aps 1 dc29el allan magno costa teixeira

PATO BRANCO

2015

UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN

CURSO DE ENGENHARIA ELTRICA

ALLAN MAGNO COSTA TEIXEIRA

ATIVIDADE PRTICA SUPERVISIONADA I

ATIVIDADE PRTICA SUPERVISIONADA

PATO BRANCO

2015

ALLAN MAGNO COSTA TEIXEIRA

ATIVIDADE PRTICA SUPERVISIONADA I

Atividade Prtica Supervisionada I

apresentada disciplina de Dinmica e

Controle de Sistemas de Potncia do

programa de Graduao em Engenharia

Eltrica da Universidade Tecnolgica Federal

do Paran, Cmpus Pato Branco-PR.

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Vasques de

Oliveira

SUMRIO

1 PARA O SISTEMA DINMICO DESCRITO PELO MODELO NO LINEAR DE

QUARTA ORDEM: ................................................................................................................. 3 1.1 DETERMINE O PONTO DE EQUILBRIO DO SISTEMA. UTILIZE A FUNO

fsolve DO MATLAB QUE BASEIA-SE NO MTODO DE NEWTON HAPHSON. ......... 3 1.2 DETERMINE O MODELO LINEAR NA FORMA = . UTILIZE O COMANDO jacobian DO MATLAB QUE BASEIA-SE NA EXPANSO EM SRIE DE TAYLOR TRUNCADA NA PRIMEIRA ORDEM. ................................................................. 5

1.3 CALCULE OS AUTOVALORES REFERENTES AO MODELO LINEAR OBTIDO E

DIGA SE O SISTEMA ESTVEL OU INSTVEL. ............................................................ 6

1.4 FAA UMA SIMULAO BASEADA NO MODELO LINEAR CONSIDERANDO

UMA PERTURBAO DE +10% NA VARIVEL DE ESTADO 2 (OU SEJA, 20 =20 1,1). PARA IMPLEMENTAR A SIMULAO LINEAR USE O COMANDO initial DO MATLAB. OBTENHA A RESPOSTA NO TEMPO PARA TODAS AS VARIVEIS DE

ESTADO. ................................................................................................................................... 8

1.5 FAA UMA SIMULAO NO LINEAR CONSIDERANDO UMA PERTURBAO

DE +10% NA VARIVEL DE ESTADO 2 (OU SEJA, 20 = 20 1,1). PARA IMPLEMENTAR A SIMULAO USE O COMANDO ode45 DO MATLAB QUE UTILIZA O MTODO DE RUNGE-KUTTA DE INTEGRAO NUMRICA. .................. 9

1.6 COMPARE A RESPOSTA LINEAR COM A RESPOSTA NO LINEAR DAS

VARIVEIS 1, 2, 3 E 4 PARA UMA PERTURBAO DE +10% E OUTRA DE +60% NA VARIVEL 2. ................................................................................................................. 11 2 ANEXO ................................................................................................................................. 15

3

1 PARA O SISTEMA DINMICO DESCRITO PELO MODELO NO LINEAR DE

QUARTA ORDEM:

Modelo na forma de espao de estados a ser usado no exerccio:

() = 0,5 22() + 0,5 2() 0,2

() = (1()) 2()

() = 1 22() + 0,2 4()

() = 175 (3()) 0,6 4()

Parmetros a serem utilizados nas equaes diferenciais no lineares.

Tabela 1 - Parmetros a serem utilizados

Valor do Parmetro A Valor do Parmetro B

36 0,20

Obs. 1: Nas simulaes no domnio do tempo, gere os grficos das variveis

1(), 2(), 3() 4() para o intervalo de tempo de 0 a 15 segundos. Coloque a resposta

do modelo no linear no mesmo grfico da resposta do modelo linear.

Obs. 2: Cada aluno deve utilizar o valor especificado para os parmetros A e B,

de acordo com a Tabela 1.

1.1 DETERMINE O PONTO DE EQUILBRIO DO SISTEMA. UTILIZE A FUNO

fsolve DO MATLAB QUE BASEIA-SE NO MTODO DE NEWTON HAPHSON.

Arquivo 1 mod_linear.m

function f_linear = mod_linear(x, par_A, par_B)

Modelo na forma de espao de estados

f_linear(1,1) = 0.5*((x(1))^2)+0.5*x(2)-0.2; % der_x1

f_linear(2,1) = -par_A*sin(x(1))-par_B*x(2); % der_x2

f_linear(3,1) = -1*((x(2))^2)+0.2*x(4); % der_x3

f_linear(4,1) = -175*sin(x(3))-0.6*x(4); % der_x4

end

4

Arquivo 2 APS1.m

Parmetros a serem utilizados nas equaes diferenciais no lineares

par_A = 36.00; % Valor do Parmetro A

par_B = 0.20; % Valor do Parmetro B

Intervalo (em segundos) para simulao no domnio do tempo

tsim = 15; % Simulao para o intervalo de tempo de 0 a 15 segundos.

1) Para o sistema dinmico descrito pelo modelo no linear de quarta ordem:

% a) Determine o ponto de equilbrio do sistema. Utilize a funo

% fsolve do Matlab que baseiase no mtodo de Newton Haphson. Dica: As

% equaes ficam em um arquivo e o comando fsolve em outro arquivo

% distinto.

x0 = [1; 1; 1; 1]; % Codies iniciais

options = optimset('Display', 'iter'); % Opo da sada

[x, fval] = fsolve(@mod_linear, x0, options, par_A, par_B); % Chamando a funo

% Apresentao dos resultados da letra a)

disp('a)');

disp('==========================================');

disp('Ponto de Equilbrio: ');

disp('x =');

disp(x);

disp('fval =');

disp(fval);

disp('==========================================');

disp(' ');

Valores e dados apresentados pelo programa de simulao, com base no cdigo

descrito:

Norm of First-order Trust-

region

Iteration Func-count f(x) step optimality radius

0 5 22792.9 1.4e+04 1

1 10 880.333 1 615 1

2 15 361.577 2.5 1.83e+03 2.5

3 20 1.51247 3.01413 42.7 6.25

4 25 0.0029097 0.236083 0.0437 7.54

5 30 1.93244e-12 0.264968 2.71e-05 7.54

6 35 1.29848e-28 6.9071e-06 1.78e-12 7.54

Equation solved.

a)

==========================================

Ponto de Equilbrio:

x =

5

-0.0022

0.4000

-0.0027

0.8000

fval =

1.0e-13 *

0

0

0.0516

0.1016

==========================================

1.2 DETERMINE O MODELO LINEAR NA FORMA () = (). UTILIZE O

COMANDO jacobian DO MATLAB QUE BASEIA-SE NA EXPANSO EM SRIE

DE TAYLOR TRUNCADA NA PRIMEIRA ORDEM.

% b) Determine o modelo linear na forma x'(t)= Ax(t). Utilize o comando

% jacobian do matlab que baseia-se na expanso em srie de taylor truncada

% na primeira ordem. Dica: necessrio declarar variveis simblicas e

% depois atribuir valores para as variveis.

% Declarao das variveis simblicas

x1 = sym('x1');

x2 = sym('x2');

x3 = sym('x3');

x4 = sym('x4');

X = [x1 x2 x3 x4]; % Coloca as variaveis em um nico vetor

% Conjunto de equaes no lineares x(ponto)=f(x)

F(1,1) = 0.5*((x1)^2)+0.5*x2-0.2; % der_x1

F(2,1) = -par_A*sin(x1)-par_B*x2; % der_x2

F(3,1) = -1*((x2)^2)+0.2*x4; % der_x3

F(4,1) = -175*sin(x3)-0.6*x4; % der_x4

FX = jacobian(F,X); % Clculo do jacobiano, atravs do comando do

% MATLAB "jacobian"

% Atribuio de valores do ponto de equilbrio para as variveis

x1 = x(1);

x2 = x(2);

x3 = x(3);

x4 = x(4);

% Clculo da matriz A

A = subs(FX); % Substitui o valor das variveis x1, x2, x3 e x4

% na matriz FX para determinar a matriz A

A = eval(A); % Executa a string com comandos

6

% Apresentao dos resultados da letra b)

disp('b)');

disp('==========================================');

disp('Modelo linear na forma x''(t) = A*x(t): ');

disp(' ');

% Utiliza-se o comando "mat2str" para apresentar os elementos da

% matriz, com 4 algarismos siginificativos depois da vrgula

D1 = [' |', mat2str(A(1,1),4),' ' mat2str(A(1,2),3),' '

mat2str(A(1,3),3),' ' mat2str(A(1,4),3),'|'];

D2 = ['x''(t) = |', mat2str(A(2,1),4),' ', mat2str(A(2,2),3),' ',

mat2str(A(2,3),3),' ',mat2str(A(2,4),3),'|*x(t)'];


mat2str(A(3,3),3),' ' mat2str(A(3,4),3),'|'];


mat2str(A(4,3),3),' ' mat2str(A(4,4),3),'|'];

disp(D1);

disp(D2);

disp(D3);

disp(D4);

disp('==========================================');

disp(' ');

Valores e dados apresentados pelo programa de simulao, com base no cdigo

descrito:

b)

==========================================

Modelo linear na forma x'(t) = A*x(t):

|-0.002222 0.5 0 0|

x'(t) = |-36 -0.2 0 0|*x(t)

|0 -0.8 0 0.2|

|0 0 -175 -0.6|

==========================================

1.3 CALCULE OS AUTOVALORES REFERENTES AO MODELO LINEAR OBTIDO E

DIGA SE O SISTEMA ESTVEL OU INSTVEL.

% c) Calcule os autovalores referentes ao modelo linear obtido e diga

% se o sistema estvel ou instvel.

% Comando para determinar as razes caractersticas, as quais so

% os autovalores da matriz A

aut_val = eig(A);

% Anlise da estabilidade do sistema, utilizando-se da teoria de

% controle, a qual diz que, se as razes encontram-se do lado

% esquerdo do eixo real do plano complexo (parte real negativa), o

% sistema estvel, caso contrrio, o sistema instavel.

7

if (real(aut_val(:,1))

8

1.4 FAA UMA SIMULAO BASEADA NO MODELO LINEAR CONSIDERANDO

UMA PERTURBAO DE +10% NA VARIVEL DE ESTADO 2 (OU SEJA,

2(0) = 2(0) 1,1). PARA IMPLEMENTAR A SIMULAO LINEAR USE O

COMANDO initial DO MATLAB. OBTENHA A RESPOSTA NO TEMPO PARA

TODAS AS VARIVEIS DE ESTADO.

% d) Faa uma simulao baseada no modelo linear considerando uma

% perturbao de +10% na varivel de estado x2 (ou seja,

% Dx2(0) = x2(0)*0,1). Para implementar a simulao linear use o

% comando initial do Matlab. Obtenha a resposta no tempo para todas as

% variveis de estado.

pert = 10; % Valor percentual da pertubao na varivel de estado x2

x0_lin = [0, (x2*(pert/100)), 0, 0]; % Aplicando pertubao de

% 10% na varivel de estado

% x2, a qual encontra-se

% centralizada em zero.

figure(1) % Cria a caixa de figura numero 2, para plotagem da

% simulao linear

hold on

% Trecho de cdigo responsvel por fazer a apresentao dos

% grficos das variveis x1(t), x2(t), x3(t) e x4(t), atravs de

% uma estrutura de repetio, com um contador "i", o qual ir

% varrer as quatro variveis.

for i=1:4

C = [0 0 0 0]; % Limpa a varivel C

C(1,i) = 1; % Atribui um para o i_ezimo elemento de C

sys = ss(A,[],C,[]); % Converter a funo para espaos de

% estados

subplot(2,2,i); % Cria uma estrutura de plotagem com duas

% colunas e duas linhas, e ativa a plotagem

% para o i_ezimo grfico

initial(sys,x0_lin,tsim); % Plota a simulao linear da

% varivel de espao de estados xi,

% com um tempo limite para a

% plotagem, de "tsim" (neste caso

% 15 segundos)

% Configurao das informaes dos grficos

[object_h,text_strings] = legend(['Modelo Linear (Pertubao de ',

num2str(pert),'% em x2)']);

title(['Resposta da varivel x', num2str(i),'(t)']);

xlabel('Tempo');

ylabel('Amplitude');

grid on

9

end

Apresentao dos grficos das variveis 1(), 2(), 3() 4(), obtidos

pelo programa de simulao, com base no cdigo descrito:

1.5 FAA UMA SIMULAO NO LINEAR CONSIDERANDO UMA

PERTURBAO DE +10% NA VARIVEL DE ESTADO 2 (OU SEJA, 2(0) =

2(0) 1,1). PARA IMPLEMENTAR A SIMULAO USE O COMANDO ode45

DO MATLAB QUE UTILIZA O MTODO DE RUNGE-KUTTA DE INTEGRAO

NUMRICA.

Arquivo 3 mod_nao_linear.m

function f_nao_linear = mod_nao_linear(t, x)




Modelo na forma de espao de estados

10

f_nao_linear(1,1) = 0.5*((x(1))^2)+0.5*x(2)-0.2; % der_x1

f_nao_linear(2,1) = -par_A*sin(x(1))-par_B*x(2); % der_x2

f_nao_linear(3,1) = -1*((x(2))^2)+0.2*x(4); % der_x3

f_nao_linear(4,1) = -175*sin(x(3))-0.6*x(4); % der_x4

end

Arquivo 2 APS1.m

% e) Faa uma simulao no linear considerando uma perturbao de +10%

% na varivel de estado x2 (ou seja, x2_inicial(0) = x2(0)*1,1).

% Para implementar a simulao use o comando ODE45 do Matlab que

% utiliza o mtodo de Runge-Kutta de integrao numrica. Dica: As

% equaes ficam em um arquivo e o comando ode45 em outro arquivo

% distinto.

intervalo_integracao = [0 tsim]; % Atribui o intervalo de

% simulao a um vetor, com

% inico e final da plotagem,

% sendo de 0 at 15 segundos.

y0 = [x1, x2*(1+pert/100), x3, x4]; % Aplicando pertubao de mais

% 10% na varivel de estado x2.

% Resoluo das equaes no lineares do arquivo "mod_nao_linear",

% utilizando o comando "ode45" do MATLAB

[ta, ya] = ode45('mod_nao_linear', intervalo_integracao, y0,[]);


% simulao no linear

hold on





for i=1:4




plot(ta, ya(:,i),'red'); % Plota a simulao no linear da


% com um tempo limite de 15 segundos


[object_h,text_strings] = legend(['Modelo No Linear (Pertubao de ',



xlabel('Tempo [segundos]');


grid on

end

11


pelo programa de simulao, com base no cdigo descrito:

1.6 COMPARE A RESPOSTA LINEAR COM A RESPOSTA NO LINEAR DAS

VARIVEIS 1, 2, 3 E 4 PARA UMA PERTURBAO DE +10% E OUTRA DE

+60% NA VARIVEL 2.

% f) Compare a resposta linear com a resposta no linear das variveis

% x1, x2, x3 e x4 para uma perturbao de +10% e outra de +60% na

% varivel x2.

% Lao construido para calcular as duas situaes, considerando 10%

% e 60% de pertubao, respectivamente na primeira e na segunda

% execuo

for k = 1:2

if k == 1

pert = 10; % Valor percentual da pertubao na varivel de

% estado x2 de 10%

else


12

% estado x2 de 60%

end

x0_l = [0;x2*(pert/100);0;0]; % Aplicando pertubao na

% varivel de estado x2, para o

% modelo linear.

y0 = [x1, x2*(1+pert/100), x3, x4]; % Aplicando pertubao na

% varivel de estado x2,

% para o modelo no linear.





% Resoluo das equaes no lineares do arquivo

% "mod_nao_linear", utilizando o comando "ode45" do MATLAB

[ta, ya] = ode45(@mod_nao_linear, intervalo_integracao, y0,[]);

figure(k+2) % Cria as caixas das figuras de numero 3 e 4, para

% plotagem das simulaes no linear e linear,

% respectivamente, conforme o lao percorrido.

hold on





for i=1:4




% estados




initial(sys,x0_l,tsim); % Plota a simulao linear da




% 15 segundos)

hold on


% varivel de espao de estados

% xi, com um tempo limite de 15

% segundos.


[object_h,text_strings,object_h,text_strings] = legend(['Modelo Linear

(Pertubao de ', num2str(pert),'% em x2)'],['Modelo No Linear (Pertubao de ',



xlabel('Tempo');


grid on

13

end

end


pelo programa de simulao, com base no cdigo descrito, para uma perturbao de 10%:


pelo programa de simulao, com base no cdigo descrito, para uma perturbao de 60%:

15

2 ANEXO

Apresentao do cdigo na integra.

clear all

clc

Atividade Prtica Supervisionada I

%*******************************************************************%

% Disciplina: DC29EL - Dinmica e Controle de Sistemas de Potncia %

% Nome: Allan Magno Costa Teixeira %

% Professor: Ricardo Vasques de Oliveira %

%*******************************************************************%




Intervalo (em segundos) para simulao no dominido do tempo

tsim = 15; % Simulao para o intervalo de tempo de 0 a 15 segundos.

1) Para o sistema dinmico descrito pelo modelo no linear de quarta ordem:

% a) Determine o ponto de equilbrio do sistema. Utilize a funo

% fsolve do Matlab que baseiase no mtodo de Newton Haphson. Dica: As

% equaes ficam em um arquivo e o comando fsolve em outro arquivo

% distinto.

x0 = [1; 1; 1; 1]; % Codies iniciais

options = optimset('Display', 'iter'); % Opo da sada

[x, fval] = fsolve(@mod_linear, x0, options, par_A, par_B); % Chamando a funo

% Apresentao dos resultados da letra a)

disp('a)');

disp('==========================================');

disp('Ponto de Equilbrio: ');

disp('x =');

disp(x);

disp('fval =');

disp(fval);

disp('==========================================');

disp(' ');

% b) Determine o modelo linear na forma x'(t)= Ax(t). Utilize o comando

% jacobian do matlab que baseia-se na expanso em srie de taylor truncada

% na primeira ordem. Dica: necessrio declarar variveis simblicas e

16

% depois atribuir valores para as variveis.

% Declarao das variveis simblicas

x1 = sym('x1');

x2 = sym('x2');

x3 = sym('x3');

x4 = sym('x4');

X = [x1 x2 x3 x4]; % Coloca as variaveis em um nico vetor

% Conjunto de equaes no lineares x(ponto)=f(x)

F(1,1) = 0.5*((x1)^2)+0.5*x2-0.2; % der_x1

F(2,1) = -par_A*sin(x1)-par_B*x2; % der_x2

F(3,1) = -1*((x2)^2)+0.2*x4; % der_x3

F(4,1) = -175*sin(x3)-0.6*x4; % der_x4

FX = jacobian(F,X); % Clculo do jacobiano, atravs do comando do

% MATLAB "jacobian"

% Atribuio de valores do ponto de equilbrio para as variveis

x1 = x(1);

x2 = x(2);

x3 = x(3);

x4 = x(4);

% Clculo da matriz A

A = subs(FX); % Substitui o valor das variveis x1, x2, x3 e x4

% na matriz FX para determinar a matriz A

A = eval(A); % Executa a string com comandos

% Apresentao dos resultados da letra b)

disp('b)');

disp('==========================================');

disp('Modelo linear na forma x''(t) = A*x(t): ');

disp(' ');

% Utiliza-se o comando "mat2str" para apresentar os elementos da

% matriz, com 4 algarismos siginificativos depois da vrgula


mat2str(A(1,3),3),' ' mat2str(A(1,4),3),'|'];

D2 = ['x''(t) = |', mat2str(A(2,1),4),' ', mat2str(A(2,2),3),' ',

mat2str(A(2,3),3),' ',mat2str(A(2,4),3),'|*x(t)'];


mat2str(A(3,3),3),' ' mat2str(A(3,4),3),'|'];


mat2str(A(4,3),3),' ' mat2str(A(4,4),3),'|'];

disp(D1);

disp(D2);

disp(D3);

disp(D4);

disp('==========================================');

disp(' ');

% c) Calcule os autovalores referentes ao modelo linear obtido e diga

% se o sistema estvel ou instvel.

% Comando para determinar as razes caractersticas, as quais so

% os autovalores da matriz A

aut_val = eig(A);

17

% Anlise da estabilidade do sistema, utilizando-se da teoria de

% controle, a qual diz que, se as razes encontram-se do lado

% esquerdo do eixo real do plano complexo (parte real negativa), o

% sistema estvel, caso contrrio, o sistema instavel.

if (real(aut_val(:,1))

18




% estados




initial(sys,x0_lin,tsim); % Plota a simulao linear da




% 15 segundos)


[object_h,text_strings] = legend(['Modelo Linear (Pertubao de ',



xlabel('Tempo');


grid on

end

% e) Faa uma simulao no linear considerando uma perturbao de +10%

% na varivel de estado x2 (ou seja, x2_inicial(0) = x2(0)*1,1).

% Para implementar a simulao use o comando ODE45 do Matlab que

% utiliza o mtodo de Runge-Kutta de integrao numrica. Dica: As

% equaes ficam em um arquivo e o comando ode45 em outro arquivo

% distinto.





y0 = [x1, x2*(1+pert/100), x3, x4]; % Aplicando pertubao de mais

% 10% na varivel de estado x2.

% Resoluo das equaes no lineares do arquivo "mod_nao_linear",

% utilizando o comando "ode45" do MATLAB

[ta, ya] = ode45('mod_nao_linear', intervalo_integracao, y0,[]);


% simulao no linear

hold on





for i=1:4






19

% com um tempo limite de 15 segundos


[object_h,text_strings] = legend(['Modelo No Linear (Pertubao de ',



xlabel('Tempo [segundos]');


grid on

end

% f) Compare a resposta linear com a resposta no linear das variveis

% x1, x2, x3 e x4 para uma perturbao de +10% e outra de +60% na

% varivel x2.

% Lao construido para calcular as duas situaes, considerando 10%

% e 60% de pertubao, respectivamente na primeira e na segunda

% execuo

for k = 1:2

if k == 1


% estado x2 de 10%

else


% estado x2 de 60%

end

x0_l = [0;x2*(pert/100);0;0]; % Aplicando pertubao na

% varivel de estado x2, para o

% modelo linear.

y0 = [x1, x2*(1+pert/100), x3, x4]; % Aplicando pertubao na

% varivel de estado x2,

% para o modelo no linear.





% Resoluo das equaes no lineares do arquivo

% "mod_nao_linear", utilizando o comando "ode45" do MATLAB

[ta, ya] = ode45(@mod_nao_linear, intervalo_integracao, y0,[]);

figure(k+2) % Cria as caixas das figuras de numero 3 e 4, para

% plotagem das simulaes no linear e linear,

% respectivamente, conforme o lao percorrido.

hold on





20

for i=1:4




% estados




initial(sys,x0_l,tsim); % Plota a simulao linear da




% 15 segundos)

hold on


% varivel de espao de estados

% xi, com um tempo limite de 15

% segundos.


[object_h,text_strings,object_h,text_strings] = legend(['Modelo Linear

(Pertubao de ', num2str(pert),'% em x2)'],['Modelo No Linear (Pertubao de ',



xlabel('Tempo');


grid on

end

end

1 PARA O SISTEMA DINMICO DESCRITO PELO MODELO NO LINEAR DE QUARTA ORDEM:1.1 DETERMINE O PONTO DE EQUILBRIO DO SISTEMA. UTILIZE A FUNO fsolve DO MATLAB QUE BASEIA-SE NO MTODO DE NEWTON HAPHSON.1.2 DETERMINE O MODELO LINEAR NA FORMA ,.,.= ,.. UTILIZE O COMANDO jacobian DO MATLAB QUE BASEIA-SE NA EXPANSO EM SRIE DE TAYLOR TRUNCADA NA PRIMEIRA ORDEM.1.3 CALCULE OS AUTOVALORES REFERENTES AO MODELO LINEAR OBTIDO E DIGA SE O SISTEMA ESTVEL OU INSTVEL.1.4 FAA UMA SIMULAO BASEADA NO MODELO LINEAR CONSIDERANDO UMA PERTURBAO DE +10% NA VARIVEL DE ESTADO ,-2. (OU SEJA, ,-2.,0.=,-2.,0.1,1). PARA IMPLEMENTAR A SIMULAO LINEAR USE O COMANDO initial DO MATLAB. OBTENHA A RESPOSTA NO TEMPO P...1.5 FAA UMA SIMULAO NO LINEAR CONSIDERANDO UMA PERTURBAO DE +10% NA VARIVEL DE ESTADO ,-2. (OU SEJA, ,-2-.,0.=,-2.,0.1,1). PARA IMPLEMENTAR A SIMULAO USE O COMANDO ode45 DO MATLAB QUE UTILIZA O MTODO DE RUNGE-KUTTA DE ...1.6 COMPARE A RESPOSTA LINEAR COM A RESPOSTA NO LINEAR DAS VARIVEIS ,-1., ,-2., ,-3. E ,-4. PARA UMA PERTURBAO DE +10% E OUTRA DE +60% NA VARIVEL ,-2..

2 ANEXO

aps 1 dc29el allan magno costa teixeira

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