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  • 1

    "A matemtica o alfabeto com que Deus escreveu o mundo"Galileu GalileiITA20

    09

    Sabe-se que o momento angular de uma massa pontual dado pelo produto vetorial do vetor posio dessa massa pelo seu momento linear. Ento, em termos das dimenses de comprimento ( )L , de massa ( )M , e de tempo ( )T , um momento angular qualquer tem sua dimenso dada por A) 0 1.L MT B) 0 1.LM T C) 1.LMT D) 2 1.L MT E) 2 2.L MT Resoluo: Da definio: L r P=

    senL r m v= [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 1senL r m v L M L T L M T = = =

    Alternativa D

    Uma partcula carregada negativamente est se movendo na direo +x quando entra em um campo eltrico uniforme atuando nessa mesma direo e sentido. Considerando que sua posio em 0 st = 0 mx = , qual grfico representa melhor a posio da partcula como funo do tempo durante o primeiro segundo? A)

    0.3

    0.2

    0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.30 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    t

    x

    B)0.3

    0.2

    0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.30 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    t

    x

    C)0.3

    0.2

    0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.30 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    t

    x

    D)0.3

    0.2

    0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.30 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    t

    x

    E)0.3

    0.2

    0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.30 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    t

    x

    Q u e s t o 0 2

    Q u e s t o 0 1

  • 2 2

    Resoluo: Supondo-se que a fora eltrica seja a nica que atua sobre a carga, tem-se que:

    R e

    x

    F Fma q E

    =

    =

    x

    q Ea

    m

    = Como o campo eltrico uniforme a acelerao a que a carga fica submetida constante e no sentido x, logo, o movimento ao longo do eixo x ser uniformemente variado. Ento:

    20 0

    12x x

    x x v t a t= + +

    20

    12x

    qEx v t tm

    = Que a equao de uma parbola com concavidade voltada para baixo.

    Alternativa E

    Um barco leva 10 horas para subir e 4 horas para descer um mesmo trecho do rio Amazonas, mantendo constante o mdulo de sua velocidade em relao gua. Quanto tempo o barco leva para descer esse trecho com os motores desligados? A) 14 horas e 30 minutos. B) 13 horas e 20 minutos. C) 7 horas e 20 minutos. D) 10 horas. E) No possvel resolver porque no foi dada a distncia percorrida pelo barco. Resoluo: Seja Bv o mdulo da velocidade do barco em relao s guas, Cv a velocidade da correnteza e D a distncia percorrida pelo barco. Ento:

    4B CDv v+ = (1)

    10B CDv v = (2)

    De (1) e (2), temos: 340

    40 horas3

    C

    C

    Dv

    Dtv

    =

    = =

    13t = horas e 20 minutos

    Alternativa B Na figura, um ciclista percorre o trecho AB com velocidade escalar mdia de 22,5 km/h e, em seguida, o trecho BC de 3 00 km, de extenso. No retorno, ao passar em B, verifica ser de 20,0km/h sua velocidade escalar mdia no percurso ento percorrido,

    .ABCB Finalmente, ele chega em A perfazendo todo o percurso de ida e volta em 1,00 h , com velocidade escalar mdia de 24,0 km/h. Assinale o mdulo v do vetor velocidade mdia referente ao percurso .ABCB A) 12,0 km/hv = B) 12,00 km/hv = C) 20,0 km/hv = D) 20,00 km/hv = E) 36,0 km/hv =

    Q u e s t o 0 3

    Q u e s t o 0 4

    A B

    C

    3,00 k

    m

  • 3 3

    Resoluo:

    A B

    C

    x Como a velocidade escalar mdia no percurso total foi de 24 0 km/h, levando para isso um tempo total de 1,00 h, o percurso total ter um comprimento de 24,0 km, ento, sendo x o comprimento AB, teremos: 2 2 3 00 24 0x , ,+ =

    24 0 6 002

    , ,x = 9 0 kmx ,=

    Como no percurso ABCB a velocidade escalar mdia vale 20 0 km/hMv ,= e 9 0 3 00 3 00s , , , = + +

    15 0 kms , = Ento:

    15 0 15 020 020 0

    , ,, tt ,

    = =

    3 h4

    t = O vetor velocidade mdia definido como:

    Mrvt

    =

    Sabe-se que:

    r x =

    9 0 kmr , = Ento:

    9 034

    M,V = 12 0 km/hMV , =

    Alternativa A

    A partir do repouso, um carrinho de montanha russa desliza de uma altura 20 3 mH = sobre uma rampa de 60 de inclinao e corre 20 m num trecho horizontal antes de chegar em um loop circular, de pista sem atrito. Sabendo que o coeficiente de atrito na rampa e do plano horizontal 1 2 , assinale o valor do raio mximo que pode ter esse loop para que o carrinho faa todo o percurso sem perder A) 8 3 mR =

    B) ( )4 3 1 mR = C) ( )8 3 1 mR = D) ( )4 2 3 1 mR = E) ( )40 3 1 / 3mR = Resoluo: Seja m a massa do carrinho

    1 1 2 2cos 180 cos 180Fat N d N d = +

    ( )1 1 2 21 cos60 202 sen 60Fat

    HN d N d mg mg

    = + = +

    1 20 3 202 2 3

    2

    Fatmg

    = +

    Q u e s t o 0 5

    H

    60

    20 m

    2R

  • 4 4

    20Fat Mmg E = = 2

    202

    mvmg mgH , = em que v o mdulo da velocidade do carrinho ao entrar no loop circular. 2

    202

    mvmgH mg =

    2 40 40 3 40v gH g g g= =

    ( )40 3 1v g= Fazendo conservao da energia mecnica do ponto mais baixo do loop ao mais alto e lembrando que no ponto mais alto a velocidade deve ter mdulo v' gR ,= temos:

    2 2

    22 2

    mv mv' mg R= +

    ( )40 3 12

    2 2

    g gR gR

    = +

    ( )40 3 1 4 5g R R R = + = ( )8 3 1 mR . =

    Alternativa C

    Desde os idos de 1930, observaes astronmicas indicam a existncia da chamada matria escura. Tal matria no emite luz, mas a sua presena inferida pela influncia gravitacional que ela exerce sobre o momento de estrelas no interior de galxias. Suponha que, numa galxia, possa ser removida sua matria escura de massa especfica 0 > , que se encontra uniformemente distribuda. Suponha tambm que no centro dessa galxia haja um buraco negro de massa M, em volta do qual uma estrela de massa m descreve uma rbita circular. Considerando rbitas de mesmo raio da presena e na ausncia de matria escura, a respeito da fora gravitacional resultante F exercida sobre a estrela e seu efeito sobre o movimento desta, pode-se afirmar que A) F atrativa e a velocidade orbital de m no se altera na presena da matria escura. B) F atrativa e a velocidade orbital de m menor da presena da matria escura. C) F atrativa e a velocidade orbital de m maior na presena da matria escura. D) F repulsiva e a velocidade orbital de m maior na presena da matria escura. E) F repulsiva e a velocidade orbital de m menor na presena da matria escura. Resoluo: Da informao > 0, infere-se que a massa escura significa uma massa 0m > gravitacional uniformemente distribuda que respeita a Gravitao Universal de Newton. Temos ento duas situaes distintas a considerar: i) Na ausncia da massa escura; A fora centrpeta sobre a massa m se deve atrao gravitacional ( F ) entre ela e o buraco negro.

    2

    2pc Gv MmF F m Gr r

    = = GMvr

    = 2) Na presena da massa escura; A fora centrpeta sobre m se deve atrao gravitacional resultante ( F ) entre ela e a soma entre a massa do buraco negro ( M ) e a massa escura ( EM ) que deve ter o centro de massa coincidente com o buraco negro (no centro da galxia):

    ( )22p

    Ec G

    M M mmv'F F Gr r

    += =

    ( )EG M Mv'r+

    =

    Assim, para o mesmo raio, a fora F que aponta para o centro da galxia atrativa e a velocidade orbital maior na presena da matria escura.

    Alternativa C

    Q u e s t o 0 6

  • 5 5

    Diagramas causais servem para representar relaes qualitativas de causa e efeito entre duas grandezas de um sistema. Na sua construo, utilizamos figuras como r s

    + para indicar que o aumento da grandeza r implica aumento da grandeza s e

    r s para indicar que o aumento da grandeza r implica diminuio da grandeza s . Sendo a a acelerao, v a velocidade e x a posio, qual dos diagramas abaixo melhor representa o modelamento do oscilador harmnico?

    a v x+ + +A)

    a v x+ +C)+

    a v x+ +E)

    a v x+ +B)

    a v x+ +D)

    Resoluo: Para um MHS podemos escrever:

    cos( )x A t= sen( )v A t= 2 cos( )a A t=

    Que conduz aos grficos:

    x

    A

    0

    A

    T

    4T/2

    3T

    4T

    t

    v

    Aw

    0

    Aw

    T

    4

    3T

    4T

    tT

    2

    a

    Aw2

    0

    Aw2

    T

    4

    3T

    4T

    tT

    2

    Observamos que x a+

    nunca est correto, logo a alternativa A est descartada.

    i) a v+

    , ocorre no intervalo ,4 2T T

    ii) v x+

    , ocorre no intervalo 3,

    2 4T T

    iii) x a

    , ocorre no intervalo ,2T T

    De i, ii e iii.

    a v x + + ocorrem, desde que respeitados seus intervalos.

    As afirmaes C, D e E tambm ocorrem, porm em intervalos mais restritos. Do exposto, ficaremos com a alternativa B como a que melhor representa o MHS.

    Alternativa B

    Q u e s t o 0 7

  • 6 6

    Uma balsa tem o formato de um prisma reto de comprimento L e seo transversal como vista na figura. Quando sem carga, ela submerge parcialmente at a uma profundidade 0 .h Sendo a massa especfica da gua e g a acelerao da gravidade, e supondo seja mantido o equilbrio hidrosttico, assinale a carga P que a balsa suporta quando submersa a uma profundidade

    1.h

    A) ( )2 21 0 senP gL h h= B) ( )2 21 0 tanP gL h h= C) ( )2 21 0 sen / 2P gL h h= D) ( )2 21 0 tan / 2P gL h h= E) ( )2 21 0 2 tan / 2P gL h h= Resoluo: Quando sem carga, o peso da bolsa equilibrado pelo empuxo do volume de gua deslocada:

    0

    20 2

    B

    B

    P E

    P g h tg L

    =

    =

    Quando carregada, o novo empuxo equ