apostila - ondas 1

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Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 1 MOVIMENTO ONDULATÓRIO Quando um inseto se move à noite a alguns centímetros de um escorpião, imediatamente o escorpião detecta-o e o mata para comer. O escorpião faz isto sem ver ou ouvir o inseto. Como o escorpião é capaz de detectar o inseto? 1 – Ondas e Partículas Partículas e ondas são dois grandes conceitos da física. Estes dois conceitos são bastante diferentes. A palavra partícula sugere uma pequena concentração de matéria capaz de transmitir energia. A palavra onda sugere justamente o oposto, ou seja, uma grande distribuição de energia no espaço por onde ela passa. Ondas Mecânicas Uma bandeira tremulando devido ao vento é tão comum, que quando os astronautas (http://spaceflight.nasa.gov/mars/reference/flag/flag.html )pisaram na lua (onde não tem vento. Por que?) pela primeira vez, colocaram uma bandeira americana com ondulações para dar a impressão que a bandeira estava tremulando. Existem ondas na atmosfera, na água e na Terra. Estas ondas são denominadas de ondas mecânicas. A principal característica destas ondas é que elas são governadas pelas leis de Newton e necessitam de um meio material para se propagarem. Ondas Eletromagnéticas A onda eletromagnética mais comum para nós é a luz visível, porém convivemos com várias outras no nosso dia-a-dia, tais como os raios X (quem não fez ainda uma radiografia?), microondas (forno) e as ondas de radio e de televisão que recebemos em nossas casas. Fisicamente, é um campo elétrico perpendicular a um campo magnético. Voltaremos a este assunto em Física 3. Ao contrário das ondas mecânicas, as ondas eletromagnéticas não requerem um meio material para sua propagação. 2 – Ondas Transversais e Ondas Longitudinais As ondas transportam energia e momento através do espaço, sem, porém transportar matéria. Em uma onda mecânica, este efeito é obtido através de uma perturbação no meio. Dependendo de como esta perturbação ocorre, classificamos as ondas em dois tipos. Ondas transversais são aquelas em a perturbação é perpendicular à direção de propagação (Figura 1). As ondas de gravidade ( http://aerolume.df.ufpb.br:8080/filmes/borewaves.avi ) na atmosfera são exemplos de ondas transversais (as moléculas oscilam para cima e para baixo). Veja uma interessante animação no seguinte endereço: http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01.html . As ondas longitudinais apresentam a perturbação na mesma direção da propagação (Figura 2). As ondas acústicas são exemplos de ondas longitudinais (as moléculas do gás, do líquido ou do sólido através do qual a onda se propaga oscilam para frente e para trás). Veja uma interessante animação em http://surendranath.tripod.com/Lwave/Lwave01.html .

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Apostila - Ondas 1

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Page 1: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 1

MOVIMENTO ONDULATÓRIO

Quando um inseto se move à noite a alguns centímetros de um escorpião, imediatamente o escorpião detecta-o e o mata para comer. O escorpião faz isto sem ver ou ouvir o inseto. Como o escorpião é capaz de detectar o inseto? 1 – Ondas e Partículas

Partículas e ondas são dois grandes conceitos da física. Estes dois conceitos são bastante diferentes. A palavra partícula sugere uma pequena concentração de matéria capaz de transmitir energia. A palavra onda sugere justamente o oposto, ou seja, uma grande distribuição de energia no espaço por onde ela passa. Ondas Mecânicas

Uma bandeira tremulando devido ao vento é tão comum, que quando os astronautas (http://spaceflight.nasa.gov/mars/reference/flag/flag.html)pisaram na lua (onde não tem vento. Por que?) pela primeira vez, colocaram uma bandeira americana com ondulações para dar a impressão que a bandeira estava tremulando. Existem ondas na atmosfera, na água e na Terra. Estas ondas são denominadas de ondas mecânicas. A principal característica destas ondas é que elas são governadas pelas leis de Newton e necessitam de um meio material para se propagarem. Ondas Eletromagnéticas

A onda eletromagnética mais comum para nós é a luz visível, porém convivemos com várias outras no nosso dia-a-dia, tais como os raios X (quem não fez ainda uma radiografia?), microondas (forno) e as ondas de radio e de televisão que recebemos em nossas casas. Fisicamente, é um campo elétrico perpendicular a um campo magnético. Voltaremos a este assunto em Física 3. Ao contrário das ondas mecânicas, as ondas eletromagnéticas não requerem um meio material para sua propagação. 2 – Ondas Transversais e Ondas Longitudinais

As ondas transportam energia e momento através do espaço, sem, porém transportar matéria. Em uma onda mecânica, este efeito é obtido através de uma perturbação no meio. Dependendo de como esta perturbação ocorre, classificamos as ondas em dois tipos. Ondas transversais são aquelas em a perturbação é perpendicular à direção de propagação (Figura 1). As ondas de gravidade (http://aerolume.df.ufpb.br:8080/filmes/borewaves.avi) na atmosfera são exemplos de ondas transversais (as moléculas oscilam para cima e para baixo). Veja uma interessante animação no seguinte endereço: http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01.html .

As ondas longitudinais apresentam a perturbação na mesma direção da propagação (Figura 2). As ondas acústicas são exemplos de ondas longitudinais (as moléculas do gás, do líquido ou do sólido através do qual a onda se propaga oscilam para frente e para trás). Veja uma interessante animação em http://surendranath.tripod.com/Lwave/Lwave01.html .

Page 2: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 2

Fig. 1 - Exemplo de uma onda transversal.

Fig.2 - Exemplo de onda longitudinal.

Pulsos Ondulatórios (Função de Onda)

A Figura 3 mostra um pulso numa corda no instante 0=t . A forma da onda, neste instante, pode ser representada por uma função ( )´xfy = . Num instante posterior o pulso avançou sobre a corda. Num sistema de coordenadas com origem O’, que avança com a mesma velocidade do pulso, este pulso é estacionário.

Fig. 3 – Pulso ondulatório que move sem alterar sua forma. O valor de x´ não é fixo.

As coordenadas nos dois sistemas estão relacionadas por:

vtxxvtxx −=′⇒+= ´ . (1)

Assim, a forma da corda no sistema de coordenadas original avançando para direita é:

( )vtxfy −= . (2)

No caso de uma onda avançando para esquerda teremos:

( )vtxfy += . (3)

Nas duas expressões anteriores, v é a velocidade de propagação da onda. A função ( )vtxfy −= é a função de onda. No caso de ondas numa corda, a função de onda representa o

deslocamento transversal dos segmentos da corda. Nas ondas acústicas no ar, a função de onda pode representar o deslocamento longitudinal das moléculas do ar, ou então a pressão.

Page 3: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 3

Velocidade das Ondas

A velocidade das ondas depende das propriedades do meio, mas não depende do movimento da fonte das ondas; esta é uma propriedade geral do movimento ondulatório. Para ondas numa corda, quanto maior for a tensão na corda, mais rápida será a propagação das ondas. Além disso, as ondas se propagam mais rapidamente numa corda leve do que numa corda pesada, ambas sujeitas à mesma tensão.

A velocidade (v) de propagação de uma onda numa corda, como mostraremos depois, é dada por:

µF

v = (4)

onde F é a tensão na corda e µ a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento).

No caso de ondas acústicas num fluido como o ar ou a água, a velocidade ( )v de propagação é da por:

ρB

(5)

onde B é o módulo de compressibilidade (já estudado no Capítulo de Fluidos) e ρ é a densidade do meio.

Em geral, a velocidade das ondas depende de um a propriedade elástica do meio (tensão nas cordas e módulo de compressibilidade, nas ondas acústicas) e de uma propriedade inercial do meio (densidade linear de massa, ou densidade volumar). Mostraremos mais na frente que a velocidade ( )v do som num gás é dada por:

MRT

= (6)

onde T é a temperatura absoluta em kelvins (K), γ depende da espécie do gás. Nos gases de moléculas diatômicas O2 e N2, γ tem o valor de 1,4. Como 98% do ar atmosférico é constituído por estes gases, este mesmo valor vale para o ar. A constante R é a constante dos gases ideais e vale 8,314 J/mol.K Demonstração da equação (4)

Seja um pulso que se desloca para direita com velocidade v , ao longo de uma corda. Se a amplitude do pulso for pequena diante do comprimento da corda, a tensão F será aproximadamente constante em todo ponto. Num sistema de coordenadas que se desloca com velocidade v para direita, os pulso está estacionário e a corda se desloca com velocidade v . A Figura 4 mostra um pequeno segmento de uma corda de comprimento S∆ . Num certo instante, o segmento tem velocidade v numa trajetória circular e, por isso, tem uma aceleração

centrípeta Rv2

. As forças que agem são a tensão F em cada extremidade.

Page 4: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 4

Fig. 4 – Pulso ondulatório numa corda (esquerda). Representação (direita) das forças que atuam sobre uma região da corda onde F é a força (tensão) sobre a corda e F´r é a força radial.

A tensão na corda é F. O módulo do vetor F´r é dado por: 2

tan.θ

FFr =′ . Onde θ um

ângulo subtendido pelo segmento de corda e considerado pequeno. Quando as duas forças radiais (na figura é mostrada apenas aquela que está no lado esquerdo da corda) são somadas vetorialmente, a componente horizontal é anulada, ficando apenas a componente vertical FR que é expressa como sendo:

⇒×=′=2

cos2

tan.2

cosθθθ

FFF rr

2sen.

θFFr =

A força radial resultante é:

θθθ FFFFr =

≈=∑ 2

1221sen2 (7)

onde foi feito 22sen θθ ≈ , considerando θ muito pequeno. Se µ for a densidade linear da

corda a massa do segmento será Sm ∆= µ . Também temos:

RS∆=θ (8)

Assim podemos escrever θµµ RSm =∆= . Aplicando a segunda lei de Newton e utilizando a Eq. 7, teremos:

Rv

RRv

mF22

θµθ == , (9)

ou

µF

v = (10)

F´R

F

θθ/2

θθ /2

FR

Page 5: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 5

A Equação de Onda

A equação de onda relaciona as derivadas espaciais de ),( txy às derivadas temporais. A Figura 5 mostra um segmento isolado de uma corda. Admitindo pequenos deslocamentos verticais, a força resultante na direção vertical será:

12 sensen θθ FFF −=∑ . (11)

Como os ângulos são pequenos podemos fazer θθ tansen ≈ , assim podemos escrever a Eq. (11) da seguinte forma:

( ) ( )1tantansensen 212 θθθθ −≈−=∑ FFF (12)

Fig. 5 – Segmento de corda tensionada.

A tangente entre a corda e a horizontal é a inclinação (coeficiente angular) da curva descrita pela corda. A derivada de ( )),txy em relação a x , com t constante é dada por esta

inclinação ( )S . A derivada parcial de y em relação a x é dada por xy

∂∂ . Assim, teremos:

xy

S∂∂== θtan (13)

portanto SFSSFF ∆=−=∑ )( 12 (14)

Aplicando a segunda lei de Newton temos:

2

2

2

2

ty

xS

Fty

xmaSF∂∂=

∆∆→

∂∂∆==∆ µµ (15)

No limite de 0→∆x , teremos:

2

2

0lim

xy

xy

xxS

xS

x ∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂=

∆∆

→∆ (16)

onde substituímos S pela Equação (13). Assim a Equação (15) pode ser escrita da seguinte forma:

2

2

2

2

ty

Fxy

∂∂=

∂∂ µ

. (17)

Page 6: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 6

A Equação (17) é a equação de onda de uma corda tensionada. É fácil mostrar que a equação de onda tem como solução qualquer função do tipo )( vtxy − , assim, podemos generalizar e escrever a equação de onda geral da seguinte forma:

2

2

22

2 1ty

vxy

∂∂=

∂∂

(18)

2 – Ondas Harmônicas Numa Corda

Uma onda que pode ser representada por uma senóide ou cossenóide é denominada de onda harmônica (veja Figura 6).

Fig. 6 – Onda harmônica em um dado instante. A abscissa é dada em termos de x expresso em função do comprimento de onda ou em termos de número de ondas.

Numa corda, à medida que a onda se propaga, cada ponto da corda se desloca para cima e para baixo, perpendicularmente à direção de propagação, descrevendo um movimento harmônico simples, cuja a freqüência f é denominada freqüência da onda. Durante um

intervalo de tempo (período da onda) fT 1= , a onda avança de uma distância λ denominada

de comprimento de onda. Desta forma velocidade da onda será dada por:

λλf

Tv == (19)

A função seno que descreve o deslocamento (para cima e para baixo) é:

)sen()( δ+= kxAxy (20)

onde A é amplitude (deslocamento máximo), k é o número de onda (quantas ondas existem em um metro), e δ é a constante de fase (deslocamento para 0=x ).

Consideremos um ponto 1x separado de outro 2x por comprimento de onda ( )λ , de modo que λ+= 12 xx . Os deslocamento nos dois pontos são iguais, ou seja, )()( 21 xyxy = , assim

( ) ( ) ( ) ( )λλ kkxxkkxkx +=+== 1121 sensensensen , (21) esta igualdade trigonométrica só ocorre se πλ 2=k Uma volta completa no círculo trigonométrico). Assim, podemos definir o número de onda angular, ou seja, quantas ondas temos em π2 radianos:

λπ2=k . (22)

Page 7: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 7

Consideremos agora a onda se avançando para direita com velocidade v , a variável x

na equação (21) passa a ser vtx − . Tomando a fase como zero podemos escrever:

( ) ( ) ( )kvtkxAvtxkAtxy −=−= sensen, ou

( ) ( )tkxAtxy ω−= sen), (23)

onde fizemos kv=ω , freqüência angular, e está relacionada com a freqüência f e o período T

por T

fππω 2

2 == . Note que a equação (23) tem duas variáveis. Veja uma interessante

animação sobre a relação fπω 2= no link abaixo: http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01A.html Energia das Ondas Numa Corda

A Figura 7 mostra uma rolha de cortiça dentro da água quando é interceptada por uma onda. A onda transfere energia para rolha. Esta energia aparece como um aumento na energia potencia da rolha

Fig. 7 – Rolha de cortiça elevada por uma onda.

Seja x∆ o comprimento do segmento de uma corda e x∆µ a respectiva massa ( )m∆ . O

deslocamento em relação à posição de equilibro é dado pela função de onda )sen( tkxAy ω−= .

A velocidade é dada por dtdy . A energia cinética do segmento será:

( ) ( )2

2

21

21

∆=∆=∆

dtdy

xvmK y µ (24)

Calculando a derivada em separado obtemos:

( )( ) ( )tkxAdt

tkxAddtdy ωωω −=−= cos

sen (25)

Agora podemos escrever energia cinética da seguinte forma:

( )tkxxAK ωµω −∆=∆ 222 cos21

(26)

Page 8: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 8

A energia potencial de um segmento é o trabalho realizado na elongação da corda e

depende da inclinação dxdy . No caso de pequenas inclinações, pode-se demonstrar que a

energia potencial, a inclinação e a tensão F estão relacionadas por (ver Problema 123, Tipler, volume 1, 4a edição):

xdxdy

FU ∆

≈∆

2

21

(27)

Calculando a derivada em separado temos:

( )( ) ( )tkxkAdt

tkxAddxdy ωω −=−= cos

sen (28)

A tensão pode ser escrita como 2vF µ= (utilizando a equação 4), ou 2

2

kF µω= onde

usamos kv ω= .

A energia potencial será:

( ) ( )tkxxAtkxxAkk

U ωµωωµω

−∆=−∆

=∆ 222222

2

2

cos21

cos21

(29)

A Equação (29) da energia potencial coincide exatamente com a Equação (26) da

energia cinética. A energia total será soma destas duas energias:

( )tkxxAUKE ωµω −∆=∆+∆=∆ 222 cos (30)

Calculando a energia média obtemos:

xAEmed ∆=∆ 22

21 µω . (31)

Este resultado é obtido pois o valor médio de )(cos 2 tkx ω− é igual a ½ . A equação (30)

também nos mostra que a energia de um segmento da corda varia com o tempo e que ela coincide com o resultado da energia média de um corpo de massa x∆µ oscilando com movimento harmônico simples preso numa mola. __________ Obs. A média de uma função num período T (=2π/ϖ) é dada por:

∫=T

om dttfT

f )(1

__________

Consideremos que uma onda em uma corda atinja um ponto 1p no instante 1t . A parte da corda à esquerda de 1p tem energia devido ao movimento harmônico simples dos seus segmentos, no entanto, a parte da corda à direita de 1p não tem energia pois seus segmento

Page 9: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 9

estão em repouso (veja Figura 8a). Depois de um tempo t∆ a onda avançou para direita de um distância v t∆ (veja Figura 8b).

Fig. 8 – a) onda numa corda, direita de 1p sem energia. b) onda na corda, direita de 1p com energia.

A energia média que passou pelo ponto 1p durante o intervalo de tempo t∆ é a energia

média em x v t∆ = ∆ , ou seja, 2 21

2medE A v tµω∆ = ∆ (32)

A potência média transmitida é dada pela taxa temporal de transmissão de energia: 2 21

2med

med

dEP A v

dtµω= = (33)

A equação (33) mostra que a energia e potência média são proporcionais ao quadrado

da amplitude. Ondas Sonoras Harmônicas

As ondas sonoras harmônicas podem ser geradas, no ar, por um diapasão (http://www.ciagri.usp.br/~svcex/diapas.htm), por uma pessoa falando, ou por um alto-falante que esteja vibrando com movimento harmônico simples. A fonte de vibração provoca a oscilação das moléculas com suas vizinhanças em torno de um ponto de equilíbrio. Os choques entre moléculas vizinhas provocam oscilações semelhantes. Podemos descrever uma onda sonora através de uma função ),( txs que representa o deslocamento das moléculas em relação ao equilíbrio:

)sen(),( 0 tkxstxs ω−= (34)

Os deslocamentos estão orientados na direção do movimento da onda e provocam variações da densidade e da pressão no ar. Figura 9 mostra a variação, com x, do deslocamento das moléculas.

Como a pressão de um gás é proporcional à sua densidade, a variação de pressão (pois

está superposta uma pressão de equilíbrio) é máxima quando a variação de densidade for também máxima. A Figura 9 mostra que a variação de densidade (ou pressão) está defasada do deslocamento de 90°. Quando deslocamento é nulo, a variação de densidade (ou pressão) é máxima ou mínima. Quando o deslocamento é máximo ou mínimo, a variação de densidade (ou pressão) é nula. Desta forma podemos representar uma onda sonora por uma onda de pressão dada por:

Page 10: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 10

( )2sen0πω −−= tkxpp (35)

onde p é variação de pressão em relação á pressão de equilíbrio, 0p é o máximo (quando a

função seno é igual um) desta variação de pressão. A amplitude da variação de pressão 0p está

relacionada com a amplitude do deslocamento 0s por:

00 vsp ρω= (36)

onde v é a velocidade de propagação e ρ a densidade do gás no equilíbrio.

Nosso ouvido é sensível a sons de freqüências entre cerca de 20 HZ até cerca de 20.000 HZ. Um ouvido humano normal consegue ouvir sons (dentro do limiar de audição) entre 3x10-5 e 30 Pa.

Fig. 9 – Gráfico do deslocamento das moléculas de ar num dado instante. Veja uma interessante animação com esta figura no seguinte endereço: http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=50. Energia de Ondas Sonoras

A energia média de uma onda sonora harmônica, num elemento de volume V∆ , é dada pela equação (31):

xAEmed ∆=∆ 22

21 µω

Por analogia podemos substituir A por 0s e xm ∆=∆ µ ou Vm ∆=∆ ρ , tomando ρ como a densidade média do meio. Dessa forma:

VsEmed ∆=∆ 20

2

21 ρω (37)

A energia média por unidade de volume é a densidade de energia média ( )medη :

Page 11: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 11

20

2

21

sV

Emedmed ρωη =

∆∆= (38)

3 – Ondas em Três Dimensões

Estas ondas são geradas por uma fonte puntiforme que oscila com movimento harmônico simples. O comprimento de onda é a distancia entre cada superfícies esféricas (concêntricas) sucessivas. Cada superfície esférica é uma frente de onda.

O movimento das frentes de onda pode ser representados por raios que são retas

perpendiculares às frentes de onda.

A distâncias muito grandes de uma fonte, uma pequena parte da frente de onda pode ser representada por um plano (ondas planas).

Fig. 10 – Frente de ondas esféricas divergindo de uma fonte puntiforme. Intensidade das Ondas

A potência média por unidade de área perpendicular à direção de propagação é a intensidade da onda e é dada por:

AP

I med= . (39)

Fig. 11 – Determinação da intensidade de uma onda num certo ponto.

Page 12: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 12

A uma distância r de uma fonte puntiforme, que emite uniformemente em todas as direções, a intensidade é:

24 rP

I med

π= . (40)

A intensidade de uma onda varia com o inverso do quadrado da distancia. A unidade da

Intensidade no SI é watts/m2.

A Figura 12 mostra uma onda esférica que atingiu uma distancia 1r . O volume dentro da esfera de raio 1r contém energia, pois nesta região as partículas estão oscilando harmonicamente.

Fig. 12 – Volume da casca = A tv∆ . Onde A é a área da casca esférica de raio r1.

A região fora da esfera de raio 1r não contém energia, pois a onda ainda não atingiu esta região. Após um intervalo t∆ a onda avançou um distancia tvr ∆=∆ . A energia média na casca esférica de área A , espessura tv∆ e volume V∆ é dada por:

tAvVE medmedmed ∆=∆=∆ ηη (41)

A potencia média que entra na casca será dada por:

Avt

tAvt

EP med

medmedmed ηη =

∆∆=

∆∆= (42)

Assim, a intensidade será:

vA

AvA

PI med

medmed ηη === (43)

A equação (43) mostra que a intensidade de uma onda é igual ao produto da densidade

média de energia pela velocidade de fase da onda. Utilizando a equação (38) determinamos a intensidade de uma onda sonora:

vp

vsvI med ρρωη

202

02

21

21 === , (44)

onde fizemos vps ρω

00 = . Este resultado é geral para qualquer tipo de onda, ou seja, a

intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude.

Page 13: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 13

Fig. 13 - O ouvido humano consegue ouvir um som cuja intensidade mínima é de 1x10-12W/m2. A intensidade máxima, em que o ouvido sente dor, é de 1W/m2. Nível de Intensidade e Sonoridade

A sensação psicológica de sonoridade (volume do som) varia aproximadamente com o logaritmo da intensidade e não com a própria intensidade. Pra descrever o nível de intensidade de uma onda sonora adota-se uma escala logarítmica β . A unidade de medida é o decibel (dB), definido por:

0

log10II=β (45)

onde I é intensidade do som e oI é o limiar da audibilidade (10-12 W/m2) Nesta escala teremos:

( )

===→

==→

− dBdordeSensação

dBdeaudibilidadaLimiar

12010log1010

1log10

0II

10log

1212

0

0

β

β

__________ Obs. Se y = log (x), então x = 10 y. __________ Exemplo

Ao ladrar, um cachorro emite cerca de 1 mW de potência. a) Se esta potência estiver uniformemente distribuída em todas as direções, qual o nível de intensidade do latido a uma distância de 5 m? b) Qual seria o nível de intensidade se dois cachorros estivessem latindo ao mesmo tempo, cada um emitindo 1 mW de potência?

Solução:

Calculamos o de intensidade utilizando a equação 24 rPI π= .O nível de intensidade e a

intensidade estão relacionados por 0

log10 II=β . Assim, a intensidade para mr 5= será:

( )26

2

3

2 /1018,354

104

mWxr

PI −

===ππ

Agora podemos calcular o nível de intensidade:

Page 14: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 14

dBXx

II

65)1018,3log(1010

1018,3log10log10 6

12

6

0

====−

β

Se considerarmos 1I a intensidade do latido de um cachorro, a intensidade para os dois será 12 2II = . Desta forma, o nível de intensidade para os dois cachorros será:

dBII

II

II

o

68log10log102log22

log10log100

1

0

122 =+=+=== ββ

este exercício mostra que se a potência estiver distribuída uniformemente, se a intensidade for duplicada o nível de intensidade aumenta de 3 dB. Veja uma simulação da variação de 3 dB em relação a um nível de referencia no endereço: http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/15-5/ Nota: Se o cachorro estivesse no chão, poderíamos dizer que o som propagaria uniformente num hemisfério (metade de uma esfera). Neste caso, a área deve ser dada por 2πr2.

A sensação de sonoridade depende da freqüência e também da intensidade do som. A Tabela 1 mostra a intensidade em dB de algumas fontes sonoras. A Figura 14 mostra a intensidade, o nível de intensidade e a variação de pressão em função da freqüência.

Tabela 1 – Fontes sonoras e suas respectivas intensidades

Fonte 0I

I dB Descrição

100 0 Limiar da audibilidade Respiração normal 101 10 Quase inaudível Folhas sussurrantes 102 20 Murmúrios (a 5 cm) 103 30 Muito silencioso Biblioteca 104 40 Escritório tranqüilo 105 50 Silencioso Conversação normal (a 1 m) 106 60 Tráfego pesado 107 70 Escritório barulhento; fábrica comum 108 80 Caminhão pesado (a 15 m) 109 90 Exposição constante prejudica a

audição Trem de metrô 1010 100 Construção civil (a 3 m) 1011 110 Concerto de rock com amplificadores (a 2 m; decolagem de jato (a 60 m)

1012 120 Limiar de audição dolorosa

Martelo pneumático; metralhadora 1013 130 Decolagem de jato (nas vizinhanças) 1015 150 Motor de foguete de grande porte (nas vizinhanças)

1018 180

Page 15: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 15

Fig. 14 – Gráfico mostrando a intensidade, o nível de intensidade e a variação de pressão em função da freqüência. Note que o ouvido humano é mais sensível, em todos os níveis de intensidade, aos sons com freqüências aproximada de 4 kHz. 4 – Ondas Sonoras Encontrando Obstáculos

0 comportamento de uma onda sonora ao atingir uma superfície é semelhante àquele que ocorre com uma onda luminosa ao incidir, por exemplo, num vidro ou num espelho. Ou seja, ela sofre reflexão e/ou transmissão na interface destes dois meios. O ângulo que uma onda luminosa é transmitida e/ou refletida depende dos índices de refração destes meios (este assunto é melhor estudado num curso de Ótica); no caso de uma onda sonora, as velocidades das ondas nestes meios, mais especificamente, é quem vai dizer o comportamento do raio transmitido e do refletido. Em três dimensões, a fronteira entre duas regiões onde as velocidades são diferentes é uma superfície. A Figura 15 mostra um raio incidindo sobre uma superfície.

Fig. 15 – Onda atingindo a fronteira de dois meios nos quais a velocidade da onda é diferente. Parte da onda é refletida e parte da onda é transmitida. A mudança na direção do raio transmitido é a refração.

Quando uma onda sonora incide sobre uma fronteira que separa duas regiões onde as

velocidades da onda são diferentes, esta onda pode ter uma parte refletida e outra transmitida.

Reflexão – dizemos que ocorreu reflexão quando a onda (ou parte dela) é refletida.

Refração – dizemos que ocorreu refração quando a onda (ou parte dela) é transmitida. Veja duas interessantes simulações nos endereços a seguir: http://surendranath.tripod.com/Twave/TwaveRefTran/TwaveRefTran.html http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/propagation/propagation.html

v1

v2

Page 16: Apostila - Ondas 1

Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 16

O raio (linha reta perpendicular a frente de onda) transmitido aproxima-se ou afasta-se da normal conforme a velocidade da onda no segundo meio seja menor ou maior do que a velocidade no meio inicial. À medida que o ângulo de incidência aumenta (Figura 16), o ângulo de refração também aumenta, até que se atinge um ângulo de incidência crítico para qual o ângulo de refração é de 90°. Se o ângulo de incidência for maior do que este ângulo crítico, não ocorrerá mais refração, e ocorrerá um fenômeno denominado de reflexão total. Este fenômeno é utilizado na fabricação de fibras óticas.

Fig. 16 – Variação do ângulo de incidência.

Veja uma interessante simulação no endereço abaixo: http://people.deas.harvard.edu/~jones/cscie129/applets/optics/java/totintrefl/index.html

Difração- Quando uma onda incide sobre uma barreira provida de uma pequena abertura, passa através da abertura propagando-se como uma onda esférica ou circular. Veja uma um interessante applet sobre difração no endereço: http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap13/cd372.htm

Embora as ondas que encontram uma abertura sempre se difratem, a difração depende de o comprimento de onda ser pequeno ou grande em relação ao tamanho da abertura. Se o comprimento de onda for muito maior do que a abertura os efeitos da difração são notáveis, caso contrário não ocorre difração.

A difração estabelece um limite na exatidão da localização de pequenos corpos por reflexão de ondas sonoras.

As ondas sonoras com freqüências acima de 20.000 Hz são os ultra-sons. Os morcegos, por exemplo, emitem e percebem ultras com freqüências da ordem de 120.000 Hz (correspondendo a comprimento de onda de 2,8 mm). Na medicina, os ultra-sons são usados no levantamento de diagnóstico. Veja interessante applet sobre este assunto nos seguinte endereço: http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=43 5 – O Efeito Doppler

Quando uma fonte de ondas e o receptor estão em movimento relativo, a freqüência

observada não coincide com a freqüência emitida. Quando a fonte e receptor se aproximam um do outro, a freqüência observada é maior do que a freqüência emitida. Quando os dois se

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Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 17

afastam um do outro, a freqüência observada é menor do que a emitida. Exemplo bem comum e o da variação da altura do som de um carro quando se aproxima de um observador.

Considere uma fonte de freqüência 0f em movimento com velocidade su em relação ao meio. As ondas na direção para frente da fonte estão comprimidas, e as emitidas para trás estão mais espaçadas (veja figura 17). Seja v a velocidade das ondas em relação ao meio. Esta velocidade depende exclusivamente das propriedades do meio e não do movimento da fonte. Num intervalo de tempo t∆ , a fonte emite N ondas, onde tfN ∆= 0 , pois 0f é o número de

onda por unidade de tempo ( )tNf ∆=0 .

Fig. 17 – Frentes de ondas sucessivas emitidas por uma ponte puntiforme que move para direita com velocidade

su . Veja uma interessante simulação sobre o efeito Doppler no endereço:

http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=45

A primeira frente de onda avança de uma distância tv∆ , enquanto a fonte cobre a

distância tus∆ . O comprimento ´λ de onda na frente da fonte será a distância ocupada pelas

ondas ( ) tuv s ∆− , dividida pelo número de ondas:

( ) ( )0

´fuv

tftuv

Ntuv s

o

ss −=∆

∆−=∆−=λ (46)

Atrás da fonte temos:

0

´f

uv s+=λ (47)

Outra situação é aquela em que a fonte está parada e o receptor move-se com velocidade ur. Se

rv é a velocidade relativa entre as ondas (v) e o receptor, o número de ondas que passam pelo receptor no tempo t∆ é igual ao número de ondas na distância tvr∆ (veja Figura 18):

( )t

uvtvN rr ∆±=∆=

´´ λλ, (47)

Valendo o sinal negativo para frente da fonte (receptor se aproximando da fonte) e o

negativo para trás (receptor se afastando da fonte).

us

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Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 18

Fig. 18 – O número de ondas que passam por uma receptor estacionário, durante o intervalo de tempo t∆ , é igual ao número de ondas na distância tv∆ ( v é a velocidade da onda). Se o receptor se aproxima da fonte com

velocidade ru , passa também pelo número extra de ondas na distância .

A freqüência observada é o número de ondas dividido pelo intervalo de tempo:

( ) ( )´

´´λ

λ rr uvt

tuv

tN

f±=

∆±=

∆= (48)

Se o receptor estiver parado temos 0=ru , a freqüência será:

( ) ( ) 00

1

´ f

vu

fuv

v

fuv

vvf

ss

o

s ±=

±=±==

λ (49)

A Equação (49) é válida para a fonte em movimento e o receptor estacionário. Quando a

fonte está em movimento aproximando-se do receptor, a freqüência aumenta e vale o sinal negativo da Equação (49), caso contrário à freqüência diminui e vale o sinal positivo.

Se a fonte estiver estacionária, 0

0´ fv== λλ , a freqüência observada será:

00

0

1´ fvu

fvuv

fv

uvf rrr

±=

±=

±= (50)

Combinando as Equações (46-48) podemos obter uma equação geral:

00

01

´ f

vu

vuf

uvuv

fuvuvuv

fs

r

s

r

s

rr

±

±=±±=

±±=±=

λ (51)

O sinal (negativo ou positivo) é determinado a partir do movimento relativo entre fonte e

receptor. Por exemplo, se a fonte se move na direção do receptor e este também se move na direção da fonte, o sinal positivo vale no numerador e o negativo no denominador. Lembrando que a freqüência aumenta quando fonte e receptor se aproximam e diminui quando se afastam.

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Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 19

Pode-se mostrar que, se su e ru forem muito menores do que a velocidade da onda v , o deslocamento de freqüência é dados, aproximadamente, por:

( )vuvu

ff <<±≈∆

0

, (52)

onde rs uuu ±= é a velocidade relativa entre a fonte e o receptor.

E o meio estiver em movimento, por exemplo o ar com uma corrente de vento, a velocidade da onda é substituída por wuvv ±=´ , em que wu é velocidade do vento. Exemplo A freqüência de uma buzina de carro é de 400 Hz. Calcular a) o comprimento de onda do som e b) a freqüência observada se o carro estiver com a velocidade de us = 34 m/s (cerca de 122 km/h) em relação ao ar tranqüilo esse aproxima de um receptor estacionário. Tomar como 340 m/s a velocidade do som no ar. c) calcular a freqüência observada se o carro estiver estacionário e o receptor se mover com a velocidade de us = 34 m/s na direção da buzina. Solução: a) As ondas da frente estão comprimidas então adotamos o sinal negativo na equação (46).

mfuv

o

s 765,0400

34340 =−=−

b) Calculamos a freqüência utilizando a seguinte equação:

Hzv

f 444765,0

340´

´ ===λ

c) Para o receptor em movimento, a freqüência observada é dada pela equação (50). Neste caso o comprimento não se altera, porém um maior número de ondas passa pelo receptor num certo intervalo de tempo. O sinal desta equação é tomado positivo, pois a freqüência aumenta.

( ) Hzvu

ff r 4401,140034034

14001´ 0 ==

+=

+=

Ondas De Choque

Se a fonte se desloca com velocidade maior do que a velocidade da onda, não haverá ondas na frente da fonte. Ao contrário, as ondas se acumulam atrás da fonte e constituem uma onda de choque. No caso de ondas sonoras, esta onda de choque se manifesta como um estrondo sônico (veja Figura 19).

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Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 20

Fig. 19 – Ondas de choque de um veículo supersônico

Na Figura 20 uma fonte está no ponto 1P , movendo-se para direita com velocidade u . Depois de um certo tempo t , a onda emitida do ponto 1P avançou a distância vt . A fonte avançou a distância ut e estará np ponto 2P . A reta que passa pela nova posição da fonte e é tangente à frente da onda em 1P faz um ângulo θ com a trajetória da fonte e se tem

uv

utvt ==θsen (52)

Fig.20 – Fonte com velocidade u maior do que a velocidade da onda v. A envoltória das frentes de onda é uma superfície cônica com vértice na posição da fonte.

A onda de choque fica confinada num cone cuja abertura aumenta à medida que a velocidade da fonte aumenta. O número de Mach é definido como sendo a razão entre a velocidade da fonte e a velocidade da onda.

vuMachdeNumero = (53)

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Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 21

Exercícios

1) A função de onda de uma onda harmônica numa corda é ( ) )5,32,2sen(03,0, txtxy −= , x está em metros e t em segundos. a) Em que direção a onda avança e qual a sua velocidade? b) Calcular o comprimento de onda, a freqüência e o período da onda. c) Qual o deslocamento máximo de qualquer segmento da corda? d) Qual a velocidade máxima de qualquer segmento da corda?

2) Uma onda de comprimento de onda de 35 cm e amplitude de 1,2 cm desloca-se ao longo de uma corda de

15 m, cuja massa é de 80 g e sujeita a uma tensão de 12 N. (a) Qual a velocidade e a freqüência angular da onda? b) Qual a energia total média da onda na corda.

3) Nosso ouvido é sensível a sons de freqüências entre cerca de 20 Hz até cerca de 20.00 Hz. Se a velocidade

do som no ar for de 340 m/s, que comprimentos de onda correspondem a estas freqüências. 4) O diafragma de um alto-falante tem 30 cm de diâmetro e vibra a 1 kHz com a amplitude de 0,020 mm.

Admitindo que a amplitude das moléculas de ar nas vizinhanças do diafragma seja também de 0,020 mm, calcular a) a amplitude da variação de pressão na região vizinha e à frente do diafragma, b) a intensidade do som na frente do diafragma e c) a potência acústica irradiada pelo diafragma. d) Se a irradiação do som for uniforme no hemisfério frontal ao diafragma, calcular a intensidade do som a 5 m do alto-falante. e) Por que a hipótese da uniformidade da radiação no hemisfério frontal não é correta?

5) Um absorvedor acústico atenua de 30 dB o nível de intensidade sonora. Qual o fato de decréscimo da

intensidade? 6) Um trem, a 90 km/h, aproxima-se de uma estação onde está um ouvinte e faz soar a sua buzina, cuja

freqüência é de 630 Hz. (a) Qual o comprimento de onda das ondas na frente do trem? b) Qual a freqüência do som percebido pelo ouvinte? Use a velocidade do som como 340 m/s.

7) Num instante t=0, um avião supersônico está na vertical do ponto P e avança para leste a uma altitude de

15 km. O estrondo sônico é ouvido em P quando o avião está 22 km a leste do ponto P. Qual a velocidade do avião?

8) Sobrevoando um poço do inferno, um demônio observa que os gritos de um condenado em queda com a

velocidade terminal variam de freqüência de 842Hz a 820Hz. a) Calcular a velocidade terminal do condenado; b) os gritos do condenado refletem-se no fundo do poço. Calcular a freqüência do eco percebido pelo condenado em queda; c) calcular a freqüência do eco percebido pelo demônio. (Tipler 4a Ed., problema 15-115)

Solução: Se o condenado em queda está sobre o demônio, então este o escuta com a freqüência de 842Hz(fonte se aproximando). Ao passar pelo demônio, este escuta-o com uma freqüência de 820Hz (fonte se afastando). Em termos de equações, temos: ur = 0, pois o demônio está parado. Usando a Equação 51, obtemos:

00

3401*820

1820 fu

vu

f s

s

=

+⇒

+= (fonte se afastando) (1)

00

3401*842

1842 f

u

vu

f s

s

=

−⇒

−= (fonte se aproximando) (2)

resolvendo as equações acima, obtemos que a freqüência emitida pelo condenado é f0 = 830,9 Hz e sua velocidade terminal (us) é igual a 4,5m/s. b) O som emitido pelo condenado e que se propaga em direção ao fundo do poço tem uma freqüência de 842Hz. Esta é a freqüência que irá ser refletida( pois o fundo do poço está parado). Neste caso, o fim do poço é uma fonte estacionária emitindo nessa freqüência. Assim, se o condenado se move em direção a uma fonte (fim do poço) que emite uma freqüência de 842Hz, este perceberá o som na seguinte freqüência (Equação 51 com us=0m/s e f0 = 842Hz):

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Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 22

feco = (1 + 4,5/340)*842 = 853Hz. c) O eco percebido pelo demônio é igual ao som refletido pois o demônio está parado com relação a fonte que também está parada. Ou seja, 842Hz.

9) Um apito que emite continuamente a 500Hz descreve um círculo de 1 m de raio a 3 rev/s. Qual a freqüência máxima e a mínima percebida pelo ouvinte no plano do círculo, a 5 m do centro do círculo? (Tipler 4a Ed., problema 15-104)

Freqüência maior: antes é necessário calcular a velocidade escalar do apito, ou seja: v=w.r ⇒ v = 3.2.π .1 ⇒ v = 6π m/s. Da Equação 51, temos:

.529

3406

1

500

1

1´ 0 Hzff

vu

vuf

s

r =−

=′⇒±

±= π

Para a situação em que o apito move se afastando do receptor, temos:

.474

3406

1

500

1

1´ 0 Hzff

vu

vuf

s

r =+

=′⇒±

±= π

Se você fosse o ouvinte, você escutaria uma variação na freqüência do som do apito a medida que ele se afastasse ou se aproximasse de você. Exercícios para casa Vide o livro 4 a edição (capítulo 15) De 1 a 8, 23 a 27, 33 a 38, 39 e 40, 51 e 52,68 a 72

apito

O apito gira no sentido anti-horário (suponha), assim, a seta inferior do círculo indica que o som se propaga na direção do ouvinte. Logo, neste caso a freqüência percebida aumenta. A distância entre o apito e o receptor não influencia no resultado.