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AULAS 07, 08 e 09 MATEMÁTICA A RICARDINHO

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Page 1: Arquivo 58

AULAS 07, 08 e 09

MATEMÁTICA A RICARDINHO

Page 2: Arquivo 58

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Forma: f(x) = ax

(a > 1) → função crescente

(0 < a < 1) → função decrescente

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

ax > ay

x > y x < y

a > 1 0 < a < 1

Exemplos

a) 2x+3 > 322x+3 > 25

x + 3 > 5

x > 2

b) (0,1)x+3 > 0,01

(0,1)x+3 > (0,1)2

x + 3 < 2

x < - 1

Page 3: Arquivo 58

Resolva, em R, as seguintes inequações exponenciais:

32116x >

( )5

4

2

12 >x

2

5

4

2

12 >x

2

54 22

>x

2

54 −>x

1)

Resolução

8

5−>x

As bases são maiores que 1 (a>1)Logo a desigualdade permanece

2) (0,001)x – 0,01 ≥ 0

Resolução

(0,001)x ≥ 0,01

(10-3)x ≥ 10-2

10-3x ≥ 10-2

- 3x ≥ - 2 multiplicando por (-1)

3x ≤ 2

3

2≤x

As bases são maiores que 1 (a>1)Logo a desigualdade permanece

Page 4: Arquivo 58
Page 5: Arquivo 58

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO

logB A = x ↔ A = Bx

Aplicando a definição, determine o valor dos seguintes logaritmos:

1) log2 1024

log21024 = x

1024 = 2x

210 = 2x

x = 10

2) log3 243

log3 243 = x

243 = 3x

35 = 3x

x = 5

CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES

logB 1 = 0 logA A = 1

Determine o valor da seguinte expressão:

log21 + log77 + log 10000

0 + 1 + 4

log10 10000 = x

10000 = 10x

104 = 10x

4 = x5

Page 6: Arquivo 58

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIACONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Considere a função f(x) = logB x

Para f(x) ser definida são necessárias as seguintes condições:

≠ 1b e 0>b

0>x Resumindo

1 de diferente base

positiva base

positivo dologaritman

EXEMPLO: Determinar o domínio da função f(x) = log2(2x – 6)

2x – 6 > 0

2x > 6

x > 3 D(f) = {x ∈R| x > 3}

Page 7: Arquivo 58

Primeira Propriedade:

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos.

loga (b . c) = loga b + loga c

Segunda Propriedade:O logaritmo de um quociente é igual a subtração dos logaritmos.

loga b/c = logab - logac

PROPRIEDADESPROPRIEDADES

Terceira Propriedade:O logaritmo de uma potência é igual a potência do logaritmo.

loga bm = m.loga b

Page 8: Arquivo 58

Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47 determine o valor de: a) log 6 b) log 1,5 c) log 64

a) log 6:

log 6 = log 2 · 3

log 6 = log 2 + log3

log 6 = 0,3 + 0,47

log 6 = 0,77

b) log 1,5:

log 1,5 = log 3/2

log 1,5 = log 3 – log2

log 1,5 = 0,47 – 0,3

log 1,5 = 0,17

c) log 64:

log 64 = log 26

log 64 = 6·log 2

log 64 = 6·(0,3)

log 64 = 1,8

Page 9: Arquivo 58

( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28?

log 28 = log (22.7)

log 28 = log 22 + log 7

loga (b . c) = loga b + loga c

loga bm = m.loga b

log 28 = 2.log 2 + log 7

log 28 = 2.0,301 + 0,845

log 28 = 0,602 + 0,845

log 28 = 1,447

28 214 2

7 7

1

Page 10: Arquivo 58

Quarta Propriedade:

MUDANÇA DE BASE AlogBlogBlogc

cA =

EXEMPLOS:

1) Passar log38 para base 7

Resolução:

log38 =

log 8

log 37

7

2) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule log3 2.

Resolução:

log32 =

log 2

log 310

10

log32 =

0,30

0,47

log3 2 ≅ 0,64

Page 11: Arquivo 58

EQUAÇÕES LOGARÍTIMICASEQUAÇÕES LOGARÍTIMICAS

1) log2 (4x – 8) = 5

4x – 8 = 25

4x – 8 = 32

4x = 40

x = 10

2) log2 (4x – 8) = log2 (x + 1)

log2 (4x – 8) = log2 (x + 1)

4x – 8 = x + 1

4x – x = 1 + 8

3x = 9

x = 3

3) log2 (x – 8) + log2 5 = log2 10

log2 (x – 8).5 = log2 10

(x – 8).5 = 10

5x – 40 = 10

5x = 10 + 40

5x = 50

x = 10

Page 12: Arquivo 58

( UFSC ) A solução da equação loglog22 (x + 4) + log (x + 4) + log22(x – 3) = log(x – 3) = log221818, é:

loglog22 (x + 4) + log (x + 4) + log22(x – 3) = log(x – 3) = log221818 loga (b . c) = loga b + loga c

loglog22 (x + 4).(x – 3) = log (x + 4).(x – 3) = log221818

loglog22 (x + 4).(x – 3) = log (x + 4).(x – 3) = log221818

(x + 4).(x – 3) = 18

x2 – 3x + 4x – 12 = 18

x2 + x – 12 – 18 = 0

x2 + x – 30 = 0

x2 + x – 30 = 0 a = 1 b = 1 c = - 30

∆ = b2 – 4ac

∆ = 12 – 4.1.(-30)

∆ = 1 + 120

∆ = 121

2

111-x

2a

bx

±=

∆±−=

Logo temos: x = 5

Page 13: Arquivo 58

( UEPG-PR ) Determine o produto das raízes da equação logx 4 + log2 x = 3

logx 4 + log2 x = 3 log 4

log x

2

2

3loglog

4log2

2

2 =+ xx

3loglog

22

2

=+ xx

Incógnita auxiliar:

log2x = y

32 =+ yy

2 + y2 = 3y

y2 – 3y + 2 = 0

y’ = 1 y’’ = 2

log2 x = 1 log2 x = 2

x = 21 x = 22

x = 2 x = 4

Portanto o produto dasraízes é 2.4 = 8

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