Apostila pre calculo pato branco%5b1%5d

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Preparao para cursar clculo

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<ul><li><p>CAMPUS PATO BRANCO</p><p>CURSO DE MATEMATICA PARA ALUNOS INGRESSANTES</p><p>Projeto Institucional da Area de Matematica do campus Pato Branco</p><p>Pato Branco - PR, 2011</p></li><li><p>Sumario</p><p>1 Numeros Naturais 4</p><p>1.1 Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.2 Multiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>1.3 Mnimo Multiplo Comum (M.M.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>1.4 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>1.5 Maximo Divisor Comum (M.D.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>2 Fracoes 11</p><p>2.1 Operacoes com fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>2.2 Outras operacoes com fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>2.3 Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>3 Potenciacao e Radiciacao 16</p><p>3.1 Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>3.1.1 Exerccios para Fixacao! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>3.2 Radiciacao e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>3.2.1 Propriedades da Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>4 Expressoes numericas 21</p><p>4.1 Ordem das Operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21</p><p>4.2 Equacao do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>5 Expressoes Algebricas e Polinomios 25</p><p>5.1 Expressoes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>5.1.1 Operacoes com Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>5.2 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>5.2.1 Operacoes com Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30</p><p>5.2.2 Operacoes com polinomios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31</p><p>5.3 Decomposicao de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>5.3.1 Fracoes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35</p><p>6 Exponencial e Logaritmo 38</p><p>6.1 Equacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38</p><p>6.2 Inequacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>6.3 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40</p><p>6.3.1 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41</p><p>2</p></li><li><p>7 Trigonometria 44</p><p>7.1 Introducao a` trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44</p><p>7.1.1 Razoes trigonometricas no triangulo retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44</p><p>7.1.2 Angulos Notaveis: 30o, 45o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45</p><p>7.1.3 Calculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46</p><p>7.1.4 Calculo do seno, cosseno e tangente de 45o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46</p><p>7.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47</p><p>7.3 Arcos, angulos e o crculo trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48</p><p>7.3.1 Arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48</p><p>7.3.2 Estudo do Crculo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49</p><p>7.3.3 Expressao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51</p><p>7.3.4 Circulo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52</p><p>7.4 Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53</p><p>7.4.1 Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54</p><p>8 Respostas dos Exerccios 59</p><p>8.1 Respostas dos Exerccios do Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>8.2 Respostas dos Exerccios do Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>8.3 Respostas dos Exerccios do Capitulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63</p><p>8.4 Respostas dos Exerccios do Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>8.5 Respostas dos Exerccios do Captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66</p><p>8.6 Respostas dos Exerccios do Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69</p><p>8.7 Respostas dos Exerccios do Captulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70</p><p>8.8 Respostas dos Exerccios do Captulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71</p><p>Referencias 76</p></li><li><p>Captulo 1</p><p>Numeros Naturais</p><p>1.1 Numeros Naturais</p><p>O sistema de numeracao mais usados em nossos dias e o indo-arabico, que tem base decimal e e de</p><p>carater posicional, ou seja, o valor de cada algarismo e definido em funcao da posicao que ele ocupa na</p><p>expressao do numero.</p><p>N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}.</p><p>Exemplo 1 Escreva o conjunto dos numeros naturais menores que 12:</p><p>Solucao: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}</p><p>Nota: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}</p><p>FAZENDO VOCE APRENDE</p><p>1) Represente os seguintes subconjuntos de N por seus elementos:</p><p>(a) O conjunto dos numeros naturais que sao mpares.</p><p>(b) O conjunto dos numeros naturais que sao pares.</p><p>(c) O conjunto dos numeros mpares e menores que 12.</p><p>(d) O conjunto dos numeros mpares menores ou iguais a 11.</p><p>2) Escreva em extensao, ou seja, pelos seus elementos, os seguintes conjuntos escritos por uma</p><p>propriedade:</p><p>(a) A = {n N|n &lt; 1}</p><p>(b) B = {n N|n 11}</p><p>(c) C = {n N|n &gt; 2 e n &lt; 10}</p><p>(d) D = {n N| 2 &lt; n &lt; 10}</p><p>(e) E = {n N|n 2 e n 10}</p><p>(f) F = {n N|2 n 10}</p><p>3) Represente por uma propriedade os seguintes subconjuntos de N:</p><p>(a) A = {1, 2, 3, 4, 5}</p><p>(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}</p><p>(c) C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}</p><p>(d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}</p><p>4</p></li><li><p>5(e) E = {5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., n, ...} (f) F = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}</p><p>4) ) Represente em extensao os conjuntos:</p><p>(a) A = {2n|n N}</p><p>(b) B = {2n N|n &gt; 0 e n &lt; 5}</p><p>(c) C = {2n N|0 &lt; n &lt; 5}</p><p>(d) D = {2n N|0 n 5}</p><p>5) Represente na reta numerica os seguintes subconjuntos dos numeros naturais:</p><p>(a) A = {0, 1, 2, 3}</p><p>(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}</p><p>(c) C = {3, 4, 7, 10}</p><p>(d) D = {n N|n &lt; 10}</p><p>(e) E = {n N|n &lt; 12}</p><p>(f) F = {N N|n &gt; 2 e n &lt; 9}</p><p>E LOGICO !</p><p>Num certo planeta, os dias tem 17 horas e 17 minutos. La costuma se praticar o zists. As partidas</p><p>de zists comecam sempre a`s 13h 10min e duram 2h 15min. A que horas elas terminam?</p><p>1.2 Multiplos</p><p>Definicao 1 : Chamam-se multiplos de um numero ao produto desse numero por um numero natural</p><p>qualquer. O conjunto dos multiplos de um numero natural nao nulo e infinito e podemos consegu-lo</p><p>multiplicando-se o numero dado por todos os numeros naturais.</p><p>Exemplo 2 M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...}</p><p>Observacao 1 O numero zero (0) e multiplo de qualquer numero.</p><p>FAZENDO VOCE APRENDE!</p><p>1) Determine e indique os conjuntos em N:</p><p>1. M(1) 2. M(2) 3. M(6) 4. M(10) 5. M(12) 6. M(50)</p><p>2) Classifique em verdadeiras ou falsas as afirmacoes abaixo.</p><p>(a) O numero zero e multiplo de qualquer numero natural.</p><p>(b) O maior multiplo de um numero e o proprio numero.</p><p>(c) O conjunto dos multiplos de um numero e infinito.</p><p>(d) Todo numero natural e multiplo de si mesmo.</p><p>(e) O numero um so e multiplo dele mesmo.</p></li><li><p>63) Quais sao os multiplos de 12 menores do que 50?</p><p>4) Quais sao os multiplos de 13 compreendidos entre 15 e 40?</p><p>5) Qual e o menor multiplo de um numero natural?</p><p>6) Qual e o nome que se da ao conjunto dos multiplos de 2?</p><p>7) Considere n {1, 2, 3}. Sabendo que a = 2n e b = 3n, escreva os multiplos comuns de a e bmenores que 50.</p><p>8) Escreva o conjunto dos numeros naturais que sao multiplos de 3 e tambem, de 6.</p><p>9) Escreva o conjunto dos numeros naturais que sao multiplos de 4 e tambem, de 5.</p><p>10) Escreva o conjunto dos numeros naturais que sao multiplos de 5 e tambem, de 6.</p><p>E LOGICO!</p><p>Na piramide abaixo, tem-se que o numero de cada tijolo e a soma dos numeros dos dois tijolos</p><p>vizinhos, do andar de baixo.</p><p>1. Usando x, como se indica o numero do tijolo escuro?</p><p>2. Usando x, como se indica o numero do tijolo hachurado?</p><p>3. Qual e o valor de x?</p><p>4. Determine o valor de cada tijolo da piramide.</p><p>Resp: x = 11</p><p>1.3 Mnimo Multiplo Comum (M.M.C)</p><p>Definicao 2 Tendo-se dois ou mais numeros naturais nao nulos, o m.m.c. deles e o menor numero nao</p><p>nulo que seja multiplo de todos eles.</p></li><li><p>7Exemplo 3 Obter m.m.c de 28 e 36.</p><p>Observacao 2 Decompor um numero composto em fatores primos significa expressar este numero como</p><p>produto de outros que sejam primos.</p><p>Definicao 3 Numeros Primos sao aqueles que sao divisveis apenas por 1 e por ele mesmo.</p><p>Definicao 4 Numeros Compostos sao aqueles que podem ser escritos atraves do produto de numeros</p><p>primos elevados a uma potencia.</p><p>Observacao 3 Os numeros 0 e 1 nao sao nem primos, nem compostos.</p><p>FAZENDO VOCE APRENDE !</p><p>1) Determine o m.m.c. entre os numeros:</p><p>1. 14 e 21 2. 8,12 e 16 3. 10,15 e 20 4. 12, 18, 30 e 36 5. 2,3, 5,7 e 10</p><p>2) O Sr. Joaquim toma um comprimido de 5 em 5 horas e um xarope de 3 em 3 horas. Se a` meia-noite</p><p>ele tomou os dois remedios, a que horas ele voltara a tomar os dois remedios juntos?</p><p>3) Do porto de Santos, partem navios argentinos de 16 em 16 dias e navios uruguaios de 40 em 40</p><p>dias. Se, num certo dia, saram navios das duas nacoes, quantos dias demorara para ocorrer uma nova</p><p>partida conjunta?</p><p>4) Em uma pista circular dois ciclistas partem juntos de um mesmo ponto e no mesmo sentido. O</p><p>primeiro completa cada volta em 24 minutos e o segundo em 18 minutos. Apos quantos minutos da</p><p>partida os dois vao estar juntos outra vez?</p><p>5) Numa estacao rodoviaria, os onibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas, e para a cidade B</p><p>de 8 em 8 horas. Numa ocasiao, um onibus para a cidade A partiu junto com o outro para a cidade B.</p><p>Quanto tempo depois isso acontecera de novo?</p><p>6) Um pas tem eleicoes para presidente de 5 em 5 anos, e para governadores de 4 em 4 anos. Em</p><p>1988, essas duas eleicoes coincidiram. De os anos das tres proximas vezes em que elas voltarao a coincidir.</p><p>E LOGICO !</p><p>Um poco tem 10 metros de profundidade. Uma lesma que esta no fundo do poco sobe quatro metros</p><p>durante o dia, e durante a noite, enquanto dorme, escorrega, para baixo, tres metros. Em quantos dias</p><p>saira do poco?</p></li><li><p>81.4 Divisores</p><p>Definicao 5 Sendo a e b dois numeros inteiros, com a 6= 0, dizemos que a e divisor de b quando b edivisvel por a.</p><p>Exemplo 4 1) Determine os divisores de 14. Solucao: D(14)={1, 2, 7, 14}</p><p>FAZENDO VOCE APRENDE !</p><p>1) Escreva os numeros naturais que:</p><p>1. Sao divisores de 12.</p><p>2. Sao divisores de 30.</p><p>3. Sao divisores de 12, mas nao de 30.</p><p>4. Sao divisores de 30, mas nao de 12.</p><p>5. Sao divisores comuns de 12 e 30.</p><p>2) Quais sao os divisores de um numero primo p?</p><p>3) O conjunto dos divisores de 10 e indicado por D(10) e os divisores de 24 por D(34). Apresente os</p><p>conjuntos:</p><p>1. D(10) 2. D(24) 3. D(10) D(24) 4. D(10) D(24)</p><p>4) A tia Rosa da cantina comprou 200 balas para serem vendidas em pacotes que contenham mais</p><p>de 3 balas e menos de 7 balas. Todos os pacotes devem ter o mesmo numero de balas e nao deve sobrar</p><p>nenhuma das 200 balas. Quais sao as diferentes maneiras que tia Rosa encontrou para fazer os pacotes?</p><p>5) O professor Elder, de artes, quer dividir a classe em grupos que tenha no mnimo 3 alunos e no</p><p>maximo 6. Sabendo-se que a classe tem 36 alunos e que todos os grupos devem ter o mesmo numero de</p><p>alunos, quais sao as maneiras possveis de o professor Elder formar os grupos?</p><p>6) Um torneio de futebol de salao vai reunir 24 equipes. O organizador quer formar grupos que</p><p>tenham o mesmo numero de equipes, com no mnimo 2 e no maximo 8 equipes. Quais sao as maneiras</p><p>possveis de formar estes grupos?</p><p>7) Encontre todas as maneiras possveis para ampliar 20 caixas de refrigerante em pilhas iguais, de</p><p>modo que cada pilha tenha no mnimo 2 e no maximo 10 caixas.</p><p>8) Disse um matematico: O produto das idades de meus dois filhos e igual a 18 anos. Quais sao</p><p>as possveis idades (em anos) dos filhos deste matematico?</p><p>E LOGICO !</p><p>Usando 32 quadrinhos, de 1 cm de lado, quero formar retangulos como o da figura abaixo:</p></li><li><p>9Agora, responda:</p><p>(a) E possvel formar outros retangulos usando todos os quadrinhos?</p><p>(b) Quais as medidas dos lados desses retangulos?</p><p>1.5 Maximo Divisor Comum (M.D.C)</p><p>Definicao 6 Tendo-se dois ou mais numeros naturais nao nulos, o m.d.c. deles e o maior numero</p><p>natural divisor de todos eles.</p><p>Exemplo 5 Determine o m.d.c de 12 e 16.</p><p>MDC(12)= {12}</p><p>MDC(16)= {16}</p><p>Observacao 4 O m.d.c. e o produto dos fatores comuns com o menor expoente: m.d.c.{12, 16} =22 = 4.</p><p>Exemplo 6 Determinar o mdc entre 20 e 9.</p><p>D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} e D(9) = {1, 3, 9} Assim, mdc{20, 9} = 1</p><p>Atencao: Dois numeros sao primos entre si, se o m.d.c. entre os dois for 1.</p><p>FAZENDO VOCE APRENDE !</p><p>1) Obtenha:</p><p>1. o m.d.c. (27, 36) 2. o m.d.c. (45, 75) 3. o m.d.c. (20, 26) 4. o m.d.c. (16, 21)</p><p>2) Um professor da aulas numa 7a serie, de 30 alunos, e numa 8a serie, de 18 alunos. Em cada sala,</p><p>ele formou grupos, e todos os grupos (tanto na 7a como na 8a) tinham o mesmo numero de alunos. Qual</p><p>e o maior numero de alunos que cada grupo pode ter?</p><p>3) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois numeros naturais nao nulos, quando um deles e</p><p>divisor do outro?</p><p>4) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois numeros primos diferentes?</p><p>5) Na escola de Laura, a 5a serie A tem 36 alunos e a 5a serie B tem 42. Para participar de uma</p><p>exposicao de artes, cada classe formara equipes. Todas as equipes devem ter o mesmo numero de alunos.</p><p>Sabendo que todos os alunos devem participar dessa exposicao, responda:</p></li><li><p>10</p><p>(a) Qual o numero maximo de alunos por equipe?</p><p>(b) Quantas serao as equipes da 5a serie A? E da 5a serie B?</p><p>6) Para confeccao de uma tela, dois rolos de arame de 350 cm e 140 cm vao ser divididos em pedacos</p><p>da mesma medida e a maior possvel (sem sobras). Qual o numero de pedacos que serao obtidos de cada</p><p>rolo?</p><p>7) Para montagem de uma estante, tres pedacos de madeira (caibros) medindo 240 cm, 320 cm e 400</p><p>cm devem ser divididos em pedacos iguais de maior medida possvel (sem sobras). Qual o numero total</p><p>de pedacos que serao obtidos?</p><p>8) A gerente de uma loja de tecidos quer dividir tres pecas de fazenda em partes iguais e de maior</p><p>tamanho possvel. Sabendo que essas pecas medem 180 m, 216 m e 288 m, determine o numero de partes</p><p>em que sera dividida cada peca e o comprimento dessas partes.</p><p>E LOGICO !</p><p>Quantos quadrados ha na figura?</p></li><li><p>Captulo 2</p><p>Fracoes</p><p>2.1 Operacoes com fracoes</p><p> Adicao e Subtracao</p><p>Exemplo 7 (a) 78 +56 =</p><p>3.724 +</p><p>4.524 =</p><p>2124 +</p><p>2024 =</p><p>4124</p><p>(b) 75 38 = 8.75.340 = 561540 = 3140</p><p>FAZENDO VOCE APRENDE !</p><p>1) Efetue as adicoes...</p></li></ul>