apostila raciocÍnio lÓgico

Raciocnio Lgico

Didatismo e Conhecimento 1

Raciocnio Lgico

Prof. Wagner Bertolini com grande satisfao que apresento a vocs este curso de

RACIOCNIO LGICO, projetado especialmente para atender s necessidades daqueles que se preparam para o concurso de Tcnico do INSS.

Permitam-me fazer uma breve apresentao de minha trajet-ria acadmica e profissional:

-graduado pela Faculdade de Cincias Farmacuticas pela USP-RP, em 1990;

- Mestre em sntese de complexos bioinorgnicos de rutnio, com liberao de xido ntrico, pela Faculdade de Cincias Farma-cuticas USP-RP;

- Doutor em farmacotcnica, estudando o efeito de promotores de absoro cutnea visando terapia fotodinmica para o cncer de pele, Faculdade de Cincias Farmacuticas pela USP-RP;

- Especialista em espectrometria de massas, pela Faculdade de Qumica, USP-RP;

- professor de Qumica em ensino Mdio e pr-vestibular (An-glo, Objetivo, COC) desde 1992.

- professor de Qumica (Orgnica, Geral, Analtica, Fsico--Qumica e Inorgnica) em cursos de graduao;

- Professor de Qumica Farmacutica, em curso de graduao em Farmcia;

- Professor de raciocnio lgico;- Professor de Ps-Graduao em Biotecnologia (controle de

produtos e processos biotecnolgicos);- Analista Qumico em indstria farmacutica, AKZO do Bra-

sil, em So Paulo-SP.- Consultor de pesquisa entre empresa-Universidade, em Ribei-

ro Preto, onde resido atualmente.Espero poder contribuir com a sua capacitao para este con-

curso.Seguem abaixo comentrios acerca do contedo e da metodo-

logia do nosso curso.Apresentao do cursoContedo do edital:RACIOCNIO LGICO: 1. Conceitos bsicos de raciocnio

lgico: proposies; valores lgicos das proposies; sentenas abertas; nmero de linhas da tabela verdade; conectivos; propo-sies simples; proposies compostas. 2 Tautologia. 3. Operao com conjuntos. 4 Clculos com porcentagens.

Faremos uma anlise global dos tpicos, atravs de explica-es bem detalhadas, com dicas e orientaes de como proceder para resolver as questes e em menor tempo. Teremos vrios exer-ccios das principais bancas de concursos pblicos do pas.

A proposta do curso facilitar o seu trabalho e reunir toda a teoria e inmeros exerccios, no que tange aos assuntos do edital, em um s material. Nosso curso ser completo (teoria detalhada e muitas questes por aula). Ao mesmo tempo, no exigir muitos conhecimentos prvios, na maioria do curso. Portanto, se voc est iniciando seus estudos no assunto, fique tranquilo, pois, nosso cur-so atender aos seus anseios perfeitamente. Se voc j estudou os te-mas e apenas quer revis-los, o curso tambm ser bastante til, pela quantidade de exerccios que teremos e pelo rigor no tratamento da matria, o que lhe permitir uma excelente reviso do contedo.

Por isto sua preparao com afinco e dedicao pode ser seu diferencial. E aqui estou, junto a voc, nesta batalha. Eu e o pes-soal da NOVA procuraremos a sua melhor preparao.

Lembre-se que, como concursando, muitas vezes voc se sen-te sozinho, desacreditado e sem muita confiana. Mas saiba que o trabalho do estudo duro, solitrio, cansativo e requer muita vontade e dedicao. Quando vier sua aprovao, sua vitria voc ver que o seu sucesso pertence a todos (inclusive queles que nunca te apoiaram... mas assim a vida). Fora e pense sempre em voc, nos seus familiares, naqueles por quem voc tem amor.

Desejo um excelente estudo e timos resultados nesta jorna-da. Muito boa sorte, dedicao e boa prova!!!!

1 CONCEITOS BSICOS DE RACIOCNIO LGICO: PROPOSIES; VALORES

LGICOS DAS PROPOSIES; SENTENAS ABERTAS; NMERO DE LINHAS DA TABELA

VERDADE; CONECTIVOS; PROPOSIES SIMPLES; PROPOSIES COMPOSTAS.

Breve introduo

No h um consenso quanto definio da lgica, mas alguns autores a definem como o estudo dos processos vlidos e gerais pe-los quais atingimos a verdade, inclusive pelo estudo dos princpios da inferncia vlida. a Cincia que expe as leis, modos e formas do conhecimento cientfico. uma cincia formal que se dedica ao estudo das formas vlidas de inferncia. Trata-se, portanto, do estudo dos mtodos e dos princpios utilizados para distinguir o raciocnio correto do incorreto.

A lgica foi criada por Aristteles, no sculo IV a.C., como uma cincia autnoma que se dedica ao estudo dos atos do pensa-mento (Conceito, Juzo, Raciocnio, Demonstrao) do ponto de vista da sua estrutura ou forma lgica, sem ter em conta qualquer contedo material. por esta razo que esta lgica aristotlica se designa tambm por lgica formal.

Segundo os registros foi Aristteles quem sugeriu o silogismo como sendo o argumento vlido. Aristteles considerado o pai da lgica formal.

conceito de proposio

Vamos a um conceito bsico, em funo de ter encontrado diversos conceitos:

Chama-se proposio toda orao declarativa que admite um dos dois valores lgicos: Falso (F) ou Verdadeiro (V), mas no as duas valoraes.

Em funo de ser uma orao esperado que apresentasse, portanto, sujeito e predicado. A expresso: As belas ruas de pa-raleleppedo de Ribeiro Preto NO se constitui uma proposio devido ausncia de predicado.

Como anteriormente mencionado a orao declarativa. Portanto, teremos alguns tipos de expresses que NO sero pro-posies, por serem do tipo imperativo, interjeies, exclamativa, interrogativas, indefinidas (abertas).

Desta forma, no so proposies expresses do tipo:a) Que bela manh! (exclamativa).b) Quer uma xcara de caf? (interrogativa).c) Pare!!! (imperativa indica ordem).


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d) Feliz Natal!. (optativa exprime desejo).e) Ele foi o melhor jogador do campeonato. (sentena aberta;

no se sabe quem ele e, assim, no podemos valorar tal ex-presso).

Veja algumas frases que so proposies (aquelas que po-demos valorar em verdadeira ou falsa)

a) A lua o nico satlite do planeta Terra (V)b) A cidade do Recife a capital do estado do Maranho. (F)c) O nmero 612 mpar (F)d) A raiz quadrada de dois um nmero irracional (V)Mas, uma proposio pode ser qualquer outro tipo de expres-

so, tais como as matemticas, conjunto de smbolos que possuam um significado, e que pode ser valorada em verdadeiro ou falso.

Exemplo:4 > 7 Estamos afirmando que o nmero quatro maior que o n-

mero sete. Temos, neste caso, smbolos numricos, o que ainda assim nos permite dizer que isto uma proposio. No caso, uma proposio falsa.

Veja o exemplo abaixo:x-8 = 0 No podemos valorar esta expresso em verdadeiro ou falso,

simplesmente porque no se conhece o valor de x. Se x valer oito, teremos x 8 = 0. Porm, para qualquer outro valor de x que no seja oito, a igualdade acima est errada.

Sendo x uma varivel, pode assumir inmeros valores. Quando a expresso apresentar uma varivel, ns dizemos que ela uma sentena aberta. Isto nos impede de julg-la em verdadeira ou falsa. Logo, no proposio.

Em algumas situaes teremos expresses que sero denomi-nadas paradoxos. E estas no podem ser valoradas em falsa ou verdadeira porque teramos uma situao de contradio. Veja a seguinte frase:

Um meliante declara polcia: Eu sou mentiroso.Isto no pode ser uma proposio lgica, pois, se considera-

mos que o meliante disse a verdade, ento verdade que ele um mentiroso e, portanto, sendo um mentiroso ele no pode declarar uma verdade. Contradio!

Resumindo:No so proposies: frases exclamativas, interrogativas, opi-

nativas, as expresses de desejo, as expresses de sentimentos, as interjeies, oraes imperativas, e aquelas que contenham vari-veis (sentenas abertas).

A partir da, podemos encontrar alguns princpios que devem sempre ser observados:

1) Princpio da identidade: Uma proposio verdadeira sempre verdadeira. Uma proposio falsa sempre falsa.

2) Princpio da no-contradio: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

3) Princpio do Terceiro Excludo: Uma proposio s pode ter dois valores lgicos, isto , verdadeira (V) ou falsa (F), no podendo ter outro valor. No h meio termo.

Exerccios resolvidosExemplo: MRE 2008 [CESPE] (MODIFICADO)Proposies so sentenas que podem ser julgadas como ver-

dadeiras V , ou falsas F , mas no cabem a elas ambos os julgamentos.

Julgue os itens abaixo:1. Considere a seguinte lista de sentenas:I - Qual o nome pelo qual conhecido o Ministrio das Re-

laes Exteriores?II - O Palcio Itamaraty em Braslia uma bela construo do

sculo XIX.III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o

Itamaraty possui so, respectivamente, x e y.IV - O baro do Rio Branco foi um diplomata notvel.Nessa situao, correto afirmar que, entre as sentenas aci-

ma, apenas uma delas no uma proposio.Resoluo. A sentena I uma pergunta. No podem ser julgado em ver-

dadeiro ou falso, no sendo classificada como proposio. Na sentena II temos uma expresso de opinio sobre o Pal-

cio do Itamaraty. Algum est dizendo expressando sua opinio de que o Palcio belo. No proposio.

Na sentena III, temos duas variveis (x e y). Quando temos variveis, trata-se de uma sentena aberta, que no pode ser jul-gada em verdadeira ou falsa. Logo, no uma proposio.

Na sentena IV, temos outra expresso de opinio. Tambm no proposio.

gabarito: errado.

Exemplo: (BB1/2007/Cespe) Na lgica sentencial, denomi-na-se proposio uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. Assim, frases como Como est o tempo hoje? e Esta frase falsa no so proposies porque a primeira pergunta e a segunda no pode ser nem V nem F. As proposies so representadas simbolicamente por letras do alfabeto A, B, C, etc.

Uma proposio da forma A ou B F se A e B forem F, caso contrrio V; e uma proposio da forma Se A ento B F se A for V e B for F, caso contrrio V.

Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue o item subsequente.

01. Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.

A frase dentro destas aspas uma mentira.A expresso X + Y positiva.O valor de 7= 3 +4.Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.O que isto?Resoluo- A frase dentro destas aspas uma mentira. uma orao declarativa, mas no pode ser classificada em

verdadeiro ou falso. Se tentarmos classific-la como verdadeira, teremos uma contradio. Se classificarmos como falsa, temos uma nova contradio, pois falso dizer que a frase dentro daquelas aspas mentira, e, portanto, ela seria verdadeira. Logo, a frase A frase dentro destas aspas uma mentira no uma proposio lgica. um paradoxo.


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- A expresso X + Y positiva. uma sentena aberta e no pode ser valorada em V ou F, pois

no conhecemos os valores de X e Y. - A frase p: O valor de 7 = 3 + 4 proposio, pois se constitui

em orao declarativa e que assume apenas um dos dois valores l-gicos V ou F.

- Pel marcou dez gols para a seleo brasileira proposio, pois se constitui em orao declarativa e que assume apenas um dos dois valores lgicos V ou F.

- O que isto? uma frase interrogativa e, portanto, no uma proposio. O item est errado porque h exatamente duas proposies.

Questes propostas

Questo 1) (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica lgica em comum, en-quanto uma delas no tem essa caracterstica.

I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocnio lgico. III. O jogo terminou empatado?IV. Existe vida em outros planetas do universo.V. Escreva uma poesia. A frase que no possui essa caracterstica comum aa) I.b) II.c) III.d) IV.e) V.

Questo 2) As frases Transforme seus boletos de papel em bo-letos eletrnicos e O carro que voc estaciona sem usar as mos so, ambas, proposies abertas.

Questo 3) (TRT 17 Regio 2009/CESPE-UnB) Proposies so frases que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F , mas no como V e F simultaneamente. A partir das informaes do texto, julgue o item a seguir.

- a sequncia de frases a seguir contm exatamente duas proposies.

- a sede do TRT/ES localiza-se no municpio de cariacica.- Por que existem juzes substitutos?- Ele um advogado talentoso.

Questo 4) (TCE-PB/2006/FCC) Sabe-se que sentenas so oraes com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relao seguinte h expresses e sentenas:

1. Trs mais nove igual a doze.2. Pel brasileiro.3. O jogador de futebol.4. A idade de Maria.5. A metade de um nmero.6. O triplo de 15 maior do que 10. correto afirmar que, na relao dada, so sentenas apenas os

itens de nmeros. a) 1,2 e 6.b) 2,3 e 4.c) 3,4 e 5.d) 1, 2, 5 e 6.e) 2, 3,4 e 5.

Questo 5) SEFAZ SP 2006 [FCC]Considere as seguintes frases:I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.II. (x+ y)/5 um nmero inteiro.III. Joo da Silva foi o Secretrio da Fazenda do Estado de So

Paulo em 2000. verdade que APENASa) I e II so sentenas abertas.b) I e III so sentenas abertas.c) II e III so sentenas abertas.d) I uma sentena aberta.e) II uma sentena aberta.

Resoluo das questes propostas

Questo 1) Resoluo A frase I exclamativa. A frase II no possui predicado, no

sendo assim uma orao.A frase III interrogativa e a frase V imperativa.Portanto a caracterstica comum entre as frases I, II, III e V

que elas no so proposies. A nica proposio a frase IV, pois uma orao declarativa, que podemos classificar em V ou F, apesar de no sabermos o seu valor lgico.

Questo 2) Resoluo Para que uma frase seja uma sentena aberta, o sujeito deve

ser uma varivel. A primeira frase imperativa. Portanto no proposio.

A segunda frase no tem sentido completo. No se trata de uma proposio lgica, pois estas devem possuir sentido completo.

O item est errado.

Questo 3) ResoluoA primeira frase uma orao declarativa e que, mesmo que

no saibamos, pode ser classificada em V ou F.A segunda frase interrogativa. No proposio.A terceira frase uma sentena aberta. Ele um termo que

varia. Esta frase no pode ser classificada em V ou F. No pro-posio.

O item est errado.

Questo 4) Resoluo As frases 1, 2 e 6 tm sujeito e predicado. So, portanto, sen-

tenas. As frases 3,4 e 5 no possuem sentido completo. No so sen-

tenas.

Questo 5) ResoluoI. A expresso utiliza a palavra ele para dar o teor de in-

definio. A cada possvel pessoa designada por ele, temos um valor lgico diferente. Trata-se de uma sentena aberta, que no proposio.

II. Temos variveis (x e y). Novamente no uma proposio, e sim uma sentena aberta.

III. Temos uma proposio, pois pode ser julgada em verda-deiro ou falso. Ou verdade que Joo foi o secretrio, ou falso. No h uma terceira opo. Se possvel julgar em V ou F, pro-posio. Concluindo: I e II so sentenas abertas; III proposio.

Gabarito: A


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Estudo das proposies simples e compostasOs lgicos procuraram combater as limitaes da lgica clssica

e encontrar uma linguagem artificial, simblica e altamente abstrata, na qual se define rigorosamente o significado de cada smbolo e o con-junto das regras que permitem relacion-los de um modo to rigoroso como aquele que caracterstico do clculo matemtico. Foi assim que se foi constituindo a lgica moderna ou logstica que dispe de:

- um conjunto de smbolos formais, constantes e variveis;- regras de combinao desses smbolos entre si;- regras de transformao dessas combinaes elementares de

smbolos.Seguindo, analisando as proposies, percebemos que estas po-

dem ser classificadas como simples ou atmicas; compostas ou mo-leculares.

As proposies simples no contm nenhuma outra proposio fazendo parte integrante de si mesmas, ou seja: elas no podem ser divididas em outras proposies menores.

Veja o exemplo abaixo:p: Marcela auditoraq: Paulo bancrior: Wagner professor

As proposies compostas so formadas por duas ou mais propo-sies ligadas por meio de determinadas palavras ou expresses a que chamamos operadores ou conectivos lgicos.

As proposies simples combinam-se com outras, ou so modi-ficadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenas chamadas de moleculares.

Quando juntamos duas ou mais proposies simples, formamos outra proposio, maior, chamada de proposio composta. Geral-mente simbolizamos as proposies simples por letras minsculas e as proposies compostas por letras maisculas do alfabeto.

o que so os conectivos?Definimos os conectivos como expresses lgicas que permitem

ligar entre si vrias proposies simples, obtendo proposies com-plexas cuja verdade ou falsidade estaro dependentes da verdade ou falsidade das proposies iniciais e da natureza dos conectivos envol-vidos.

Toda a proposio interligada por conectivos tambm ter um valor lgico (V/F).

Os conectivos sero representados nas proposies compostas das seguintes formas:

- conjunes: a b (l-se: a e b)- Disjunes inclusivas: a b (l-se: a ou b)- Disjunes exclusivas: a V b (l-se ou a ou b (uma coisa

ou outra)- condicionais: a b (l-se: se a ento b)- Bicondicionais: a b (l-se: a se somente se b)Alm disso, importante saber que existe a negao, que pode

ser simbolizada por ~ (til) ou por (cantoneira), alm da equiva-lncia entre proposies, representadas pelo smbolo ou .

algumas formas de se representar as proposiesSuponha que tenhamos duas proposies,1. A = Maria tem 23 anos2. B = Maria menor.Pela legislao corrente de Argentina, uma pessoa considerada

menor de idade caso tenha menos de 18 anos, o que faz com que a proposio q seja F, na interpretao da proposio p ser V.

Vejamos algumas situaes e respectivas formas de interpretar as proposies compostas derivadas de A e B.

Maria no tem 23 anos (no A)Maria no menor(no(B))Maria tem 23 anos e Maria menor (A e B)Maria tem 23 anos ou Maria menor (A ou B)Maria no tem 23 anos e Maria menor (no(A) e B)Maria no tem 23 anos ou Maria menor (no(A) ou B)Maria tem 23 anos ou Maria no menor (A ou no(B))Maria tem 23 anos e Maria no menor (A e no(B))Se Maria tem 23 anos ento Maria menor (A => B)Se Maria no tem 23 anos ento Maria menor (no(A) =>

B)Maria no tem 23 anos e Maria menor (no(A) e B)

cuidado:Vrias questes de prova pedem que se converta uma frase es-

crita para a simbologia lgica, ou vice versa. Por isto, importante que, inicialmente, voc se familiarize com estas formas de represen-tao. Muitas bancas (principalmente CESPE) utilizam apenas esta forma de linguagem em algumas questes. Vejamos alguns exemplos:

Considere as seguintes proposies lgicas representadas pelas letras P, Q, R e S:

P: Nesse pas o direito respeitado.Q: O pas prspero.R: O cidado se sente seguro.S: Todos os trabalhadores tm emprego.Considere tambm que os smbolos , , e

representem os conectivos lgicos ou, e, se, ento e no, respectivamente.

Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes.1. A proposio Nesse pas o direito respeitado, mas o cidado

no se sente seguro pode ser representada simbolicamente por P (R) .

2. A proposio Se o pas prspero, ento todos os trabalhado-res tm emprego pode ser representada simbolicamente por QS.

3. A proposio O pas ser prspero e todos os trabalhadores terem emprego uma consequncia de, nesse pas, o direito ser res-peitado pode ser representada simbolicamente por (Q R)P.

Resoluo. Primeiro item. Temos:Nesse pas o direito respeitado, mas o cidado no se sente

seguro Vamos colocar parntesis para delimitar as proposies sim-ples:

(Nesse pas o direito respeitado), mas (o cidado no se sente seguro)

As duas parcelas so unidas pela palavrinha mas, que acres-centa uma informao. Ela tem um papel anlogo ao do e. como se afirmssemos que o direito respeitado e o cidado no se sente seguro.

Alm disso, vemos que a segunda parcela apresenta uma nega-o. Portanto, a proposio mencionada pode ser representada por: P (R)

Item certoSegundo item. A sentena :Se (o pas prspero), ento (todos os trabalhadores tm empre-

go).Em smbolos: Q S


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Item certoTerceiro item.A proposio : O pas ser prspero e todos os trabalhadores

terem emprego uma consequncia de, nesse pas, o direito ser res-peitado.

Vamos usar parntesis para delimitar as proposies simples:((O pas ser prspero) e (todos os trabalhadores terem emprego))

uma consequncia de, (nesse pas, o direito ser respeitado).A expresso uma consequncia, remete ao condicional (se,

ento). Podemos reescrever a frase assim:Se (nesse pas, o direito respeitado), ento (o pas prspero) e

todos os trabalhadores tm emprego).Em smbolos, ficamos com: P (Q S )No foi essa a simbologia indicada pelo enunciado. Item errado.Gabarito: certo, certo, errado

Exemplo: Julgue os itens a seguir:1. A proposio Tanto Joo no norte-americano como Lucas

no brasileiro, se Alberto francs poderia ser representada por uma expresso do tipo P [(Q) (R)].

Resoluo:Nesta proposio temos um condicional escrito em ordem inver-

sa. Colocando na ordem normal, temos:Se (Alberto francs), ento (Joo no norte-americano) e (Lu-

cas no brasileiro).Vamos dar nomes s proposies simples:P: Alberto francsQ: Joo norte-americanoR: Lucas brasileiroA simbologia para a proposio composta ficaria: P [(Q)

(R)]Que exatamente o que afirmou o item.Gabarito: Certo

Tabela-verdade das proposies compostasA tabela-verdade uma tabela em que combinamos todas as pos-

sibilidades das proposies simples para ver quais so os resultados das proposies compostas. A tabela-verdade, como se sabe, um ins-trumento eficiente para a especificao de uma composio de propo-sies. A seguir trabalharemos com a tabela-verdade dos conectivos aqui tratados, explicando suas possibilidades.

Antes de iniciarmos interessante se conhecer quantas linhas iro compor a tabela-verdade de qualquer tipo de conectivo. Para isto, devemos usar uma expresso matemtica, onde x o nmero de li-nhas da tabela-verdade e n o nmero de proposies simples:

X = 2nOu seja: se tivermos uma proposio simples teremos duas pos-

sibilidades; V ou F. Mas se tivermos duas proposies termos 4 possi-bilidades, conforme esquema abaixo:

X = 22 = 4

p qV V

V F

F V

F F

Estas opes so decorrentes das possveis combinaes ente as proposies. Uma dica para montar a tabela-verdade sempre colocar para p (no caso de 2 proposies) VV, FF e depois colocar alternados V e F para a proposio q.

Veja:

Se tivermos 3 proposies teremos X = 23 = 8. Ou seja: 8 li-nhas na tabela-verdade. E como mont-la? Simples! Divida o total ao meio (8 dividido por 2 = igual a 4) e este valor ser o nmero de repeties dos valores lgicos V e depois, F, para a primeira proposio. Depois, diminua sucessivamente ao meio este valor obtido para as demais proposies, alternando-as. Veja: 4, 2, 1 (uma progresso).

P q RV V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Observou? p 4 em 4, q 2 em 2 e r alternados.

Veja as possibilidades:


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Caso a tabela-verdade tenha 4 proposies teramos X = 24 = 16 linhas. Divida o total ao meio (16 dividido por 2 = igual a 8) e este valor ser o nmero de repeties dos valores lgicos V e, tambm, a quantidade de valores correspondentesa falsos (F) para a primeira proposio. Depois, diminua sucessivamente ao meio este valor obtido para as demais proposies, alternando-as. Veja: 4, 2, 1.

Vamos montar a tabela-verdade?

p q R SV V V V

V V V FV V FV V FV FV FV FV FFFFFFFFF

Observe que eu intencionalmente, desta vez, no completei a tabela. Deu pra perceber que existe uma alternncia nos valores V e F, em proporo?

Vale ressaltar que muito raro aparecerem 4 proposies nas questes dos concursos pblicos. Geralmente aparecem duas e, menos frequente, trs proposies.

Porm, importante que voc saiba como montar a tabela. Voc ver que, com a prtica, esta tabela NO precisar ser mon-tada, principalmente para no se perder tempo na resoluo das questes. Porm, preciso saber como mont-la, para analisar as possibilidades das interpretaes.

Tabela-verdade das conjunes e seus significados

Proposies compostas em que est presente o conectivo e so ditas conjunes. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por ^.

Se tivermos a sentena: Paulo advogado e Maria professora

Poderemos represent-la apenas por: p uma das proposies e q a outra, onde:

p = Paulo advogado q = Maria professora.

Como se revela o valor lgico de uma conjuno? Da seguin-te forma: uma conjuno s ser verdadeira, se ambas as propo-sies simples componentes forem tambm verdadeiras (veja o nome: Conjuno ou proposio conjuntiva e as respostas Con-juntamente verdadeiras).

Ento, diante da sentena Paulo advogado e Maria profes-sora, s poderemos concluir que esta proposio composta ver-dadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Paulo advogado e que Maria professora.

Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposies componentes seja falsa, e a conjuno ser, toda ela, falsa. Obviamente que o resultado falso tambm ocorrer quando ambas as proposies componentes forem falsas. Essas concluses todas as quais acabamos de chegar podem ser resumi-das em uma tabela-verdade, de fcil construo e de fcil enten-dimento.

Veja as nossas premissas:p = Paulo advogado q = Maria professora.Se tivermos que ambas so verdadeiras, a conjuno formada

por elas (Paulo advogado e Maria professora) ser tambm verdadeira. Teremos:

Paulo advogado

Maria professora

Paulo advogado E Maria professora

P Q P(p e q)V V VV F F

F V F

F F F

Exemplo 14) O professor Wagner quer fazer uma caipirinha e no tem limo nem cachaa. Como fazer a bebida sem estes com-ponentes? Impossvel. Ento, ele pede sua dedicada esposa que compre os tais ingredientes: limo e cachaa.

Consideremos como proposies:p: ela comprou limoq: ela comprou cachaa

Porm, a esposa de Wagner teve, para ilustrar o caso em ques-to, as possveis distintas condutas:

a) comprou apenas limob) comprou apenas cachaac) no comprou nem limo nem cachaad) comprou limo e cachaaDe acordo com estas situaes vamos analisar o que podemos

concluir:


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Comprou limo

Comprou cachaaD pra fazer a

caipirinha?

P Q P (p e q)

V F NOF V NO

F F NO

V V SiM

Deu pra perceber? Ah!!!! Com caipirinha todo mundo enten-deu, n? Kkkk. Mesmo fora da ordem convencional (o que no faz uma caipirinha .)

Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjuno p e q corresponder interseco do conjunto p com o conjunto q. Teremos:

Na rea de interseco tivemos a situao em que se comprou o limo e a cachaa:

p q Veja p q (observe o sentido das concavidades (boca pra baixo)

Tabela-verdade da disjuno

Vamos abusar do professor Wagner neste exemplo. Agora, neste caso a esposa de Wagner quer fazer o almoo e percebe que est sem a famosa mistura. Ento, ela pede ao seu dedicado ma-rido que compre carne de frango ou carne bovina para fazer a mis-tura do almoo, pois, ela ir fazer uma das duas misturas.

Consideremos como proposies:p: ele comprou carne de frango.q: ele comprou carne bovina

Porm, Wagner, depois da caipirinha (ehehehe) teve, para ilustrar o caso em questo, as distintas condutas:

a) comprou apenas carne de frangob) comprou apenas carne bovinac) no comprou nem carne de frango nem carne bovinad) comprou carne de frango e carne bovina.

De acordo com estas situaes vamos analisar o que podemos concluir:

comprou carne de frango

comprou carne bovina

a esposa dele fez a mistura?

P Q P(p V q)V F SIM

F V SIM

F F noV V SIM

Veja que neste caso, basta que apenas uma das proposies seja verdadeira (disjuntamente, separadamente, verdadeiras) para que o conjunto seja verdadeiro. Ou seja: obedeceu ao que se pediu.

Portanto uma disjuno s ser FALSA, se ambas as proposi-es componentes forem tambm FALSAS (e o professor vai apa-nhar em casa quando chegar sem nenhuma das misturas, eheheh). Ou seja: s falsa se as duas partes forem descumpridas! (veja o nome: DISjuno ou proposio DISjuntiva).

As proposies p V q podem ser representadas por conjuntos:

O conectivo ou ser caracterizado pela unio dos conjuntos p e q.

Tabela-verdade da disjuno exclusiva

H um outro tipo de proposio do tipo disjuno, bem pare-cido com a disjuno que acabamos de analisar acima. Porm, esta apresenta uma discreta diferena. Vamos comparar duas sentenas abaixo, referente a presente de Natal. Voc diz ao seu filho duas frases muito parecidas, tais como:

Te darei uma raquete ou te darei um tablet ou te darei uma raquete ou te darei um tabletA diferena singela, todavia, importante. Repare que na pri-

meira sentena v-se facilmente que se a primeira parte for verda-de (te darei uma raquete), isso no impedir que a segunda parte (darei um tablet) tambm o seja. J na segunda proposio, se for verdade que te darei uma raquete, ento teremos que no ser dado o tablet. E vice-versa, ou seja, se for verdade que darei um tablet, ento teremos que no ser dada a raquete.

Ou seja: a segunda estrutura apresenta duas situaes mutua-mente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verda-deira, e a restante ser necessariamente falsa. Ambas nunca pode-ro ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, falsas.

Na segunda sentena acima, este tipo de construo uma disjuno exclusiva, pela presena dos dois conectivos ou, que determina que uma sentena necessariamente verdadeira, e a ou-tra, necessariamente falsa. Da, o nome completo desta proposio composta disjuno exclusiva.

Veja a diferena destas disjunes nas suas respectivas tabe-las-verdade. Uma disjuno exclusiva s ser verdadeira se obede-cer mtua excluso das sentenas. Ou seja: s ser verdadeira se houver uma das sentenas verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjuno exclusiva ser falsa.


Raciocnio Lgico

ganhar a raquete ganhar o tablet

ou ganhar a raquete ou ganhar o tablet

p Q P(p V q)V V FaLSoV F VERDaDEF V VERDaDEF F FaLSo

Tabela-verdade da condicionalVimos que a estrutura condicional refere-se a Se p ento q.Estamos agora falando de proposies como as que se se-

guem:Se Augusto advogado, ento Silvia farmacutica.Se amanhecer chovendo, ento no irei praia.Vamos analisar a seguinte sentena:Se nasci em Recife, ento sou pernambucano.Agora observe que a nica maneira de essa proposio estar

incorreta se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Ou seja, se verdade que eu nasci em Recife, ento necessaria-mente verdade que eu sou pernambucano.

Se algum disser que verdadeiro que eu nasci em Recife, e que falso que eu sou pernambucano, ento este conjunto estar todo falso. Percebam que o fato de eu ter nascido em Recife condio suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessrio que eu seja pernambucano.

Portanto: p suficiente e q necessrio.Ou seja: suficiente que eu tenha nascido em Recife para ser

pernambucano. E necessrio que eu seja pernambucano para po-der ter nascido em Recife

Regra: O que est esquerda da seta sempre condio sufi-ciente e o que est direita sempre condio necessria (p q).

Para no confundir quem necessrio e quem suficiente, uma dica.

Observe a proposio. S p, ento q.A palavra Se comea com S. E suficiente tambm comea

com s.A palavra ento possui a letra n. E necessria tambm

possui n.

Proposies associadas a uma condicionalA partir da condicional p q podemos obter as condicionais (1) q p, denominada proposio recproca de p q;(2) ~p ~q, denominada proposio contrria de p q;(3) ~q ~p, denominada proposio contrapositiva de p q.

confeco da Tabela-verdade da estrutura condicional.Condicional: p q (Se, ento)

P q P(p q)V V VV F FF V VF F V

Observe que a condicional s ser falsa se a antecedente (lado esquerdo da seta) for verdadeiro e a consequente (lado direito) da seta for falso.

Lembre-se: Vagner Falou t Falado!!!!!A condicional exige que, se o antecedente for verdadeiro, en-

to o consequente dever ser verdadeiro, para resultar em verda-deiro.

As seguintes expresses podem ser empregadas como equi-valentes de Se p, ento q:

Se A, B. A condio suficiente para B.B, se A. B condio necessria para A.Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos,

por meio de um diagrama, a proposio condicional Se p ento q corresponder incluso do conjunto p no conjunto q (p est contido em q):

Tabela-verdade da bicondicional

A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo se e so-mente se, separando as duas sentenas. Pode ser entendida como uma Bi-implicao.

A bi-implicao (SE, SOMENTE SE), entre duas frmulas verdadeira quando ambas so verdadeiras ou ambas so falsas.

interpretao: P Q pode ser interpretada como P se e somente se Q, P equivalente a Q, P e Q possuem o mesmo valor de verdade.

Assim, se P significa O nmero natural divisvel por cinco e Q significa O ltimo algarismo do nmero natural zero ou cinco, P Q pode ser interpretado como O nmero natural divisvel por 5 se, e somente se, o seu ltimo algarismo zero ou cinco.

Basta que uma das proposies ou condies seja falsa para que o enunciado se torne falso.

Na linguagem natural o problema est em confundir uma con-dio necessria como sendo a nica possibilidade para se chegar ao resultado verdadeiro.

Veja este exemplo

p = 24 mltiplo de 3 (V)q = 6 mpar (F)P Q = 24 mltiplo de 3 se, e somente se, 6 mpar. (F).

Mas, veja esta outra situaop = 24 mltiplo de 3 (V)q = 6 par (V)P Q = 24 mltiplo de 3 se, e somente se, 6 par. (V).


Raciocnio Lgico

A tabela-verdade da bicondicional fica assim:

p q p qV V VV F F

F V F

F F V

Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposio bicondicional p se e so-mente se q corresponder igualdade dos conjuntos p e q.

observao: Uma proposio bicondicional p se e somente se q equivale proposio composta: (se p ento q) e (se q en-to p), ou seja, p q equivalente a (p q) e (q p). (Equivalncia ser abordado futuramente).

Resumindo- a conjuno verdadeira somente quando ambas as pro-

posies so verdadeiras.- a disjuno falsa somente quando ambas as proposies

so falsas.- a condicional falsa somente quando a primeira proposi-

o verdadeira e a segunda falsa.- a bicondicional verdadeira somente quando as proposi-

es possuem valores lgicos iguais.- a disjuno exclusiva verdadeira quando as proposies

tiverem valores lgicos diferentes.- a bicondicional ser verdadeira quando ambas as propo-

sies forem falsas ou ambas proposies forem verdadeiras.

Tabela-verdade com vrias proposies interrelacionadasComo proceder para resolver a seguinte proposio composta:

(p V q) r?Bem, conhecendo as respectivas tabelas-verdade dos conecti-

vos podemos resolver da seguinte maneira:Montar a tabela com 8 linhas e determinar a tabela-verdade

apenas para a relao (p V q), observando-se os valores lgicos de p e de q:

p q R p V qV V V VV V F VV F V VV F F VF V V VF V F VF F V FF F F F

Depois, estabelecer a tabela-verdade da relao entre a coluna obtida e a proposio r (observe que eu desloquei de posio a coluna r para evitar erro no momento de atribuir o valor lgico):

p q p V q r (p V q) rV V V V VV V V F FV F V V V

V F V F F

F V V V V

F V V F VF F F V V

F F F F V

como resolver tais situaes?Quando temos diversos conectivos, costumamos utilizar pa-

rntesis ou colchetes para indicar qual parcela tem precedncia.Primeiro devemos dar prioridade para resolver o que est en-

tre parntesis, depois oque estiver entre os colchetes.Existem situaes em que os parntesis so omitidos. Neste

caso, temos que saber a ordem de precedncia entre os conectivos. A ordem :

1: operador no2: conectivo e3: conectivo ou4: conectivo se ento5: conectivo se, e somente se

Um exemplo ocorre na situao abaixo:Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana ou

Paris a capital da Frana.Este um ponto importante para o concursando, porque pode

trazer uma maior dificuldade e levar a interpretaes incorretas.Temos um e e um ou. Conforme a ordem de precedncia,

primeiro resolvemos a parte referente ao e e, posteriormente, fazemos a parte referente ao ou. Para facilitar a anlise e a con-feco da tabela-verdade, seria interessante colocarmos as propo-sies entre parntesis. Para ilustrar melhor o resultado da priori-dade:

(Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana) ou Paris a capital da Frana.

Agora, para dar sequencia vamos atribuir os valores lgicos das proposies. Vejamos bem. Para analisar esta etapa dividirei a parcela inicial (composta) da segunda parcela (que uma propo-sio simples).

Vamos valorar: (Roma a capital da Itlia e Londres a ca-pital da Frana).

Para valorar voc deve, ao menos, saber um pouquinho de Geografia Neste caso concluimos que: (Roma a capital da Itlia (V) e Londres a capital da Frana (F)). Como uma conjuno e temos que uma das proposies negativa, conclumos que a proposio , portanto, negativa.

Logo, ficaramos com a seguinte situao: (F) ou Paris a capital da Frana (V).

Como esta proposio tem o conectivo ou (disjuno), sabe-mos que para ela ser verdadeira pelo menos uma das parcelas deve ser verdadeira. Mas j temos uma parcela falsa. Se a segunda par-cela da proposio disjuntiva for falsa a disjuno ser falsa. Se verdadeira, a disjuno seer verdadeira.


Raciocnio Lgico

Paris a capital da Frana (V).Portanto, como a segunda parcela da proposio verdadeira

isto nos leva concluso de que a proposio inicial verdadeira.Poderamos utilizar a linguagem simblica e teramos:Proposio inicial: p q V rProposies em prioridade: (p q) V rResoluo da primeira parcela: F V rAnalisando a segunda parcela: F V VConcluindo: V (proposio inicial verdadeira).

Sabendo que se trata de uma disjuno, basta que uma das par-tes seja verdadeira (no caso, a segunda parcela verdadeira) para que o valor lgico da proposio composta seja verdadeira. Neste caso, a resposta verdadeira independente da primeira parte ser verdadeira ou falsa. Em uma prova voc j poderia dar a resposta e no perder tempo resolvendo a primeira parte. Caso a segunda parte fosse falsa, deveramos analisar a primeira parte.

A primeira parte uma conjuno e ambas devem ser ver-dadeiras para que esta parte seja verdadeira. (Pela nossa anlise verificamos que a primeira parte falsa, mas isto no iria interferir na nossa resposta neste caso em questo).

Resumindo:Ficamos com: (V e F) ou VEntre parntesis, temos um e, em que uma parcela falsa.

Logo, a expresso entre parntesis falsa.(F) ou V Assim, nosso ou tem uma parcela verdadeira. Logo, a pro-

posio dada na alternativa verdadeira, independente da parcela entre parntesis.

Questes propostas

Questo 1: (ICMS) Se voc se esforar ento ir vencer. Assim sendo,

(A) mesmo que se esforce, voc no vencer.(B) seu esforo condio necessria para vencer.(C) se voc no se esforar ento no ir vencer.(D) voc vencer s se se esforar.(E) seu esforo condio suficiente para vencer.

Questo 2: (Cespe - Analista do Seguro Social - INSS) Propo-sies so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas no como ambas. Se p e q so proposies, ento a proposio Se p ento q, denotada por P Q, ter valor lgico F quando p for V e q for F, e, nos demais casos, ser V. Uma expresso da forma ~p, a negao da proposio p, ter valores lgicos contr-rios aos de p. (p v q, lida como p ou q, ter valor lgico F quando p e q forem, ambas, F; nos demais casos, ser V.

Considere as proposies simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou no estar de acordo com o artigo 50 da Constituio Federal.

A: A prtica do racismo crime afianvel. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidado estrangeiro que cometer crime poltico em ter-

ritrio brasileiro ser extraditado. De acordo com as valoraes V ou F atribudas corretamente

s proposies A, B e C, a partir da Constituio Federal, julgue o item. Para a simbolizao apresentada acima e seus correspondentes valores lgicos, a proposio B = C V. Certo ou Errado?

Questo 3: Roberta, Rejane e Renata so servidoras de um mesmo rgo pblico do Poder Executivo Federal. Em um treina-mento, ao lidar com certa situao, observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes:

A1: deixou de utilizar avanos tcnicos e cientficos que esta-vam ao seu alcance;

A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providncias;

A3: buscou evitar situaes procrastinatrias. Cada uma dessas atitudes, que pode ou no estar de acordo com

o Cdigo de tica Profissional do Servidor Pblico Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das ser-vidoras. Alm disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta no tomou a atitude A1. Essas in-formaes esto comtempladas na tabela a seguir, em cada clula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V(verdadeiro) ou F(falso).

a1 a2 a3Roberta FRejaneRenata V

Com base nessas informaes, julgue o item seguinte: Se p for proposio Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providncias e q for proposio Re-nata buscou evitar situaes procrastinatrias, ento a proposio pq tem valor lgico V. Certo ou errado?

Questo 4: (FCC - Oficial de Justia - TJ/PE) Suponha que exista uma pessoa que s fala mentiras as teras, quartas e quintas--feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, s fala a verdade. Nessas condies, somente em quais dias da semana seria possvel ela fazer a afirmao Eu menti ontem e tambm mentirei amanha?

(A) Tera e quinta-feira. (B) Tera e sexta-feira. (C) Quarta e quinta-feira. (D) Quarta-feira e sbado. (E) Quinta-feira e domingo.

Questo 5: Na anlise de um argumento, podem-se evitar con-sideraes subjetivas, por meio da reescrita das proposies envol-vidas na linguagem da lgica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposies e que , , e sejam os conectores lgicos que representam, respectivamente, e, ou, negao e o conector condicional. Considere tambm a proposio a seguir: Quando Paulo vai ao trabalho de nibus ou de metr, ele sempre leva um guarda-chuva e tambm dinheiro trocado.

Assinale a opo que expressa corretamente a proposio acima em linguagem da lgica formal, assumindo que:

P= Quando Paulo vai ao trabalho de nibus;Q= Quando Paulo vai ao trabalho de metr;R= ele sempre leva um guarda-chuva;S= ele sempre leva dinheiro trocado.


Raciocnio Lgico

(A) P (Q R)(B) (P Q) R(C) (P Q) (R S)(D) P (Q (R S))

Questo 6: (CESPE Banco do Brasil Escriturrio) Propo-sies so frases que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas no ambas; so frequentemente simbolizadas por letras maisculas do alfabeto. A proposio simbolizada por AB lida como se A, ento B, A condio suficiente para B, ou B condio necessria para A, tem valor lgico F quando A V e B F; nos demais casos, seu valor lgico V. A proposio AB lida como A e B tem valor lgico V quando A e B forem V e valor lgico F, nos demais casos. A proposio A, a negao de A, tem valores lgicos contrrios aos de A.

Se o valor lgico da proposio Se as operaes de crdito no pas aumentam, ento os bancos ganham muito dinheiro V, ento correto concluir que o valor lgico da proposio Se os bancos no ganham muito dinheiro, ento as operaes de crdito no pas no aumentam tambm V.

( ) Certo ( ) Errado

Questo 7: (CESPE Banco do Brasil Escriturrio) Propo-sies so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras - V - ou falsas - F -, mas no como ambas, simultaneamente. As propo-sies so frequentemente representadas por letras maisculas e, a partir de proposies simples, novas proposies podem ser cons-trudas utilizando-se smbolos especiais. Uma expresso da forma A B, que lida como se A, ento B, F se A for V e se B for F e, nos demais casos, ser sempre V. Uma expresso da forma A B, que lida como A e B, V se A e B forem V e, nos demais casos, ser sempre F. Uma expresso da forma A B, que lida como A ou B, F se A e B forem F e, nos demais casos, ser sempre V. Uma expresso da forma A, a negao de A, V se A for F e F se A for V.

Julgue os itens que seguem, a respeito de lgica sentencial e de primeira ordem, tendo como referncia as definies apresentadas no texto. Se a proposio Algum banco lucra mais no Brasil que nos EUA tiver valor lgico V, a proposio Se todos os bancos lucram mais nos EUA que no Brasil, ento os correntistas tm me-lhores servios l do que aqui ser F.


Questo 8: (CESPE - INSS - Analista) Proposies so senten-as que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas no como ambas. Se P e Q so proposies, ento a proposio Se P ento Q, denotada por PQ, ter valor lgico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, ser V. Uma expresso da forma P, a negao da proposio P, ter valores lgicos contrrios aos de P. PQ, lida como P ou Q, ter valor lgico F quando P e Q forem, ambas, F: nos demais casos, ser V.

Considere as proposies simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou no estar de acordo com o artigo 5. da Constituio Federal.

A: A prtica do racismo crime afianvel.B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.C: Todo cidado estrangeiro que cometer crime poltico em ter-

ritrio brasileiro ser extraditado.

De acordo com as valoraes V ou F atribudas corretamente s proposies A, B e C, a partir da Constituio Federal, julgue o item a seguir. De acordo com a notao apresentada acima, correto afirmar que a proposio (A) ((C) tem valor lgico F.


Questo 9: (CESPE TRT Tcnico Judicirio) Uma propo-sio uma sentena que pode ser julgada como verdadeira - V -, ou falsa - F -, mas no V e F simultaneamente. Proposies simples so simbolizadas por letras maisculas A, B, C etc., chamadas letras proposicionais. So proposies compostas expresses da forma A B, que lida como A ou B e tem valor lgico F quando A e B forem F, caso contrrio ser sempre V; A B, que lida como A e B e tem valor lgico V quando A e B forem V, caso contrrio ser sempre F; A, que a negao de A e tem valores lgicos contrrios aos de A.

Considerando todos os possveis valores lgicos V ou F atribu-dos s proposies A e B, assinale a opo correspondente propo-sio composta que tem sempre valor lgico F.

(A) [A (B)] [(A) B](B) (A B) [(A) (B)](C) [A (B)] (A B)(D) [A (B)] A(E) A [(B) A] Resolues

Questo 1: Resposta E.Aqui estamos tratando de uma proposio composta (Se voc

se esforar ento ir vencer) formada por duas proposies simples (voc se esforar) (ir vencer), ligadas pela presena do conectivo () se ento. O conectivo se ento liga duas proposies sim-ples da seguinte forma:

Se p ento q, ou seja: p ser uma proposio simples que por estar antes do ento

tambm conhecida como antecedente q ser uma proposio simples que por estar depois do ento

tambm conhecida como consequente Se p ento q tambm pode ser lido como p implica em q p conhecida como condio suficiente para que q ocorra,

ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer. q conhecida como condio necessria para que p ocorra,

ou seja, se q no ocorrer ento p tambm no ir ocorrer.Logo a seguir est a tabela verdade do se ento. Tabela Ver-

dade a forma de representar todas as combinaes possveis de va-lores verdadeiros ou falsos de determinadas proposies, sejam elas simples ou compostas. Observe que para quaisquer valores lgicos de p e q (na realidade uma combinao de valores de verdadeiros e falsos poder ocorrer e est sendo estudada logo abaixo). O nmero de linhas de uma tabela verdade dado por: 2n onde n = nmero de proposies simples. Na tabela verdade so duas proposies sim-ples e ao todo 22 = 4 linhas.

p q pqV V V

V F F

F V V

F F V


Raciocnio Lgico

Poderamos resumir a tabela verdade do conectivo se ento pela seguinte regra: A implicao pq s ser FALSA quando p for VERDADEIRA e q for FALSA, nesta ordem. Observe que estamos falando da segunda linha. Observe tambm que todos os demais valores lgicos de pq que no se tratam da regra passam a ser verdadeiros (1, 3 e 4 linhas).

Agora por definio informamos que dado que pq se verifica ento tambm se verifica que ~q~p. Para analisarmos esta afir-mao devemos conhecer um novo conectivo, o conectivo no ou negao, cuja tabela verdade se verifica a seguir:

p ~pV F

F V

O ~ representa o conectivo no e a tabela verdade do co-nectivo no a inverso do valor lgico da proposio, vejamos, se a proposio p verdadeira, ento ~p falsa e vice-versa, se a pro-posio p falsa, ~p verdadeira. Desse modo vamos comprovar o que foi afirmado logicamente, ou seja, dado que pq posso afirmar que negando a condio necessria eu nego a condio suficiente, observe atravs da tabela verdade:

p q ~p ~q pq ~q~pV V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Observe que para a mesma entrada de valores (V) ou (F) as colunas que representam os possveis valores de pq e de ~q~p so exatamente iguais, o que equivale a afirmar que so expresses logicamente equivalentes. Sabendo um pouco mais a respeito do se ento vamos ao exerccio:

Se voc se esforar ento ir vencer- voc se esforar a proposio p tambm conhecida como

antecedente.- ir vencer a proposio q tambm conhecida como conse-

quente.- voc se esforar a proposio p tambm conhecida como

condio suficiente para que ocorra q- ir vencer a proposio q tambm conhecida como condio

necessria para que ocorra q.

Dado pq uma equivalente lgica de: ~q~p. Ou seja, Se voc se esforar ento ir vencer uma equivalente lgica de Se voc no venceu ento voc no se esforou.

Observe que p e q podem ser quaisquer conjuntos de palavras ou smbolos que expressam um sentido completo, por mais absur-do que parea basta estar na forma do conectivo se ento que as regras acima transpostas esto logicamente corretas. Vamos analisar as alternativas:

Se voc se esforar ento ir vencer. Assim sendo,a) errada, a alternativa A encontra erro uma vez que voc se

esforar a condio suficiente para que voc vena, ou seja, basta que voc se esforce que voc ir vencer, e a afirmao nega isto.

b) errada, na forma pq, o p o antecedente e condio sufi-ciente para que q ocorra.

c) errada, esta afirmao sempre vai cair em prova. Cuidado: Sempre vai levar muitos candidatos ao erro, ao afir-

mar: Se voc se esforar ento ir vencer a nica concluso possvel de que basta que voc se esforce que voc ir vencer, e se voc no se esforar, ora se no ocorreu a condio suficiente nada pos-so afirmar, se voc no se esforar voc poder ou no vencer. Na tabela verdade possvel comprovar que (Se voc se esforar ento ir vencer pq) e (Se voc no se esforar ento no ir vencer ~p~q) no so equivalentes lgicas. Observe que as proposies pq e ~p~q no apresentam os mesmos valores lgicos, ou seja, afirmar uma no quer dizer afirmar a outra.

d) errada, voc vencer s se se esforar, indica que seu esforo condio necessria para voc vencer, o que no verdade.

e) correta, seu esforo (voc se esforar) condio suficiente para que voc vena.

Questo 2: Resposta Errado.Analisando as proposies:A: A prtica do racismo crime afianvel- falsaB: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado

- verdadeira;C: Todo cidado estrangeiro que cometer crime poltico em

territrio brasileiro ser extraditado - falsa.Ento, a proposio composta B - C pode ser traduzida em

V > F e, pela regra do conectivo (implica), a proposio com-posta ter valor lgico F.

Questo 3: Resposta Certo. Sabendo que cada uma das servidoras tomou apenas uma das

atitudes, basta completar a tabela de acordo com os dados do enun-ciado:

a1 a2 a3Roberta F V FRejane V F FRenata F F V

Analisando a questo: Como (a proposio p) Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providncias tem valor lgico F e (a proposio q) Renata buscou evitar situaes procrastinatrias tem valor lgico V, a proposio p q pode ser traduzida em F V e, pela regra do conectivo (implica), o valor lgico da proposio V.

Questo 4: Resposta A.Pelo enunciado, sabemos que a pessoa s fala mentiras as ter-

as, quartas e quintas-feiras. Com o conectivo e, para se ter uma verdade, ambas as sentenas devem ser verdadeiras. Assim, nesse problema, preciso analisar dia a dia e procurar um em que no ocorra contradio.

- Domingo, segunda, sexta, sbado: a sentena falsa, pois nes-ses dias a pessoa fala a verdade. Portanto, temos uma contradio.

- Tera e quinta: a sentena falsa, mas como a pessoa sempre mente na tera e na quinta, no h contradio.

- Quarta: a sentena verdadeira, mas como a pessoa mente na quarta, h contradio. Ento, a alternativa A satisfaz ao enun-ciado.


Raciocnio Lgico

Questo 5: Resposta C. A proposio composta original possui uma diviso principal,

que o fato de Paulo trabalhar de nibus ou metr; outro aspecto o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado. Portanto, o co-nectivo o principal, interligando as duas partes da proposio. Na primeira parte da proposio, ou Paulo vai ao trabalho de nibus ou vai de metr. Nesse caso, essa proposio interligada pelo co-nectivo ou: P Q.

J na parte final da proposio, como ele sempre leva um guar-da-chuva e tambm dinheiro trocado, essa parte da proposio in-terligada pelo conectivo e: R S. Reunindo ento as duas partes da proposio original, obtm-se (P Q) (R S).

Questo 6: Resposta certo.P: as operaes de crdito no pas aumentam.Q: os bancos ganham muito dinheiro.P ento Q. Tal estrutura lgica equivale a ~Q ento ~P.

Se as operaes de crdito no pas aumentam, ento os bancos ganham muito dinheiro. Equivale a A B;

Se os bancos no ganham muito dinheiro, ento as operaes de crdito no pas no aumentam. Equivale a ~B ~A;

Logo, como A B equivale a ~B ~A a afirmativa correta.Questo 7: Resposta Errado.A proposio do tipo P ento Q tem valor lgico V (verdadeiro)

quando as duas condies so verdadeiras, as duas condies so falsas e a primeira condio falsa e a segunda verdadeira. Sa-bendo que a primeira condio falsa (j que a questo afirma que algum banco lucra mais nos Brasil do que nos EUA), conclumos que a segunda pode ser falsa ou verdadeira que a proposio ter va-lor lgico V(verdadeiro). Logo, no podemos afirmar que a segunda proposio ser F.

negao:Todo A B = Algum A no B.Algum A B = Todo A no B.Algum A B = Nenhum A B.Nenhum A B = Algum A B.

Equivalncia:Todo A B = Nenhum A no B.Nenhum A B = Todo A no B.Todo A B = A condicionado a () B.1- Verdadeiro - Algum banco lucra mais no Brasil do que nos

EUA.2- Falso - Todo banco no lucra mais no Brasil do que nos EUA.3- Equivalente segunda - Se todos os bancos no lucram mais

no Brasil do que nos EUA, ento... (quer dizer que nos EUA lucram mais).

A primeira parte falsa, a segunda parte no importa, pois falso condicionado a qualquer coisa sempre ser verdadeiro. Equivalente terceira - Se todos os bancos lucram mais no EUA do que no Bra-sil, ento... No importa o resto, continua sendo falso condicionado a qualquer coisa, sendo verdadeiro, portanto.

Questo 8: Resposta Errado.F ou V = V.A: F; ~A: VC: F; ~C: V~A v ~C = V V = V

A banca misturou constitucional com raciocnio-lgico, ento teramos que julgar.

Proposio A falsa.Proposio B verdadeira.Proposio C falsa.

Na disjuno para ser falsa, ambas as proposies tm que ser falsas.

A ou B - F ou F = Falso

A ou B = V ou V = Verdade

Questo 9: Resposta a.A opo A de fato no poder ser V, pois, para que isto ocorres-

se teramos que atribuir o valor V para A e para B na primeira parte da conjuno, o que tornaria a segunda parte F. A opo B pode ser V, basta que A ou B sejam V. A opo C pode ser V, basta que A e B sejam V. A opo D pode ser V, basta que A seja V. A opo E pode ser V, basta que A seja V.

Tabela Verdade

A B ~A ~BV V F V

V F F F

F V V V

F F V F

(A) [A (B)] [(A) B]Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A primeira

parte da AND (E) seria falsa, consequentemente o resultado seria falso, Ex: (A) [(V (F)] [(F) V] = falso.

Linha (II) - Considerando A verdade e B falso. A primeira parte da AND (E) seria verdade, a segunda seria falsa, consequentemente o resultado seria falso, Ex: (A) [(V (V)] [(F) F] = falso.

Linha (III) - Considerando A falso e B verdade. A primeira parte da AND (E) seria falsa, consequentemente o resultado seria falso, Ex: (A) [(F (F)] [(V) V] = falso.

Linha (IV) - Considerando A falso e B falso. A primeira parte da AND (E) seria falsa, consequentemente o resultado seria falso, Ex: (A) [(F (F)] [(V) V] = falso.

(B) (A B) [(A) (B)]Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A primeira

parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria verdade, Ex: (B) [(V V) [(F) F] = verdade.

(C) [A (B)] (A B)Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A segunda

parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria verdade, Ex: (C) [(V (F)] (V V) = verdade.

(D) [A (B)] ALinha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A segunda

parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria verdade, Ex: (D) [V (F)] V = verdade.


Raciocnio Lgico

(E) A [(B) A] Linha (I) - Considerando A verdade e B verdade. A segunda

parte da OR (OU) seria verdade, consequentemente o resultado seria verdade, Ex: (E) V [(F) V] = verdade.

negaoA negao um tpico bastante abordado em concursos. E

muitos candidatos erram, por no seguirem as regras bsicas dos conectivos a serem negados Trabalharemos agora com esta parte do raciocnio lgico.

muito importante saber negar uma proposio. As pessoas pensam que basta apenas colocar a palavra no que estar tudo resolvido. Mas no assim.

No caso de uma proposio simples, a negao a mais fcil de estabelecer: basta pr a palavra no antes da sentena.

Exemplos:Sergio arquitetonegativa: Sergio no arquiteto.Maria estudante.negativa: Maria no estudante.Caso tenhamos na sentena original uma negativa (j traga a

palavra no), teremos que fazer a negativa (negar o sentido nega-tivo j presente).

Exemplo:Sergio no arquiteto.negativa: (Sergio no no arquiteto): Srgio arqui-

teto.

Lembra das operaes matemticas bsicas (- com - = +).O smbolo que representa a negao uma pequena cantonei-

ra () ou um sinal de til (~), antecedendo a frase. Assim, a tabela--verdade da negao bem simples. Veja:

P ~pV FF V

algumas situaes tambm so negaes, porm, descritas das seguintes formas:

-no a, - no verdade que a. - falso que a.

Da, as seguintes frases so equivalentes:matemtica no fcil.no verdade que matemtica fcil. falso que matemtica fcil.

Mas como proceder para fazer a negao de proposies compostas?

Esta parte da negao a que mais aparece nos concursos, porque apresenta maior dificuldade para o concursando e, assim, maiores possibilidades de erros.

Inicialmente devemos analisar o tipo de conectivo que apare-ce na proposio. E, em funo disto, teremos diferentes maneiras de se fazer a negao. Existem algumas regras que devero ser seguidas e ponto final!!!

uma questo de treino. Voc j deve ter encontrado este conselho em quase todos os materiais didticos. Mas verdade.

E como ganhar tempo para resolver uma certa quantidade de questes sem empenhar muito tempo nos estudos? Agrupan-do informaes. Vamos l!!!!

a) negao de conjunes: ~(p e q)Para negarmos uma proposio do tipo conjuno (p e q)

fcil:1) Negaremos a primeira (~p);2) Negaremos a segunda (~q);3) Trocaremos e por ou.

RESUMinDo:nEgUE TUDo e troque o conectivo e por ou.

Exemplo 15): negar a proposio ganhei uma camisa e uma gravata

a proposio acima poderia ser reescrita assim: ganhei uma camisa e ganhei uma gravata

negao: no ganhei uma camisa oU no ganhei uma gravata

neste caso as duas proposies tm sentido positivo. Por isto, aparecem duas negativas na resposta.

Exemplo 16): negar a proposio no consegui marcar um gol e meu time perdeu

negao: consegui marcar um gol oU meu time no per-deu

Neste caso a primeira proposies tem significado negati-vo. Por isto, aparecem nesta proposio sentido positivo.

Convertendo para a linguagem da lgica, diremos que: ~(p^q) = ~p V (~q)

como analisaremos a tabela-verdade das duas situaes? Vamos analisar o primeiro exemplo:

ganhei uma camisa e uma gravatap = ganhei uma camisaq = ganhei uma gravata

p q p^q

V V V

V F F

F V F

F F F

agora adicionarei as colunas referentes s negaes das proposies p e q:

P q p^q ~p ~q

V V V F F

V F F F V

F V F V F

F F F V V


Raciocnio Lgico

E a seguir, fazer a coluna referente disjuno entre ~p e ~q, que a negao da conjuno:

P q p^q ~p ~q ~(p^q)= ~p V ~qV V V F F FV F F F V VF V F V F VF F F V V V

observe que as tabelas verdades da conjuno e sua nega-o (no caso uma disjuno) so opostas.

p^qVFFF

~(p^q)= ~p V ~qFVVV

B) negao da Disjuno: ~(p ou q)Na linguagem apropriada, concluiremos que:~(p V q) = ~p ^ ~q Para negarmos uma proposio do tipo disjuno (p ou q)

fcil:1) Negaremos a primeira (~p);2) Negaremos a segunda (~q);3) Trocaremos ou por e.

RESUMinDo:nEgUE TUDo e troque o conectivo ou por e.

Exemplo 17): negar a proposio ganhei uma camisa ou uma gravata

negao: no ganhei uma camisa e no uma gravataneste caso as duas proposies tm sentido positivo. Por

isto, aparecem duas negativas na resposta

Exemplo18): negar a proposio no consegui marcar um gol ou meu time perdeu

negao: consegui marcar um gol e meu time no per-deu

(Neste caso a primeira proposies tem significado nega-tivo. Por isto, aparecem nesta proposio sentido positivo).

Convertendo para a linguagem da lgica, diremos que: ~(p V q) = ~p ^ (~q)

como analisaremos a tabela-verdade das duas situaes? Vamos analisar o primeiro exemplo:

ganhei uma camisa e uma gravatap = ganhei uma camisaq = ganhei uma gravata

p q pVqV V VV F VF V VF F F

agora adicionarei as colunas referentes s negaes das proposies p e q:

p q pVq ~p ~q

V V V F F

V F V F V

F V V V F

F F F V V

E a seguir, fazer a coluna referente conjuno entre ~p e ~q:

p q pVq ~p ~q ~(pVq) = ~p ^ ~qV V V F F FV F V F V FF V V V F FF F F V V V

observe que as tabelas verdades da DiSjuno e sua nega-o (no caso uma conjuno) so opostas.

pVq

V

V

V

F

~(pVq) = ~p ^ ~q

F

F

F

V


Raciocnio Lgico

Repare que as duas situaes de negao so muito semelhantes. negar tudo e trocar os conectivos e por ou e vice-versa.

C) Negao de uma Condicional: ~(p q)Esta negao a mais cobrada em concursos !!!! Portanto, de extrema importncia que saibamos trabalhar muito bem esta negao.Como se negar uma condicional? Seguiremos os seguintes passos:Para negarmos uma proposio do tipo condicional (se p ento q) fcil (eheheh):1) manteremos a primeira (p);2) Negaremos a segunda (~q);3) Trocaremos o conectivo por e.

Exemplo: negar a proposio Se chover ento ficarei em casaNegao: choveu e no fiquei em casa(oBS: ajusta-se o tempo verbal de acordo a um melhor entendimento)

Convertendo para a linguagem da lgica, diremos que: ~( p q) = p ^ (~q)

como analisaremos a tabela-verdade das duas situaes? Vamos analisar o primeiro exemplo:Se chover ento ficarei em casap = choverq = ficarei em casa

p q p qV V VV F FF V VF F V

agora adicionarei a coluna referente negao da proposio q:

p q p q ~qV V V FV F F VF V V FF F V V

E a seguir, fazer a coluna referente conjuno entre p e ~q:

p q p q ~q ~( p q) =p ^ ~qV V V F F

V F F V V

F V V F F

F F V V F

observe que as tabelas verdades da conDicionaL e sua negao (no caso uma conjuno) so opostas.


Raciocnio Lgico

d) negao da Disjuno Exclusiva. ou p ou q(P V Q) P Q

Este um caso mais raro, porm, quando aparecem muitos concursandos danam feio, porque a muitos materiais didticos no trazem estas formas de negao.

Para negarmos uma proposio do tipo disjuno exclusiva , basta transform-la em uma estrutura bicondicional. Observe:Ou Jos rico ou Paulo bonito.p= Jos ricoq = Paulo bonitoNegando-a temos;Jos rico se e somente se Paulo bonito

Pela tabela-verdade podemos confirmar a negao da proposio

p Q p V q (p V q) pqV V F V VV F V F FF V V F FF F F V V

Portanto, podemos concluir que a negao de uma estrutura bicondicional tambm a disjuno exclusiva, pois, suas tabe-las-verdades so opostas.

Podemos fazer um resumo dos conectivos e suas tabelas-verdade e as suas respectivas negaes:

conectivo verdade quando falso quando

p q p e q so, ambos, verdade um dos dois for falso

p V q um dos dois for verdade p e q, ambos, so falsos

p V q dois valores lgicos diferentes Dois valores lgicos iguais

p q nos demais casos p verdade e q falso

p qp e q tiverem valores lgicos

iguaisp e q tiverem valores lgicos

diferentes

negao de (p e q) ~p ou ~q

negao de (p ou q) ~p e ~qnegao de (p q) p e ~qnegao de (p q) ou p ou q

QuESTES PROPOSTAS

Questo 1:. Considere as proposies p: Est frio e q: Est chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposies:a) p ~qb) p qc) ~p ^ ~qd) p ~qe) (p ~q) (q ^~p)


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Questo 2: Considere as proposies p: A terra um planeta e q: A terra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbli-ca as seguintes proposies:

a) No verdade: que a Terra um planeta ou gira em torno do Sol.

b) Se a Terra um planeta ento a Terra gira em torno do Sol.c) falso que a Terra um planeta ou que no gira em torno

do Sol.d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra no

um planeta.e) A Terra no nem um planeta e nem gira em torno do Sol.(Expresses da forma no nem p e nem q devem ser vis-

tas como no p e no q)

Questo 3: Dada a condicional: Se p primo ento p = 2 ou p impar, determine:

a) a contrapositivab) a recproca

Questo 4: a) Supondo V (p ^ q r s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine V (p r ^ s).

b) Supondo V (p ^ (q r)) = V e V (p r q) = F, determine V (p), V (q), V(r).

c) Supondo V (p q) = V, determine V (p ^ r q ^ r) e V (p r q r).

Questo 5: (CESPE - PF - Regional) Considere as sentenas abaixo.

I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.II- Fumar no deve ser proibido e fumar faz bem sade.III- Se fumar no faz bem sade, deve ser proibido.IV- Se fumar no faz bem sade e no verdade que muitos

europeus fumam, ento fumar deve ser proibido.V- Tanto falso que fumar no faz bem sade como falso

que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos euro-peus fumam.

Considere tambm que P, Q, R e T representem as sentenas listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido.

Q Fumar de ser encorajado.

R Fumar no faz bem sade.

T Muitos europeus fumam.

Com base nas informaes acima e considerando a notao introduzida no texto, julgue os itens seguintes.

a) A sentena I pode ser corretamente representada por P ^ ( T).

b) A sentena II pode ser corretamente representada por ( P) ^ ( R).

c) A sentena III pode ser corretamente representada por R P.

d) A sentena IV pode ser corretamente representada por (R ^ ( T)) P.

e) A sentena V pode ser corretamente representada por T (( R) ^ ( P)).

Questo 6: Um agente de viagens atende trs amigas. Uma delas loura, outra morena e a outra ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas far uma viagem a um pas diferente da Europa: uma delas ir Alemanha, outra ir Frana e a outra ir Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informaes:

A loura: No vou Frana nem Espanha.A morena: Meu nome no Elza nem Sara.A ruiva: Nem eu nem Elza vamos Frana.O agente de viagens concluiu, ento, acertadamente, que:a) A loura Sara e vai Espanha.b) A ruiva Sara e vai Frana.c) A ruiva Bete e vai Espanha.d) A morena Bete e vai Espanha.e) A loura Elza e vai Alemanha.

Questo 7: D a negao lgica de cada sentena:a) Nenhum aluno gosta de geometria.b) Tudo o que bom engorda.c) Existe um pas de lngua portuguesa na Europa.d) Comprei um CD e um livro.Questo 8: Considere as afirmaes seguintes:(I) Se um poltico tem muito dinheiro, ento ele pode ganhar as

eleies.(II) Se um poltico no tem muito dinheiro, ento ele no pode ga-

nhar as eleies.(III) Se um poltico pode ganhar as eleies, ento ele tem muito

dinheiro.(IV) Se um poltico no pode ganhar as eleies, ento ele no tem

muito dinheiro.(V) Um poltico no pode ganhar as eleies, se ele no tem muito

dinheiro.a) Assumindo que (I) verdadeira, quais das outras afirmaes so

verdadeiras?b) Qual a negao de (I)?c) A afirmao (I) do tipo p q. Como ficaria a afirmao q

p, chamada recproca de (I)?d) Como ficaria a afirmao ~q ~p, chamada contra positiva

de (I)?

Questo 9: Escreva a negao das seguintes proposies numa sentena o mais simples possvel.

a) falso que no est frio ou que est chovendo.b) Se as aes caem aumenta o desemprego.c) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis.d) A condio necessria para ser um bom matemtico saber l-

gica.e) Jorge estuda fsica mas no estuda qumica.(Expresses da forma p mas q devem ser vistas como p e q)

Questo 10: ESAF AFC-STN) A afirmao Alda alta, ou Bino no baixo, ou Ciro calvo falsa. Segue-se, pois, que verdade que:

a) se Bino baixo, Alda alta, e se Bino no baixo, Ciro no calvo.

b) se Alda alta, Bino baixo, e se Bino baixo, Ciro calvo.c) se Alda alta, Bino baixo, e se Bino no baixo, Ciro no

calvo.d) se Bino no baixo, Alda alta, e se Bino baixo, Ciro calvo.e) se Alda no alta, Bino no baixo, e se Ciro calvo, Bino no

baixo.


Raciocnio Lgico

Questo 11: Dizer que a afirmao todos os economistas so mdicos falsa, do ponto de vista lgico, equivale a dizer que a seguinte afirmao verdadeira:

a) pelo menos um economista no mdico b) nenhum economista mdico c) nenhum mdico economista d) pelo menos um mdico no economista e) todos os no mdicos so no economistas

Questo 12: A negao da afirmao condicional se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva :

a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.b) no est chovendo e eu levo o guarda-chuva.c) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuva. d) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva. e) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva.

Questo 13: Se Carlos mais velho do que Pedro, ento Ma-ria e Julia tem a mesma idade. Se Maria e Julia tem a mesma idade, ento Joo mais moo do que Pedro. Se Joo mais moo do que Pedro, ento Carlos mais velho do que Maria. Ora, Carlos no mais velho do que Maria. Ento:

a) Carlos no mais velho do que Leila, e Joo mais moo do que Pedro.

b) Carlos mais velho que Pedro, e Maria e Julia tem a mesma idade.

c) Carlos e Joo so mais moos do que Pedro. d) Carlos mais velho do que Pedro, e Joo mais moo do

que Pedro. e) Carlos no mais velho do que Pedro, e Maria e Julia no

tem a mesma idade.

Questo 14: Jos quer ir ao cinema assistir ao filme Fogo Contra Fogo, mas no tem certeza se o mesmo est sendo exi-bido. Seus amigos, Maria, Lus e Jlio tm opinies discordantes sobre se o filme est ou no em cartaz. Se Maria estiver certa, en-to Jlio est enganado. Se Jlio estiver enganado, ento Lus est enganado. Se Lus estiver enganado, ento o filme no est sendo exibido. Ora, ou o filme Fogo contra Fogo est sendo exibido, ou Jos no ira ao cinema. Verificou - se que Maria est certa. Logo,

a) O filme Fogo contra Fogo est sendo exibido. b) Lus e Jlio no esto enganados. c) Jlio est enganado, mas Lus no. d) Lus est enganado, mas Jlio no. e) Jos no ir ao cinema.

Questo 15: (SEFaZ/Fcc) Considere a proposio Paula estuda, mas no passa no concurso. Nessa proposio, o conec-tivo lgico :

a) Disjuno inclusiva. b) Conjuno.c) Disjuno exclusiva.d) Condicional.e) Bicondicional.

RESoLUES

Questo 1: Considere as proposies p: Est frio e q: Est chovendo.

Traduza para linguagem corrente as seguintes proposies:a) P ~q Est frio oU no Est chovendob) p q Se Est frio ento Est chovendoc) ~p ^ ~q no Est frio e no Est chovendod) p ~q Esta(r) frio se e somente se Estiver chovendoe) (p ~q) (q ^~p) Estar frio ou no Estar chovendo

se e somente se Estiver chovendo e no Estiver frio

Questo 2:Traduza para linguagem simblica as seguintes proposies:a) no verdade: que (negao) a terra um planeta ou (a

terra) gira em torno do Sol ~(p V q)b) Se a terra um planeta ento a terra gira em torno do

Sol. p qc) falso que (negao) a terra um planeta ou que (a terra)

no gira em torno do Sol ~(p ~q) negao do( p ou ~q)d) a terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra no

um planeta. q ~pe) A Terra no nem (negao) um planeta e nem (negao)

gira em torno do Sol. ~p ^ ~q

Questo 3:a) a contrapositiva: Se p 2 e p par, ento p no primo.b) a recproca: Se p = 2 ou p mpar, ento p primo.

Questo 4:a) Supondo V (p ^ q r s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2),

determine V (p r ^ s). Soluo: De (2) temos que V (r) = V (s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p r ^ s) = F

b) Supondo V (p ^ (q r)) = V (1) e V (p r q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Soluo: De (1) conclumos que V (p) = V e V (q r) = V e de (2) temos que V (q) = F, logo V (r) = V

c) Supondo V (p q) = V, determine V (p ^ r q ^ r) e V (p r q r). Soluo: Vamos supor V (p ^ r q ^ r) = F. Temos assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p q) = V. Logo, V (p r q r) = V. Analogamente, mostramos que V (p r q r) = V.

Questo 5:a) Item ERRADO. Sua representao seria P ^ T.b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que diz a

proposio R: Fumar no faz bem sade. bom sempre ficar-mos atentos atribuio inicial dada respectiva letra.

c) Item CERTO. a representao simblica da Condicional entre as proposies R e P.

d) Item CERTO. Proposio composta, com uma Conjuno (R ^ T) como condio suficiente para P.

d) Item ERRADO. Dizer ...consequentemente... dizer se... ento.... A representao correta seria (( R) ^ ( P)) T.


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2 TAUTOLOGIA.

Tautologia so proposies compostas (moleculares) que apresentam tabela-verdade sempre com valores lgicos VERDADEIROS, independentemente dos valores lgicos das proposies simples (tomos) que as compem.

Exemplo: Ou faz calor ou no faz calor.

Temos duas parcelas1) faz calor (p)2) no faz calor (~p)

Para verificar se uma proposio composta uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade. Se desta tabela resultar sempre valor lgico verdadeiro (ltima coluna da tabela-verdade) no apresentando NENHUM FALSO, trata-se de uma Tautologia.

p ~p p ~pV F V

S temos respostas verdadeiras na tabela-verdade, independentemente dos valores lgicos atmicos. Por isso, a afirmao acima uma tautologia.

Veja um exemplo um pouco mais complexo (pois apresenta mais proposies): vamos verificar se a proposio (p q) (p q) uma tautologia ou no.

como proceder? Fazendo a tabela-verdade.

Ento vamos!!! Mos obra.

p q p q p q (p q) (p q)V V V V VV F F V VF V F V VF F F F V

Portanto, podemos concluir que se trata de uma TaUToLogia, pois todos os valores lgicos da ltima coluna so VERDa-DEiRoS.

conTRaDio

So proposies compostas (moleculares) formada por duas ou mais proposies que so sempre FaLSaS, independentemente do valor lgico das proposies (atmicas) que a compem.

Exemplop ~p uma contradio pois

p ~p p p

V F F

F V F

Para verificar se uma proposio composta uma contradio, construiremos a sua tabela-verdade. Se desta tabela resultar sempre valor lgico FALSO (ltima coluna da tabela-verdade) no apresentando NENHUM VERDADEIRO, trata-se de uma contradio.

Veja um exemplo um pouco mais complexo (pois apresenta mais proposies): vamos verificar se a proposio (p ~q) (p q) uma contradio ou no.


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como proceder? Fazendo a tabela-verdade.Ento vamos!!! Mos obra.

p q ~q (p ~q) (p q) (p ~q) (p q)

V V F F V FV F V V F FF V F V F FF F V F F F

S temos respostas FALSAS na ltima coluna da tabela-verdade, independentemente dos valores lgicos atmicos. Por isso, a afirma-o acima uma contradio.

conTingncia

Uma proposio composta sera chamada de contingncia sempre que no se caracterizar como uma tautologia e nem como uma contra-dio. Para verificar se uma proposio composta uma contingencia, construiremos a sua tabela-verdade. Se desta tabela resultar valores lgicos FALSO e VERDADEIRO (ltima coluna da tabela-verdade) trata-se de uma contingncia.

Veja um exemplo: vamos verificar se a proposio p (p q) uma contingncia ou no.

como proceder? Fazendo a tabela-verdade.Ento vamos!!! Mos obra.

P q (p q) p (p q)V V V VV F F FF V F VF F F V

Essa proposio uma contingncia, pois, no uma tautologia e no uma contradio!

oBSERVaES iMPoRTanTES:Podemos analisar as tabelas verdade dos conectivos estudados e observar que estas apresentam semelhanas com contingncia, contra-

dio ou tautologia. Vejamos:

Conjuno, disjuno, condicional e a bicondicional SO CONTINGNCIAS.

A contingncia a situao mais comum de ocorrer.A tautologia e a contradio so excees.

RESUMinDo:Tautologia: proposio composta cuja tabela-verdade s apresenta valor lgico V.Contradio: proposio composta cuja tabela-verdade s apresenta valor lgico F.Contingncia: proposio composta que apresenta tabela verdade com valores lgicos V e F.

QUESTES PRoPoSTaS

Questo 01) (TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposio: na eleio para a prefeitura, o candidato A ser eleito ou no ser eleito. Do ponto de vista lgico, a afirmao da proposio caracteriza:

(A) um silogismo.(B) uma tautologia.(C) uma equivalncia.(D) uma contingncia.(E) uma contradio.


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Questo 02) (Fiscal Trabalho 98 ESaF) Um exemplo de tautologia :

a) se Joo alto, ento Joo alto ou guilherme gordo b) se Joo alto, ento Joo alto e guilherme gordoc) se Joo alto ou guilherme gordo, ento guilherme

gordod) se Joo alto ou guilherme gordo, ento Joo alto e

guilherme gordo e) se Joo alto ou no alto, ento guilherme gordo

Questo 03) Construa a tabela-verdade das seguintes propo-sies:

(1) P(p, q) = (p q) (q p) (2) P(p, q) = ~(p q) (p q)(3) P(p, q) = ~p (p ~q)(4) P(p, q) = ~(p q) (p q).

Questo 04) (agente Fiscal adaptada/Fcc) Julgue certo ou errado.

Se p e q so proposies, ento a proposio (p q) v (~q) uma tautologia.

RESoLUo

Questo 01) Devemos montar a tabela-verdade para verificar se a propo-

sio acima uma tautologia ou no. Para isto, vamos definir as proposies simples:

p : o candidato A ser eleito~p: o candidato A no ser leitoEnto, a sentena o candidato A ser eleito OU no ser elei-

to passar ser representada simbolicamente como: p ~p .Construindo a tabela- verdade, teremos que:

P ~p p ~pV F VF V V

Portanto, como a ltima coluna da tabela-verdade s apresen-ta valores VERDADEIROS, trata-se de uma tautologia. Alterna-tiva A.

Questo 02)Devemos montar a tabela-verdade para verificar se a propo-

sio acima uma tautologia ou no. Para isto, vamos definir as proposies simples:

p : Joo alto.q : guilherme gordo.Ento, as sentenas das alternativas tambm devem ser es-

critas na linguagem lgica e ficam assim escritas simbolicamente como:

a) p (p q) (=se Joo alto, ento Joo alto ou Guilher-me gordo)

b) p (p q) (=se Joo alto, ento Joo alto e Guilherme gordo)

c) (p q) q (=se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Guilherme gordo)

d) (p q)(p q) (=se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Joo alto e Guilherme gordo)

e) (p ~p) q (=se Joo alto ou no alto, ento Guilher-me gordo)

Devemos, agora, testar as tabelas verdade das alternativas, procurando por aquela que seja uma Tautologia. Para isso, cons-truiremos a tabela-verdade de cada opo de resposta.

Teste da alternativa a: p (p q)

p q (p q) p (p q)V V V VV F V VF V V VF F F V

Na primeira alternativa j chegamos resposta! Observemos que a ltima coluna da tabela-verdade acima s apresentou valo-res lgicos verdadeiros! Com isso, conclumos: a proposio da opo A Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo uma Tautologia.

Resposta: Letra a.

oBSERVao:como estamos comeando na anlise da proposies in-

teressante que, mesmo antes de montarmos qualquer tabela--verdade, analisarmos os tipos de conectivos das proposies. isto pode nos adiantar nas nossas observaes e at mesmo ga-nharmos um grande tempo para resolver a questo.

neste caso, por exemplo, todas as proposies so condi-cionais. Na tabela-verdade do conectivo condicional s teremos o valor lgico falso quando na proposio condicional o antecedente for verdade e o consequente for falso.

Sabendo que uma tautologia sempre tem valor lgico verdade, ento dentre as proposies condicionais apresentadas nas alter-nativas, aquela em que nunca ocorrer o antecedente verdade e o consequente falso ser uma tautologia.

- Anlise da alternativa a: p (p q)

Vejam que se p desta proposio for verdade, tambm o consequente (p q) dever ser verdade, para que a proposio seja verdadeira. Vemos no consequente uma disjuno (que deve ter uma parcela Verdadeira). Mas, considerando p verdadeiro no antecedente ele tambm ser verdadeiro no consequente e, assim, o consequente obrigatoriamente ser verdadeiro, independente do valor lgico de q. Logo esta proposio uma tautologia.

Poderamos analisar desta forma as demais alternativas ape-nas como demonstrao.

- Anlise da alternativa b: p (p q)Vejam que quando o antecedente desta proposio for ver-

dade, o consequente ser verdade se q for verdade, e falso se q for falso. Assim, a proposio pode assumir os valores lgicos de verdade e falso. no uma tautologia.

- Anlise da alternativa c: (p q) qO antecedente desta proposio sendo verdade, o valor l-

gico de q pode ser verdade ou falso, e da o consequente que dado por q tambm pode ser verdade ou falso, logo con-clumos que a proposio desta alternativa no uma tautologia.


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- Anlise da alternativa d: (p q) (p q)O antecedente desta proposio sendo verdade, os valores de p e q podem ser verdade ou falso, e portanto o consequente tambm

pode ser verdade ou falso, logo conclumos que a proposio desta alternativa no uma tautologia.- Anlise da alternativa e: (p ~p) qObservem que o antecedente sempre verdade independente do valor lgico de p, j o consequente pode assumir o valor lgico de

verdade ou falso. Portanto, conclumos que a proposio desta alternativa no uma tautologia.

Questo 03)

(1)

P q p q q p (p q) (q p)V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F F F V

(2)

P q p q ~(p q) p q ~(p q) (p q)V V V F V V

V F V F F V

F V V F F V

F F F V V V

(3)

P q ~p ~q p ~q ~p (p ~q)V V F F F F

V F F V V F

F V V F F F

F F V V F F

(4)

P q p q ~(p q) p q ~(p q) (p q)

V V V F V F

V F F V F F

F V F V F F

F F V F V FQuesto 04)

P Q ~q p q(p q) v

(~q)V V F V V

V F V F V

F V F V V

F F V V V

uma tautologia, pois os valores lgicos da ltima coluna resultaram todos em verdadeiros.

gabarito: certo


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3 OPERAO COM CONJuNTOS.

Os diagramas lgicos so usados na resoluo de vrios pro-blemas. Uma situao que esses diagramas podero ser usados na determinao da quantidade de elementos que apresentam uma determinada caracterstica.

CUIDADO: no preenchimento dos conjuntos deve-se comear pela informao que traz a regio de interseco, ou seja: ao grupo de indivduos que fazem todas as atividades ou caractersticas apre-sentadas em questo. Se forem duas caractersticas A e B devemos comear preenchendo pelo nmero dos que possuem a caracterstica A e B, simultaneamente. Depois, desconta-se este valor para deter-minar o nmero de indivduos que apresentam apenas a caractersti-ca A e B. Vejamos um exemplo bem simples abaixo:

EXEMPLo 01) Assim, se num grupo de pessoas h 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lgicos pode-remos saber:

- quantas pessoas tm no grupo- quantas dirigem somente carro- ainda quantas dirigem somente motos.- quantas podem no dirigir nem carro nem moto.

Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Come-aremos marcando quantos elementos tem a interseco e depois completaremos os outros espaos.

Marcando o valor da interseco, ento iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, que poderemos responder as perguntas feitas.

Concluindo-se que:

Temos nas somas individuas 8 + 33, que perfaz 41 indivduos. Ee mais 10 pessoas na interseco. Total: 51 indivduos entrevis-tados. Dos quais:

a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas.b) Dirigem somente carros 33 motoristas.c) Dirigem somente motos 8 motoristas.

EXEMPLo 02) No caso de uma pesquisa de opinio sobre a preferncia quanto leitura de trs jornais. A, B e C, foi apresen-tada a seguinte tabela:

Jornais Leitores

A 300B 250

C 200

A e B 70

A e C 65

B e C 105

A, B e C 40

Nenhum 150

Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto.

A colocao dos valores comear pela interseco dos trs conjuntos e depois para as interseces duas a duas e por ltimo s regies que representam cada conjunto individualmente.

Representaremos esses conjuntos dentro de um retngulo que indicar o conjunto universo da pesquisa.


Raciocnio Lgico

Fora dos diagramas teremos 150 elementos que no so leitores de nenhum dos trs jornais.

Na regio I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos.

Na regio II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos.

Na regio III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos.

Na regio IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos.

Na regio V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos.

Na regio VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos.Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes

elementos:

Com essa distribuio, poderemos notar que 205 pessoas leem apenas o jornal A. Verificamos que 500 pessoas no leem o jornal C, pois a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150. que a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150.

Diagrama de Euler

Um diagrama de Euler

apostila raciocÍnio lÓgico

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