apostila simulink

SINAIS E SISTEMAS APLICADOS

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Professor: José Felipe Haffner 1

Aula 3 - Simulação de Sistemas Dinâmicos

Introdução ao Simulink

Algoritmos de Integração Numérica

Usando Componentes Elétricos no Simulink

Simulando Sistemas Dinâmicos de Qualquer Natureza

Exercícios

Introdução ao Simulink

Será apresentado neste experimento, o programa de simulação gráfica que acompanha o Matlab,

denominado Simulink. Este programa possibilita a simulação de sistemas dinâmicos lineares e não-lineares

em nível de diagrama de blocos, sendo empregado para análise e projeto de sistemas de controle.

O Simulink pode ser chamado através da tela de comandos do Matlab ou pela barra de ferramentas, conforme mostra a Figura 3.1.

Fig. 3.1: Forma de acesso ao Simulink.

A tela principal do Simulink, Figura 3.2, é composta por um conjunto de comandos básicos na

barra superior, e por um conjunto de funções agrupadas em pastas. Estas funções pré-definidas serão empregadas para simulação dos mais variados tipos de sistemas. Na Figura 3.2 existem 17 pastas, cada um

deles contendo um conjunto específico de funções, que são:

Simulink

Communication Blockset

Control System Control

DSP Blockset

Dials & Gauges Blockset

Fixed-Poit Blockset

Fuzzy Logic Toolbox

MPC Block

NCD Blockset

Neural Network Blockset

Power System Blockset

Real-Time Windows Target

Real-Time Workshop

Simulink Extras

State Flow

System ID Block

xPC Target





Fig. 3.2: Tela principal do Simulink.

Para que o usuário tenha acesso às funções dos respectivos blocos ou pastas, deve-se clicar duas

sobre o bloco ou pasta de interesse. Na Figura 3.3, observa-se o conjunto de funções existentes no bloco

denominado “Continuous”.

Fig. 3.3: Funções contidas na pasta "Continuous".

Para criar um novo

ambiente ou para abrir

um ambiente de

simulação já existente.





Para utilizar cada uma destas funções, o usuário deverá copiar a função de interesse para dentro do

seu arquivo de trabalho, que deverá ser aberto através da opção “File” na barra de comandos da janela. . Os ambientes de simulação construídos no Simulink tem extensão de arquivo mdl. Como exemplo, considere o

ambiente de simulação “untitled1.mdl” apresentado na Figura 3.4. O exemplo é composto por um bloco

que contém um sinal tipo senoidal, denominado “Sine Wave”e por um dispositivo de visualização dos

resultados, denominado “Scope”. Cada uma destas funções possui parâmetros que podem ser ajustados

clicando duas vezes em cima da função que se deseja usar, como pode ser observado na Figura 3.5. O

traçado das linhas que interligam os blocos é realizado usando a tecla direita do mouse.

Fig. 3.4: Diagrama de simulação no Simulink.

Parâmetros do Bloco “Sine Wave” Visualização do Bloco “Scope”

Fig. 3.5: Janelas abertas ao acionar os blocos da Fig. 3.4.

As telas de ajuste de parâmetros do bloco de visualização dos resultados “Scope” são mostradas na

Figura 3.6. O parâmetro mais importante deste bloco consiste no limite de pontos armazenados. O ajuste

inicial deste parâmetro é 5000 pontos Para visualizar completamente o sinal desejado pode ser necessário

aumentar esse valor. Alem disso, pode-se armazenar o resultado obtido numa variável no ambiente de

trabalho do Matlab, “Workspace”.

Parâmetros de ajuste do

Bloco “Scope”





Fig. 3.6: Caixas de dialogo para o ajuste do bloco “Scope”.

Depois de montado o ambiente é necessário configurar os parâmetros de simulação acessando a

opção mostrada na Figura 3.7. Inicialmente deve-se selecionar o algoritmo de integração numérica usado

para resolver as equações diferenciais presentes no ambiente. Posteriormente seleciona-se o passo de

integração e o tempo de simulação desejado. Em sistemas simples é conveniente usar o algoritmo ODE45 e ajustar o passo de integração de forma automática, deixando o trabalho de selecionar o passo ao encargo do

próprio programa. A caixa de dialogo dos ajustes dos parâmetros de simulação é mostrada na Figura 3.8.

Fig. 3.7: Ajuste dos parâmetros de simulação”

Fig. 3.8: Caixas de dialogo para o ajuste dos parâmetros de simulação.





Para ligar o ambiente de simulação usa-se a opção “Simulink/Start”mostrada na Figura 3.7 ou o

ícone disponível na Barra de ferramentas. Para interromper a simulação usa-se a opção “Simulink/Stop” ou ícone disponível na Barra de ferramentas. Na Figura 3.9, o ambiente de simulação é ligado e o resultado é

mostrado na Janela gráfica do bloco “Scope”.

Fig. 3.9:Resultado obtido após ligar o ambiente de simulação.

O Simulink tem disponível vários exemplos que podem ser consultados para verificar e aprender

as possibilidades do emprego do programa. Na Figura 3.10, é apresentado o arquivo “dblcart1.mdl” que mostra a simulação de um sistema massa-mola.

Fig. 3.10: Simulação de um sistema massa-mola.

Para ligar o

ambiente de

simulação.





Algoritmos de Integração Numérica

Os sistemas dinâmicos implementados no Simulink podem ser regidos por um conjunto diverso de equações diferencias lineares ou não-lineares, que possuem ou não solução analítica. A solução apresentada

pelo MatLab/Simulink, para tais sistemas dinâmicos, é puramente numérica.

Para entender rapidamente o princípio básico dos algoritmos de integração numérica empregados,

consideremos a seguinte equação diferencial ordinária de primeira ordem

( , )y f t y (3.1)

com condições iniciais y(t0) em t =t0, doravante referenciada como y0. Começando do valor inicial no

tempo t0, a tarefa do método numérico é determinar as aproximações da solução y(t), nominalmente y1, y2,... nos instantes t1, t2,... até o instante final da simulação. Integrando a equação (1) do ponto yn no

instante tn até o próximo instante tn+1, obtém-se

y y f t y dtn nt

t

n

n

11

( , ) (3.2)

que pode ser representada através da seguinte equação de predição:

y yn n n 1 h (3.3)

Comparando o segundo termo do lado direito das equações (3.2) e (3.3), conclui-se que

1 1

hf t y dt

n t

t

n

n( , ) (3.4)

Desta forma, a função incremento, , pode ser interpretada como a média da inclinação da variável y durante o intervalo de tempo hn definido por tn+1-tn.

Na barra de comandos da janela de trabalho do Simulink, o usuário tem a sua disposição através

da opção “Simulation”, um conjunto de algoritmos de integração numérica, visualizáveis através da opção

Parameters. Escolhendo esta opção o usuário poderá selecionar o método de integração empregado para a

simulação determinando também o conjunto de parâmetros necessários para que a simulação seja

adequadamente realizada, conforme mostra a Figura 3.11. Na Tabela 3.1 é apresentada uma descrição sumaria dos principais algoritmos usados pelo Simulink.





Fig. 3.11: Métodos e parâmetros dos algoritmos de integração.

Tab. 3.1: Principais algoritmos de integração do Simulink.[1].

O método de Euler emprega a derivada temporal de y no instante tn como sendo a função

incremento, isto é

y y y t tn n n n

hn

1 1 ( )

(3.5)

O erro associado ao método de Euler pode ser estabelecido considerando como valor da função no

instante tn+1, descrito pela expansão da função em série de Taylor começando no ponto (tn,yn), ou seja





y t y t y t hy t h y t h

mRn n n n

n nm

nm

m( ) ( ) ( )( )

!....

( )

!

( )

1

2

2 (3.6)

onde Rm denota todos os termos restantes de m+1 até o infinito. Rm fornece uma estimativa do erro de

truncamento local, genericamente dado por

Ry

mh tm

mm

n

( ) ( )

( )!

11

11

t n (3.7)

Comparando a equação (3.5) com a equação (3.6), percebe-se claramente que o termo restante é da

ordem de (h2), ou seja O(h2). Uma vez que o número de passos sobre um intervalo de tempo qualquer será

inversamente proporcional ao incremento de integração h, conclui-se que o erro de truncamento acumulado

esta na ordem de h, isto é O(h).

O método de Runge-Kutta utiliza termos de maior ordem da expansão em série de Taylor,

apresentada na equação (3.6), sem calculá-los explicitamente. A equação geral de predição de um algoritmo

de Runge-Kutta de ordem m é dada por

y y a k a k a k hn n m m n 1 1 1 2 2( .... ) (3.8)

Claramente, comparando-se (3.8) com (3.3), a função incremento do RK de ordem m é

( , , ) ( .... )t y h a k a k a kn n n m m 1 1 2 2 (3.9)

A função incremento do RK de ordem m pode ser interpretada como sendo uma média ponderada

das inclinações de vários pontos entre tn e tn+3. Como exemplo, considerando m = 4 (RK de ordem 4), os k’s

da equação (3.8) são determinados de acordo com a seguinte formulação:

k f t y

k f th

yk

h

k f th

yk

h

k f t h y k h

n n

nn

n n

nn

n n

n n n n

1

21

32

4 3

2 2

2 2

( , )

,

,

,

(3.10)

sendo a expressão final de yn+1 dada por

y yh

k k k kn nn

1 1 2 3 462 2( ) (3.11)

Os métodos de Euler e RK, foram rapidamente explanados por serem bastante comuns, e também

por serem dois métodos empregados pelo MatLab/Simulink para tarefas de integração numérica. Deve-se

notar, que embora o algoritmo de RK apresente uma complexidade maior, este apresenta um erro de

truncamento acumulado menor.





Usando Componentes Elétricos no Simulink

OO SSiimmuulliinnkk tteemm ttooddooss ooss rreeccuurrssooss nneecceessssáárriiooss ppaarraa uumm pprrooggrraammaa ddee ssiimmuullaaççããoo ccoommpplleettoo.. AAlléémm

ddiissssoo,, eexxiisstteemm oouuttrrooss rreeccuurrssooss qquuee ppeerrmmiitteemm,, ppoorr eexxeemmpplloo,, eemmuullaarr ssiisstteemmaass eellééttrriiccooss,, ssiisstteemmaass mmeeccâânniiccooss,,

mmaaqquuiinnaass ddee eessttaaddoo ee ttééccnniiccaass ddee pprroocceessssaammeennttoo ddee ssiinnaaiiss.. TTaammbbéémm éé ppoossssíívveell eemmpprreeggaarr oo SSiimmuulliinnkk ppaarraa

rreeaalliizzaarr aa ttaarreeffaa ddee ccoonnttrroollee eemm tteemmppoo rreeaall ddee uumm pprroocceessssoo.. NNoo MMaattllaabb uumm ccoonnjjuunnttoo ddee ffuunnççõõeess

eessppeecciiaalliizzaaddaass éé cchhaammaaddoo ddee ““TToooollbbooxx”” ee nnoo SSiimmuulliinnkk éé cchhaammaaddoo ddee ““BBlloocckksseett””.. NNaa FFiigguurraa 33..1122 éé

aassssiinnaallaaddoo oo PPoowweerr SSyytteemm BBlloocckksseett.. OO PPoowweerr SSyytteemm BBlloocckksseett ccoonnssiissttee ddee vvaarriiaass ppaassttaass qquuee ccoonntteemm ooss

bbllooccooss nneecceessssáárriiooss ppaarraa aa ssiimmuullaaççããoo ddee ssiisstteemmaass eellééttrriiccooss.. EEssssee BBlloocckksseett ppooddee sseerr uussaaddoo rreeaalliizzaarr aa

ssiimmuullaaççããoo ddiirreettaammeennttee ddoo eessqquueemmaa eellééttrriiccoo sseemm nneecceessssiiddaaddee ddoo eemmpprreeggoo ddeeccllaarraaddoo ddee eeqquuaaççõõeess

ddiiffeerreenncciiaaiiss..

Fig. 3.12: Recursos Disponiveis do Simulik.

OOss bbllooccooss ddoo PPoowweerr SSyytteemm BBlloocckksseett ssããoo ccoonnssiiddeerraaddooss eessppeecciiaaiiss ee nnoorrmmaallmmeennttee ssóó ppooddeemm sseerr

iinntteerrlliiggaaddooss aaooss ddeemmaaiiss bbllooccooss ddoo SSiimmuulliinnkk uussaannddoo bbllooccooss ccoonnvveerrssoorreess eessppeecciiaaiiss ccoonnffoorrmmee mmoossttrraa aa FFiigguurraa

33..1133.. DDeevviiddoo aa pprreesseennççaa ddee nnããoo lliinneeaarriiddaaddeess pprreesseenntteess eemm aallgguunnss bbllooccooss ddeessttee ““BBlloocckksseett””,, ddeevvee--ssee tteerr uumm

ccuuiiddaaddoo eessppeecciiaall nnaa eessccoollhhaa aaddeeqquuaaddaa ddoo aallggoorriittmmoo ddee ssiimmuullaaççããoo.. CCoossttuummaa--ssee eemmpprreeggaarr oo aallggoorriittmmoo

OODDEE2233ttbb..





Fig. 3.13: Uso de blocos conversores entre o Power System Blockset e o Simulink.

Para mostrar o emprego do Power System Blockset para simular circuitos eletricos será usado o sistema apresentado na Figura 3.14 que consiste de um resistor e um capacitor. Os componentes resistor,

capacitor e indutor são gerados a partir do ajuste dos parametros do bloco “Series RLC Branch” mostrado

na Figura 3.15 e na Tabela 3.2. A Figura 3.16 mostra a localização dos diversos blocos do Simulink e do

Power System Blockset que são necessarios para implementar o circuito eletrico da Figura 3.14..As Figuras

3.17 e 3.18 mostram respectivamente o ambiente de simulação completo e os sinais eletricos. Para gerar os

sinais de tensão no capacitor e de corrente da Figura 3.18 foi considerado o capacitor inicialmente

descarregado e a tensão de alimentação igual a 10 Volts. Os valores do capacitor e o do resistor

empregados na simulação foram respectivamente de 100 F e 100. Complementando as informações da simulação verifica-se que foi usado o algoritmo de integração ODE23tb e o tempo de simulação de 0.1

segundos.

Fig. 3.14: Exemplo de um circuito elétrico composto por uma resistência e um capacitor.

Componente Parâmetros do bloco “Series RLC Branch”

Resistance R Inductance L Capacitance C

Resistor Valor em Ohms 0 Inf

Indutor 0 Valor em Henry Inf

Capacitor 0 0 Valor em Faraday

Tab. 3.2: Ajuste do bloco “Series RLC Branch”.

Blocos do Power System Blockset

Blocos do Simulink

R

+

Vi

_

I C





Fig. 3.15: Caixa de dialogo do Bloco “Series RLC Branch”.

Fig. 3.16: Localização dos blocos necessarios para simular o circuito eletrico da Fig. 3.13.





Fig 3.17: Simulação do comportamento dinâmico do circuito eletrico da Fig. 3.14 utilizando em conjunto blocos do Power System Blockset e do Simulink .

(a) Sinal de tensão no capacitor, Eixo X: tempo

[segundo] e Eixo Y Tensão [Volts].

(b) Sinal de corrente Eixo X: tempo [segundo] e

Eixo Y Corrente [Ampere].

Fig. 3.18: Sinais do ambiente de simulação da Figura 3.13.

Simulando Sistemas Dinâmicos de Qualquer Natureza

Para simular sistemas dinâmicos de qualquer natureza usa-se um conjunto de equações

diferenciais de primeira ordem que reproduzam com fidelidade o comportamento dinâmico. O exemplo do

circuito RC apresentado na Figura 3.14 é descrito por (3.12) e (3.13).

)(1

)(1)(

tVRC

tVRCdt

tdVic

c (3.12)

)(1)(

tICdt

tdVc (3.13)





Para resolver a equação diferencial de primeira ordem (3.12) emprega-se operação inversa a

derivada, ou seja, a integração.

dttVRC

tVRC

tV icc )(1

)(1

)(

(3.14)

dt

tdVCtI c )(

)( (3.15)

A Figura 3.19 mostra a localização dos diversos blocos do Simulink que são necessarios para

implementar a equação diferencial (3.14). A Figura 3.20 mostra o ambiente de simulação completo. Para

gerar os sinais de tensão no capacitor e de corrente foram utilizadas as mesmas considerações adotadas no

exemplo anterior. Somente o algoritmo de integração foi trocado para o ODE45 que é o algoritmo padrão

do Simulink. Os sinais de corrente e de tensão são identicos aos obtidos no exemplo anterior pois o circuito

eletrico é o mesmo, só mudou a maneira de implementar a simulação.

Fig. 3.19: Localização dos blocos necessarios para simular a equação diferencial (3.14).

Fig. 3.20: Ambiente de Simulação das equações diferencias (3.14) e (3.15).





A Figura 3.21 mostra as caixas de dialogo dos blocos “Gain”, “Sum” e “Integrator” necessários

para resolver uma ou mais equações diferenciais de primeira ordem. No contexto do exemplo a condição inicial assinalada na caixa de dialogo do bloco “Integrator” se refere à tensão existente previamente no

capacitor antes de ligar a simulação.

(a) O valor do ganho deve ser ajustado.

(b) Os sinais e o número de entradas do bloco “Sum”

podem ser alterados.

(c) A condição inicial do bloco “Ïntegrator” pode ser

alterada.

Fig. 3.21: Caixas de Dialogo dos blocos “Gain”, “Sum” e “Integrator”.

Quando um sistema dinâmico exige um numero significativo de equações diferenciais de primeira

ordem, sua representação usando blocos integradores pode tornar-se muito complexa. Uma boa alternativa

nesse caso é representar as equações diferenciais de primeira ordem num conjunto de duas equações

matriciais. A primeira equação matricial (3.16) é chamada de equação de dinâmica do sistema que

relaciona todas as derivadas envolvidas nas equações que descrevem o sistema.

)()()(

tButAxdt

tdx ou )()()( tButAxtx (3.16)

onde: u(t) é o vetor das variáveis de entrada do sistema;

x(t) é o vetor das variáveis que são aplicadas a operação de derivação;

A é denominada matriz de dinâmica;

B é matriz que pondera cada uma das variáveis de entradas.

A segunda equação matricial (3.17) é chamada de equação de saída do sistema que determina as

variáveis de saída do sistema.

)()()( tDutCxty (3.17)





onde y(t) é o vetor variáveis de saídas;

C é matriz de saída; D é a matriz que pondera a influência direta das variáveis de entradas nas variáveis de saída.

Reescrevendo as equações diferenciais que representam o comportamento dinâmico do circuito

RC definidas em (3.14) e (3.15), tem-se:

)(1

)(1

)( tuRC

txRC

tx (3.18)

)()(1 txty (3.19)

)(1

)(1

)(1

)(1

)()(2 tuR

txR

tuRC

txRC

CtxCty

(3.20)

onde: u(t) é a tensão de alimentação, Vi(t);

x(t) é a tensão sobre o capacitor, Vc(t);

y1(t) é também a tensão sobre o capacitor, Vc(t); y2(t) é a corrente, I(t);

)(

)()(

2

1

ty

tyty é o vetor das variáveis de saída do sistema.

As equações (3.18) a (3.20) pode ser escrita na forma matricial de acordo com as equações (3.16) e (3.17), ou seja:

)(/1

0)(

/1

1

)(

)(

)(1

)(1

)(

2

1tu

Rtx

Rty

ty

tuRC

txRC

tx

(3.21)

A Figura 3.22 mostra o ambiente de simulação completo da equação matricial (3.21). Para gerar os

sinais de tensão no capacitor e de corrente foram utilizadas as mesmas considerações adotadas no exemplo

anterior, inclusive o algoritmo de integração usado é o ODE45. Os sinais de corrente e de tensão são

identicos aos obtidos no exemplo anterior pois só foi alterada a maneira de implementar a simulação.

Fig. 3.22: Ambiente de Simulação usando a equação matricial (3.21).





A Figura mostra a caixa de dialogo do bloco responsável por implementar a equação matricial

(3.21) no ambiente de simulação.

Fig. 3.23: Caixa de Dialogo do bloco “State-Space”.

Exercícios

1. Equacionar o circuito elétrico abaixo, enunciando as leis ou propriedades físicas utilizadas.

Representar o sistema na forma similar a um sistema de equações algébricas lineares,

considerando o caso em que Vi = 0 , C=100 F, R=100 e L= 100 Escolha um valor inicial

valido no instante t =0 para a variável VC(t).

.

As equações que descrevem o sistema são:

)()()()( tVtVtVtV CLRi

onde

)()( tIRtVR , dt

tdILtVL

)()( e dttI

CtVC )(

1)(

+

Vi

_

R L

I C+

Vi

_

R L

I C





Construa um ambiente de simulação com blocos

“Integrator” usando as equações diferenciais que

representam o comportamento dinâmico do sistema

Construa um ambiente de simulação com o bloco

“State-Space” usando a equação matricial que

representam o comportamento dinâmico do sistema.

)(1

)(1

)()(

)(1

)(

tVL

tVL

tIL

RtI

tIC

tV

ic

C

Considerando que:

)()(1 tItx , )()(2 tVtx c , )()( tVtu i

)t(I)t(y1 e )t(V)t(y c2

Obtêm-se:

)()(

)()(

)(1

)()(1

)(

)(1

)(

22

11

212

21

txty

txty

tuL

txL

Rtx

Ltx

txC

tx

Tab. 3.3: Equacionamento do Exercício 1.

2. A figura abaixo ilustra um sistema de dois tanques interligados, cada um deles com formato

cilíndrico cuja área da seção transversal é dada respectivamente por A1 e A2.. A resistência a

passagem do liquido pelas válvulas C1 e C2 é indicada pelos parâmetros R1 e R2. Representar o

sistema na forma similar a um sistema de equações algébricas lineares, considerando o caso em que

Qi = 0.

Escolha um conjunto de parâmetros {A1 , A2 , R1 , R2) adequados para simular o sistema. Observação R1 ou R2 → ∞ indica válvulas fechadas.

Escolha um valor inicial valido no instante t =0 para a variável H1(t).





As equações que descrevem o sistema são:

)t(Q)t(Qdt

)t(dHA

)t(Q)t(Qdt

)t(dHA

R

)t(H)t(Q

R

)t(H)t(H)t(Q

212

2

1i1

1

2

22

1

211







)t(HR

1

R

1

A

1)t(H

RA

1)t(H

)t(HRA

1)t(H

RA

1)t(Q

A

1)t(H

2

212

1

12

2

1

11

1

11

i

1

1

Considerando que:

)t(H)t(x 11 , )t(H)t(x 22 , )t(Q)t(u i

)t(H)t(y 11 , )t(H)t(y 22 ,

)t(Q)t(y 13 e )t(Q)t(y 24

Obtêm-se:

)t(xR

1)t(y

)t(xR

1)t(x

R

1)t(y

)t(x)t(y

)t(x)t(y

)t(xR

1

R

1

A

1)t(x

RA

1)t(x

)t(uA

1)t(x

RA

1)t(x

RA

1)t(x

2

2

4

2

1

1

1

3

22

11

2

212

1

12

2

1

1

11

1

11

1






3. A figura abaixo ilustra um sistema do tipo massa, mola e amortecedor. Representar o sistema na

forma similar a um sistema de equações algébricas lineares, considerando o caso em que F(t) = 0.

Admite-se que o coeficiente de amortecimento b=1.0, a constante da mola k=2 N/m e a massa do

carro m=5 Kg. Não há entradas no sistema. Considerando-se a deflexão inicial igual 1m da posição

de equilíbrio.

As equações que descrevem o sistema são: )()()()( tFtFtFtF bkM

onde

2

2 )()(

dt

txdMtFM , )()( txktFk e

dt

tdxbtFb

)()(







Considerando que dt

tdxtv

)()(

)(1

)()()(

)()(

tFM

tvM

btx

M

ktv

tvtx

Considerando que:

)()(1 txtx , )()(2 tvtx e )()( tFtu

Obtêm-se:

)()(

)()(

)(1

)()()(

)()(

22

11

212

21

txty

txty

tuM

txM

btx

M

ktx

txtx


Bibliografia

[1] Curso de Simulink 2.0 – Modelagem, Simulação e Análise de Sistemas- 1º Edição,

Laboratório de Engenharia Elétrica, Universidade do estado do Rio de Janeiro.

F(t)

x(t) b

k

M

apostila simulink

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