UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA

INSTITUTO CIBERESPACIAL

INSTITUTO SOCIOAMBIENTAL E DE RECURSOS HÍDRICOS

ENGENHARIA AMBIENTAL E ENERGIAS RENOVÁVEIS

1 Equação de Erwin Schrödinger

1.1 Dependente do tempo (E.D.T.):

1.1.1 Em uma dimensão

1.1.2 Em três dimensões

Operador

Laplaciano

1.2 Independente do tempo (E.I.T):1.2.1 Método de separação de variáveis

Tem-se que

Separando as variáveis da E.D.P,

Assim,

. Portanto,

Dividindo por :

Estabelece – se que: ou . Torna-se então

em

Ou em

Para três dimensões:

Equação de Schrödinger

Independente do tempo

2 Equação independente do tempo em coordenadas esféricas

2.1 Método de separação de variáveis :

A equação torna-se:

Separando as variáveis da E.D.P,

Aplicando na E.I.T. tem-se:

Operador

Laplaciano

Dividindo a E.I.T. por e multiplicando por fica:

Por separação de constante, tem-se:

Dependente apenas de r Dependente de θ e ϕ

Termo dependente de r

Termo dependente de θ e ϕ

Origina a Equação Radial

Origina a Equação Angular

3 Equação Radial:

A partir equação anterior,

Simplificando-a por mudança de variáveis em que:

Substituindo na equação anterior fica:

Equação Radial

4 Solução da Equação Radial para o Hidrogênio:

Pela Lei de Coulomb, o potencial de energia é:

E a Equação Radial diz que

- A equação radial é chamada de equação de Laguerre associada e as

soluções R são chamadas de funções de Laguerre associadas.

Átomo de Hidrogênio (H)

Fazendo (E > 0) e dividindo a Equação Radial por E :

Sugerindo e

Então substituindo, surge:

Observando o comportamento da equação quando e e

e, em seguida, encontrando a solução geral para as duas condições,

introduz-se uma nova função:

Pela substituição de variáveis, em termo de , tem-se para a

anterior equação radial:

Finalmente, assumindo uma solução para expressa-se uma

série de potência para :

Diferenciando termo por termo dessa série, surge:

Diferenciando novamente:

Inserindo as duas diferenciações na equação (E.R.)

Torna-se

Equacionando os coeficientes dos campos de potência, resume-se

em:

Ou em...

Sendo que e .

O A é uma constante de Normalização.

Inserindo na equação resulta em:

E, assim, , do início, transforma-se em:

Observando a equação ,

nota-se que quando ocorre um número inteiro máximo, ,

transformando a equação em:

Definindo , teremos o Número Quântico Principal:

Como determina E pelas equações abaixo:

e

Assim:

Finalmente, os níveis de energia serão:

Referências Bibliográficas

• GRIFFITHS, David J. Introduction to Quantum Mechanics. Volume único.

New Jersey; Prentice Hall, 1994.