* Bolsista de Iniciação Científica ANP

Aproximação de Ações de Domínio com o Método dos Elementos de

Contorno usando Funções de Base Radial

Carlos Friedrich Loeffler Pedro Vinícius M. Pereira* Átila Lupim Cruz Depto de Engenharia Mecânica, DEM, Universidade Federal do Espírito Santo

29075-910, Vitória, ES

E-mail: pedrovinicius012@gmail.com

RESUMO

O objetivo deste trabalho é apresentar o desenvolvimento de uma formulação alternativa do

Método dos Elementos de Contorno (MEC) para o tratamento matemático do termo não

homogêneo que caracteriza a Equação de Poisson. O MEC é uma técnica numérica eficiente, que

vem conquistando um interesse cada vez maior no meio acadêmico e industrial por apresentar

grandes vantagens no trato de problemas com fronteiras móveis, concentração de tensões, fratura,

contato, meios infinitos e semi-infinitos, problemas esses em que os métodos de domínio não são

adequados nem simples de empregar. Entretanto, por ser uma técnica de contorno, o MEC não é

muito versátil na solução de problemas que incluem de fontes, sorvedouros, forças de inércia e

outras ações similares. Estas deficiências têm sido superadas a partir de novas formulaçõese

estratégias geradas nas pesquisas referentes ao método.

Diversas técnicas são capazes de resolver satisfatoriamente tais problemas [2], como por

exemplo: a integração no domínio através de células; o clássico Tensor de Galerkin; a Múltipla

Reciprocidade; e a mais importante delas, a técnica da Dupla Reciprocidade (MECDR) [5]. Esta

última aproxima as ações de domínio através de um procedimento de interpolação utilizando

funções de base radial plena [1], embora possam ser utilizados outros tipos de funções. Todavia,

visando à abordagem de problemas de propagação de ondas, ainda existem dificuldades por

resolver, ligadas principalmente à precisão na representação de frequências mais elevadas. Por

outro lado, um grande progresso foi feito no desenvolvimento de funções radiais de base compacta

[6], que não podem ser utilizadas eficientemente com a Dupla Reciprocidade.

A formulação aqui proposta (MECID) permite a utilização de funções de base radial plena ou

compacta para a interpolação de cargas de domínio atuantes em um corpo, sendo então essa

equação de interpolação transformada de modo a ser integrada apenas no contorno do problema.

Mas, embora a intenção seja o desenvolvimento de uma formulação voltada para a dinâmica, este

processo passa, necessariamente, pela solução efetiva de problemas mais simples, como os

governados pela Equação de Poisson.

Neste contexto, considere então um domínio bidimensional Ω(X), X= (x1, x2), em que se define

um potencial escalar u(X). Considere ainda um campo fisicamente homogêneo e isotrópico com

ações de campo quaisquer conhecidas. Com base na Teoria das Equações Integrais é possível

escrever a equação de Poisson numa forma integral inversa equivalente, dada por [2]:

dXuXpdXuXqdXqXuuc );(*)();(*)();(*)()()( (1)

Na Eq.(1), q(X) é a derivada normal do potencial escalar u(X). Esta equação foi deduzida

considerando-se os procedimentos usuais do MEC [2], que incluem a adoção de uma função

auxiliar u*(ξ;X) e sua derivada normal q*(ξ;X), a primeira função sendo a solução de um problema

de potencial correlato, governado por uma equação, no qual o domínio é infinito e uma fonte

concentrada unitária é aplicada no ponto fonte ξ [2]. Já o valor do coeficiente c(ξ) depende do

posicionamento de com relação ao domínio físico Ω e, no caso de ser localizado no contorno,

também da suavidade deste [2].

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Para a solução do termo integral do lado direito da Eq. (2) com base no procedimento proposto,

todo o núcleo da integral de domínio é aproximado da seguinte forma:

dXdXnXdX

dXFdXuXp

jj

i

j

i

jj

ii

j

jj

))(())()(())((

))(();()(

,,

(2)

De modo similar à Dupla Reciprocidade, tomou-se uma função primitiva Ψj das funções radiais

utilizadas na interpolação original, de modo que se pode utilizar o Teorema da Divergência. Basta

então avaliar, através de um esquema numérico, uma integral de linha. Naturalmente, é preciso

verificar se esta transformação traz alguma imprecisão numérica ao modelo, o que é verificado

através de experiências computacionais. O sistema linear matricial resultante pode ser representado

da seguinte maneira:

α (3)

Na Eq. (3) [ξα] é uma matriz quadrada que armazena os valores do coeficiente de interpolação,

que por sua vez depende do ponto fonte.

O problema aqui apresentado para exemplificação consiste de uma membrana quadrada,

engastada em duas laterais paralelas e livres nas demais, de dimensões L, conforme exposto na

Figura 1, sujeita a um carregamento de domínio tal que sua equação de governo é:

Figura 1: Membrana sujeita a carga de domínio bidimensional

Foram utilizadas quatro diferentes malhas com elementos de contorno lineares e diferentes

quantidades de pontos internos interpolantes, fundamentais para a boa aproximação do termo de

domínio, conforme consta nas Tabelas 1 e 2. Nós duplos forma empregados nos cantos. Usaram-se

as funções radiais simples, de base completa.

Na Tabela 1 são mostrados os resultados da MECID e na Tabela 2 os resultados da Dupla

Reciprocidade. Pode-se notar que a precisão das soluções com a MECID sem pontos internos

resultaram em erros maiores que as obtidas pela MECDR, pois depende mais fortemente de pontos

base internos para uma boa aproximação. Introduzindo-se pontos internos em quantidade

suficiente, os resultados para MECID tornam-se superiores, alcançando elevada precisão.

Pode-se perceber, em diversas outras simulações realizadas e aqui não mostradas por questões

de espaço, que problemas de ausência de monotonicidade e instabilidade numérica foram bastante

reduzidos na MECID.

O esforço computacional é reduzido, pois não existem multiplicações intermediárias de matrizes

auxiliares e a geração dos coeficientes de influência ξα é bastante simples. Ressalta-se sendo

imediato o uso das funções radiais com base compacta, é possível reduzir a quantidade destes

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coeficientes ξα na formação do sistema matricial.

A MECID possibilita também reduzir também a quantidade de pontos internos através da sua

melhor adaptabilidade aos esquemas de aproximação com ajuste, que induzem a formação de uma

matriz em banda, importante em futuras aplicações na dinâmica.

Tabela 1: Erro médio percentual global nos pontos nodais de contorno com a MECID.

Tabela 2: Erro médio percentual global nos pontos nodais de contorno com a MECDR.

Palavras-chave: Método dos Elementos de Contorno, Dupla Reciprocidade, Equação de Poisson.

Referências [1] C. A. Brebbia, J.C. Telles and L.C. Wrobel, “Boundary Element Techniques”, Springer Verlag,

1984.

[2] C. A. Brebbia, S. Walker, “Boundary Element Techniques in Engineering”, Newnes-

Butterworths, London, 1980.

[3] M. D. Buhmann, “Radial Basis Functions: Theory and Implementations”. 1ed. New York:

Cambridge University Press, 2003.

[4] D. Nardini, & C.A. Brebbia, A New Approach to Free Vibration Analysis using Boundary

Elements, in “Boundary Element Methods in Engineering”, Computational Mechanics Pub. and

Springer-Verlag, (C.A. Brebbia Ed.), pp. 43-51, 1982.

[5] P. W. Partridge, C. A. Brebbia, L. C. Wrobel, “The Dual Reciprocity Boundary Element

Method”, first ed., Computational Mechanics Pub., 1992.

[6] H. Wendland, Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions

of minimal degree. Adv. Comput. Math. vol. 4, pp 389-396, (1995).

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