PLANIFICAES

Umaplanificaode um poliedro o resultado do processo de se cortar o poliedro ao longo de curvas e, ento, abri-lo de forma que ele possa ser disposto sobre uma superfcie plana, sem sobreposies e sem deformaes das faces. Umaplanificao por arestas aquela obtida por cortes ao longo das arestas do poliedro.

O registro mais antigo de planificaes de poliedros feito na obra Underweysung der messung / mit dem zirckel un richtscheyt / in Linien ebenen und gantzen corporen / durch Albrecht Drer zusammen getzogen / und zu nutz allen kunstliebhabenden mit zugehrigen figuren / in truck gebracht im jar MDXXV (em portugus, Instrues para a medida / com rgua e compasso / das linhas, planos e corpos slidos / reunidas por Albrecht Drer / e impressas com as figuras correspondentes / para o uso de todos os amadores da arte / no ano de MDXXV) do artista alemo Albretch Drer (1471-1528), que a escreveu com o propsito de fornecer um guia para que pintores fizessem ilustraes corretas, isto , respeitando-se as leis da teoria da perspectiva.Albretch Drer (1471-1528).Planificao feita por Drer.

Muito mais do que aplicaes artsticas, o estudo da planificao de poliedros tem aplicaes emdesignindustrial (na confeco de moldes de vinil e decomposies de chapas metlicas). Existem, no mercado, softwares especializados no clculo de planificaes de superfcies poliedrais.

Fotos:Lundstrm Design.

O tetraedro regular possui 2 planificaes diferentes. O cubo e o octaedro regular possuem 11 planificaes diferentes. O icosaedro regular e o dodecaedro regular possuem 43380 planificaes diferentes. Ainda no se sabe se todo poliedro convexo possui uma planificao por arestas. Sabe-se, contudo, que existem poliedros no convexos que no possuem uma tal planificao.

Dependendo do poliedro, o algoritmo de planificao do software desta atividade pode gerar planificaes no estritas, isto , com sobreposio de peas ou mltiplos pedaos

Uma definio mais simples

Cada slido pode ser obtido atravs de uma representao no plano, por exemplo atravs de uma representao numa folha de cartolina. A essa representao chamamos planificao do slido.

Poliedros regularesUm poliedro convexo chamado de regular se suas faces so polgonos regulares, cada um com o mesmo nmero de lados e, para todo vrtice, converge um mesmo nmero de arestas. Existem cinco poliedros regulares, os slidos de Plato:PoliedroPlanificaoElementos

Tetraedro4 faces triangulares4 vrtices6 arestas

Hexaedro6 faces quadrangulares8 vrtices12 arestas

Octaedro8 faces triangulares6 vrtices12 arestas

Dodecaedro12 faces pentagonais20 vrtices30 arestas

Icosaedro20 faces triangulares12 vrtices30 arestas

Planificaes de outros slidos

Pirmide Triangular

Pirmide Quadrangular

Cone

Cilindro

Prisma

SLIDOS DE PLATOPlato Importante filsofo grego, nasceu em Atenas, por volta de 427 a.C; considerado um dos principais pensadores gregos; Plato tornou-se seguidor e discpulo de Scrates; Morreu em 347 a.C

Definio: Um Slido Platnico um poliedro convexo em que todas as faces so polgonos regulares congruentes. Em cada vrtice do poliedro encontram-se o mesmo nmero de arestas.

SLIDOS DEARQUIMEDESArquimedes de Siracusa ( 287 a.C. 212 a.C.) Foi matemtico, fsico, engenheiro, inventor e astrnomo grego. Um dos maiores cientistas da Antiguidade Clssica. Foi morto por um soldado romano enquanto estudava os crculos. Definio: Um slido arquimediano ou semi-regular um poliedro convexo cujas faces so polgonos regulares. As faces de um slido arquimediano no so todas congruentes, ou seja, so formadas por dois ou trs poligonos regulares em que as arestas so todas congruentes. Em cada vrtice encontra-se o mesmo nmero de aresta. Existem apenas treze slidos arquimedianos e so todos obtidos por operaes sobre os slidos platnicos.

Planificaes de alguns slidos de Arquimedes otetraedro truncado; ocuboctaedro; ocubo truncado; ooctaedro truncado; orombicuboctaedro; ocuboctaedro truncado;

oicosidodecaedro; ododecaedro truncado;

oicosaedro truncado; orombicosidodecaedro;

oicosidodecaedro truncado; o cubo snub; o icosidodecaedro snub.

SLIDOSDEKLEPER Johannes Kepler nasceu na Alemanha em 27 de dezembro de 1571; Foi professor de Matemtica; Tinha grande interesse pela astronomia; Morreu no dia 15 de novembro de 1630.

Definio: Um Slido Kepler um poliedro no convexo em que todas as faces so polgonos regulares congruentes. Em cada vrtice do poliedro encontram-se o mesmo nmero de arestas.

Kepler, em 1619, descobriu dois poliedros que so simultaneamente regulares e no convexos. O pequeno do dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado.

Mais tarde foram descobertos tambm o grande dodecaedro e o icosaedro estrelado.Planificaes Dodecaedro estrelado Grande dodecaedro