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30
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA (UnB) FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELETRICA Fundamentos de Otimização Definições: Função Objetivo : função que se deseja otimizar (minimizar ou maximizar) + custos + perdas + benefícios + desvios Restrições : São as condições que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo em que é otimizada a função objetivo. Estas condições são representadas por funções e/ou limites em variáveis. Região Factível : É a região delimitada pelo conjunto de restrições. Qualquer solução dentro desta região satisfaz simultaneamente as restrições. Soluções fora desta região de factibilidade são soluções infactíveis. Restrição Ativa : É uma restrição que faz parte do limite da região de factibilidade no qual ocorre a solução ótima de um problema de otimização restrito (R 1 , R 2 ). Restrição não ativa : É uma restrição que não faz parte do limite onde ocorre a solução ótima (R 3 ). X 1 R 1 R 2 Região Factível R 3 X 2 Max f(x 1 ,x 2 )

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  • UNIVERSIDADE DE BRASLIA (UnB) FACULDADE DE TECNOLOGIA

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELETRICA

    Fundamentos de Otimizao

    Definies:

    Funo Objetivo: funo que se deseja otimizar (minimizar ou maximizar)

    + custos + perdas + benefcios + desvios

    Restries:

    So as condies que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo em que otimizada a funo objetivo. Estas condies so representadas por funes e/ou limites em variveis.

    Regio Factvel:

    a regio delimitada pelo conjunto de restries. Qualquer soluo dentro desta regio satisfaz simultaneamente as restries. Solues fora desta regio de factibilidade so solues infactveis.

    Restrio Ativa:

    uma restrio que faz parte do limite da regio de factibilidade no qual ocorre a soluo tima de um problema de otimizao restrito (R1, R2).

    Restrio no ativa:

    uma restrio que no faz parte do limite onde ocorre a soluo tima (R3).

    X1

    R1 R2

    Regio Factvel R3

    X2

    Max f(x1,x2)

  • Exemplo:

    Minimizar ( ) 222121 41

    , xxxxf +=

    Sujeito a: 05),( 2121 =+= xxxxw

    0),(.),(11

    )0(2

    )0(1

    )0(2

    )0(1 =+

    =

    xxwxxf

    w

    Multiplicador de Lagrange

    5

    F=5

    ),( )0(2)0(1 xxf

    ),( )1(2)1(1 xxf

    ),( )2(2)2(1 xxf

    ),( )1(2)1(1 xxw

    ),( )0(2)0(1 xxw ),( )2(2)2(1 xxw

    X2

    X1

    5

    5

    514

    2

    1=

    =

    = fXX

    521 =+ XX F=5

  • 3.1.1. Funo Lagrangeana

    ),(.),(),,( 212121 xxwxxfxxL =

    222

    111

    .

    .

    x

    w

    x

    fx

    Lx

    w

    x

    fx

    L

    =

    =

    =

    2

    1

    2

    1

    2

    1.

    x

    w

    x

    w

    x

    fx

    f

    x

    Lx

    L

    0. == wfL

    No ponto de timo:

    0;0;021

    =

    =

    =

    L

    x

    Lx

    L

    No exemplo:

    ( ) ( )541

    ,, 2122

    2121 ++= xxxxxxL

    =+

    =

    =

    =+=

    ==

    ==

    52

    2

    2

    2

    5

    02

    0..21

    2

    1

    21

    22

    11

    x

    x

    xxL

    xx

    L

    xx

    L

    =

    =

    =

    1

    4

    2

    2

    1

    x

    x

    Tendo mais restries:

    ),(.),(.),(.),(),,,,( 2133212221112132121 xxwxxwxxwxxfxxL =

    =

    =

    3

    1212132121 ),(.),(),,,,(

    iii xxwxxfxxL

  • Condies:

    0;0;0;0;032121

    =

    =

    =

    =

    =

    LLL

    x

    Lx

    L

    Com restries de desigualdade:

    ( ) 0,..., 21 xxg

    ( ) 222121 41

    , xxxxfMinimizar +=

    S.a:

    05),( 2121 =+= xxxxw

    += 0551),( 2121 xxxxg

    0451),( 2121 += xxxxg

    4 5

    1

    X1

    X2

    5

    G(X1*, X2*) < 0 Restrio no ativa = 0

    G(X1*, X2*) = 0 Restrio est ativa > 0

  • 3.1.2. Condies de Kuhn-Tucker para caracterizar a soluo tima

    Minimizar ( )xf

    S.a.

    ( )

    ( ) Ngixg

    Nwixw

    i

    i

    ,....1,0

    ,....1,0

    =

    ==

    x vetor de dimenso N

    Funo Lagrangeana

    ==

    =

    Ng

    iii

    Nw

    iii xgxwxfxL

    11

    )(.)(.)(),,(

    Para um ponto de timo 000

    ,, x devem ser satisfeitas as seguintes

    condies:

    1. ( ) Nixx

    L

    i

    ,.....1,0,, 000 ==

    2. ( ) Nwixwi ,.....1,00 == 3. ( ) Ngixg i ,.....1,00 =

    4. ( )

    Ngixg

    i

    ii,.....1,

    00. 0

    =

    =

    Condio de folga complementar

  • 2.1. Despacho Econmico de Gerao sem levar em considerao a rede de distribuio.

    Custo Total de Operao

    ( ) ( )=

    =

    n

    iiPgCiPgC

    1 (1)

    Atendimento da carga:

    =

    +=n

    iPerdas

    TotalDi PPPg

    1 (2)

    Maxii

    Mini PgPgPg (3)

    Pg1

    Pg2

    Pgn

    PDTotal

    Ci(Pgi)

    Pgi PgiMin

    PgiMax

    Ci(Pgi)

    Pgi PgiMin PgiMax

  • 2.2. Despacho Econmico Sem perdas e sem limites de gerao

    Minimizar

    ( ) ( )=

    =

    n

    iii PgCPgC

    1

    S.a

    =

    =

    n

    i

    TotalDi PPg

    1

    Funo Lagrangeana:

    ( ) ( ) {44 344 2143421

    MW

    n

    i

    TotalDi

    MWH

    h

    n

    iiii PPgPgCPgL

    =

    == 1/$/$

    1., (4)

    Aplicando as condies necessrias para encontrar a soluo tima,

    nidPgdC

    PgL

    i

    i

    i

    ,....1,0 ===

    ii

    i CIdPgdC

    = (6)

    0== i

    i

    CIPgL

    (5)

    01

    =+=

    =

    TotalD

    n

    ii PPg

    L

    ( ) 2111111 121 PgbPgaCoPgC ++=

    ( ) 22222222 21 PgbPgaCoPgC ++=

    ( )PgC

    Pg

  • TotalD

    n

    ii

    n

    ii

    n

    iii

    n

    ii

    i

    i

    n

    ii

    dPPgdC

    dPgPgdC

    dPgPgdC

    dPgCIPgdC

    dPgdPgdCPgdC

    dCPgdC

    ..)(

    )(

    .)(

    .)(

    .)(

    )(

    1

    1

    1

    1

    1

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    (8)

    TotalDdPPgdC )(

    = (7)

    Num caso geral com n geradores,

    ( ) 221

    iiiiiii PgbPgaCoPgC ++= (9) [ ]

    [ ][ ][ ]

    [ ][ ] ;,.....,,

    ;,..,,

    ;1.........,,.........1,1

    ;...,,.........,

    ;..,,.........,

    ;,.....,,

    21

    21

    21

    21

    020100

    TnDDDD

    Tn

    T

    Tn

    Tn

    Tn

    PPPP

    PgPgPgPg

    e

    bbbb

    aaaa

    CCCC

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    (10)

    B = diag(b) (11)

    2222

    2 PgbaPgdC

    +==

    Pgdc

    Pg

    IC1

    IC2

    Pg1 Pg2 Pg2

    1111

    PgbaPgdC

    +==

    Pg

  • Min,

    ( ) .B.PgPg.Pga.CePg TTOT 21

    ++=C (12) S.a

    DTT.Pe.Pge == TotalDP

    Funo Lagrangeana:

    ( ) ( ) ( )TotalDPCL = .PgePgPg T,

    Condies Necessrias:

    DTT.Pe.Pge

    .eBPgaPg

    ===

    =+=

    TotalDP

    L

    L

    (13)

    Soluo analtica:

    .aB.eBPg 11 = . (14)

    Multiplicando a eq. (14) por Te

    T11T.a.eB.eBe = .TotalDP

    .e.Be.a.Be

    1T

    1T

    +=

    TotalDP (15)

    Inserindo a eq. (15) na eq. (14),

    .aB.eB.e.Be

    .a.BePg 111T1T

    += .

    TotalDP

    Pg += TotalDP. (16)

    Sendo que:

    ( ).aB

    .e.Be.a.Be.e.B

    0.e.Be

    .eB

    11T

    1T1

    1T

    1

    =

    >=

  • 2.3. Despacho Econmico com limites de capacidade

    Min

    ( )=i

    ii PgCC

    S.a = TotalD

    ii PPg

    { {Maxi

    Maxi

    i

    Mini

    Mini

    PgPgPg

    , i = 1,.........n

    ( ) ( ) ( )( )

    +

    +

    =

    i

    Maxi

    Maxi

    ii

    MinMini

    i

    TotalDi

    iii

    MaxMin

    i

    i

    PgPg

    PgPgPPgPgCL

    Pg ,,,

    De acordo com as C.N:

    iMin 0 iMax 0

    Pg1Min Pg2Max Pg2Min Pg2 Pg1 Pg1Max

    CI1 CI2

  • Maxi

    Maxi

    MaxiMax

    i

    Mini

    Mini

    MiniMin

    i

    PgLPg

    L

    PgLPg

    L

    ==

    ==

    .

    .

    C.N:

    niPgPgL

    niPgPgL

    PPgL

    CIPgL

    MaxiiMax

    i

    iMiniMin

    i

    i

    TotalDi

    Maxi

    Minii

    i

    ,.....1

    ,.....1

    0

    0

    ==

    ==

    ==

    =+=

    ( ) 0= iMaxiMini PgPg i = 1,......n 0Mini

    ( ) 0= MaxiiMaxi PgPg i = 1,......n 0Maxi

    Pelas condies de folga complementar:

    1) Se MaxiiMini PgPgPg Mini e 0= MiniiCI

    iMinii CICI

  • 3) Se Maxii PgPg =

    Ento,

    0>Maxi e 0=+ MaxiiCI

    iMaxii CICI >+=

    iMin

    PgiMin

    iMax

    PgiMax

  • Algortmo:

    1) CIMin = Min(CI) 2) CIMax = Max(CI) 3)

    2MaxMin CICI +

    =

    =iCI

    4) iii Pgba += i

    ii b

    aPg =

    5) Se iMaxi PgPg < Maxii PgPg = 6) Minii PgPg < Minii PgPg = 7) =

    ii

    Total PgPg

    8) Se TotalDTotal PPg > Ento MaxCI= v ao passo 3) 9) TotalDTotal PPg < Ento MinCI= v ao passo 3) 10) Pare.

    Pgi a soluo e o preo da energia.

    Ordem de mrito.

    Exemplo:

    G C0($/h) a ($/MWh) b ($/MWh) PgMin PgMax 1 100 20 0,05 0 400 2 200 25 0,10 0 300

    20 .2

    1.

    iiiiPgbPgaCC ++=

    Caso TotalDP

    (MW) Pg1

    (MW) Pg2

    (MW) CI1

    ($/MWh) CI2

    ($/MWh) C($/h

    A2 40 40 0 22 25 22 1140 B2 250 200 50 30 30 30 6675 C2 300 233,3 66,7 31,67 31,67 31,67 8217 D2 600 400(Max) 200 40 45 45 19300

    Pg1Min Pg2Max Pg2Min Pg2 Pg1 Pg1Max

    CI1 CI2

    C1Min

  • 2.4. Despacho Econmico de Custos Lineares por Parte

    Unidade Carga 10 1 20 15 1 + 2 20 PD 30 20 1 + 2 30 PD 40

    CI1

    MW 10 25 30

    a11=15

    a11=25

    a13=45

    CI1

    MW 20 30 35

    a11=10

    a11=20

    a13=40

    Ci($/h)

    MW

  • 2.5. Despacho Econmico com Perdas

    1) Se as duas unidades geradoras so despachadas com 250 MW cada, ento;

    P1 + P2 < 500, dado que a perda na linha seria de 12,5 MW.

    Esta soluo infactivel.

    Fazendo o despacho econmico temos:

    2) Min C1(P1) + C2(P2)

    S.a

    PerdasTotal

    D PPPP +=+ 11

    40070400700002,0

    2

    1

    21

    =

    PP

    PPPerdas

    ( ) ( ) ( )212211 500 PPPPCPCL Perdas +++= (38)

    Condies necessrias ignorando limites de capacidade:

    0500

    01

    01

    21

    22

    2

    11

    1

    =+=

    =

    =

    =

    =

    Perdas

    Perdas

    Perdas

    PPPLP

    PCIPL

    PPCI

    PL

    Ento,

    P1 P2 Min = 70 MW Max = 400 MW

    500MW Min = 70 MW Max = 400 MW

    Perdas 0,0002P12 }

    }

    22

    11

    004,07

    004,07

    PCI

    PCIba

    ba

    876

    876

    +=

    +=

  • ( )

    00002,0500

    0004,07

    0004,01004,07

    2121

    22

    111

    2

    1

    =+=

    =+=

    =+=

    PPPL

    PPL

    PPPL

    CI

    CI

    48476

    48476

    Soluo do sistema no linear de equaes:

    P1 = 178,882 MW P2 = 327,496 MW = 8,31 R/MWh

    211011 .2

    1. PbPaCC ++=

    222022 .2

    1. PbPaCC ++=

    Custo:

    hCC /$15,462321 =+

    Perdas:

    6,378 MW

    3) Suponha que decidimos ignorar a influncia econmica das perdas, e despachamos a unidade 1 suprindo asperdas.

    Neste caso,

    ( ) ( ) hCC /$84,4661250932,263 21 =+

    4) Soluo com perdas mnimas

    P1 = 263,932 MW

    P2 = 250 MW 500MW

    Perdas =13,932 P2 = 250 MW

  • P2 = 400 MW P1 = 102,084 MW

    PPerdas = 2,084 MW

    ( ) ( ) hCC /$43,4655400084,102 21 =+

    Fluxo de Carga Linearizado. (F.C. CC)

    Utilizado para estudos de planejamento e expanso da rede. No leva em considerao o problema QV. Objetivo: Ter uma soluo indicativa para estimar os fluxos na rede. Garante sempre convergncia

    Linearizao

    kmkmmkkmmkkkmkm SenbVVCosVVVgP = )( 2 (1) kmkmmkkmmkmkmmk SenbVVCosVVVgP += )( 2 (2)

    Perdas na Linha:

    )2( 22 kmmkmkkmmkkm CosVVVVgPP +=+ = Perdas (3)

    Suponha que: 1. as perdas de potncia ativa so nulas; ou seja,

    rkm

  • kmkmmkmkkm SenbVVPP == (4)

    Introduzindo as suposies anteriores nesta ltima equao, temos,

    km

    kmkm

    xP

    =

    ou seja, km

    mkkm

    xP =

    (6)

    Lembrando os circuitos em CC:

    (7)

    As equaes (6) e (7) tem aspecto similar.

    Formulao Matricial

    No circuito cc: EYI .=

    F.C Linear:

    kmkmkm xP .1= (12)

    ==

    kk mkmkm

    m

    kmk xPP .1 ; para k = 1,2,....NB (13)

    ( )

    +

    =

    kk mmkm

    m

    kmkk xxP .11 (14)

    Ento a representao matricial :

    B'.P =

    vetor de ngulos das tenses nodais k (NBx1)

    Pk

    Ikm

    rkm

    m

    Vm Vk

    k

    km

    mkkm

    r

    VVI

    =

  • P vetor de injees lquidas de potncia ativa. 'B Matriz tipo admitncia nodal, e cujos elementos so:

    =

    =

    kmkmkk

    kmkm

    xB

    xB1

    1

    '

    '

    (16)

    Problema : A matriz 'B singular com dimenso (NBxNB-1), dado que as perdas de transmisso foram desprezadas e portanto a soma das componentes de P nula. A injeo de potncia numa barra pode ser obtida a partir da soma algbrica das demais.

    Para resolver este problema, uma equao do sistema (15) eliminada e a correspondente barra considerada barra de referncia, k = 0. Desta forma o sistema passa a ser no singular e com dimenses NB-1 e os ngulos das outras NB-1 barras podem ser determinados a partir da injeo de potncia especificada.

    Exemplo:

    =

    422253235

    B'

    B'.P = ; neste caso ,

    =

    3

    2

    1

    .

    422253235

    0.15.0

    5.1

    Sistema reduzido:

    =

    3

    2.

    4225

    0.15.0

    P1=1.5

    P3 = -1.0

    1

    3

    P2 = -0.5

    X13=1/2 X23=1/2

    X12=1/3

    Barra de referncia a barra 1. 1 = 0

    2 P1=1.5

    P3 = -1.0

    1

    3

    P2 = -0.5

    X13=1/2 X23=1/2

    X12=1/3

    Barra de referncia a barra 1. 1 = 0

  • Soluo:

    rrrP'B .)( 1=

    =

    0.15.0

    16/58/18/14/1

    3

    2

    =

    8/34/1

    3

    2

    Fluxos:

    3/1)4/1(0

    12

    1212

    ==

    xP 75.012 = P

    2/1)8/3(0

    13

    1313

    ==

    xP 75.013 = P

    2/1)8/3()4/1(

    23

    2323

    ==

    xP 25.023 = P

    FLUXO DE CARGA LINEAR TIMO

    )( EG P,PfMinimizar Sujeito a :

    maxmin

    maxmax

    PPPPPPB

    f

    DG

    ==

    fluxofluxo

    Onde,

    1. )()(1

    =

    =

    n

    iiGi PCf EG P,P o custo total de gerao com carga inelstica fixa.

    2. )()()(11

    ==

    =

    n

    iiEi

    n

    iiGi PWPCf EG P,P o custo de gerao considerando carga

    elstica em relao ao preo. W uma funo de beneficio dos consumidores.

    Observe que: AXP T1f =

    .

    Funo Lagrangeana para o caso 1. com carga inelstica:

    )PA(XP)(BP,,P, maxfT1TT ++= )()( fl

    Condies necessrias de otimalidade:

  • 00PAX

    0PAX

    0PB

    0AXB

    0CIP

    max

    fT1T

    max

    fT1

    1T

    =

    =

    ==

    =+=

    ==

    ][

    l

    l

    l

    l

    Os multiplicadores de Lagrange so os preos nodais.

    Caso existam linhas saturadas pode ser mostrado com as equaes anteriores que os agentes do sistema devem pagar:

    ===

    =+n

    iiDi

    m

    kkfk

    n

    iiGi PPP

    11

    max

    1

    Como 0max kfk P o custo total de gerao menor que o montante pago pelas cargas.

    O valor 01

    max

    11

    >== ===

    m

    kkfk

    n

    iiDi

    n

    iiGi PPPMS chamado de Merchandising

    Surplus.

    FLUXO DE CARGA TIMO (FCO)

    )( EG P,PfMinimizar Sujeito a :

    maxmin

    maxmin

    maxmin

    maxmin

    maxmax ),(),(

    ),(

    vvv

    QQQPPP

    PvPP

    vQQQvPPP

    f

    DG

    DG

    =

    =

    GGG

    GGG

    fluxofluxo

    q

    p

  • Exemplo: