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  • Anais do XI Encontro Nacional de Educao Matemtica ISSN 2178-034 Pgina 1

    APRENDENDO AS RELAES TRIGONOMTRICAS NO TRINGULO

    RETNGULO COM ATIVIDADES PRTICAS

    Autora: Lidiane Ferreira Nunes

    Instituio: Universidade Bandeirante - Anhanguera

    E-mail: lidimatematica@hotmail.com

    Resumo:

    Este trabalho tem como objetivo demonstrar as relaes trigonomtricas no tringulo

    retngulo por meios de duas atividades prticas, bem como introduzir a histria da

    matemtica nas aulas de matemtica. As atividades foram desenvolvidas com alunos do 9

    ano do Colgio Alfa Guaruj, da cidade Guaruj-SP. A escolha destas atividades foi

    visando melhor aprofundamento do contedo, pois na aplicao do Teorema de Pitgoras,

    os alunos sentiram dificuldades na resoluo de situaes-problema. Aps a aplicao das

    atividades constatou-se que os objetivos foram atingidos. Observou-se que os alunos

    estavam entusiasmados para a realizao de cada etapa das atividades propostas. Como

    orientao para o planejamento das aulas buscou-se os objetivos, do contedo estudado,

    nas orientaes determinadas pela Proposta Curricular do Estado de So Paulo.

    Palavras-chave: Razes; Trigonometria; Tringulo; Ensino; Prtica; Transferidor;

    1. Introduo

    Ao ministrar a aula sobre o teorema de Pitgoras percebi a dificuldades dos alunos

    na compreenso. Questionei-me como seria abordar o contedo, relaes trigonomtricas

    no tringulo retngulo, portanto resolvi fazer pesquisas, procurando a melhor forma para

    aplicar uma atividade prtica, na sala de aula, que pudesse motiv-los.

    Segundo Muniz (2008)

    O estudante s adquire averso matemtica quando no se sente ativo no

    processo de ensino aprendizagem e quando o professor no observa o

    estudante como sujeito ativo na produo do conhecimento matemtico,

    considerando as formas particulares de aprender e pensar de cada aluno

    (MUNIZ apud MORBACH, 2010, p.15).

    Considero importante a histria da Matemtica inserida no contexto escolar, assim

    foi narrada a histria de Tales, Pitgoras para que compreendessem a importncia desse

    contedo e como os instrumentos de medio surgiram.

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    Em seguida a proposta da fabricao de um experimento semelhante ao Teodelito1

    para realizao de algumas medies. Para Mendes, O uso de materiais concretos no

    ensino de matemtica uma ampla alternativa didtica que contribui para a realizao de

    intervenes do professor em sala de aula durante o semestre letivo (MENDES, 2009,

    p.25,).

    As atividades trabalhadas disponibilizadas no site:

    . Algumas adaptaes foram

    realizadas, de acordo com a realidade da nossa escola e turma.

    2. Atividades propostas

    Atividade 1

    Nesta atividade sero trabalhadas quatro situaes.

    1. Construindo tringulos semelhantes

    Figura 1 (aparelho para trabalhar com tringulos semelhantes)

    Contedos a serem trabalhados:

    Construo de ngulos, tringulos e retngulos;

    Razes trigonomtricas e relaes mtricas num tringulo retngulo;

    Identificao dos vrios tipos de tringulos quanto aos lados e quanto aos

    ngulos.

    Objetivos da atividade:

    1 Teodolito: O teodolito um instrumento ptico de medio de posies relativas. vulgarmente utilizado

    em topografia, navegao e em meteorologia; funciona com uma ptica (por vezes duas), montada num trip,

    com indicadores de nvel, permitindo uma total liberdade de rotao horizontal ou vertical; mede distncias

    relativas entre pontos determinados, em escala mtrica decimal (mltiplos e submltiplos).

    http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm11/napl4.htm

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    Medir ngulos;

    Determinar Seno, Cosseno e Tangente de vrios ngulos;

    Resolver situaes-problema de distancia entre pontos;

    Estabelecer relaes entre medida de ngulos e distancias;

    Resolver situaes-problema utilizando conceitos e procedimentos

    matemticos;

    Calcular distncias inacessveis de pontos (objetos) atravs das razes

    trigonomtricas no triangulo retngulo;

    Material:

    Pedao retangular de madeira (PBF) de 25cm X 20cm;

    Papel milimetrado com as mesmas dimenses acima;

    Cpia xerogrfica de um transferidor de 180;

    Cola;

    Linhas de croch nas cores azul, amarela e vermelha de 35 cm de

    comprimento cada uma;

    Alfinetes.

    Montagem do material:

    Colar o papel milimetrado sobre a madeira;

    Furar o transferidor no centro com um alfinete prendendo-o com cola no

    furo junto com as trs linhas coloridas;

    Colar o transferidor assim montado no meio da base maior do isopor;

    A 8 cm do centro amarrar na linha azul um alfinete, passando um pouco de

    cola para no se desfazer o no; a 10cm fazer o mesmo com a linha amarela e

    a 12 cm com a linha vermelha.

    Supondo que se queira formar um tringulo retngulo com um angulo de 30 no

    vrtice do furo.

    Prender o alfinete da linha azul num ponto do alinhamento do lado que forma o

    angulo escolhido (30) e a seguir prender outro alfinete na projeo desse ponto sobre a

    base, contornando com a linha ate o alfinete do centro, formando o triangulo azul 1.

    2. Observando tringulos semelhantes

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    Denominar de a1 a hipotenusa; de b1 o cateto da base e de c1 o outro cateto desse

    triangulo 1 e fazer as medies desses lados preenchendo a tabela abaixo.

    Repetir a mesma operao para os tringulos amarelo 2 e vermelho 3.

    Tabela 1 - Estabelecendo as razes entre os lados correspondentes.

    A que concluses podem-se chegar?

    3. Determinando os valores de seno, cosseno e tangente

    A partir do ngulo dos exerccios anteriores, = 30, e lembrando que:

    Complete a tabela abaixo:

    Tabela 2 - Determinando os valores de seno, cosseno e tangente

    Tringulo azul Tringulo amarelo Tringulo vermelho

    Obs. Os catetos podem ser medidos observando o papel milimetrado.

    A que concluses pode-se chegar?

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    Aps cada atividade prtica sero aprofundados os contedos de Trigonometria

    referentes aquela atividade, de acordo com as Diretrizes Curriculares para os ensino

    Fundamental Matemtica do Estado de So Paulo.

    1. Implementao em sala de aula

    Aps o entendimento dos contedos sobre as funes trigonomtricas, tpicos

    descritos acima, passou-se a implementao em sala de aula, que teve como objeto a

    resposta do questionrio, Tabela 3.

    Tabela 3 Calculo das funes seno, cosseno e tangente.

    COLGIO ALFA GUARUJ

    Questionrio da atividade 01

    GRUPO _____ Integrantes (Nomes e Nos

    ) _______________________,

    ______________________, _______________________, ______________________

    Medidas do tringulo menor

    Cateto oposto = Cateto adjacente Hipotenusa

    Medidas do tringulo mdio

    Cateto oposto = Cateto adjacente Hipotenusa

    Medidas do tringulo maior

    Cateto oposto = Cateto adjacente Hipotenusa

    Atividade 2

    Nesta atividade sero trabalhadas duas situaes.

    1. ngulos, razes trigonomtricas e semelhana de tringulos medidas verticais.

    O teodolito um instrumento capaz de medir ngulos, muito usado por

    agrimensores, engenheiros e topgrafos no calculo de distncias inacessveis.

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    Este instrumento tico mede ngulos horizontais e verticais com suas duas escalas

    circulares graduadas em graus.

    Figura 3 (teodolito elementar para o clculo de distncias verticais -alturas)

    Contedos a serem trabalhados:

    ngulos;

    Razes trigonomtricas e relaes mtricas num tringulo retngulo;

    Semelhana de tringulos.

    Objetivos da atividade:

    Calcular distncias inacessveis de pontos (objetos) atravs das razes

    trigonomtricas no triangulo retngulo;

    Medir ngulos;

    Resolver situaes-problema de distancia entre pontos;

    Estabelecer relaes entre medida de ngulos e distncias;

    Resolver situaes-problema utilizando conceitos e procedimentos

    matemticos.

    Material:

    Uma tbua de madeira (PBF) quadrada de lados 20 cm (pintar de branco ou

    colar um pedao de papel sulfite de mesmas dimenses);

    Um desenho ou copia xerogrfica de um transferidor de 360o;

    Um copo plstico com tampa (copo de requeijo);

    Um canudo de plstico;

    Um pedao de arame fino de ao;

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    Como construir:

    Marcar na taboa os pontos mdios dos lados e traar as mediatrizes do

    quadrado para localizar o seu centro (ponto 0).

    Colar a xerox do transferidor sobre a taboa tal que o seu centro coincida

    com o centro do quadrado e que a linha 0o - 180o coincida tambm com a

    mediatriz horizontal do quadrado.

    A tampa do copo devera ser colada de cabea para baixo, de forma que o

    centro da mesma coincida com o centro do transferidor, servindo de base

    para a rotao do copo, que devera girar livremente.

    Atravessar ao longo do dimetro da borda do copo, 0,5 cm acima da tampo

    arame, que funcionara como ponteiro do teodolito.

    No fundo do copo colar o canudinho tendo o cuidado para que arame e

    canudinho fiquem alinhados, quando se olha de cima para baixo.

    Como efetuar a medio:

    Para iniciar as medies, o teodolito devera ser colocado sobre uma superfcie

    plana, cuidando para que os objetos a serem visados estejam mais ou menos no mesmo

    nvel.

    Visar o primeiro objeto com o segmento apontado para o mesmo;

    Girar para qualquer lado somente o copo at visualizar o segundo objeto;

    Fazer a leitura do angulo medido;

    Procurar na tabela de razoes trigonomtricas, a tangente do seu ngulo de

    viso (angulo )

    Medir em linha reta a distancia do ponto em que se encontra o teodolito ate

    o primeiro objeto (cateto adjacente). A distncia a ser medida entre os dois

    objetos e o cateto oposto e ser calculada pela frmula:

    2. Implementao em sala de aula

    Aps o entendimento dos contedos sobre as funes trigonomtricas, tpicos

    descritos acima, passou-se a implementao em sala de aula, que teve como objeto a

    resposta do questionrio, Tabela 4.

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    Tabela 4 Clculo das distncias verticais

    COLGIO ALFA GUARUJ

    Questionrio da atividade 01

    GRUPO _____ Integrantes (Nomes e Nos

    ) _______________________,

    ______________________, _______________________, ______________________

    1 Mediao: Clculo da altura do p-direito da sala, usando funes trigonomtricas e

    posteriormente uma trena, e feita por todos os integrantes do grupo.

    1

    2

    3

    4

    2 Mediao: Clculo das alturas dos integrantes do Grupo, usando as funes trigonomtricas e

    posteriormente uma trena para comparar os resultados.

    1

    2

    3

    4

    Comentrios sobre resultados

    1) As medidas encontradas na altura da sala pelos dois mtodos so iguais? So diferente?

    2) A medida com trena mais confivel? Por que?

    3) Cite os motivos pelos quais o uso das funes trigonomtricas nos clculos no tm uma boa

    preciso com o uso desse teodolito elementar.

    3. Anlise das atividades

    Cada atividade desenvolvida enriqueceu o meu trabalho, como docente, evidenciando

    que h necessidade de modificarmos nossas aulas proporcionando aos educandos maior

    interao com o contedo e a prtica, ou seja, na experimentao de instrumentos voltados

    para a aprendizagem.

    Transcrevo o relato de trs grupos que compartilharam, por escrito, suas observaes:

    Grupo 1: Atravs da atividade que provava as relaes trigonomtricas no tringulo

    retngulo, ns pudemos ver e melhor compreender o assunto.

    Grupo 2: Atravs de aulas tericas no foi possvel o aprofundamento no assunto,

    assim a partir dessas aulas prticas a compreenso do tema abordado foi obtido com maior

    facilidade.

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    Grupo 3: As atividades apresentadas foram interessantes uma vez que inovou o mtodo

    de ensinar matemtica, fazendo com que ns consegussemos entender a matria como

    passssemos a enxerga-la e encar-la de oura maneira.

    Figura 4 Fotos dos alunos realizando as medies na escola.

    4. Consideraes Finais

    Com a realizao deste trabalho evidenciou-se que os discentes esto mais motivados

    nas aulas da Matemtica, o objetivo proposto foi atingido. Houve uma troca de

    aprendizagem, cada um teve a oportunidade de desenvolver suas competncias e

    habilidades.

    importante o professor optar pelo ensino da Trigonometria por meio de atividades

    que o faam experimentar, construindo o conhecimento atravs de suas experincias.

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    5. Agradecimentos

    Aos meus alunos (as) do 9 ano do Colgio Alfa Guaruj pela colaborao na

    realizao das atividades, bem como a toda equipe pedaggica dessa escola que apoiam

    iniciativas como esta. As aulas foram sensacionais! Obrigada!

    6. Referncias

    BRASIL. Ministrio da Educao Parmetros Curriculares Nacionais. Braslia: SEF,

    1998.

    BOYER, C. B. Histria da Matemtica. Traduo Elza F. Gomide. 2 Ed.So Paulo: Edgard

    Blcher Ltda, 1996.

    MENDES, I.A. Matemtica e Investigao em sala de aula: tecendo redes cognitivas

    na aprendizagem. So Paulo: Editora Livraria da Fsica, 2009.

    MORBACH, R. P. C. Trabalhando com jogos de forma interdisciplinar no ensino da

    Matemtica; organizado por Chaquiam e Cabral. Belm: SBEM-PA, 2010.

    SO PAULO, Secretaria da Educao. Proposta Curricular do Estado de So Paulo:

    Matemtica (Ensino fundamental Ciclo II e Mdio). So Paulo: SEE, 2008.

    http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm11/napl4.htm Acesso em: 03/05/2009 s 16h.

    http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm11/napl4.htm

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