CONJUNTOS NUMÉRICOS

Professor Dudan

Números Naturais (IN)

Definição: N = {0, 1, 2, 3, 4, ... }

Subconjuntos

N * = { 1, 2, 3, 4, ... } naturais não nulos.

Números Inteiros (Z)

DefiniçãoZ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

SubconjuntosZ* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ... } inteiros não nulosZ += { 0, 1, 2, 3, 4, ... } inteiros não negativos (naturais)Z*+= { 1, 2, 3, 4, ... } inteiros positivosZ- = {..., -4, -3, -2, -1, 0 } inteiros não positivosZ*- = {..., -4, -3, -2, -1} inteiros negativos

Números Racionais (Q)

DefiniçãoÉ todo número que pode ser escrito na forma

SubconjuntosQ* → racionais não nulosQ +→ racionais não negativosQ*+→ racionais positivosQ-→ racionais não positivosQ*- → racionais negativos

Frações e Decimais

Transformação de dizima periódica em fração geratriz1-Escrever tudo na ordem, sem virgula e sem repetir;2-Subtrair o que não se repete, na ordem e sem virgula;3-No denominador:para cada item “periódico” colocar um algarismo 9 ;para cada “intruso” colocar um algarismo 0.

c) 1,232323... d)3,1222... e)2,12343434...

Números Irracionais (I)

Definição

Todo numero cuja representação decimal não é periódica

→Exemplos

0,212112111... 1,203040...

Números Reais (IR)

DefiniçãoConjunto formado pelos números racionais e pelos irracionais.

R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø

SubconjuntosR* = { x R | x ≠ 0 } → reais não nulosR += { x R | x ≥ 0 } → reais não negativosR*+= { x R | x > 0 } → reais positivosR- = { x R | x 0 } → reais não positivosR*- = { x R | x < 0 } → reais negativos

DIAGRAMA DOS CONJUNTOS

Números Complexos (C)

Definição

Todo numero que pode ser escrito na forma a + bi, com a e b reais.

Ex: 3 + 2i -3i -2 + 7i 9

1,3 1,203040..

Resumindo:

Todo número é complexo.

Conjunto é um conceito primitivo, isto é, sem definição, que indica agrupamento de objetos, elementos, pessoas etc. Para nomear os conjuntos, usualmente são utilizadas letras maiúsculas do nosso alfabeto.

REPRESENTAÇÕES:Os conjuntos podem ser representados de três formas distintas:I – Por enumeração (ou extensão): Nessa representação, o conjunto é apresentado pela citação de seus elementos entre chaves e separados por vírgula. Assim temos:O conjunto “A” das vogais -> A = {a, e, i, o, u}.

O conjunto “B” dos números naturais menores que 5 -> B = {0,1,2,3,4}.

O conjunto “C” dos estados da região Sul do Brasil -> C = {RS, SC, PR}

TEORIA DOS CONJUNTOS (LINGUAGEM DOS CONJUNTOS)

II – Por propriedade (ou compreensão):

Nessa representação, o conjunto é apresentado por uma lei de formação que caracteriza todos os seus elementos. Assim, o conjunto “A” das vogais é dado por:A = {x / x é vogal do alfabeto} -> (Lê-se: A é o conjunto dos elementos x, tal que x é uma vogal)Outros exemplos:

B = {x/x é número natural menor que 5}C = {x/x é estado da região Sul do Brasil}

III – Por Diagrama de Venn

Nessa representação, o conjunto é apresentado por meio de uma linha fechada de tal forma que todos os seus elementos estejam no seu interior. Assim, o conjunto “A” das vogais é dado por:

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

É uma relação estabelecemos entre elemento e conjunto, para ela fazemos uso dos símbolos e .A pergunta que pode nos orientar é: “O elemento está dentro do conjunto ? ”

Exemplo:Fazendo uso dos símbolos, estabeleça a relação entre elemento e o conjunto:

.

RELAÇÃO DE INCLUSÃO

É uma relação que estabelecemos entre dois conjuntos. Para essa relação fazemos uso dos símbolos A pergunta que pode nos orientar é: “O conjunto está dentro do conjunto ? ”

Exemplo: Fazendo uso dos símbolos de inclusão , estabeleça a relação entre conjuntos:

.

OBSERVAÇÕES

• Dizemos que um conjunto “B” é um subconjunto ou parte do conjunto “A” se, e somente se, B C A.

• Dois conjuntos “A” e “B” são iguais se, e somente se, A C B e B C A.

• Dados os conjuntos “A”, “B” e “C”, temos que: se A C B e B C C , então A CC.

• O total de subconjuntos é dado por 2, onde "e" é o número de elementos do conjunto. Exemplo: o conjunto A = {1,2,3,4} possui 16 subconjuntos, pois 2 = 16.

e

4

União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos

IMPORTANTE: quando somarmos os três conjuntos integrais teremos um excedente que é resultado de : d + e + f + 2g

Conjunto Complementar

Considere A um conjunto qualquer e U o conjunto universo. Todos os elementos que não estão em A estão no complementar de A. Veja o diagrama de Venn que representa o complementar de A, indicado por AC

Assim o complementar de um subconjunto A se refere a elementosque não estão no conjunto A. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo U, sendo o conjunto AC o complementar de A formado pelos elementosde U que não pertencem a A.

Conjunto Complementar

Vamos exemplificar como o contexto é importante para determinar o conjuntocomplementar.

Considere o conjunto A={0,2,4,6,8,10,…} Veja como fica se o conjunto universo no nosso contexto for N (números naturais).

AC=N−A={1,3,5,7,9…}

B) Conjunto universo U=ZAgora, se o conjunto universo no nosso contexto for Z (números inteiros):

AC =Z−A={…,−3,−2,−1,1,3,5,7,9…}

Complemento Relativo

Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B , tambémconhecido como diferença de B e A (B – A) é o conjunto de elementos de B que não estão emA.

A diferença de B para A é geralmente denotada B \ A ou também B-A .Assim: B \ A = { x ∈ B/ x ∉ A}

Exemplos{1,2,3}\{2,3,4}={1} {2,3,4}\{1,2,3}={4}

Exemplo• Dados os conjuntos A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5, 7} e C = {2, 5, 10}. Determine:

a) A ⋃ B

b) A ⋂ B

c) A – B

d) B – A

e) A - C

f) C – A

g) B - C

• Dados os conjuntos A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5, 7} e C = {2, 5, 10}. Determine:

h) C - B

i) A ⋃ C

j) A ⋂ C

k) B ⋃ C

l) B ⋂ C

m) A ⋂ B ⋂ C

n) A ⋃ B ⋃ C

Faça Você

1. Numa turma da Casqa do Concurseiro fez-se uma pesquisa entre alunos, com duas perguntas apenas: Gosta da Casa do Concurseiro? Gosta de Matemática? 75 alunos responderam sim à primeira e 86 responderam sim à segunda. Se 31 responderam sim às duas e 42 responderam não a ambas, o número de alunos dessa turma é:a)110b)118c)136d)172e)234

2. Numa turma preparatória para o concurso da area Fiscal , dos 74 alunos, 56 gostam de RLM e 28, de Português. Além disso, sabe-se que 15 alunos não gostam nem de RLM nem de Português. Assim, o número de alunos que gostam de ambas as disciplinas é de:a)13b)22c)25d)28e)30

3. Num grupo de alunos da Casa do Concurseiro, verificou-se que 140 assistiram a apenas uma das aulas de RLM ou Contabilidade; 117 assistiram à aula de Contabilidade; 54 assitiram às duas aulas e 88 não assistiram à aula de RLM.Sendo assim, o número de alunos dessa turma é igual a:a) 219b) 281c) 320d) 340e) 417

4. A tabela abaixo apresenta os resultados de uma pesquisa feita em 65 funcionários da Secretaria de Fazenda de certo estado a respeito de estudo dos idiomas Inglês, Francês e Espanhol.

Baseando-se nos resultados dessa tabela, é CORRETO afirmar que o total de participantes da pesquisa que não estuda nenhum dos três idiomas é igual a:

a)18b)21c)39d)43e)55

O professor Dudan, ao lecionar Teoria dos Conjuntos , revelou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:32 alunos torcem pelo Grêmio;25 alunos torcem pelo Inter;20 alunos torcem pelo São Paulo;8 alunos torcem pelo Grêmio e pelo São Paulo;9 alunos torcem pelo São Paulo e pelo Inter.Se designarmos por G o conjunto dos torcedores do Grêmio, por I o conjunto dos torcedores do Inter, por C o conjunto dos torcedores do São Paulo, da referida turma, e sabendo que nenhum torcedor do Grêmio torce para o Inter, concluímos que o número de alunos dessa turma que para um único time é de:a)29

b)35c)43d)54e)66

COMO AS BANCAS COBRAM ISSO?

Sendo x e y números naturais, o resultado da divisão de x por y, obtido com auxílio de uma calculadora, foi a dízima periódica 3,333...Dividindo-se y por x nessa calculadora, o resultado obtido será igual a

a) 0,111... b) 0,3 c) 0,333... d) 0,9 e) 1,111...

FCC

Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646... em representação decimal?

a) 2.521 / 990 b) 2.546 / 999 c) 2.546 / 990 d) 2.546 / 900 e) 2.521 / 999

ESAF

Julgue o seguinte item, relativos a sistemas numéricos e sistema legal de medidas.

Se A = 1,232323... e B = 0,434343..., então A + B = 165/99

Certo

Errado

CESPE

Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . . . e que o número decimal H é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, F, G e H, é igual a

a) 6,111 . . .

b) 5,888 . . .

c) 6

d) 3

e) 5,98

FCC

Se A = {1, 4, 8, 13, 17, 22, 25, 127, 1.234} e B é o conjunto dos números ímpares, então os

elementos que estão em A e em B são: 1, 13, 17, 25 e 127.

Certo

Errado

CESPE

Indique quantos são os subconjuntos do conjunto {1,2,3,4}.a) 12b) 13c) 14d) 15e) 16

ESAF

O diagrama representa algumas informações sobre a escolaridade dos moradores de um município.

Dados:

I: conjunto de todos os moradores que concluíram um curso de inglês.

E: conjunto de todos os moradores que concluíram um curso de espanhol.

S: conjunto de todos os moradores que concluíram o Ensino Superior.

Em todas as seis regiões do diagrama, há pelo menos um morador representado. Assim, é correto afirmar que se um morador dessa cidade

a) concluiu um curso de inglês, então ele necessariamente concluiu um curso de espanhol.

b)concluiu um curso de inglês e um de espanhol, então ele necessariamente concluiu o Ensino Superior.

c)não concluiu um curso de espanhol, então ele necessariamente não concluiu o Ensino Superior.

d)não concluiu um curso de inglês, então ele necessariamente não concluiu um curso de espanhol.

e)não concluiu um curso de inglês, então ele necessariamente não concluiu o Ensino Superior.

FCC

Em uma blitz, de 150 veículos parados, 60 foram flagrados com extintor de incêndio com data de validade vencida. Além disso, em 45veículos, o motorista estava sem o documento de habilitação paradirigir. O total de veículos em pelo menos uma dessas duas situaçõesfoi de 90. Acerca dessa situação, julgue o item seguinte.O número de veículos flagrados simultaneamente nas duas situações foi inferior a 20.

Certo

Errado

CESPE

Em uma blitz, de 150 veículos parados, 60 foram flagrados com extintor de incêndio com data de validade vencida. Além disso, em 45veículos, o motorista estava sem o documento de habilitação paradirigir. O total de veículos em pelo menos uma dessas duas situações foi de 90. Acerca dessa situação, julgue o item seguinte.O número de veículos que não apresentaram as irregularidades mencionadas foi superior a 50.Certo

Errado

CESPE

Conversando com os 45 alunos da primeira série de um colégio, o professor de educação física verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos não jogam nem futebol nem vôlei. O número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei éa) 5 b) 7c) 9d) 11e) 13

CESGRANRIO

Duas modalidades de esporte são oferecidas para os 200 alunos de um colégio: basquete e futebol. Sabe-se que 140 alunos praticam basquete, 100 praticam futebol e 20 não praticam nenhuma destas modalidades. O número de alunos que praticam uma e somente uma destas modalidades é:a) 120.b) 100.c) 80.d) 60.e) 40.

FCC

Para um conjunto qualquer X, n(X) representa a quantidade de elementos de X. Nesse sentido, considere que os conjuntos A, B e C tenham as seguintes propriedades:• n(A) = n(B) = n(C) = 50;• n(A∩B) = n(A∩C) = n(B∩C) = 10;• n(A∩B∩C) = 0.Nessa situação, n(A∪B∪C) é igual aa) 100.b) 110.c) 120.d) 130.e) 140.

CESPE