apostila - ondas 2

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  • 7/25/2019 Apostila - Ondas 2

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    Notas de aula- Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 1

    SUPERPOSI O DE ONDAS E ONDAS ESTACIONRIAS

    1 Superposio de Ondas

    O princpio de superposio uma propriedade do movimento ondulatrio. Esteprincpio afirma que quando duas ondas ou mais se superpem, a onda resultante a somaalgbrica da sondas individuais. Veja uma interessante simulao no endereo a seguir:http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaEd/e-wave2.html

    Superposio e Equao de Onda

    O princpio de superposio conseqncia de a equao de onda ser linear parapequenos deslocamentos transversais. Se 1y e 2y forem duas solues diferentes da funo deonda, a combinao linear a seguir tambm ser (lgebra linear):

    22113 yCyCy += (1)onde 1C e 2C so constantes arbitrrias.

    I nterferncia de Ondas Harmni cas

    Seja 1y a funo de onda de uma onda harmnica que avana para direita com

    amplitude 0y , a freqncia angular e o nmero de onda k :

    ( )tkxyy = sen01 (2)

    onde fizemos 0=t nos instante em que o deslocamento era nulo( )0=y em 0=x . Considere

    uma outra onda tambm avanando para direita com a mesma freqncia, mesma amplitude,mesmo nmero de onda e apenas com uma diferena de fase (esta fase nos diz que no instante

    0=t , em 0=x a funo apresentava um deslocamento, ou seja, y tinha um valor diferente dezero)representada pela funo de onda

    2y :

    ( ) += tkxyy sen02 (3)

    A Figura 1 mostra as curvas, num certo instante, das duas funes de onda.

    Fig. 1 Deslocamento em funo da posio de duas ondas harmnica com os mesmo parmetros, porm, comuma diferena de fase.

    A onda resultante ser:

    ( ) ( ) ++=+ tkxytkxyyy sensen 0021 (4)

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    Notas de aula- Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 2

    Podemos simplificar a equao (4) utilizando a identidade trigonomtrica:

    ( ) ( )2121212

    1sen

    2

    1cos2sensen +=+ .

    Neste caso temos tkx

    =1 e

    += tkx2 , assim, ( )

    2

    1

    2

    121 = e

    ( ) 2

    1

    2

    121 += tkx , substituindo na Equao (4) teremos:

    +

    =+

    2

    1sen

    2

    1cos2 021 tkxyyy (5)

    onde foi usado que

    =

    2

    1cos

    2

    1cos . Note que a onda resultante tem a mesma freqncia,

    mesmo e mesmo nmero de onda das ondas originais. No entanto apresenta uma fase diferentedas ondas originais. A amplitude desta onda da por:

    2

    1cos2

    0yA= . (6)

    Analisando a Equao (6) se 0= (ondas em fase) teremos 02yA= , ou seja, aamplitude ser o dobros das ondas originais, chamamos isto de inter ferncia construt iva. Se

    o180= , teremos 0=A , ou seja, interf ernci a destr ut iva. Veja dois interessantes applets nosendereos eletrnicos a seguir:

    http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/waveSuperposition/waveSuperposition.htmlhttp://physics.uwstout.edu/physapplets/Northwesten/www.physics.nwu.edu/vpl/waves/superposition1.html

    BatimentosDenomina-se de batimento a interferncia de duas ondas de freqncias ligeiramente

    diferentes. Consideremos duas ondas sonoras de freqncias angulares 1 e 2 , com a mesmaamplitude de presso. A variao de presso que percebemos pela audio da por:

    tpp 101 sen= (7a)e

    tpp 202 sen= (7b)

    A onda resultante ser:

    ( ) ( )ttptptpp 2121020102

    1sen

    2

    1cos2sensen +=+= (8)

    Tomando( )

    2

    21

    +=med para a freqncia angular mdia e 21 = para a

    diferena de freqncias angulares, a funo resultante :

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    Notas de aula- Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 3

    tfftpttpp medmed 2sen2

    12cos2sen

    2

    1cos2

    00

    =

    = (9)

    onde fizemos

    2

    =f e

    2med

    medf = .

    A Figura 2 mostra o grfico das variaes de presso, num ponto fixo, em funo dotempo.

    Fig. 2 Batimento. a) duas ondas de freqncias ligeiramente diferentes. b) resultante das duas ondas em (a).Consulte o endereo a seguir para ter acesso a uma simulao sobre este assunto..http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/beats/b.htm

    O som que ouvimos tem freqncia( )

    2

    21ff

    fmed+

    = e amplitude

    22cos2 0

    ftp . A

    amplitude oscila com a freqncia2

    f e como a intensidade do som proporcional ao

    quadrado da amplitude, n ouvimos um som forte sempre a amplitude est num mximo ou num

    mnimo. Esta freqncia de oscilao de mximo e mnimo, que o dobro de2

    f , a

    freqncia de batimentos:ffbat = (10)

    A freqncia de batimentos a diferena entre freqncia de duas ondas. Se doisgeradores de sinais emitirem um em 401 Hz e outro em 403 Hz, ouviremos um som pulsante comfreqncia mdia de 402 Hz e um mximo de intensidade 2 vezes por segundo (freqncia debatimentos). Simule esta situao no endereo a seguir:

    http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=44

    Diferena de Fase Devido Diferena de Percurso

    A diferena de fase entre duas ondas pode ser provocada pela diferena de percursoentre o ponto de superposio e as fontes das ondas. Se a diferena de percurso for de umcomprimento de onda, ou de um nmero inteiro de comprimentos de onda, a inter ferncia serconstrutiva. Se a diferena for de meio comprimento de onda ou de um nmero mpar de meios-comprimentos de onda, o mximo de uma onda coincide com o mnimo da outra, e a

    inter ferncia ser destr uti va.

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    Notas de aula- Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 4

    Considere duas ondas em fase geradas por duas fontes distintas em locai diferentes (porexemplo, dois alto-falantes em lugares diferentes em uma sala):

    ( )

    ( )tkxpp

    tkxpp

    ==

    sen

    sen

    02

    101

    A diferena de fase das duas funes dada por:

    ( ) ( ) ( ) xkxxktkxtkx === 1212

    Fazendo

    2=k teremos:

    ( )

    xx

    =

    = o3602 . (11)

    A equao (11) mostra que a diferena de fase depende do comprimento de onda ( ) eda diferena de percurso ( )x .

    A Figura 3 mostra a configurao das ondas de duas fontes puntiformes, que oscilam emfase e esto separadas por uma pequena distancia.

    Fig. 3 Ondas provocadas por duas fontes oscilando em fase prxima uma da outra. As restas tracejadas mostram

    os pontos em que a diferena de percurso mltiplo inteiro de . O endereo a seguir mostra uma boa simulaodeste fenmeno: http://surendranath.tripod.com/Interference/Ripint.html

    A Figura 4 mostra a variao da intensidade da onda resultante das duas fontes em

    funo da diferena de percurso.

    Fig. 4 Variao da intensidade em funo da diferena de percurso. 0I a intensidade de cada fonte isolada.

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    Notas de aula- Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 5

    Nos ponto onde a interferncia constritiva a intensidade 4 vezes maior do que aintensidade de cada onda, pois a amplitude o dobro e a intensidade proporcional aoquadrado da amplitude. Nos ponto de intensidade destrutiva a intensidade nula. A intensidademdia, representada pela reta horizontal tracejada, o dobro da intensidade das ondasindividualmente.

    Fontes coerentes So fontes que esto em fase ou que apresentam uma diferena de faseconstante.

    Fontes incoerentes So fontes que no apresentam uma diferena de fase constante com opassar do tempo, ou seja, a diferena de fase varia aleatoriamente.

    Experincia de dupla fenda A luz resultado da irradiao independente de milhes detomo, a diferena de fase entre as ondas destas fontes flutua aleatoriamente. Em tica seconsegue coerncia pela diviso do feixe luz de uma fonte em um ou mais de dois feixes que

    podem ser recombinados para se ter uma figura de interferncia. Esta experincia foi utilizada

    por Thomas Young, em 1801, para demonstrar mostrar a natureza ondulatria da luz. Aintensidade da luz mxima quando a diferena de percurso entre um ponto do anteparo e asduas fendas nmero inteiro de . Veja dois interessantes applets nos seguintes endereoseletrnicos:http://www.colorado.edu/physics/2000/applets/twoslitsa.htmlhttp://surendranath.tripod.com/DblSlt/DblSltApp.html

    2 Ondas Estaci onrias

    Ondas confinadas no espao, por exemplo, ondas nas cordas de um violo, podem

    originar configuraes estacionrias. Isto ocorre porque teremos ondas se deslocando direesopostas. Estas ondas se superpem de acordo com princpio de superposio. Existem certas

    freqncias para quais a superposio provoca uma onda estacionria. O endereo a seguirapresenta uma simulao sobre este tpico:http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaEd/e-wave4.html

    Corda fi xa nas duas extremidades

    A Figura 5 mostra as configuraes de ondas estacionrias numa corda presa nas duasextremidades. As freqncias responsveis por estas configuraes so as freqncias naturaisde ressonncia da corda. Cada freqncia est associada a um modo de vibrao. O primeiromodo denominado de modo fundamental(ou primeiro harmnico), a freqncia (tem o dobroda primeira) de ressonncia imediatamente seguinte o segundo harmnico e assim

    sucessivamente. Os pontos de mximos so denominados de ventree os de mnimo de n.

    Analisando a Figura 5 e fazendo uma associao com o comprimento de onda de cadaharmnico, o comprimento da corda e o nmero de ventres, obtemos a seguinte relao:

    ...3,2,1,2

    == nnL n

    (12)

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    Notas de aula- Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 6

    Este resultado a condio de onda estacionria. Em termos de freqncia podemosescrever:

    ....3,2,122

    1 ===== nnfL

    vn

    n

    Lvv

    fn

    n

    (13)

    Fig. 5 Ondas estacionrias numa corda com as extremidades fi xas. Ve