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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Resistncia dos Materiais I- EMNotas de Aula

Profa. Maria Regina Costa Leggerini

Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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CAPTULO IREVISO DE MECNICA GERAL CONCEITOS BSICOSI . FORA A. CONCEITO: Fora toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou provocar deformao em um corpo. uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expresso da fsica:

r F = m.aonde: F = fora m = massa do corpo a = acelerao provocada Sendo fora um elemento vetorial somente se caracteriza se forem conhecidos: direo sentido mdulo ou intensidade ponto de aplicao Exemplo 1: Fora provocando movimento

r F

Exemplo 2: Fora provocando deformao

r F

Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Exemplo 3: PESO DOS CORPOS: O peso dos corpos uma fora de origem gravitacional que apresenta caractersticas especiais:

Mdulo: P = m.g Direo: Vertical Sentido: de cima para abaixo

r

r

PB. UNIDADES

Ponto de aplicao: centro de gravidade do corpo

Existem muitas unidades representando foras sendo as mais comuns: N - Newton 1 kgf = 10 N kN - kiloNewton 1 kN = 103 N kgf - kilograma fora 1 kN = 102 kgf

1 kN = 103 N = 102 kgfC. CARACTERSTICAS DAS FORAS

1. Princpio de ao e reao:Quando dois corpos se encontram, toda a ao exercida por um dos corpos cobre o outro corresponde uma reao do segundo sobre o primeiro de mesmo mdulo e direo, mas com sentidos contrrios, que a 3 lei de Newton. Pode-se observar que estas duas foras tm pontos de aplicao diferentes e, portanto causam efeitos diferentes, cada uma atuando no seu ponto de aplicao.

2. Princpio da transmissibilidade de uma fora,Quando se aplica uma fora em um corpo slido a mesma se transmite com seu mdulo, direo e sentido em toda a sua reta suporte ao longo deste corpo.

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3. Decomposio das foras.Qualquer fora no espao pode ser decomposta segundo trs direes que desejarmos. Normalmente, usam-se como referncia trs direes ortogonais entre si, escolhidas de acordo com a convenincia do problema. y

Fy

Fx

r F=F Fx x Fz z

Fy Fz

rNestes casos pode-se usar a resultante F ou suas componentes Fx, Fy e Fz para obter o efeito desejado. Qualquer fora contida em um plano tambm pode ser decomposta segundo duas direes. Normalmente so usadas duas direes perpendiculares entre si, tambm escolhidas de acordo com a convenincia do problema. No caso plano que o mais usual: Exemplo:y F Fyr F - fora a ser decomposta

x e y direes ortogonais de referncia - ngulo formado por F em relao xr r Fx, Fy- componentes da fora nas direes x e y

Fx x

A decomposio feita por trigonometria: r r r r Fx = F. cos Fy = F sen

r r Fy/ Fx = tg

r A fora F decomposta r r tambm pode ser chamada de resultante da soma vetorial de suas componentes Fx e Fy.

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Nos problemas pode-se utilizar para clculos apenas a fora resultante, ou as suas componentes, o que se tornar mais fcil. Isto pode se constituir em uma das ferramentas mais teis no trabalho com as foras. Observe que soma vetorial ou geomtrica no corresponde soma algbrica. D. CLASSIFICAO DAS FORAS As foras podem ser classificadas de acordo com a sua origem, modo de se comportar, etc. como, por exemplo, as foras de contato (ex: locomotivas, musculares, etc..) e as de ao distncia (ex: eltricas, gravitacionais, magnticas, etc.) Em anlise estrutural as foras so divididas conforme esquema abaixo:

FORAS EXTERNAS: atuam na parte externa na estrutura, e so o motivo de sua existncia. Podem ser:

aes : So foras independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura .Correspondem s cargas as quais a estrutura est submetida, normalmente conhecidas ou avaliadas. Ex: peso do pedestre em uma passarela, peso prprio das estruturas, etc...

reaes: So foras que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vnculos ouapoios), sendo conseqncia das aes, portanto no so independentes, devendo ser calculadas para se equivalerem as aes e assim preservarem o equilbrio do sistema. FORAS INTERNAS: so aquelas que mantm unidos os pontos materiais que formam o corpo slido de nossa estrutura (solicitaes internas). Se o corpo estruturalmente composto de diversas partes, as foras que mantm estas partes unidas tambm so chamadas de foras internas (foras desenvolvidas em rtulas).II. MOMENTO DE UMA FORA

A. CONCEITO: O momento de uma fora a medida da tendncia que tem a fora de produzir giro em um corpo rgido. Este giro pode se dar em torno de um ponto (momento polar ) ou em torno de um eixo (momento axial). B. MOMENTO POLAR (momento de uma fora em relao a um ponto) r Chama-se de momento de uma fora F em relao a um ponto "0", o produto vetorial do r r vetor OA pela fora F, sendo "A" um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da fora r F. Logo tambm um vetor, e para a sua caracterizao preciso determinar o seu mdulo, direo e sentido. Representa fisicamente a grandeza da tendncia de giro em torno deste ponto que esta fora impe ao corpo.Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Mo MoA O d

F

r r Mo = F OAO efeito do vetor momento o de provocar um giro com determinado sentido em relao ao ponto o considerado. O vetor momento apresenta as seguintes caractersticas:

direo: perpendicular ao plano formado pela fora e pelo vetor OA sentido: regra da mo direitar mdulo: produto do mdulo da fora F pela menor distncia do ponto "0" a reta suporte da fora.

ponto de aplicao: ponto "O" em relao ao qual se calculou o momento.

r r Mo = F . OA . sen

ou

r r Mo = F . d

A distncia d que representa o mdulo do vetor OA tambm chamada de brao de alavanca. Ela a menor distncia entre a reta suporte da fora e o ponto em relao ao qual se calcula o momento, isto , pode ser obtida pela perpendicular reta que passa pelo ponto. Isto simplifica em muito o calculo do momento polar de uma fora.

M = F.dResistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Regra da mo direita: A regra da mo direita consiste em se posicionar os dedos da mo direita no sentido da rotao provocada pela fora em torno do ponto O. Neste caso o polegar indica o sentido do momento.

Convencionam-se sinais + escolha.

ou - para cada um dos sentidos, de acordo com a nossa

Exemplo 1: Determine o peso que devemos colocar na extremidade direita da gangorra a fim de que ela permanea em equilbrio esttico. P1 = 30 kN a= 2m b= 4m

Exemplo 2: Determine a fora desenvolvida no tirante da estrutura, a fim de que ela permanea em equilbrio, sabendo-se que a barra pesa 5 kN. A barra presa a uma parede por meio de um pino O.

G = 5 kN L=3m

= 15T= ?Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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C. MOMENTO AXIAL Momento axial o valor algbrico da projeo ortogonal sobre o eixo do momento polar produzido pela fora em relao a um ponto qualquer do eixo. Pode ser representado por uma grandeza escalar quando se adota uma conveno para a orientao do eixo. Exemplo 1: Fora perpendicular ao plano do eixo

Mx = F . d

Exemplo 2 : Fora inclinada em relao ao plano do eixo

Mx = Fz . d Fz = F . sen

Exemplo 3 : Fora no espao (direo qualquer) F=F1+F2+F3 Mx = 0 F1 My =.0 Mz = -4 . F 1 F2 Mx = 0 My=0 Mz = - 1 . F 2 Mx = + 4 . F 3 My = - 1 . F 3 Mz = 0

F3

OBSERVAO: O momento de uma fora em relao um eixo nulo sempre que a fora e o eixo forem coplanares (concorrentes ou paralelos).Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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C. UNIDADE DE MOMENTO Sendo o momento produto de uma fora por uma distncia, a unidade desta grandeza o produto de uma unidade de fora por uma unidade de distncia. Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm , etcIII. SISTEMA DE FORAS

A. DEFINIO: o conjunto de foras que atuam simultaneamente em um corpo rgido ou em um ponto material.

B. RESULTANTE DE VRIAS FORAS CONCORRENTES: A resultante de vrias foras que concorrem em um ponto a soma geomtrica a partir do ponto, de foras eqipolentes s que constituem o sistema, formando um polgono. Obs: Foras eqipolentes so aquelas que tm mesmo mdulo, mesma direo e mesmo sentido. Lembrando que uma fora pode ser decomposta segundo eixos de referncia, pode-se determinar a resultante de uma forma mais simples, obtendo-se cada componente pela soma algbrica das projees de todas as foras sobre este eixo. Exemplo 1: Soma geomtrica

r R=0OBSERVAO: Se o polgono formado pelas foras for fechado a resultante nula.

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Exemplo 2: Foras concorrentes em um ponto de um plano A resultante de foras concorrentes em um ponto de um plano tambm pode ser calculada atravs da decomposio destas foras em relao a duas direes ortogonais escolhidas. F1x = F1 cos F1y = F1sen

F2x = F2 cos F2y = F2 sen Fx = F1x + F2x Fy = F1y + F2y

R = (Fx ) 2 + (Fy ) 2

PITGORAS

IV. PRINCPIO DA SUPERPOSIO DE EFEITOS

" O efeito produzido por um conjunto de foras atuando simultaneamente em um corpo igual soma do efeito produzido por cada uma das foras atuando isolada" Deve-se fazer a ressalva de que a validade deste princpio se resume a casos em qu