ÁRVORES BÁRVORES B

Definição

Uma arvore B tem as seguintes propriedades

1. Cada nó tem os seguintes campos:

a) n[x], o numero de chaves correntemente armazenadas em nó x;

b) As n[x] chaves são armazenadas em ordem não

decrescentes, i.e., key1[x] key2[x] ... keyn[x][x];

c) leaf[x], o valor booleano é verdadeiro se x é uma folha e falso se x é um nó interno.

2. Cada nó interno também tem n[x]+1 ponteiros

c1[x], c2[x], ..., cn[x]+1[x] para seus filhos. Nós folhas

não tem filho. Portanto, seus respectivos ponteiros

ci são não definidos.

Definição

3. As chaves keyi[x] separam as regiões de chaves

armazenadas em cada sub-arvore: se ki é qualquer

chave armazenada em sub-arvore ci[x], então

k1 key1[x] k2 key2[x] ... keyn[x][x] ...kn[x]+1;

4. Todas folhas tem a mesma profundidade h (altura da

arvore);

Definição

5. Existem um limite máximo e mínimo de numero de

chaves para cada nó:

a) Cada nó exceto o nó raiz tem que tem peno

menos t-1 chaves. Então, cada nó interno exceto a

raiz tem pelo menos t filhos. Se arvore não for

vazia, a raiz tem que tem pelo menos 1 chave;

b) Cada nó pode ter no máximo 2t-1 chaves. Então,

um nó interno pode ter no máximo 2t filhos. Um nó

é dito cheio se tem exatamente 2t-1 chaves.

Um nó interno contém n[x] chaves e n[x]+1 filhos. Todas as folhas têm a mesma profundidade. Os nós pintados são visitados na busca pela letra R.

Árvore B

M

D H Q T X

B C J K L N P R S V W Y ZF G

raiz[T]

1000

1000 1000

1000 1000 1000

raiz[T]

1000

1001

1001

1001

. . .

. . .

1001

Uma árvore B com altura 2 contendo mais de um bilhão de chaves. Cada nó interno e cada folha contém 1000 chaves. Há 1001 nós com profundidade 1 e mais de um milhão de folhas com profundidade 2.

1

t - 1

t - 1t - 1 t...

t - 1

t

t - 1

t - 1t - 1 t...

. . . t - 1

t - 1t - 1 t...

t - 1

t

t - 1

t - 1t - 1 t...

. . .

Número de nós

1

2

2t

2(t^2)

Uma árvore B de altura 3 contendo o número mínimo possível de chaves.

Teorema: Se n 1, então, para qualquer arvore B de n nós, de altura h e grau mínimo t 2,

2

1log

nh t

Prova:

12

1

1121

2111

1

h

h

h

i

i

t

t

tt

ttnProfundidade 1: 1Profundidade 2: 2Profundidade 3: 2tProfundidade 4: 2t2

...

Busca em Árvores B

B-Tree-Search

i ← 1

while i <= n[x] and k > keyi[x]

do i ← i + 1

if i<= n[x] and k == keyi[x]

then return(x, i)

if leaf[x]

then return NIL

else DISK-READ(ci[x])

return B-Tree-Search(ci[x], k)

ntth tlogO tempo total de CPU:

Criação de uma Árvore B Vazia

B-Tree-Create

x ← Allocate-Node()

leaf[x] ← TRUE

n[x] ← 0

Disk-Write(x)

root[T] ← x

B-Tree-Create requer O(1) de operações de disco e O(1) no tempo da CPU.

... N W ...

x keyi

-1

[x] ke

yi [

x]

keyi

+1

[x]

... N S W ...

x keyi

-1

[x] ke

yi [

x]

P Q R S T U V

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

P Q R

T1 T2 T3 T4

T U V

T5 T6 T7 T8

y = ci [X] z = ci+1 [x]

Dividindo um nó com t = 4. O nó y é dividido em 2 nós, y e z, e a chave média S de y é movida para os pais de y.

DIVISÃO DE NÓS

y = ci [X]

z ← Allocate-Node()

leaf[z] ← leaf[y]

n[z] ← t – 1

for j ← 1 to t – 1

do keyj[z] ← keyj+t[y]

if not leaf[y]

then for j ← 1 to t

do cj[z] ← cj+t[y]

n[y] ← t – 1

for j ← n[x] + 1 downto i + 1

do cj+1[x] ← cj[x]

ci+1 [x] ← z

for j ← n[x] downto i

do keyj+1[x] ← keyj[x]

keyi[x] ← keyt[y]

n[x] ← n[x] + 1

Disk-Write(y)

Disk-Write(z)

Disk-Write(x)

B-Tree-Split-Child(x, i, y):

tO

O tempo total de CPU:

B-Tree-Insert(T, k)

r ← root[T]

if n[r] = 2t – 1

then s ← Allocate-Node()

root[T] ← s

leaf[s] ← FALSE

n[s] ← 0

c1[s] ← r

B-Tree-Split-Child(s, 1, r)

B-Tree-Insert-Nonfull(s, k)

else B-Tree-InsertNonfull(r, k)

ntth tlogO tempo total de CPU:

A D F H L N P

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

root[T]

rA D F

T1 T2 T3 T4

L N P

T5 T6 T7 T8

H

root[T]

s

Dividindo a raiz com t = 4. O nó raiz r é dividido em 2, e um novo nó raiz s é criado. O novo nó raiz contém a chave do meio de r e duas metades de r como filhos. A árvore B cresce 1 em altura quando uma raiz é dividida.

i ← n[x]

if leaf[x]

then while i >= 1 and k < keyi [x]

do keyi+1[x] ← keyi [x]

i ← i – 1

keyi+1[x] ← k

n[x] ← n[x] + 1

Disk-Write(x)

else while i >= 1 and k < keyi [x]

do i ← i – 1

i ← i + 1

Disk-Read(ci [x])

if n[ci [x]] == 2t – 1

then B-Tree-Split-Child(x, i, ci

[x])

if k > keyi [x]

then i ← i + 1

B-Tree-Insert-Nonfull(ci [x], k)

B-Tree-Insert-Nonfull(x, k):

G M P X

A C D E J K R S T U VN O Y Z

a) árvore inicial

G M P X

A B C D E J K R S T U VN O Y Z

b) B inserido

: nó alterado no processo. O grau mínimo t para esta árvore é 3, então um nó pode ter no máximo 5 chaves. a) A árvore inicial; b) Inserção simples em um nó folha.

G M P T X

A B C D E J K N O Y Z

c) Q inserido

Q R S U V

G M

A B C D E J K L N O Y Z

d) L inserido

Q R S U V

T X

P

c) Ao inserir a chave Q o nó RSTUV é dividido em dois, a chave T sobe e Q é inserido no nó mais a esquerda (UV); d) A raiz é dividida, pois está cheia, e a árvore cresce mais 1, então L é inserido na folha JK.

C G M

A B J K L N O Y Z

e) F inserido

Q R S U V

T X

P

D E F

e) O nó que contém ABCDE é dividido antes de F ser inserido no nó mais à direita (DE).

Eliminação de uma chave de uma arvore B

1. Se a chave k está no nó x e x é uma folha, elimine a chave k de x;2. Se a chave k está no nó x e x é um nó interno, faça a seguinte: a. Se o filho y que precede k no nó x tem pelo menos t chaves, então encontre o predecessor k´de k na subarvore com raiz em y. Elimine recursivamente k´ , e substitua k por k´em x (encontrar k´e eliminá-lo pode ser uma operação executada em uma única passagem descendente); b. Se o filho z que segue k no nó x tem pelo menos t chaves, então encontre o sucessor k´de k na subarvore com raiz em z. Elimine recursivamente k´ , e substitua k por k´em x (encontrar k´e eliminá-lo pode ser uma operação executada em uma única passagem descendente); c. Caso contrario, se tanto y quanto z tem apenas t-1 chaves, faça a intercalação de k e todos os itens z em y, de modo que x perca tanto k quanto o ponteiro para z, e y contenha 2t-1 chaves. Em seguida, libere z e elimine recursivamente k de y.

Eliminação de uma chave de uma arvore B

3. Se a chave k não estive no nó interno x, determine a raiz ci[x] da subarvore apropriada que deve conter k, se k estiver absolutamente na arvore. Se ci[x] tiver somente t-1 chaves, execute o passo 3a ou 3b conforme necessário para garantir que desceremos até um nó contendo pelo menos t chaves. Em seguida, encerre efetuando uma recursão sobre o filho apropriado de x. a. Se ci[x] tiver somente t-1 chaves, mas tiver um irmão com t chaves, forneça a ci[x] uma chave extra, movendo uma chave de x para baixo até ci[x], movendo uma chave do irmão esquerdo ou direito imediato de ci[x] para dentro de x, e movendo o ponteiro do filho apropriado do irmão para ci[x]; b. Se ci[x] e todos os irmãos têm t-1 chaves, faça a intercalação de ci[x] com um irmão, o que envolve mover uma chave de x para baixo até o novo nó intercalado, a fim de se tornar a chave mediana para esse nó.

C G M

A B J K L N O Y ZQ R S U V

T X

P

D E F

Arvore inicial

Eliminação de uma chave de uma arvore B

t = 3

C G M

A B J K L N O Y ZQ R S U V

T X

P

D E

F eliminado, caso 1

Eliminação de uma chave de uma arvore B

C G L

A B J K N O Y ZQ R S U V

T X

P

D E

M eliminado, caso 2a

Eliminação de uma chave de uma arvore B

C L

A B D E J K N O Y ZQ R S U V

T X

P

G eliminado, caso 2c

Eliminação de uma chave de uma arvore B

C L P T X

A B E J K N O Y ZQ R S U V

D eliminado, caso 3b

Eliminação de uma chave de uma arvore B

C L P T X

A B E J K N O Y ZQ R S U V

D eliminado, caso 3b

A arvore escolhe no sentido da altura

Eliminação de uma chave de uma arvore B

E L P T X

A C J K N O Y ZQ R S U V

B eliminado, caso 3a

Eliminação de uma chave de uma arvore B

Exercícios

• Mostre os resultados da inserção das chaves F S Q K C L H T V W M R N P A B X Y D Z E nesse ordem em uma arvore B vazia com t = 2.• Explique como encontrar a chave mínima armazenada em uma arvore B e como encontrar o predecessor de uma dada chave. • Mostre os resultados da eliminação de C, P e V, nessa ordem, da arvore do último exemplo.

Arvore B+

36 53 81

8 17 36 42 53 56 65 72 81 125 12783 96 98 102 104

104 119

98

107 112 119

A

B C

D E F G H I J