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CAMPUS PATO BRANCO

CURSO DE MATEMATICA PARA ALUNOS INGRESSANTES

Projeto Institucional da Area de Matematica do campus Pato Branco

Pato Branco - PR, 2011

Sumario

1 Numeros Naturais 4

1.1 Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Multiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Mınimo Multiplo Comum (M.M.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Maximo Divisor Comum (M.D.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Fracoes 11

2.1 Operacoes com fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Outras operacoes com fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Potenciacao e Radiciacao 16

3.1 Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1 Exercıcios para Fixacao! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Radiciacao e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Propriedades da Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Expressoes numericas 21

4.1 Ordem das Operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Equacao do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Expressoes Algebricas e Polinomios 25

5.1 Expressoes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.1.1 Operacoes com Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2.1 Operacoes com Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2.2 Operacoes com polinomios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3 Decomposicao de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3.1 Fracoes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Exponencial e Logaritmo 38

6.1 Equacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Inequacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3.1 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2

7 Trigonometria 44

7.1 Introducao a trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.1 Razoes trigonometricas no triangulo retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.2 Angulos Notaveis: 30o, 45o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.1.3 Calculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.1.4 Calculo do seno, cosseno e tangente de 45o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.3 Arcos, angulos e o cırculo trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.3.1 Arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.3.2 Estudo do Cırculo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.3.3 Expressao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3.4 Circulo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.4 Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.4.1 Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8 Respostas dos Exercıcios 59

8.1 Respostas dos Exercıcios do Capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


8.3 Respostas dos Exercıcios do Capitulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63






Referencias 76

Capıtulo 1

Numeros Naturais

1.1 Numeros Naturais

O sistema de numeracao mais usados em nossos dias e o indo-arabico, que tem base decimal e e de

carater posicional, ou seja, o valor de cada algarismo e definido em funcao da posicao que ele ocupa na

expressao do numero.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}.

Exemplo 1 Escreva o conjunto dos numeros naturais menores que 12:

Solucao: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Nota: N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

FAZENDO VOCE APRENDE

1) Represente os seguintes subconjuntos de N por seus elementos:

(a) O conjunto dos numeros naturais que sao ımpares.

(b) O conjunto dos numeros naturais que sao pares.

(c) O conjunto dos numeros ımpares e menores que 12.

(d) O conjunto dos numeros ımpares menores ou iguais a 11.

2) Escreva em extensao, ou seja, pelos seus elementos, os seguintes conjuntos escritos por uma

propriedade:

(a) A = {n ∈ N|n < 1}

(b) B = {n ∈ N∗|n ≤ 11}

(c) C = {n ∈ N|n > 2 e n < 10}

(d) D = {n ∈ N| 2 < n < 10}

(e) E = {n ∈ N|n ≥ 2 e n ≤ 10}

(f) F = {n ∈ N|2 ≤ n ≤ 10}

3) Represente por uma propriedade os seguintes subconjuntos de N:

(a) A = {1, 2, 3, 4, 5}

(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}

(c) C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

4

5

(e) E = {5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., n, ...} (f) F = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}

4) ) Represente em extensao os conjuntos:

(a) A = {2n|n ∈ N}

(b) B = {2n ∈ N|n > 0 e n < 5}

(c) C = {2n ∈ N|0 < n < 5}

(d) D = {2n ∈ N|0 ≤ n ≤ 5}

5) Represente na reta numerica os seguintes subconjuntos dos numeros naturais:

(a) A = {0, 1, 2, 3}

(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}

(c) C = {3, 4, 7, 10}

(d) D = {n ∈ N|n < 10}

(e) E = {n ∈ N∗|n < 12}

(f) F = {N ∈ N|n > 2 e n < 9}

E LOGICO !

Num certo planeta, os dias tem 17 horas e 17 minutos. La costuma se praticar o zists. As partidas

de zists comecam sempre as 13h 10min e duram 2h 15min. A que horas elas terminam?

1.2 Multiplos

Definicao 1 : Chamam-se multiplos de um numero ao produto desse numero por um numero natural

qualquer. O conjunto dos multiplos de um numero natural nao nulo e infinito e podemos conseguı-lo

multiplicando-se o numero dado por todos os numeros naturais.

Exemplo 2 M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...}

Observacao 1 O numero zero (0) e multiplo de qualquer numero.

FAZENDO VOCE APRENDE!

1) Determine e indique os conjuntos em N:

1. M(1) 2. M(2) 3. M(6) 4. M(10) 5. M(12) 6. M(50)

2) Classifique em verdadeiras ou falsas as afirmacoes abaixo.

(a) O numero zero e multiplo de qualquer numero natural.

(b) O maior multiplo de um numero e o proprio numero.

(c) O conjunto dos multiplos de um numero e infinito.

(d) Todo numero natural e multiplo de si mesmo.

(e) O numero um so e multiplo dele mesmo.

6

3) Quais sao os multiplos de 12 menores do que 50?

4) Quais sao os multiplos de 13 compreendidos entre 15 e 40?

5) Qual e o menor multiplo de um numero natural?

6) Qual e o nome que se da ao conjunto dos multiplos de 2?

7) Considere n ∈ {1, 2, 3}. Sabendo que a = 2n e b = 3n, escreva os multiplos comuns de a e b

menores que 50.

8) Escreva o conjunto dos numeros naturais que sao multiplos de 3 e tambem, de 6.



E LOGICO!

Na piramide abaixo, tem-se que o numero de cada tijolo e a soma dos numeros dos dois tijolos

vizinhos, do andar de baixo.

1. Usando x, como se indica o numero do tijolo escuro?

2. Usando x, como se indica o numero do tijolo hachurado?

3. Qual e o valor de x?

4. Determine o valor de cada tijolo da piramide.

Resp: x = 11

1.3 Mınimo Multiplo Comum (M.M.C)

Definicao 2 Tendo-se dois ou mais numeros naturais nao nulos, o m.m.c. deles e o menor numero nao

nulo que seja multiplo de todos eles.

7

Exemplo 3 Obter m.m.c de 28 e 36.

Observacao 2 Decompor um numero composto em fatores primos significa expressar este numero como

produto de outros que sejam primos.

Definicao 3 Numeros Primos sao aqueles que sao divisıveis apenas por 1 e por ele mesmo.

Definicao 4 Numeros Compostos sao aqueles que podem ser escritos atraves do produto de numeros

primos elevados a uma potencia.

Observacao 3 Os numeros 0 e 1 nao sao nem primos, nem compostos.

FAZENDO VOCE APRENDE !

1) Determine o m.m.c. entre os numeros:

1. 14 e 21 2. 8,12 e 16 3. 10,15 e 20 4. 12, 18, 30 e 36 5. 2,3, 5,7 e 10

2) O Sr. Joaquim toma um comprimido de 5 em 5 horas e um xarope de 3 em 3 horas. Se a meia-noite

ele tomou os dois remedios, a que horas ele voltara a tomar os dois remedios juntos?

3) Do porto de Santos, partem navios argentinos de 16 em 16 dias e navios uruguaios de 40 em 40

dias. Se, num certo dia, saıram navios das duas nacoes, quantos dias demorara para ocorrer uma nova

partida conjunta?

4) Em uma pista circular dois ciclistas partem juntos de um mesmo ponto e no mesmo sentido. O

primeiro completa cada volta em 24 minutos e o segundo em 18 minutos. Apos quantos minutos da

partida os dois vao estar juntos outra vez?

5) Numa estacao rodoviaria, os onibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas, e para a cidade B

de 8 em 8 horas. Numa ocasiao, um onibus para a cidade A partiu junto com o outro para a cidade B.

Quanto tempo depois isso acontecera de novo?

6) Um paıs tem eleicoes para presidente de 5 em 5 anos, e para governadores de 4 em 4 anos. Em

1988, essas duas eleicoes coincidiram. De os anos das tres proximas vezes em que elas voltarao a coincidir.

E LOGICO !

Um poco tem 10 metros de profundidade. Uma lesma que esta no fundo do poco sobe quatro metros

durante o dia, e durante a noite, enquanto dorme, escorrega, para baixo, tres metros. Em quantos dias

saira do poco?

8

1.4 Divisores

Definicao 5 Sendo a e b dois numeros inteiros, com a 6= 0, dizemos que a e divisor de b quando b e

divisıvel por a.

Exemplo 4 1) Determine os divisores de 14. Solucao: D(14)={1, 2, 7, 14}


1) Escreva os numeros naturais que:

1. Sao divisores de 12.

2. Sao divisores de 30.

3. Sao divisores de 12, mas nao de 30.

4. Sao divisores de 30, mas nao de 12.

5. Sao divisores comuns de 12 e 30.

2) Quais sao os divisores de um numero primo p?

3) O conjunto dos divisores de 10 e indicado por D(10) e os divisores de 24 por D(34). Apresente os

conjuntos:

1. D(10) 2. D(24) 3. D(10) ∩D(24) 4. D(10) ∪D(24)

4) A tia Rosa da cantina comprou 200 balas para serem vendidas em pacotes que contenham mais

de 3 balas e menos de 7 balas. Todos os pacotes devem ter o mesmo numero de balas e nao deve sobrar

nenhuma das 200 balas. Quais sao as diferentes maneiras que tia Rosa encontrou para fazer os pacotes?

5) O professor Elder, de artes, quer dividir a classe em grupos que tenha no mınimo 3 alunos e no

maximo 6. Sabendo-se que a classe tem 36 alunos e que todos os grupos devem ter o mesmo numero de

alunos, quais sao as maneiras possıveis de o professor Elder formar os grupos?

6) Um torneio de futebol de salao vai reunir 24 equipes. O organizador quer formar grupos que

tenham o mesmo numero de equipes, com no mınimo 2 e no maximo 8 equipes. Quais sao as maneiras

possıveis de formar estes grupos?

7) Encontre todas as maneiras possıveis para ampliar 20 caixas de refrigerante em pilhas iguais, de

modo que cada pilha tenha no mınimo 2 e no maximo 10 caixas.

8) Disse um matematico: “O produto das idades de meus dois filhos e igual a 18 anos.” Quais sao

as possıveis idades (em anos) dos filhos deste matematico?

E LOGICO !

Usando 32 quadrinhos, de 1 cm de lado, quero formar retangulos como o da figura abaixo:

9

Agora, responda:

(a) E possıvel formar outros retangulos usando todos os quadrinhos?

(b) Quais as medidas dos lados desses retangulos?

1.5 Maximo Divisor Comum (M.D.C)

Definicao 6 Tendo-se dois ou mais numeros naturais nao nulos, o m.d.c. deles e o maior numero

natural divisor de todos eles.

Exemplo 5 Determine o m.d.c de 12 e 16.

MDC(12)= {12}

MDC(16)= {16}

Observacao 4 O m.d.c. e o produto dos fatores comuns com o menor expoente: m.d.c.{12, 16} =

22 = 4.

Exemplo 6 Determinar o mdc entre 20 e 9.

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} e D(9) = {1, 3, 9} Assim, mdc{20, 9} = 1

Atencao: Dois numeros sao primos entre si, se o m.d.c. entre os dois for 1.


1) Obtenha:

1. o m.d.c. (27, 36) 2. o m.d.c. (45, 75) 3. o m.d.c. (20, 26) 4. o m.d.c. (16, 21)

2) Um professor da aulas numa 7a serie, de 30 alunos, e numa 8a serie, de 18 alunos. Em cada sala,

ele formou grupos, e todos os grupos (tanto na 7a como na 8a) tinham o mesmo numero de alunos. Qual

e o maior numero de alunos que cada grupo pode ter?

3) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois numeros naturais nao nulos, quando um deles e

divisor do outro?

4) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois numeros primos diferentes?

5) Na escola de Laura, a 5a serie A tem 36 alunos e a 5a serie B tem 42. Para participar de uma

exposicao de artes, cada classe formara equipes. Todas as equipes devem ter o mesmo numero de alunos.

Sabendo que todos os alunos devem participar dessa exposicao, responda:

10

(a) Qual o numero maximo de alunos por equipe?

(b) Quantas serao as equipes da 5a serie A? E da 5a serie B?

6) Para confeccao de uma tela, dois rolos de arame de 350 cm e 140 cm vao ser divididos em pedacos

da mesma medida e a maior possıvel (sem sobras). Qual o numero de pedacos que serao obtidos de cada

rolo?

7) Para montagem de uma estante, tres pedacos de madeira (caibros) medindo 240 cm, 320 cm e 400

cm devem ser divididos em pedacos iguais de maior medida possıvel (sem sobras). Qual o numero total

de pedacos que serao obtidos?

8) A gerente de uma loja de tecidos quer dividir tres pecas de fazenda em partes iguais e de maior

tamanho possıvel. Sabendo que essas pecas medem 180 m, 216 m e 288 m, determine o numero de partes

em que sera dividida cada peca e o comprimento dessas partes.

E LOGICO !

Quantos quadrados ha na figura?

Capıtulo 2

Fracoes

2.1 Operacoes com fracoes

• Adicao e Subtracao

Exemplo 7 (a) 78 + 5

6 = 3.724 + 4.5

24 = 2124 + 20

24 = 4124

(b) 75 − 3

8 = 8.7−5.340 = 56−15

40 = 3140


1) Efetue as adicoes e se possıvel, simplifique os resultados:

(a) 76 + 5

3 (b) 84 + 2

3 (c) 512 + 7

24 (d) 12 + 9

4

2) Calcule as adicoes e expresse os resultados na forma de fracao irredutıvel:

(a) 718 + 7

8 (b) 536 + 1

24 (c) 928 + 10

21 (d) 17 + 14

21

3) Efetue as adicoes:

(a) ( 310 + 3

5 ) + 34

(b) 310 + ( 3

5 + 34 )

(c) ( 59 + 2

3 ) + 45

(d) 1225 + ( 3

5 + 715 )

(e) 1021 + 6

7 + 314

56 + 2

5 + 4

4) Transforme os numeros mistos em fracoes improprias e efetue as adicoes:

(a) 2 13 + 5 3

5 = 2.3+13 + 5.5+3

5 = 73 + 28

5 = 5.7+3.2815 = 119

15

(b) 2 910 + 4 4

5 (c) 5 38 + 3 3

4 (d) 5 14 + 5 1

2

11

12

5) Calcule as diferencas:

(a) 57 − 2

3

(b) 1012 − 3

8

(c) 1112 − 1

7 − 121

(d) 139 − 5

6 − 118

(e) ( 98 − 3

5 )− 518

(f) ( 72 − 2)− (3− 7

8 )

6) Calcule:

(a) 205 − ( 3

4 − 12 )

(b) ( 205 − 3

4 )− 12

(c)Considerando os resultados obtidos em a e b, responda: (1) O que voce observa neles? (2) A

subtracao de numeros fracionarios e associativa? (Pesquise o que e uma operacao associativa).

7) Transforme os numeros mistos em fracoes improprias e efetue as subtracoes:

(a) 5 55 − 2 1

3 = 5.5+55 − 2.3+1

3 = 285 − 7

3 = 84−3515 = 49

15

(b) 4 58 − 1 3

4

(c) 3 58 − 1 1

6

(d) 2 56 − 1

3

(e) 5 15 − 5

(f) 3− 1 34

(g) 16− 12 13

8) No sıtio de Lucas, 13 da plantacao e de milho, 1

4 e de arroz e o restante e de soja. Qual e a fracao

correspondente a plantacao de soja?

9) Rui, Noe e Isa ganharam uma caixa de bombons “Quero-Quero”. Rui comeu 16 , Noe comeu 1

10 e

Isa comeu 15 . Que fracao sobrou dos bombons?

10) Uma praca retangular tem lados medindo 100 m e 60 m. 13 da praca e reservado para a area de

recreacao infantil, 14 e constituıdo de calcadas e o restante e gramado. Qual a area, em m2, reservada

para o gramado?

11) Uma piscina e um bloco retangular de arestas medindo 25 m, 12 m e 1,5 m. Se apenas um terco

da piscina contem agua, quantos litros faltam para encher completamente essa piscina?

12) Fabio tem uma barraca de feira onde vende frutas. Das trinta caixas de laranjas que comprou,

um meio estavam verdes. Das caixas restantes 115 estavam estragadas e as demais estavam maduras.

Quantas caixas de laranjas maduras Fabio comprou?

E LOGICO !

Um grupo de seis alunos pediu ao professor que elaborasse mais uma prova para a classe.

O professor disse:

- Voces sao apenas um quinto da classe. So darei outra prova se a metade da classe pedir.

Voces nao sabem o trabalho que da para corrigir...

Quantos alunos precisarao se juntar ao grupo para que o professor de a prova?

13

2.2 Outras operacoes com fracoes

• Multiplicacao:

Exemplo 8 (a) 78 . 53 = 7.5

8.3 = 3524 (b) 5

2 .(−3) = 52 .(−3

1 ) = −152 = − 15

2

• Divisao:

Exemplo 9 (a) 35 ÷ 6

4 = 35 . 46 = 3.4

5.6 = 1230 = 2

5 (b) 52 ÷ (−3) = 5

2 ÷ (−31 ) = − 5

6


1) Determine o produto e simplifique quanto puder:

(a) 56 × 6

8

(b) 34 × 1

3

(c) 65 × 4

3

(d) 72 × 5

3

(e) 65 × 7

4

(f) 118 × 2

5 × 533

(g) 23 × 3

5 × 38 × 4

9

(h) 3 45 × 3

(i) 1 12 × 2 3

4

2) Calcule:

(a) A metade de uma dezena

(b) Um terco de uma duzia

(c) A metade da metade

(d) A metade de um terco

(e) A metade de um quarto

(f) A terca parte de uma duzia e meia

3) Determine os quocientes e simplifique se puder:

(a) 57 ÷ 4

7

(b) 712 ÷ 5

12

(c) 154 ÷ 3

4

(d) 512 ÷ 1

3

(e) 1115 ÷ 3

5

(f) 34 ÷ 2

5

(g) 78 ÷ 2

3

(h) 23 ÷ 1

2

4) Transforme os numeros mistos em fracoes improprias e efetue as divisoes:

(a) 28÷ 1 34

(b) 7÷ 3 14

(c) 2 14 ÷ 1 3

5

(d) 6 16 ÷ 2 1

6

5) Um aluno acertou 45 de uma prova de 10 questoes. Quantas questoes ele errou?

6) Um guardanapo de papel e quadrangular e tem lados medindo 15 m. Quantos metros quadrados

de papel correspondem a 100 guardanapos?

7) Um ladrilho e quadrangular e tem lados medindo 14 m. Para fazer o piso de uma sala retangular

de lados medindo 10 m e 12 m, quantos ladrilhos iguais a esse serao necessarios?

14

8) O piso de um salao, que e quadrado, vai ser coberto por 400 placas de borracha. Essas placas sao

quadradas e seus lados medem 25m .

(a) Qual e a area em m2 , de salao? (b) Qual o perımetro, em m, desse salao?

9) Uma empresa de transporte coletivo vai muito mal: 1320 dos seus onibus estao quebrados. Isso

corresponde a 520 onibus quebrados. Quantos onibus tem essa empresa?

10) Para evitar problema com a coluna, as criancas nao devem carregar mais de 110 do proprio peso.

Adultos podem carregar ate 15 do proprio peso. Sabendo disso, um adulto e uma crianca fizeram seus

calculos: ele pode carregar ate 14 kg e a crianca ate 4. Quantos quilogramas tem esse adulto e essa

crianca?

11) Eu tenho 35 da quantia que voce tem.

(a) Se voce tiver R$1.800, 00, quanto eu terei?

(b) Se eu tiver R$1.800, 00, quanto voce tera?

12) Uma estrada de 308 km acaba de ser inaugurada. So que e a terceira vez que isso acontece. Na

primeira vez, apenas 27 da estrada estavam asfaltadas; na segunda, mais 1

4 da estrada, e desta vez, mais211 . Quantos quilometros da estrada estao sem asfalto?

E LOGICO !

Dona Ester foi trabalhar e deixou dinheiro para seus tres filhos com este bilhete. “Dividam igualmente

o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou 13 do dinheiro e saiu. O segundo chegou e nao viu

ninguem. Pensando que era o primeiro, pegou 13 do dinheiro que tinha pela frente e saiu. O terceiro

encontrou 8 notas de R$1, 00. Achou que era o ultimo, pegou tudo e saiu. a) Que fracao de dinheiro

deixado pela mae o segundo filho pegou? b) Que fracao do dinheiro deixado pela mae sobrou, quando o

segundo filho saiu? c) Quantos reais dona Ester deixou? d) Devido ao engano do segundo filho, alguem

saiu beneficiado? E prejudicado? Quem?

2.3 Decimais

Definicao 7 As fracoes com denominadores 10, 100, 1000, 10000 (potencias de 10) sao fracoes deci-

mais.

Exemplo 10 (a) 510 = 0, 5 (b) 13

100 = 0, 13 (c) 451000 = 0, 045


1) Coloque na forma decimal as seguintes fracoes:

(a) 23 (b) 8

100 (c) 5100 (d) 234

1000

15

2) Substitua 2 por = ou 6=:

(a) 11020, 1 (b) 1

100020, 01 (c) 0, 102 110 (d) 0, 720, 700 (e) 21221, 0 (f) 0, 70120, 71

3) Escreva o numero decimal correspondente a cada uma das funcoes decimais:

(a) 310 (b) 1

100 (c) 71000 (d) 21

100 (e) 431000 (f) 1235

10 (g) 578021000 (h) 61004

10000

4) Transforme em fracao decimal:

(a) 0, 5 (b) 1, 3 (c) 0, 08 (d) 0, 212 (e) 8, 71 (f) 0, 485 (g) 5, 278 (h) 9, 3164

5) Expresse o numeros na forma de fracao irredutıvel:

(a) 0, 60 (b) 0, 225 (c) 0, 155 (d) 0, 45 (e) 0, 006 (f) 0, 422 (g) 0, 425 (h) 5, 008

E LOGICO !

Responda:

(1) Qual e o menor numero decimal que somado a 6,032 resulta em um numero natural?

(2) Qual e o menor numero decimal que subtraıdo de 6,032 resulta em numero natural?

(3) Qual e o menor numero decimal, nao nulo, que somado a ele mesmo resulta em um numero natural?

Capıtulo 3

Potenciacao e Radiciacao

3.1 Potenciacao

Definicao 8 Potenciacao e a operacao em que determinamos o produto de fatores iguais:

an = a.a.a....a︸︷︷︸

nfatores

Exemplo 11 28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256

Propriedades da Potenciacao

(1) Multiplicacao: am.an = am+n

(2) Divisao: am ÷ an = am−n

(3) Potenciacao: (am)n = am.n

(4) Radiciacao: an

m = m√

an

(5) Potencia de um produto: (a.b)n = an.bn

(6) Potencia de um quociente: ( ab )n = an

bn , com b 6= 0

(7) Potencia com expoente inteiro negativo: a−n = 1an , com a 6= 0

(8) a1 = a, a 6= 0

(9) a0 = 1, a 6= 0


1) Reduza a uma so potencia:

(a) 6.69 (b) 7.70 (c) 72.73.75 (d) 103.102.104

2) De o resultado na forma de potencia:

(a) 124 ÷ 123 (b) 28 ÷ 23 (c) 310 ÷ 312 (d) 89 ÷ (8.86)

3) Reduza a uma so potencia:

16

17

(a) (34)2

(b) (43)5

(c) (73)4 ÷ 78

(d) (62)5 ÷ 63

(e) [(102)3.(103)4]÷ (106)3

(f) [710 ÷ (78)2].(75)2

4) Aplique a propriedade de potencia de um produto:

(a) (3.a)2 (b) (4.a)5 (c) (x.y)3 (d) (2.x.y)7

5) Use as propriedades da potenciacao para transformar cada expressao em uma so potencia:

(a) (− 1321 )× (− 13

21 )

(b) ( 833 )2 × ( 8

33 )−3

(c) ( 175 )−2 × ( 17

5 )−3

(d) (− 79 )5 ÷ (− 7

9 )2

(e) (− 214 )−2 ÷ (− 21

4 )−5

(f) [( 1112 )2]3

(g) [( 54 )−2]3

(h) (0, 03)−7 ÷ (0, 03)−4

(i ) [(0, 03)5]−2

6) Resolva as potencias abaixo, usando a propriedades 8 e 9:

(a) 31 =

(b) 30 =

(c) (0, 5)1 =

(d) (0, 5)0 =

(e) (1/2)1 =

(f) (1/2)0 =

(g)√

21

=

(h)√

20

=

7) De um exemplo de uma potencia em que:

(a) A base e o expoente sao inteiros, mas a potencia nao e.

(b) A base nao e um numero inteiro, mas o expoente e a potencia sao.

E LOGICO !

Represente as expressoes com uma so potencia de base 2:

(a) 116 × 0, 25× 128× 1

32 (b) ((0, 5)2)3 × [( 116 )3]4

Outros Exemplos:

1) Calcule as expressoes seguintes (sem usar sua calculadora).

(a) 91/2

(b) 272/3

(c) 8−1/3

(d) ( 1100 )−3/2

(e) 50

3.1.1 Exercıcios para Fixacao!

1) Usando as propriedades elencadas anteriormente, calcule as seguintes expressoes:

(a) 161/2

(b) 4−1/2

(c) 23.25

(d) 25

23

(e) (34)2

(f) (5.6)2

18

(g) (−3)3

(h) (−1, 2)−2

(i) (5)3

4

(j) (π)1

4

(l) 102

10−5

2) Calcule o valor das potencias:

(a) (−5)−1

(b) ( 13 )−3

(c) (0, 4)−1

(d) 10−2

(e) (0, 01)−2

(f) ( 1102 )−1

(g) (− 32 )−1

(h) ( 38 )−2

(i) (√

3)−2

(j) ( 3√2)−4

(l) [(3√

94 )−2]−3

3) Escreva na forma de potencia:

(a)√

7

(b)4√

23

(c)5√

32

(d) 13√

4

(e) 1(−2)3

(f) 1( 3

2)5

4) Escreva na forma de radical:

(a) 21

5

(b) 8−1

2

(c) (a3b)1

4

(d) (m2.n)−1

5

(e) m− 3

4

5) Fatore os radicandos e escreva na forma de potencia com expoente fracionario:

(a) 3√

32

(b) 3√

25

(c) 4√

27

(d) 7√

8

(e) 8√

512

(f) 8√

625

3.2 Radiciacao e suas propriedades

n√

a = b

←→bn= a, n ≥ 2

Onde:

n → Indice.

√ → Sinal radical.

b → Raiz.

a → Radicando.

3.2.1 Propriedades da Radiciacao

1.√

a2= |a|

2. n√

a× b = n√

a × n√

b, com n par, a ≥ 0 e b ≥ 0.

3. n

√ab =

n√

an√

b, com n par, a ≥ 0 e b ≥ 0.

19

4. n√

am= ( n√

a)m,n ¿ 1

5. n√

an= a, com n > 1

6. n√

am=n÷p√

am÷p

7. n

√m√

a= n×m√

a

8. n√

am = am

n

RACIONALIZACAO:

Exemplo 12 (a)a√b

=a√b.

√b√b

=a√

b√b.b

=a√

b√b2

=a√

b

b

(b)a3√

b=

a3√

b.

3√

b2

3√

b2=

a3√

b2

3√

b3=

a3√

b2

b

(c)7

3−√

2=

7

3−√

2.3 +√

2

3 +√

2=

21 + 7√

2

9− 2=

21 + 7√

2

7= 3 +

√2

(d)2

√a +√

b=

2√

a +√

b.

√a−√

b√

a−√

b=

2√

a− 2√

b

a− b

(e)3

2√

3=

3

2√

3.

√3√3

=3√

3

2.3=

√3

6


1) Calcule o valor das expressoes:

(a) 2 3√

27− 3 6√

64

(b)√

100− 64 + 3√

400− 8 4√

0, 0001

(c) 5√

0, 00032− 4√

0, 0064− 2 3√−0, 027

2) Simplifique os radicais:

(a)7√

x17

(b) 4√

81

(c)3√

64.b6

(d) 5

√

1024.x5.y10

(e)√

25a4x

(f) 13

√45

(g)6√

a12x13

(h) 3√

81

(i) 9√

1024

(j)√

52

(l)√

288.a2

75.b4

(m) 3

√x6.y5

a7

(n)√

x2 + 6x + 9 =

(o)√

y2 + 10y + 25

3) Efetue as operacoes com radicais, simplificando o resultado sempre que possıvel::

(a) 3√

20 + 3√

5−√

45−√

80

(b)√

827 + 2

√32108 − 3

√72243

(c) −3b√

a + 7√

b2a− 3a√

a−√

a3

(d) 3√

81÷ 3√

9

(e) 3 6√

125÷ 5 4√

24

(f) 3√

b.5 3√

b. 134√

b

(g) ( 2ab

√

2ba

2)2

20

(h) (3a√

a4b)3

(i) 4

√

ab

5

√ba

(j) 3

√

xy

4

√x2

y3

4) Racionalize os denominadores das fracoes:

(a) a2√

b

(b) a2b√ab

(c) ab5√

ab3c4

(d) 224+

√5

(e) 2a−1√2a−1

(f) 3+√

33−

√3

Capıtulo 4

Expressoes numericas

4.1 Ordem das Operacoes

• Ordem das operacoes:

(1) Potencia e/ou raiz

(2) Multiplicacao e/ou divisao

(3) Soma e/ou subtracao

(4) Considere-se as operacoes na ordem em que aparecem

Exemplo 13 (15

13× 3

5) + 3− [(

2

3)−1 ÷ 3

2]− 1

4+ 81

1

2 =

(15× 3

13× 5) + 3− [

3

2÷ 3

2]− 1

4+

2√

81 =

( 3×313 ) + 3− [ 32 × 2

3 ]− 14 + 9 =

(9

13) + 3− [1]− 1

4+ 9 =

9

13+−1− 1

4+ 9 =

36 + 156− 52− 13 + 468

52→ 595

52


1) Determine o valor das expressoes:

(a) (− 34 )× (−2)− 3

8

(b) 56 × (− 3

4 )− 32

(c) 34 + (− 2

3 )× (− 35 )− 4× [( 3

4 − 58 )× 8]

(d) (− 78 )÷ 3

16 − [ 52 ÷ (− 12 )]

(e) (−4, 7)(6, 8− 9, 4)− [18, 3× (−4, 5)]

(f) 67 −

(− 5

4)

(− 7

8)

(g) (−198, 07 + 16, 8− 12, 003)× 0, 006

(h)(− 3

5 + 615 )÷ (1− 7

10 )715 ÷ [ 9

20 − (− 52 )× 4

5 ]

2) Calcule o valor das expressoes:

21

22

(a) ( 12 )2 × (− 5

9 )−1 + (− 23 )2 ÷ 7

9

(b) [(− 12 )−2 × 3

4 ]−1 − ( 35 )−1

(c) [(− 67 )÷ ( 8

21 )− (2−2)]3

(d) −√

2581 +

√1009

(e)√

94 −

√94 ×

√3681

(f)√

2536 ×

√81100 +

√4964 ÷

√196144

3) Resolva as expressoes:

(a) (−1)÷ 1× 10 + (2× 5)× 10

(b) 104 × (− 2

5 )× (− 1610 )× (− 15

4 )

(c) (−5 58 × 4 3

2 )÷ [1 411 × (−3 1

9 )]

(d) [(− 23 )(− 3

4 ) + ( 12 )−1]2 ÷ (− 15

8 )

(e)√

49 −

√425 +

√649 ÷ (−16)

(f)(− 1

2)2− 3

4

(2)−2+ 5

8

E LOGICO!

Uma escola tem 354 alunos. Um deles inventou uma fofoca sobre o diretor da escola e, em um minuto,

contou a 3 colegas. Pelo jeito, a fofoca era boa porque, no minuto seguinte, cada um desses 3 contou a

novidade a 3 colegas que ainda nao conheciam. Assim, cada um que recebia a notıcia a transmitia a 3

colegas desinformados, gastando, para isso, um minuto.

a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no terceiro minuto?

b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato nos tres primeiros minutos?

FALAR, PENSAR E FAZER MATAMETICA!

Definicao 9 (Modulo ou Valor absoluto de um numero)

O modulo ou valor absoluto de um numero e o proprio numero, se ele for positivo. Caso ele seja

negativo, torna-se o sinal contrario, tornando-o positivo.

|x| ={

x se x ≥ 0

−x se x < 0

Exemplo 14 (1) | − 5| = 5

(2) |5| = 5 ou seja, por definicao: -(-5)=5.

Observacao 5 (Numeros Inteiros Opostos) Quando dois numeros inteiros tem o mesmo valor ab-

soluto e sinais contrarios, dizemos que sao opostos ⇒ +a o oposto de −a.

Exemplo 15 (1) -3 e oposto de +3.

(2) +100 e o oposto de -100.

Observacao 6 Ordenacao dos numeros inteiros (Seja a > 0 e b > 0

1) +a > −b

2) +a > +b⇒ |+ a| > |+ b|,3) −a > −b⇒ | − a| < | − b|,4)−a < 0 < +b.

23

4.2 Equacao do primeiro grau

Definicao 10 Equacao e uma sentenca matematica, que contem uma ou mais letras com valores desco

nhecidos (incognitas), formada por duas expressoes ligadas pelo sinal de igual.

Equacao do primeiro grau e uma equacao do tipo ax + b = 0, onde a e b representam numeros reais

com a 6= 0

Exemplo 16 (1) 3x + 1 = 0 → 3x = −1 → x =−1

3

(2) 2x + 3 = 3(x− 1) → 2x + 3 = 3x− 3 → 2x− 3x + 3 + 3 = 0 → −x + 6 = 0

x = 6

Observacao 7 Num dado universo U,dizemos que uma sentenca que expressa uma igualdade e uma

equacao em U, quando e somente quando essa sentenca determina um conjunto verdade V, que esta

contido em U. (V ⊂ U).

Exemplo 17 Se U = {1, 2, 3} e x + 3 = 5 entao V = {2}.


1) Resolva as seguintes equacoes para U = Q:

(a) 2x + 3 = 19

(b) 8x− 4 = 60

(c) 2x− 1 = 54

(d) 37 − 5x = 1

2

(e) x−43 = x−2

2 − 1

(f) 3x−15 + 2 = 3x

4 + 5

(g) 4x+13 = 5(5x+2)

2

(h) 3(x−2)2 = 4(5−x)

3

2) Escreva uma equacao para cada sentenca:

(a) O dobro de um numero mais seu triplo e igual a 50.

(b) A metade de um numero mais sua terca parte e igual a 15.

(c) A diferenca entre um numero e sua metade e 40.

(d) A soma de dois numeros consecutivos e 11.

(e) A diferenca entre o triplo de um numero e sua metade e 25.

(f) A soma de duas idades e 20. O mais moco nasceu 4 anos depois do mais velho. (Use uma so

variavel)

(g) A diferenca entre duas idades e 20 anos. O mais velho tem triplo da cidade do mais moco.

3) Determine o numero que, somado aos seus 3/5, e igual a 24.

4) Determine o numero tal que a diferenca entre ele e os seus 2/3 seja 8.

5) Um numero, somado a sua quinta parte e a sua metade, e igual a 51. Qual e esse numero?

6) A soma de dois numeros e 63 o quociente entre ambos e exato e vale 6. quais sao esses numeros?

7) Na classe de Rosana, 49% dos alunos foram para a praia nos feriados, 25% para as montanhas e

14 alunos nao saıram da cidade. Quantos alunos tem essa classe?

24

8) Numa fabrica trabalham, 532 pessoas entre homens, mulheres e menores. O numero de homens

e o dobro do de mulheres e este e o dobro do de menores. Quantos sao os homens, as mulheres e os

menores?

9) Um pai tem 46 anos e um filho tem 10. Daqui a quantos anos a idade do pai sera o quadruplo da

idade do filho?

10) A soma das idades de um pai e um filho e de 42 anos. Ha tres anos, a idade do pai era onze vezes

a idade do filho. Determine as idades.

11) Repartir 36 figurinhas entre dois garotos de modo que um ganhe o dobro do outro.

12) Num estacionamento, ha um total de 200 veıculos, entre motos e carros. Se ha 20 motos a mais

que carros, quantas motos e quantos carros estao nesse estacionamento?

E LOGICO!

Descubra os numeros do seguinte circuito:

Capıtulo 5

Expressoes Algebricas e Polinomios

5.1 Expressoes Algebricas

Definicao 11 Expressoes que apresentam uma ou mais variaveis e, ainda, as expressoes que so tem

numeros sao chamadas expressoes algebricas.

Exemplo 18 3x + 2xy − 3.

Definicao 12 Monomios, sao expressoes algebricas que apresentam apenas um numero, apenas uma

variavel ou multiplicacoes entre numeros e variaveis.

Exemplo 19 (a) 5x2y3

(b) 2x

(c) x3

(d) 12

Observacao 8 (Monomios Semelhantes) Sao aqueles que tem a mesma parte literal semelhantes.

Exemplo 20 (a) 7x3y2 e −5x3y2

(b) −6x e x


(1) Escreva estas sentencas, utilizando variaveis.

(a) Todo numero real multiplicado por um resulta no proprio numero real.

(b) Todo valor real somado com ele mesmo resulta em duas vezes o seu valor.

(c) Numa multiplicacao de dois numeros reais quaisquer, a ordem dos fatores nao altera o produto.

(d) Todo numero real somado com seu oposto da zero.

(2) Tenho 35,00 e minha irma tem x (ela nunca me diz quanto tem!).

(a) Responda com uma expressao algebrica: ganhando 16,00, com quanto minha irma ficara?

25

26

(b) Qual e o valor numerico dessa expressao quando e igual a 59?

(3) Houve um tempo em que os taxis cobravam 4,00 pela bandeirada, mais 1,40 por km rodado.

(a) Responda com uma expressao algebrica: quantos reais eram pagos num percurso de quilometros?

(b) Qual e o valor dessa expressao quando vale 10?

(4) Escreva estas sentencas, utilizando variaveis:

(a) Todo numero real multiplicado por ele mesmo resulta no quadrado desse numero.

(b) Numa adicao de dois numeros reais quaisquer, a ordem das parcelas nao altera a soma.

(5) Considere estas adicoes:

1+1

2+2+2

3+3+3+3

4+4+4+4+4

...

Observe: na 1a adicao as parcelas valem 1 e o numero de parcelas e 2. Na 2a adicao as parcelas

valem dois e numero de parcela e 3, e assim por diante.

(a) A terceira adicao da 12. Quanto da a 30a adicao?

(b) Qual e o resultado da enesima adicao? Para responder, use a variavel .

(6) Escreva a parte literal de cada monomio.

(a) 5x5y5

(b) −2x3

(c) x4y2

(d) 4, 2y3

(7) Escreva os coeficientes dos monomios:

(a) 7ax6

(b) −ax4

(c) − 12x2y

(d) 31ay2

5.1.1 Operacoes com Monomios

(1) Adicao e Subtracao:

Considerando 7x3y2 +5x3y2, para soma-los, pode-se pensar assim: temos 7 monomios x3y2 mais 5

desses monomios, logo, temos 7+5, ou seja, 12 monomios x3y2. Portanto: 7x3y2 +5x3y2 = 12x3y2.

Quando falamos em adicao algebrica de monomios, podemos estar nos referindo tanto a uma adicao

de monomios, quanto a uma subtracao.

27

(2) Multiplicacao:

Acompanhe a multiplicacao do monomio x4 pelo monomio x3:

Exemplo 21

(6x2y3).(5x4y4z) = 6.5.x2.x4.y3.y4.z = 30x6y7z

Observacao 9 Essa propriedade e a base qualquer da multiplicacao de monomios.

(3) Divisao:

Acompanhe a divisao do monomio x5 pelo monomio x3 :

Exemplo 22x5

x3=

x.x.x.x.x

x.x.x= x2

Exemplo 2312x5y3z4

3x3y2z=

12

3.x5

x3.y3

y2.z4

z= 4x2yz3

(4) Potenciacao:

Exemplo 24

(2x3y4)3 = (2x3y4).(2x3y4).(2x3y4) = 2.2.2.x3.x3.x3.y4.y4.y4 = 8x9y12

Exemplo 25

(−2x3y)4 = (−2x3y).(−2x3y).(−2x3y).(−2x3y) = (−2).(−2).(−2).(−2).x3.x3.x3.x3.y.y.y.y = 16x12y4


1)Efetue as adicoes e subtracoes:

(a) 5x2 + 12x2

(b) 8xy2 − 8xy2

(c) −2xy5z − 2xy5z

(d) 2x3 − 12x3

(e) 12x2y − 8x2y − x2y + x2

(f) −y − 12y + 3x2 − 18y + x2

(g) 5x2y2 − 72x2y2 − 5

2x2y2

(h) 2y2 − 34y2 + y2 − 3

10y2

(i) −7x3y + 8x3y − 15x3y

2) Efetue as multiplicacoes e divisoes:

(a) 2y2.y3

(b) −5y.(−8y2)

(c) x2.(xy)

(d) (3x2z2).(−2xy).(6z2)

(e) (−2x2).(−4y2).(−5x3y4)

(f) ( 25x2y2).( 3

7x3y3)

28

(g) (4a2b3)2

(h) (xy2z3)8

(i) x3y3

x2y2

(j) 63a4x5

−9a3x2

(l) −8a5y6

−40ay

(m)25a3x2y4

5x2

(n)− 2

5a5b5

− 415a2b

(o) (2x3y)4 − (5x6y2)2

(p) (2

3x2y2)3.(

3

4xy3)2

(q) x2.x4 + x.x5 + x3.x3 − 2x5.x

(r) 3x2y−7x2y+3x2yx2

3) Indique com um monomio:

(a) A area do retangulo I

(b) A area do retangulo II

(c) A area do quadrado III

(d) A area total da figura.

4) Escreva o monomio que:

(a) Subtraıdo 3x5y da −2x5y

(b) Subtraıdo de −6y da −10y

(c) Somado com 12x3y8 resulta zero

(d) Somado com 4xy da 4xy.

5) Calcule o valor numerico das expressoes algebricas a seguir, para x = −2 e y = 13. Mas, antes,

efetue as adicoes dos monomios semelhantes.

(a) 23xy − 18xy + 17xy − 216xy

(b) 2x5y + 3x5y + 5x5y

(c) x2y4 + x2y

2 + x2y4

(d) 7x− 9y − 9x + 8y

6) Na figura a seguir, a parte hachurada e formada por quatro retangulos. As medidas estao em

centımetros. Determine:

29

(a) A area da figura hachurada pode ser obtida como uma adicao de monomios. Efetue essa adicao.

(b) Calcule a area da figura hachurada nestes dois casos: quando x = 0, 5 e quando x = 2.

(c) Para que valor de x a figura hachurada tem uma area de 82cm2.

5.2 Polinomios

Definicao 13 Um polinomio na variavel x e toda expressao P(x) que pode ser reduzida a forma

P (x) = anxn + an−1xn−1 + an−2x

n−2 + ...a1x1 + a0

Em que ai ∈ C e n ∈ N

Sendo:

(1) anxn, an−1xn−1, an−2x

n−2, a1x1, a0, sao os termos ou monomios do polinomio, sendo a0, denominado

termo independente da variavel x;

(2) an, an−1, an−2, a1, a0, sao os coeficientes do polinomio.

(3) O grau de um Polinomio nao nulo e o maior expoente da variavel, dentre os termos de coeficientes

nao nulos.

(4) Ao atribuir um valor complexo a variavel x, o resultado da expressao obtida e chamado de valor

numerico do polinomio para a x = α. Indica-se esse valor numerico como P (α)

(5) O grau de um polinomio indica a o numero de raizes que existem como solucao da expressao.

Sendo que, chama-se de raiz do polinomio P(x) todo numero complexo tal que P (α) = 0

(6) Polinomios Identicos: dizemos que os polinomios p e q sao identicos quando possuem os coefi-

cientes correspondentes iguais, ou seja, sejam

p(x) = anxn + · · ·+ a2x2 + a1x + a0 e

q(x) = bnxn + · · ·+ b2x2 + b1x

1 + b0.

Assim, p = q ⇔ ai = bi, para todo i ∈ {0, 1, · · · , n}.

Exemplo 26 A expressao 5x4 − 3x3 + 2x2 − 4x + 7 e um polinomio de grau 4.

30

(1) 5,−3, 2,−4 e 7 sao seus coeficientes;

(2) x e sua variavel;

(3) 5x4,−3x3, 2x2,−4x, 7 sao seus termos ou monomios.

(4) 7 e seu termo independente.


1) Quais das expressoes representam um polinomio na variavel x?

(a) x5 + x3 + 2 (b) 0x4 + 0x2

(c) 3 (d) x5

2 + 3x2

(e) (√

x)4 + x + 2 (f) x√

x + x2

(g) x15 (h) x + 2

(i) x2 + 2x + 3 (j)1

x4+ x

(k) x + x3 + x6 + x4 (l) (3x2 − 5x + 3)(7x3 + 2)

2) Determine a, b, c de modo que a funcao f(x) = (a+b−5)x2+(b+c−7)x+(a+c) seja identicamente

nula.

5.2.1 Operacoes com Polinomios

(1) Adicao e Subtracao : Ambas consistem no agrupamento de monomios semelhantes, usando a

propriedade distributiva. Veja:

Exemplo 27 (a) (2x3 − 3x2 + 4x− 1) + (x3 + 2x2 − 5x + 3)

(b) (4x2 + 3x− 4)− (2x3 + x2 − x + 2)

Solucao:

(a) (2x3 + x3) + (−3x2 + 2x2) + (4x + (−)5x) + (−1 + 3)= 3x3 − x2 − x + 2

(b) (0− 22x3) + (4x2 + x2) + (3x− (−x)) + (−4− 2)= −2x3 + 3x2 + 4x− 6

(2) Multiplicacao: Usando-se a propriedade distributiva, expandimos o produto de dois ou mais

polinomios ou monomios. Veja:

(3x + 2)(4x + 5) = 3x(4x − 5) + 2(4x − 5) = (3x)(4x) − (3x)(5) + (2)(4x) − (2)(5) = 12x2

−15x + 8x −10 = 12x2 − 7x− 10

31


1) Dados os polinomios:

f(x) = 7− 2x + 4x2

g(x) = 5 + x + x2 + 5x3

h(x) = 2− 3x + x4

Calcule (f + g)(x), (g − h)(x) e (h− f)(x).

2) Sendo dados os polinomios: f = 2x2, g = 2x2 + 3x4, h = 3x2 + 2x4 − x6 e

k = 3x6 − 2x4 + 4x2, obtenha os numeros reais a, b, c de modo que se tenha k = af + bg + ch.

3) Determine a, b c de modo que se verifique cada identidade:

1. a(x2 − 1) + bx + c = 0

2. a(x2 + x) + (b + c)x + c = x2 + 4x + 2

5.2.2 Operacoes com polinomios II

Divisao: Pode-se efetuar a divisao de polinomios se utilizando de 2 diferentes metodos:

BRIOT-RUFFINI (Dispositivo Pratico):Utilizado quando o divisor for um polinomio do 1

grau da forma x-a ou x+a. Este processo opera apenas com os coeficientes e a raiz dada pelo polinomio

de grau 1.

Escrevemos os coeficientes do polinomio em questao na parte superior de uma linha tracada, sem

esquecer os termos nulos(grau zero) apartir do grau do polinomio e tambem o termo independente da

equacao.

Exemplo 28 P (x) = 3x5 − 2x4 + 3x2 + 1 dividido por D(x)=x-2

32

Obtendo-se entao: Q(x) = 3x4 + 4x3 + 8x2 + 19x + 38 e R(x) = 77.

METODO DAS CHAVES: Se o divisor nao for um polinomio de grau 1, pode-se utilizar esse

metodo. Ao efetuar a divisao de dois polinomios, P (x) e D(x)(6= 0) encontraremos Q(x) e R(x), visto

que:

P (x) = D(x).Q(x) + R(x).

Exemplo 29 Vejamos como obter o quociente e resto da divisao pelo metodo das chaves do polinomio

P (x) = 2x5 + 4x4 + 4x3 + 9x2 + 3x + 1 por D(x) = x2 + 2.

1 - Dividir o monomio de mais alto grau de P(x) pelo monomio de mais alto grau de D(x)

2 - Subtrair do dividendo o produto do divisor D(x) pelo resultado obtido no primeiro passo, obtendo

o primeiro resto parcial.

3 - Dividimos o monomio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monomio de mais alto

grau do D(x).

4 - Subtraimos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) o resultado obtido no terceiro

passo, obtendo o segundo resto parcial.

E assim sucessivamente, ate obter o resto final R(x), que deve obedecer a uma das condicoes:

∂R < ∂D ou R(x) ≡ 0

33

Temos entao:

Q(x) = 2x3 + 4x2 + 1 e

R(x) = 3x− 14

Ha casos em que se deseja saber apenas o resto da divisao de um polinomio por outro do primeiro

grau. Entao utiliza-se o TEOREMA DO RESTO:

Teorema 1 (Resto) O resto da divisao de um polinomio P (z) pelo polinomio ax+ b (a 6= 0) e o valor

numerico de P (x) para x = − b

a(raiz de ax + b)

R = P (− ba )

Observacao 10 Existe uma consequencia imediata do Teorema do Resto conhecida como:

Teorema 2 (D’Alembert) Um polinomio P(x) e divisıvel por ax + b (a 6= 0), se, e somente se,

P (− b

a) = 0

Exemplo 30 2x3 + 2x2 − 2x + 4 e divisıvel por 2x + 4?

P (−42 ) = P (−2)

P (−2) = 2.(−2)3 + 2.(−2)2 − 2.(−2) + 4 = 0

Ou seja, O polinomio em questao e divisıvel por 2x + 4

Observacao 11 Divisibilidade pelo produto: Se um polinomio e divisıvel separadamente pelos binomios

x− a e x− b, entao P (x) e divisıvel pelo produto (x− a).(x− b).


1) Dados os polinomios: P(x)= 3x4 + 2x3 + x − 1, Q(x) = 5x4 + 3x + 7, A(x) = 6x3 + 2x2 − 3x,

B(x) = 4x2 + 5x− 1 e C(x) = 9x− 2, calcule:

34

(a) P (x) + Q(x)

(b) P (x)−Q(x)

(c) A(x) + B(x)

(d) A(x)−B(x)

(e) 4A(x)

(f) B(x).C(x)

(g) C(x)2

(h) 2A(x)− 3B(x)

(i) A(x).C(x) + B(x)

2) Efetue as operacoes, sendo P (x) = 5x2 − 3x + 2 e Q(x) = 4x− 6

(a) 3P (x)= 15x2 − 9x + 6 (b) P (x).Q(x) = 20x3 − 42x2 + 26x− 12

3)Utilize os dois metodos citados para encontrar o quociente e confira o resultado do resto pelo

teorema do resto.

P (x)÷D(x)

P (x) = x2 + 6x− 1; D(x) = x− 1

4) Dividindo o polinomio P (x) = 6x3 + 4x2 + 2x − 1 pelo polinomio D(x), obtem-se o quociente

Q(x) = 3x + 2 e o resto R(x) = 11x + 5. Determine D(x).

5) Tres polinomios, P (x), Q(x) e T (x), sao tais que,∂P = 7, ∂Q = 5, ∂T = 5. Qual das afirmacoes

seguintes pode ser falsa?

(a) O grau do polinomio P (x) + Q(x) e 7.

(b) O grau do polinomio P (x)−Q(x) e 7.

(c) O grau do polinomio P (x).Q(x) e 12.

(d) O grau do polinomio Q(x) + T (x) e 5.

6) Sendo x3 + 1 = (x + 1)(x2 + ax + b), para todo x, com x ∈ C, quais sao os valores de a e b?

7) Sejam os polinomios f = (x + 1)2, g(x) = x2− 1 e h = x4− 2x3 + x2− 2x− 1.O polinomio f.g−h

e igual a?

5.3 Decomposicao de Polinomios

Teorema 3 Todo polinomio de grau n, com n ≥ 1, P (x) ≡ anxn + an−1xn−1 + an−2x

n−2 + ...+ a0 pode

ser fatorado sob a forma P (x) ≡ an(x − r1).(x − r2).(x − r3)...(x − rn), em que r1, r2, r3, rn, sao todas

as raızes de P(x).

Exemplo 31 Para fatorar um polinomio, P (x) = 3x3−20x2 +23x+10, sabendo que uma de suas raizes

e 5, ou seja, este polinomio e divisıvel por x− 5 e P (x) ≡ (x− 5)Q(x).

Obtem-se o polinomio Q(x) por Briot-Ruffini. Desta forma reduzimos o grau da equacao e podemos

encontrar as outras 2 raizes.

P (x) = (x− 5)(3x2 − 5x− 2)

Fazendo, x− 5 = 0 e 3x2− 5x− 2 = 0, encontramos: x1 = 5, x2 = 2 , x3 =−1

3, e pelo teorema da

decomposicao temos que:

P (x) = 3(x− 5)(x− 2)(x + 13 ).

Observacao 12 (Multiplicidade de raiz:) Se uma raiz comparecer k vezes(com k > 1), esta e chamada

de raiz de multiplicidade k da equacao.

35

5.3.1 Fracoes Polinomiais

Definicao 14 Chama-se fracao polinomial toda expressao do tipoP (x)

Q(x), em que P (x) e Q(x) sao

polinomios complexos de variavel complexa, com Q(x) 6= 0.

Exemplo 32 Dado a identidade:

a

x− 1+

b

x + 1≡ 5x + 1

x2 − 1.

Encontre as constantes a e b

Solucao:

a(x + 1) + b(x− 1)

(x− 1)(x + 1)≡ 5x + 1

x2 − 1

(a + b)x + a− b ≡ 5x + 1

e, portanto:

{

(I) a + b = 5

(II) a− b = 1

Somando o membro (I) e (II), obtemos

2a = 6 → a = 3.

Substituindo a = 3 em (I), obtemos:

3 + b = 5 → b = 2.

Exemplo 33 (Voce vai utilizar em Calculo I!!) Decomponha a fracao abaixo em uma soma:

x− 3

x2 + 3x + 2= Fracao 1 + Fracao 2

1 Passo) Decompor o denominador! Para isso encontra-se as raizes desse polinomio utilizan

do-se de baskhara ou soma e produto (como preferir). Neste caso, as raizes sao -1 e -2. Ou seja,

x2 + 3x + 2=(x+1)(x+2) .

2 Passo) Igualar a fracao polinomial a uma soma de fracoes, cujos numeradores a princıpio sao

desconhecidos, e por isso representa-se por uma incognita qualquer:

x− 3

x2 + 3x + 2=

A

x + 2+

B

x + 1

3 Passo) Encontrar o MMC dessa soma, de tal modo que torne possıvel anular os denominadores

da igualdade em questao. Obtemos assim a seguinte igualdade:

x− 3

x2 + 3x + 2=

A(x + 1) + B(x + 2)

(x + 1)(x + 2)(...)

A(x + 1) + B(x + 2)= x− 3

4 Passo) Igualar os termos semelhantes da igualdade e montar um sistema para poder descobrir o

valor dos numeradores, ou seja, A e B.{

Ax + Bx = 1

A + 2B = −3

36

Sabendo que A = 5 e B = −4, substituimos esses valores na igualdade montada inicialmente no passo

3:

x− 3

x2 + 3x + 2=

5

x + 2− 4

x + 1.


(1) Quais sao as raizes da equacao (x− 2)3(x− 5)(x− 4)2 = 0 e que multiplicidade apresentam?

(2) Determine as constantes a e b na identidade:

a

x− 3+

b

x + 3≡ 3x

x2 − 9

(3) Escreva as fracoes na forma de uma soma:

(a)2x− 1

x2 + 5x + 6

(b)5x + 3

x2 − 3x + 2

(4) Decomponha P (x) como o produto de uma constante por polinomios de 1 grau, em cada um

dos seguintes casos:

(a) P (x) ≡ 4x2 − x− 3

(b) P (x) ≡ x3 − 8x2 + 12x

(5) Sabendo que o polinomio P(x)≡ 3x4− 25x3 + 59x2− 47x + 10 satisfaz a condicao P(1)=P(2)=0,

represente P(x) como o produto de uma constante por polinomios do primeiro grau.

IMPORTANTE:

Produtos Notaveis Exemplos

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + 3)2 = x2 + 6x + 9

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2 (x− 3)2 = x2 − 6x + 9

(a + b)(a− b) = a2 − b2 (x + 3)(x− 3) = x2 − 9

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6

∗(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

∗a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2) x3 − 8 = (x− 2)(x2 + 2x + 4)

Observacao 13 *Veja como o uso do parentese muda totalmente o resultado!!

→ Fatore os polinomios a seguir:

(a) x3 + 2x2 − x− 2 =

(b) x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 =

(c) x3 + 2x2 − 3x =

(d) x3 + 3x2 − 4x− 12 =

37

(e) x3 + 6x2 + 11x + 6 =

Respostas:

(a) (x− 1)(x2 + 3x + 2)

(b) (x− 1)2(x2 − x− 2) ou (x− 1)2(x− 2)(x + 1)

(c) (x− 1)(x + 3)x

(d) (x + 3)(x2 − 4) ou (x + 3)(x + 2)(x− 2)

(e) (x + 2)(x2 + 4x + 3) ou (x + 2)(x + 3)(x + 1)

Observacao 14 Seja P (x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 um polinomio com coeficientes inteiros.

Se α for um numero inteiro e uma raız de P (x), entao α sera um divisor do termo independente a0.

Capıtulo 6

Exponencial e Logaritmo

6.1 Equacoes exponenciais

Definicao 15 Chama-se equacao exponencial toda equacao que contem incognita no expoente.

Exemplo 34 1. 2x = 16

2. 3x−1 = 27

3. 3x+1 + 3x−2 = 9

4. 4x − 2x = 8

Metodo da reducao a uma base comum

Este metodo, como o proprio nome ja diz, sera aplicado quando ambos os membros da equacao, com

as transformacoes convenientes baseadas nas propriedades de potencias, forem redutıveis a potencias de

mesma base a (0 < a 6= 1). O metodo da reducao a uma base comum e baseado no seguinte resultado:

Teorema 4 Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. Entao: ax = ay ⇐⇒ x = y.

Demonstracao:

ax = ay ⇔ ax

ay= 1⇔ ax−y = 1⇔ x− y = 0⇔ x = y

�


Exemplo 35 1. 2x = 16

2. 3x−1 = 27

3. 8x =1

32

4. 100x = 0, 001

5. 73x+4 = 492x−3

6. 52x2−32 = 1

7. 4x − 2x = 56

8. 9x + 3x = 90

9. 4x+1 − 9 . 2x + 2 = 0

38

39

10.3x + 3−x

3x − 3−x= 2

6.2 Inequacoes exponenciais

Definicao 16 Inequacoes exponenciais sao as inequacoes com incognita no expoente.

Seguem alguns exemplos de inequacoes exponenciais:

1. 2x > 32

2.

(1

3

)x

<1

81

3. 4x − 2 > 2x

Metodo da reducao a uma base comum

Este metodo sera aplicado quando ambos os membros da inequacao puderem ser representados como

potencias da mesma base a (0 < a 6= 1). Faz-se uso do seguinte resultado:

Teorema 5 Sejam x e y numeros reais. Entao:

se a > 1 tem-se ax > ay ⇐⇒ x > y;

se 0 < a < 1 tem-se ax > ay ⇐⇒ x < y.

Demonstracao:

Faremos a demonstracao para o caso a > 1. O outro caso e analogo.

ax > ay ⇔ ax

ay> 1⇔ ax−y > 1⇔ x−y > 0⇔ x > y. �

Exemplo 36 Classifique em Verdadeiro ou Falso:

1. 32,7 > 1

2. (0, 3)0,2 > 1

3. π√

2 > 1

4.

(4

5

)−1,5

> 1


Exemplo 37 Resolva:

1. 2x > 128

2. 32x+3 > 243

3.

(1

3

)x

>1

81

4. 3x <1

27

40

Observacao 15 Nao aprofundaremos o assunto, para funcao exponencial, mas deixamos aqui alguns

lembretes sobre:

Funcao exponencial e funcao R → R definida por f(x) = ax, onde a ∈ R e 0 < a 6= 1. Ou seja, a

base dessa funcao sempre devera ser positiva, e diferente de um.

O domınio da funcao exponencial sempre abragera todos os numeros reais. Ja a imagem, todos os

numeros reais positivos, exceto zero.

Quando a base for maior que 1, sabemos que a funcao e crescente. Quando a base estiver entre 0 e

1, a funcao sera decrescente.

6.3 Logaritmos

Lembremos que no estudo de equacoes e inequacoes exponenciais, feito anteriormente, so tratamos

dos casos em que podıamos reduzir as potencias a mesma base.

Se queremos resolver a equacao

2x = 3,

por exemplo, sabemos que x assume um valor entre 1 e 2, pois 21 < 2x = 3 < 22, mas nao sabemos qual

e esse valor nem o processo para determina-lo.

A fim de que possamos resolver este e outros problemas, iniciamos o estudo de logaritmos.

Definicao 17 Sejam a e b dois numeros reais positivos, com a 6= 1, chama-se logaritmo de b na base

a o expoente que se deve dar a base a de modo que a potencia obtida seja igual a b, isto e,

loga b = x⇐⇒ ax = b

Em loga b = x, dizemos:

a e a base do logaritmo

b e o logaritmando

x e o logaritmo

Exemplo 38 1. log2 8 = 3, pois 23 = 8

2. log3

1

9= −2, pois 3−2 =

1

9

3. log5 5 = 1, pois 51 = 5

4. log7 1 = 0, pois 70 = 1

Exemplo 39 Resolva:

1. log81 3

2. log0,25 32

3. log0,5 8

4. log2

√2

41

Teorema 6 Sejam 0 < a 6= 1 e b > 0. Entao:

1. loga 1 = 0

2. loga a = 1

3. aloga

b = b

4. loga b = loga c⇐⇒ b = c

Demonstracao: Aplicacao imediata da definicao de logaritmo. �


Exemplo 40 1. Se A = 5log52, determine o valor de A3.

2. Determine o numero cujo logaritmo na base a e 4 e na basea

3e 8.

Notacoes:

log10 x e denotado simplesmente por log x (logaritmo decimal).

loge x e denotado por ln x (logaritmo neperiano ou natural).

6.3.1 Propriedades dos logaritmos

Teorema 7 (Logaritmo do produto) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, entao

loga b.c = loga b + loga c

Demonstracao: Fazendo loga b = x, loga c = y e loga b.c = z, provemos que z = x + y.

De fato:

loga b = x⇒ ax = b; loga c = y ⇒ ay = c; loga b.c = z ⇒ az = bc.

Assim, az = bc⇒ az = axay = ax+y ⇒ z = x + y

�

Teorema 8 (Logaritmo do quociente) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, entao

loga

(b

c

)

= loga b− loga c

Teorema 9 (Logaritmo da potencia) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e α ∈ R, entao

loga (bα) = α(loga b)

Corolario 1 Se 0 < a 6= 1, b > 0 e n ∈ N∗, entao

logan√

b = loga b1

n =1

nloga b

42

CUIDADO! loga (x± y) 6= loga x± loga y


Exemplo 41 1. Se m =bc

d2, determine log m.

2. Seja x =

√a

bc, determine log x.

3. Se log 2 = 0, 301, calcule o valor da expressao log 20 + log 40 + log 400.

4. Determine a razao entre os logaritmos de 16 e 4 numa base qualquer.

5. Se log2 (a− b) = m e a + b = 8, determine log2 (a2 − b2).

Teorema 10 (Mudanca de base) Se a, b e c sao numeros reais positivos e a e c sao diferentes de 1,

entao

loga b =logc b

logc a

Demonstracao:

Consideremos loga b = x, logc b = y e logc a = z e notemos que z 6= 0, pois a 6= 1.

Provemos que x =y

z.

De fato:

loga b = x⇒ ax = b; logc b = y ⇒ cy = b; logc a = z ⇒ cz = a.

Assim,

(cz)x

= ax = b = cy ⇒ zx = y.

�

Corolario 2 Se a e b sao reais positivos e diferentes de 1, entao

loga b =1

logb a

Demonstracao:

Usando o teorema da mudanca de base e observando que, por hipotese, b 6= 1, temos:

loga b =logb b

logb a=

1

logb a.

�

43


Exemplo 42 1. Sabendo que log20 2 = a e log20 3 = b, determine log6 5.

2. Calcule o valor de log0,04 125.

3. Determine o valor de:

log3 2 . log4 3 . log5 4 . log6 5 . log7 6 . log8 7 . log9 8 . log 9

Exemplo 43 Resolucao de equacoes exponenciais via logaritmos

1. 2x = 3.

2. 52x−3 = 3.

3. 7√

x = 2.

4. 32x+1 = 2.

5. 4x + 6x = 2.9x.

6. log2 (3x− 5) = log2 7.


Exemplo 44 (Resolucao de equacoes logarıtmicas)

Nos exemplos seguintes, sempre observar as condicoes de existencia do logaritmo.

1. log3 (2x− 3) = log3 (4x− 5).

2. log2 (3x− 1) = 4.

3. log3 (x2 + 3x− 1) = 2.

4. log22 x− log2 x = 2.

5.2 + log3 x

log3 x+

log3 x

1 + log3 x= 2.

Capıtulo 7

Trigonometria

7.1 Introducao a trigonometria

A Trigonometria, que e uma palavra de origem grega: trigono (triangular) e metria (medida),

tem por objetivo estabelecer relacoes entre os elementos basicos (lados e angulos) de um triangulo.

7.1.1 Razoes trigonometricas no triangulo retangulo

Um triangulo e retangulo quando um de seus angulos internos e reto. Observando o triangulo

retangulo ABC, (A = 900), temos:

BC = hipotenusa = a;

AC = cateto = b;

AB = cateto = c;

B + C = ˆ900;

AC = cateto oposto ao angulo B;

AB = cateto adjacente ao angulo B;

AC = cateto adjacente ao angulo C;

AB = cateto oposto ao angulo C;

Considerando o que vimos no triangulo retangulo da figura anterior, temos:

senB =AC

BC⇒ senB =

cateto oposto a B

hipotenusa⇒ senB =

b

a.

44

45

cos B =AB

BC⇒ cos B =

cateto adjacente a B

hipotenusa⇒ cos B =

c

a.

tgB =AC

BA⇒ tgB =

cateto oposto a B

cateto adjacente a B⇒ tgB =

b

c.

Teorema 11 ( Teorema de Pitagoras) O quadrado da hipotenusa e igual a soma dos quadrados dos

catetos:

a2 = b2 + c2

7.1.2 Angulos Notaveis: 30o, 45

o e 60o

Alguns angulos, devido ao seu contante uso, merecem um estudo especial. E o caso daqueles que

medem 30o, 45o e 60o.

Vamos considerar que num triangulo equilatero a mediana, a altura e a bissetriz relativas a um mesmo

angulo interno coincidem.

Observe o triangulo equilatero ABC, cujos lados medem l e alturas medem h.

Aplicando o teorema de Pitagoras no triangulo AMC, podemos calcular a altura h:

h2 + (l

2)2 = l2

h2 = l2 − l2

4

h2 = 3l2

4

h =l√

3

2

.

46

7.1.3 Calculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60

o

Observe o triangulo AMC:

Temos:

sen 30o =l2

l=

1

2

cos 30o =l√

32

l=

√3

2

tg 30o =l2

l√

32

=

√3

3

sen 60o =l√

32

l=

√3

2

cos 60o =l2

l=

1

2

tg 60o =l√

32

2=√

3

7.1.4 Calculo do seno, cosseno e tangente de 45o

Vamos considerar um triangulo retangulo e isosceles ABC cujos catetos medem l e a hipotenusa mede

x.

Aplicando o teorema de Pitagoras no triangulo ABC:

x2 = l2 + l2 ⇒ x2 = 2l2 ⇒ x =√

2l2 ⇒ x = l√

2.

Vamos agora calcular o seno, cosseno e tangente de 45o:

sen 45o = ll√

2= 1√

2=

√2

2

cos 45o = ll√

2=

√2

2

tg 45o = ll = 1.

Organizando os resultados, construımos a tabela:

47

α 300 450 600

sen α1

2

√2

2

√3

2

cos α

√3

2

√2

2

1

2

tg α

√3

31

√3


Exemplo 45 1. Uma pessoa com 1, 80m de altura esta distante 80m da base de um predio e ve o ponto

mais alto do predio sob um angulo de 160 em relacao a horizontal. Sabendo-se que tg 160 ∼= 0, 28,

determine a altura do predio.

2. Um aviao levanta voo num ponto B, e sobe fazendo um angulo constante de 150 com a horizontal.

Sabendo-se que sen 150 ∼= 0, 26 e que tg 150 ∼= 0, 27, determine a que altura estara e qual a

distancia percorrida quando passar em linha vertical sobre uma igreja situada a 2km do ponto de

partida B.

3. Calcular a medida z na figura:

7.2 Exercıcios

1. Calcule os lados de um triangulo retangulo, sabendo que a altura relativa a hipotenusa e h = 4 e

um angulo agudo e B = 300.

2. Calcule os lados de um triangulo retangulo, sendo que a altura relativa a hipotenusa mede 4 e

forma um angulo de 150 com o cateto b.

Dados: sen 750 =

√2 +√

6

4e cos 750 =

√6−√

2

4.

3. Uma escada de bombeiro pode ser estendida ate um comprimento maximo de 25 m, formando um

angulo de 700 com a base, que esta apoiada sobre um caminhao, a 2 m do solo. Qual e a altura

maxima que a escada atinge?

48

4. Um observador ve um predio, construıdo em terreno plano, sob um angulo de 600. Afastando-se

do edifıcio mais 30 m, passa a ver o edifıcio sob angulo de 450. Qual e a altura do predio?

5. Calcule a distancia entre os parapeitos de duas janelas de um arranha-ceu, conhecendo os angulos

(α e β) sob os quais sao observados de um ponto O do solo, a distancia d do predio.

6. Um topografo foi chamado para obter a altura de um edifıcio. Para fazer isto, ele colocou um

teodolito a 200 metros do edifıcio e mediu um angulo de 30o. Sabendo que a luneta do teodolito

esta a 1,5 m do solo, qual o valor aproximado, da altura do edifıcio?

7.3 Arcos, angulos e o cırculo trigonometrico

7.3.1 Arcos e angulos

Se dois pontos encontram-se sobre uma circunferencia esta fica dividida em duas partes denominadas,

arcos de circunferencia, ou arcos. Se dois pontos A e B forem coincidentes, um dos arcos fica reduzido a

um ponto, e outro a propria circunferencia.

A medida do comprimento de uma circunferencia (2π = 360) e dado por c = 2πr. Para os diversos

arcos que podem ser formados numa circunferencia, tambem e possivel calcular seu comprimento, visto

que eles sao proporcionais a essa medida. Veja no exemplo abaixo:

Exemplo 46

A orientacao de uma circunferencia pode ser no sentido horario (-) ou anti-horario (+). Sendo

possıvel, portanto, obter equivalancia de um arco de sentidos opostos.

Exemplo 47 −90 = 270.

−315 = 45.

−180 = 180.

−225 = 135.

49

7.3.2 Estudo do Cırculo Trigonometrico

Definicao 18 Dado um arco AM, de medida α, chama-se de cosα e sinα, a abcissa e a ordenada do

ponto M, respectivamente.

A circunferencia trigonometrica e dividida em 4 quadrantes de 90 cada, seguindo sentido anti-

horario.Esses quadrantes sao formados na origem do eixo cartesiano, onde se intersepta o eixo da abcissa

(cosseno), com o eixo das coordenas (seno).

Os sinais dos arcos variam conforme o eixo, ou seja, conforme a funcao. Por exemplo, a funcao seno

apresenta o 1 e o 2 quadrantes positivos, ja o cosseno, tem o 2 e o 3 quadrante positivo, os outros

sao negativos. Quanto a tangente, nos quadrantes ımpares e positiva, nos pares negativa. Veja, abaixo:

O cırculo trigonometrico e simetrico e portanto, um arco pode ser trazido (reduzido), ao primeiro

quadrante. No caso do arco 330 , contido no quarto quadrante, ele pode ser reduzido ao primeiro,

obtendo-se assim um arco de 30 . Isso por que, se andassemos no sentido horario da circunferencia

trigonometrica, pode-se verificiar que 330 =-30 . Logo, tem-se que o arco simetrico primeiro quadrante

e 30 .

No caso da medida do arco ser maior que 360 , isto e, ele possui mais de uma volta. Sabemos que

uma volta completa equivale a 360 ou 2π rad, com base nessa informacao podemos reduzi-lo a primeira

50

volta, realizando o seguinte calculo:

1- Dividir a medida do arco em graus por 360 (volta completa),

2- O resto da divisao sera a menor determinacao positiva do arco.

Exemplo 48 (a) Faca a reducao do arco 4380 e diga onde o mesmo se localiza.

4380÷ 360 = 4320 + 60

Logo, tem-se que o resto da divisao e 60 , o que indica que a determinacao principal do arco,pertence

ao 1 quadrante.

Observacao 16 No caso de se desejar as infinitas solucoes de uma equacao ou inequacao trigonometrica,

deve-se observar com atencao o intervalo dado para solucao, bem como a divergencia de sinais em cada

quadrante! Veja o exemplo que segue...

Exemplo 49 Dado a figura e as afirmacoes abaixo, identifique quais sao verdadeiras e falsas.

(A) sin(180− α) = sinα

(B) sin(180− α) = − sin α

(C) sin(180 + α) = sinα

(D) sin(180 + α) = − sin α

(E) sin(360− α) = sinα

(F) cos(360− α) = − sin α

51

(G) cos(180− α) = cosα

(H) cos(180− α) = − cos α

(I) cos(180 + α) = cosα

(J) cos(180 + α) = − cos α

(M) cos(360− α) = cosα

(N) cos(360− α) = − cos α

Observacao 17 (Arco Congruo): Dois arcos sao congruos quando possuem a mesma origem e a

mesma extremidade. Uma regra pratica eficiente para determinar se dois arcos sao congruos consiste em

verificar se a diferenca entre eles e um numero divisıvel ou multiplo de 360 , isto e, a diferenca entre as

medidas dos arcos dividida por 360 precisa ter resto igual a zero.

Menor determinacao α: e o menor arco nao negativo dentre todos os congruos, assim, podemos

afirmar 0 ≤ x < 360.

7.3.3 Expressao Geral

A partir de um arco de midade α, pode se obter outros infinitos arcos de mesmas extremidades, quando

consideramos que podemos dar infinitas voltas. Dado isso, torna-se necessario criar uma expressao para

representar todos esses infinitos arcos.

A expressao geral se apresenta da seguinte forma:

AM = 360k + α, k ∈ Z,

ou

AM = 2kπ + α, k ∈ Z.

Portanto fica estabelecida uma correspondencia biunıvoca entre os numeros reais e os pontos da

circunferencia trigonometrica.


1- Determine a medida de x do arco da primeira volta positiva (0 ≤ x < 360) que possui a mesma

extremidade do arco de:

(a) 7850 (b) 1853 (c) −50 (d) 1190

2- Verifique o sinal de cada um desses produtos:

(a) y= cos 110. sin 130

(b) y= sin 200. cos 190

(c) y= sin 300. cos 330

(d) y= cos π4 . sin π

4

(e) y= sin 2π3 . cos 2π

3

(f) y= sin 7π6 . cos 7π

6

3- Como poderiamos escrever a expressao geral para os arcos formados na questao 1, anterior? (qual

intervalo de k?)

52

4- Dois arcos de medidas opostas quaisquer, α e −α, tem extremidades simetricas em relacao ao eixo

dos cossenos. Identifique quais das afirmativas abaixo sao verdadeiras:

(a) cos(−α) = cos α

(b) − cos(α) = cosα

(c) sin(−α) = sin α

(d) sin(−α) = − sin α

5- Se F: R → R e uma funcao definida por F (x) = sin x + cosx, o valor de

f(π) + f( 3π2 )

f(π2 )

e?

6- Determine o valor da expressao:

sin 330 + cos2 300

sin 200 + cos 70 + sin2 240

7- Simplifique a expressao:

A=cos(π + x) + cos(−x) + cos(π − x)

sin(−x) + sen(π − x) + cos(x)

7.3.4 Circulo Trigonometrico

Como estudado nas secoes anteriores, eis que se apresenta o circulo trigonometrico, com suas sime-

trias e equivalencias:

53

7.4 Identidades Trigonometricas

Para iniciar o conteudo, de identidades trigonometricas, vamos primeiramente entender o significado

das novas relacoes que irao surgir:

(a) COTANGENTE:

Seja a reta s tangente a circunferencia trigonometrica no ponto B=(0,1). Esta reta e perpendicular

ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferencia intersecta a reta

tangente s no ponto S=(s’,1). A abscissa s’ deste ponto, e definida como a cotangente do arco AM

correspondente ao angulo a.

Observacao 18 Possui os mesmos sinais da tangente no cırculo trigonometrico.

54

(b) SECANTE:

Seja a reta r tangente a circunferencia trigonometrica no ponto M=(x’,y’). Esta reta e perpendicular

a reta que contem o segmento OM. A intersecao da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0).

A abscissa do ponto V, e definida como a secante do arco AM correspondente ao angulo a.

Observacao 19 Possui os mesmos sinais do cosseno no cırculo trigonometrico.

(c) COSSECANTE:

A intersecao da reta r com o eixo OY e o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, e definida como a

cossecante do arco AM corres

pondente ao angulo a. Entao a cossecante do angulo a e dada pelas suas varias determinacoes.

Observacao 20 Possui os mesmos sinais do seno no cırculo trigonometrico.

7.4.1 Identidades Trigonometricas

Abaixo, tem-se as principais indentidades trigonometricas. Os exercicios seguintes serao baseadas

nas mesmas. Na seguencia, pode-se verificar a demostracao de algumas identidades.

(1) sin2 x + cos2 x = 1

55

Demonstracao:

Aplicando o teorema de Pitagoras:

a2 = b2 + c2,

12 = cos2 x + sin2 x,

cos2 x + sin2 x = 1. 2

(2) sec =1

cos x

(3) csc =1

sin x

(4) cot =1

tan x=

cos x

sin x

(5) sec2 x = 1 + tan2 x

Demonstracao:

Dividindo ambos os membros da relacao fundamental trigonometrica (cos2 x + sin2 x = 1) por

cos2 x, temos:

sin2

cos2+

cos2

cos2=

1

cos2

↓

tan2 x + 1 = sec2 x.

2

Observacao 21 Podemos obter a relacao trigonometrica (6), adotando o passo a passo acima,

entretanto, ao inves de dividir a relacao fudamental trigonometrica por cos2 x, divide-se por sin2 x.

(6) csc2 x = 1 + cot2 x

(7) sin 2x = 2 sin x. cos x

56

Demonstracao:

Atraves da relacao (12), que faz a soma do seno de dois arcos diferentes:

sin(a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b, podemos fazer a soma de dois arcos iguais, procedendo

da seguinte forma:

sin(a + a) = sin a. cos a± cos a. sin a

↓

sin 2a = 2 sin a. cos a.

2

O mesmo procedimento pode ser adotado para obter as relacoes (8) e (9), entratanto, muda-se a

relacao inicial para cada funcao.

Ou seja, para obter a relacao (8) cos 2x = cos2 x− sin2 x, utiliza-se a relacao (13), que faz a soma

do cosseno de dois arcos.

Para obter a relacao (9) tan 2x =2 tan x

1− tan2x, utiliza-se a relacao (14), que faz a soma da tangente

de dois arcos.

(8) cos 2x = cos2 x− sin2 x = 1− 2 sin2 x = 2 cos2−1

(9) tan 2x =2 tan x

1− tan2x

(10) sin2 x =1

2+ (1− cos 2x)

(11) cos2 x =1

2+ (1 + cos 2x)

(12) sin(a ± b) = sin a. cos b∓ cos a. sin b

(13) cos(a ± b) = cos a. cos b ∓ sin a. sin b

(14) tan(a + b)=tan a + tan b

1− tan a. tan b

(15) tan(a− b)=tan a− tan b

1 + tan a. tan b

Que tal lembrar das LEI DOS SENOS (16) COSSENOS (17) e a LEI DA AREA(18) de um

triangulo ?

57

(16)

(17)

(18)

58


1 - Encontre o valor da expressao:

(a) y =cos 1305− sin 1305

sec 1740 + tan 855(b) y =

tan 315× csc 1200

sin 1560− cos 1650

2- Determine cos α, sabendo que sin α =1

3e que α corresponde a uma arco do 2 quadrante.

3- Simplifique as expressoes abaixo sob as condicoes de existencia.

(a) E=(sec x− cosx)(csc x− sin x)(tan x + cot x)

(b) E=2 tan(180 + α)− tan(180− α)

5 tan(360− α)(tan α 6= 0)

4- Para escorar um muro vertical localizado em um terreno plano e horizontal, foi usada uma barra

de ferro de 2,6 m. de comprimento, reta, apoiada em um ponto P do terreno e em um ponto Q do muro.

A medida α do angulo obtuso que a barra forma com o terreno e tal que secα =−2√

3

3. Calcule a

distancia entre o ponto Q e o solo.

5- De o conjunto solucao de acordo com o intervalo dado para as equacoes abaixo:

(a) tan2 x−√

3 tan x = 0 [0, π]

(b) (tan2 x− 3)(sin x + 1) = 0 [0, 2π]

6- Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 5cm e 10,cm e formam entre si um angulo

de 120 . Calcule as medidas das diagonais desse polıgono.

7- Determine o valor de x nas figuras a seguir:

Capıtulo 8

Respostas dos Exercıcios

8.1 Respostas dos Exercıcios do Capıtulo 1

SECAO 1.1

1. (a) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...} (b) B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...}(c) C = {1, 3, 5, 7, 9, 11} (d) D = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

2.

(a) A = {0} (b) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}(c) C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}(e) E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (f) F = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

3.

(a) A = {n ∈ N∗|n 5 5} (b) B = {n ∈ N∗|n e par e n ≤ 8}(c) C = {n ∈ N |2 ≤ n ≤ 10} (d) D = {n ∈ N|2 ≤ n ≤ 10}(e) E = {n ∈ N|n ≥ 5} (f) F = {n ∈ N|n ≥ 1} ou N∗

4.

(a) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...} (b) B = {2, 4, 6, 8}(c) C= {2,4,6,8} (d) D = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

5.

(a)

(b)

59

60

(c)

(d)

(e)

(f)

SECAO 1.2

1.

(a) R (b) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...} (c) {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...}(d) {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60...} (e) {0, 12, 24, 36, 48, 60...} (f) {0, 50, 100, 150, 200, 250...}

2. (V)= a, c, d, e (F)= b

3. {0, 12, 24, 36, 48} 4. {26, 39}5. {o} 6. numeros pares

7. {6} 8. {0, 6, 12, 18, 24, 30...}9. 0,20,40,60.. 10. {0, 30, 60, 90...}

SECAO 1.3

1. (a) 42 (b) 48 (c) 60 (d) 180 (e) 210

2. 15 : 00 3. 80 dias 4. 72 minutos 5. 1 dia 6.{2008, 2028, 2048}

SECAO 1.4

1.

(a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} (b) {1, 3, 5, 610, 15, 30} (c) {4, 12}(d) {5, 10, 15} (e) {1, 2, 3, 6}

2. 1 e ele mesmo.

3.

61

(a) {1, 2, 5, 10} (b) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}(c) {1, 2} (d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24}

4. duas maneiras 5. 3 maneiras 6. 5 maneiras 7. 4 maneiras 8. 1,18;2,9;3,6.

SECAO 1.5

1. (a) 9 (b) 15 (c) 2 (d) 1

2. 6 3. O menor e o m.d.c 4. Sempre 1

5. (a) 39 (b) a = 6, b = 7

6. 20 7. 60 8. Em 5,6,8 pecas; Comprimento= 36 m


SECAO 2.1

1. (a)17

6(b)

8

3(c)

17

24(d)

11

4

2. (a)91

72(b)

13

72(c)

67

84(d)

17

21

3. (a)33

20(b)

33

20(c)

91

45(d)

116

75(e)

65

42(f)

157

30

4. (b)77

10(c)

73

8(d)

43

4

5. (a)1

21(b)

11

24(c)

61

84(d)

10

18(e)

89

360(f)

−5

8

6. (a)75

20(b)

55

20

(c) (1) O agrupamento diferente gera resultados diferentes. (2) A operacao nao e associativa

(Operacao que independe da ordem).

7. (b)23

8(c)

59

24(d)

15

6(e)

1

5(f)

5

4(g)

11

3

8.5

129.

8

1510.

5

1211. 300.000 L 12. 14 caixas

SECAO 2.2

1.

(a)5

8(b)

1

4(c)

8

5(d)

35

6

(e)21

10(f)

11

132(g)

3

45(h)

57

5(i)

33

8

2. (a) 5u (b) 4u (c)1

4u (d)

1

5u (e)

1

8u (f) 6u

3.

62

(a)5

4(b)

7

5(c) 5 (d)

5

4(e)

11

9(f)

15

8(g)

21

16(h)

4

3

4. (a) 16 (b)28

13(c)

1

16(d)

37

13

5. duas questoes 6. 4m2 7. 1920 ladrilhos

8. (a) 64m2 (b) 40m 9. 800 onibus

10. Adulto : 70 Kg,Crianca: 40 Kg

11. (a) 1.080 reais (b)3.000 reais

12. 87 Km

SECAO 2.3

1. (a) 0, 66... (b) 0, 08 (c) 0, 05 (d) 0, 234

2. =: a),(b),(c),(d),(e) 6=: (b) e (f).

3.

(a) 0, 3 (b) 0, 01 (c) 0, 007 (d) 0, 21

(e) 0, 043 (f) 123, 5 (g) 57, 802 (h) 6, 104

4.

(a)1

2(b)

13

10(c)

8

100(d)

212

1000

(e)871

100(f)

485

1000(g)

5278

1000(h)

93, 164

10

5.

(a)3

5(b)

9

40(c)

23

200(d)

9

20

(e)3

500(f)

211

500(g)

17

40(h)

626

125

SECAO ??

1. V= a, c, e F= b, d, f

2. (a) 500dcm2 (b) 11.400cm2 (c) 0, 055km2 (d) 735mm2 (e) 6, 47m2

3. (a) 61, 17 (b) 5.000.047, 51 (c) 90, 5 (d) 14.735 (e) 58.684

4. (a) 10min 45seg (b) 42min 17seg (c) 5h. 10min 49seg

5. (a) 13h 16min 52seg (b) 5h 8min (c) 18h 46min

7. 11 : 53 8. 108dl

9. (a) 100min 10seg (b) 1h 1min 1seg (c) 2h 30min (d) 1h 7min 30s

63

8.3 Respostas dos Exercıcios do Capitulo 3

SECAO 3.1

1)

(a) 610 (b) 71 (c) 710 (d) 109

2)

(a) 121 (b) 25 (c) 3−2 (d) 82

3)

(a) 38

(b) 415

(c) 74

(d) 67

(e) 100

(f) 74

4)

(a) 9a2 (b) 10245 (c) x3y3 (d) 128x7y7

5)

(a) (−13

21)2

(b) (8

33

−1

)

(c) (17

5)−5

(d) (−7

9)3

(e) (−21

4)3

(f) (11

12)6

(g) (5

4)−6

(h) (0, 03)−3

(i) (0, 03)−10

6)

(a) 3

(b) 1

(c) 0, 5

(d) 1

(e)1

2

(f) 1

(g)√

2

(h) 1

7) a)2−3 b) ( 12 )−2

SECAO 3.1.1

1)

(a) 4

(b)1

2

(c) 256

(d) 4

(e) 6561

(f) 900

(g) −27

(h) (1

1, 2)2

(i) 4

√

(5)3

(j) 4√

π

(l) 107

2)

64

(a)−1

5

(b) 3

(c) 2, 5

(d) 0, 01

(e) 10.000

(f) 100

(g)−2

3

(h)64

9

(i)1

3

(j)4

81

(l)81

4096

3)

(a) 71

2

(b) 23

4

(c) 32

5

(d) 4−1

3

(e) (−2)−3

(f) (3

2)−5

4)

(a) 5√

2

(b)1√8

(c)4√

a3b

(d)1

5√

m2n

(e)1

4√

m3

5)

(a) 25

3

(b) 52

3

(c) 33

4

(d) 23

7

(e) 29

8

(f) 51

2

SECAO 3.2

1)

(a) 4 (b)26

5(c)

12

25

2)

(a) x

17

7

(b) 3

(c) 4b2

(d) 4xy2

(e) 5a2√

x

(f)√

5

(g) a6x8

(h) 3 3√

3

(i) 2 9√

2

(j) 2√

13

(l)12√

2a

5√

3b2

(m)x2y 3

√

y2

a2√

a

(n) x + 3

(o) x + 5

3)

(a) 2√

5

(b) 0

(c) 4b√

a− 4a√

a

(d)33√

3

(e)

√30

20

(f) 5b 12

√

(5b)

(g) 4

(h) 27a9 × b

3

2

(i) 1

(j) 4√

x 3√

y

65

4)

(a)a√

b

2b

(b)a√

b

ab

(c)5√

a4b4c

c

(d) 8− 2√

5

(e)√

2a + 1

(f) 2 +√

3


SECAO 4.1

1)

(a)9

8

(b)−17

8

(c)−57

20

(d)1

3

(e) 94, 57

(f)−4

7

(g) −11, 59

(h)−7

2

2)

(a)17

140

(b)−17

12

(c)−125

8

(d)25

9

(e)1

2

(f)3

2

3)

(a) 90

(b) −6

(c)3267

448

(d)−10

3

(e)−3

10

(f)−4

7

SECAO 4.2

1)

(a) 8

(b) 8

(c)9

8

(d)−1

70

(e) x = 4

(f) x =−64

3

(g) x =−28

67

(h)58

17

2)

(a) 2x + 3x = 50

(b) x +x

3= 15

(c) n− n

2= 40

(d) x + (x + 1) = 11

(e) 3x− x

2= 25

(f) 2n− 4 = 20

(g) 2n = 20

66

3) 15 4) 24 5) 30 6) 9 7) 54 alunos 8) Homens= 304, Mulheres=

152, Menores= 76 9) 2 anos 10) Pai= 36; Filho= 6 11) x1 = 12, x2 = 24 12) Car-

ros= 90; Motos= 110

SECAO ??

1)

(a) x = 1; y = −4 (b) x = 2; y = −6

2)

(a) 64 (b) 34

3) 36 e 58 4) 24 carros e 4 motos 5) 2432 06) 63 rosas e 21 margaridas 7) 20 atores e 40 cantores

8) x=39 e y=12 9) 40 galinhas e 60 coelhos


SECAO 5.1

1)

(a) x ∈ R/x ∗ 1 = x

(b) x ∈ R/x + x = 2x

(c) (x, y) ∈ R/x ∗ y = y ∗ x

(d) x ∈ R/x + (−x) = 0

2)

(a) x + 16 (b) 75

3)

(a) f(x) = 4 + 1, 4x (b) 18 reais

4)

(a) x ∗ x = x2 (b) (x, y) ∈ R/x + y = y + x

2

5)

(a) 930 (b) n + n2

6)

67

(a) x5y5

(b) x.x.x

(c) x2x2y2

(d) y.y.y

7)

(a) 7 (b) −1 (c) − 12 (d) 3, 1

SECAO 5.1.1

1)

(a) 17x2

(b) 0

(c) −4xy5z

(d) 32x3

(e) x2(3y + 1)

(f) 4x2 + 31y

(g) −x2y2

(h) 3920y2

(i) −14x3y

2)

(a) 2y5

(b) 40y3

(c) x3y

(d) −36x3yz4

(e) −40x5y6

(f) 635x5y5

(g) 16a4b6

(h) x8y16z24

(i) xy

(j) −7ax3

(l) 15a4y5

(m) 5a3y4

(n) 32a3b4

(o) −9x12y4

(p) 16x8y12

(q) x6

(r) −y

3)

(a) 3xy (b) 2xy (c) x2 (d) AT = x2 + 3xy + 2xy

4)

(a) −5x5y (b) −4y (c) −12x3y8 (d) 4xy

5)

(a) 5044 (b) −4160 (c) 52 (d) −9

6)

(a) 10x (b) 5 e 20 (c) 8, 2cm

SECAO 5.2

68

(1) R: a, b, c, e, g, h, i, k, l

(2) a = −1; b = 6 e c = 1

SECAO 5.2.1

(1) (f + g)(x) = 5x3 + 5x2 − x + 12;

(g − h)(x) = x4 + 5x3 + x2 + 4x + 3;

(h− f)(x) = x4 − 4x2 + x− 5.

(2) a =31

6; b =

4

3; c = −3

(3) a = b = c = 0 ou a = b = 1, c = 2.

SECAO 5.2.2

(1)

(a) 8x4 + 2x3 + 4x + 6

(b) −2x4 + 2x3 − 2x− 8

(c) 6x3 + 6x2 + 2x− 1

(d) 6x3 − 2x2 − 8x− 1

(e) 24x2 + 8x2 − 12x

(f) 28x2 + 26x + 2

(g) 81x2 − 36x + 4

(h) 12x3 − 8x2 − 21x + 3

(i) 54x4 + 6x3 − 27x2 − x− 1

(2)

(a) 15x2 − 9x + 6 (b) 20x3 − 42x2 + 26x− 12

(3) Q(x) = x + 7 e R(x) = 6

(4) D(x) = 2x2 − 3

(5) D

(6) a = b = 1

(7) P (x) = 4x3 − x2

SECAO 5.3

(1) Raizes : 2, 5, 4, com multiplicidade tres, um e dois respectivamente.

(2) a = b =3

2

(3) a)−5

x + 2+

7

x + 3;

b)−8

x− 1+

13

x− 2

69

(4)

(a) (x− 1)(x +3

4) (b) (x− 2)(x + 6)x

(5) (x− 1)(x− 2)(x− 5)(x− 1

3)


Exemplo 35:

(1) 4

(2) 4

(3)−5

3

(4)−3

2

(5) 10

(6) +− 4

(7) 3

(8) 2

(9) −2 e 1

(10)1

2

Exemplo 37:

(1) x > 7 (2) x > 1 (3) x < 4 (4) x < −3

Exemplo 38

(5)1

4(6)

−5

2(7) −3 (8)

1

2

Exemplo 40

(1) a = 8 (2) a = 6561

Exemplo 41

(1) log bc− 2 log d

(2)1

2log a− log bc

(3) 5, 50

(4) 2

(5) m + 3

Exemplo 42

(1)1− 2a

a + b(2)

−3

2(3) lg 2

Exemplo 43

(1) ∼= 1, 58

(2) ∼= 1, 84

(3) ∼= 0, 13

(4) −0, 18

(5) 0

(6) 4

Exemplo 44

70

(1) ∅ (2)17

3(3) −5 e 2 (4) 2 (5)

1

9


Exemplo 45

(1) h = 24, 2m

(2) h = 0, 54 Km; d = 2 km

(3) z = 40 cm

SECAO 7.2

(1) a =16√

3

3; b =

8√

3

3; c = 8

(2) a = 16; b = 4√

2(√

3− 1); c = 4√

2(√

3 + 1)

(3) 25, 49m

(4)30√

3√3− 1

m

(5) h = d(tg β − tg α)

(6) 117m

SECAO 7.3

1)

(a) 290

(b) 53

(c) 50

(d) 110

2) Negativo: A,C, E Positivo: B, D, F.

3)

360K + 290, com 0 ≤ k ≤ 21

360K + 53, com 0 ≤ k ≤ 5

360K + 50, com k = 0

360K + 110, com com 0 ≤ k ≤ 3

4) VERDADEIRAS: A e D.

FALSAS: B e C.

71

5) −2

6) −13

7) −1

SECAO 7.4

(1)

(a) 0

(b)−2

3

(2)−

2√

23

(3)

(a) 1

(b)−3

5

(4) 1, 3 m.

(5)

(a) S={0, 60, 180}(b) S={60, 120, 240, 270, 300}

(6) 5√

7 e 5√

3

(7) Fig.1: x = 7 Fig.2: x = 5


SECAO ??

1. (a) −1 + i (b) −3 +√

5 (c) −2i (d) −1− i

2. (a) (0, 5) (b) (0,−10)

3. (a) −2i− 3, (b)3− i

10

4. z1 = 1− 5i ; z2 = 2− 14i

5. (a) x = 0 e x = 1 (b) x = +− 1 (c) x = −+ 2 (d) x = 0

6. (a) −5 + 6i (b)7

3i (c) 2− 4i

7. (a)−35− 5i

6(b) −2 + 2i (c) 25

8. (a) i (b) −1 (c) −i (d) −i (e) −1 (f) 1− i

(g) −5 + 43i (h) −5 + 10i

9. Tem-se delta negativo. Resolver Baskhara.

72

SECAO ??

1.

(z1) −3 + 3i

(z2) 1 + 4i

(z3) 2i

(z4) −4i

73

(z5) 2− 3i

(z6) 3

(z7) −4

2. 3− 3i; −1− 4i; −2i.

3.

(a) b = −2

74

(b) −a = −1 e b > 0

(c) a = 0 e b > 0

(d) a ≤ 3 e b ≥ −3

(e) a > 0

75

(f) a > 2 e b ≥ 3

SECAO ??

1. (a) 1− 5i (b) −2i (c) 0 (d) −4− 2i (e) −1 + i

(f)√

2− 2i

2. (a) 25 (b) −49 (c) 2

3. −1− 2i

4. (a)8− i

5(b)

3− 2i

13(c) 1− i (d) −i

5. (a)−4− 12i

5(b)

50− 75i

13

6. 2± 3i

SECAO ??

1. (a)√

2 (b)√

13 (c)√

5 (d) 5

2. (a) 4√

5 (b) 12 + 5i (c) i + 2 (d) −3 + 2i

3. x2 + 10x + 29 = 0

Referencias

BONGIOVANI, Vicenzo; LEITE, Olımpico Vissoto; LAUREANO, Jose Luiz Tavares. Matematica e

Vida. Vol. 1,2,3,4, 1o grau. Sao Paulo: Atica, 1990.

DANTE, Luiz Roberto. Matematica. Vol. 1. Sao Paulo: Atica, 2009.

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, Jose Nicolau; IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Colecao Fundamentos

de Matematica Elementar. Vol. 1 a 10. Sao Paulo: Atual, 2004.

JAKUBOVIC, Jose; LELLIS, Marcelo. Matematica na medida certa. Vol. 1,2,3,4, 1o grau. Sao

Paulo: Scipione, 1994.

NETO, Scipione Di Pierro. Matematica. Vol. 1,2,3,4, 1o grau. Sao Pauo: Scipione, 1995.

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