150

200

Tempo em segundos

Co

rren

te e

m A

Figura 4.23: Corrente em Função do Tempo no Arranque Suave em S

69

Page 91: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

20

40

60

80

100

120

140

Tempo em segundos

Bin

ário

em

N-m

Figura 4.24: Binário em Função do Tempo no Arranque Suave em S

-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 8000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Binário em N-m

Vel

oci

dad

e em

rp

m

Figura 4.25: Característica Mecânica Dinâmica no Arranque Suave em S

4.4.5. Arranque a Frequência Variável na Rampa

70

Page 92: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tempo em segundos

Vel

ocid

ade

em r

pm

Figura 4.26: Velocidade em Função do Tempo no Arranque a Frequência Variável na Rampa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

10

20

30

40

50

60

Tempo em segundos

Cor

rent

e em

A

Figura 4.27: Corrente em Função do Tempo no Arranque a Frequência Variável na Rampa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

10

20

30

40

50

60

70

80

Tempo em segundos

Bin

ári

o e

m N

-m

Figura 4.28: Binário em Função do Tempo no Arranque a Frequência Variável na Rampa.

71

Page 93: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 8000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Binário em N-m

Ve

loc

ida

de

em

rp

m

Figura 4.29: Característica Mecânica Dinâmica no Arranque a Frequência Variável na rampa

4.4.6. Arranque com frequência variável em S

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tempo em segundos

Vel

oci

dad

e em

rp

m

Figura 4.30: Velocidade em Função do Tempo no Arranque a Frequência Variável em S

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Tempo em segundos

Cor

ente

em

A

72

Page 94: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Figura 4.31: Corrente em Função do Tempo no Arranque a Frequência Variável em S

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

10

20

30

40

50

60

70

Tempo em segundos

Bin

ário

em

N-m

Figura 4.32: Binário em Função do Tempo no Arranque a Frequência Variável em S

-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 8000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Binário em N-m

Vel

oci

dad

e em

rp

m

Figura 4.33: Característica mecânica Dinâmica no Arranque a Frequência Variável em S

73

Page 95: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

4.5. COMPARAÇÃO ENTRE OS DIFERENTES TIPOS DE ARRANQUE

Tabela 4.6: Comparação de Arranques

Tipo de Arranque

Pico de Corrente (A)

Pico de Binário (N-m)

Tempo de Arranque (s)

Oscilações do Binário

Directo a rede 350 680 0,5Muito grande e mantida

Tensão reduzida (Y-∆)

210 250 1,4Grandes com menos picos

Suave na rampa (Soft starter)

162 118 2Pequenas e rápidas

Suave em S(Soft starter)

158 108 6 nenhum

Freq. variável na rampa

56 75 3,2praticamente nenhum

Freq. variável em S

40 68 4praticamente nenhum

Na tabela acima se mostra uma comparação entre os parâmetros mais importantes que avaliam a qualidade de cada tipo de arranque.

Pode ser visto que o arranque directo a rede apresenta grandes picos de corrente e de binário oscilações muito grandes e mantida embora seja mais rápido. É admissível se o motor arranca poucas vezes ao dia e a rede que lhe alimenta suporta a queda de tensão que provoca esta alta corrente.

O arranque a tensão reduzida melhora um pouco a situação já que tem menos picos de corrente e binário e menos oscilações.

Os arranques suaves tanto na rampa como em S são notavelmente superiores apesar de ter um arranque um pouco mais lento. Observam-se picos de correntes e binários bastante mais baixos e praticamente sem oscilações. O arranque é mais lento.

É evidente que os arranques a frequência variável são os de mais qualidade principalmente por baixos picos da corrente e binário e poucas oscilações.

Os eixos das coordenadas da característica mecânica dinâmica serão mantidos iguais em todos os casos, com o objectivo de realizar uma comparação entre eles. A forma desta característica dá uma ideia da suavidade do arranque. A característica ideal seria uma recta do binário constante até perto da velocidade estável, que deve diminuir para coincidir com o binário da carga.

Observa-se como o arranque directo a rede provoca grandes picos do binário e oscilações violentas que trazem como consequências vibrações no rotor que podem afectar a integridade dos rolamentos. Os arranques suaves e a frequência variável se caracterizam pela ausência de oscilações apreciáveis. Os arranques suaves e a frequência variável são caracterizados pela ausência de oscilações, que contribui para aumentar à vida útil do motor e praticamente não afecta a rede eléctrica.

74

Page 96: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

4.6. PARAGEM DO MOTOR ASSINCRONO

Com este mesmo motor serão analisados dois tipos de paragens:

Paragem dinâmica;

Paragem por inversão ou contra corrente.

No caso de paragem dinâmica se supõe que a alimentação da corrente contínua é eliminada a poco tempo de parar o rotor e no caso de paragem por inversão que, mediante alguns meios, o motor desliga-se quando se atinge a velocidade zero.

4.6.1. Paragem dinâmica.

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tempo em segundos

Vel

oc

idad

e e

m r

pm

Figura 4.34: Variação da Velocidade na Paragem Dinâmica

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30

200

400

600

800

1000

Tempo em segundos

Co

rre

nte

em

A

Figura 4.35: Variação da Corrente na Paragem Dinâmica

75

Page 97: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

Tempo em segundos

Bin

ário

em

N-m

Figura 4.36: Variação do Binário na Paragem dinâmica

Note-se que, como resultado da aplicação da corrente contínua ao desligar o motor a velocidade torna-se zero muito rapidamente, em menos de 100 m/s. Isto deve-se ao pico de binário negativo de mais de 3000 N-m. A fonte da corrente contínua pode desconectar-se após 100 milissegundos.

4.6.2. Paragem por Inversão

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tempo em segundos

Ve

loci

dad

e e

m r

pm

Figura 4.37: Variação da Velocidade na Paragem por Inversão

76

Page 98: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.20

200

400

600

800

1000

Tempo en segundos

Cor

rent

e em

A

Figura 4.38: Variação da Corrente na Paragem por Inversão

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

Tempo em segundos

Bin

ário

em

N-m

Figura 4.39: Variação do Binário d Paragem por Inversão

Como pode ver-se, a paragem por inversão os picos da corrente e do binário são também muito grandes e produzem mais oscilações que na paragem dinâmica para o qual os rolamentos são mais afectados. Além disso, é necessário um dispositivo que desconecta o motor para alcançar a velocidade zero.

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Page 99: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

CONCLUSÕES

De acordo com os resultados obtidos no presente documento pode de se chegar às seguintes conclusões:

O motor assíncrono trifásico de rotor de gaiola no arranque directo a rede consume uma corrente elevada entre 5 e 9 vezes a sua corrente nominal. Este valor elevado desaparece rapidamente ao arrancar o motor.

Devido a sua robustez, se o arranque não se produzir com uma frequência, estes valores elevados não causam danos ao motor ou redução de sua vida útil.

Se, no entanto, se provocar quedas de tensão na rede eléctrica das quais fazem parte, podem dar lugar a fenómenos prejudiciais para outras cargas ligadas à mesma rede, obrigando a diminuir essas correntes e causar oscilações no mecanismo accionado que dão origem a vibrações que podem ser prejudiciais.

Existem diferentes métodos para reduzir esta corrente de arranque, a maioria das quais são baseadas na diminuição da tensão, mantendo a frequência constante.

Esta redução de tensão da frequência constante provoca uma diminuição significativa no binário de arranque, que faz com que ele não seja adequado para cargas que exigem um elevado binário de arranque, adaptando-se muito bem às cargas de velocidade como bombas, compressores e ventiladores centrífugos.

Apenas a utilização de variadores de velocidade que controlam simultaneamente a tensão e a frequência permite arrancar qualquer tipo de carga sem diminuir o binário de arranque. No entanto, sua utilização para o arranque não é justificável economicamente, quase em nenhum dos casos.

Em geral, existem dois métodos gerais de variação da tensão para controlar o arranque: variação discreta usando autotransformadores ou arrancador estrela-triângulo e método de arranque suave denominados Soft starters

O método de arranque suave é tecnicamente superior aos outros métodos, pois permite um controlo suave da corrente e o binário sem sujeitar o mecânismo accionado a perigosas oscilações que podem danificar o seu rolamento.

Embora esse método seja o mais caro, o arranque suave é justificada por diversas vezes já que a larga vida útil do mecanismo accionado e reduz os distúrbios na rede incorporando outras funções como são a paragem e a proteccção do motor.

Embora tecnicamente o melhor método, não é rentável utilizar um variador de velocidade apenas para arrancar e parar, porque é mais caro do que o arrancador suave e este funciona de modo satisfatório a melhorar a qualidade do processo de arranque.

Quanto aos métodos de paragem, se quisermos parar o motor suavemente o método de diminuição na rampa da velocidade é o melhor. Para paragem de emergência ou uma paragem muito rápida o método de paragem dinâmica com a introdução da corrente contínua no estator é o mais apropriado.

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Page 100: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

RECOMENDAÇÃO

Recomenda-se continuar a investigação sobre os métodos de arranque e paragem aplicados a outros tipos de mecanismos como as esteiras ou como os elevadores.

BIBLIOGRAFIA

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FEITO, Javier Sainz. Máquinas Eléctricas – Editora Prentice Hall, 2000

FITZGERALD, A. E; KINGSLEY JUNIOR, C.; KUSKO, A. Máquinas Eléctricas Brasil: McGraw-Hill do Brasil,

MONTIEL, Angel Costa. Variadores de Velocidad de Motores de Inducción por Variación de la Frecuencia – Monografía, Habana, Cuba, 2000

RASHID, Muhammad H. Electrónica de Potência – São Paulo: Makron Books, 1997.

WEG, Manuais de instalação de soft-starters Variadores de Velocidade e Softstarters. Disponível em: www.weg.com.br

WEBSITES CONSULTADOS

WEG – http: //www.weg.com – Acesso em Agosto de 2012

SIEMENS – Catálogo de Motores – http: // www.siemens.com.br

Apêndece

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Page 102: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

Este apêndice apresenta os arquivos necessários para simulação do sistema utilizando o SIMULINK do software MATLAB.

clcclear%PROGRAMA PARA LA DETERMINACION DE LAS CARACTERISTICAS ENERGETICAS%DEL MOTOR DE INDUCCION A PARTIR DE LOS DATOS DE CHAPA O DE CATALOGO.%DATOS DE CHAPA Pn=18.5;% potencia nominal en kWpn=Pn*1000; %potencia nominal en Wfn=50;%frecuencia nominalunf=400/1.73;% tensión nominal de fase (depende de la conexión)inf=34.5;% corriente nominal de fase (depende de la conexión)ns=1500;% velocidad sincrónica en r/minnn=1450;% velocidad nominal en r/minefn=0.901;% eficiencia nominal en pufpn=0.86;% factor de potencia nominal en pumm=2.9;% par máximo en por unidad de nominal%CALCULO DE LAS PERDIDAS NOMINALES Y LOS PARAMETROS DEL CIRCUITO%EQUIVALENTEMn=pn/(nn*0.105);% par nominal en N-msn=(ns-nn)/ns;% deslizamiento nominal en pupenn=pn/efn; %potencia nominal de entrada en W sperdn=penn-pn; %pérdidas nominalespacn=0.2*sperdn;% pérdidas de acero nominaleskfb=0.5052*(pn^(-0.3296));% constante de las pérdidas mecánicaspmecn=kfb*pn;%pérdidas mecánicas nominales%Determinación de las pérdidas adicionales nominales en dependencia de la%potendcia.if Pn<100padn=0.018*pn;else padn=0.015*pn; endzb=unf/inf;%impedancia baserr=sn*zb;%resistencia del rotor en pusenfin=sqrt(1-fpn^2);% seno del ángulo del factor de potencia%Cálculo del deslizamiento para el par máximoa1=2*mm*sn;a2=2*sn;b=sqrt(mm^2-(1+a2)+a1);c=(mm+b)/((1+a2)-a1);sm=sn*c;%deslizamiento para el par máximoion=inf*(senfin-(sn/sm)*fpn);%Corriente de vacío nominalxcc=rr/sm;%reactancia de dispersión total en ohmsa0=0.4;b0=0.6;%constantes para la división de la reactancia totalx1=a0*xcc;%reactancia de dispersión del estatorx2=b0*xcc;%reactancia de dispersión del rotori2n=inf*sqrt(1+(sn/sm)^2)*fpn;%corriente nominal del rotorpcobrn=3*i2n^2*rr% pérdidas de cobre nominales en el rotorpcobsn=sperdn-(pcobrn+padn+pmecn+pacn)%pérdidas de cobre nominales en el estatorrs=pcobsn/(3*inf^2);%resistencia del estatore2n=unf-inf*rs*fpn-inf*x1*senfin;%fem nominalrm=(3*e2n^2)/pacn;%resistencia de las pérdidas de aceroxm=e2n/ion; %Reactancia magnetizanterad=padn/(3*i2n^2);%resistencia de las pérdidas adicionalessperdn,pacn,pmecn,padn,pcobrn,pcobsn %pérdidasrs,rr,rm,rad,xm,x1,x2%parámetros

%DETERMINACION DE LAS CARACTERISTICAS DE COMPORTAMIENTO DEL MOTORurf=400/1.73;%Tensión real de fase aplicada al motork=1;it(k)=1;s(k)=0.00001;while s(k)<1.3*sn zr=(rr/s(k)+rad)+x2*i;%impedancia de la rama del rotor

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Page 103: Arranque e Paragem de Motores Assincronos

zm=(rm*xm*i)/(rm+xm*i);%impedancia de la rama magnetizante z2=zr*zm/(zr+zm);%impedancias en paralelo zs=rs+x1*i;%impedancia del estator zt=zs+z2;%impedancia total isc=urf/zt;%corriente del estator compleja is(k)=abs(isc)/inf;%valor absoluto de la corriente del estator en pu fi=angle(isc);%angulo del factor de potencia fp(k)=cos(angle(isc));%factor de potencia q(k)=-3*urf*is(k)*inf*sin(angle(isc))/penn;%potencia reactiva en por unidad nr(k)=1-s(k);%velocidad del rotor en pu up=isc*z2;%fem compleja e2=abs(up);%fem absoluta i22=up/zr;%corriente del rotor compleja ir=abs(i22);%valor absoluto de la corriente del rotor rr2=rr*(1-s(k))/s(k);%resistencia que simula la carga mecánica Pmec=3*ir^2*rr2;%potencia convertida a la forma mecánica pmec=pmecn*(nr(k)*ns)/nn;%pérdidas mecánicas psal(k)=(Pmec-pmec)/pn;%potencia de salida en pu pin(k)=3*urf*abs(isc)*fp(k)/pn;%potencia activa de entrada en pu ef(k)=psal(k)/pin(k); k=k+1; s(k)=s(k-1)+0.0005; it(k)=it(k-1)+1; if it(k)>250 break endendfigure(1):plot(psal,ef,'r');gridfigure(2):plot(psal,fp,'r');gridfigure(3):plot(psal,q,'b');gridfigure(4):plot(psal,is,'r');gridfigure(5):plot(psal,nr,'b');gridPen=16penpu=Pen/PnIleida=inf*spline(pin,is,penpu)ipu=Ileida/inf Psal=pn*spline(is,psal,ipu)Qen=penn*spline(is,q,ipu)ef1=spline(is,ef,ipu)

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