Amostragem de um sinal contínuo:

Amostragem

Qual é a relação entre a Transformada de Fourier (CTFT) de xC(t) e a DTFT de x[n] ?

Modelo simples: amostragem impulsiva:

Amostragem

D(t) pode ser expresso pela série de Fourier

cujos coeficientes são:

Amostragem

Portanto:

Podemos então escrever:

Amostragem

cuja Transformada de Fourier (CTFT) é:

WT = 2p/T é a frequência de amostragem.

Amostragem

WT < 2WM

aliasing

WT > 2WM

Amostragem

Taxa de Nyquist: WT = 2WM (amostragem crítica)

Oversampling: WT > 2WM

Undersampling: WT < 2WM

Algumas definições:

Amostragem

Relação entre :

Aplicando a CTFT:

Amostragem

CTFT de xS(t):

DTFT de x[n]:

Portanto:

Como

então, finalmente:

Amostragem

Amostragem

xC(t) = cos ((3WT/8)t)

x[n] = cos ((3p/4)n)

Amostragem

xC(t) = cos ((5WT/8)t)

x[n] = cos ((3p/4)n)

No domínio do tempo:

xC(t) = cos ((5WT/8)t)

xC(t) = cos ((3WT/8)t)

Amostragem

Teorema da Amostragem:

Um sinal contínuo 𝑥𝐶(𝑡) limitado em frequência, com 𝑋𝐶 𝑗Ω = 0

para Ω > Ω𝑀, é unicamente determinado por suas amostras

𝑥𝐶 𝑛𝑇 se

Ω𝑇 ≥ 2Ω𝑀

onde Ω𝑇 = 2𝜋 𝑇 .

Geralmente o sinal de interesse possui energia espúria (ruído) em

frequências elevadas é necessário um filtro analógico para evitar

aliasing.

Filtragem Anti-aliasing

Recuperação do Sinal Analógico

Se a condição de Nyquist for satisfeita, o sinal contínuo 𝑥𝐶(𝑡) pode ser recuperado, passando-se o trem de impulsos 𝑥𝑆(𝑡) por

um filtro passa-baixas analógico 𝐻𝑟(𝑗Ω) com frequência de corte

Ω𝐶 tal que

Ω𝑀 < Ω𝐶 < (Ω𝑇 − Ω𝑀)

ou seja:

𝐻𝑟 𝑗Ω = 𝑇, Ω ≤ Ω𝐶

0, Ω > Ω𝐶

A resposta ao impulso de 𝐻𝑟(𝑗Ω) é:

ℎ𝑟 𝑡 =𝑇

2𝜋 𝑒𝑗Ω𝑡𝑑Ω =

𝑠𝑒𝑛(Ω𝐶𝑡)

Ω𝑇𝑡/2

Ω𝐶

−Ω𝐶

Recuperação do Sinal Analógico

O trem de impulsos 𝑥𝑆(𝑡) é dado por

𝑥𝑆 𝑡 = 𝑥(𝑛)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

∞

𝑛=−∞

Portanto, a saída do filtro 𝐻𝑟(𝑗𝛺) com entrada 𝑥𝑆(𝑡), assumindo

Ω𝐶 = Ω𝑇 2 = 𝜋/𝑇 , é:

𝑥 𝐶 𝑡 = 𝑥(𝑛)ℎ𝑟 𝑡 − 𝑛𝑇

∞

𝑛=−∞

= 𝑥(𝑛)𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝑡 − 𝑛𝑇 /𝑇

𝜋 𝑡 − 𝑛𝑇 /𝑇

∞

𝑛=−∞

Recuperação do Sinal Analógico

Amostragem de um Sinal Passa-Faixa

Quando o sinal a ser amostrado é limitado em uma faixa de

frequências mais altas Ω𝐿 ≤ Ω ≤ Ω𝐻, em geral não será

necessário utilizar uma frequência de amostragem Ω𝑇 ≥ 2Ω𝐻

para prevenir aliasing.

Definindo a largura da banda ΔΩ = Ω𝐻 − Ω𝐿, e considerando

Ω𝐻 = MΔΩ com M inteiro, podemos escolher

Ω𝑇 = 2ΔΩ

Neste caso:

𝑋𝑆 𝑗Ω =1

𝑇 𝑋𝐶(𝑗(Ω − 2𝑛

∞

𝑛=−∞

ΔΩ))

𝑋𝐶(𝑗Ω) 𝑋𝑆(𝑗Ω)

Amostragem de um Sinal Passa-Faixa

Se Ω𝐻 ≠ MΔΩ, podemos estender artificialmente a banda,

considerando ΔΩ′ = Ω𝐻 − Ω0, com Ω0 ≤ Ω𝐿 e Ω𝐻 = MΔΩ′,

e escolher

Ω𝑇 = 2ΔΩ′

A reconstrução do sinal analógico pode ser feita por um filtro

passa-faixa com resposta em frequência:

𝐻𝑟 𝑗Ω = 𝑇, Ω𝐿≤ Ω ≤ Ω𝐻

0, 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 Ω