aps - divergências populacionais
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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Toledo
Engenharia Civil
Equações Diferenciais Ordinárias
ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA
Equações Diferenciais Aplicadas Ao Cálculo de
Divergências Populacionais
Toledo, 11 de Dezembro de 2014.
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Allan Luiz Klein Mayer
Cristian Gabriel Petri
Leandro Dalla Costa
Lucas Flois Ferreira
ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA
Equações Diferenciais Aplicadas Ao Cálculo de
Divergências Populacionais
Atividade Prática Supervisionada
apresentada à disciplina de Equações
Diferenciais Ordinárias do curso de
Engenharia Civil da Universidade
Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.
Professor: Eleomar Cardoso Junior.
Toledo, 11 de Dezembro de 2014.
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Sumário
1. Introdução .................................................................................................................................... 4
2. Fundamentação Teórica ........................................................................................................... 5
2.1 Teoria Malthusiana ............................................................................................................. 5
2.2 Teoria de Verhulst .............................................................................................................. 6
3. Aplicação ...................................................................................................................................... 7
3.1 Teoria Malthusiana ............................................................................................................. 7
3.2 Teoria de Verhulst .............................................................................................................. 9
3.3 Exercícios ........................................................................................................................... 11
4. Conclusão .................................................................................................................................. 15
5. Referências ................................................................................................................................ 16
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1. Introdução
A expansão demográfica nada mais é do que o crescimento populacional, ou
seja, quando a taxa de natalidade de determinado local é maior do que sua taxa de
mortalidade, levando a população a crescer cada vez mais. Em 1980, foi criada a
expressão “explosão demográfica”, devido ao crescimento populacional exacerbado,
esse termo continuou a ser usado até o século XX, quando foi substituído por
“transição demográfica” por muitos autores, devido à queda da taxa de natalidade. Até
hoje existem várias teorias que analisam este fator populacional, sendo que a mais
conhecida delas é a Teoria Populacional Malthusiana, visando analisar a divergência
entre o crescimento da capacidade produtiva de alimentos e o crescimento
demográfico. Tempos depois, o matemático Pierre Verhulst criou uma generalização
desta teoria, chamada de teoria de Verhulst, onde ele dizia que a taxa de crescimento
demográfico diminuía com o crescimento da população, tendendo a zero com uma
população limite.
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2. Fundamentação Teórica
O rápido crescimento populacional iniciou-se no século XVIII devido a
consolidação do capitalismo e da revolução industrial, muitas pessoas mudaram-se
para cidades, o que acabaram por aumentar em muito o índice de natalidade. Nesse
período inicial do capitalismo, foi quando o crescimento populacional começou a ser
visto como algo bom, pois mais pessoas significavam mais consumidores, e por volta
desta época também começaram a surgir as teorias populacionais.
Para as teorias de Malthus e Verhulst, existem certas equações diferenciais
ordinárias. No modelo de Malthus, temos uma EDO linear que quando resolvida
resulta em uma exponencial, esta exponencial está em função de uma taxa constante
“𝑘” de crescimento, ou seja, dependendo deste valor, a população tenderá a crescer
ou diminuir infinitamente.
Já na Teoria de Verhulst, temos uma EDO não linear separável, nesta equação,
foi introduzido um limite “𝐿” do ambiente, logo, esta é muito mais bem aceita do que a
de Malthus e é muito usada para analisar o crescimento populacional de algumas
cidades, mesmo assim, ela ainda não é uma equação completamente satisfatória, pois
não nos diz quando certa população será extinta.
2.1 Teoria Malthusiana
Esta foi a primeira teoria populacional a ser criada. Seu autor Thomas Robert
Malthus (1766 -1834) acreditava que a divergência entre o crescimento populacional
e a capacidade produtiva de alimentos no planeta iria chegar a tal ponto em que as
demandas da sociedade não mais seriam atendidas. Malthus acreditava que as
regiões cultiváveis iriam se esgotar, pois toda área cultivável estava ocupada por
atividades agrícolas, mesmo assim a população continuaria a crescer em nível
acelerado. A solução sugerida pelo autor para que isso não acontecesse, era de que
apenas as famílias que possuíssem áreas cultiváveis tivessem filhos.
Apesar de muito sensata, a teoria de Malthus não se concretizou, pois ele
analisou apenas uma pequena região rural para a formulação da mesma, e tomou
como princípio que todo o planeta fosse da mesma forma. Outro fator que contribuiu
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para o fracasso desta teoria foram os avanços tecnológicos dos níveis de produção
imprevistos pelo autor.
2.2 Teoria de Verhulst
40 anos após a teoria de Malthus, Pierre Verhulst criou uma melhoria desta
teoria, onde a principal diferença seria o “limite de crescimento” incorporado pelo
autor, ou seja, ele implementou um número máximo de pessoas que um ambiente
pode suportar, logo, a população de determinada localidade não mais poderia crescer
“para o infinito”, tão pouco ser extinta. Essa teoria foi muito bem aceita e é muito usada
para analisar o crescimento populacional de algumas cidades, mesmo assim, ela
ainda não é uma equação completamente satisfatória, pois não nos diz quando certa
população será extinta.
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3. Aplicação
3.1 Teoria Malthusiana
Para analisar essa teoria, é necessário que seja considerado que a proporção
de indivíduos reprodutores permanece constante durante o crescimento da
população. É considerado também que as taxas de fertilidade e de mortalidade sejam
constantes. Estas hipóteses são realistas em populações grandes que variam em
condições ideais, ou seja, quando os fatores inibidores do crescimento estão
ausentes.
Utilizando 𝑟 como a taxa de crescimento específico da população 𝑃 = 𝑃 (𝑡), que
varia em função do tempo 𝑡, tendo 𝑟 = 𝑛 – 𝑚 considerada constante.
A formulação matemática a seguir indica que a variação da população é
proporcional à própria população em cada período de tempo, ou seja, a variação
relativa da população é constante:
𝑃(𝑡 + 1) − 𝑃(𝑡)
𝑃(𝑡)= 𝑟
Desta forma, o modelo discreto de Malthus é dado por:
𝑃(𝑡 + 1) − 𝑃(𝑡) = 𝑟 𝑃(𝑡)
ou ainda:
𝑃(𝑡 + 1) = 𝑟 𝑃(𝑡) + 𝑃(𝑡) = (𝑟 + 1)𝑃(𝑡)
Para encontrar o r, estas equações são transformadas em Problemas de Valor
Inicial (PVI), resultando uma única solução. Para isto, considerando a população inicial
𝑃(0), resulta:
𝑃(𝑡 + 1) = (1 + 𝑟)𝑃(𝑡)
ou seja:
𝑃(𝑡) = (1 + 𝑟)𝑡𝑃(0)
É possível reescrever através da exponencial:
𝑃(𝑡) = 𝑃(0)𝑒𝑡.ln (1+𝑟)
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Dados as populações, a taxa de crescimento em 𝑡 anos é obtida:
(1 + 𝑟)𝑡 = 𝑃(𝑡)
𝑃(0)
𝑟 = √𝑃(𝑡)
𝑃(0)
𝑡
− 1
Imagem 1: taxa de crescimento contínuo r
O gráfico mostra que a população com taxa de crescimento contínuo tende ao
infinito.
Malthus também comparou a solução do Modelo Discreto com o Modelo
Contínuo correspondente, tal que:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= lim
∆𝑡 →0
𝑃(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑃(𝑡)
∆𝑡
e que 𝑃(𝑡 + ∆𝑡) – 𝑃(𝑡) = 𝛼𝑃(𝑡)∆𝑡, modelo discreto.
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Desta forma podemos escrever o modelo contínuo como:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝛼𝑃(𝑡)
𝑃(0) = 𝑃(0)
Utilizando 𝑃’ = 𝛼𝑃, onde 𝑃 está em função de 𝑡. Do cálculo obtém-se:
𝑃′ = 𝛼𝑃
𝑃 = 𝑒𝛼𝑡+𝑐 = 𝑒𝛼𝑡. 𝑒𝑐
onde 𝑒𝑐 é uma constante.
Utilizando 𝑡 = 0, obtém-se a seguinte equação:
𝑃(0) = 𝑒𝛼.0. 𝑒𝑐
𝑃(0) = 1. 𝑒𝑐
𝑃(𝑡) = 𝑃(0)𝑒𝛼𝑡.
Com 𝛼 > 0, verifica-se que a função é crescente e tende ao infinito, ou seja,
essa população crescerá a cada unidade de tempo.
Com 𝛼 < 0, tem-se uma função decrescente, ou seja, a população decairá a
cada unidade de tempo, tendendo a 0, ou seja, a população seria extinta.
O modelo malthusiano é frequentemente utilizado para se fazer previsões em
curto prazo, pois não leva em conta os problemas que podem ocorrer neste período.
Desta forma o modelo discreto gera alguns erros que são corrigidos ao final de cada
censo. Esses erros são devidos à complicação do crescimento populacional, que é
eventualmente limitado por algum fator.
3.2 Teoria de Verhulst
Verhulst acreditava que uma população possuía sua taxa de natalidade e
mortalidade variando em função do próprio tamanho populacional no instante de
tempo 𝑡. Ele confiava que cada população possuía uma auto-regulação, isto é, que
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cada população, vivendo num determinado meio, deverá crescer até um limite máximo
sustentável que tende a se estabilizar.
Este modelo pode ser chamado como o Modelo Logístico, sendo o Modelo de
Malthus modificado.
Tem-se a variação da população em função do tempo:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑓(𝑃)
Tem-se a visão de que a taxa de variação é uma função do número 𝑃 de
indivíduos no instante 𝑡, mas 𝑓(𝑃) deve ter um formato parabólico.
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝐾𝑃(1 − 𝑃)𝑑𝑡
Resolvendo essa equação ordinária separável:
𝑑𝑃 = 𝐾𝑃(1 − 𝑃)𝑑𝑡
𝑑𝑃
𝑃(1 − 𝑃)= 𝐾 𝑑𝑡
1
𝑃(1 − 𝑃)𝑑𝑃 = 𝐾 𝑑𝑡
∫1
𝑃(1 − 𝑃)𝑑𝑃 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑡
Resolvendo a integral parcial e utilizando propriedades logarítmicas:
𝑃(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑘𝑡
1 + 𝑐1𝑒𝑘𝑡
Supondo 𝑃(0) = 𝑃0 tem-se:
𝑐1 = 𝑃0
1 − 𝑃0
Portanto,
𝑃(𝑡) = 𝑃0𝑒𝑘𝑡
(1 − 𝑃0) + 𝑃0𝑒𝑘𝑡
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Neste modelo de Verhulst, diferentemente do modelo de Malthus, existe um
“limiar” ou um limite para o qual a população tende quando o tempo cresce. Podemos
pensar que esse limiar é um número L de indivíduos, ou seja, se a população inicial é
menor que L indivíduos, ela tende crescer até o limite. Por outro lado, se a população
inicial é maior que L, ela tende a decrescer até L. Este limiar L é chamado de
“capacidade total do meio”, ou seja, o meio suporta esta quantidade de indivíduos.
3.3 Exercícios
Utilizando as fórmulas dos modelos de Malthus e Verhulst, obtidas através das
equações diferenciais, é possível calcular o número de habitantes da cidade de Toledo
e estimar a sua população daqui a alguns anos. Os dados utilizados para esta
comparação foram obtidos pelo IPARDES (Instituto Paranaense de Desenvolvimento
Econômico e Social).
Tabela 1: População de Toledo fornecida pelo IPARDES
Ano Toledo
2007 109.857
2010 119.313
2013* 128.448 *população estimada pelo IBGE
Modelos de Malthus
Modelo Discreto
O primeiro passo é obter o fator de crescimento da população, tomando dois
valores distintos de 𝑡.
Fazendo 𝑃(𝑡) a população de 2010 e 𝑃0 a população de 2007, é obtido o valor
da taxa de crescimento 𝑟:
𝑃(𝑡) = (1 + 𝑟)𝑡𝑃(0)
119.313 = (1 + 𝑟)3109.857
1,086075535 = (1 + 𝑟)3
1,027905864 = 1 + 𝑟
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𝑟 = 0,02790586384
Portanto, a taxa de crescimento da população de Toledo foi de aproximadamente
2,8% ao ano entre os anos de 2007 e 2010. Com esta taxa é possível estimar a
população de Toledo.
Logo,
2013: população de 129.583 habitantes (população maior que a estimada pelo
IBGE).
2014: população de 133.199 habitantes.
2020: população de 157.116 habitantes.
2050: população de 358.774 habitantes.
Modelo Contínuo
Do mesmo modo, obtém-se a taxa 𝛼 de crescimento:
𝑃(𝑡) = 𝑃(0)𝑒𝛼𝑡
119.313 = 109.857𝑒3𝛼
1,086075535 = 𝑒3𝛼
ln 1,086075535 = ln 𝑒3𝛼
0,08257077209 = 3𝛼
𝛼 = 0,0275235907
Portanto, a taxa de crescimento da população de Toledo foi de aproximadamente
2,7% ao ano entre os anos de 2007 e 2010, taxa próxima ao do modelo discreto. Com
esta taxa é possível estimar a população de Toledo.
Logo,
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2013: população de 129.582 habitantes (população maior que a estimada pelo
IBGE e 1 habitante inferior que o modelo discreto).
2014: população de 133.201 habitantes.
2020: população de 157.116 habitantes.
2050: população de 358.774 habitantes.
Tabela 2: modelos de Malthus
Ano IPARDES Discreto Contínuo
2007 109.857 109.857 109.857
2010 119.313 119.313 119.313
2013 128.448 129.583 129.582
2014 133.199 133.201
2020 157.116 157.116
2050 358.774 358.774
Observando a Tabela 2 verificamos que os valores obtidos pelos dois métodos
de Malthus são praticamente idênticos. Porém, alguns valores são superiores aos
dados oficiais do IPARDES. Isto se deve ao fato de se tratar de modelos exponenciais,
sendo que a tendência da população de Toledo com estes modelos é crescer sem
parar.
Modelo de Verhulst
O primeiro passo é obter o fator de crescimento da população, tomando dois
valores distintos de 𝑡.
Fazendo 𝑃(𝑡) a população de 2010 e 𝑃0 a população de 2007, é obtido o valor
da taxa de crescimento 𝑘:
𝑃(𝑡) = 𝑃0𝑒𝑘𝑡
(1 − 𝑃0) + 𝑃0𝑒𝑘𝑡
119.313 = 109.857𝑒3𝑘
(1 − 109.857) + 109.857 𝑒3𝑘
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𝑘 = −2,40477 𝑥 10−7
Portanto, a taxa de crescimento da população de Toledo foi de aproximadamente
ao ano entre os anos de 2007 e 2010. Com esta taxa é possível estimar a população
de Toledo.
Logo,
2013: população de 130.550 habitantes (população maior que a estimada pelo
IBGE).
2014: população de 134.781 habitantes.
2020: população de 167.320 habitantes.
2050: população de 360.418 habitantes.
Pode-se perceber que os valores obtidos pelo modelo de Verhulst são próximos
aos valores obtidos pelo modelo de Malthus.
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4. Conclusão
A maioria das espécies apresentam taxas diferentes de crescimento, com maior
ou menor ritmo, e ainda, possuem uma quantidade 𝑘 diferente em que o meio a
suporta. Essa quantidade varia de acordo com a alimentação, o ambiente e o
desenvolvimento renovável. A população de Toledo não é diferente, através dela foi
possível ligar o conhecimento das equações diferenciais aos modelos de crescimento
demográfico.
A aprendizagem de conteúdos relacionados às aplicações das equações
diferenciais em qualquer nível de aprofundamento é muito importante para a
compreensão dos mais diversos fenômenos do cotidiano, quanto maior for o nível de
conhecimento, maior será o potencial de entendimento de modelos mais complexos.
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5. Referências
BASSANEZI, R. C. Equações Diferenciais Ordinárias: Um curso introdutório.
Coleção BC&T. Vol. 1. São Paulo: UFABC, 2011.