apostila - ondas 1

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Apostila - Ondas 1

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  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 1

    MOVIMENTO ONDULATRIO

    Quando um inseto se move noite a alguns centmetros de um escorpio, imediatamente o escorpio detecta-o e o mata para comer. O escorpio faz isto sem ver ou ouvir o inseto. Como o escorpio capaz de detectar o inseto? 1 Ondas e Partculas

    Partculas e ondas so dois grandes conceitos da fsica. Estes dois conceitos so bastante diferentes. A palavra partcula sugere uma pequena concentrao de matria capaz de transmitir energia. A palavra onda sugere justamente o oposto, ou seja, uma grande distribuio de energia no espao por onde ela passa. Ondas Mecnicas

    Uma bandeira tremulando devido ao vento to comum, que quando os astronautas (http://spaceflight.nasa.gov/mars/reference/flag/flag.html)pisaram na lua (onde no tem vento. Por que?) pela primeira vez, colocaram uma bandeira americana com ondulaes para dar a impresso que a bandeira estava tremulando. Existem ondas na atmosfera, na gua e na Terra. Estas ondas so denominadas de ondas mecnicas. A principal caracterstica destas ondas que elas so governadas pelas leis de Newton e necessitam de um meio material para se propagarem. Ondas Eletromagnticas

    A onda eletromagntica mais comum para ns a luz visvel, porm convivemos com vrias outras no nosso dia-a-dia, tais como os raios X (quem no fez ainda uma radiografia?), microondas (forno) e as ondas de radio e de televiso que recebemos em nossas casas. Fisicamente, um campo eltrico perpendicular a um campo magntico. Voltaremos a este assunto em Fsica 3. Ao contrrio das ondas mecnicas, as ondas eletromagnticas no requerem um meio material para sua propagao. 2 Ondas Transversais e Ondas Longitudinais

    As ondas transportam energia e momento atravs do espao, sem, porm transportar matria. Em uma onda mecnica, este efeito obtido atravs de uma perturbao no meio. Dependendo de como esta perturbao ocorre, classificamos as ondas em dois tipos. Ondas transversais so aquelas em a perturbao perpendicular direo de propagao (Figura 1). As ondas de gravidade (http://aerolume.df.ufpb.br:8080/filmes/borewaves.avi) na atmosfera so exemplos de ondas transversais (as molculas oscilam para cima e para baixo). Veja uma interessante animao no seguinte endereo: http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01.html .

    As ondas longitudinais apresentam a perturbao na mesma direo da propagao (Figura 2). As ondas acsticas so exemplos de ondas longitudinais (as molculas do gs, do lquido ou do slido atravs do qual a onda se propaga oscilam para frente e para trs). Veja uma interessante animao em http://surendranath.tripod.com/Lwave/Lwave01.html .

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 2

    Fig. 1 - Exemplo de uma onda transversal.

    Fig.2 - Exemplo de onda longitudinal.

    Pulsos Ondulatrios (Funo de Onda)

    A Figura 3 mostra um pulso numa corda no instante 0=t . A forma da onda, neste instante, pode ser representada por uma funo ( )xfy = . Num instante posterior o pulso avanou sobre a corda. Num sistema de coordenadas com origem O, que avana com a mesma velocidade do pulso, este pulso estacionrio.

    Fig. 3 Pulso ondulatrio que move sem alterar sua forma. O valor de x no fixo.

    As coordenadas nos dois sistemas esto relacionadas por:

    vtxxvtxx -=+= . (1)

    Assim, a forma da corda no sistema de coordenadas original avanando para direita :

    ( )vtxfy -= . (2)

    No caso de uma onda avanando para esquerda teremos:

    ( )vtxfy += . (3)

    Nas duas expresses anteriores, v a velocidade de propagao da onda. A funo ( )vtxfy -= a funo de onda. No caso de ondas numa corda, a funo de onda representa o

    deslocamento transversal dos segmentos da corda. Nas ondas acsticas no ar, a funo de onda pode representar o deslocamento longitudinal das molculas do ar, ou ento a presso.

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 3

    Velocidade das Ondas

    A velocidade das ondas depende das propriedades do meio, mas no depende do movimento da fonte das ondas; esta uma propriedade geral do movimento ondulatrio. Para ondas numa corda, quanto maior for a tenso na corda, mais rpida ser a propagao das ondas. Alm disso, as ondas se propagam mais rapidamente numa corda leve do que numa corda pesada, ambas sujeitas mesma tenso.

    A velocidade (v) de propagao de uma onda numa corda, como mostraremos depois, dada por:

    mF

    v = (4)

    onde F a tenso na corda e m a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento).

    No caso de ondas acsticas num fluido como o ar ou a gua, a velocidade ( )v de propagao da por:

    rB

    (5)

    onde B o mdulo de compressibilidade (j estudado no Captulo de Fluidos) e r a densidade do meio.

    Em geral, a velocidade das ondas depende de um a propriedade elstica do meio (tenso nas cordas e mdulo de compressibilidade, nas ondas acsticas) e de uma propriedade inercial do meio (densidade linear de massa, ou densidade volumar). Mostraremos mais na frente que a velocidade ( )v do som num gs dada por:

    MRT

    vg

    = (6)

    onde T a temperatura absoluta em kelvins (K), g depende da espcie do gs. Nos gases de molculas diatmicas O2 e N2, g tem o valor de 1,4. Como 98% do ar atmosfrico constitudo por estes gases, este mesmo valor vale para o ar. A constante R a constante dos gases ideais e vale 8,314 J/mol.K Demonstrao da equao (4)

    Seja um pulso que se desloca para direita com velocidade v , ao longo de uma corda. Se a amplitude do pulso for pequena diante do comprimento da corda, a tenso F ser aproximadamente constante em todo ponto. Num sistema de coordenadas que se desloca com velocidade v para direita, os pulso est estacionrio e a corda se desloca com velocidade v . A Figura 4 mostra um pequeno segmento de uma corda de comprimento SD . Num certo instante, o segmento tem velocidade v numa trajetria circular e, por isso, tem uma acelerao

    centrpeta Rv2 . As foras que agem so a tenso F em cada extremidade.

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 4

    Fig. 4 Pulso ondulatrio numa corda (esquerda). Representao (direita) das foras que atuam sobre uma regio da corda onde F a fora (tenso) sobre a corda e Fr a fora radial.

    A tenso na corda F. O mdulo do vetor Fr dado por: 2

    tan.q

    FFr = . Onde q um

    ngulo subtendido pelo segmento de corda e considerado pequeno. Quando as duas foras radiais (na figura mostrada apenas aquela que est no lado esquerdo da corda) so somadas vetorialmente, a componente horizontal anulada, ficando apenas a componente vertical FR que expressa como sendo:

    ==2

    cos2

    tan.2

    cosqqq

    FFF rr

    2sen.

    qFFr =

    A fora radial resultante :

    qqq FFFFr =

    = 2

    1221sen2 (7)

    onde foi feito 22senqq , considerando q muito pequeno. Se m for a densidade linear da

    corda a massa do segmento ser Sm D= m . Tambm temos:

    RSD=q (8)

    Assim podemos escrever qmm RSm =D= . Aplicando a segunda lei de Newton e utilizando a Eq. 7, teremos:

    Rv

    RRv

    mF22

    qmq == , (9)

    ou

    mF

    v = (10)

    FR

    F

    qq/2

    qq /2

    FR

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 5

    A Equao de Onda

    A equao de onda relaciona as derivadas espaciais de ),( txy s derivadas temporais. A Figura 5 mostra um segmento isolado de uma corda. Admitindo pequenos deslocamentos verticais, a fora resultante na direo vertical ser:

    12 sensen qq FFF -= . (11)

    Como os ngulos so pequenos podemos fazer qq tansen , assim podemos escrever a Eq. (11) da seguinte forma:

    ( ) ( )1tantansensen 212 qqqq --= FFF (12)

    Fig. 5 Segmento de corda tensionada.

    A tangente entre a corda e a horizontal a inclinao (coeficiente angular) da curva descrita pela corda. A derivada de ( )),txy em relao a x , com t constante dada por esta inclinao ( )S . A derivada parcial de y em relao a x dada por x

    y

    . Assim, teremos:

    xy

    S== qtan (13)

    portanto SFSSFF D=-= )( 12 (14)

    Aplicando a segunda lei de Newton temos:

    2

    2

    2

    2

    ty

    xS

    Fty

    xmaSF=

    DD

    D==D mm (15)

    No limite de 0Dx , teremos:

    2

    2

    0lim

    xy

    xy

    xxS

    xS

    x =

    =

    =

    DD

    D (16)

    onde substitumos S pela Equao (13). Assim a Equao (15) pode ser escrita da seguinte forma:

    2

    2

    2

    2

    ty

    Fxy

    =

    m

    . (17)

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 6

    A Equao (17) a equao de onda de uma corda tensionada. fcil mostrar que a equao de onda tem como soluo qualquer funo do tipo )( vtxy - , assim, podemos generalizar e escrever a equao de onda geral da seguinte forma:

    2

    2

    22

    2 1ty

    vxy

    =

    (18)

    2 Ondas Harmnicas Numa Corda

    Uma onda que pode ser representada por uma senide ou cossenide denominada de onda harmnica (veja Figura 6).

    Fig. 6 Onda harmnica em um dado instante. A abscissa dada em termos de x expresso em funo do comprimento de onda ou em termos de nmero de ondas.

    Numa corda, medida que a onda se propaga, cada ponto da corda se desloca para cima e para baixo, perpendicularmente direo de propagao, descrevendo um movimento harmnico simples, cuja a freqncia f denominada freqncia da onda. Durante um

    intervalo de tempo (perodo da onda) fT1= , a onda avana de uma distncia l denominada

    de comprimento de onda. Desta forma velocidade da onda ser dada por:

    ll fT

    v == (19)

    A funo seno que de