apostila po daniel 2011

APOSTILA DE PLANEJAMENTO OPERACIONAL

Professor Daniel Carmo

2 semestre de 2011

5 e 6 perodo

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SUMRIO

CAPTULO 1 MODELO MATEMTICO ...................................................................... 3 1. Definio ....................................................................................................................... 3 1.1. Modelo Matemtico................................................................................................. 4 1.2. Tipos de Modelo Matemtico ............................................................................... 5 1.2.1. Modelo de Atividades ......................................................................................... 6 1.2.2. Exerccios Modelo de Atividades................................................................. 7 1.2.3 Modelo de Dieta..................................................................................................... 8 1.2.3. Exerccios - Modelo de Dieta ............................................................................ 9 1.2.4. Modelo de Transporte....................................................................................... 11 1.2.5. Exerccios - Modelo de Transporte ............................................................... 13 1.2.6. Exerccios de Reviso ...................................................................................... 14 2. Mtodo Simplex ........................................................................................................ 22 2.1. Tipos de Mtodo Simplex.................................................................................... 22 2.2. Mtodo Simplex Algbrico.................................................................................. 22 2.2.1. Soluo Bsica Compatvel ............................................................................ 22 2.2.2. Exemplo Mtodo Simples Algbrico ......................................................... 26 2.2.3. Exerccios Mtodo Simples Algbrico...................................................... 33 TEXTOS COMPLEMENTARES ..................................................................................... 35

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CAPTULO 1 MODELO MATEMTICO

PESQUISA OPERACIONAL

1. Definio Conhecida tambm como Management Science, o termo Pesquisa Operacional (em ingls: Operations Research) foi empregado pela primeira vez em 1939 como uma tentativa de englobar, sob uma nica denominao, todas as tcnicas existentes ou que viriam a ser desenvolvidas e que tinham o mesmo objetivo citado. Num cenrio de negcios cada vez mais competitivo, a compreenso de processos e a busca pela eficincia nas empresas deixaram de ser um mero detalhe. Em ambientes de produo em mdia e larga escala, este trabalho s vezes se revela grande demais para ser resolvido de forma til sem uma anlise mais rigorosa. De modo geral, desafios complexos podem ser reinterpretados pela PO para auxiliar na gesto de recursos. Os problemas so redefinidos matematicamente e as solues traduzidas para o mundo real. A PO tem como base a utilizao de mtodos analticos quantitativos formais visando minimizar custos ou maximizar rendimentos para ajudar na soluo de problemas e tomada de decises, resulta principalmente da formulao de modelos matemticos para estes problemas e da obteno de solues timas para eles. Estes problemas podem ter origens em reas diversas, como Engenharia, Economia, Estatstica, Transportes, Administrao, etc.. constituda por um conjunto de disciplinas isoladas, tais como Programao Linear, Teoria das Filas, Simulao, Programao Dinmica, Teoria dos Jogos, etc.

CONDIES PARA APLICAR A PESQUISA OPERACIONAL 1 Toda empresa ou atividade dever apresentar com clareza o seu objetivo; 2 Todas as informaes tero que ser representadas atravs de equaes ou inequaes; 3 Os produtos tero que apresentar pelo menos 1 grau de interdependncia; 4 Pelo menos 1 dos fatores da empresa ter que ser limitado.


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PROGRAMAO LINEAR A Programao Linear (PL) uma tcnica de planejamento que vem se constituindo como uma das mais poderosas em quase todo ramo da atividade humana. Seus benefcios so exatamente aqueles procurados por qualquer empresa: diminuio dos custos e aumento dos lucros. Em algumas empresas ela est, inclusive, embutida em suas rotinas informatizadas de planejamento dirio dos processos de operao. Esta tcnica foi criada em 1946 e tem sido aplicada nas reas mais diversas. Algumas aplicaes se tornaram clssicas, tais como: Formulao de alimentos, raes e adubos; Blendagem de ligas metlicas e petrleo; Transporte; Localizao industrial; Carteira de aes (Investimentos); Alocao de recursos em fbricas, fazendas, escritrios, etc; Designao de pessoas e tarefas (Composio de tabelas de horrios); Corte de barras e chapas.

Vantagens O objetivo da PL encontrar o lucro mximo ou o custo mnimo em situaes reais.

1.1.

Modelo Matemtico

Consiste em representar toda a empresa atravs de equaes e inequaes de modo que seja identificado a produo ideal.

1 DEFINIO DA VARIVEL Leva em considerao o perodo e a unidade a ser utilizada. Ex.: Uma empresa fabrica por ms 10 unidades de cadeiras e 5 unidades de mesa. X1 nmero de cadeiras a ser fabricado em unidades por ms. X2 nmero de mesas a ser fabricado em unidades por ms. _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 4

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2 FUNO OBJETIVA o objetivo da empresa Zmx = LUCRO Zmn = CUSTO Ex.: A cadeira tem lucro de R$5,00 e a mesa um lucro de R$10,00 Cadeira 5,00 . X1 Mesa 10,00 . X2 Zmx = 5,00X1 + 10,00X2 Zmx = Lucro1.X1 + Lucro2.X2

3 RESTRIES: Fatores limitantes da empresa (mo-de-obra, matria-prima, demanda, equipamentos, etc). Ex.: Estar disponvel 50 m2 de frmica por ms para aplicar na produo. O equipamento alugado e ter que funcionar no mnimo 200hs por ms. Uma cadeira gasta 0,5 m2 de frmica e 1 hora de equipamento e a mesa gasta 1,0m2 de frmica e 2 horas de equipamento. Frmica 50 m2/ms Cadeira 0,5 m2/ms . X1 Mesa 1,0 m2/ms . X2 0,5X1 + 1,0X2 < 50 Equipamento 200 h/ms Cadeira 1 h/ms . X1 Mesa 2h/ms . X2 1X1 + 2X2 > 200

No Negatividade1.2.

X1 > 0 e X2 > 0

Tipos de Modelo Matemtico MODELO DE ATIVIDADES MODELO DE DIETA MODELO DE TRANSPORTE


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1.2.1. Modelo de Atividades

Uma empresa fabrica um produto em dois modelos, modelo A e modelo B. Par fabricar 1 unidade do modelo A, a empresa possui um custo de R$ 3,00 e para fabricar 1 unidade do modelo B, a empresa possui um custo de R$ 4,00. A demanda do produto no superior a 5000 unidades por ms, e a demanda do modelo A, no inferior a 1000 unidades por ms. A empresa possui um capital de R$ 6.000,00 para aplicar na linha de produo. O preo de venda do modelo A de R$6,00 por unidade e o preo de venda do modelo B de R$ 5,00 por unidade. Par fabricar o produto, a empresa utiliza um equipamento que se apresenta com uma disponibilidade de 3000 hora/ms e que para fabricar 1 unidade do modelo A necessrio 5 horas deste equipamento e que para fabricar 1 unidade do modelo B necessrio 6 horas do equipamento. Sabe-se ainda, que a proporo entre o modelo A e o modelo B, no superior a 2. Formule o modelo matemtico que representa a empresa. Rascunho: Custo MA MB R$ 3,00 R$ 4,00 Demanda Demanda Capital Preo Venda R$ 6,00 R$ 5,00 Equipamento 5h 6h X1/ X2 2 Proporo

100

500

6000

3000 h/Ms

1 Descrio das variveis X1 a quantidade em unidades a ser fabricado do modelo A por ms. X2 a quantidade em unidades a ser fabricado do modelo B por ms. 2 Funo Objetiva MA PV = 6,00 MA C = 3,00 Lucro = 3,00 MB PV = 5,00 C = 4,00 Lucro = 1,00

Zmx = 3,00X1 + 1,00X2 3 Restries Demanda X1 + X2 5000 X11000 _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 6

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Capital 3,00X1 + 4,00X2 6000 Equipamento 5X1 + 6X2 3000 Proporo X1 / X2 2 X1 X2 0 4 - No negatividade X1 0 X2 0

1.2.2. Exerccios Modelo de Atividades

1 Certa empresa fabrica dois tipos de produtos P1 e P2. O lucro unitrio do produto P1 de 1000 unidades monetrias e o lucro unitrio de P2 de 1800 unidades monetrias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produo disponvel para isso de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual o planos de produo para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? 2 - Suponhamos que uma fbrica de automveis produz 03 modelos de carros. Modelo simples, modelo luxo e modelo super-luxo. Cada modelo simples, gasta no setor de montagem 49 horas, no setor de pintura 11 horas, e no setor de acabamentos 43 horas, cada modelo luxo, gasta no setor de montagem 52 horas, no setor de pintura 15 horas, e no setor de acabamentos 35 horas, e cada modelo super-luxo, gasta no setor de montagem 61 horas, no setor de pintura 16 horas, e no setor de acabamentos 49 horas. Sabe-se que o setor de montagem pode funcionar 200 horas por ms, o setor de pintura 150 horas e o setor de acabamento at 190 horas por ms. Em uma pesquisa de mercado verificou-se que a demanda do modelo simples no seria maior do que 300 unidades, a do modelo luxo, no seria maior do que 190 unidades e a do modelo superluxo, no seria maior do que 60 unidades por ms. Tendo sido feito uma verificao no custo, encontrou-se que cada modelo simples proporciona um lucro de 40 u. m., cada modelo luxo um lucro de 60 u. m., e cada modelo super-luxo de 59 u. m. 3 Uma fbrica de artefato de concreto produz 2 tipos de blocos: 10x20x40 e 15x20x40. A demanda diria da produo da fbrica no superior 48.000 blocos por dia. A empresa possui matria-prima capaz de produzir at 24.000 blocos do tipo 15x20x40. O bloco 10x20x40 consome 2/3 do material correspondente ao bloco 15x20x40. A demanda do bloco 10x20x40 de no mximo 15.000 unidades dirias e, a demanda do bloco 15x20x40 no superior a 9.000 unidades dirias. Para fabricar os blocos, a empresa utiliza uma mquina que alugada e produz os 2 tipos de blocos. Se a mquina fabricar s o bloco 10x20x40. Ela ter que produzir no mximo 40.000 unidades dirias por motivos contratuais. Sabendo-se ainda que para ao fabricar 1 bloco 15x20x40 gasto o dobro do tempo para fabricar o bloco 10x20x40. O lucro unitrio para produzir os produtos levando-se em considerao que o produto ser vendido em milheiro de (lucro): _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 7

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Bloco 10x20x40: R$ 100 o milheiro Bloco 10x20x40: R$ 110 o milheiro

1.2.3 Modelo de Dieta

Uma empresa forada pelo mdico a fazer um dieta alimentar. Esta dieta dever apresentar as seguintes quantidades de vitaminas em miligramas por dia, quantidades estas mnimas aceitveis. Vitamina A 200ml, Vitamina B 100ml, VitaminaC 150ml e Vitamina d 200ml. A dieta ser constituda por 3 produtos, carne, leite e arroz. O custo de cada produto o seguinte: carne 4,50Kg, leite 1,0lt e arroz 0,90Kg. O teor de vitamina em ml por unidade de medida apresentado no quadro abaixo: Carne Arroz Leite 1 Definio de Variveis X1 quantidade de carne em Kg a ser consumida por dia X2 quantidade de leite em litros a ser consumida por dia X3 quantidade de arroz em Kg a ser consumida por dia 2 Funo objetiva Zmn = 4,50X1 + 1,00X2 + 0,90X3 3 Restries 20X1 + 23X2 + 30 X3 200 40X1 + 20X2 + 30X3 100 40X1 + 30X2 + 15X3 150 10X1 + 20X2 + 25X3 200 4 No negatividade X1 0 X2 0 X3 0 VA 20 25 30 VB 40 20 30 VC 40 30 15 VD 10 20 25


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1.2.3. Exerccios - Modelo de Dieta 1 Uma determinada empresa est interessada em maximizar o lucro mensal proveniente de quatro de seus produtos, designados por I, II, III, IV. Para fabricar esses quatro produtos, ela utiliza dois tipos de mquinas (M1 e M2) e dois tipos de mo-de-obra (MO1 e MO2) que tm as seguintes disponibilidades: Mquinas M1 M2 Mo-de-obra MO1 MO2 Tempo disponvel (mquina-hora / ms) 80 20 Tempo disponvel (homem-hora / ms) 120 160

O setor tcnico da empresa fornece os seguintes quadros de produtividades: a) Nmero de mquina-hora para produzir uma unidade de cada produto:

Mquinas I M1 M2 5 2

Produtos II 4 6 III 8 IV 9 8

Ento para se produzir uma unidade do produto I consome-se 5 mquinas-hora da mquina M1 e 2 mquinas-hora da mquina M2. O produto III no necessita da mquina M2 e consome 8 horas da mquina M1 para cada uma de suas unidades produzidas.

b) Nmero de homem-hora para produzir uma unidade de cada produto:

Mo-de-obra I MO1 MO2 2 7

Produtos II 4 3 III 2 IV 8 7

Precisa-se ento de 2 homens-hora da mo-de-obra MO1 e de 7 homens-hora de mo-de-obra MO2 para fabricar uma unidade do produto I. _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 9

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O setor comercial da empresa fornece as seguintes informaes: Produtos I II III IV Potencial de Vendas (unidades/ms) 70 60 40 20 Lucro unitrio ($/unidade) 10.00 8.00 9.00 7.00

Deseja-se saber a produo mensal dos produtos I, II, III, IV para que o lucro mensal da empresa, proveniente desses quatro produtos, seja mximo. Formule o modelo de programaes lineares que expresse o objetivo e as restries dessa empresa.

2 Uma determinada pessoa forada pelo seu mdico a fazer uma dieta alimentar que fornea, diariamente, pelo menos as seguintes quantidades de vitaminas A, B, C, D. Vitaminas A B C D Quantidade mnima diria (mg) 80 70 100 60

A dieta dever incluir leite, arroz, feijo e carne, que contm os seguintes miligramas de vitaminas em cada uma das suas unidades de medida:

Vitaminas Leite (l) A B C D 10 8 15 20

Alimentos Arroz (Kg) 5 7 3 2 Feijo (Kg) 9 6 4 3 Carne (Kg) 10 6 7 9

Assim, um litro de leite contm 10 mg de vitamina A, 8 mg de vitamina B, 15 mg de vitamina C e 20 mg de vitamina D. Os custos unitrios desses alimentos so os seguintes: _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 10

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Leite R$ 1.00/l Arroz R$ 0.80/Kg Feijo R$ 1.20/Kg Carne R$ 3.50/Kg

Deseja-se saber o consumo dirio de cada um desses alimentos de tal maneira que a dieta satisfaa as prescries mdicas e seja a de menor custo possvel.

3 Para uma boa alimentao, o corpo necessita de vitaminas e protenas. A necessidade mnima de vitaminas de 32 unidades e a de protenas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponvel carnes e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contm 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de protenas. Cada ovo contm 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de protenas. Qual a quantidade diria de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e protenas com o menor custo possvel? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetrias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades monetrias.

4 Um jovem estava saindo com duas namoradas. Tita e Gabriela. Por experincia, que: a) Tieta, elegante, gosta de freqentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma sada de trs horas custar R$240,00. b) Gabriela, mais simples, prefere um divertimento mais popular de modo que, uma sada de trs horas, custar R$160,00. c) Seu oramento permite dispor de R$1.040,00 mensais para a diverso. d) Seus afazeres escolares lhe do liberdade de, no mximo, 18 horas e 35.000 calorias de sua energia para atividades sociais. e) Cada sada com Tieta, consome 5.000 calorias, mas com Gabriela, mais alegre e extrovertida, gasta o dobro. f) Ele gosta das duas com a mesma intensidade. Como deve planejar sua vida social para obter o nmero mximo de sadas? g) Para evitarmos comentrios maliciosos necessrio sair pelo menos uma vez com cada namorada.

1.2.4. Modelo de Transporte Uma empresa deseja distribuir um produto que se encontra armazenado em 3 locais distintos com a seguinte disponibilidade Armazm 1 20 unidades, Armazm 2 30 unidades e Armazm 3 50


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unidades. O produto ser distribudo a 4 lojas que possuem as seguintes capacidades Loja 1 20 unidades, Loja 2 30 unidades, Loja 3 40 unidades, Loja 4 10 unidades. O custo unitrio de transporte apresentado no quadro abaixo: L1 6,00 5,00 9,00 L2 1,00 4,00 8,00 L3 7,00 2,00 7,00 L4 3,00 6,00 5,00

A1 A2 A3

OBS: Nos modelos de transportes antes de definir as variveis, devemos verificar a condio de equilbrio entre oferta e demanda.

A1 A2 A3 DE 1 Definir as variveis

L1 6,00 5,00 9,00 20

L2 1,00 4,00 8,00 30

L3 7,00 2,00 7,00 40

L4 3,00 6,00 5,00 10

OF 20 30 50 100 / 100

Xij quantidade que sai da origem i e vai para o destino j

I = 1;2;3 J = 1;2;3;4

2 Funo Objetiva Zmn = 6,00X11 + 1,00X12 + 7,00X13 + 3,00X14 + 5,00X21 + 4,00X22 + 2,00X23 + 6,00X24 + 9,00X31 + 8,00X32 + 7,00X33 + 5,00X34

3 Restrio Oferta = 100 A1 = 20 X11 + X12 + X13 + X14 = 20 A2 = 30 X21 + X22 + X23 + X24 = 30 A3 = 50 _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 12

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X31 + X32 + X33 + X34 = 50

Demanda = 100

L1 = 20 X11 + X21 +X31 = 20 L2 = 30 X12 + X22 + X32 = 30 L3 = 40 X13 + X23 + X33 = 40 L4 = 10 X14 + X24 + X34 = 10

4 - No negatividade Xij > 0

1.2.5. Exerccios - Modelo de Transporte

1 Dado o quadro de custo abaixo, formule o modelo matemtico:A1 A2 A3 DE 2 Formule o modelo matemtico. L1 5.00 1.00 2.00 17 L2 3.00 7.00 2.00 5 L3 4.00 2.00 6.00 13 OF 18 7 10 L1 2.00 6.00 7.00 200 L2 3.00 1.00 8.00 300 L3 4.00 5.00 9.00 200 OF 200 300 400

A1 A2 A3 DE 3 Formule o modelo matemtico.

A1 A2 A3 DE

L1 9.00 6.00 7.00 21

L2 4.00 2.00 1.00 20

L3 3.00 7.00 3.00 19

OF 25 15 15


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4 Formule o modelo matemtico. L1 9.00 6.00 7.00 21 L2 4.00 2.00 1.00 20 L3 3.00 7.00 3.00 19 OF 25 15 15

A1 A2 A3 DE 5 Formule o modelo matemtico.

A1 A2 A3 DE

L1 6.00 2.00 5.00 17

L2 1.00 4.00 4.00 3

L3 3.00 3.00 5.00 15

OF 3 17 20


A1 A2 A3 DE


P1 P2 P3 DE

1.2.6. Exerccios de Reviso 1 - Uma refinaria produz trs tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que so disponveis nas quantidades de 9.600.000, 4.800.000 e 2.200.000 litros por semana, respectivamente. As especificaes de cada tipo so: Um litro de gasolina verde requer 0.22 litros de gasolina pura, 0.50 litros de octana e 0.28 litros de aditivo; Um litro de gasolina azul requer 0.52 litros de gasolina pura, 0.34 litros de octana e 0.14 litros de aditivo; Um litro de gasolina comum requer 0.74 litros de gasolina pura, 0.20 litros de octana e 0.06 litros de aditivo, Como regra de produo, baseada em demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mnimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde e que a


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quantidade de gasolina azul seja no mximo igual a 600.000 litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum d uma margem de contribuio para o lucro de R$0.30, R$0.25 e R$0.20 respectivamente, e seu objetivo determinar o programa de produo que maximiza a margem total de contribuio para o lucro.

2 - Uma empresa vende dois tipos de produtos, A e B. O produto A e vendido a R$ 10,00. A produo de A consome uma hora de trabalho e dois kg de mateira prima. A produo de B consome duas horas de trabalho e trs kg de matria prima. A empresa pode funcionar ate 10 horas por dia, e possui um estoque dirio de 18 kg de matria prima. Sabe-se ainda que por restries de demanda no deve produzir mais que quatro produtos B por dia, e que respeitada esta restrio tudo o que for produzido ser vendido. A empresa deseja fabricar os produtos de tal forma a receber o maior valor possvel com as vendas.

3 Uma certa agroindstria do ramo alimentcio tirou de produo uma certa linha de produto no lucrativo. Isso criou um considervel excedente na capacidade de produo. A gerncia est considerando dedicar essa capacidade excedente a trs produtos, identificados como produtos 1, 2, e 3. A capacidade disponvel das mquinas que poderia limitar a produo est resumida na tabela a seguir: Tipo de mquina Tempo disponvel (hora de mquina) A 500 B 350 C 150 O nmero de horas da mquina requerido por unidade dos respectivos produtos so: Tipo de Mquina A B C Produto 1 9 5 3 Produto 2 3 4 0 Produto3 5 0 2

O lucro unitrio estimado de $30, $12, e $15, respectivamente para os produtos 1, 2 e 3. Determine o modelo matemtico para maximizar o lucro.

4 Faa o modelo matemtico. Uma determinada empresa quer utilizar do melhor modo possvel os recursos de madeira de uma de suas regies florestais. Dentro dessa regio, h uma serraria e uma fbrica de compensados, o que possibilita que as toras possam ser convertidas em madeira beneficiada ou compensada. Produzir uma mistura comercializvel de 1 metro cbico de produtos beneficiados requer 1 metro cbico de pinho e 4 metros cbicos de canela. Produzir 100 metros quadrados de madeira compensada requer 2 metros cbicos de pinho e 4 metros cbicos de canela. A regio em questo dispes de 32 metros cbicos de pinho e 72 metros cbicos de canela. Compromissos de vendas exigem que sejam produzidos, durante o perodo em planejamentos, pelo menos 5 metros cbicos de madeira beneficiadas e 12 metros cbicos de madeira compensada. Determine as


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quantidades (em metros cbicos) de madeira beneficiada e de madeira compensada (em 100 metros quadrados) a serem produzidos. Lucro de X1 = 45 e Lucro de X2 = 60

5 Elabore o modelo matemtico. Uma marcenaria deseja estabelecer uma programao diria de produo. Atualmente, a oficina faz apenas dois produtos: mesa e armrio, ambos de um s modelo. Par efeito de simplificao, vamos considerar que a marcenaria tem limitaes em somente dois recursos: madeira e mo-de-obra, cujas as disponibilidades dirias so respectivamente: 12m e 8h. O processo de produo tal que, para fazer 1 mesa gasta 2m de madeira e 2 h de mo-de-obra. Para fazer um armrio, a fbrica gasta 3 m de madeira e 1h de mo-de-obra. Alm disso, o fabricante sabe que cada mesa d um margem de contribuio para o lucro de $4, e cada armrio, de $1. Qual o programa de produo para maximizar o lucro? 6 - Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponvel de couro de 6 unidades e que o lucro unitrio por sapato de $5,00 e o do cinto de $2,00, pede-se: o modelo do sistema de produo do sapateiro, se o objetivo maximizar seu lucro por hora. 7 - Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 de $100,00 e o lucro unitrio de P2 de $150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponvel para essas atividades de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 no devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por ms. Construa o modelo do sistema de produo mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 8 - Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regio de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pssegos a $10,00 de lucro por caixa, e no mximo 200 caixas de tangerinas a $30,00 de lucro por caixa. De que forma dever ele carregar o caminho para obter o lucro mximo ? Construa o modelo do problema. 9 - Uma rede de telviso local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa "A" com 20 minutos de msica e 1 minuto de propaganda chama a ateno de 30.000 telespectadores, enquanto o programa "B", com 10 minutos de msica e 1 minuto de propaganda chama a ateno de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocionador insiste no uso de no mnimo 5 minutos para sua propaganda e que no h verba para mais de 80 minutos de msica. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o nmero mximo de telespectadores ? Construa o modelo do sistema. 10 - Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricao em relao ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diria de 400 para M1 e 700


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para M2. Os lucros unitrios so de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa timo de produo que maximiza o lucro total dirio da empresa ? Construa, o modelo do sistema descrito. 11 - Uma empresa, aps um processo de racionalizao de produo, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2, R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preo de colocao no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O departamento de produo forneceu a seguinte tabela de uso de recursos. Produto Recursos R1 por unidade 2 4 100 Recursos R2 por unidade 3 2 90 Recursos R3 por unidade 5 3 120

P1 P2 Disponibilidade de recursos por ms

Que produo mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa ? Construa o modelo do sistema. 12 - Um fazendeiro est estudando a diviso de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento) - Destinar certa quantidade de alqueires para a plantao de cana-de-acar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $300,00 por alqueire por ano. P (Pecuria) - Usar outra parte para a criao de gado de corte. A recuperao das pastagens requer adubao (100Kg/Alq.) e irrigao (100.000 litros de gua/Alq.) por ano. O lucro estimado nessa atividade de $400,00 por alqueire por ano. S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200Kg por alqueire de adubos 200.000 litros de gua/Alq. para irrigao por ano. O lucro estimado nessa atividade de $500,00/alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 litros de gua 14.000 Kg de adubo 100 alqueires de terra. Quantos alqueires dever destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno ? Construa o modelo de deciso. 13 - O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econmica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2. As alternativas so: a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mnimo de $3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $1.000,00 investidos. b) Investir diretamente na divulgao dos produtos. Cada $1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno de 10%. _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 17

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A empresa dispe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto dever destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.

14 - Uma liga especial constituda de ferro, carvo, silcio e nquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros alm de 2 tipos de materiais recuperados:

Material Recuperado 1 - MR1 - Composio ferro - 60% carvo - 20% silcio - 20% Custo por Kg: $0,20 Material Recuperado 2 - MR2 - Composio ferro - 70% carvo - 20% silcio - 5% nquel - 5% Custo por Kg: $0,25

A liga deve ter a seguinte composio final:

Matria-Prima ferro carvo silcio nquel

% Mnima 60 15 15 5

% Mxima 65 20 20 8

O custo dos materiais puros so (por Kg): ferro: $0,30; carvo: $0,20; silcio: $0,28; nquel:$0,50. Qual dever ser a composio da mistura em termos dos materiais disponveis, com menor custo por Kg ? Construa o modelo de deciso. 15 - Uma rede de depsitos de material de construo tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50 m3 (L1), 80 m3 (L2), 40 m3(L3), 100 m3(L4) de areia grossa. Essa areia pode ser encarregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distncias s lojas esto no quadro (em km):

L1 P1 30

L2 20

L3 24

L4 18


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P2 P3

12 8

36 15

30 25

24 20

O caminho pode transportar 10 m3 por viagem. Os portos tem areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distncia total percorrida entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema. 16 - Um joalheiro produz colares (x1) e braceletes (x2). As margens de lucro so R$ 320,00 para os colares e R$ 240,00 para os braceletes. Os colares requerem 2 horas para o corte das pedras, 7 horas para a montagem e6 horas para o polimento. Os braceletes requerem 5 horas para o corte das pedras, 7 horas para a montagem e3 horas para o polimento. O joalheiro trabalha sozinho e dispe mensalmente de 40 horas para o corte das pedras, 70 horas para a montagem e 48 horas para o polimento. Calcule o nmero de jias de cada tipo que maximize o lucro do joalheiro. 17 - Para uma boa alimentao, o corpo necessita de vitaminas e protenas. A necessidade mnima de vitaminas de 32 unidades por dia e a de protenas de 26 unidades por dia. Uma pessoa tem disponvel carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contm 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de protenas. Cada unidade de ovo contm 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de protenas. Cada unidade de carne custa R$3,00 e cada unidade de ovo custa R$ 2,50. Qual a quantidade diria de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e protenas com o menor custo possvel? 18 - Uma empresa fabrica 2 artigos de camping: sacos de dormir e barracas. Cada saco de dormir requer 2 horas para cortar os tecidos, 5 horas para costurar e 1 hora para impermeabilizar. Cada barraca requer 1 hora para cortar os tecidos, 5 horas para as costuras e 3 horas de impermeabilizao. Dados os recursos limitados da empresa, ela dispe de 14 horas para o corte, 40 horas para a costura e 18 horas para a impermeabilizao, por dia. A margem de lucro de R$ 50,00 por saco de dormir e de R$ 30,00 por barraca. Maximize a funo lucro em termos da quantidade de barracas e sacos de dormir a serem produzidos por dia.

19 Um O fabricante deseja maximizar a receita bruta. A tabela abaixo ilustra as composies das ligas, seus preos e as limitaes na disponibilidade de matria-prima.

Preo unitrio de venda ITENS \ ATIVIDADES Cobre Zinco Chumbo

R$ 30,00 Liga Tipo A 2 1 1

R$ 50,00 Liga Tipo B 1 2 3

Matria Prima Disponvel 16 11 15


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Resposta: Lmax = 16 20 - Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa. Os lucros so de R$ 2.000,00 por alqueire de milho e de R$ 1.000,00 por alqueire de alfafa. Suponha que suas limitaes sejam: terra disponvel 8 alqueires e gua disponvel para irrigao de 80.000 litros sendo que deseja-se plantar no mximo 4 alqueires de milho. Cada alqueire de milho requerer 10.000 litros de gua para irrigao e cada alqueire de alfafa requerer 20.000 litros de gua. Formule o problema como a utilizao dos recursos de programao linear apresentando a soluo grfica no papel sugerido. Resp.: xA=2 e xM=4 21 - Uma fbrica de computadores produz 2 modelos de computador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$ 180,00 e B de R$ 300,00. O modelo A requer, na sua produo, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer 1 gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de produo que maximiza o lucro ? 22 - Uma microempresa produz dois tipos de jogos para adultos e sua capacidade de trabalho de 50 horas semanais. O jogo A requer 3 horas para ser produzido e propicia um lucro de R$ 30,00, enquanto que o jogo B precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$ 40,00. Quantas unidades de cada jogo devem produzidas semanalmente a fim de maximizar o lucro? 23 - Um empreendedor decidiu comerciar barcos. Depois de empregar alguns trabalhadores e de descobrir os preos aos quais venderia os modelos, chegou as seguintes observaes: cada modelo comum rende um lucro de R$ 520,00, e cada modelo rpido rende um lucro de R$ 450,00. Um modelo comum requer 40 horas para ser construdo e 24 horas para o acabamento. Cada modelo rpido requer 25 horas para a construo e 30 horas para o acabamento. Este empreendedor dispe de 400 horas de trabalho por ms para a construo e 360 horas para o acabamento. Quanto deve produzir de cada um dos modelos? 24 - Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentao diria, de um mnimo de 15 unidades de protenas e 20 unidades de carboidratos. Supondo que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos A e B. Um kg do produto A contm 3 unidades de protenas, 10 unidades de carboidratos e custa R$ 2,00. Um kg do produto B contm 6 unidades de protenas, 5 unidades de carboidratos e custa R$ 3,00. Que quantidade deve-se comprar de cada produto de modo que as exigncias da alimentao sejam satisfeitas a um custo mnimo ? 25 - Uma transportadora utiliza burros e jumentos para transportar cargas entre 2 cidades. A capacidade de carga de um burro de 100kg, enquanto a do jumento de 50kg. Durante a viagem, um burro consome 3 montes de capim e 100 litros de gua. A empresa possui vrias estaes de alimentao intermedirias entre as 2 cidades. Estas estaes dispem, no momento, de 900 litros de gua e 35 montes de capim. Os burros e jumentos utilizados so alugados e o preo do aluguel R$ 9,00 por burro e R$ 6,00 por jumento. Existe, no momento, uma necessidade de transporte (no mnimo) de 1000kg. Quantos burros e jumentos devem ser utilizados de modo a minimizar o custo do aluguel? 26 - Uma microempresa produz dois tipos de jogos para adultos e sua capacidade de trabalho de 50 horas semanais. O jogo A requer 3 horas para ser produzido e propicia um lucro de R$ 30,00, enquanto que o jogo _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 20

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B precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$ 40,00. Quantas unidades de cada jogo devem produzidas semanalmente a fim de maximizar o lucro? 27 - Uma empresa pode fabricar dois produtos (1 e 2). Na fabricao do produto 1 a empresa gasta nove horas-homem e trs horas-mquina (a tecnologia utilizada intensiva em mo-de-obra). Na fabricao do produto 2 a empresa gasta uma hora-homem e uma hora-mquina (a tecnologia intensiva em capital). A empresa dispe de 18 horas-homem e 12 horas-mquina para um perodo de produo. Sabe-se que os lucros lquidos dos produtos so $4 e $1 respectivamente. Quanto a empresa deve fabricar de cada produto para ter o maior lucro? Caso se obtenha algum recurso financeiro externo, para investimento em expanso, em quais dos recursos a empresa deveria aplic-lo ? Qual seria o impacto no lucro se alguns trabalhadores faltassem ao trabalho limitando as horas homens disponveis em 15 horas? Sabendo-se que 4 mquinas so responsveis pela produo no perodo em anlise at quanto se deveria pagar pelo aluguel de uma mquina se eventualmente uma das quatro mquinas quebrassem? Qual deveria ser o lucro lquido fornecido para viabilizar a fabricao um novo produto que utiliza 5 horas de cada recurso? 28 - Duas fbricas produzem trs tipos de papel. A companhia que controla as fbricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel mdio e 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de papel . O custo de produo na 1 fbrica de R$1.000,00 e o da 2 de R$2.000,00, por dia. A primeira fbrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel mdio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda produz 2 toneladas de papel fino, 1tonelada de papel mdio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fbrica deve operar para suprir os pedidos com o menor custo? 29 - Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhes: O tipo A tem 2m3 de espao refrigerado e 3m3 de espao no refrigerado; o tipo B tem 2m3 de espao refrigerado e 1m3 de no refrigerado. O cliente quer transportar produtos que necessitaro de 16m3 de espao refrigerado e 12m3 de rea no refrigerada. A companhia calcula que so necessrios em 1.100 litros de combustvel para uma viagem com o caminho A e 750 litros para o caminho B. Quantas viagens devero ser feitas de cada tipo de caminho para que se tenha o menor custo de combustvel? 30 - Uma grande fbrica de mveis dispe em estoque de 300m de tbuas, 600m de pranchas e 500m de painis de aglomerado. Oferece normalmente 4 modelos de mveis: Escrivaninha, Mesa, Armrio e Prateleira. Os modelos so vendidos respectivamente por $100,00; $80,00; $120,00; $30,00. E consomem: Escrivaninha: 1m tbua, 3m de painis. Mesa: 1m tbua, 1m prancha, 2m painis. Armrio: 1m tbua, 1m prancha, 4 painis. Prateleira: 4m tbua, 2 de prancha.


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2. Mtodo Simplex Consiste em determinar a produo ideal da empresa considerando seu objetivo e suas limitaes. O mtodo permite identificar e quantificar todas as sobras de recursos existentes. O mtodo utiliza o clculo dos valores atravs de processos algbricos ou matriciais.

2.1.

Tipos de Mtodo Simplex

1 Soluo usando quadro matriz 2 Soluo algbrica

2.2.

Mtodo Simplex Algbrico

Representao de um Intervalo em foram de Equao

em =X2 50 X2 + X3 (varivel de folga) = 50

em = X1 30 X1 X2 (varivel de excesso) = 30

2.2.1. Soluo Bsica Compatvel 3X1 + 2X2 600 X2 200 7X1 + 8X2 5600 8X1 + 7X2 5600 X1 0 e X2 0 _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 22

_____________________________________________________________________________________________________________________________________

3X1 + 2X2 X3 = 600 X2 X4 = 200 7X1 + 8X2 + X5 = 5600 8X1 + 7X2 + X6 = 5600

6 variveis 4 equaes = 2 variveis no bsicas

nmero variveis nmero equaes = nmero variveis no bsicas

VNB X1 = 0 X2 = 0

VB X3 = - 600 X4 = -200 X5 = 5600 X6 = 5600

Soluo Bsica no Compatvel

3X1 + 2X2 X3 = 600 0 + 0 X3 = 600 X3 = - 600

7X1 + 8X2 =X5 = 5600 0 + 0 + X5 = 5600 X5 = 5600

X2 X4 = 200 0 X4 = 200 X4 = -200

8X1 + 7X2 + X6 = 5600 0 + 0 + X6 = 5600 X6 = 5600

A escolha das variveis no bsicas aleatrio (mais comum comear com X1 e X2) As solues bsicas no podem ser negativas Para ser compatvel, basta no ter nmero negativo nas solues bsicas


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VNB X1 = 0 X3 = 0

VB X2 = 300 X4 = 100 X5 = 3200 X6 = 3500

Soluo Bsica Compatvel

3X1 + 2X2 X3 = 600 0 + 2X2 0 = 600 X2 = 300

7X1 + 8X2 + X5 = 5600 0 + 8.300 + X5 = 5600 X5 = 5600 2400 X5 = 3200

X2 X4 = 200 300 X4 = 200 - X4 = 200 300 X4 = 100 8X1 + 7X2 + X6 = 5600 0 + 7.300 + X6 = 5600 X6 = 5600 2100 X6 = 3500 Exemplo:

4X1 + 5X2 200 X2 30 6X1 + 7X2 420 X1 50 X1 0 e X2 0

4X1 + 5X2 + X3 = 200 X2 + X4 = 30 6X1 + 7X2 + X5 = 420 _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 24

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X1 + X6 = 50

VNB X1 = 0 X2 = 0

VB X3 = 200 X4 = 30 X5 = 420 X6 = 50

VNB X1 = 0 X3 = 0

VB X2 = 40 X4 = -10 X5 = 140 X6 = 50

Soluo Bsica Compatvel (0 ; 0)

Soluo Bsica no Compatvel (0 ; 40)

VNB X1 = 0 X4 = 0

VB X3 = 30 X3 = 50 X5 = 210 X6 = 50

VNB X1 = 0 X5 = 0

VB X2 = 60 X3 = -100 X4 = -30 X6 = 50


Soluo Bsica no Compatvel (0 ; 60)

VNB X2 = 0 X3 = 0

VB X1 = 50 X4 = 30 X5 = 120 X6 = 0



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2.2.2. Exemplo Mtodo Simples Algbrico Zmx = 5X1 + 4X2 9X1+2X2 180 8X1 + 3X2 240 X2 70 X1 0 e X2 0

9X1 + 2X2 + X3 = 180 8X1 + 3X2 + X4 = 240 X2 + X5 = 70 VNB X1 = 0 X2 = 0 VB X3 = 180 X4 = 240 X5 = 70 Soluo Bsica Compatvel Inicial

VB em funo da VNB

X3 = 180 9X1 2X2 X4 = 240 8X1 3X2 X5 = 70 X2

Zmx = 5X1 + 4X2 Zmx 5X1 4X2 = 0 ZMX = 0 + 5x1 + 4x2 Soluo no tima

Zmx = 0

Significa que a empresa est parada


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OBS: A soluo ser considerada tima, quando a funo objetiva NO apresentar coeficiente POSITIVO. (no pode haver zero positivo. Ex:. Zmx = 30 5X3 + 0 X4)

Entrar na base a varivel que tiver coeficiente de maior valor (Se empatar a escolha aleatria).

Entrar X1 Rascunho: X2 = 0 X3 = 180 9X1 X4 = 240 8X1 X5 = 70 Sair X3 ---------X3 = 0 X4 = 0 ------0 = 180 9X1 0 = 240 8X1 ------X1 = 20 X1 = 30

Sair da base a varivel que tiver coeficiente positivo de MENOR valor. VNB X3 = 0 X2 = 0 VB X1 = 20 X4 = 80 X5 = 70

X3 = 180 9X1 2X2 9X1 = 180 2X2 X3 X1 180 2X2 1X3 9 9 9

X4 = 240 8 (20 2X2 1X3) 3X2 9 9

X4 = 240 160 + 16X2 + 8X3 3X2 9 X4 = 80 11X2 + 8X3 9


_____________________________________________________________________________________________________________________________________

9

9

X5 = 70 X2

X1 = 20 2X2 1X3 9 9 X4 = 80 11X2 + 8X3 9 X5 = 70 X2 9

Zmx = 0 + 5X1 + 4X2 Zmx = 0 + 5 (20 2X2 1X3) + 4X2 9 9 Zmx = 0 + 100 10X2 5X3 + 4X2 9 Zmx = 100 + 26X2 5X3 9 9 Soluo no tima 9

Entrar X2 Rascunho: X3 = 0 X1 = 20 2X2 9 X4 = 80 11X2 9 X5 = 70 X2 Sair X4 ---X5 = 0 ---X2 = 70 ---X4 = 0 ---X2 = 65,45 ---X1 = 0 ---X2 = 90


_____________________________________________________________________________________________________________________________________

VNB X3 = 0 X4 = 0

VB X1 = 60 9 X2 = 720 9 X5 = 50 9

X4 = 80 11X2 + 8X3 9 9 11X2 = 80 8X3 X4 9 9 11X2 = 720 + 8X3 - 9X4

X2 = 720 + 8X3 9X4 11 11 11

X1 = 20 2X2 1X3 9 9

X1 = 20 2 (720 + 8X3 9X4) - 1X3 9 11 11 11 9

X1 = 20 160 16X3 + 2X4 1X3 11 9x11 11 9

X1 = 60 3X3 + 2X4 11 11 11

X5 = 70 (720 + 8X3 9X4) _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 29

_____________________________________________________________________________________________________________________________________

11

11

11

X5 = 50 8X3 + 9X4 11 11 11

X2 = 720 + 8X3 9X4 11 11 11

X1 = 60 3X3 + 2X4 11 11 11

X5 = 50 8X3 + 9X4 11 11 11

Zmx = 100 + 26X2 5X3 9 9 Zmx = 100 + 26 (720 + 8X3 9X4) 5X3 9 11 11 11 9

Zmx = 100 + 2080 + 208X3 26X4 5X3 11 9x11 11 9

Zmx = 3180 + 17x3 26X4 11 11 11

Soluo no tima


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Entrar X3 Rascunho: X4 = 0 X1 = 60 3X3 11 11 ---X2 = 0 ---X3 = - 90 ---X1 = 0 ---X3 = 20

X2 = 720 + 8X3 11 11

X5 = 50 8X3 11 11

----

X5 = 0

----

X3 = 6,25

Sair X5

VNB X4 = 0 X5 = 0

VB X1 = 30 8 X2 = 70 X3 = 50 8

X5 = 50 8X3 + 9X4 11 11 11

8X3 = 50 + 9X4 X5 11 11 11

8X3 = 50 + 9X4 11X5

X3 = 50 + 9X4 11X5 8 8 8


_____________________________________________________________________________________________________________________________________

X1 = 60 3 (50 + 9X4 11X5) + 2X4 11 11 8 8 8 11

X1 = 60 150 27X4 + 3X5 + 2X4 11 11x8 11x8 8 11

X1 = 30 1X4 + 3X5 8 8 8

X2 = 720 + 8 (50 + 9X4 11X5) 9X4 11 11 8 8 8 11

X2 = 720 + 50 + 9X4 X5 9X4 11 11 11 11

X2 = 70-X5

X1 = 30 1X4 + 3X5 8 8 8

X2 = 70-X5 X3 = 50 + 9X4 11X5 8 8 8

Zmx = 3180 + 17 (50 + 9X4 11X5) 26X4 11 11 8 8 8 11

Zmx = 3180 + 850 + 153X4 17X5 26X4 11 11x8 11x8 8 11


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Zmx = 2390 5X4 17X5 8 8 8

Soluo tima

2.2.3. Exerccios Mtodo Simples Algbrico

1 Zmx = X1 + X2 6X1 + 8X2 480 9X1 + 9X2 810 8X1 + 6X2 480 X1 0 e X2 0 3 Zmx = 3X1 + 3X2 7X1 + 5X2 350 5X1 + 7X2 350 X1 0 e X2 0

2 Zmx = 5X1 + 6X2 7X1 + 8X2 560 X2 60 8X1 + 7X2 560 X1 0 e X2 0 4 Zmx = 5X1 = 4X2 3X1 + 8X2 240 4x1 + 9X2 360 9X1 + 4X2 360 x1 0 e X2 0

5 Zmx = 5X1 + 10X2 X1 + 2X2 2000 6X1 + 2X2 12000 X1 1500 X1 0 e X2 0 7 Zmx = 15X1 + 6X2 8X1 + 4X2 320 7X1 + 15X2 350 X1 60 X1 0 e X2 0

6 Zmx = 5X1 + 6X2 9X1 + 4X2 360 9X1 + 5X2 450 X1 80 X1 0 e X2 0 8 Zmx = 5X1 + 5X2 7X1 + 5X2 350 7X1 + 6X2 420 5X1 + 7X2 350 X1 0 e X2 0


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9 Zmx = 3X1 + 2X2 7X1 + 3X2 210 6X1 + 2X2 120 X1 40 X1 0 e X2 0 11 Zmx = 5X1 + 3X2 3X1 + 7X2 210 7X1 + 3X2 210 X1 40 X1 0 e X2 0 13 Zmx = 5X1 + 5X2 7X1 + 6X2 420 8X1 + 8X2 720 6X1 + 7X2 420 X1 0 e X2 0 15 Zmx = 5X2 + 5X2 8X1 + 9X2 720 9X1 + 8X2 720 X1 100 X1 0 e X2 0

10 Zmx = 9X1 + 8X2 6X1 + 7X2 420 X1 70 7X1 + 6X2 420 X1 0 e X2 0 12 Zmx = 4X1 + 5X2 3X1 + 9X2 270 4X1 + 8X2 320 X2 70 X1 0 e X2 0 14 Zmx = 2X1 + 4X2 6X1 + 8X2 480 4X1 + 8X2 320 X2 60 X1 0 e X2 0 16 Zmx = 9X1 + 9X2 7X1 + 9X2 630 9X1 + 7X2 630 7X1 + 7X2 490 X1 0 e X2 0


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TEXTOS COMPLEMENTARES

TEXTO I PESQUISA OPERACIONAL: NA TOMADA DE DECISES ADMINISTRATIVA A pesquisa operacional surgiu durante a guerra e por muito tempo foi utilizada em operaes militares, logo aps estendeu-se para diversas outras reas, em especial nas administrativas onde muito tem contribudo, atravs de seu teor cientfico e os mtodos matemticos aplicados, onde busca auxilia na tomada de deciso e na soluo de problemas. No entanto muitas empresas no utilizam dos mtodos da pesquisa operacional, sendo administradas de forma emprica. Desde forma o presente trabalho buscou mostrar como a pesquisa operacional pode contribuir para a busca da otimizao das operaes que ocorrem dentro de uma empresa. O termo Pesquisa Operacional (PO) surgiu durante a segunda guerra mundial por volta de 1939 onde se buscava resolver problemas de operaes militares. Os mtodos da PO foram por muitos anos aplicados somente em organizaes militares, com a sua credibilidade nos meios militares desenvolveu sendo usada nas empresas, chegando a ser considerada como um ramo da cincia administrativa. Com o final da guerra, a pesquisa operacional evolui na Inglaterra e nos Estados Unidos. J no Brasil a pesquisa operacional surgiu por volta da dcada 1960 e em 1969 foi fundada a Sociedade Brasileira de Pesquisa operacional (SOBRAPO). Em 1947 o matemtico George Dantzig desenvolveu o Mtodo Simplex, muito usado na pesquisa operacional, tendo como propsito resolver problemas de programao linear (otimizao linear). A PO tem como objetivo a aplicao de mtodos cientficos e matemticos, estatsticos para resoluo de problemas reais, auxiliando no processo de tomada de deciso, como projetar, planejar situaes e operaes e na soluo de problemas. Nos Estados Unidos onde a PO usada h mais tempo, onde varias organizaes possuem um departamento responsvel pela aplicao de PO, j o Brasil vem se avanando, onde o crescimento da sua utilizao se deve ao fato do desenvolvimento de softwares e computadores velozes com grande capacidade de armazenamento e recuperao de informaes, no entanto e necessrios que os gestores tenham um domnio da teoria em que se baseia os mtodos. De acordo com Andrade (2002), a pesquisa operacional com um enfoque mais clssico, definida como a arte de aplicar tcnicas de modelagem a problemas de deciso, por meio de mtodos matemticos e estatsticos buscando encontrar a soluo tima de maneira sistmica, j dentro de um enfoque atual a PO leva consideraes a interaes com o ambiente interno e externo para a formulao da modelagem de um problema. A modelagem de um problema envolve trs aspectos: A definio das decises a serem tomadas; Restries que limitam as escolhas das decises;

O objetivo que determinam preferncias na escolha de decises. Vrios so os fatores que podem afetar na escolha da melhor deciso, como tempo, a importncia, o ambiente que est relacionado com a deciso. _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional Professor Daniel Carmo 35

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PROGRAMAO MATEMTICA Muitas empresas so administradas de forma emprica, sem nenhum teor cientifico, a pesquisa operacional uma cincia que busca por meio de mtodos cientficos e programao matemtica, mensurar as operaes que ocorre dentro das empresas, buscando otimizar-las. Conforme Arenales et al (2007) "a pesquisa operacional, em particular a programao matemtica tratam de problemas de deciso, faz uso de modelos matemticos que procuram representar (em certo sentido imitar) o problema real".Atravs de mtodos matemticos a pesquisa operacional, busca encontrar a soluo tima ou quase-tima buscando maximizar ou minimizar recursos, receitas, operaes, etc. A programao matemtica uma linha de conhecimento muito extensa, entre vrias teorias utilizadas na pesquisa operacional pode ser destacado: 1. Programao linear: onde as funes- objetivos e restries so representadas por funes lineares. 2. Programao no-linear: onde uma das funes objetivos e/ou restries so representadas por funes no lineares. Do conceito de programao linear vrias so as aplicaes que podem ser utilizadas pelas empresas, dentre elas destacam-se: 3. Teoria das filas: esta que busca tratar de problemas de congestionamento de sistemas, e os atrasos sofridos pelos usurios do sistema, podendo ser aplicado nas variadas reas da administrao, desde poltica do atendimento ao cliente, a programao de linhas de montagem; 4. Simulao: uma rea da pesquisa operacional, que podem ser aplicada na gesto de empresas. Por meio da simulao e possvel estudar as variaes que ocorre no ambiente externo e os reflexos que pode causar no ambiente interno da empresa Para a otimizao a programao matemtica, busca por meio de equaes e inequaes matemticas, criar um modelo matemtico que busque encontrar a resoluo ou h melhor alternativa que se ajuste ao problema. CONCLUSO A pesquisa operacional como j dito e uma cincia que utilizada de mtodos cientficos e matemticos em busca de solucionar problemas e auxiliar na tomada de deciso, no entanto muitas empresas no h utiliza. Em face da globalizao as empresas se encontram em mercados cada vez mais competitivo, exigindo que as empresas, tomem diversas decises e quando no bem fundamentadas e analisadas podem levar ao fracasso. A pesquisa operacional, devido ao seu carter multidisciplinar e cientifico, pode produzir contribuies significativas, podendo ser estendendida por praticamente todos os ramos do conhecimento, desde a engenharia medicina, em especial na gesto empresarial.


apostila po daniel 2011

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