apostila po - prof biluka

Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. Biluka

1 INTRODUO PESQUISA OPERACIONAL

1.1 O Desenvolvimento da Pesquisa Operacional Durante a Segunda Guerra Mundial, um grupo de cientistas foi convocado na Inglaterra para estudar problemas de estratgia e de ttica associados com a defesa do pas. O objetivo era decidir sobre a utilizao mais eficaz de recursos militares limitados. A convocao deste grupo marcou a primeira atividade formal de pesquisa operacional. Os resultados positivos conseguidos pela equipe de pesquisa operacional inglesa motivaram os Estados Unidos a iniciarem atividades semelhantes. Apesar de ser creditada Inglaterra a origem da Pesquisa Operacional, sua propagao deve-se principalmente equipe de cientistas liderada por George B. Dantzig, dos Estados Unidos, convocada durante a Segunda Guerra Mundial. Ao resultado deste esforo de pesquisa, concludo em 1947, deu-se o nome de Mtodo Simplex. Com o fim da guerra, a utilizao de tcnicas de pesquisa operacional atraiu o interesse de diversas outras reas. A natureza dos problemas encontrados bastante abrangente e complexa, exigindo, portanto uma abordagem que permita reconhecer os mltiplos aspectos envolvidos. Uma caracterstica importante da pesquisa operacional e que facilita o processo de anlise e de deciso a utilizao de modelos. Eles permitem a experimentao da soluo proposta. Isto significa que uma deciso pode ser mais bem avaliada e testada antes de ser efetivamente implementada. A economia obtida e a experincia adquirida pela experimentao justificam a utilizao da Pesquisa Operacional. Com o aumento da velocidade de processamento e quantidade de memria dos computadores atuais, houve um grande progresso na Pesquisa Operacional. Este progresso devido tambm larga utilizao de microcomputadores, que se tornaram unidades isoladas dentro de empresas. Isso faz com que os modelos desenvolvidos pelos profissionais de Pesquisa Operacional sejam mais rpidos e versteis, alm de serem tambm interativos, possibilitando a participao do usurio ao longo do processo de clculo.

Bibliografia utilizada: SILVA, Ermes Medeiros da, et al. Pesquisa Operacional. So Paulo: Atlas, 1995. LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional na tomada de decises. Rio de Janeiro: Campus, 2002. LISBOA, ERICO. Introduo Pesquisa Operacional. Disponvel em http://www.ericolisboa.eng.br

Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. BilukaPesquisa Operacional um mtodo cientifico de tomada de decises. Em linhas gerais, consiste na descrio de um sistema organizado com auxilio de um modelo, e atravs da experimentao com o modelo, na descoberta da melhor maneira de operar o sistema.

1.2 Fases de um Estudo em P.O. Um estudo em Pesquisa Operacional costuma envolver seis fases: Formulao do problema; Construo do modelo do sistema; Calculo da soluo atravs do modelo; Teste do modelo e da soluo; Estabelecimento de controles da soluo; Implantao e acompanhamento;

que podem ser descritas como segue:

Formulao do Problema Nesta fase, o administrador do sistema e o responsvel pelo estudo em P.O. devero discutir, no sentido de colocar o problema de maneira clara e coerente, definindo os objetivos a alcanar e quis os possveis caminhos alternativos para que isso ocorra. Alm disso, sero levantadas as limitaes tcnicas do sistema e as relaes desse sistema com outros da empresa ou do ambiente externo, com a finalidade de criticar a validade de possveis solues em face destes obstculos. Dever ainda ser acordada uma medida de eficincia para o sistema que permita ao administrador ordenar as solues encontradas, concluindo o processo decisrio.

Construo do Modelo do Sistema Os modelos que interessam em P.O. so modelos matemticos, isto , modelos formados por um conjunto de equaes e inequaes. Um modelo uma representao de um sistema real, que pode j existir ou ser um projeto aguardando execuo. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento do

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Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. Bilukasistema, de modo a aumentar sua produtividade. No segundo caso, o modelo utilizado para definir a estrutura ideal do sistema. A confiabilidade da soluo obtida atravs do modelo depende da validao do modelo na representao do sistema real. A validao do modelo a confirmao de que ele realmente representa o sistema real. A diferena entre a soluo real e a soluo proposta pelo modelo depende diretamente da preciso do modelo em descrever o comportamento original do sistema. Um problema simples pode ser representado por modelos tambm simples e de fcil soluo. J problemas mais complexos requerem modelos mais elaborados, cuja soluo pode vir a ser bastante complicada. Em um modelo matemtico, so includos trs conjuntos principais de elementos:

Variveis de deciso e parmetros: variveis de deciso so as incgnitas aserem determinadas pela soluo do modelo. Parmetros so valores fixos no problema;

Restries: de modo a levar em conta as limitaes fsicas do sistema, omodelo deve incluir restries que limitam as variveis de deciso a seus valores possveis (ou viveis);

Funo objetivo: uma funo matemtica que define a qualidade da soluoem funo das variveis de deciso. Para melhor ilustrar ao conjuntos acima, considere o seguinte exemplo: Uma empresa de comida canina produz dois tipos de raes: Tobi e Rex. Para a manufatura das raes so utilizados cereais e carne. Sabe-se que: a rao Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a rao Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais; o pacote de rao Tobi custa R$ 20 e o pacote de rao Rex custa $ 30; o kg de carne custa R$ 4 e o kg de cereais custa R$ 1; esto disponveis por ms 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de cada rao a produzir de modo a maximizar o lucro. Neste problema as variveis de deciso so as quantidades de rao de cada tipo a serem produzidas. Os parmetros fornecidos so os preos unitrios de compra e venda, alm das quantidades de carne e cereais utilizadas em cada tipo de rao. As restries so os limites de carne e cereais e a funo objetivo uma funo matemtica que determine o lucro em funo das variveis de deciso e que deve ser maximizada.


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. BilukaClculo da soluo atravs do modelo feito atravs de tcnicas matemticas especficas. A construo do modelo deve levar em considerao a disponibilidade de uma tcnica para o clculo da soluo. A formulao do modelo depende diretamente do sistema a ser representado. A funo objetivo e as funes de restries podem ser lineares ou no- lineares. As variveis de deciso podem ser contnuas ou discretas (por exemplo, inteiras) e os parmetros podem ser determinsticos ou probabilsticos. O resultado dessa diversidade de representaes de sistemas o desenvolvimento de diversas tcnicas de otimizao, de modo a resolver cada tipo de modelo existente. Estas tcnicas incluem, principalmente: programao linear, programao inteira, programao dinmica, programao estocstica e programao no- linear. Programao linear utilizada para analisar modelos onde as restries e a funo objetivo so lineares; programao inteira se aplica a modelos que possuem variveis inteiras (ou discretas); programao dinmica utilizada em modelos onde o problema completo pode ser decomposto em subproblemas menores; programao estocstica aplicada a uma classe especial de modelos onde os parmetros so descritos por funes de probabilidade; finalmente, programao no-linear utilizada em modelos contendo funes no-lineares. Uma caracterstica presente em quase todas as tcnicas de programao matemtica que a soluo tima do problema no pode ser obtida em um nico passo, devendo ser obtida iterativamente. escolhida uma soluo inicial (que geralmente no a soluo tima). Um algoritmo especificado para determinar, a partir desta, uma nova soluo, que geralmente superior anterior. Este passo repetido at que a soluo tima seja alcanada (supondo que ela existe).

Teste do modelo e da soluo Esse teste realizado com dados empricos do sistema. Se houver dados histricos, eles sero aplicados no modelo, gerando um desempenho que pode ser comparado ao desempenho observado no sistema. Se o desvio verificado no for aceitvel, a reformulao ou mesmo o abandono do modelo ser inevitvel. Caso no haja dados histricos, os dados empricos sero anotados com o sistema funcionando sem interferncia, at que o teste possa ser realizado.

Estabelecimento de controles da soluo A construo e experimentao com o modelo identificam parmetros fundamentais para soluo do problema. Qualquer mudana nesses


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. Bilukaparmetros dever ser controlada para garantir a validade da soluo adotada. Caso alguns desses parmetros sofram desvio alm do permitido, o clculo de nova soluo ou mesmo a reformulao do modelo poder ser necessria.

Implementao e acompanhamento Nesta fase, a soluo ser apresentada ao administrador, evitando-se o uso da linguagem tcnica do modelo. O uso da linguagem do sistema em estudo facilita a compreenso e gera boa vontade para a implantao que est sendo sugerida. Essa implantao deve ser acompanhada para se observar o comportamento do sistema com a soluo adotada. Algum ajuste pode ser requerido.


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. Biluka2 Programao Linear 2.1 Modelo em Programao Linear Uma das tcnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em Pesquisa Operacional a programao linear. A simplicidade do modelo envolvido e a disponibilidade de uma tcnica de soluo programvel em computador facilitam sua aplicao. As aplicaes mais conhecidas so feitas em sistema estruturados, como os de produo, finanas, controles de estoques etc. O problema geral de programao linear utilizado para otimizar (maximizar ou minimizar) uma funo linear de variveis, chamada de "funo objetivo", sujeita a uma srie de equaes ou inequaes lineares, chamadas restries. A formulao do problema a ser resolvido por programao linear segue alguns passos bsicos. deve ser definido o objetivo bsico do problema, ou seja, a otimizao a ser alcanada. Por exemplo, maximizao de lucros, ou de desempenhos, ou de bem-estar social; minimizao de custos, de perdas, de tempo. Tal objetivo ser representado por uma funo objetivo, a ser maximizada ou minimizada; para que esta funo objetivo seja matematicamente especificada, devem ser definidas as variveis de deciso envolvidas. Por exemplo, nmero de mquinas, a rea a ser explorada, as classes de investimento disposio etc. Normalmente, assume-se que todas estas variveis possam assumir somente valores positivos; estas variveis normalmente esto sujeitas a uma srie de restries, normalmente representadas por inequaes. Por exemplo, quantidade de equipamento disponvel, tamanho da rea a ser explorada, capacidade de um reservatrio, exigncias nutricionais para determinada dieta etc. Todas essas expresses, entretanto, devem estar de acordo com a hiptese principal da programao linear, ou seja, todas as relaes entre as variveis devem ser lineares. Isto implica proporcionalidade das quantidades envolvidas. Esta caracterstica de linearidade pode ser interessante no tocante simplificao da estrutura matemtica envolvida, mas prejudicial na representao de fenmenos no lineares (por exemplo, funes de custo tipicamente quadrticas). Um problema de programao linear est em sua forma padro se tiver na funo objetivo uma Maximizao e se todas as restries forem do tipo menor ou igual, bem como os termos constantes e variveis de deciso no-negativos. A fim de facilitar nossa explicao, algum tipo de padronizao de terminologia deve ser introduzido. Entende-se por:


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. BilukaSoluo qualquer especificao de valores para variveis de deciso, independente de se tratar de uma escolha desejvel ou permissvel. Soluo Vivel Soluo tima uma soluo em que todas as restries so satisfeitas. uma soluo vivel que tem o valor mais favorveis da funo-objetivo, isto , maximiza ou minimiza a funo-objetivo em toda a regio vivel, podendo ser nica ou no. Todo problema de Programao Linear parte de algumas hipteses que so assumidas quando tentamos resolv-los: Proporcionalidade O valor da funo-objetivo diretamente proporcional ao nvel de atividade de cada varivel de deciso. Aditividade Considera as atividades (variveis de deciso) do modelo como entidades totalmente independentes, no permitindo que haja interdependncia entre as mesmas, isto , no permitindo a existncia de termos cruzados, tanto na funo-objetivo como nas restries. Divisibilidade Assume que todas as unidades de atividade possam ser divididas em qualquer nvel fracional, isto , qualquer varivel de deciso pode assuimir qualquer valor fracionrio. Certeza Assume que todos os parmetros do modelo so constantes conhecidas. Em problemas reais, a certeza quase nunca satisfeita, provocando a necessidade de anlise de sensibilidade dos resultados.


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. BilukaO problema geral de programao linear pode ser definido por Maximizar (ou minimizar) Maximizar (ou minimizar)

Z = c1 x1+ c2 x 2 +c3 x 3 +....... + cn x n

Funo Objetivo

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn b1 (ou , ou =)Sujeito a

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn b2 (ou , ou =) ... am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn bm (ou , ou =) x1 , x2 , xn 0

Restries tcnicas

Restries de no negatividade

As variveis controladas ou variveis de decises so

x1 , x2 , xn . A funo objetivo

ou funo de eficincia mede o desempenho do sistema, podendo ser a capacidade de gerar lucro ou a capacidade de minimizar perdas. As restries garantem que essas solues esto de acordo com as limitaes tcnicas impostas pelo sistema, h tambm as restries de no negatividade das variveis de deciso, o que dever acontecer sempre que a tcnica de abordagem for a de programao linear. A construo do modelo matemtico, no caso um modelo linear, parte mais complicada de nosso estudo. No h regra fixa para esse trabalho, mas podemos sugerir um roteiro que ajuda a ordenar o raciocnio. Roteiro a) Quais as variveis de deciso? Aqui o trabalho consiste em explicitar as decises que devem ser tomadas e representar as possveis decises atravs de variveis chamadas de variveis de deciso. Se o problema de programao de produo, as variveis de deciso so as quantidades a produzir no perodo; se for um problema de programao de investimento, as variveis vo representar as decises de investimento, isto , quanto investir em cada oportunidade de investimento, e em que perodo. Nas descries sumrias de sistemas, isso fica claro lemos a questo proposta, isto , a pergunta do problema. b) Qual o objetivo? Aqui devemos identificar o objetivo da tomada de deciso. Eles aparecem geralmente na forma de maximizao de lucros ou receitas, minimizao de custos, perdas etc. A funo objetivo a expresso que calcula o valor do objetivo (lucro, custo, receita, perda etc.), em funo das variveis de deciso.


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. Bilukac) Quais as restries? Cada restrio imposta na descrio do sistema deve ser expressa com uma relao linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variveis de deciso. Exemplo 2 Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitrio do produto P1 de 1000 unidades monetrias e o lucro unitrio de P2 de 1800 unidades monetrias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produo disponvel para isso de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais de P2. Qual o plano de produo para que a empresa maximize seus lucro nesses itens? Construa o modelo de programao linear para esse caso. a) Quais as variveis de deciso? O que deve ser decidido o plano de produo, isto , quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2. Portanto, as variveis de deciso sero x1 e x2 .

x1 quantidade anual a produzir de P1. x2 quantidade anual a produzir de P2.b) Qual o objetivo? O objetivo maximizar o lucro, que pode ser calculado: Lucro devido a P1: 1000 . x1 (lucro por unidade de P1 x quantidade produzida de P1) Lucro devido a P2: 1800 . x2 (lucro por unidade de P2 x quantidade produzida de P2) Lucro total: L = 1000 x1 +1800 x 2 Objetivo: maximizar L = 1000 x1 +1800 x 2 c) Quais as restries? As restries impostas pelo sistema so: - Disponibilidade de horas para a produo: 1200 horas. horas ocupadas com P1: 20x1 (uso por unidade x quantidade produzida) horas ocupadas com P2: 30x2 (uso por unidade x quantidade produzida) Total em horas ocupadas na produo: 20 x1 + 30 x2 Disponibilidade: 1200 horas Restrio descritiva da situao: 20 x1 + 30 x2 1200


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. Biluka- Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda) Disponibilidade para P1: 40 unidades Quantidade a produzir de P1: x1 Restrio descritiva da situao: x1 40 Disponibilidade para P2: 30 unidades Quantidade a produzir de P2: x2 Restrio descritiva da situao: x2 30 Resumo do modelo: max L = 1000 x1 +1800 x 2

20 x1 + 30 x2 1200Sujeito a

Restrio das horas Restrio de demanda Restrio de no-negatividade

x1 40 x2 30 x1 , x2 0

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Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. BilukaExemplo 2 Vamos reescrever o exemplo utilizado na seo 1.2: Uma empresa de comida canina produz dois tipos de raes: Tobi e Rex. Para a manufatura das raes so utilizados cereais e carne. Sabe-se que: a rao Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a rao Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais; o pacote de rao Tobi custa R$ 20 e o pacote de rao Rex custa $ 30; o kg de carne custa R$ 4 e o kg de cereais custa R$ 1; esto disponveis por ms 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de cada rao a produzir de modo a maximizar o lucro. Nosso modelo deseja maximizar o lucro (Z) a partir da quantidade de rao Tobi (x1) e de rao Rex(x2). A Tabela abaixo apresenta o clculo do lucro unitrio de cada rao. Custo de carne Custo de cereais Custo total Preo Lucro Rao Tobi 1 kg x R$ 4 = R$ 4 5 kg x R$ 1 = R$ 5 R$ 9 R$ 20 R$ 11 maximizar Z = 11x1 +12 x 2 Sujeito a Rao Rex 4 kg x R$ 4 = R$ 16 2 kg x R$ 1 = R$ 2 R$ 18 R$ 30 R$ 12

1x1 + 4 x 2 1000 5 x1 + 2 x 2 30000 x1 , x2 0

Restrio de carne Restrio de cereais Restrio de no-negatividade


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. BilukaExerccios 1) Uma marcenaria deseja estabelecer uma programao diria de produo. Atualmente, a oficina faz apenas dois produtos: mesa e armrio, ambos de um s modelo. Para efeito de simplificao, vamos considerar que a marcenaria tem limitaes em somente dois recursos: madeira e mo-de-obra, cujas disponibilidades dirias so mostradas na tabela a seguir. Recurso Madeira Mo-de-obra Disponibilidade 12m2 8 H.h

O processo de produo tal que, para fazer uma mesa a fbrica gasta 2 m2 de madeira e 2 H.h de mo-de-obra. Para fazer um armrio, a fbrica gasta 3 m2 de madeira e 1 H.h de mo de obra. Alm disso, o fabricante sabe que cada mesa d uma margem de contribuio para o lucro de $ 4 e cada armrio de $ 1. O problema encontrar o programa de produo que maximiza a margem de contribuio total para o lucro.

2) Uma pequena metalrgica deseja maximizar sua receita com a venda de dois tipos de finas fitas de ao que se diferenciam em qualidade no acabamento de corte. As fitas so produzidas a partir do corte de bobinas de grande largura. Existem duas mquina em operao. Uma das mquinas mais antiga e permite o corte dirio de 4000 m de fita. A outra, mais nova, corta 6000 m. A venda das chapas no mercado varia com a qualidade de cada uma. Fitas produzidas na mquina antiga permitem um lucro de 3 u.m. por mil metros de produo. Fitas cortadas na mquina moderna produzem um lucro de 5 u.m. por mil metros de produo. Cada mil metro de fita cortada na mquina antiga consome 3 homens X hora de mo-de-obra. Na mquina moderna so gastos apenas 2 homens X hora. Diariamente so disponveis 18 homens X hora para operao de ambas as mquinas. Determinar a produo que otimiza o lucro da metalrgica.


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. Biluka3) Um fabricante de mveis fornece os seguintes produtos: mesas, armrios e cadeiras. A fabricao de cada tipo de produto requer chapas de mogno e dois tipos de mo de obra, uma para acabamento e outra para carpintaria. A quantidade de recursos para cada tipo de produto dada na tabela abaixo. Recurso Mogno Horas Armrio 8 m2 de 4 Mesa 6 m2 2 Cadeira 1 m2 1,5 Disponibilidade 30 m2 10

acabamento Horas de carpintaria 2 1,5 0,5 10 Sendo que cada mesa, armrio e cadeira do um lucro de 3, 4 e 5 u.m. Formular o modelo matemtico para maximizar seu lucro semanal.

4) Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado vendido por 27 u.m. e usa 10 u.m de matria prima. Cada soldado que fabricado tem um custo adicional de 14 u.m. relativo a mo de obra. Um trem vendido por 21 u.m. e gasta 9 u.m. de matria prima. O custo de mo de obra adicional para cada trem de 10 u.m.. A fabricao destes brinquedos requer dois tipos de mo de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matria prima, mas tem a disposio at 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens ilimitada, mas a venda de soldados de no mximo 40 por semana. Giapetto que maximizar seu lucro dirio (receitas-custos). Formular o modelo matemtico que poder ser usado por Giapetto para maximizar seu lucro semanal.


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. Biluka2.2 Tcnica de Soluo para Modelos de Programao Linear com Duas Variveis de Deciso Mtodo Grfico. Essa tcnica consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o conjunto das possveis solues do problema, isto , o conjunto de pontos ( x 1 , x 2 ) que obedecem ao grupo de restries impostas pelo sistema em estudo. O desempenho do modelo avaliado atravs da representao grfica da funo objetivo. AS solues so classificadas de acordo com sua posio no grfico.

2.2.1 Grfico do Conjunto de Solues

A representao grfica de uma equao linear com duas variveis uma reta. A representao grfica de uma inequao linear com duas variveis um dos semiplanos definidos pela reta correspondente equao. Exemplo 1: Representar graficamente a inequao: 1x1 + 2 x 2 10

a. Construir a reta correspondente equao: 1x1 + 2 x 2 = 10 (acompanhe no grfico)Precisamos de dois pontos: Fazendo x1 = 0 teremos 2 x 2 = 10 x 2 = 5 Fazendo x 2 = 0 teremos x1 = 10

b. Testar a inequao: 1x1 + 2 x 2 10Tomamos um ponto qualquer de uma das regies limitadas pela reta, por exemplo o ponto (

x1 = 10 , x 2 = 5 ).Substituindo na inequao:

10 + 2.5 10 ou 20 10 , o que verdadeiro, portanto a regio das solues da inequao aquela que contem o ponto testado.


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. Biluka x2 Regio de solues

5

(10,5)

10Exerccio. Representar graficamente a soluo do sistema:

x1

x1 + 3 x 2 12 2 x1 + x 2 16 x1 0 x2 0


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. Biluka2.2.1 Avaliao do Objetivo Avaliar o desempenho da funo objetivo: Maximizar L = 2 x1 + 5 x 2 , na regio de solues do grfico abaixo:

x2

8

6

0

4

8

Soluo: Escolhemos um valor arbitrrio para L, por exemplo, o valor 10.

A equao: 10 = 2 x1 + 5 x 2 fornece o conjunto de pontos ( x 1 , x 2 ) que do para L o valor 10. Vamos representar esses pontos:

x1

2 x1 + 5 x 2 = 10Fazendo x1 = 0 teremos 5 x 2 = 10 x 2 = 2 Fazendo x 2 = 0 teremos 2 x1 = 10 x1 = 5 Escolhemos um segundo valor para L, por exemplo, o valor 15, ento:

2 x1 + 5 x 2 = 10

Fazendo x1 = 0 teremos 5 x 2 = 15 x 2 = 3 Fazendo x 2 = 0 teremos 2 x1 = 15 x1 = 7,5


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. BilukaGraficamente, teremos:

x2

8

6

L = mximo

0

4

5 L = 10

7,5

8 L = 15

Verificamos do grfico que: 1. medida que atribumos valores a L, obtemos retas paralelas. 2. medida que o valor de L aumenta, a reta se afasta da origem do sistema de eixos.

x1

Podemos concluir que pelo ponto P do grfico teremos a paralela de maior valor que ainda apresenta um ponto na regio de solues. Portanto, o ponto P a soluo que maximiza L na regio de solues dadas. Como P = (0,6) e L = 2 x1 + 5 x 2 , substituindo x1 = 0 e x 2 = 6 teremos: L = 2.0 + 5.6 ou L mximo = 30.


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. BilukaExerccio. Resolver o problema de programao linear: Minimizar maximizar Z = 2 x 1 +3 x 2

x1 + x 2 5Sujeito a

5 x1 + x 2 10 x1 8 x1 , x2 0


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. BilukaO MTODO SIMPLEX 4 O Mtodo Simplex caminha pelos vrtices da regio vivel at encontrar uma soluo que no possua solues vizinhas melhores que ela. Esta a soluo tima. A soluo tima pode no existir em dois casos: quando no h nenhuma soluo vivel para o problema, devido a restries incompatveis; ou quando no h mximo (ou mnimo), isto , uma ou mais variveis podem tender a infinito e as restries continuarem sendo satisfeitas, o que fornece um valor sem limites para a funo objetivo. Esse mtodo formado por um grupo de critrios para escolha de solues bsicas que melhorem o desempenho do modelo, e tambm de um teste otimalidade. Para isso, o problema deve apresentar uma soluo bsica inicial. As solues bsicas subseqentes so calculadas com a troca de variveis bsicas por no bsica, gerando novas solues. Os critrios para escolha de vetores e conseqentemente das variveis que entram e saem para a formao da nova base constituem o centro do simplex. Suponhamos inicialmente que o modelo apresente a soluo bsica inicial. Os modelos com restries tipo e com termos da direita no negativos tm uma soluo bsica formada pelas variveis de folga.

Exemplo: No modelo: maximizar Z = 3 x1 +5 x 2

2 x1 + 4 x2 10sujeito a :

6 x1 + x2 20 x1 x2 30 x1 , x2 0


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. BilukaAcrescenta-se as folgas, determina-se a soluo bsica inicial.

2 x1 + 4 x2 + xF1 = 10 6 x1 + x2 + xF2 = 20 x1 x2 + xF3 = 30 x1 , x2 , xF1 , xF2 , xF3 0Podemos visualizar uma soluo formada pelas variveis de folga. Soluo bsica inicial: x1 = 0, x2 = 0, xF1 = 10, xF2 = 20, xF3 = 30 Descrio do Mtodo para Maximizao 1 Parte: Teste de otimalidade para a soluo. Consiste em avaliar o efeito da permuta de uma varivel bsica por outro no bsica, com a conseqente formao de nova soluo. Se a entrada de uma varivel no bsica puder melhorar o desempenho do sistema, a soluo testa no tima. Essa avaliao possvel quando a funo objetivo est escrita somente em termos das variveis no bsicas. Voltando ao exemplo, funo objetivo est escrita na forma: maximizar Z = 3 x1 +5 x 2 e obtivemos, fazendo x1 = 0 , x2 = 0 , uma soluo bsica inicial formada pelas variveis de folga xF1 = 10, xF2 = 20, xF3 = 30 . No caso, as variveis bsicas so xF1 , xF2 , xF3 e as no bsicas x1 , x2 . Portanto, a funo objetivo est escrita com as variveis no bsicas. Examinando a funo objetivo e a soluo inicial x1 = 0, x2 = 0, z = 0 com

Z = 3 x1 +5 x 2 , temos:Se x1 entra na base com valor 1, o valor de Z passa de Z = 0 para Z = 3 , aumentando 3 unidades, exatamente o valor do coeficiente de x1 . Se x2 entra na base com valor 1, o valor de Z passa de Z = 0 para Z = 5 , aumentando 5 unidades, exatamente o valor do coeficiente de x2 .


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. BilukaPor outro lado, se o coeficiente de x1 ou x2 fosse negativo, a entrada dessa varivel diminuiria o valor de Z, de acordo com seu coeficiente. Pode-se concluir que enquanto a funo objetivo apresentar variveis no bsicas com coeficientes positivos, ela poder ser aumentada, no sendo portanto a soluo tima. Vamos reescrever, agora, a funo objetivo com todas as variveis a esquerda:

Z = 3 x1+5 x 2 Z 3 x15 x2 = 0Os coeficientes positivos direita so negativos esquerda, portanto, coeficiente negativos esquerda indicam que o valor de Z pode ser aumentado com a entrada da varivel na base, e na proporo de seu coeficiente. Escrito dessa forma, a soluo testada s ser tima quando as variveis no bsicas apresentarem somente coeficientes positivos. 2 Parte: Clculo da nova soluo bsica a) Varivel que entra na base: entra na base a varivel com coeficiente negativo de maior valor absoluto. A idia melhorar rapidamente o valor de Z. Examinando a funo objetivo do exemplo:

Z = 3 x1 +5 x 2 ouZ 3x15 x = 0 entra a varivel x2 , pois cada unidade a mais em x2 aumenta Z em 5 unidades.b) Varivel que sai: sai a varivel que primeiro se anula com a entrada da varivel escolhida no item anterior, no caso x2 , que entra com maior valor possvel. Ela pode ser descoberta dividindo-se os termos da direita das restries pelos coeficientes positivos da varivel que entra. O menor valor indica que a varivel bsica dessa linha a que primeiro se anula e sair da base.

2 x1 + 4 x2 + xF1 = 10 6 x1 + 1x2 + xF2 = 20 1x1 1x2 + xF3 = 30

10 / 4 = 2,5 Sai 20 / 1 = 20 30 /(1) = 30

A ltima diviso (30/(-1))no pode ser considerada, pois Dara valor negativo para a varivel na prxima base, o que no possvel. Portanto, sai a varivel da primeira linha, no caso xF1 . c) Elemento Piv: A coluna da varivel que entra e a linha da varivel que sai identificam um elemento comum chamado piv.


Sistemas de Informao - Pesquisa Operacional 7o Perodo Prof. Bilukad) Calculando a nova soluo: d1. Vamos organizar a funo objetivo e restries numa tabela com colunas formadas pelos coeficientes de cada varivel e outra dos termos independentes.


apostila po - prof biluka

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