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  • rea de uma Superfcie de Revoluo

    Prof.: Rogrio Dias Dalla Riva

    UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITRIO DE SINOP

    CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

    FACULDADE DE CINCIAS EXATAS E TECNOLGICAS

  • rea de uma Superfcie de Revoluo

    1.Introduo

    2.Resoluo de Exemplos

  • 3

    1. Introduo

    Uma superfcie de revoluo formadaquando uma curva girada ao redor de uma reta.Essa superfcie a fronteira lateral de um slidode revoluo.

    Queremos definir a rea da superfcie derevoluo de maneira que ela corresponda nossaintuio. Se a rea da superfcie for A, podemospensar que para pintar a superfcie serianecessrio a mesma quantidade de tinta que parapintar uma regio plana com rea A.

  • 4

    1. Introduo

    Vamos comear com algumas superfciessimples. A rea da superfcie lateral de um cilindrocircular com raio r e altura h tomada comoA = 2rh porque podemos nos imaginar cortando ocilindro e desenrolando-o para obter um retngulocom as dimenses 2r e h, como na figura abaixo.

  • 5

    1. Introduo

    Da mesma maneira, podemos tomar um conecircular com a base de raio r e a geratriz l, cort-lo ao longo da linha pontilhada na figura a seguir eachat-lo para formar o setor de um crculo comraio l e ngulo central = 2r/l.

  • 6

    1. Introduo

    Sabemos que, em geral, a rea de um setorde um crculo com raio l e ngulo

    212

    A l=

    Assim, nesse caso a rea

    2 21 1 22 2

    rA l l rl

    l = = =

  • 7

    1. Introduo

    Que tal superfcies de revoluo maiscomplicadas? Se seguirmos a estratgia queusamos com o comprimento de arco, podemosaproximar a curva original por um polgono.

    Quando esse polgono girado ao redor deum eixo, ele cria uma superfcie mais simples, cujarea da superfcie se aproxima da rea dasuperfcie real. Tomando o limite podemosdeterminar a rea exata da superfcie.

  • 8

    1. Introduo

    A superfcie aproximadora, ento, consisteem faixas, cada qual formada pela rotao de umsegmento de reta ao redor de um eixo. Paradeterminar a rea da superfcie, cada uma dessasfaixas pode ser considerada como uma poro deum cone circular, como mostrado na figura aseguir.

  • 9

    1. Introduo

    A rea da faixa (outronco de um cone), comgeratriz l e raios superior einferior r1 e r2, respectiva-mente, calculada pela sub-trao das reas dos doiscones:

    ( )2 1 1 1A r l l r l= + ( )2 1 1 2A r r l r l = +

  • 10

    1. Introduo

    Pela similaridade de tringulos temos

    1 1

    1 2

    l l lr r

    +=

    o que resulta em

    ( )2 1 1 1 1 2 1 1 1 ou r l r l r l r r l r l= + =

  • 11

    1. Introduo

    Como

    resulta em

    ( )2 1 1 2A r r l r l = +

    [ ]1 2 ou 2A r l r l A rl= + = onde

    ( )1 2 o raio mdio da faixa1

    2

    r r r= +

  • 12

    1. Introduo

    Agora aplicamos essa frmula nossaestratgia. Considere a superfcie mostrada nafigura a seguir, obtida pela rotao da curvay = f(x), a x b, ao redor do eixo x, onde f positiva e tem uma derivada contnua.

  • 13

    1. Introduo

    (a) Superfcie de revoluo

    (b) Faixa de aproximao

  • 14

    1. Introduo

    Para definir sua rea de superfcie,dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos comos extremos x0, x1, , xn e larguras iguais a x,como fizemos para determinar o comprimento dearco.

    Se yi = f(xi), ento o ponto Pi (xi, yi) estsobre a curva. A parte da superfcie entre xi-1 e xipode ser aproximada tomando-se o segmento dereta Pi-1Pi e girando-o ao redor do eixo x.

  • 15

    1. Introduo

    O resultado uma faixa (um tronco de cone)com geratriz

    1i il P P=

    e raio mdio

    ( )1 212

    r r r= +

  • 16

    1. Introduo

    Portanto, a rea da superfcie pode serreescrita como

    112 2 2

    i ii i

    y yA rl P P

    += =

  • 17

    1. Introduo

    Relembrando a aula anterior

    ( ) 2*1 1i i iP P f x x = + onde xi* algum nmero em [xi-1, xi]. Quando x pequeno, temos yi = f(xi) f(xi*) e tambmyi-1 = f(xi-1) f(xi*), uma vez que f contnua.

  • 18

    1. Introduo

    Portanto

    ( ) ( ) 2* *1 12 2 12i i

    i i i i

    y yP P f x f x x

    + +

    e ento uma aproximao para a rea da superfciecompleta de revoluo :

    ( ) ( ) 2* *1

    lim 2 1n

    i ini

    f x f x x =

    +

  • 19

    1. Introduo

    Essa aproximao torna-se melhor quandon e, reconhecendo a expresso anterior comouma soma de Riemann para a funo

    [ ]2( ) 2 ( ) 1 ( )g x f x f x= +temos

    ( ) ( ) [ ]2 2* *1

    lim 2 1 2 ( ) 1 ( )bn

    i ini a

    f x f x x f x f x dx =

    + = +

  • 20

    1. Introduo

    Portanto, no caso onde f positiva e temuma derivada contnua, definimos a rea dasuperfcie obtida pela rotao da curva y = f(x),a x b, ao redor do eixo x como

    [ ]22 ( ) 1 ( )b

    a

    S f x f x dx= +

  • 21

    1. Introduo

    Com a notao de Leibniz para as derivadas,essa frmula torna-se

    2

    2 1b

    a

    dyS y dx

    dx = +

  • 22

    1. Introduo

    Se a curva descrita como x = g(y), c y d,ento a frmula para a rea da superfcie torna-se

    2

    2 1b

    a

    dxS y dy

    dy = +

  • 23

    1. Introduo

    Ou, de forma alternativa, as frmulasanteriores podem ser resumidas simbolicamenteusando-se a notao para o comprimento de arcodada na aula anterior.

    2S y ds=

    Pela rotao ao redor do eixo y, a frmulada rea da superfcie se torna

    2S x ds=

  • 24

    1. Introduo

    onde, como anteriormente, podemos usar

    22

    1 ou 1dy dx

    ds dx ds dydx dy

    = + = +

  • 25

    1. Introduo

    Essas frmulas podem ser lembradaspensando-se em 2y ou 2x como a circunfernciade um crculo traada pelo ponto (x, y) na curva egirada ao redor do eixo x ou do eixo y,respectivamente.

    (a) Rotao ao redor do eixo x (b) Rotao ao redor do eixo y

    2S y ds= 2S x ds=

  • 26

    2. Resoluo de exemplos

    Exemplo 1: A curva

    24 1 1y x x=

    um arco do crculo x2 + y2 = 4. Determine a reada superfcie obtida pela rotao desse arco aoredor do eixo x. (A superfcie uma poro de umaesfera de raio 2, conforme mostra a figura aseguir).

  • 27

    2. Resoluo de exemplos

  • 28

    2. Resoluo de exemplos

    Temos

    ( ) ( )1 222

    14 2

    2 4

    dy xx x

    dx x

    = =

  • 29

    2. Resoluo de exemplos

    Portanto:

    21

    1

    2 1dy

    S y dxdx

    = +

    1 22

    21

    2 4 14

    xS x dx

    x= +

    1 2 22

    21

    42 4

    4x x

    S x dxx

    +=

  • 30

    2. Resoluo de exemplos

    12

    21

    42 4

    4S x dx

    x=

    ]114S x =

    [ ]4 (1) ( 1) 8S = =

  • 31

    2. Resoluo de exemplos

    Exemplo 2: O arco da parbola y = x2 de (1, 1) para(2, 4) girado ao redor do eixo y. Determine area da superfcie resultante.

  • 32

    2. Resoluo de exemplos

    Soluo 1:

    2 e 2dy

    y x xdx

    = =

  • 33

    2. Resoluo de exemplos

    Portanto:

    22

    1

    2 1dy

    S x dxdx = +

    22

    1

    2 1 (2 )S x x dx= +

    22

    1

    2 1 4S x x dx= +

  • 34

    2. Resoluo de exemplos

    Substituindo u = 1 + 4x2, temos du = 8x.

    22

    1

    12 1 4 8

    8S x xdx= +

    1717 173 32 2

    555

    24 4 3 6

    S u du u u = = =

    Quando x = 1, u = 5, e quando x = 2, u = 17.

    ( )17 17 5 56S =

  • 35

    2. Resoluo de exemplos

    Soluo 2:

    1 e

    2

    dxx y

    dy y= =

  • 36

    2. Resoluo de exemplos

    Portanto:

    24

    1

    2 1dx

    S x dydy = +

    24

    1

    12 1

    2S y dy

    y

    = +

    4

    1

    12 1

    4S y dy

    y= +

  • 37

    2. Resoluo de exemplos

    4

    1

    4 12

    4y

    S y dyy+=

    4

    1

    12 4 1

    2S y y dy

    y= +

    4

    1

    4 1S y dy= +

  • 38

    2. Resoluo de exemplos

    Substituindo u = 1 + 4y, temos du = 4dy.

    Quando y = 1, u = 5, e quando y = 4, u = 17.

    4

    1

    4 1 44

    S y dy= +

    4

    14S u du=

    ( )17 17 5 56S =

  • 39

    2. Resoluo de exemplos

    Para verificar nossa resposta no Exemplo 2,veja pela figura abaixo que a rea da superfciedeve ser prxima rea de um cilindro circularcom a mesma altura e raio na metade entre o raiosuperior e o inferior da superfcie.

    ( )17 17 5 5 30,856S =

    2 (1,5) (3) 28,27S =

  • 40

    2. Resoluo de exemplos

    Alternativamente, a rea da superfcie deveser ligeiramente maior que a rea de um tronco deum cone com as mesmas bordas superior e inferior

    ( )17 17 5 5 30,856S =

    2 2 (1,5) ( 10) 29,80S rl= =

  • 41

    2. Resoluo de exemplos

    Exemplo 3: Determine a rea da superfcie geradapela rotao da curva y = ex, 0 x 1, ao redor doeixo x.

  • 42

    2. Resoluo de exemplos

    Soluo:

    e x xdy

    y e edx

    = =

  • 43

    2. Resoluo de exemplos

    Portanto:

    21

    0

    2 1dy

    S y dxdx = +

    12

    0

    2 1 ( )x xS e e dx= +

    12

    0

    2 1 x xS e e dx= +

  • 44

    2. Resoluo de exemplos

    Substituindo u = ex, temos du = ex dx.

    2

    1

    2 1e

    S u du= +

    Quando x = 0, u = 1, e quando x = 1, u = e.

    Lembrando que:

    ( )22 2 2 2 2 2ln2 2u a

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