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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

Departamento de Estruturas

EC 702 CONCRETO ARMADO I

SOLICITA ES NORMAIS

C LCULO NO ESTADO LIMITE LTIMO

PROF. DR. GILSON B. FERNANDES

VERSO REVISTA POR:PROF. DR. MARIA CECILIA A. TEIXEIRA DA SILVAMONITORAS PED REGINA MANTOVANI MATSUI

SUSANA LIMA PIRES CAMPINAS FEVEREIRO/2006

P GR 702 501- R

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1 INTRODUO........................................................................................................................................... 3

2 DIAGRAMAS TENSO-DEFORMAO DOS AOS........ .............. ............. ............ .............. ............. .... 4

2.1 DIAGRAMAS CARACTERSTICOS................................................................................................. 4

2.2 DIAGRAMAS DE CLCULO ............................................................................................................ 4

2.3 VALORES DE CLCULO................................................................................................................. 5

3 DIAGRAMA TENSO-DEFORMAO DO CONCRETO ........................................................................ 7

4 HIPTESES DE CLCULO...................................................................................................................... 9

5 DOMNIOS DE DEFORMAES.............. ............ .............. .............. ............. ............ .............. ............. .. 12

6 EQUAES DE EQUILBRIO E DE COMPATIBILIDADE............ ............. .............. ............ .............. .... 15

7 FLEXO NORMAL SIMPLES ................................................................................................................. 18

7.1 INTRODUO ............................................................................................................................... 18

7.2 POSIO DA LINHA NEUTRA...................................................................................................... 19

7.3 DEFORMAO E TENSO NA ARMADURA As........................................................................... 19

7.4 DEFORMAO E TENSO NA ARMADURA As.......................................................................... 22

7.5 CLCULO DE VERIFICAO DE SEES RETANGULARES ........... .............. ............. ............. 237.5.1 SEES RETANGULARES COM ARMADURA SIMPLES ............. ............ .............. ............. .. 237.5.2 SEES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA................. ............ .............. ............. .. 25

7.6 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES RETANGULARES............... .............. ........... 267.6.1 SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES ............................................................. 277.6.2 SEO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA............ ............. .............. ............. ............. 29

7.7 VIGAS DE SEO T NAS ESTRUTURAS DE CONCRETO............... .............. ............. ............. 317.7.1 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES T COM ARMADURA SIMPLES............. .. 337.7.2 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES T COM ARMADURA DUPLA............ ....... 35

8 FLEXO NORMAL COMPOSTA FORA NORMAL DE COMPRESSO............ ............ .............. .... 37

8.1 INTRODUO ............................................................................................................................... 37

8.2 FLEXO NORMAL COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE ............ .............. ............. .. 37

8.3 FLEXO NORMAL COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE ............. ............. ............. 418.4 COMPRESSO NO UNIFORME................................................................................................. 44

8.5 INTERAO DE MOMENTO FLETOR E FORA NORMAL NA FLEXO-COMPRESSO........... 47

8.6 FNC - CLCULO DE VERIFICAO EM SEES RETANGULARES .............. ............. ............. 538.6.1 INTRODUO........................................................................................................................... 538.6.2 FLEXO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE............. .............. ............. ............. 538.6.3 FLEXO COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE....... .............. ............ .............. .... 568.6.4 COMPREESO NO UNIFORME ............................................................................................ 57

9 COMPRESSO UNIFORME................................................................................................................... 61

10 FLEXO NORMAL COMPOSTA FORA NORMAL DE TRAO............ ............ .............. ............. .. 63

10.1 INTRODUO ............................................................................................................................... 63

10.2 FLEXO-TRAO............................................................................................................................ 63

10.3 TRAO NO UNIFORME............................................................................................................ 68

11 TRAO UNIFORME.............................................................................................................................. 70

12 FLEXO OBLQUA................................................................................................................................. 72

12.1 CLCULO EXATO ......................................................................................................................... 72

12.2 SUPERFCIES DE INTERAO E DIAGRAMAS DE INTERAO ............. .............. ............. ...... 74

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1 INTRODUO

O estudo das sees de concreto armado tem por finalidade verificar se sob aao das solicitaes majoradas (solicitaes de clculo) a pea no supera cada um dosestados limites, admitindo que os materiais (concreto e ao) tenham como resistnciareal a resistncia minorada (resistncia de clculo).

Neste texto, se estabelecem as bases de clculo de sees de concreto armadosubmetidas a solicitaes normais nos estados limites de deformao plstica excessivae de ruptura.

Denominam-se solicitaes normais as que originam tenses normais nas seestransversais dos elementos estruturais. Compreendem, neste caso, fora normal emomento fletor, ambos referidos ao centro de gravidade da seo transversal deconcreto.

Uma seo de concreto armado, submetida a solicitaes normais, pode atingir oestado limite ltimo de trs formas: por excesso de deformao plstica do ao daarmadura, por esmagamento do concreto na flexo ou por esmagamento do concreto nacompresso.

a) Estado de deformao plstica excessiva: nas peas submetidas trao ou flexo com quantidades pequenas de armadura, admite-se que o estado limiteltimo seja atingido em virtude de deformao plstica excessiva da armadura,cujo valor se fixa em 1%.

b) Estados de ruptura: em peas submetidas flexo simples ou flexocomposta, com quantidades mdias ou grandes de armadura, o estado limiteltimo atingido por esmagamento do concreto comprimido para deformaesda ordem de 0,35% e em peas submetidas compresso uniforme ou compresso no uniforme o estado limite ltimo atingido por esmagamentodo concreto para deformaes da ordem de 0,2%.

O Cdigo Modelo do C.E.B. e a Norma Brasileira NBR 6118:2003 preconizam parao estudo das sees de concreto armado nas formas de runa vistas, um mtodo quecobre de maneira contnua todos os casos de solicitaes normais, desde a traouniforme at a compresso uniforme, incluindo as fases intermedirias de solicitaescombinadas.

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2 DIAGRAMAS TENSO-DEFORMAO DOS AOS

2.1 DIAGRAMAS CARACTERSTICOS

De acordo com a NBR-6118:2003, pode-se adotar o diagrama tenso-deformaocaracterstico simplificado, indicado na figura 2.1, para aos com ou sem patamar deescoamento.

Para os aos, adota-se um diagrama bi-retilneo formado pela reta de Hooke e umsegmento reto paralelo ao eixo das deformaes, cuja ordenada corresponde resistncia caracterstica, fyk.

Figura 2.1

Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelos fabricantes, a NBR 6118:2003admite a adoo do mdulo de elasticidade do ao:

ES= 210.000 MPa

Para esses aos, embora o efeito Bauschinger possa no ser desprezvel, admite-se um comportamento na compresso anlogo ao na trao. Na parte correspondente trao, o alongamento limitado em 1%, ou seja, ao valor que caracteriza o estado limitede deformao plstica excessiva. Na parte correspondente compresso, oencurtamento limitado em 0,35% porque o concreto comprimido solidrio s armadurassofre ruptura com encurtamentos no superiores a 0,35%.

2.2 DIAGRAMAS DE CLCULO

Os diagramas de clculo dos aos so obtidos a partir dos diagramascaractersticos mediante uma translao efetuada paralelamente reta de Hooke.

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Para os aos, admite-se um diagrama de clculo como o apresentado na figura2.2, ou seja, bi-retilneo, formado pela reta de Hooke e um segmento reto paralelo ao eixo

das deformaes e cuja ordenada corresponde resistncia de clculo:s

yk

yd

ff

= .

Figura 2.2

A parte do diagrama correspondente compresso anloga quela quecorresponde trao. O limite para o alongamento 1% e o encurtamento mximo 0,35%.

As resistncias de clculos

yk

yd

ff

= es

yck

ycd

ff

=

so obtidas a partir das resistncias caractersticas fyk e fyck determinadasexperimentalmente. Na falta de determinao experimental, fyk e fyck podem serconsideradas iguais e com o valor mnimo nominal de fykfixado pela NBR 7480:1996.

2.3 VALORES DE CLCULO

As relaes tenso-deformao para os aos so as seguintes:

sss E = , se yds

ydsf= , se yds

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Figura 2.3

Os valores das resistncias e deformaes de clculo para os aos da NBR7480:1996 so os que se apresentam na tabela abaixo. Tais valores foram determinadospara s= 1,15 e Es= 210.000 MPa.

Aosfyk

(MPa)

fyd

(MPa)yd

CA-25 250 217,4 0,001035

CA-50 500 434,8 0,002070

CA-60 600 521,7 0,002484

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3 DIAGRAMA TENSO-DEFORMAO DO CONCRETO

A distribuio de tenses no concreto nas sees submetidas flexo e compresso, na proximidade da ruptura, depende de muitos fatores tais como:

- posio da linha neutra;

- velocidade de aplicao da carga;

- durao da carga;

- quantidade de armadura;

- forma da seo;

- resistncia do concreto;

- idade do concreto ao ser aplicada a carga;

- composio do concreto

- condies climticas.

Por essa razo, praticamente impossvel conseguir uma nica distribuio realde tenses que corresponda a todas as situaes existentes.

Alm disso, deve-se considerar que, durante os primeiros anos de vida, o concretopassa por um perodo em que sofre um amadurecimento acompanhado pela hidrataodo cimento, pela transformao dos produtos da hidratao desde o estado de gel at acristalizao e por um processo de secagem. Enquanto isso, a resistncia, o mdulo dedeformao e as caractersticas de fluncia do concreto sofrem variaes com o tempo.Simultaneamente, ocorrem deformaes que dependem da tenso no concreto e influem

na distribuio das tenses.

Por todos esses motivos, a distribuio de tenses na zona comprimida podeoscilar entre um tringulo ligeiramente arredondado e uma parbola, cujo valor mximono est situado na borda da seo, mas no seu interior. Na borda comprimida adeformao poder estar compreendida entre 0,2% e 1%.

Mesmo que se tentasse empregar, em cada caso de dimensionamento, odiagrama da distribuio de tenses correspondente s condies existentes, no seriapossvel ser fiel realidade. Dificilmente seria possvel prever o histrico docarregamento, a idade do concreto quando ele comeasse a atuar e o grau de solicitaoque aconteceria. Por essas razes deve-se utilizar um diagrama que, em cada caso,

corresponda s situaes mais desfavorveis, podendo-se conservar a conveno, jaceita, de que com a idade de 28 dias uma parte ou elemento da estrutura j est emcondio de poder resistir combinao mais desfavorvel dos carregamentos.

Os estudos experimentais desenvolvidos nesse sentido, considerandocombinaes de fora normal e momento fletor, cargas de curta e de longa durao,formas diferentes de seo, quantidades diferentes de armadura, etc., revelaram que odiagrama parbola - retngulo da figura 3.1 permite determinar, com preciso suficientepara a prtica, a solicitao de ruptura de uma seo qualquer nas condies maisdesfavorveis.

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Figura 3.1 Diagrama caracterstico

Esse diagrama no cpia de alguma distribuio verdadeira de tenses. umdiagrama idealizado e que se justifica por levar a resultados concordantes com os obtidosexperimentalmente.

Conforme a NBR 6118:2003, o diagrama tenso-deformao do concreto compresso, a ser usado no clculo, compe-se de uma parbola do 2 grau que passapela origem e tem seu vrtice no ponto de abscissa 0,2% e ordenada 0,85 fcde de umsegmento reto entre as deformaes de 0,2% e 0,35% tangente parbola e paralelo aoeixo das abscissas figura 3.2.

Figura 3.2 Diagrama de clculo

]),

([.,2c

cdc0020

11f850

=

0,85fck

0,85fcd

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4 HIPTESES DE CLCULO

As hipteses de clculo no estado limite ltimo de ruptura ou de deformaoplstica excessiva, nos casos de flexo simples ou flexo composta, normal ou oblqua, ede compresso ou trao uniforme, excludas as vigas paredes e os consolos curtos, soas seguintes:

a) Sob a influncia das solicitaes normais, as sees transversais permanecemplanas (hiptese de Bernouilli).

Como resultado, as deformaes das fibras de uma seo so proporcionais ssuas distncias linha neutra, ou seja, o diagrama de deformaes na seo transversal retilneo (figura 4.1).

Figura 4.1

b) A resistncia trao do concreto desprezada.

Em virtude da baixa resistncia que o concreto apresenta quando tracionado, na

regio da seo em que a solicitao produz tenses de trao admite-se que o concretoesteja fissurado. Disso decorre que todas as foras internas de trao devem serresistidas por armadura.

c) Admite-se que haja aderncia perfeita entre a armadura e o concreto adjacenteno fissurado.

Em vista disso, a deformao nas barras da armadura a mesma do concreto queas envolve.

d) O alongamento especfico sumximo permitido na armadura de trao 1%.

Este limite adotado convencionalmente por considerar-se que a esse valorcorrespondem fissurao excessiva do concreto e deformao excessiva da pea,dando-se por esgotada sua capacidade resistente.

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e) O encurtamento de ruptura do concreto nas sees no inteiramentecomprimidas de 0,35% e nas sees inteiramente comprimidas, o encurtamento daborda mais comprimida, na ocasio da ruptura, varia de 0,35% a 0,20%, mantendo-seconstante e igual a 0,20% a deformao a 3/7 da altura total da seo a partir da bordamais comprimida (figura 4.2).

Figura 4.2

O encurtamento de ruptura do concreto sofre influncia de vrios fatores comovelocidade de deformao, forma da seo transversal e posio da linha neutra naseo. O fato de se admitir o encurtamento de ruptura do concreto conforme o critrioexposto uma hiptese simplificadora. Na verdade, os resultados experimentaisjustificam os valores 0,35% para as sees no inteiramente comprimidas e 0,20% paraas sees comprimidas uniformemente. Ao mesmo tempo, parece lgico supor umapassagem contnua do valor 0,35% para o valor 0,20% para os casos de compresso nouniforme, conforme mencionado na presente hiptese.

f) A distribuio das tenses no concreto na seo transversal se faz de acordocom um diagrama parbola - retngulo (figura 4.3) baseado no diagrama tenso-deformao adotado para o concreto. Permite-se a substituio desse diagrama por umretngulo de altura y = 0,8 x, com a seguinte tenso:

0,85 fcdno caso em que a largura da seo medida paralelamente linha neutrano diminui a partir desta para a borda comprimida;

0,80 fcdno caso contrrio.

Figura 4.3

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Para os clculos de verificao e dimensionamento, torna-se necessrio admitiruma forma para a distribuio da curva de tenses de compresso na seo de concreto.

Estudos comparativos entre vrias formas adotadas para essa distribuio detenses evidenciaram que uma distribuio composta por uma parbola do 2 grau desdea linha neutra at a fibra com deformao de 0,20% completada com um segmento retoat a borda mais comprimida, onde a tenso vale 0,85 f cd, fornece boa concordncia comos resultados obtidos experimentalmente.

O diagrama parbola - retngulo vlido para qualquer forma de seo transversale pode ser usado tambm na flexo oblqua.

Ao mesmo tempo, verifica-se que se consegue boa aproximao de clculo comuma distribuio retangular de tenses com altura igual a 80% da profundidade da linhaneutra real e com tenso igual a 0,85 fcdou 0,80 fcdconforme exposto anteriormente.

O diagrama retangular de tenses adotado fornece uma resultante de tenses queconcorda em intensidade e ponto de aplicao com o que lhe corresponde ao diagramaparbola - retngulo. No entanto, diferenas apreciveis se verificam quando a linhaneutra se situa muito prxima borda comprimida porque as tenses correspondem

parte curva da distribuio real de tenses e, portanto, com valor inferior a 0,85 fcd.O coeficiente redutor da resistncia de clculo do concreto considera a diminuio

da resistncia do mesmo por influncia da deformao lenta (efeito Rusch) causada poraes de longa durao e, considera tambm, a diminuio da resistncia decorrente daelevao de parte da argamassa superfcie e da exudao da gua, que afetam aresistncia da parte superior de concreto, onde podero ocorrer as mximas tenses decompresso.

g) A tenso na armadura a correspondente deformao determinada deacordo com as hipteses anteriores e obtida do diagrama tenso-deformao do ao

correspondente.

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5 DOMNIOS DE DEFORMAES

As configuraes possveis do diagrama de deformaes correspondentes aoestado limite ltimo para uma seo submetida a solicitaes normais sugerem adelimitao de regies, chamadas domnios de deformaes, onde poder estar contidoo diagrama de deformaes referente a um determinado caso de solicitao normalquando o estado limite ltimo for atingido.

Na figura 5.1 esto representados os domnios de deformaes e as retas quecorrespondem aos limites entre cada um deles.

Figura 5.1

Os domnios 1 e 2 correspondem ao estado limite de deformao plstica

excessiva e so fixados pelo ponto A, que corresponde ao alongamento de 1%. Paratodas as situaes correspondentes aos domnios 1 e 2 a reta do diagrama dedeformao passa pelo ponto A.

Os domnios 3, 4 e 4a referem-se ao estado limite de ruptura do concreto na flexoe so fixados pelo ponto B, que corresponde ao encurtamento de 0,35% na borda maiscomprimida da seo. Para todas as situaes correspondentes aos domnios 3, 4 e 4a,a reta do diagrama de deformaes passa pelo ponto B.

O domnio 5 corresponde ao estado limite de ruptura do concreto na compresso e fixado pelo ponto C que corresponde ao encurtamento de 0,2% na fibra distante (3/7)hda borda mais comprimida da seo. Para todas as situaes referentes ao domnio 5, a

reta do diagrama de deformaes passa pelo ponto C.A posio da linha neutra na seo definida pela distncia x da linha neutra at a

borda mais comprimida da seo. Na figura 5.1 so indicadas as posies da linha neutrapara as situaes limites entre os domnios de deformaes.

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RETA a

A reta a corresponde trao uniforme, caso em que toda a seo tracionada de modouniforme. A deformao na seo representada por uma reta paralela face da seo,que a origem das deformaes. A posio da linha neutra dada por x=-. Oestado limite ltimo atingido por deformao plstica excessiva da armadura sendocaracterizado por um alongamento de 1%. Por isso, a reta a, que representa asdeformaes no estado limite ltimo para o caso da trao uniforme, passa pelo ponto A,

que corresponde a um alongamento de 1% na armadura. A seo resistente constitudasomente pelas armaduras, pois o concreto tracionado considerado fissurado.

DOMNIO 1

O domnio 1 corresponde ao caso de trao no uniforme. Toda a seo tracionada,mas de modo no uniforme. A linha neutra externa seo e a reta do diagrama dedeformaes na seo passa pelo ponto A correspondente a um alongamento de 1% naarmadura mais tracionada. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x > -at x 0. O estado limite ltimo caracterizado por deformao plstica excessiva da

armadura. A seo resistente composta apenas pelas armaduras, no havendoparticipao resistente do concreto.

DOMINIO 2

Abrange os casos de flexo simples e flexo composta com grande excentricidade. Alinha neutra interna seo transversal, estando uma parte desta sujeita compresso. Este domnio corresponde s situaes em que o alongamento daarmadura atinge 1% e o encurtamento da fibra mais comprimida de concreto inferior a0,35%. A reta do diagrama de deformaes na seo passa pelo ponto A,correspondente a um alongamento de 1% na armadura. Cobre o campo de profundidade

da linha neutra desde x > 0 at x < 0,259d. O estado limite ltimo atingido pordeformao plstica excessiva da armadura, no se verificando ruptura do concreto nazona comprimida da seo.

DOMNIO 3

O domnio 3 corresponde flexo simples e flexo composta com grandeexcentricidade. A linha neutra interna seo e a reta do diagrama de deformaes naseo passa pelo ponto B, correspondente a um encurtamento de 0,35% na bordacomprimida. Abrange os casos em que no estado limite ltimo o encurtamento de 0,35%

alcanado na borda comprimida da seo e o alongamento na armadura estcompreendido entre 1% e yd, deformao que corresponde ao incio do escoamento doao. O estado limite ltimo caracterizado pela ruptura do concreto comprimido aps oescoamento da armadura. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x =0,259d at x xy. Esta a situao desejvel para projeto, pois os materiais soaproveitados de forma econmica e a runa poder ser avisada pelo aparecimento demuitas fissuras motivadas pelo escoamento da armadura. As peas de concreto armadonestas condies so denominadas peas sub-armadas.

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DOMNIO 4

O domnio 4 abrange os casos de flexo simples e de flexo composta com grandeexcentricidade. A linha neutra interna seo e a reta do diagrama de deformaes naseo passa pelo ponto B. Refere-se aos casos em que no estado limite ltimo oencurtamento de 0,35% alcanado na borda comprimida de seo e o alongamento naarmadura est situado entre yde 0. O estado limite ltimo caracterizado pela rupturado concreto comprimido sem que haja escoamento da armadura. Cobre o campo deprofundidade da linha neutra desde x > xyat x < d. Apesar do aparecimento eventual defissuras, estas possuem abertura muito fina no instante que ainda precede a ruptura. Estase d de modo brusco e sem aviso, porque o concreto sofre esmagamento na zonacomprimida da seo antes que a armadura tracionada possa permitir a abertura defissuras visveis que sirvam de advertncia. As peas de concreto armado nestascondies so denominadas peas super-armadas e devem ser evitadas tanto quantopossvel. Na flexo simples esta situao sempre poder ser evitada, contudo, na flexocomposta nem sempre.

DOMNIO 4a

O domnio 4a corresponde flexo composta com pequena excentricidade. Asarmaduras so comprimidas e existe somente uma pequena regio de concretotracionada prxima a uma das bordas da seo. S poder ocorrer na flexo-compresso.A linha neutra interna seo, mas situa-se entre a armadura menos comprimida e aborda tracionada da seo. Cobre o campo de profundidade da linha neutra de x d atx < h. A reta do diagrama de deformaes na seo passa pelo ponto B. O estado limiteltimo caracterizado pela ruptura do concreto com encurtamento de 0,35% na bordacomprimida, sem aparecimento de fissuras.

DOMNIO 5O domnio 5 refere-se compresso no uniforme, com toda a seo de concretocomprimida. A linha neutra externa seo e a reta do diagrama de deformaes naseo passa pelo ponto C, afastado da borda mais comprimida de 3/7 da altura total daseo e correspondente a um encurtamento de 0,20%. Cobre o campo de profundidadeda linha neutra desde x h at x < +. O estado limite ltimo atingido pela ruptura doconcreto comprimido com encurtamento na borda mais comprimida situado entre 0,35% e0,20%, dependendo da posio da linha neutra, mas constante e igual a 0,20% na fibraque passa pelo ponto C.

RETA bA reta b corresponde compresso uniforme, caso em que toda a seo comprimidade modo uniforme. A deformao na seo representada por uma reta paralela faceda seo, que a origem das deformaes. A posio da linha neutra dada por x = + .O estado limite ltimo atingido por ruptura do concreto com um encurtamento de 0,20%.Por isso, a reta b que representa as deformaes no estado limite ltimo para o caso dacompresso uniforme, passa pelo ponto C, que corresponde a um encurtamento de0,20%. A seo resistente constituda pelo concreto e pelas armaduras, sendo adeformao nestas igual do concreto, ou seja, 0,20%.

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6 EQUAES DE EQUILBRIO E DE COMPATIBILIDADE

O estudo geral das sees de concreto armado, submetidas a solicitaes normaisno estado limite ltimo de ruptura ou de deformao plstica excessiva, deve tratar desees com forma qualquer com uma distribuio qualquer de armaduras.

Neste trabalho trata-se somente de sees, com um eixo de simetria, submetidas

a solicitaes normais que atuam segundo um plano que contm esse eixo e com um parde armaduras principais Ase As.

Considere-se uma seo de forma qualquer, mas simtrica em relao ao plano deflexo, submetida a uma fora normal Nue a um momento fletor Mu, relativos ao centrode gravidade da seo transversal, e com armaduras Ase As(figura 6.1).

Figura 6.1

A notao empregada a seguinte:

Nu= valor ltimo da fora normal N;

Mu= valor ltimo do momento fletor M;

As= rea da seo transversal da armadura mais tracionada ou menoscomprimida;

As = rea da seco transversal da armadura mais comprimida ou menostracionada;

h = altura total da seo;

d = altura til da seo;

d = distncia do centro de gravidade da armadura at a borda mais prxima daseo;

x = distncia da linha neutra at a borda mais comprimida ou menos tracionadada seo;

y = ordenada contada a partir da borda mais comprimida;

by= largura da seo na ordenada y;

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c= tenso de compresso no concreto;

cy= tenso de compresso no concreto na ordenada y;

s= tenso na armadura As;

s= tenso na armadura As;

Rc= resultante das tenses de compresso no concreto;Rs= resultante das tenses na armadura As;

Rs = resultante das tenses na armadura As;

zc= distncia do ponto de aplicao da resultante de compresso no concretoao centro de gravidade da armadura As.

Como a flexo-compresso constitui-se na solicitao mais freqente, considera-sea fora normal com sinal positivo quando for de compresso e com sinal negativo quandofor de trao. O momento fletor considerado positivo quando provocar trao na bordainferior da seo. As tenses internas e suas resultantes so consideradas positivas

quando de compresso e negativas quando de trao.O sistema de esforos constitudo por Nu e Mu referidos ao eixo baricntrico da

seo transversal de concreto pode ser reduzido a um sistema equivalente formado pelafora normal Nu aplicada com excentricidade e em relao ao centro de gravidade daseo de concreto (figura 6.2), onde:

u

u

N

Me =

A excentricidade es de Nu em relao ao centro de gravidade da armadura As(figura 6.2) vale:

2

'ddee

s

+=

Figura 6.2

A excentricidade e considerada positiva a partir do centro de gravidade da seotransversal na direo da borda mais comprimida, e a excentricidade es tomada comopositiva a partir do centro de gravidade da armadura As na direo da borda maiscomprimida da seo transversal.

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Considerando-se as resultantes internas como indica a figura 6.1 e referindo-se osmomentos dessas resultantes ao centro de gravidade da armadura As, as equaes deequilbrio no estado limite ltimo so escritas na forma seguinte:

++++====

++++++++====

)'('.

'

ddRzReN

RRRN

sccsu

sscu

++++====

++++++++====

)'('')(.

''

0

0

ddAdyydbeN

AAdybN

ss

h

cyysu

ssss

h

cyyu

onde os sinais dos esforos so considerados conforme a conveno adotada.

Considerando-se positivos os encurtamentos e negativos os alongamentos aequaes de compatibilidade das deformaes tem a seguinte forma:

dxdxx

ssc

=

=

'

'

Nesta equao:c= deformao especfica do concreto na borda mais comprimida (ou menos

tracionada)

s= deformao especfica na armadura As

s= deformao especfica na armadura As

Com a conveno apresentada, as equaes de equilbrio e de compatibilidade dedeformaes so vlidas para qualquer domnio de deformaes e para qualquer caso de

solicitao normal, desde a trao uniforme at a compresso uniforme, passando peloscasos intermedirios de flexo simples e solicitaes combinadas.

Neste trabalho, as tenses e as deformaes sero consideradas em valorabsoluto. As resultantes internas de compresso e de trao j sero orientadas nosentido do esforo aplicado e os sinais correspondentes sero includos nas expressesde clculo. O momento Mu ser considerado sempre positivo e a fora normal serpositiva quando de compresso e negativa quando de trao.

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18

7 FLEXO NORMAL SIMPLES

7.1 INTRODUO

Flexo simples aquela que se verifica com ausncia de fora normal.

Flexo normal aquela em que o plano de flexo contm um dos eixos principaisde inrcia da seo.

Na flexo normal simples a linha neutra situa-se entre a borda comprimida daseo e a armadura tracionada: 0 < x < d. Ocorre nos domnios 2, 3 e 4 de deformaes.

Equaes de Equilbrio

0 = Rc+ Rs Rs

Mu= Rczc+ Rs(d d)

Rc resultante de compresso no concreto

Rs resultante de compresso na armadura comprimida (As)

Rs resultante de trao na armadura tracionada (As)

Mu valor ltimo do momento fletor

d altura til da seo (distncia do CG da armadura tracionada at a bordacomprimida da seo)

d distncia do CG da armadura comprimida at a borda comprimida da seozc distncia do ponto de aplicao de Rcao CG da armadura tracionada

bw largura da alma da seo

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Equaes de Compatibilidade

xddxx

ssuc

=

=

'

',

x distncia da LN at a borda comprimida

c,u encurtamento de ruptura do concreto na borda comprimida

s encurtamento da armadura comprimida

s alongamento da armadura tracionada

7.2 POSIO DA LINHA NEUTRA

A posio da linha neutra pode ser relacionada com as deformaes na borda

comprimida da seo e sua armadura tracionada.Da equao de compatibilidade:

xdx

suc

=

, dxsuc

uc

+=

,

,

Definio:d

xx =

x: coeficiente adimensional que fornece a posio relativa da LN naseo.

Sendo: dxsuc

uc

+=

,

, tem-sesuc

uc

x

+=

,

,

7.3 DEFORMAO E TENSO NA ARMADURA As

As rea da seo transversal da armadura tracionada

s deformao na armadura tracionada (alongamento)

s tenso na armadura tracionada

a) Domnio 2: 0 < x < 0,259d 0 < x< 0,259

0

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20

b) Domnio 3: 0,259d x xy 0,259 xxy

c = c,u= 0,35%

yd s1% s= fyd sees sub-armadas

Definio: xy valor dexquando c= c,u= 0,35%e s= ydxy valor dexquando c=c,u = 0,35%e s=yd

dxyduc

uc

y

+=

,

, yduc

uc

xy

+=

,

,

yd

xy

+

=0035,0

0035,0

Para que s= fyd preciso quexxy

Obs.:xy tambm denominado de xlim.

c) Domnio 4: xy < x < d xy< x< 1

c= c,u= 0,35%

0 < sx tem-se 0

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d) Comentrios:

1) No dimensionamento, a situao mais recomendvel para x < xy, isto ,sees sub-armadas.

2) As vantagens dessa situao so:

ruptura com aviso (devido ao escoamento do ao e aparecimento de muitas

fissuras); maior economia (por aproveitar toda a capacidade resistente do ao).

3) A ruptura das peas super-armadas brusca e sem aviso sendo, por isso, essasituao evitada na flexo simples.

4) Deve-se tambm evitar o dimensionamento com x de valor muito baixo (nodomnio 2, em geral para x < 0,15) porque resulta uma quantidade muitopequena de armadura conduzindo a uma ruptura frgil. Para isso preciso quea taxa de armadura seja maior ou igual taxa mnima de armadura (NBR6118:2003 - item 17.3.5.2.1 Tabela 17.3)

Tabela 17.3 Taxas mnimas de armadura de flexo para vigas (fonte: NBR 6118:2003)

Valores de min1) em % (As,min/Ac)

Forma daSeo fck

min20 25 30 35 40 45 50

Retangular0,035 0,15 0,15 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

T

(mesacomprimida) 0,024 0,15 0,15 0,15 0,150 0,158 0,177 0197

T(mesa

tracionada)0,031 0,15 0,15 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255

Circular0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575

1) Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupem uso de ao CA-50, c =1,4, s=1,15. Caso essesfatores sejam diferentes, mindeve ser recalculado com base no valor de mindado.

Nota Nas sees tipo T, a rea da seo a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa

colaborante.

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22

7.4 DEFORMAO E TENSO NA ARMADURA As

As rea da seo transversal da armadura comprimida

's deformao na armadura comprimida (encurtamento)

's tenso na armadura comprimida

a) DOMNIO 2: 0 < x < 0,259d 0 < x< 0,259

0

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O valor de xy obtido, para cada ao, por uma das duas expresses de svistasanteriormente (conforme corresponda aos domnios 2, 3 ou 4) admitindo-se s=yd.

Para que s= fycd preciso que s yd .

- quando xxytem-se syde portanto s= fycd

- quando x < xy tem-se s < yd e portanto s = Es.scom s dado por uma das expresses apresentadas anteriormente,conforme o domnio.

c) COMENTRIOS:

1) Quando xdesprezar a armadura Ase considerar somente a armadura As.

2) No caso em que x, recalcular xconsiderando somente a armadura As

7.5 CLCULO DE VERIFICAO DE SEES RETANGULARES

Adotar-se- nos clculos o diagrama retangular de tenses de compresso comopermitido pela NBR 6118:2003.

7.5.1 SEES RETANGULARES COM ARMADURA SIMPLES

Denominam-se sees com armadura simples aquelas que possuem armadurasomente do lado tracionado (As).

Equaes de equilbrio

0 = Rc Rs

Mu= Rc.zc= Rs .zc

xyAos yd ====0,05 ====0,08 ====0,10 ====0,12 ====0,15CA-25 0,001035 0,139 0,166 0,184 0,203 0,230CA 50 0,002070 0,213 0,238 0,254 0,294 0,367CA 60 0,002484 0,239 0,276 0,345 0,414 0,517

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Ento:

0 = bwy 0,85 fcd- Ass

)2

()2

(85,0y

dAy

dfybM sscdwu ==

Rc= bwy 0,85 fcd

Rs= Ass

2

ydzc =

y = 0,8 x

d

xx = x =xd

y = 0,8xd

Ento:

0 = bwd 0,68xfcd - Ass (1aequao)

Mu= bwd20,68xfcd(1 0,4x) = Assd. (1 0,4x) (2aequao)

Nos casos de verificao conhecem-se as dimenses da seo de concreto (bw,

h, d), a rea da seo transversal da armadura (As) e as resistncias de clculo doconcreto (fcd= fck / c) e do ao (fyd= fyk / s). Procura-se o momento ltimo Mu ou omomento mximo M que a seo poder suportar em servio.

Da 1aequao de equilbrio:cdw

ss

xfdb

A

.68,0..

=

- Admite-se s= fyde calcula-se x

- Se xcalculado xy, a hiptese est correta (s= fyd)

- Se x calculado > xy, a hiptese feita est incorreta (s < fyd). Deve-secorrigir x corrigindo-se o valor adotado para s. Coloca-se sem funode x, Ese s. Corrige-se a tenso e recalcula-se x.

A tenso no ao calculada pela expresso: s= Ess

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A deformao s vale:x

x

s

=

10035,0

- Com o valor correto de xa 2aequao fornece Mu.

)4,01(68,02

xcdxwu fdbM = ou )4,01( xssu dAM =

- O momento mximo que a seo poder suportar em servio ser:f

uMM

=

7.5.2 SEES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA

Denominam-se sees com armadura dupla aquelas que possuem armadurastanto no lado tracionado (As) quanto no lado comprimido (As).

Equaes de equilbrio

0 = Rc+ Rs Rs

Mu= Rczc+ Rs(d-d)

Ento:

0 = bwy 0,85 fcd+ Ass- Ass

)'.('.')2

.(.85,0.. ddAy

dfybM sscdwu +=

Rc= bwy 0,85 fcd

Rs= Ass

Rs= Ass

2

ydzc =

y = 0,8 x

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26

d

xx = x =xd

y = 0,8xd

Ento:

0 = bwd 0,68xfcd+ Ass- Ass (1aequao)

Mu= bwd20,68xfcd(1 0,4x) + Ass(d-d) (2

aequao)

Nos casos de verificao, conhecem-se as dimenses da seo de concreto (bw,h, d, d), as rea das sees transversais das armaduras (A se As) e as resistncias declculo do concreto (fcd= fck / c) e do ao (fyd= fyk / se fycd= fyck / s). Procura-se omomento ltimo Muou o momento mximo M que a seo poder suportar em servio.

Da 1aequao de equilbrio:cdw

ssssxfdb

AA

68,0

''

=

Roteiro:

- Admite-se s= fyde s= fycd

- Para que s= fyddeve-se ter x< xye para que s= fycddeve-se ter xxy

- Se as duas condies se verificarem ao mesmo tempo, o valor obtido para xest correto

- Se uma das condies (ou as duas) no se verificar (verificarem) coloca-se atenso correspondente (ou tenses correspondentes) em funo de x, Esedas deformaes e recalcula-se xpara obter o valor correto.

Para As: s= Ess se x> xy

Para As s= Ess se x< xy

- Com o valor correto de x a 2 equao de equilbrio fornece Mu.

Mu= bwd20,68xfcd(1 0,4x) + Ass(d-d)

- O momento mximo que a seo poder em servio ser:f

uMM

=

7.6 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES RETANGULARES

Adotar-se- nos clculos o diagrama retangular de tenses de compresso noconcreto, como permitido pela NBR 6118:2003.

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27

7.6.1 SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES

Equaes de equilbrio

0 = Rc Rs

Mu= Rczc=Rszc

Ento:

0 = bwy 0,85 fcd - Ass

)2

.(.)2

.(.85,0..y

dAy

dfybM sscdwu ==

Rc= bwy 0,85 fcd

Rs= Ass

2

ydzc =

y = 0,8 x

d

xx = x =xd

y = 0,8xd

Ento:

0 = bwd 0,68xfcd- Ass (1aequao)

Mu= bwd2

0,68xfcd(1 0,4x) = Assd (1 0,4x) (2a

equao)

No dimensionamento faz-seMu= Md

Mu momento ltimo

Md momento de clculo Md= fM

M momento fletor solicitante em servio

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28

f coeficiente de majorao das aes e solicitaes (conforme a NBR6118:2003 ou a NBR 8681:2003)

fcd valor de clculo da resistncia do concreto fcd= fck/ c

fck resistncia caracterstica do concreto compresso

c coeficiente de minorao da resistncia do concreto (c = 1,4 em geral,

conforme a NBR 6118:2003)

Da 2aequao de equilbrio:

)4,01(68,02

xcdxwdfdbM =

)4,01(68,02

x

c

ck

xwd

fdbM

=

Denomina-se )4,01(68,0 xckxc

c fk

=

Resulta ento:c

wd

k

dbM

2

=

O coeficiente kc tabelado em funo de fcke x.

Ainda da 2aequao de equilbrio:

)4,01(xssd dAM =

d

MA

xs

d

s)4,01(

=

Denomina-se)4,01(

1

xs

sk

=

Resulta ento:d

MkA dss =

O coeficiente ks tabelado em funo de xpara cada tipo de ao da A.B.N.T.

Definio:hb

A

w

s= taxa geomtrica de armadura

A armadura da seo dever satisfazer a seguinte condio: min (ver item7.3 desta apostila).

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29

A seo ter armadura simples sempre que o coeficiente kccorrespondente a Mdresulte em xx lim (ver item 7.3 desta apostila).

7.6.2 SEO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA

Pode-se admitir a seguinte equivalncia:

Equaes de equilbrio

0 = Rc+ Rs Rs Rs= Rs1+ Rs2 Md= Md1+ Md

Mu= Rczc+ Rs(d-d) Rs1= Rc Md1= Rczc= Rs1zc

Md Md1 Md Rs2= Rs Md= Rs2(d-d) = Rs(d-d)

Pode-se ento fazer a seguinte decomposio para o clculo com tabelas:

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30

Md= Md1+ Md

Md momento de clculo a ser resistido pela seo com armadura dupla

Md1 parte de Mdresistida pelo concreto e a parte As1da armadura total

Md parte de Mdresistida pelo par de armaduras Ase As2

As= As1+ As2

A seo ter armadura dupla quando com armadura simples resultar x> xlim.

Adota-se xxlime a seo dever ter armadura dupla.

Para xadotado, da tabela, obtm-se kce ks

c

wd

k

dbM

2

1 =

d

MkA dss

1

1 =

Md= Md- Md1

Md= As2s(d-d) )'(

2dd

MA

s

d

s

=

Denomina-ses

sk

12 =

Resulta, ento:)'(

22dd

MkA dss

=

As= As1+ As2 armadura tracionada

Md= As s(d-d) )'('

'dd

MA

s

d

s

=

Denomina-ses

sk'

1'

=

Resulta, ento:)'(

''dd

MkA dss

= armadura comprimida

Com ks2e kscorrespondentes ao xadotado.

Os coeficientes ks2e ksso tabelados em funo de xpara cada um dos aosda A.B.N.T..

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31

7.7 VIGAS DE SEO T NAS ESTRUTURAS DE CONCRETO

Nas vigas internas das estruturas de concreto, quando a zona comprimida situa-se do lado da laje, as tenses de compresso distribuem-se alm da alma da seoabrangendo tambm a laje. Por isso, podem-se considerar as regies da laje vizinha daalma como partes integrantes da seo transversal da viga.

A seo T submetida flexo normal simples apresenta, no estado limite ltimo,um bloco de tenses de compresso no prismtico. Por razes prticas substitui-seesse bloco real de tenses por um bloco ideal, prismtico, com um diagrama detenses constante e semelhante ao diagrama real no plano de solicitao.

Escolhe-se para esse bloco ideal de tenses uma largura eficaz b f tal que sejamantida a resistncia de clculo da seo ao se substituir por ele o bloco real detenses. A largura bf denominada largura colaborante.

O valor da largura colaborantebfno constante ao longo da viga. Depende:- do tipo de viga considerada (simplesmente apoiada, contnua, etc.);- de serem as cargas distribudas ou concentradas;- da presena eventual de msulas.

A largura colaborante bf determinada conforme o item 14.6.2.2 da NBR6118:2003 como se transcreve a seguir:

A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida nomximo 10% da distncia a entre dois pontos de momento fletor nulo, para cada ladoda viga em que houver laje colaborante.

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32

Para clculo da resistncia ou deformao, a parte da laje a considerar comoelemento da viga (parte de bf), medida a partir da face da nervura fictcia, conforme ocaso:

vigas associadas vigas isoladas

0,10 a 0,10 a

b1 b3 0,5 b2 b4

em que a tem o seguinte valor:

- viga simplesmente apoiada a =

- tramo com momento em uma s extremidade a = (3/4)

- tramo com momento nas duas extremidades a = (3/5)

- viga em balano a = 2

= vo terico da viga

Viga associada : bf = bw + 2 b1

Viga isolada: bf = bw + 2 b3

Neste ladorespeitar

tambm b3b4

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33

7.7.1 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES T COM ARMADURASIMPLES

1 Caso: o bloco de tenses de compresso no ultrapassa a mesa (y hf, isto xxf)

O dimensionamento se faz como para uma seo retangular com largura fictciabw= bfe altura h, pois a forma da regio tracionada no interfere no clculo.

y = 0,8 x 8,0

yx =

Quando y = hf tem-se:8,0

fhx =

Sendod

xx = , quando y = hf define-se

d

hffx

8,0

=

Este caso (y hf) acontece quando x xf.

Assim, quando parad

f

cM

dbk

2

= corresponder xxf

a armadura serd

MkA dss = com kscorrespondente ao xobtido.

2 Caso: o bloco de tenses de compresso ultrapassa a mesa

(y > hf, isto x> xf)

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34

Quando o bloco de tenses de compresso ultrapassa a mesa, prticoempregar o artifcio de decompor a seo T em duas outras idealmente concebidaspara estender a este caso o uso das tabelas para sees retangulares.

Md= Md1+Md

As= As1+ As2

Md momento a ser resistido pela seo T

Md1 parte do momento Md resistida pela mesa e pela parte As1 daarmadura total

Md parte do momento Md resistido pela nervura e pela parte As2 daarmadura total

O momento Md1 o mesmo que seria resistido por uma seo T com largurafictcia igual a bf bwe y = hf(1 caso)

c

wf

dk

dbb

M

2

1

)( =

com kc correspondente a x= xf, isto , a y = hf.

Para a segunda seo o momento :

Md= Md Md1

Ento:

d

wc

Mdbk

=

2

tabela xx lim

ks

d

MkA dss

=2

A armadura As1necessria para a primeira seo ser obtida por:

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35

)2

(11

f

ssd

hdAM =

2

1 11

f

d

s

s hd

MA

=

Nesta expresso 21 ss

k=

j apresentado anteriormente

Ento:

2

1

21

f

d

ss hd

MkA

= com ks2correspondente ao xda seo.

As = As1+ As2

7.7.2 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES T COM ARMADURADUPLA

Resolve-se o problema de dimensionamento de sees T com armadura duplacom facilidade empregando-se o artifcio de desdobramento da seo T como indicadoabaixo. A seo T, com armadura dupla, desdobrada em: mesa com uma parte daarmadura, e nervura com armadura dupla. Esta ltima se desdobra em nervura comarmadura simples e um par de armaduras.

Md= Md1+Md

MdMd2+ Md3

As= As1+ As2+ As3

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36

A seo ter armadura dupla quando com armadura simples resultar x> x lim.

Adota-se x x lim e a seo dever ter armadura dupla.

c

wf

dk

dbbM

2

1

).( =

com kccorrespondente a

x=

xf, isto , a y = h

f.

c

w

dk

dbM

2

2

.=

d

MkA

d

ss

2

2 =

com kc e kscorrespondentes ao xadotado.

Md3= Md Md1 Md2

'

323

ddMkA dss

=

''' 3

dd

MkA dss

=

com ks2e ks correspondentes ao xadotado.

2

1

21

f

d

ss h

d

MkA

=

om ks2correspondente ao xadotado.

As= As1+ As2+ As3

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37

8 FLEXO NORMAL COMPOSTA FORA NORMAL DE COMPRESSO

8.1 INTRODUO

Flexo composta o caso de solicitao normal em que atuam momento fletor e

fora normal simultaneamente.Flexo normal composta aquela em que o plano de flexo contm um dos

eixos principais de inrcia da seo transversal da pea.

Os esforos solicitantes so referidos, convencionalmente, ao eixo geomtricoda pea.

u

u

N

Me =

2

'ddees

+=

2

'

2

'..)

2

'.(.

ddNM

ddNeN

ddeNeNM uuuuususu

+=

+=

+==

8.2 FLEXO NORMAL COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE

Flexo normal composta com grande excentricidade aquela em que uma dasarmaduras tracionada.

As rea da seo transversal da armadura tracionada.

As rea da seo transversal da armadura comprimida.

Ocorre nos domnios de deformaes 2, 3 e 4.

Portanto 0 < x < d 0 < x < 1

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38

Equaes de equilbrio:

Nu= Rc+ Rs Rs

Nues= Rczc+ Rs(d d)

y = 0,8 x y = 0,8xdx =xd

Rc= bwy 0,85 fcd= bwd 0,68xfcd

Rs= As's

Rs= Ass

),(,

x

x

c 401d2

d80d

2

ydz

===

As equaes ficam:

Nu= bwd 0,68xfcd+ As's Ass

Nues= bwd20,68xfcd(1 0,4x) + Ass(d d)

No dimensionamento faz-se Nu= Nd

N valor da fora normal em servio

Nd valor de clculo da fora normal: Nd= fN

Md valor de clculo do momento fletor: Md= Nd. e

Ento:

Nd= bwd 0,68xfcd+ Ass Ass

Ndes= bwd20,68xfcd(1 0,4x) + Ass(d d)

Dividindo-se os dois membros da 1aequao por bwd fcde os dois membros da2aequao por bwd

2fcd, resultam as equaes na forma adimensional.

cd

s

w

s

cd

s

w

s

x

cdw

d

fdb

A

fdb

A

dfb

N +=

''68,0

d

dd

fdb

A

fdb

eN

cd

s

w

s

xx

cdw

sd ''')4,01(68,02

+=

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39

cdw

d

ddfb

N= normal reduzida

d

d'=

cdw

sd

sdfdb

eN2

= momento reduzidod

dd '1

=

= 0,68x tabelados

= 0,68x(1-0,4x)

cd

yd

w

s

df

f

db

A= taxa mecnica de armadura referente a As

cd

ycd

w

s

df

f

db

A'' = taxa mecnica de armadura referente a As

cd

s

w

s

yd

sd

fdb

A

f

= e

cd

s

w

s

ycd

sd

fdb

A

f

'''

=

Ento

yd

s

d

ycd

s

ddff

+=

'' Equaes para seo com armadura dupla

)1('

'

+= ycd

s

dsd f

No caso de seo com armadura simples:

As= 0 Rs= 0 e Rs(d-d) = 0

Nu= Rc Rs

Nues= Rczc

Com Nu= Ndficam:

Nd= Rc Rs = bwd 0,68xfcd Ass

Ndes= Rczc= bwd20,68xfcd(1 0,4x)

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40

cd

s

w

s

x

cdw

d

fdb

A

dfb

N = 68,0

)4,01(68,02 xx

cdw

sd

fdb

eN =

yd

s

ddf

= Equaes para seo com armadura simples

=sd

As relaesyd

s

f

e

ycd

s

f

' tambm so tabeladas.

1) Dimensionamento com armadura simples

Para = sd tabela 4 x1

Da 1aequao: dyd

s

df

=

Para x= x1 tabela 5yd

s

f

yd

s

d

d

f

=

Da obtm-se:yd

cdwds

f

fdbA =

2) Dimensionamento com armadura dupla

Para xadotado tabela 4

Da 2aequao:

=

1

'' sd

ycd

s

df

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

41/74

41

Para x tabela 6ycd

s

f

'

ycd

s

sd

d

f

'

1'

=

Da obtm-se:ycd

cdwds

f

fdbA '' =

Da 1aequao: dycd

s

d

yd

s

dff

+='

'

Para x tabela 5yd

s

f

yd

s

d

ycd

s

d

d

f

f

+

=

''

Da obtm-se:yd

cd

wdsf

f

dbA =

8.3 FLEXO NORMAL COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE

Flexo normal composta com pequena excentricidade aquela com armadurascomprimidas havendo parte da seo de concreto tracionada.

As rea da seo transversal da armadura menos comprimida.

As rea da seo transversal da armadura mais comprimida.Ocorre no domnio de deformao 4a.

Portanto d x < h 1 x< 1+


Nu= Rc+ Rs+ Rs

Nues= Rczc+ Rs(d d)

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

42/74

42

y = 0,8 x y = 0,8xd

x =xd

Rc= bwy 0,85 fcd= bwd 0,68xfcd

Rs= Ass

Rs= Ass

)4,01(2

8,0

2x

x dd

dy

dzc

===

As equaes ficam:

Nu= bwd 0,68xfcd+ Ass+ Ass


No dimensionamento faz-seNu= Nd

Ento:

Nd= bwd 0,68xfcd+ Ass+ Ass

Ndes= bwd20,68xfcd(1 0,4x) + Ass(d d)

Na forma adimensional:

cd

s

w

s

cd

s

w

s

x

cdw

d

fdb

A

fdb

A

dfb

N ++=

''68,0

d

dd

fdb

A

fdb

eN

cd

s

w

s

xx

cdw

sd ''')4,01(68,02

+=

Com as definies vistas no caso anterior:

yd

s

d

ycd

s

dd

ff

++=


)1('

'

+=ycd

sdsd

f

No caso de armadura simples:

As= 0 Rs= 0 e Rs(d-d) = 0

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

43/74

43

Nu= Rc +Rs

Nues= Rczc

Com Nu= Ndresultam

Nd= Rc + Rs = bwd 0,68xfcd+ Ass


cd

s

w

s

x

cdw

d

fdb

A

dfb

N += 68,0

)4,01(68,02 xx

cdw

sd

fdb

eN =

yd

sdd

f

+= Equaes para seo com armadura simples

=sd

As relaesyd

s

f

e

ycd

s

f

' tambm so tabeladas.

1) Dimensionamento com armadura simples


Da 1aequao:

= dyd

s

df


s

f

yd

s

d

d

f

=

Da obtm-se:yd

cd

wdsf

fdbA =

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

44/74

44

2) Dimensionamento com armadura dupla


Da 2aequao:

=

1

'sd

ycd

s

df

Para x tabela 9ycd

s

f

'

ycd

s

sd

d

f

'

1'

=

Da obtm-se: ycdcd

wds f

f

dbA '' =

Da 1aequao:ycd

s

dd

yd

s

dff

''

=

Para x tabela 8yd

s

f

yd

s

ycd

s

dd

d

f

f

''

=

Da obtm-se:yd

cdwds

ffdbA =

8.4 COMPRESSO NO UNIFORME

Compresso no uniforme a flexo composta em que toda a seo transversalda pea comprimida, inclusive as armaduras.

As rea da seo transversal da armadura menos comprimida.

As rea da seo transversal da armadura mais comprimida.

Ocorre no domnio 5 de deformaes.

Portanto h x < + 1+x< +

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

45/74

45

Na compresso no uniforme o dimensionamento , em geral, feito comarmadura dupla.

1 caso: y h 1+x1,25 (1+)

Neste caso y = 0,8x = 0.68 x e = 0,68 x(1-0,4 x)

As equaes de equilbrio so as mesmas da flexo normal composta compequena excentricidade. No dimensionamento procede-se do mesmo modo que paraaquele caso.

2 caso: y = h 1,25(1+)x< +. Neste caso y = h = cte


Nu= Rc+ Rs+ Rs

Nues= Rczc+ Rs(d d)

Rc= bwh 0,85 fcd

Rs= Ass

Rs= Ass

2hdzc =

Nu= bwh 0,85fcd+ Ass+ Ass

(d- d')'A')h

(d -f,hbeN sscdwsu +=2

850

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

46/74

46


Ento:

Nd= bwh 0,85fcd+ Ass+ Ass

(d- d')A')h

(d -f,hbeN sscdwsd '2

850 +=

Na forma adimensional:

cd

s

w

s

cd

s

w

s

cdw

d

fdb

A

fdb

A

d

h

dfb

N ++=

''85,0

d

dd

fdb

A

d

h

d

h

fdb

eN

cd

s

w

s

cdw

sd ''')2

1(85,02

+=

)1(85,0

'

85,085,0 +=

+

== d

dd

d

h

)1(425,02

1)1(85,0

2

'1

'85,0

2185,0

2

=

+=

+

+=

=

d

dd

d

dd

d

h

d

h

d

dd '1

=

Portanto, resultam nas seguintes equaes onde: =0,85(1+)

=0,425(1-2)

yd

sd

ycd

sdd

ff

++=


)1('

'

+=ycd

s

dsdf

Na compresso uniforme o dimensionamento , em geral, feito com armadura

dupla.No dimensionamento procede-se como para a flexo composta com pequena

excentricidade.

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

47/74

47

8.5 INTERAO DE MOMENTO FLETOR E FORA NORMAL NA FLEXO-COMPRESSO

1) Anlise da 2aequao de equilbrio:

)1('

'

+=

ycd

s

dsdf

armadura dupla

=sd armadura simples

Onde = 0,68x(1-0,4x) para 0 < x< 1,25 (1 + )

= 0,425 (1 2) para x1,25 (1 + )

cdw

sd

sdfdb

eN2

=

x1= valor de xpara = sd

sdx .6765,35625,125,11 =

Para x= x1sd= 0)1('

' =

ycd

s

df

e As=0 armadura simples

A 2a

equao de equilbrio satisfeita com As= 0

Para x< x1 )1('

'

+=ycd

sdsd

f 0

1

''

=

sd

ycd

sd

f

A 2aequao de equilbrio satisfeita com As0 comprimida

Isto s ser possvel com x>

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

48/74

48

Para x> x1 )1('

'

=ycd

s

dsdf

01

''

=

sd

ycd

s

df

A 2aequao de equilbrio satisfeita com As0 tracionada

Isto s ser possvel com x< .

Quando x1 > no possvel satisfazer a 2a

equao de equilbrio comvalores de x< (porque a armadura Asseria tracionada e no comprimidacomo exige a condio de equilbrio) nem com x> x1(porque a armaduraAsseria comprimida e no tracionada como exige a condio de equilbrio).

Portanto a 2aequao de equilbrio s satisfeita com As0 comprimidaou As= 0. Os valores de xque satisfazem o equilbrio so os do intervalo< xx1

Com x= x1 0'

' =ycd

sd

f

As= 0 armadura simples

Com < x< x1 0'

' ycd

s

df

As0 comprimida

Quando x1 < no possvel satisfazer a 2a equao de equilbrio com

valores de x< x1(porque a armadura Asseria tracionada e no comprimidacomo exige a condio de equilbrio) nem com x> (porque a armaduraseria comprimida e no tracionada como exige a condio de equilbrio).

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

49/74

49

Portanto a 2aequao de equilbrio s satisfeita com As0 tracionada ouAs=0. Os valores de x que satisfazem o equilbrio so os do intervalox1 x < .

Com x= x1 0'

' =ycd

s

df

As= 0 armadura simples

Com x1 x < 0'

' ycd

sd

f

As0 tracionada

Quando x1= o nico valor de xque satisfaz a 2aequao de equilbrio

x = x1 = resultando 0f

ycd

sd =

''

e portanto As=0 armadura simples

(nica soluo).

Dependendo do valor do momento reduzido, s, quatro casos podem ocorrer:

Caso A: quando 0 < sd0,68 (1-0,4) resultando 0 < x1

A 2aequao de equilbrio satisfeita para x1x<

Caso B: quando 0,68 (1-0,4) < sd0,408 resultando < x11,00

A 2aequao de equilbrio satisfeita para

2) Anlise da 1aequao de equilbrio:

Domnios 2, 3 e 4: 0 < x < 1

yd

s

d

ycd

s

dd

ff

+=

''

d

ycd

s

d

yd

s

dff

+=

''

yd

s

df

= trao

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

50/74

50

Domnios 4a e 5: 1 x < +

yd

s

d

ycd

s

ddff

++=

''

+=

ycd

sdd

yd

sd

ff

''

yd

sd

f

= compresso

Onde:cdw

d

ddfb

N=

x2= valor dexquando 0'

' =+=yd

s

d

ycd

s

ddff

])1(.[6765,35625,125,12

2 sddx ++=

Para x= x2 ycd

sdd

f

''

+= 0=yd

sd

f

e As= 0

A 1aequao de equilbrio satisfeita com As= 0.

Para x> x2 yd

s

d

ycd

s

ddff

+=

'' 0

'' += d

ycd

s

d

yd

s

dff

A 1aequao de equilbrio satisfeita com As0 tracionada

Isto s ser possvel com 0 < x< 1 Domnios 2, 3 e 4.

Para x< x2 yd

s

d

ycd

s

ddff

++=

''

0'

' =ycd

s

dd

yd

s

dff

A 1aequao de equilbrio satisfeita com As0 comprimida

Isto s ser possvel com 1 < x< + Domnios 4a e 5.

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

51/74

51

Quando x2 < 1 no possvel satisfazer a 1a equao de equilbrio com

valores de x< x2(porque a armadura Asseria tracionada e no comprimidacomo exige a condio de equilbrio) nem com valores de x> 1 (porque aarmadura As seria comprimida e no tracionada como exige a condio deequilbrio).

Portanto a 1aequao de equilbrio s satisfeita com As0 tracionada ouAs = 0. Os valores de x que satisfazem o equilbrio so os do intervalox2x< 1.

Com x= x2 0=yd

sd

f

As= 0

Com x2< x< 1 0yd

s

df

As0 tracionada

Quando x2 > 1 no possvel satisfazer a 1

a

equao de equilbrio comvalores de x> x2(porque a armadura Asseria comprimida e no tracionadacomo a condio de equilbrio exige) nem com valores de x< 1 (porque aarmadura As seria tracionada e no comprimida como a condio deequilbrio exige).

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

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52

Portanto a 1aequao de equilbrio s satisfeita com As0 comprimida ouAs = 0. Os valores de x que satisfazem o equilbrio so os do intervalo1 1, com As0 comprimida.

Combinando-se os intervalos para x que satisfazem a 2a equao de

equilbrio com os intervalos para x que satisfazem a 1a equao deequilbrio, verifica-se o aparecimento de sub-casos dentro dos casos A, B, Ce D, aos quais correspondem intervalos para x de modo que as duasequaes de equilbrio sejam satisfeitas.

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

53/74

53

8.6 FNC - CLCULO DE VERIFICAO EM SEES RETANGULARES

8.6.1 INTRODUO

u

u

N

Me =

2

'ddees

+=

8.6.2 FLEXO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE

Ocorre nos domnios 2, 3 e 4. Uma das armaduras tracionada.

Posio da Linha Neutra

0 < x < d 0 < x< 1

Comd

xx

= resultasc

c

x

+=

Deformao e Tenso em As

As rea da seo da armadura tracionada

s deformao em As(alongamento)

s tenso em As(trao)

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

54/74

54

a) No domnio 2: 0 < x< 0,259

0 < c< 0,35%

s= 1% s= fyd

b) No domnio 3: 0,259 xxyc= 0,35%

yd < 1% s= fyd

yd

xy

+

=0035,0

0035,0

c) No domnio 4: xy< x< 1

c= 0,35%

0 < s< yd s< fyd

x

x

s

+=

10035,0

Tenso no ao s= Ess (reta de Hooke)


As rea da seo da armadura comprimida

's deformao em As(encurtamento)

's tenso em A's(compresso)

a) No domnio 2: 0 < x< 0,259

0 < c< 0,35%

s= 1%x

x

s

=

101,0' com

d

d'=

b) Nos domnios 3 e 4: 0,259 x< 1

c= 0,35%

0< s< 1%x

x

s

= 0035,0' com

d

d'=

Aos xyCA-25 0,772CA-50 0,628CA-60 0,585

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

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55

Tenso no ao:

o Se x < xys= Ess

o Se x xy s= fycd

xyAos====0,05 ====0,08 ====0,10 ====0,12 ====0,15

CA-25 0,139 0,166 0,184 0,203 0,230CA 50 0,213 0,238 0,254 0,294 0,367CA 60 0,239 0,276 0,345 0,414 0,517

Equaes de equilbrio

No caso de armadura dupla

Nu= Rc+ Rs- Rs

Nues= Rczc+ Rs(d d)Rc= bwy 0,85 fcd = bwd 0,68xfcd

Rs= As's

Rs= Ass

2

ydzc = = d (1+0,4bx)

y = 0,8 x y = 0,8xd

x =xd

Resultam:

Nu= bwd 0,68xfcd+ Ass- Ass


No caso de armadura simples: As= 0

Nu= Rc- Rs

Nues= Rczc

Nu= bwd 0,68xfcd- Ass

Nues= bwd20,68xfcd(1 0,4x)

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

56/74

56

8.6.3 FLEXO COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE

Ocorre no domnio 4a. As armaduras so comprimidas.


d x < h 1 x< 1+

Comdx

x = resultasc

cx

=


As rea da seo da armadura menos comprimida

s deformao em As(encurtamento)

s tenso em As(compresso)

xdx

cs

= xx

s

1

0035,0

=

Tenso no ao: s= Ess


As rea da seo da armadura mais comprimida

's deformao em As(encurtamento)

's tenso em As(compresso)

xdx

cs = '

'

x

x

s

= 0035,0'

Tenso no ao: 's= fycd

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

57/74

57

Equaes de equilbrio

Neste caso, com armadura dupla (eventualmente As= 0)

Nu= Rc+ Rs+ Rs

Nues= Rczc+ Rs(d d)

Rc= bwy 0,85 fcd = bwd 0,68xfcd

Rs= Ass

Rs= Ass

2

ydzc = = d (1-0,4x)

y = 0,8 x y = 0,8xd

x =xd

Resultam:

Nu= bwd 0,68xfcd+ Ass+ Ass


8.6.4 COMPREESO NO UNIFORME

Ocorre no domnio 5. Toda a seo comprimida.


h x < + 1+x< +

Comd

xx = resulta

s

s

x

+=

002,0

)1(7

3002,0

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

58/74

58


As rea da seo da armadura menos comprimida

s deformao em As (encurtamento)

s tenso em As (compresso)

)1(7

3

1

002,0

+

=x

x

s

1) Para ao CA-25

Se x< xy s= Ess

Se xxy s= fycd

xy= xquando s= yd

2) Para aos CA-50 e CA-60 s= Ess


As rea da seo da armadura mais comprimida

s deformao em As

s tenso em As

)1(7

3002,0'

+

=

x

x

s

1) Para ao CA-25 s= fycd2) Para aos CA-50 e CA-60

Se xxy s= fycd

Se x> xy s= Ess

xy= xquando s= yd

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

59/74

59

________________xyAos

====0,05 ====0,08 ====0,10 ====0,12 ====0,15

CA 50 11,815 11,341 11,024 10,708 10,234

CA 60 2,101 2,043 2,005 1,966 1,908

Equaes de equilbrio

Neste caso com armadura dupla

Nu= Rc+ R's+ Rs

Nues= Rczc+ R's(d d)

1 caso: para h x 1,25h

1+x 1,25 (1+)

Vale a hiptese y = 0,8x com x = xd e ento y = 0,8 xd

Rc= bwy 0,85 fcd = bwd 0,68xfcd

R's= A's's

Rs= Ass

Resultam:

Nu= bwd 0,68xfcd+ A's's+ Ass

Nues= bwd20,68xfcd(1 0,4x) + A's's(d d)

2 caso: para 1,25h < x < +

1,25(1+)

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

60/74

60

Resultam:

Nu= bwd 0,85 fcd+ A's's+ Ass

(d- d')A)h

(d -f,hbeN sscdwsu ''2

850 +=

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

61/74

61

9 COMPRESSO UNIFORME

Compresso uniforme o caso de solicitao normal que se caracteriza pelapresena s de fora normal de compresso centrada na seo.

At: rea total de armadura comprimida distribuda na seo de modo que o seuCG coincida com o CG da seo de contorno.

Ac: rea da seo transversal de concreto (seu CG deve coincidir com o pontode aplicao da fora normal na seo).

No diagrama de domnios de deformaes, corresponde reta b.

A seo resistente constituda por concreto (Ac) e armaduras (At).


=

+=n

i

sicu RRN1

Rc= ( Ac At) 0,85 fcd

Rsi= Asisi

Asi rea de armadura de cada camada

si tenso de compresso nas barras da camada i

si= s2d(igual para todas as barras porque si= 0,2%)

s2d tenso de compresso correspondente deformao total de 0,2% nodiagrama tenso-deformao do ao empregado.

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

62/74

62

si

n

i

sicdtcu AfAAN =

+=1

85,0)(

d2s

n

1i

sicdtcu Af850AAN =

+= ,)(

=+=n

1i

sid2scdtcu Af850AAN ,)(

=

=n

i

sit AA1

At= rea total da armadura

Nu= (Ac At) 0,85 fcd+ Ats2d

No dimensionamento faz-seNu= Nd


Nd valor de clculo da fora normal Nd= f. N

Aos2d(MPa)

CA-25 217

CA-50 420

CA-60 420

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

63/74

63

10 FLEXO NORMAL COMPOSTA FORA NORMAL DE TRAO

10.1 INTRODUO

Compresso: N > 0

Trao: N < 0

Momento: M > 0 nas equaes de equilbrio

Flexo-Trao: domnios 2, 3 ou 4 0 < x< 1

Mu> 0 0

+=

ddees

Nu< 0

10.2 FLEXO-TRAO

Flexo-trao o caso de flexo composta com fora normal de trao em queuma das armaduras tracionada havendo parte da seo de concreto comprimida.

As rea da seco transversal da armadura tracionada

As rea da seco transversal da armadrua comprimida

Ocorre nos domnios de deformaes 2, 3 e 4.

Portanto 0 < x < d 0 < x< 1

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

64/74

64


Nu= Rc+ Rs Rs com Nu< 0 ; es< 0

Nues= Rczc+ Rs(d d)

y = 0,8 x e x =xd y = 0,8xd

Rc= bwy 0,85 fcd Rc= bwd 0,68xfcd

Rs= Ass

Rs= Ass

),(,

xx

c 401d2

d80d

2

ydz

===

As equaes ficam:

Nu= bwd 0,68x fcd+ Ass Ass

Nues= bwd20,68x fcd( 1 - 0,4x) + Ass(d d)



Nd valor de clculo da fora normal Nd= fN

Md valor de clculo do momento fletor Md= Nde

Ento:

Nd= bwd 0,68xfcd+ Ass Ass com Nd< 0 e es< 0

Ndes= bwd20,68xfcd( 1 - 0,4x) + Ass(d d)

7/21/2019 Apostila501R-v2007 (1)

65/74

65

Dividindo-se os dois membros da 1aequao por bwd fcde os dois membros da2aequao por bwd

2fcd, resultam as equaes na forma adimensional

cd

s

w

s

cd

s

w

sx

cdw

d

fdb

A

fdb

A

dfb

N +=

''68,0

d

dd

fdb

A

fdb

eN

cd

s

w

s

xx

cdw

sd ''')4,01(68,02

+=

cdw

d

ddfb

N= normal reduzida

d

d'=

cdw

sd

sdfdb

eN2

= momento reduzidod

dd '1

=

= 0,68 x tabelados

= 0,68 x(1 0,4 x)

cd

s

w

s

dfdb

A = taxa mecnica de armadura referente a As

cd

s

w

s

dfdb

A '''

= taxa mecnica de armadura referente a As

cd

s

w

s

yd

s

dfdb

A

f

= e

cd

s

w

s

ycd

s

dfdb

A

f

''''

=

Ento:

yd

s

d

ycd

s

ddff

+=


)1('

'

+=ycd

s

dsd

f

No caso de seo com armadura simples:

As = 0 Rs = 0 e Rs (d d) = 0

Nu= Rc Rs com Nu< 0 e es< 0

Nues= Rczc

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66

Com Nu= Ndficam:

Nd= Rc Rs= bwd 0,68xfcd Ass


cd

s

w

s

x

cdw

d

fdb

A

dfb

N

= 68,0

)4,01(68,02 xx

cdw

sd

fdb

eN =

yd

s

ddf

= Equaes para seo com armadura simples

=sd

As relaesyd

s

f

e

ycd

s

f

' so tambm tabeladas.

1o) Dimensionamento com armadura simples:


Da 1aequao: dyd

s

df

=


s

f

yd

s

dd

f

=

Da obtm-se:yd

cd

wdsf

fdbA =

2o) Dimensionamento com armadura dupla:


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67

Da 2aequao:

=

1

'' sd

ycd

s

df

Para x tabela 6ycd

s

f

'

ycd

s

sd

d

f

'

1'

=

Da obtm-se:ycd

cd

wdsf

fdbA ''

Da 1aequao: dfycd

s

d

yd

s

dff

+='

'

Para x tabela 5

yd

s

f

yd

s

d

ycd

s

d

d

f

f

+

=

''

Da obtm-se:yd

cdwds

f

fdbA =

3o) Interao de momento fletor e fora normal na flexo-trao

Na flexo-trao (que ocorre nos domnios 2, 3 ou 4) pode ocorrer o Caso A ou oCaso B como vistos na flexo-compresso.

Caso A: 0 < sd0,68 (1 0,4) 0 < x1

Neste caso, adotar x= x1 As= 0 Armadura simples

Caso B: 0,68 (1 0,4) < sd 0,408 < x11

Neste caso, adotar < xx1

Para x= x1

sd= As= 0 Armadura simples

Para < x< x1

)1('

'

+=ycd

s

dsdf

0)1('

'

ycd

s

df

As 0 Armadura dupla

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68

10.3 TRAO NO UNIFORME

Trao no uniforme o caso de flexo composta com fora normal de traoem que toda a seo transversal da pea tracionada, inclusive as armaduras.

As rea da seo transversal da armadura mais tracionada

As rea da seo transversal da armadura menos tracionadaOcorre no domnio 1 de deformaes.

Portanto -< x 0 -< x0

A seo resistente composta s por armaduras.


Nu= Rs+ Rs Rs= Ass

Nues= Rs(d d) Rs= Ass

com Nuem valor absoluto

Nu= Ass+ Ass

Nues= Ass(d - d)




Md valor de clculo do momento fletor Md= Nde

Nd= Ass+ Ass com Ndem valor absoluto

Ndes= Ass(d - d)

s= fydporque s = 1% > ydpara os aos da A.B.N.T.

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69

's= fydporque a situao mais econmica aquela que resulta de admitir-separa x valor tal que s= fyd.

Ento:

Nd= Asfyd+ Asfyd

Ndes= Asfyd(d - d)

Seo com armadura dupla (caso que dever ser adotado sempre na trao nouniforme)

Dimensionamento:

Da 2aequao:'

'dd

e

f

NA s

yd

d

s

=

Com esse resultado na 1aequao deduz-se:

=

'

1

dd

e

f

NA s

yd

d

s

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70

11 TRAO UNIFORME

Trao uniforme o caso de solicitao normal que se caracteriza pela presenas de fora normal de trao centrada na seo.

At: rea total de armadura tracionada distribuda na seo de modo que o seuCG coincida com o ponto de aplicao da fora normal na seo.

No diagrama de domnios de deformaes, corresponde reta a.

A seo resistente composta s por armaduras.

Equao de equilbrio:

=

=n

i

siu RN1

=

=n

i

sisiu AN1

com Nuem valor absoluto

Rsi= Asissi

Asi= rea de armadura de cada camada

si= tenso de trao nas barras da camada i

si= fydporque si= 1% > ydpara os aos da A.B.N.T.

==

==n

i

siyd

n

i

ydsiu AffAN11

=

=n

i

sit AA1

At= rea total da armadura

Nu= Atfyd

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71




Ento:Nd= Atfyd com Ndem valor absoluto

Dimensionamento:

yd

d

tf

NA =

com CG coincidente com o ponto de aplicao de Ndna seo.

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12 FLEXO OBLQUA

12.1 CLCULO EXATO

So dadas a seo e a armadura.

Condies de equilbrio:

=

+=n

i

sidsicdd AdxdyN1

...

=

=+=n

i

xdsidsicdxd eNxAdxdyxM1

......

=

=+=n

i

ydsidsicdyd eNyAdxdyyM1

......

Condies de compatibilidade:

As condies de compatibilidade so decorrentes da manuteno da formaplana da seo transversal.

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Dada a posio da L.N. e conhecida a deformao em uma fibra da seo, ficamdeterminadas as deformaes de todas as outras fibras e, portanto, as respectivastenses n concreto e nas barras da armadura.

No domnio 2, sd=1%. Nos domnios 3, 4 e 4a, c1d=0,35%. No domnio 5,cod=0,2%.

Soluo do problema:

Para uma dada seo transversal, adota-se um valor de Nde portanto tem-se:

cdc

d

dfA

N=

Adota-se uma inclinao para a linha neutra e, para valores crescentes de x,calcula-se Nd. Quando se obtm o valor pr-estabelecido para Nd, para esse valor de xso calculados Mxde Myd. Portanto tem-se:

cdxc

xd

xdfhA

M= cdyc

yd

ydfhA

M=

Mxd o momento que atua no plano que contm o eixo x e Myd o momento queatua no plano que contm o eixo y.

Adotam-se, a seguir, novas inclinaes para a linha neutra e repete-se, paracada uma delas, o processo descrito anteriormente. Obtm-se desse modo, por pontos,o diagrama de interao (xd, yd,d=cte).

Para d= valor dado, para cada taxa total de armadura, t, tem-se uma curvacomo a da figura acima, direita. Variando a taxa de armadura, obtm-se novas curvasde interao.

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12.2 SUPERFCIES DE INTERAO E DIAGRAMAS DE INTERAO

Adotando-se a forma da seo transversal e o arranjo das armaduras, podemser determinados os termos de valores Nd, Mxde Mydque levam a seo transversal aoestado limite ltimo. Para cada taxa total de armadura os ternos Nd, Mxd e Mydpertencem a uma superfcie de interao.

A propriedade importante dessas superfcies de interao (Nu, Mxu, Myu) a suaconvexidade. Essa propriedade permite o estabelecimento de processos aproximadosde clculo a favor da segurana.

A apresentao das superfcies de interao feita por meio de bacoschamados de bacos em roseta, correspondentes a cortes da superfcie de interaodefinidos para diferentes valores deu.

Esses bacos podem ser tambm apresentados em funo de

x

x

h

e e

y

y

h

e ou

x

x

h

e. e

y

y

h

e..

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