apostila trigonometria armando

Prof. Me. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio – Coordenação da Matemática

1

1 TRIGONOMETRIA

1.1 Origem da Trigonometria:

A etimologia da palavra TRIGONOMETRIA

significa “ medida dos triângulos”, sendo formada

pelos radicais gregos tri ( três), gonos ( ângulo) e

metron ( medir).

A trigonometria teve origem na antiga Grécia, em

decorrência dos estudos das relações entre os lados e

os ângulos de um triângulo, possivelmente com o

intuito de resolver problemas de navegação,

agrimensura e astronomia. O astrônomo grego

Hiparco ( 150 a.C.) construiu a primeira tabela

trigonométrica, mas o vocábulo Trigonometria foi

criado em 1595 pelo matemático alemão

Bartholomaus Pitiscus (15611613).

1.2 Ângulo:

Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por

1.3 Medida de um Ângulo.

É igual à medida do arco que ele determina sobre uma

circunferência, cujo centro é o vértice.

1.4 Relações Métricas no Triângulo Retângulo:

Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois

ângulos agudos e complementares. Os lados de um

triângulo retângulo chamamse catetos e hipotenusa.

Os catetos são sempre perpendiculares e formam um

ângulo reto.

Quando construímos sobre um ângulos agudo dois

triângulos retângulos, estes serão semelhantes e,

portanto, terão lados proporcionais.

Os triângulos ABC e APQ são semelhantes. Como seus

lados são proporcionais, podemos escrever:

Reescrever estas proporções utilizando a nomenclatura

de catetos e hipotenusa, temos:

Estas relações que acabamos de generalizar recebem

nomes especiais.

A primeira é chamada seno do ângulo x e escrevese:

cateto opostosen x =

hipotenusa

A segunda é chamada cosseno do ângulo x e escrevese:

cateto adjacentecos x =

hipotenusa

A terceira é chamada tangente do ângulo x e

escrevese:

cateto opostotg x =

cateto adjacente

vértice ângulo

lado

lado

B

A

0

ˆ ABmed AOB med


2

Determinar o diâmetro d da cabeça do parafuso,

conforme as medidas da figura.

R: d = 22,44 mm

A torre de Pisa, na Itália, é um campanário cuja

construção iniciouse em 1174. Devido ao tipo de

solo, a torre inclinouse, significativamente, desde

sua construção. A reta vertical que passa pelo centro

A de seu terraço superior encontra o solo em um

ponto B distante 4m do centro C de sua base. Sabendo

que a distância CA é 56 m, calcule a inclinação

)ACB( dessa torre, em graus.

R: 85º14’

Um observador na margem de um rio, vê o topo de

uma torre na outra margem segundo um ângulo de

56º. Afastandose vê a mesma torre segundo um

ângulo de 35º. Calcule a largura do rio.

R: x=17,95 m

Quebra Cabeça: Quaisquer dois quadrados, não

importa seus tamanhos relativos, podem ser cortados em

cinco peças que se juntarão novamente para formar um

só quadrado maior. Os cortes estão ilustrados nos

quadrados do exemplo abaixo.

Trace outros dois quadrados. Você sabe onde fazer os

cortes de modo que depois sejamos capazes de remontar

as peças num outro quadrado?

Exercícios:

1) Determine os elementos incógnitos:

a)

b)

c)

R: a) x =26,75m; b) x =8,76m, y = 7,10m e z =5,75m c)

x =12,99m e y = 10m


3

2) Determine a altura de um painel de propaganda

situado no topo de um edifício, sabendose que o

observador está situado a 100 m do edifício e

pode visualizar a base inferior e superior,

segundo um ângulo de 30º e 45º,

respectivamente. (R.: 42 m )

3) Numa rua horizontal um menino vê o topo de um

prédio sob um ângulo de 36º. Deslocandose 18

m no sentido do prédio, passa a avistálo sob um

ângulo de 42º. Calcular a altura do prédio.

(R.: 66,67 m ou 69,56 m).

4) Um engenheiro civil que constrói uma estrada diz

que, em certo trecho, há uma “rampa” de 33%.

Qual, então, a medida aproximada do ângulo de

inclinação? ( R.: 18º).

5) Um mastro de 6 m está em cima de uma colina de

altura d. De um ponto A avistamos seu pé sob um

ângulo de 60º e sua ponta sob 75º. Calcule a

altura da colina. ( R: 5,19 m ou 5, 22 m).

6) As posições relativas de uma pista de aeroporto e

de uma torre de controle de 6,1 m de altura são

ilustradas na figura abaixo. A cabeceira da pista

está a uma distância perpendicular de 100 metros

da base da torre. Se x é a distância percorrida na

pista por um avião, expresse a distância d entre o

avião e a torre de controle como função de x.

(R: 2d 10037 x )

7) De um ponto exterior P que está a h unidades

de um círculo de raio r, traça-se uma tangente ao

círculo (veja a figura). Seja y a distância do ponto P ao

ponto de tangência T. Expresse y como função de h e

r. ( lembre-se que se C é o centro do círculo, PT é

perpendicular a CT.) Se r é o raio da terra e h é a altura

de um foguete, então podemos deduzir uma fórmula

para a distância máxima ( à terra) que um astronauta

pode ver da nave.

Em particular, se h= 321.800 m e r = 6 436 000

m, dê uma aproximação para y.

(R: 2 2 y h hr 2.060 milhões )

1.5 Ponto móvel sobre uma curva

Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um

ponto P pertence à curva, dizemos que P é um ponto

fixo da mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser

deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de

ponto móvel. Um ponto móvel localizado sobre uma

circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer

esta circunferência em dois sentidos opostos. Por

convenção, o sentido antihorário (contrário aos

ponteiros de um relógio) é adotado como sentido

positivo.

1.6 Arcos da circunferência

Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco

é denominado arco orientado e simplesmente pode ser

denotado por AB se o sentido de percurso for de A para

B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.

Quando não consideramos a orientação dos arcos

formados por dois pontos A e B sobre uma

circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A

e B as suas extremidades.


4

1.7 Medida de um arco

A medida de um arco de circunferência é feita por

comparação com um outro arco da mesma

circunferência tomado como a unidade de arco. Se u

for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a

medida do arco AB , é o número de vezes que o arco

u cabe no arco AB .

Na figura abaixo, a medida do arco AB é 5 vezes a

medida do arco u . Denotando a medida do arco

AB por m( AB ) e a medida do arco u por m( u ),

temos:

m( AB ) = 5 m( u ).

A medida de um arco de circunferência é a mesma em

qualquer um dos sentidos.

1.8 Unidades de medida de arcos

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional

(SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas

pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último

não é muito comum.

Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo

comprimento que o raio da circunferência na qual

estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como

unidade tem comprimento igual ao comprimento do

raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.

Lembramos que o comprimento de uma

circunferência de raio r é dado por 2r. Assim, para

calcularmos em radianos a medida a de um arco de

uma volta, fazemos:

a = 2r/r = 2rad

Exemplos:

Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do

arco completo da circunferência na qual estamos

medindo o arco.

Exercício Resolvido 01:

Exercício Resolvido 02: Exemp

los:

Dividindo a circunferência em 4

e 6 partes congruentes, temos:

O grau comporta ainda os submúltiplos, minuto ( ’) e

segundo (”) , de forma que:

1º = 60' e 1' = 60”

Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco

completo da circunferência na qual estamos medindo o

arco.

1.9 Arcos de uma volta

Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma

circunferência, então:

2 rad = 360º

Podemos estabelecer os seguintes resultados:

Desenho

Grau 90º 180º 270º 360º

Grado 100 200 300 400

Radiano /2 3/2 2

Obs: 0 graus = 0 grado = 0 radianos

a)

b)

c)


5

1.10 Mudança de unidades

Consideremos um arco AB de medida R em radianos,

esta medida corresponde a G graus. A relação entre

estas medidas é obtida pela seguinte proporção:

2 rad …………… 360 graus

R rad …………… G graus

Assim, temos a igualdade R/2 = G/360, ou ainda:

180

GR

Exercícios:

8) Determinar a medida em radianos dos arcos: 120º

e 300º ( R: rad8

5 e rad

3

2 ).

9) Determinar a medida em graus de um arco de

medida 1 radiano ( R: 57º19’29”).

1.11 Ciclo Trigonométrico

Considere uma circunferência de raio unitário com

centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e

o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a

origem dos arcos orientados nesta circunferência e o

sentido positivo considerado será o antihorário.

Assim, chamase círculo trigonométrico ou ciclo

trigonométrico, ao círculo orientado de raio unitário,

cujo centro é a origem do sistema de coordenadas

cartesianas, conforme figura a seguir.

Os eixos OX e OY decompõem o ciclo trigonométrico

em quatro quadrantes que são enumerados como

segue:

2o. quadrante abscissa: negativa

ordenada: positiva

90º<ângulo<180º

1o. quadrante abscissa: positiva

ordenada: positiva

0º<ângulo<90º

3o. quadrante abscissa: negativa

ordenada:

negativa

180º<ângulo<270º

4o. quadrante abscissa: positiva

ordenada:

negativa

270º<ângulo<360º

Obs.: Os quadrantes são usados para localizar pontos

e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por

convenção, os pontos situados sobre os eixos não

pertencem a qualquer um dos quadrantes.

1.12 Arcos com mais de uma volta

Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar

arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por

exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre

uma circunferência no sentido antihorário e para em

um ponto M, ele descreve um arco AM .

A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou

igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida

for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em

sua primeira determinação.

Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a

circunferência uma ou mais vezes em um determinado

sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos

maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta.

Existe uma infinidade de arcos, mas com medidas

diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é

o ponto M.

Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha

medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e

pare em M, pode ter várias medidas algébricas,

dependendo do percurso.

Se o sentido for o antihorário, o ponto M da

circunferência trigonométrica será extremidade de uma

infinidade de arcos positivos de medidas:

m, m+2, m+4, m+6, ...

Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade

de uma infinidade de arcos negativos de medidas:

m2, m4, m6, ...

Generalizando este conceito, se m é a medida da

primeira determinação positiva do arco AM, podemos

representar as medidas destes arcos por:

µ( AM ) = m + 2k

onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao

conjunto Z={...,2,3,1,0,1,2,3,...}.


6

Família de arcos: Uma família de arcos { AM } é o

conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e

extremidade em M.

Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem

em A e extremidade em M, com a primeira

determinação positiva medindo 2/3, então os arcos

desta família { AM }, medem:

Exemplos:

Obter a menor determinação, o quadrante e a

expressão geral dos arcos.

a) AB = 1690º

Dividimos o arco por 360º

O quociente representa o número de voltas

que o arco descreve sobre a circunferência

trigonométrica.

O resto será a menor determinação.

Menor Determinação: 250º

Quadrante :3º

Expressão Geral: AB K.360º 250º

b) AM = 1270º15’40”

Dividimos o arco por 360º

O quociente representa o número de

voltas no sentido negativo sobre o ciclo

trigonométrico.

O resto é um arco negativo, portanto, não

é a menor determinação.

Para obtermos a menor determinação,

adicionamos 360º ao resto obtido.

Menor Determinação: α = 169º44'20"

Quadrante:4º

Expressão Geral: AM = K.360º +169º44'20"

c) AC = rad3

23

Dividimos o numerador pelo dobro do valor

do denominador.

O quociente representa o número de voltas

que o arco descreve sobre a circunferência

trigonométrica.

O resto será o numerador da menor

determinação procurada.

5Menor Determinação:

3

Quadrante : 4º

5Expressão Geral: AC 2K

3

Exercícios:

10) Obter a menor determinação , o quadrante e a

expressão geral dos arcos dados:¨

AM = 535º R:

175º

2º

quadrante

AM 360º.K 175º

AC = 430º R:

290º

4º

2

quadrante

AM 360º.K 90º

AR = 1079º23” R:

59º37"

1º

59º37"

quadrante

AM 360º.K

AB = rad5

26 R:

6.

5

3º

62 .

5

rad

quadrante

AP .K. rad

AP = rad11

43 R:

11

1º

211

rad

quadrante

AP .K. rad

Determinações positivas (sentido antihorário)

k=0 µ( AM ) = 2/3

k=1 µ( AM ) = 2/3+2=8/3

k=2 µ( AM ) = 2/3+4=14/3

k=3 µ( AM ) = 2/3+6=20/3

... ...

k=n µ( AM ) = 2/3+2n = (2+6n) /3

Determinações negativas (sentido horário)

k=1 µ( AM ) = 2/32 = 4/3

k=2 µ( AM ) = 2/34 = 6/3

k=3 µ( AM ) = 2/36 = 16/3

k=4 µ( AM ) = 2/38 = 22/3

... ...

k=n µ( AM ) = 2/32n = (26n) /3


7

1.13 Arcos Côngruos

Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos,

quando a diferença entre eles é um número múltiplo

de 360º. Assim é que sendo x e y dois arcos

trigonométricos, eles serão côngruos se e somente se:

x y = k . 360º , onde k é um número inteiro.

Portanto, para descobrir se dois arcos são côngruos,

basta verificar se a diferença entre eles é um múltiplo

de 360º (ou 2 radianos, pois 2 rad = 360º).

Obs. Arcos de uma mesma família são côngruos.

Exemplo:

Os arcos 2780º e 1700º, são côngruos, pois:

2780º 1700º = 1080º e

1080º é divisível por 360º (1080º / 360º = 3).

Exercício resolvido:

Quantos são os valores de m compreendidos entre 30

e 40, que tornam côngruos os arcos de medidas

(4m+10).180º e (3m2).180º ?

Solução:

Pela definição de arcos côngruos dada, deveremos ter:

(4m+10).180º (3m2).180º = k . 360º, com k.

720m + 1800 [540m 360] = k . 360

720m + 1800 540m + 360 = k . 360

180m + 2160 = k . 360

180m = k . 360 2160

m = 2k 12

Mas, pelo enunciado, temos 30 < m < 40. Logo:

30 < 2k 12 < 40

42 < 2k < 52

21 < k < 26 k = 22, 23, 24 ou 25.

Existem 4 valores possíveis para k e, portanto, também

4 valores possíveis para m, já que m = 2k 12.

Portanto:

m = 32, 34, 36 e 38.

Exercícios:

11) Testes: Verdadeiro Falso

a) Os arcos de 4200º e 3480º são côngruos

b) Os arcos de ( 420º ) e 300º são côngruos.

c) O arco de 10.002º pertence ao segundo

quadrante.

d) O arco de ( 200º) pertence ao segundo

quadrante.

R: Verdadeiro: a, b e d.

1.14 Arcos de mesma origem, simétricos em relação

ao eixo OX

Sejam AM e 'AM arcos no círculo trigonométrico,

com A=( 1, 0 ) e os pontos M e M' simétricos em relação

ao eixo horizontal OX.

Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do

arco 'AM é dada por: µ( 'AM ) = 2m.

1.15 Arcos de mesma origem, simétricos em

relação ao eixo OY


com A = ( 1 ,0 ) e os pontos M e M' simétricos em

relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM

for igual a m, então a medida do arco 'AM será dada

pela expressão µ( 'AM ) = m.

1.16 Arcos com a mesma origem e extremidades

simétricas em relação à origem


com A=( 1 ,0 ) e os pontos M e M' simétricos em

relação a origem (0,0). Se a medida do arco AM é igual

a m, então a medida do arco 'AM é dada por: µ( 'AM )

= +m.


8

1.17 Funções circulares

As funções circulares constituem o objeto

fundamental da trigonometria circular e são

importantes devido à sua periodicidade pois elas

podem representar fenômenos naturais periódicos,

como as variações da temperatura terrestre, o

comportamento ondulatório do som, a pressão

sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos,

etc.

1.18 Função periódica

Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe

um número real T 0 tal que f ( x + T ) = f ( x )

para todo x Dom (f ).

O número T é chamado período da função f(x).

O gráfico de uma função periódica se repete a cada

intervalo de comprimento T.

Exemplos de gráficos de funções periódicas são

observadas nas Figuras abaixo:

1.19 Função limitada

Uma função f de domínio A contido em R é limitada,

se existe um número real positivo L, tal que para todo

x em A, valem as desigualdades:

L < f ( x ) < L

Esta última expressão pode ser escrita como:

| f(x) | < L.

1.20 Função par

Uma função f é uma função par, se para todo x do

domínio de f:

f(x) = f(x)

Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical

OY.

Exemplo:

A função f(x) = 2x , pois: 2 2f ( x) x x

1.21 Função ímpar:

Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do

domínio de f:

f(x) = f(x)

Funções ímpares são simétricas em relação à origem

(0,0) do sistema de eixos cartesiano.

Exemplo:

A função f(x) = x é uma função par, pois f(x) = x =

f(x).

1.22 Função seno

Definição: Chamamos de função seno , a função

:f que, a cada número real x, associa o seno

desse número.

:f

f(x) = sen x

A função é denotada por f(x) = sen(x) ou y = sen(x).

Gráfico: O gráfico da função f(x) = sen x, denomina-se

senóide. Para construir o gráfico da função, atribuímos

valores para x e encontramos f(x). Segue uma tabela

com valores de f no intervalo [0,2].

x y = senx

0 0

2

1

0

2

3

-1

2 0

Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção

do segmento OM sobre o eixo OY.


9

onde:

Dom:

Im: 1 ,1

P = 2 rad ( A função seno é periódica, pois:

sen ( x+ 2) = sen x.)

Crescente: [ 0, 2

] [2

3 ,2]

Decrescente: [2

,2

3 ]

Limitada: 1 < sen x < 1

Ímpar : sen(x) = sen(x)

Para todo x em R e para todo k em Z:

sen(x) = sen(x+2) = sen(x+4) =...= sen(x+2k)

Completamos o gráfico da função seno, repetindo os

valores da tabela em cada intervalo de medida 2,

teremos:

Sinal:

Intervalo 0,2

,2

3,

2

3

, 22

Função

seno positiva positiva negativa negativa

Exercícios Resolvidos:

01) Construa o gráfico da função f(x) = 2 sen x,

dando o domínio, imagem, intervalos de

crescimento, decrescimento e o período.

Resolução:

Observe a tabela abaixo, onde atribuímos valores

para x e encontramos f(x).

x senx 2senx

0 0 0

2

1 2

0 0

2

3 1 2

2

0 0

O gráfico desta função está apresentado na figura

abaixo, onde comparamos o comportamento da função

f(x)= 2sen x, com a função f(x) = sen x.

onde:

Dom:

Im: 2,2

P = rad 2

Crescente: [2

,2

3 ]

Decrescente: [ 0, 2

] [2

3 ,2]

Obs. A função f(x) = 2 sen x modifica sua amplitude

em relação à função f(x) = senx.

02) Construa o gráfico da função f(x) =

2xsen ,

dando o domínio, imagem, intervalos de

crescimento, decrescimento e o período.

Resolução:

Fazendo x t x t2 2


10

Observe a tabela abaixo,onde atribuímos valores para

x e encontramos f(x).

2tx

t

y = sen t

2

0 0

2

1

2

3 0

2 3

2

1

2

5 2

1


abaixo, onde comparamos o comportamento da

função f(x)=

2xsen com a função f(x) = sen x.

onde:

Dom:

Im: 1,1

P = rad 2

Crescente: [ 2

, ] [2 ,5

2

]

Decrescente: [ , 2 ]

Exercícios:

12) O gráfico abaixo corresponde à função:

R: f(x)=2.senx

13) Construir os gráficos e dar o domínio, imagem e o

período das função:

xa)f (x) sen

2

b) f (x) 2 sen x

c)f (x) senx

d)f (x) 2 sen(2x )

Respostas:

E-15:

a)

b)

c)

d)


11

1.23 Aplicações da Função Seno na Eletrotécnica.

Função Genérica da Corrente

) t sen(BA)t(i

onde o ângulo de fase é

Exemplo: Na equação:

)t500sen(5,2)t(i com ms4t0

Determine:

a) o gráfico

b) o domínio e a imagem

c) o valor máximo e mínimo da corrente

d) em que tempo teremos o valor máximo e em

que tempo teremos o valor mínimo

e) os valores do tempo que fazem com que a

corrente seja nula.

f) O período ( T)

g) A freqüência ( f )

h) O ângulo de fase quando tiver.

1.24 Função Cosseno

Definição: Chamamos de função cosseno , a função

:f que, a cada número real x, associa o

cosseno desse número.

:f

f(x) = cos x

A função é denotada por f(x) = cos(x) ou y = cos(x).

Gráfico: O gráfico da função f(x) = cos x ,

denomina-se cossenóide. Para construir o gráfico da

função, atribuímos valores para x e encontramos f(x),

conforme a tabela abaixo.

x y = cos x

0 1

2

0

1

2

3 0

2 1

Na figura, o segmento Ox, que mede cos(x), é a

projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal

OX.

onde:

Dom:

Im: 1 ,1

P = 2 rad ( A função cosseno é periódica, pois:

cos ( x + 2) = cos x.)

Crescente: ,2

Decrescente: 0,

Limitada: 1 < cos x < 1

Par : cos (x) = cos x

Completamos o gráfico da função cosseno, repetindo os

valores da tabela em cada intervalo de medida 2,

teremos:

Sinal:

Intervalo 0,2

,2

3,

2

3

, 22

Função

cosseno positiva negativa negativa positiva

Exercício Resolvido:

03) Construa o gráfico da função f(x) = 1+ cos x,

dando o domínio, imagem e o período.

Resolução:

Observe a tabela, onde atribuímos valores para x e

encontramos f(x).


12

x cos x 1+cos x

0 1 2

2

0 1

1 0

2

3 0 1

2

1 2


abaixo, onde comparamos o comportamento da

função f(x)= 1+cos x com a função f(x) =cos x.

onde:

Dom:

Im: [ ] 2 0,

P = rad 2

Crescente: ,2

Decrescente: 0,

Obs. A função f(x) = 1 + cos x desloca-se em 1

unidade no eixo y em relação ao gráfico da função

f(x)= cos x.

04) Construa o gráfico da função f(x) = x

cos 2

,

dando o domínio, imagem e o período.

Resolução:

Fazendo x

t x 2t2

Observe a tabela, onde atribuímos valores para x e

encontramos f(x).

x t cos

x

2

0 0 1

2

0

2 1

3

2

3 0

4

2

1


abaixo, onde comparamos o comportamento da função

f(x) = cos x com a função f(x) = cos x

2.

RESUMINDO

Considerando as funções:

y = a + b sen ( mx + n )

y = a + b cos ( mx + n ).

Temos:

Dom:

C.D:

Im: ba ,ba , b> 0

P = rad m

2

Exercícios:

14) Construir os gráficos e dar o domínio, imagem e o

período das função:

a) y = cos x

b) y = cos 2x


13

c) y = 1+2 cos x

Respostas:

a)

b)

c)

1.25 Função tangente

Definição: Chama-se função tangente aquela que

associa a todo x real, x k2

, o número

real y = tan x.

A função é denotada por f(x) = tan x ou y = tg x.

Gráfico: O gráfico da função tangente é chamado de

tangentóide, para construir o gráfico da função,

atribuímos valores para x e encontramos f(x). Como a

tangente não existe para arcos da forma: k2

onde

k Z, estaremos considerando o conjunto dos

números reais diferentes destes valores, conforme a

tabela abaixo.

x y = tan x

0 0

2

0

2

3

2

0

Na figura, o segmento AT , mede tg(x).

onde:

Dom: x / x k2

Im:

P = rad ( A função tangente é periódica, pois:

tg ( x + ) = tg x.)

Sempre Crescente.

Limitação: A função tangente não é limitada

A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a

tangente está definida, temse que:

tg(x)= tg (x)

Obs1. Para os arcos da forma K2

a função

tangente não é definida, apresentando nesses pontos

assíntotas verticais.

Obs2. Na figura anterior, temos que:

tg AM = tg x = AT

pela semelhança dos triângulos retângulos ONM e OAT,

assim:

AT NM

OA ON mas, AT tgx ,

OA r 1 ,

NM senx e

OQ cosx


14

Substituindo na expressão tgx senx

1 cos x , teremos:

senxtgx

cos x , onde x K

2

Completamos o gráfico da função tangente, repetindo

os valores da tabela na mesma ordem em que se

apresentam, teremos:

Sinal:

Intervalo [0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]

Função

tangente positiva negativa positiva negativa

1.26 Função cotangente

Definição: Chama-se função cotangente aquela que

associa a todo x real, x k , o número real

y = cot x.

A função é denotada por f(x) = cotg x ou y = cot x.

Gráfico: O gráfico da função cotangente é chamado

de cotangentóide, para construir o gráfico da função,


cotangente não existe para arcos da forma: k , onde

kZ, estaremos considerando o conjunto dos números

reais diferentes destes valores, conforme a tabela

abaixo.

x y = cot x

0

2

0

2

3 0

2

Na figura, o segmento BS , mede cotg(x).

onde:

Dom: x / x k

Im:

P = rad ( A função tangente é periódica, pois:

cotg ( x + ) = cotg x.)

Sempre Decrescente.

Limitação: A função tangente não é limitada.

A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a

tangente está definida, temse que:

cotg(x)= cotg (x)

Obs1. Para os arcos da forma K a função tangente

não é definida, apresentando nesses pontos assíntotas

verticais.

Obs 2. Por analogia ao que foi feito na tangente,

podemos mostrar que cos x 1

cot xsenx tgx

Completamos o gráfico da função cotangente, repetindo

os valores da tabela na mesma ordem em que se

apresentam, teremos:

Sinal:

Intervalo [0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]

Função

tangente positiva negativa positiva negativa


15

1.27 Função Secante

Definição: Chama-se função secante aquela que

associa a todo x real, x k2

, o número

real y = sec x.

A função é denotada por f(x) = sec x ou y = sc(x)

Gráfico: Para construir o gráfico da função,


secante não existe para arcos da forma: k2

onde

kZ, estaremos considerando o conjunto dos números

reais diferentes destes valores, conforme a tabela

abaixo.

x y = sec x

0 1

4

2

2

3

4

2

1

5

4

2

2

3

7

4

2

2

1

Gráfico: O segmento OV mede sec(x).

onde:

Dom: x / x k2

Im: , 1 1,

P = 2 rad

Crescente: 0,

Decrescente: ,2

Limitação: A função secante não é limitada

A função secante é par, pois para todo x real onde a

secante está definida, temse que: séc x= sec (x)

Obs1. Para os arcos da forma K2

a função secante

não é definida, apresentando nesses pontos assíntotas

verticais.

Obs 2. Por analogia ao que foi feito na tangente,

podemos mostrar que 1

secxcos x

Completamos o gráfico da função secante, repetindo os

valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam, teremos:

Sinal:

Intervalo [0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]

Função

secante positiva negativa negativa positiva

1.28 Função Cossecante

Definição: Chama-se função cosssecante aquela que

associa a todo x real, x k , o número real

y = cossec x.

A função é denotada por f(x) = cossec x ou y = csc(x)

Gráfico: Para construir o gráfico da função, atribuímos

valores para x e encontramos f(x). Como a secante não

existe para arcos da forma: k onde k Z, estaremos

considerando o conjunto dos números reais diferentes

destes valores, conforme a tabela abaixo.


16

x y =cossec x

0

4

2

2

1

3

4

2

5

4

2

2

3

1

7

4

2

2

Gráfico: O segmento OB mede cossec(x).

onde:

Dom: x / x k

Im: , 1 1,

P = 2 rad

Crescente: 3

, ,2 2

Decrescente: 3

0, ,22 2

Limitação: A função cossecante não é limitada.

A função cossecante é ímpar, pois para todo x real

onde a cossecante está definida, temse que:

cossec(x) = cosses (x)

Obs1. Para os arcos da forma K a função

cossecante não é definida, apresentando nesses pontos

assíntotas verticais.

Obs 2. Por analogia ao que foi feito na cotangente,

podemos mostrar que 1

cossecxsen x

Completamos o gráfico da função secante, repetindo os

valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam, teremos:

Sinal:

Intervalo [0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]

Função

cossecante positiva positiva negativa negativa

1.29 Resumo de Trigonometria

Quanto ao Domínio

Função seno e cosseno

Dom f =

Função tangente e secante

Dom f= { x / x K2

}

Função cotangente e cossecante

Dom f= { x / x K }

Quanto ao Período

Função seno, cosseno, secante e cossecante:

P = 2

Função tangente e cotangente:

P =

Exercícios:

17) Determine o domínio das funções abaixo:

a) y 2tg 2x3

b) y = x 3

1 cossec3 2

c) y = 3 + sec 2x6


17

d) 5x

y 3 2cot 45º2

e) y 2 sec 2x 140º

R: a) 5

2 12

kD x / x

b) 2 6

kD x / x

c) 5

2 12

kD x / x

d) 72 18 D x / x k º

e) 90 2 D x / x k

18) Determinar o período das funções abaixo, sem

construir tabelas ou gráficos:

y = 4x

cos8

y = 6 + 4

sen 2x3

y = 5 tg 7x4

R: a) p = 16 rad

b) p = rad

c) p = 7

rad

1.30 Valores Especiais de Funções

Trigonométricas

Exercícios

19) Calcular o valor de cada expressão:

a) 23tg30º 2sen60º 9sec 30º

ytg45º sec60º 5cos60º

b) y = 2

2 2

sen 45º 3tg30º 3cot 60º

3cos 45º cot 30º cos60º

c) y = 2

2

2tg45º 6cos 30º 5sec60

sec 30º 4sen45º 2cosses45º

d) y =

2 2

2 2

4sec 3tg 6cos6 4 4

4cot 9cot sec4 3 4

R: a) y = 24

b) y = 1 / 2

c) y = 25 / 8

d) y = 16 16 2

3

1.31 Relações Trigonométricas Fundamentais

Seja a figura:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo

OQM, temos:

2 2 2

QM OQ OM

como:

QM OP senx

OQ cosx

OM r 1 , temos a relação trigonométrica fundamental

nº 01:

º rad

0º 0 0 1 0 - 1 -

30º

2

45º

1 1

60º

2

90º

1 0 - 0 - 1

sen2x + cos

2x = 1

M

v

u Q

P

0

x


18

Dividindo a relação fundamental nº 01 por sen2(x) e

por cos2(x) e aplicando os conceitos de tangente,

cotangente, secante e cossecante, teremos outras duas

relações fundamentais, a saber:

e

Exemplos:

01) Simplifique a expressão:cossecx senx

cot gx secx

Solução:

Utilizando os conceitos vistos, temos:

2

2 2

1 1 sen xsenx

senx senx 1 sen x cos xcos x 1 1

.senx cos x senx

02) Sendo x um arco tal que cos x = tgx , calcule

senx.

Solução:

Sabemos que tgx = senx

cos x

Substituindo tgx por cosx (dado do problema), vem:

cosx = senx

cos x donde vem: cos

2x = senx.

Mas, cos2x = 1 sen

2x .

Substituindo, fica: 1 sen2x = senx.

Daí, vem: sen2x + senx 1 = 0

Fazendo senx = y e substituindo: y2 + y 1 = 0.

Resolvendo esta equação do 2º grau, fica:

Como y = senx e , temos somente um dos valores

acima satisfazendo o problema, ou seja:

5 1senx ,

2

que é a resposta procurada.

03) Para que valor de m a expressão:

y = (m 1)(sen4x cos

4x) + 2cos

2x + m.cosx

2.cosx + 1 é independente de x?

Solução:

Podemos escrever:

y = (m 1)[(sen2x cos

2x)(sen

2x + cos

2x)] + 2cos

2x +

mcosx 2cosx + 1

Como sen2x + cos

2x = 1, substituindo, fica:

y = (m1)(sen2x cos

2x) +2cos

2x + mcosx 2cosx +1

y = msen2x mcos

2x sen

2x + cos

2x + 2cos

2x +

mcosx

2cosx + 1

Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que

sen2x = 1 cos

2x, vem:

y = m(1 cos2x) mcos

2x (1 cos

2x) + cos

2x +

2cos2x + mcosx 2cosx + 1

y = m mcos2x mcos

2x 1 + cos

2x + cos

2x + 2cos

2x

+ mcosx 2cosx + 1

Simplificando os termos semelhantes, fica:

y = m + (4 2m)cos2x + (m 2)cosx

Para que a expressão acima seja independente de x,

deveremos ter necessariamente 4 2m = 0 e m 2 = 0

portanto: m = 2, que é a resposta procurada.

Exercícios:

20) Dado3

sen x5

, com x2

, calcule as

demais funções.

R.: 4

cos x5

; 3

tgx4

; 5

sec x4

; 5

csc x3

; 4

cot x3

21) Sendo secx 2 e x2

, calcule tgx e senx.

R.: 2

tgx 1 e senx=2

22) Sendo cot a = 3 e 3

a2

,calcule o valor de :

seca cossecay

cosseca cosa

R.:

1y

3

23) Sendo 2 232sen x 16cos x 25 , calcule o valor do

senx. R.: 3

y senx4

24) Calcule m, de modo que se tenha simultaneamente:

m 2senx

8

e

5 mcos x

2

. R.: m =2

25) Para que valor de m a expressão:

y = m(sen4x cos

4x) + 2cos

2x 1 + m é

independente de x?

R.: m=1

1.32 Identidades Trigonométricas

Uma igualdade entre expressões trigonométricas é chamada

Identidade, quando a igualdade é satisfeita para todos os

valores que pertencem aos domínios das funções que

envolvem.

Para provarmos uma identidade trigonométrica,

podemos proceder de duas maneiras:

tg2x + 1 = sec

2x

cotg2x + 1 = cosec

2x


19

Tomando um dos membros (geralmente o mais

“complicado”) transformando-o no outro.

Tomando os dois membros e transformando

simultaneamente em expressões iguais.

Exemplos: Provar as identidades:

a) 4 4 2cos x sen x 2sen x 1

b) 2 2 21 tgx 1 tgx 2sec x

c) 3

tgx senx secx

1 cos xsen x

1.33 Operações com Arcos

Conhecidas as linhas trigonométricas dos arcos a e b,

determinaremos as funções circulares dos arcos da

forma a + b, a b, 2.a e a

.2

Fórmulas de Adição e Subtração de arcos

Exemplo 29 a)

sen(a b) sena.cosb senb.cosa

Exemplo 30 b)

sen(a b) sena.cosb senb.cosa

Exemplo 31 c)

cos(a b) cosa.cosb sena.senb

Exemplo 32 d)

cos(a b) cosa.cosb sena.senb

Exemplo 33 e) tga tgb

tg(a b)1 tga.tgb

Exemplo 34 f) tga tgb

tg(a b)1 tga.tgb

Exemplo 35

Exemplo 36 Obs. Nota: nas duas fórmulas da

tangente, sempre leve em conta a absoluta

impossibilidade da divisão por zero!

Exemplo 37

Exemplos:

Exemplo 38 01) Calcular sen 75º.

Exemplo 39 Solução:

Exemplo 40 Sen 75º = sen (30º+45)

Exemplo 41 = sen30º. cos 45º+sen45º.cos

30º

Exemplo 42 = 1 2 2 3

. .2 2 2 2

=

2 6

4

Exemplo 43

Exemplo 44 02) Determine cos (x 90º)

Exemplo 45 Solução:

Exemplo 46 Aplicando a equação d, temos:

Exemplo 47 cos (x 90º) = cosx . cos90º + senx .

sen90º

Exemplo 48 como cos90º = 0 e sen90º = 1,

substituindo, vem:

cos(x 90º) = senx.

Se fizermos a = 0º na fórmula do cosseno da diferença,

teremos:

cos(0 b) = cos0 . cosb + sen0 . senb

e como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica:

cos( b) = cosb

03) Sabendo-se que sen x = 8

17, cos y =

3

5 , 0 x

2

e

y ,2

calcular tg(x+y):

Solução:

Pela expressão e, temos:

tg( x + y) = tgx tgy

1 tgx.tgy

=

8 4

15 3

8 41 .

15 3

=

8 20

1532

145

tg( x+ y) = 12 45

.15 77

tg( x+ y) = 36

77

Exercícios:

26) Simplificar as expressões abaixo:

a) cos(a b) cos(a b)

ysen(a b) sen(a b)

b) senb.cos(a b) sen(a b)

ysen(a 60º ) sen(a 60º )

c)2sen (a b) 2.senb.cosa.sen(a b)

ysen(a b).sen(a b)

R: a) cotg a; b) 1; c) 1

27) Calcule tg (a b). Sabendo-se que cot a =2,

secb 2 e 3

b ,2

R:

1

3

28) Calcular sen a, sabendo-se que a + b = 150º,

3sen.b

4 e b .

2

R:

7 3 3

8

29) Achar a sec( ab), dados tg a =3

4,cossec b =

13,

12

3a

2

e

3b 2 .

2

R:

65

33


20

30) Simplificar a seguinte expressão:

y = cos(x 90º) cos(x 270º). R: 2senx

31) Calcule:

a)cos 15º R: 6 2

4

b) tg 75º R: 2 3

c) sen 105º R: 6 2

4

32) Sabendo que 13

12acos , a + b = 120º e

0 a2

, calcule o cos b. R:

12 5 3

26

ARCO DUPLO

Fazendo a = b nas fórmulas da soma, vem:

2 2cos(2a) cos a sen a

sen(2a) 2sena.cosa

2

2.tgatg(2a)

1 tg a

Obs. A fórmula acima somente é válida para tg a 1

e tg a 1, já que nestes casos o denominador seria

nulo.

EXEMPLOS:

a) sen4x = 2.sen2x.cos2x

b) senx = 2.sen(x/2).cos(x/2)

c) cosx = cos2(x/2) - sen

2(x/2)

d) cos4x = cos22x - sen

22x

EXERCÍCIOS:

33) Dado tg x 2 1 , calcule tg 2x . R: 1

34) Sendo sen x + cos x = 5

6, calcular: sen 2x.

R: 11

25

35) Calcular sen(2a+b) , sendo sen a =3

5

e sen b = 5

,13

0 a e b2 2

.

R: 253

325

ARCO METADE

Vamos agora achar as funções trigonométricas da

metade de um arco, partindo das anteriores.

Cosseno do arco metade: Sabemos que:

cos2a = cos2a sen

2a

Substituindo sen2a, por: 1 cos

2a e sen

2a + cos

2a por 1,

vem:

cos2a = 2.cos2a 1, isolando cos

2 a :

cos2a = (1+cos2a) / 2

Fazendo a = x/2, vem, cos2(x/2) = [1+cosx]/2.

Podemos escrever então a fórmula do cosseno do arco

metade como:

x 1 cos x

cos2 2

Seno do arco metade: De maneira análogo, obtemos o

seno e do arco metade.

x 1 cos x

sen2 2

Tangente do arco metade: Dividindo membro a

membro as equações anteriores, lembrando que

tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:

x 1 cos x

tg2 1 cos x

Obs: o sinal algébrico de cada expressão, vai depender

do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

Exercício resolvido:

Sabendo que sen x =4 3

e <x<5 2

, calcular tg

x

2.

Resolução:

1º passo: determinar o quadrante de x

2:

Se 3

<x<2

, dividindo todos os termos por 2,

temos:x 3

2 2 4

, isto é:

x

2 é um arco do 2º quadrante.

2º passo: cálculo de cos x:

224

cos x 15

3cos x

5

3º passo: cálculo de tg x

2

2 5xsen

x 52tg 2x2 5cos2 5


21

Exercícios:

36) Sabendo que tg a= 7

3 e

3a 2

2

, calcular

asen

2. R:

2

4

37) Calcular cotg a

2, sabendo que sec a =

5

4 e

3a

2

. R:

1

3

38) Dada 2 3

cossecx3

e x2

, calcular tg

x

2

R: 3

1.34 Transformação de somas em Produto

Veremos nesta seção transformações de expressões

da forma sen p sen q e cos p cos q, em produto,

cujas fórmulas são de grande importância nas

simplificações de expressões trigonométricas.

Já sabemos que:

sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a

Fazendo :a + b = p

a b = q

, temos:

p q

2

p + q a =

2

b =

Somando membro a membro estas igualdades,

obteremos:

sen(a + b)+ sen(a b) = 2.sen a . cos b. Daí:

p q p q

senp senq 2sen .cos2 2

Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:

p q p q

senp senq 2sen .cos2 2

p q p q

cosp cosq 2cos .cos2 2

p q p q

cosp cosq 2sen .sen2 2

Exemplos: 01) Transformar em produto a expressão:

y = sen50º + sen40º

Solução:

50º 40º 40º 50ºy 2sen .cos

2 2

y 2sen45º.cos( 5º) , como cos (a) = cos a, temos

y 2sen45º.cos5º

02) cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10º

03) cos 60º +cos40° = 2.sen50º.sen10º

04) sen70º sen 30º = 2 sen20°.cos 50º

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, então

tg2x é igual a:

Solução:

Usando as fórmulas de transformação em produto,

teremos:

3x x 3x x 3x x 3x x2.sen .cos 2cos .cos

2 2 2 2

2.sen2x.cosx = 2.cos2x.cosx.Simplificando:

sen2x = cos2x e, portanto, sen2x

1cos2x

tg2x =1.

02) Determine o período da função:

y = sen20x.cos10x + sen10x.cos20x.

Solução:

Sabemos que sena.cosb + senb.cosa = sen (a + b). Logo,

y = sen20x.cos10x+sen10x.cos20x = sen(20x+10x)

= sen30x

Portanto, a função dada é equivalente a y = sen30x.

Como, o período de uma função da forma y = senbx é

dado por T = 2 / b.

O período da função dada será: T = 2 / 30 = /15 rd.

03) Qual o valor máximo da função y = f(x) definida

por: 100

y100 cosx.cos4x senx.sen4x

Solução:

Sabemos que:

cosx.cos4x senx.sen4x = cos(x + 4x) = cos5x

Portanto, podemos escrever:100

y100 cos5x

Para que y seja máximo, devemos ter 100+cos5x sendo

o mínimo, e isto só ocorrerá quando cos5x =1.

Logo, o valor máximo da função será:

100 100y

100 1 99

.


22

04) Seja dada a função y = f(x), definida por:

cos x.cos13xy

cos3x cos5x

. Nestas condições, pedese

calcular o valor de y = f( /17).

Solução:

Vamos transformar em produto o denominador da

função:

cosx.cos13x cos13xy

2.cos4x.cosx 2.cos4x

mas, cos13x = cos(17x 4x)

= cos17x.cos4x + sen17x.sen4x.

Como x = /17, vem imediatamente que 17x = .

Logo, substituindo vem:

cos13x = cos .cos4x + sen .sen4x

= 1.cos4x + 0.sen4x

= cos4x

Já que cos13x = cos4x , para x = /17, substituindo,

vem finalmente:

y = cos4x / (2.cos4x) = 1/2.

Exercícios:

39) Transformar em produto:

sen28º sen52º

tg20º + tg60º

2senx + sen2x

sen5a + sena + sen9a sen3a

R: a) 2sen12ºcos40º

b) 2 80

20

sen º

cos º

c) 242

xsenxcos

d) 4sen3a.cos4a.cos2a

1.35 Equações trigonométricas

Toda igualdade que possui uma ou mais funções

trigonométricas em pelo menos um dos membros,

recebe o nome de equações trigonométricas.

Exemplos:

01) sen x + cos x =3

4 e sen 2x = cos

2 x são

equações trigonométricas.

02) x + ( tg 30º) = x2 e x + sen 60º =

3

2, não são

equações trigonométricas.

Resolver uma equação trigonométrica consite em

determinar os valores dos arcos que verificam a

equação.

Dizemos que r é uma raiz ou solução da equação

trigonométrica f(x) = g(x) se r for elemento do

domínio de f e g e se f(r) = g(r) for verdadeira.

Equações Trigonométricas Fundamentais

Quase todas as equações trigonométricas, quando

convenientemente tratadas e transformadas, podem ser

reduzidas a pelo menos uma das três equações seguintes:

a) sen x = a

b) cos x = a

c) tg x = a

Estas são as equações trigonométricas elementares ou

equações trigonométricas fundamentais As soluções

destas equações podem ser resumidas no seguinte

quadro:

1

2

x 360º.k ma)senx a para 1 a 1

x 360º.k m

b)cos x a x 360º.k m para 1 a 1

c)tgx a x 180º.k m

graficamente:

Exemplos:

01) senx =1

Solução:

O arco AM cujo seno é igual a 1 vale 90º, então:

S x / x k.360º 90º

a)

b)

c)


23

02) cossesc x = 2

Solução:

Se cosse x = 2 então senx = 1

2

AM = 30º ( 1º Q) ou AM = 150º ( 2º Q), então:

S x / x k.360º 30º ou x / x k.360º 150º

03) cox = 1

Solução:

AM = 180º, então:

S x / x k.360º 180º

04) sec x = 2

Solução:

Se sec x = 2 então cosx = 2

2

AM = 135º ( 2º Q) ou AM = 225º = 135º ( 4º Q),

então:

S x / x k.360º 135º

05) tg x= 3

Solução:

AM = 120º ( 2º Q) ou AM = 300º = ( 4º Q), então:

S x / x k.180º 120º

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS REDUTÍVEIS

ÀS FUNDAMENTAIS

Existem equações que podem ser reduzidas às

fundamentais, via de regra, qualquer equação

trigonométrica não elementar, pode ser transformada numa

equação elementar, através do uso das relações

trigonométricas usuais, vejamos um exemplo:

Exemplos:

Resolva as seguintes equações trigonométricas

abaixo:

01) 2sen x 3cosx 3 0

Solução:

Colocando a equação em função de cosx, temos:

21 cos x 3cosx 3 2cos x 3cosx 2 0 ,

fazendo a mudança de variável y = cos x, temos, a

equação do 2º grau:

2y 3y 2 0 , cuja solução é: y = 1 ou y = 2,

assim recaímos nas equações fundamentais: cos x = 1

ou cos x = 2 (impossível), logo:

S x / x k.360º

02)2cosx – 3secx = 5

Solução:

Lembrando que secx = 1/cosx, vem, por substituição:

2.cosx – 3.(1/cosx) – 5 = 0

2.cosx – 3/cosx – 5 = 0

Tirando o mmc:

2.cos2x – 3 – 5.cosx = 0

Arrumando convenientemente, teremos:

2.cos2x – 5.cosx – 3 = 0.

Fazendo a substituição trigonométrica y = cosx,

teremos a equação do segundo grau:

22y 5y 3 0

cuja solução é:

2( 5) ( 5) 4.2.( 3) 5 49 5 7y

2.2 4 4

Assim y = 3 ou y= 1/2.

Como y = cosx, a equação cosx = 3 não possui solução,

pois o cosseno só pode assumir valores de 1,1 .

Já para a equação cosx = 1/2, teremos:

AM = 120º ( 2º Q) ou AM = 240º = 120º ( 3º Q),

então:

S x / x k.360º 120º ou em radianos:

2S x / x 2k.

3

03) TG X + COTG X = 2

Solução:

Substituindo tg x e cotg x pelos seus valores expressos

em função de sen x e cosx, vem: senx cos x

2cos x senx

Efetuando a operação indicada no primeiro membro:

2 2(sen x + cos x) = 2

(senx.cosx), como sen

2x + cos

2x = 1, fica:

12

senx.cos x

1 = 2.senx.cosx = sen2x sen2x = 1

O arco AM cujo seno é igual a 1 vale 90º, então:

2x = k.360º+90º e portanto

S x / x k.180º 45º

Exercícios:

40) Resolver as equações trigonométricas abaixo:

sen x = 1

tg x = 0


24

cossec x = 2

2 sec ( x+ 20º) = 4

sen x 16

R: a) 360 270 S x / x k. º º

b) 180 S x / x k. º

c) 120 50 S x / x k. º º

d) 360 225 360 315 S x / x k. º º ou x k. º º

e) 360 80 360 40 S x / x k. º º ou x k. º º

f) 2

23

S x / x k.

41) Resolver as equações trigonométricas:

a) 22sen x 3senx 1 0

b) 23tg x 5 7secx

c) 2 2cos 3x 2sen 3x 2

d) 4 4 5sen x cos x

8

R:

360 90

360 30

360 150

a ) S x / x k. º º ou

x / x k. º º ou

x / x k. º º

b) 360 60 S x / x k. º º

c) 60 30 S x / x k. º º

d) 90 30 S x / x k. º º

1.36 Funções circulares inversas

Sabemos que uma função f de domínio D possui inversa

somente se f for bijetora. As funções circulares, conforme

definidas, não são bijetoras, mas podemos tomar

subconjuntos desses domínios para gerar novas

função que possuam inversas.

Exemplo: A função f(x) = sen x não é bijetora em seu domínio

de definição que é o conjunto dos números reais, pois

para um valor de y correspondem infinitos valores de

x, isto quer dizer que não podemos definir a inversa

de sen(x) em seu domínio. Devemos então restringir o

domínio para um subconjunto dos números reais onde

a função é bijetora.

FUNÇÃO ARCOSENO

Consideremos a função f(x) = sen x, com domínio no

intervalo [/2,/2] e imagem no intervalo [1,1].

A função inversa de f, denominada arco seno de x,

definida por f1

:[1,1] [/2,/2] é denotada por

f1

(x) = arcsen(x).

Lê-se: “ o arco cujo seno é x”

Gráfico da função arcoseno: o gráfico da inversa é

simétrico do gráfico de y = senx em relação à bissetriz

do 1º e 3º quadrantes.

Função arcocosseno

Seja a função g(x) = cos x, com domínio [0,] e

imagem [1,1]. De modo análogo ao estudo da função

seno, podemos definir a função de f, denominada arco

cosseno de x, definida por g1

:[1,1] ] [0,] e

denotada por: g1

(x) = arccos(x).

Lê-se: “ o arco cujo cosseno é x”.

Gráfico da função arcocosseno:

Função arcotangente

Dada a função f(x) = tan(x), com domínio (/2,/2) e

imagem em R, a função inversa de f, denominada

arcotangente é definida por f1

:R (/2,/2) e

denotada por: f1

(x) = arctan(x)

Lê-se: “ o arco cuja tangente é x”.


25

Gráfico da função arcotangente:

Função arcocotangente

Dada a função f(x) = cotg x, com domínio (0,) e

imagem em R, a função inversa de f, denominada

arcocotangente é definida por f1

:R] (0,) e

denotada por: f1

(x) = arccot(x)

Lê-se: “ o arco cuja cotangente é x”.

Gráfico da função arcocotangente:

Exemplos:

01) Calcular arc tg 3

SOLUÇÃO:

arc tg 3

tg 3 e 2 2

3

02) Calcular 1

y tg arc.sen2

Solução:

1arc sen

2

1sen

2 e

2 2

6

Como y = tg 3

y tg y6 3

03) Achar o domínio e o conjunto imagem da função

y = arc sen ( 4x 3)

solução:

y = arc sen ( 4x 3) seny 4x 3 e

y2 2

1 seny 1 1 4x 3 1

2 4x 4

1

x 12

Logo,

1D x / x 1 e

2

Im y / y2 2

Exercícios:

42) Calcular nos seguintes casos:

a) 1

arc sen 2

b) 3

arc cos 2

c) arc tg 3

d) 2arc tg 3

R: a)6

; b)

5

6

; c)

3

d)

2

43) Calcular o valor de y para:

a) 1

y cos arc sen3

b) 5

y tg arc cos13

c) 3

y tg arc sen5

R:a) 2 2

3; b)

12

5 c)

3

4

44) Determinar do domínio e o conjunto imagem das

funções:

y = arc sen 2x

y = arc cos ( 3x 1)

y = arc tg 3

4

x

R:a)1 1

2 2D x / x

e

2 2Im ` y / y

b) 2

03

D x / x e

0Im ` y / y


26

c) D e

02

Im ` y / y

1.37 Triângulo Qualquer

Lei dos Senos

Num triângulo qualquer, a razão entre cada lado e o

seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro

da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:

2

a b cR

sen Bsen A sen C

Demonstração: Para simplificar as notações iremos

denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo

nome do vértice, por exemplo para o triângulo de

vértices ABC os ângulos serão A, B e C

respectivamente, assim quando escrevermos sen(A)

estaremos nos referindo ao seno do ângulo

correspondente ao vértice A.

Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa

circunferência de raio R. Tomando como base do

triângulo o lado BC, construímos um novo triângulo

BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um

diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é

retângulo em C.

Temos três casos a considerar, dependendo se o

triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou

retângulo.

Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes

aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos

inscritos à circunferência que correspondem a um

mesmo arco BC. Então:

2

asen A

R

isto é,

2

aR

sen A

Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB,

encontraremos os outros quocientes

2

b cR

sen B sen C

Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que

correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é

dada por A' = A, pois são ângulos inscritos à

circunferência correspondentes a arcos replementares

BAC e BA'C. Então

2

asen A senA

R

isto é,

2

aR

sen A

Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB,

encontraremos os outros quocientes:

2

b cR

sen B sen C

Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um

triângulo retângulo, é imediato que


27

90 1b c

sen B , sen C e sen A sen ºa a

Como, neste caso a=2R, temos,

a b c

sen Bsen A sen C

Lei Dos Cossenos:

Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de

um lado é igual a diferença entre a soma dos

quadrados das medidas dos outros dois lados e o

dobro do produto das medidas desses lados pelo

cosseno do ângulo formado por estes lados.

a² = b² + c² 2bc cos( A )

b² = a² + c² 2ac cos( B )

c² = a² + b² 2ab cos( C C)

Demonstração: Temos três casos a considerar,

dependendo se o triângulo ABC é acutângulo,

obtusângulo ou retângulo.

Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo,

com ângulo reto no vértice A. A relação

a² = b² + c² 2bc cos(A)

recai no teorema de Pitágoras.

a² = b² + c²

uma vez que cos(A)=cos(/2)=0.

Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um

triângulo acutângulo com ângulo agudo

correspondente ao vértice A, como mostra a figura.

Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB

(altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo

vértice C. Aplicando o Teorema de Pitágoras no

triângulo CHB, temos:

a² = h² + ( c x)²

= h² + (c ²2cx + x²)

= (h² + x²) + c² 2cx (Equação 01)

No triângulo AHC, temos que:b² = h² + x²

e também cos(A)=x / b, ou seja, x = b cos(A)

Substituindo estes resultados na equação (Eq. 01),

obtemos:

a² = b² + c² 2bc cosA

Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo

ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A,

como mostra a figura.

Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB

(altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo

vértice C. Aplicando o Teorema de Pitágoras no

triângulo CHB, temos que:

a² = h² + ( c x)²

= h² + (c ²2cx + x²)

= (h² + x²) + c² 2cx (Equação 02)

No triângulo AHC, temos que b² = h² + x² e também:

cos(D)= x / b= cos( A) = cos(A), então, x = b

cos(A)

Substituindo estes resultados na equação (Eq.02),

obtemos:

a² = b² + c² 2bc cos(A)

Exemplos:

01) Dadas duas forças concorrentes F1 = 10 Kgf e F2

=15 Kgf, sabendo que formam um ângulo de 120º,

calcular a resultante.


28

Solução:

Aplicando a lei dos cossenos, temos:

2 2 2r 1 21 2

F F F 2F F cos60º

2 2 2r

1F 10 15 2.10.15.

2

2rF 175

rF 175

rF 5 7 Kgf

02) Num triângulo dois lados de medidas 4cm e 8cm

formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do

outro lado?

Solução:

Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:

x2 = 4

2 + 8

2 – 2.4.cos60º = 16 + 64 – 8.(1/2),

já que cos60º = 1/2.

x2 = 16 + 64 – 4 = 76

x2 = 2

2.19 x = 2 19 cm

03) Determine o comprimento do lado de um

hexágono regular inscrito num círculo de raio R.

Solução:

R = raio do círculo.

Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de

medidas congruentes, ou seja de medidas iguais.

Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado

PQ do hexágono regular será dado pela lei dos

cossenos por:

PQ2 = R

2 + R

2 – 2.R.R.cos60º = 2R

2 – R

2

PQ2 = R

2, de onde conclui-se: PQ = R, ou seja, a

medida do lado de um hexágono regular inscrito num

círculo de raio R é igual a R

03) Em uma região há um rio com curso irregular.

Sua largura não é constante e ele faz muitas curvas.

Entre os ponto A e B, situados em margens opostas,

deseja-se construir uma ponte. Para isso, é necessário

determinar a distância AB. O topógrafo, que está na

margem inferior assinala com uma estaca um ponto C

qualquer. Com a trena, ele mede a distância AC e

encontra 56 m. Com o teodolito ele mede os ângulos

BAC e ACB encontrando 118º e 35º,

respectivamente. Qual será o valor da distância AB?

Solução:

Vamos analisar o triângulo ABC. Se A =118º e C = 35º,

então podemos calcular o ângulo B . Como sabemos, a

soma dos triângulos é 180º.

118º B 35º 180º B 27º

Determinando AB = c e AC = b, a lei dos senos nos

informa que:

c b

senBsenC , ou seja,

c 56

sen35º sen27º

Utilizando uma calculadora científica, determinamos o

valor de c = 70,75 m.

Exercícios:

45) Num triângulo ABC, b = 7m, c = 5 m e Â= 60º.

Calcule a medida do lado a. R: 39a cm

46) Em um triângulo, são dados: a = 4cm , b = 3cm, c

= 3cm, calcule o cos Â. R: A = arc cos 1

9

47)Em um triângulo, são dados: A = 30º, B = 45º e a

= 4m . Calcule os lados b e c.

R: 4 2 2 2 b m e c= 2 6 m

48) Num triângulo, os lados que formam um ângulo de

60º, a medida de um é o dobro do outro. Calcular a

medida dos demais ângulos internos. R: 30º e 90º

Desafio final: O ângulo sob o qual um observador vê

uma torre duplica quando ele se aproxima 110m e

triplica quando se aproxima mais 50m. Calcular a altura

da torre. R: 88 m

F1 60º

120º

F2

apostila trigonometria armando

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