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Preparação para cursar cálculo

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  • CAMPUS PATO BRANCO

    CURSO DE MATEMATICA PARA ALUNOS INGRESSANTES

    Projeto Institucional da Area de Matematica do campus Pato Branco

    Pato Branco - PR, 2011

  • Sumario

    1 Numeros Naturais 4

    1.1 Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2 Multiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.3 Mnimo Multiplo Comum (M.M.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.4 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.5 Maximo Divisor Comum (M.D.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2 Fracoes 11

    2.1 Operacoes com fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.2 Outras operacoes com fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.3 Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3 Potenciacao e Radiciacao 16

    3.1 Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3.1.1 Exerccios para Fixacao! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3.2 Radiciacao e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3.2.1 Propriedades da Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    4 Expressoes numericas 21

    4.1 Ordem das Operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    4.2 Equacao do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    5 Expressoes Algebricas e Polinomios 25

    5.1 Expressoes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    5.1.1 Operacoes com Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    5.2 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    5.2.1 Operacoes com Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    5.2.2 Operacoes com polinomios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    5.3 Decomposicao de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    5.3.1 Fracoes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    6 Exponencial e Logaritmo 38

    6.1 Equacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    6.2 Inequacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    6.3 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    6.3.1 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2

  • 7 Trigonometria 44

    7.1 Introducao a` trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    7.1.1 Razoes trigonometricas no triangulo retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    7.1.2 Angulos Notaveis: 30o, 45o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    7.1.3 Calculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    7.1.4 Calculo do seno, cosseno e tangente de 45o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    7.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    7.3 Arcos, angulos e o crculo trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    7.3.1 Arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    7.3.2 Estudo do Crculo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    7.3.3 Expressao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    7.3.4 Circulo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    7.4 Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    7.4.1 Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    8 Respostas dos Exerccios 59

    8.1 Respostas dos Exerccios do Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    8.2 Respostas dos Exerccios do Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    8.3 Respostas dos Exerccios do Capitulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    8.4 Respostas dos Exerccios do Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    8.5 Respostas dos Exerccios do Captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    8.6 Respostas dos Exerccios do Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    8.7 Respostas dos Exerccios do Captulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    8.8 Respostas dos Exerccios do Captulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    Referencias 76

  • Captulo 1

    Numeros Naturais

    1.1 Numeros Naturais

    O sistema de numeracao mais usados em nossos dias e o indo-arabico, que tem base decimal e e de

    carater posicional, ou seja, o valor de cada algarismo e definido em funcao da posicao que ele ocupa na

    expressao do numero.

    N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}.

    Exemplo 1 Escreva o conjunto dos numeros naturais menores que 12:

    Solucao: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

    Nota: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

    FAZENDO VOCE APRENDE

    1) Represente os seguintes subconjuntos de N por seus elementos:

    (a) O conjunto dos numeros naturais que sao mpares.

    (b) O conjunto dos numeros naturais que sao pares.

    (c) O conjunto dos numeros mpares e menores que 12.

    (d) O conjunto dos numeros mpares menores ou iguais a 11.

    2) Escreva em extensao, ou seja, pelos seus elementos, os seguintes conjuntos escritos por uma

    propriedade:

    (a) A = {n N|n < 1}

    (b) B = {n N|n 11}

    (c) C = {n N|n > 2 e n < 10}

    (d) D = {n N| 2 < n < 10}

    (e) E = {n N|n 2 e n 10}

    (f) F = {n N|2 n 10}

    3) Represente por uma propriedade os seguintes subconjuntos de N:

    (a) A = {1, 2, 3, 4, 5}

    (b) B = {0, 2, 4, 6, 8}

    (c) C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

    (d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

    4

  • 5(e) E = {5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., n, ...} (f) F = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}

    4) ) Represente em extensao os conjuntos:

    (a) A = {2n|n N}

    (b) B = {2n N|n > 0 e n < 5}

    (c) C = {2n N|0 < n < 5}

    (d) D = {2n N|0 n 5}

    5) Represente na reta numerica os seguintes subconjuntos dos numeros naturais:

    (a) A = {0, 1, 2, 3}

    (b) B = {0, 2, 4, 6, 8}

    (c) C = {3, 4, 7, 10}

    (d) D = {n N|n < 10}

    (e) E = {n N|n < 12}

    (f) F = {N N|n > 2 e n < 9}

    E LOGICO !

    Num certo planeta, os dias tem 17 horas e 17 minutos. La costuma se praticar o zists. As partidas

    de zists comecam sempre a`s 13h 10min e duram 2h 15min. A que horas elas terminam?

    1.2 Multiplos

    Definicao 1 : Chamam-se multiplos de um numero ao produto desse numero por um numero natural

    qualquer. O conjunto dos multiplos de um numero natural nao nulo e infinito e podemos consegu-lo

    multiplicando-se o numero dado por todos os numeros naturais.

    Exemplo 2 M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...}

    Observacao 1 O numero zero (0) e multiplo de qualquer numero.

    FAZENDO VOCE APRENDE!

    1) Determine e indique os conjuntos em N:

    1. M(1) 2. M(2) 3. M(6) 4. M(10) 5. M(12) 6. M(50)

    2) Classifique em verdadeiras ou falsas as afirmacoes abaixo.

    (a) O numero zero e multiplo de qualquer numero natural.

    (b) O maior multiplo de um numero e o proprio numero.

    (c) O conjunto dos multiplos de um numero e infinito.

    (d) Todo numero natural e multiplo de si mesmo.

    (e) O numero um so e multiplo dele mesmo.

  • 63) Quais sao os multiplos de 12 menores do que 50?

    4) Quais sao os multiplos de 13 compreendidos entre 15 e 40?

    5) Qual e o menor multiplo de um numero natural?

    6) Qual e o nome que se da ao conjunto dos multiplos de 2?

    7) Considere n {1, 2, 3}. Sabendo que a = 2n e b = 3n, escreva os multiplos comuns de a e bmenores que 50.

    8) Escreva o conjunto dos numeros naturais que sao multiplos de 3 e tambem, de 6.

    9) Escreva o conjunto dos numeros naturais que sao multiplos de 4 e tambem, de 5.

    10) Escreva o conjunto dos numeros naturais que sao multiplos de 5 e tambem, de 6.

    E LOGICO!

    Na piramide abaixo, tem-se que o numero de cada tijolo e a soma dos numeros dos dois tijolos

    vizinhos, do andar de baixo.

    1. Usando x, como se indica o numero do tijolo escuro?

    2. Usando x, como se indica o numero do tijolo hachurado?

    3. Qual e o valor de x?

    4. Determine o valor de cada tijolo da piramide.

    Resp: x = 11

    1.3 Mnimo Multiplo Comum (M.M.C)

    Definicao 2 Tendo-se dois ou mais numeros naturais nao nulos, o m.m.c. deles e o menor numero nao

    nulo que seja multiplo de todos eles.

  • 7Exemplo 3 Obter m.m.c de 28 e 36.

    Observacao 2 Decompor um numero composto em fatores primos significa expressar este numero como

    produto de outros que sejam primos.

    Definicao 3 Numeros Primos sao aqueles que sao divisveis apenas por 1 e por ele mesmo.