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AULAS 07, 08 e 09
MATEMÁTICA A RICARDINHO
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Forma: f(x) = ax
(a > 1) → função crescente
(0 < a < 1) → função decrescente
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL
ax > ay
x > y x < y
a > 1 0 < a < 1
Exemplos
a) 2x+3 > 322x+3 > 25
x + 3 > 5
x > 2
b) (0,1)x+3 > 0,01
(0,1)x+3 > (0,1)2
x + 3 < 2
x < - 1
Resolva, em R, as seguintes inequações exponenciais:
32116x >
( )5
4
2
12 >x
2
5
4
2
12 >x
2
54 22
−
>x
2
54 −>x
1)
Resolução
8
5−>x
As bases são maiores que 1 (a>1)Logo a desigualdade permanece
2) (0,001)x – 0,01 ≥ 0
Resolução
(0,001)x ≥ 0,01
(10-3)x ≥ 10-2
10-3x ≥ 10-2
- 3x ≥ - 2 multiplicando por (-1)
3x ≤ 2
3
2≤x
As bases são maiores que 1 (a>1)Logo a desigualdade permanece
DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
logB A = x ↔ A = Bx
Aplicando a definição, determine o valor dos seguintes logaritmos:
1) log2 1024
log21024 = x
1024 = 2x
210 = 2x
x = 10
2) log3 243
log3 243 = x
243 = 3x
35 = 3x
x = 5
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
logB 1 = 0 logA A = 1
Determine o valor da seguinte expressão:
log21 + log77 + log 10000
0 + 1 + 4
log10 10000 = x
10000 = 10x
104 = 10x
4 = x5
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIACONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Considere a função f(x) = logB x
Para f(x) ser definida são necessárias as seguintes condições:
≠ 1b e 0>b
0>x Resumindo
1 de diferente base
positiva base
positivo dologaritman
EXEMPLO: Determinar o domínio da função f(x) = log2(2x – 6)
2x – 6 > 0
2x > 6
x > 3 D(f) = {x ∈R| x > 3}
Primeira Propriedade:
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos.
loga (b . c) = loga b + loga c
Segunda Propriedade:O logaritmo de um quociente é igual a subtração dos logaritmos.
loga b/c = logab - logac
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
Terceira Propriedade:O logaritmo de uma potência é igual a potência do logaritmo.
loga bm = m.loga b
Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47 determine o valor de: a) log 6 b) log 1,5 c) log 64
a) log 6:
log 6 = log 2 · 3
log 6 = log 2 + log3
log 6 = 0,3 + 0,47
log 6 = 0,77
b) log 1,5:
log 1,5 = log 3/2
log 1,5 = log 3 – log2
log 1,5 = 0,47 – 0,3
log 1,5 = 0,17
c) log 64:
log 64 = log 26
log 64 = 6·log 2
log 64 = 6·(0,3)
log 64 = 1,8
( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28?
log 28 = log (22.7)
log 28 = log 22 + log 7
loga (b . c) = loga b + loga c
loga bm = m.loga b
log 28 = 2.log 2 + log 7
log 28 = 2.0,301 + 0,845
log 28 = 0,602 + 0,845
log 28 = 1,447
28 214 2
7 7
1
Quarta Propriedade:
MUDANÇA DE BASE AlogBlogBlogc
cA =
EXEMPLOS:
1) Passar log38 para base 7
Resolução:
log38 =
log 8
log 37
7
2) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule log3 2.
Resolução:
log32 =
log 2
log 310
10
log32 =
0,30
0,47
log3 2 ≅ 0,64
EQUAÇÕES LOGARÍTIMICASEQUAÇÕES LOGARÍTIMICAS
1) log2 (4x – 8) = 5
4x – 8 = 25
4x – 8 = 32
4x = 40
x = 10
2) log2 (4x – 8) = log2 (x + 1)
log2 (4x – 8) = log2 (x + 1)
4x – 8 = x + 1
4x – x = 1 + 8
3x = 9
x = 3
3) log2 (x – 8) + log2 5 = log2 10
log2 (x – 8).5 = log2 10
(x – 8).5 = 10
5x – 40 = 10
5x = 10 + 40
5x = 50
x = 10
( UFSC ) A solução da equação loglog22 (x + 4) + log (x + 4) + log22(x – 3) = log(x – 3) = log221818, é:
loglog22 (x + 4) + log (x + 4) + log22(x – 3) = log(x – 3) = log221818 loga (b . c) = loga b + loga c
loglog22 (x + 4).(x – 3) = log (x + 4).(x – 3) = log221818
loglog22 (x + 4).(x – 3) = log (x + 4).(x – 3) = log221818
(x + 4).(x – 3) = 18
x2 – 3x + 4x – 12 = 18
x2 + x – 12 – 18 = 0
x2 + x – 30 = 0
x2 + x – 30 = 0 a = 1 b = 1 c = - 30
∆ = b2 – 4ac
∆ = 12 – 4.1.(-30)
∆ = 1 + 120
∆ = 121
2
111-x
2a
bx
±=
∆±−=
Logo temos: x = 5
( UEPG-PR ) Determine o produto das raízes da equação logx 4 + log2 x = 3
logx 4 + log2 x = 3 log 4
log x
2
2
3loglog
4log2
2
2 =+ xx
3loglog
22
2
=+ xx
Incógnita auxiliar:
log2x = y
32 =+ yy
2 + y2 = 3y
y2 – 3y + 2 = 0
y’ = 1 y’’ = 2
log2 x = 1 log2 x = 2
x = 21 x = 22
x = 2 x = 4
Portanto o produto dasraízes é 2.4 = 8