ARQUÍMEDES Y LA CORONA DEL REY HIERÓN - EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

He decidido hacer esta entrada para explicar con paciencia el principio de Arquímedes y la solución que este genio de la antigüedad le dio a un problema planteado, según se cuenta, por su rey. Sin más preámbulo empiezo con la historia a la que hacía referencia en una entrada en la que hice una breve historia de Arquímedes.

El rey Hierón había mandado a hacer una corona de oro puro en honor a sus dioses. Cuando le entregaron la corona le gustó mucho, pero sospechaba de que la corona había sido hecha con la mezcla del oro que él había dado y otro metal. El rey le encargó a Arquímedes, que en ese entonces ya era un reconocido maestro y sabio en Siracusa, que le diera solución al problema. Y Arquímedes se puso a ello.

Después de algunos días, mientras Arquímedes se daba un baño, reflexionaba sobre el hecho de que al sumergirse en la tina de agua, había desplazado un volumen de agua fuera de esta. Así que visualizó la solución en su mente y salió de contento desnudo de la tina, hacia la calle, gritando ¡Eureka! ¡Eureka! (¡Lo encontré! ¡Lo encontré!).

La historia dice que Arquímedes visualizó la solución del problema, pero ¿qué fue lo que pensó? Veamos, Arquímedes conocía densidad del oro. La densidad, para

los que no lo tienen claro es la masa por unidad de volumen de un objeto. Así, por ejemplo, si la densidad del agua es 1000 kg/m3, significa que un volumen de un metro cúbico de agua tiene mil kilogramos de masa. La densidad del oro es de 19300 kg/m3, es decir 19.3 veces la del agua. Esta relación se conoce como densidad relativa, y es lo mismo que decir cuántas veces la densidad del agua se tiene. Si algo pesa el doble que el agua se dice que tiene densidad específica dos.

Sabiendo esto es fácil verificar si la corona estaba hecha de oro puro, solamente había que dividir el peso de la corona y dividirlo entre su volumen y debería dar 19300, usando las unidades correctas. Seguramente en ese tiempo se usaban otros sistemas de unidades, pero ahondaremos en ese aspecto, más adelante. Ahora lo abordaremos con unidades que nos son familiares.

Entonces decía que se necesitaban el peso y el volumen. Quiero aclarar que el peso y la masa no son lo mismo. La masa es la cantidad de materia, mientras que el peso es la masa por la aceleración de la gravedad. La masa por unidad de volumen es la densidad y el peso por unidad de volumen es el peso específico. Pero, aunque en el tiempo de Arquímedes no sabían sobre esto, en realidad no importaba, debido a que la densidad relativa y el peso específico relativo de una sustancia es el mismo. Así por ejemplo en el caso del oro:

Densidad del oro= masa deorovolumende oro

Pesoespecífico de oro= pesode orovolumende oro

Densidad relativadeoro= densidad deorodensidad deagua

Pesoespecífico relativ odeoro= peso deoropeso deagua

Pero:

peso deoropeso deagua

= densidad deoro∗gravedaddensidad deagua∗gravedad

= densidad deorodensidad deagua

De lo cual se deduce que:

Densidad relativadeoro=Peso específico relativo deoro

De tal manera que no importaba si se medía masa o peso, el oro tenía 19,3 veces más de ambas cosas que el agua. Si no se han aburrido con las expresiones matemáticas, y no han dejado de leer, seguimos con la solución: Arquímedes podía pesar a la corona, pero para terminar de dar solución al problema necesitaba su volumen. ¿Cómo iba a saber el volumen de una corona que no tenía una forma que facilitaba el cálculo? Aquí es donde entra el incidente de la tina y el agua desplazada al introducirse en ella. Arquímedes razonó que el volumen de agua desalojado por su cuerpo debía ser el mismo que el volumen sumergido de su cuerpo. Aquí estaba la clave de la solución. De modo que si sumergía la corona en un recipiente lleno, podía medir el volumen del agua desplazada por el volumen de la corona y así saber su volumen, probablemente introduciendo el agua desplazada en un cilindro para facilitar el cálculo.

Esto que Arquímedes pensó mientras se daba un baño fue el disparador del bien recordado “Eureka”. Luego Arquímedes, como dije en otra entrada, desarrolló las leyes físicas sobre la flotabilidad y los cuerpos sumergidos. El principio de Arquímedes, en hidrostática, dice que “la fuerza de flotación que actúa sobre un cuerpo sumergido en un fluido es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo y actúa hacia arriba pasando por el centroide del volumen desplazado”. Sobre el centroide, centros de masa y centros de gravedad voy a explicar en otras entradas, por ahora lo dejo así. Si tienen alguna duda o crítica constructiva, serán bien recibidas en los comentarios.