Trigonometria

PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO

Apostila 4

Trigonometria

Texto extraído do site

http://www.infoescola.com/matematica/trigonometria/

Autor Prof. Ailton Feitosa.

A trigonometria, palavra formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron

(medir), têm por objetivo o cálculo das medidas dos lados e ângulos de um triângulo.

Medir distâncias é uma necessidade antiga da humanidade, facilmente atendida no caso de envolver

pontos próximos. Basta verificar quantas vezes uma dada unidade de medida está contida no

comprimento a ser medido. Este é o princípio dos instrumentos mais comuns para medir

comprimentos: réguas, fitas métricas, trenas, etc.

Por que estudar Trigonometria?

Há situações, em que se deseja efetuar medidas envolvendo objetos que não são diretamente

acessíveis. Atualmente, a trigonometria não se limita apenas a estudar os triângulos. Sua aplicação se

estende a outros campos da Matemática, como análise, e a outros campos da atividade humana, como

a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil etc.

Observem algumas situações:

a. Você já parou para imaginar como os navegadores da antiguidade faziam para calcular a que

distância da terra eles encontravam-se enquanto navegavam?

b. Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna

simples.

c. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é

mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.

d. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento

de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Astrolábio (no passado)

Um dos mais antigos instrumentos

científicos, que teria surgido no século III

a.C. A sua invenção é atribuída ao

matemático e astrônomo grego Hiparco.

Teodolito (no presente)

Instrumento geodésico, que serve para

levantar plantas, medir ângulos reduzidos

ao horizonte e distâncias.

Relembrando as relações métricas no triângulo retângulo

Fórmulas necessárias

222 cba

nab

mac

nmh

bcha

.²

.²

.²

.

As Razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Características do triângulo retângulo e nome dos lados.

Tabela de valores seno cosseno e tangente dos ângulos fundamentais

Relações trigonométricas no triângulo qualquer

Fórmula fundamental da trigonometria

Sen²(x) + cos²(x) = 1

Exercícios

Em cada caso resolva o que se pede aplicando os conceitos de trigonometria.

2)

3)

4) Calcule o valor de x em cada um dos casos. a) b)

5) Determine o valor de x em cada caso c)

d) e)

6) Dois ciclistas partem do ponto P, no mesmo instante, segundo as direções indicadas na figura abaixo. A velocidade média de um é 15 km/h e a do outro é de 20km/h. após 4 horas, eles

estão em pontos A e B, respectivamente. Nesse instante qual a distância entre eles?

7) Uma rampa lisa, de 20m de comprimento, forma um ângulo de 30° com o plano

horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se horizontalmente de:

a) ( ) 17m b) ( ) 10m c) ( ) 15 m d) ( ) 5 m e) ( ) 8m

Funções trigonométricas As funções trigonométricas são representadas a partir dos valores dos ângulos notáveis em radianos. Observe o gráfico abaixo e seus respectivos valores. 1) A função seno

f(x)=sin(x)

-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Pelo gráfico pode-se observar que: Domínio = R Imagem [-1,1] Período onde a função passa a repetir 2

Tem intervalos crescentes e decrescentes. Exemplo: Represente graficamente a função

a) f(x) = 2 sen(x)

2) A função cosseno Observe agora que

f(x)=cos(x)

-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

D = R Imagem [-1,1] Período onde a função passa a repetir 2

Tem intervalos crescentes e decrescentes. A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo x. Exemplo: Represente graficamente a função

a) f(x) = 2 cos(x)

3) A função tangente Agora veja como se comporta a Tangente Como ela é a razão entre seno e cosseno, ela não é definida para cos(x) = 0

f(x)=sin(x)/cos(x)

-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

D = { }2

/ ZkekxRx

Imagem = R Período onde a função passa a repetir

È uma função crescente A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo x. Exemplo: Represente graficamente a função

a) f(x) = 2 tg(x)

4) A função cotangente Agora analisamos a cotangente A função cotangente corresponde a cos(x) / sen(x) não sendo definida para os pontos em que o seno se anula.

f(x)=cos(x)/sin(x)

-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

D = { }/ ZkekxRx

Imagem = R Período onde a função passa a repetir

È uma função decrescente A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo x. Exemplo: Represente graficamente a função

a) f(x) = 2 cotg(x)

3) A função secante Agora vamos observar como se comporta o gráfico da secante Como esta função é f(x) = 1/ cos(x) então temos que esta não é definida para os valores que anulam o cosseno

f(x)=1/cos(x)

-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

D = { }2

/ ZkekxRx

Imagem = ]-∞, -1] U[1,+∞[ Período onde a função passa a repetir 2

Tem intervalos crescentes e decrescentes A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo x. Exemplo: Represente graficamente a função

a) f(x) = 2 sec(x)

4) A função cossecante Finalmente vamos analisar a função cossecante Como esta função é f(x) = 1/ sen(x) então temos que esta não é definida para os valores que anulam o seno

f(x)=1/sin(x)

-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

D = { }/ ZkekxRx

Imagem = ]-∞, -1] U[1,+∞[ Período onde a função passa a repetir 2

Tem intervalos crescentes e decrescentes A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo x. Exemplo: Represente graficamente a função

a) f(x) = 2 cosec(x)

Esta questão envolve trigonometria e outros conceitos de mecânica dos sólidos