Apostila - Ondas 1

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Apostila - Ondas 1

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  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 1

    MOVIMENTO ONDULATRIO

    Quando um inseto se move noite a alguns centmetros de um escorpio, imediatamente o escorpio detecta-o e o mata para comer. O escorpio faz isto sem ver ou ouvir o inseto. Como o escorpio capaz de detectar o inseto? 1 Ondas e Partculas

    Partculas e ondas so dois grandes conceitos da fsica. Estes dois conceitos so bastante diferentes. A palavra partcula sugere uma pequena concentrao de matria capaz de transmitir energia. A palavra onda sugere justamente o oposto, ou seja, uma grande distribuio de energia no espao por onde ela passa. Ondas Mecnicas

    Uma bandeira tremulando devido ao vento to comum, que quando os astronautas (http://spaceflight.nasa.gov/mars/reference/flag/flag.html)pisaram na lua (onde no tem vento. Por que?) pela primeira vez, colocaram uma bandeira americana com ondulaes para dar a impresso que a bandeira estava tremulando. Existem ondas na atmosfera, na gua e na Terra. Estas ondas so denominadas de ondas mecnicas. A principal caracterstica destas ondas que elas so governadas pelas leis de Newton e necessitam de um meio material para se propagarem. Ondas Eletromagnticas

    A onda eletromagntica mais comum para ns a luz visvel, porm convivemos com vrias outras no nosso dia-a-dia, tais como os raios X (quem no fez ainda uma radiografia?), microondas (forno) e as ondas de radio e de televiso que recebemos em nossas casas. Fisicamente, um campo eltrico perpendicular a um campo magntico. Voltaremos a este assunto em Fsica 3. Ao contrrio das ondas mecnicas, as ondas eletromagnticas no requerem um meio material para sua propagao. 2 Ondas Transversais e Ondas Longitudinais

    As ondas transportam energia e momento atravs do espao, sem, porm transportar matria. Em uma onda mecnica, este efeito obtido atravs de uma perturbao no meio. Dependendo de como esta perturbao ocorre, classificamos as ondas em dois tipos. Ondas transversais so aquelas em a perturbao perpendicular direo de propagao (Figura 1). As ondas de gravidade (http://aerolume.df.ufpb.br:8080/filmes/borewaves.avi) na atmosfera so exemplos de ondas transversais (as molculas oscilam para cima e para baixo). Veja uma interessante animao no seguinte endereo: http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01.html .

    As ondas longitudinais apresentam a perturbao na mesma direo da propagao (Figura 2). As ondas acsticas so exemplos de ondas longitudinais (as molculas do gs, do lquido ou do slido atravs do qual a onda se propaga oscilam para frente e para trs). Veja uma interessante animao em http://surendranath.tripod.com/Lwave/Lwave01.html .

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 2

    Fig. 1 - Exemplo de uma onda transversal.

    Fig.2 - Exemplo de onda longitudinal.

    Pulsos Ondulatrios (Funo de Onda)

    A Figura 3 mostra um pulso numa corda no instante 0=t . A forma da onda, neste instante, pode ser representada por uma funo ( )xfy = . Num instante posterior o pulso avanou sobre a corda. Num sistema de coordenadas com origem O, que avana com a mesma velocidade do pulso, este pulso estacionrio.

    Fig. 3 Pulso ondulatrio que move sem alterar sua forma. O valor de x no fixo.

    As coordenadas nos dois sistemas esto relacionadas por:

    vtxxvtxx -=+= . (1)

    Assim, a forma da corda no sistema de coordenadas original avanando para direita :

    ( )vtxfy -= . (2)

    No caso de uma onda avanando para esquerda teremos:

    ( )vtxfy += . (3)

    Nas duas expresses anteriores, v a velocidade de propagao da onda. A funo ( )vtxfy -= a funo de onda. No caso de ondas numa corda, a funo de onda representa o

    deslocamento transversal dos segmentos da corda. Nas ondas acsticas no ar, a funo de onda pode representar o deslocamento longitudinal das molculas do ar, ou ento a presso.

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 3

    Velocidade das Ondas

    A velocidade das ondas depende das propriedades do meio, mas no depende do movimento da fonte das ondas; esta uma propriedade geral do movimento ondulatrio. Para ondas numa corda, quanto maior for a tenso na corda, mais rpida ser a propagao das ondas. Alm disso, as ondas se propagam mais rapidamente numa corda leve do que numa corda pesada, ambas sujeitas mesma tenso.

    A velocidade (v) de propagao de uma onda numa corda, como mostraremos depois, dada por:

    mF

    v = (4)

    onde F a tenso na corda e m a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento).

    No caso de ondas acsticas num fluido como o ar ou a gua, a velocidade ( )v de propagao da por:

    rB

    (5)

    onde B o mdulo de compressibilidade (j estudado no Captulo de Fluidos) e r a densidade do meio.

    Em geral, a velocidade das ondas depende de um a propriedade elstica do meio (tenso nas cordas e mdulo de compressibilidade, nas ondas acsticas) e de uma propriedade inercial do meio (densidade linear de massa, ou densidade volumar). Mostraremos mais na frente que a velocidade ( )v do som num gs dada por:

    MRT

    vg

    = (6)

    onde T a temperatura absoluta em kelvins (K), g depende da espcie do gs. Nos gases de molculas diatmicas O2 e N2, g tem o valor de 1,4. Como 98% do ar atmosfrico constitudo por estes gases, este mesmo valor vale para o ar. A constante R a constante dos gases ideais e vale 8,314 J/mol.K Demonstrao da equao (4)

    Seja um pulso que se desloca para direita com velocidade v , ao longo de uma corda. Se a amplitude do pulso for pequena diante do comprimento da corda, a tenso F ser aproximadamente constante em todo ponto. Num sistema de coordenadas que se desloca com velocidade v para direita, os pulso est estacionrio e a corda se desloca com velocidade v . A Figura 4 mostra um pequeno segmento de uma corda de comprimento SD . Num certo instante, o segmento tem velocidade v numa trajetria circular e, por isso, tem uma acelerao

    centrpeta Rv2 . As foras que agem so a tenso F em cada extremidade.

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 4

    Fig. 4 Pulso ondulatrio numa corda (esquerda). Representao (direita) das foras que atuam sobre uma regio da corda onde F a fora (tenso) sobre a corda e Fr a fora radial.

    A tenso na corda F. O mdulo do vetor Fr dado por: 2

    tan.q

    FFr = . Onde q um

    ngulo subtendido pelo segmento de corda e considerado pequeno. Quando as duas foras radiais (na figura mostrada apenas aquela que est no lado esquerdo da corda) so somadas vetorialmente, a componente horizontal anulada, ficando apenas a componente vertical FR que expressa como sendo:

    ==2

    cos2

    tan.2

    cosqqq

    FFF rr

    2sen.

    qFFr =

    A fora radial resultante :

    qqq FFFFr =

    = 2

    1221sen2 (7)

    onde foi feito 22senqq , considerando q muito pequeno. Se m for a densidade linear da

    corda a massa do segmento ser Sm D= m . Tambm temos:

    RSD=q (8)

    Assim podemos escrever qmm RSm =D= . Aplicando a segunda lei de Newton e utilizando a Eq. 7, teremos:

    Rv

    RRv

    mF22

    qmq == , (9)

    ou

    mF

    v = (10)

    FR

    F

    qq/2

    qq /2

    FR

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 5

    A Equao de Onda

    A equao de onda relaciona as derivadas espaciais de ),( txy s derivadas temporais. A Figura 5 mostra um segmento isolado de uma corda. Admitindo pequenos deslocamentos verticais, a fora resultante na direo vertical ser:

    12 sensen qq FFF -= . (11)

    Como os ngulos so pequenos podemos fazer qq tansen , assim podemos escrever a Eq. (11) da seguinte forma:

    ( ) ( )1tantansensen 212 qqqq --= FFF (12)

    Fig. 5 Segmento de corda tensionada.

    A tangente entre a corda e a horizontal a inclinao (coeficiente angular) da curva descrita pela corda. A derivada de ( )),txy em relao a x , com t constante dada por esta inclinao ( )S . A derivada parcial de y em relao a x dada por x

    y

    . Assim, teremos:

    xy

    S== qtan (13)

    portanto SFSSFF D=-= )( 12 (14)

    Aplicando a segunda lei de Newton temos:

    2

    2

    2

    2

    ty

    xS

    Fty

    xmaSF=

    DD

    D==D mm (15)

    No limite de 0Dx , teremos:

    2

    2

    0lim

    xy

    xy

    xxS

    xS

    x =

    =

    =

    DD

    D (16)

    onde substitumos S pela Equao (13). Assim a Equao (15) pode ser escrita da seguinte forma:

    2

    2

    2

    2

    ty

    Fxy

    =

    m

    . (17)

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 6

    A Equao (17) a equao de onda de uma corda tensionada. fcil mostrar que a equao de onda tem como soluo qualquer funo do tipo )( vtxy - , assim, podemos generalizar e escrever a equao de onda geral da seguinte forma:

    2

    2

    22

    2 1ty

    vxy

    =

    (18)

    2 Ondas Harmnicas Numa Corda

    Uma onda que pode ser representada por uma senide ou cossenide denominada de onda harmnica (veja Figura 6).

    Fig. 6 Onda harmnica em um dado instante. A abscissa dada em termos de x expresso em funo do comprimento de onda ou em termos de nmero de ondas.

    Numa corda, medida que a onda se propaga, cada ponto da corda se desloca para cima e para baixo, perpendicularmente direo de propagao, descrevendo um movimento harmnico simples, cuja a freqncia f denominada freqncia da onda. Durante um

    intervalo de tempo (perodo da onda) fT1= , a onda avana de uma distncia l denominada

    de comprimento de onda. Desta forma velocidade da onda ser dada por:

    ll fT

    v == (19)

    A funo seno que descreve o deslocamento (para cima e para baixo) :

    )sen()( d+= kxAxy (20)

    onde A amplitude (deslocamento mximo), k o nmero de onda (quantas ondas existem em um metro), e d a constante de fase (deslocamento para 0=x ).

    Consideremos um ponto 1x separado de outro 2x por comprimento de onda ( )l , de modo que l+= 12 xx . Os deslocamento nos dois pontos so iguais, ou seja, )()( 21 xyxy = , assim

    ( ) ( ) ( ) ( )ll kkxxkkxkx +=+== 1121 sensensensen , (21) esta igualdade trigonomtrica s ocorre se pl 2=k Uma volta completa no crculo trigonomtrico). Assim, podemos definir o nmero de onda angular, ou seja, quantas ondas temos em p2 radianos:

    lp2=k . (22)

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 7

    Consideremos agora a onda se avanando para direita com velocidade v , a varivel x

    na equao (21) passa a ser vtx - . Tomando a fase como zero podemos escrever:

    ( ) ( ) ( )kvtkxAvtxkAtxy -=-= sensen, ou

    ( ) ( )tkxAtxy w-= sen), (23)

    onde fizemos kv=w , freqncia angular, e est relacionada com a freqncia f e o perodo T

    por T

    fppw 22 == . Note que a equao (23) tem duas variveis. Veja uma interessante

    animao sobre a relao fpw 2= no link abaixo: http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01A.html Energia das Ondas Numa Corda

    A Figura 7 mostra uma rolha de cortia dentro da gua quando interceptada por uma onda. A onda transfere energia para rolha. Esta energia aparece como um aumento na energia potencia da rolha

    Fig. 7 Rolha de cortia elevada por uma onda.

    Seja xD o comprimento do segmento de uma corda e xDm a respectiva massa ( )mD . O

    deslocamento em relao posio de equilibro dado pela funo de onda )sen( tkxAy w-= .

    A velocidade dada por dtdy . A energia cintica do segmento ser:

    ( ) ( )2

    2

    21

    21

    D=D=D

    dtdy

    xvmK y m (24)

    Calculando a derivada em separado obtemos:

    ( )( ) ( )tkxAdt

    tkxAddtdy www -=-= cossen (25)

    Agora podemos escrever energia cintica da seguinte forma:

    ( )tkxxAK wmw -D=D 222 cos21

    (26)

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 8

    A energia potencial de um segmento o trabalho realizado na elongao da corda e

    depende da inclinao dxdy . No caso de pequenas inclinaes, pode-se demonstrar que a

    energia potencial, a inclinao e a tenso F esto relacionadas por (ver Problema 123, Tipler, volume 1, 4a edio):

    xdxdy

    FU D

    D

    2

    21

    (27)

    Calculando a derivada em separado temos:

    ( )( ) ( )tkxkAdt

    tkxAddxdy ww -=-= cossen (28)

    A tenso pode ser escrita como 2vF m= (utilizando a equao 4), ou 22

    kF mw= onde

    usamos kvw= .

    A energia potencial ser:

    ( ) ( )tkxxAtkxxAkk

    U wmwwmw

    -D=-D

    =D 2222222

    2

    cos21

    cos21

    (29)

    A Equao (29) da energia potencial coincide exatamente com a Equao (26) da

    energia cintica. A energia total ser soma destas duas energias:

    ( )tkxxAUKE wmw -D=D+D=D 222 cos (30)

    Calculando a energia mdia obtemos:

    xAEmed D=D22

    21 mw . (31)

    Este resultado obtido pois o valor mdio de )(cos 2 tkx w- igual a . A equao (30)

    tambm nos mostra que a energia de um segmento da corda varia com o tempo e que ela coincide com o resultado da energia mdia de um corpo de massa xDm oscilando com movimento harmnico simples preso numa mola. __________ Obs. A mdia de uma funo num perodo T (=2p/v) dada por:

    =T

    omdttf

    Tf )(

    1

    __________

    Consideremos que uma onda em uma corda atinja um ponto 1p no instante 1t . A parte da corda esquerda de 1p tem energia devido ao movimento harmnico simples dos seus segmentos, no entanto, a parte da corda direita de 1p no tem energia pois seus segmento

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 9

    esto em repouso (veja Figura 8a). Depois de um tempo tD a onda avanou para direita de um distncia v tD (veja Figura 8b).

    Fig. 8 a) onda numa corda, direita de 1p sem energia. b) onda na corda, direita de 1p com energia.

    A energia mdia que passou pelo ponto 1p durante o intervalo de tempo tD a energia mdia em x v tD = D , ou seja,

    2 212med

    E A v tmwD = D (32)

    A potncia mdia transmitida dada pela taxa temporal de transmisso de energia: 2 21

    2med

    med

    dEP A v

    dtmw= = (33)

    A equao (33) mostra que a energia e potncia mdia so proporcionais ao quadrado

    da amplitude. Ondas Sonoras Harmnicas

    As ondas sonoras harmnicas podem ser geradas, no ar, por um diapaso (http://www.ciagri.usp.br/~svcex/diapas.htm), por uma pessoa falando, ou por um alto-falante que esteja vibrando com movimento harmnico simples. A fonte de vibrao provoca a oscilao das molculas com suas vizinhanas em torno de um ponto de equilbrio. Os choques entre molculas vizinhas provocam oscilaes semelhantes. Podemos descrever uma onda sonora atravs de uma funo ),( txs que representa o deslocamento das molculas em relao ao equilbrio:

    )sen(),( 0 tkxstxs w-= (34)

    Os deslocamentos esto orientados na direo do movimento da onda e provocam variaes da densidade e da presso no ar. Figura 9 mostra a variao, com x, do deslocamento das molculas.

    Como a presso de um gs proporcional sua densidade, a variao de presso (pois

    est superposta uma presso de equilbrio) mxima quando a variao de densidade for tambm mxima. A Figura 9 mostra que a variao de densidade (ou presso) est defasada do deslocamento de 90. Quando deslocamento nulo, a variao de densidade (ou presso) mxima ou mnima. Quando o deslocamento mximo ou mnimo, a variao de densidade (ou presso) nula. Desta forma podemos representar uma onda sonora por uma onda de presso dada por:

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 10

    ( )2sen0 pw --= tkxpp (35)

    onde p variao de presso em relao presso de equilbrio, 0p o mximo (quando a

    funo seno igual um) desta variao de presso. A amplitude da variao de presso 0p est

    relacionada com a amplitude do deslocamento 0s por:

    00 vsp rw= (36)

    onde v a velocidade de propagao e r a densidade do gs no equilbrio.

    Nosso ouvido sensvel a sons de freqncias entre cerca de 20 HZ at cerca de 20.000 HZ. Um ouvido humano normal consegue ouvir sons (dentro do limiar de audio) entre 3x10-5 e 30 Pa.

    Fig. 9 Grfico do deslocamento das molculas de ar num dado instante. Veja uma interessante animao com esta figura no seguinte endereo: http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=50. Energia de Ondas Sonoras

    A energia mdia de uma onda sonora harmnica, num elemento de volume VD , dada pela equao (31):

    xAEmed D=D22

    21 mw

    Por analogia podemos substituir A por 0s e xm D=D m ou Vm D=D r , tomando r como a densidade mdia do meio. Dessa forma:

    VsEmed D=D20

    2

    21 rw (37)

    A energia mdia por unidade de volume a densidade de energia mdia ( )medh :

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 11

    20

    2

    21

    sV

    Emedmed rwh =D

    D= (38)

    3 Ondas em Trs Dimenses

    Estas ondas so geradas por uma fonte puntiforme que oscila com movimento harmnico simples. O comprimento de onda a distancia entre cada superfcies esfricas (concntricas) sucessivas. Cada superfcie esfrica uma frente de onda.

    O movimento das frentes de onda pode ser representados por raios que so retas

    perpendiculares s frentes de onda.

    A distncias muito grandes de uma fonte, uma pequena parte da frente de onda pode ser representada por um plano (ondas planas).

    Fig. 10 Frente de ondas esfricas divergindo de uma fonte puntiforme. Intensidade das Ondas

    A potncia mdia por unidade de rea perpendicular direo de propagao a intensidade da onda e dada por:

    AP

    I med= . (39)

    Fig. 11 Determinao da intensidade de uma onda num certo ponto.

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 12

    A uma distncia r de uma fonte puntiforme, que emite uniformemente em todas as direes, a intensidade :

    24 rP

    I medp

    = . (40)

    A intensidade de uma onda varia com o inverso do quadrado da distancia. A unidade da

    Intensidade no SI watts/m2.

    A Figura 12 mostra uma onda esfrica que atingiu uma distancia 1r . O volume dentro da esfera de raio 1r contm energia, pois nesta regio as partculas esto oscilando harmonicamente.

    Fig. 12 Volume da casca = A tvD . Onde A a rea da casca esfrica de raio r1.

    A regio fora da esfera de raio 1r no contm energia, pois a onda ainda no atingiu esta regio. Aps um intervalo tD a onda avanou um distancia tvr D=D . A energia mdia na casca esfrica de rea A , espessura tvD e volume VD dada por:

    tAvVE medmedmed D=D=D hh (41)

    A potencia mdia que entra na casca ser dada por:

    Avt

    tAvt

    EP med

    medmedmed h

    h =D

    D=D

    D= (42)

    Assim, a intensidade ser:

    vA

    AvA

    PI med

    medmed hh === (43)

    A equao (43) mostra que a intensidade de uma onda igual ao produto da densidade

    mdia de energia pela velocidade de fase da onda. Utilizando a equao (38) determinamos a intensidade de uma onda sonora:

    vp

    vsvI med rrwh

    202

    02

    21

    21 === , (44)

    onde fizemos vps rw

    00 = . Este resultado geral para qualquer tipo de onda, ou seja, a

    intensidade proporcional ao quadrado da amplitude.

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 13

    Fig. 13 - O ouvido humano consegue ouvir um som cuja intensidade mnima de 1x10-12W/m2. A intensidade mxima, em que o ouvido sente dor, de 1W/m2. Nvel de Intensidade e Sonoridade

    A sensao psicolgica de sonoridade (volume do som) varia aproximadamente com o logaritmo da intensidade e no com a prpria intensidade. Pra descrever o nvel de intensidade de uma onda sonora adota-se uma escala logartmica b . A unidade de medida o decibel (dB), definido por:

    0

    log10II=b (45)

    onde I intensidade do som e oI o limiar da audibilidade (10-12 W/m2)

    Nesta escala teremos:

    ( )

    ===

    ==

    - dBdordeSensao

    dBdeaudibilidadaLimiar

    12010log1010

    1log10

    0II

    10log

    1212

    0

    0

    b

    b

    __________ Obs. Se y = log (x), ento x = 10 y. __________ Exemplo

    Ao ladrar, um cachorro emite cerca de 1 mW de potncia. a) Se esta potncia estiver uniformemente distribuda em todas as direes, qual o nvel de intensidade do latido a uma distncia de 5 m? b) Qual seria o nvel de intensidade se dois cachorros estivessem latindo ao mesmo tempo, cada um emitindo 1 mW de potncia?

    Soluo:

    Calculamos o de intensidade utilizando a equao 24 rPI p= .O nvel de intensidade e a

    intensidade esto relacionados por 0

    log10 II=b . Assim, a intensidade para mr 5= ser:

    ( )26

    2

    3

    2 /1018,354

    104

    mWxr

    PI -

    -

    ===pp

    Agora podemos calcular o nvel de intensidade:

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 14

    dBXx

    II

    65)1018,3log(1010

    1018,3log10log10 6

    12

    6

    0

    ====-

    -

    b

    Se considerarmos 1I a intensidade do latido de um cachorro, a intensidade para os dois ser 12 2II = . Desta forma, o nvel de intensidade para os dois cachorros ser:

    dBII

    II

    II

    o

    68log10log102log22

    log10log100

    1

    0

    122 =+=+=== bb

    este exerccio mostra que se a potncia estiver distribuda uniformemente, se a intensidade for duplicada o nvel de intensidade aumenta de 3 dB. Veja uma simulao da variao de 3 dB em relao a um nvel de referencia no endereo: http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/15-5/ Nota: Se o cachorro estivesse no cho, poderamos dizer que o som propagaria uniformente num hemisfrio (metade de uma esfera). Neste caso, a rea deve ser dada por 2pr2.

    A sensao de sonoridade depende da freqncia e tambm da intensidade do som. A Tabela 1 mostra a intensidade em dB de algumas fontes sonoras. A Figura 14 mostra a intensidade, o nvel de intensidade e a variao de presso em funo da freqncia.

    Tabela 1 Fontes sonoras e suas respectivas intensidades

    Fonte 0I

    I dB Descrio

    100 0 Limiar da audibilidade Respirao normal 101 10 Quase inaudvel Folhas sussurrantes 102 20 Murmrios (a 5 cm) 103 30 Muito silencioso Biblioteca 104 40 Escritrio tranqilo 105 50 Silencioso Conversao normal (a 1 m) 106 60 Trfego pesado 107 70 Escritrio barulhento; fbrica comum 108 80 Caminho pesado (a 15 m) 109 90 Exposio constante prejudica a

    audio Trem de metr 1010 100 Construo civil (a 3 m) 1011 110 Concerto de rock com amplificadores (a 2 m; decolagem de jato (a 60 m)

    1012 120 Limiar de audio dolorosa

    Martelo pneumtico; metralhadora 1013 130 Decolagem de jato (nas vizinhanas) 1015 150 Motor de foguete de grande porte (nas vizinhanas)

    1018 180

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 15

    Fig. 14 Grfico mostrando a intensidade, o nvel de intensidade e a variao de presso em funo da freqncia. Note que o ouvido humano mais sensvel, em todos os nveis de intensidade, aos sons com freqncias aproximada de 4 kHz. 4 Ondas Sonoras Encontrando Obstculos

    0 comportamento de uma onda sonora ao atingir uma superfcie semelhante quele que ocorre com uma onda luminosa ao incidir, por exemplo, num vidro ou num espelho. Ou seja, ela sofre reflexo e/ou transmisso na interface destes dois meios. O ngulo que uma onda luminosa transmitida e/ou refletida depende dos ndices de refrao destes meios (este assunto melhor estudado num curso de tica); no caso de uma onda sonora, as velocidades das ondas nestes meios, mais especificamente, quem vai dizer o comportamento do raio transmitido e do refletido. Em trs dimenses, a fronteira entre duas regies onde as velocidades so diferentes uma superfcie. A Figura 15 mostra um raio incidindo sobre uma superfcie.

    Fig. 15 Onda atingindo a fronteira de dois meios nos quais a velocidade da onda diferente. Parte da onda refletida e parte da onda transmitida. A mudana na direo do raio transmitido a refrao.

    Quando uma onda sonora incide sobre uma fronteira que separa duas regies onde as

    velocidades da onda so diferentes, esta onda pode ter uma parte refletida e outra transmitida.

    Reflexo dizemos que ocorreu reflexo quando a onda (ou parte dela) refletida.

    Refrao dizemos que ocorreu refrao quando a onda (ou parte dela) transmitida. Veja duas interessantes simulaes nos endereos a seguir: http://surendranath.tripod.com/Twave/TwaveRefTran/TwaveRefTran.html http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/propagation/propagation.html

    v1

    v2

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 16

    O raio (linha reta perpendicular a frente de onda) transmitido aproxima-se ou afasta-se da normal conforme a velocidade da onda no segundo meio seja menor ou maior do que a velocidade no meio inicial. medida que o ngulo de incidncia aumenta (Figura 16), o ngulo de refrao tambm aumenta, at que se atinge um ngulo de incidncia crtico para qual o ngulo de refrao de 90. Se o ngulo de incidncia for maior do que este ngulo crtico, no ocorrer mais refrao, e ocorrer um fenmeno denominado de reflexo total. Este fenmeno utilizado na fabricao de fibras ticas.

    Fig. 16 Variao do ngulo de incidncia.

    Veja uma interessante simulao no endereo abaixo: http://people.deas.harvard.edu/~jones/cscie129/applets/optics/java/totintrefl/index.html

    Difrao- Quando uma onda incide sobre uma barreira provida de uma pequena abertura, passa atravs da abertura propagando-se como uma onda esfrica ou circular. Veja uma um interessante applet sobre difrao no endereo: http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap13/cd372.htm

    Embora as ondas que encontram uma abertura sempre se difratem, a difrao depende de o comprimento de onda ser pequeno ou grande em relao ao tamanho da abertura. Se o comprimento de onda for muito maior do que a abertura os efeitos da difrao so notveis, caso contrrio no ocorre difrao.

    A difrao estabelece um limite na exatido da localizao de pequenos corpos por reflexo de ondas sonoras.

    As ondas sonoras com freqncias acima de 20.000 Hz so os ultra-sons. Os morcegos, por exemplo, emitem e percebem ultras com freqncias da ordem de 120.000 Hz (correspondendo a comprimento de onda de 2,8 mm). Na medicina, os ultra-sons so usados no levantamento de diagnstico. Veja interessante applet sobre este assunto nos seguinte endereo: http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=43 5 O Efeito Doppler

    Quando uma fonte de ondas e o receptor esto em movimento relativo, a freqncia

    observada no coincide com a freqncia emitida. Quando a fonte e receptor se aproximam um do outro, a freqncia observada maior do que a freqncia emitida. Quando os dois se

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 17

    afastam um do outro, a freqncia observada menor do que a emitida. Exemplo bem comum e o da variao da altura do som de um carro quando se aproxima de um observador.

    Considere uma fonte de freqncia 0f em movimento com velocidade su em relao ao meio. As ondas na direo para frente da fonte esto comprimidas, e as emitidas para trs esto mais espaadas (veja figura 17). Seja v a velocidade das ondas em relao ao meio. Esta velocidade depende exclusivamente das propriedades do meio e no do movimento da fonte. Num intervalo de tempo tD , a fonte emite N ondas, onde tfN D= 0 , pois 0f o nmero de

    onda por unidade de tempo ( )tNf D=0 . Fig. 17 Frentes de ondas sucessivas emitidas por uma ponte puntiforme que move para direita com velocidade

    su . Veja uma interessante simulao sobre o efeito Doppler no endereo: http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=45

    A primeira frente de onda avana de uma distncia tvD , enquanto a fonte cobre a

    distncia tusD . O comprimento l de onda na frente da fonte ser a distncia ocupada pelas ondas ( ) tuv s D- , dividida pelo nmero de ondas:

    ( ) ( )

    0

    fuv

    tftuv

    Ntuv s

    o

    ss -=D

    D-=D-=l (46)

    Atrs da fonte temos:

    0

    f

    uv s+=l (47)

    Outra situao aquela em que a fonte est parada e o receptor move-se com velocidade ur. Se

    rv a velocidade relativa entre as ondas (v) e o receptor, o nmero de ondas que passam pelo receptor no tempo tD igual ao nmero de ondas na distncia tvrD (veja Figura 18):

    ( )t

    uvtvN rr D=D=

    ll, (47)

    Valendo o sinal negativo para frente da fonte (receptor se aproximando da fonte) e o

    negativo para trs (receptor se afastando da fonte).

    us

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 18

    Fig. 18 O nmero de ondas que passam por uma receptor estacionrio, durante o intervalo de tempo tD , igual ao nmero de ondas na distncia tvD ( v a velocidade da onda). Se o receptor se aproxima da fonte com velocidade ru , passa tambm pelo nmero extra de ondas na distncia .

    A freqncia observada o nmero de ondas dividido pelo intervalo de tempo:

    ( ) ( )

    l

    l rr uvt

    tuv

    tN

    f=

    D

    D=

    D= (48)

    Se o receptor estiver parado temos 0=ru , a freqncia ser:

    ( ) ( ) 00 11

    f

    vu

    fuv

    v

    fuv

    vvf

    ss

    o

    s =

    === l

    (49)

    A Equao (49) vlida para a fonte em movimento e o receptor estacionrio. Quando a

    fonte est em movimento aproximando-se do receptor, a freqncia aumenta e vale o sinal negativo da Equao (49), caso contrrio freqncia diminui e vale o sinal positivo.

    Se a fonte estiver estacionria, 0

    0 fv== ll , a freqncia observada ser:

    00

    0

    1 fvu

    fvuv

    fv

    uvf rrr

    =

    =

    = (50)

    Combinando as Equaes (46-48) podemos obter uma equao geral:

    00

    01

    1

    f

    vu

    vuf

    uvuv

    fuvuvuv

    fs

    r

    s

    r

    s

    rr

    ==

    ==

    l (51)

    O sinal (negativo ou positivo) determinado a partir do movimento relativo entre fonte e

    receptor. Por exemplo, se a fonte se move na direo do receptor e este tambm se move na direo da fonte, o sinal positivo vale no numerador e o negativo no denominador. Lembrando que a freqncia aumenta quando fonte e receptor se aproximam e diminui quando se afastam.

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 19

    Pode-se mostrar que, se su e ru forem muito menores do que a velocidade da onda v , o deslocamento de freqncia dados, aproximadamente, por:

    ( )vuvu

    ff

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 20

    Fig. 19 Ondas de choque de um veculo supersnico

    Na Figura 20 uma fonte est no ponto 1P , movendo-se para direita com velocidade u . Depois de um certo tempo t , a onda emitida do ponto 1P avanou a distncia vt . A fonte avanou a distncia ut e estar np ponto 2P . A reta que passa pela nova posio da fonte e tangente frente da onda em 1P faz um ngulo q com a trajetria da fonte e se tem

    uv

    utvt ==qsen (52)

    Fig.20 Fonte com velocidade u maior do que a velocidade da onda v. A envoltria das frentes de onda uma superfcie cnica com vrtice na posio da fonte.

    A onda de choque fica confinada num cone cuja abertura aumenta medida que a velocidade da fonte aumenta. O nmero de Mach definido como sendo a razo entre a velocidade da fonte e a velocidade da onda.

    vuMachdeNumero = (53)

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 21

    Exerccios

    1) A funo de onda de uma onda harmnica numa corda ( ) )5,32,2sen(03,0, txtxy -= , x est em metros e t em segundos. a) Em que direo a onda avana e qual a sua velocidade? b) Calcular o comprimento de onda, a freqncia e o perodo da onda. c) Qual o deslocamento mximo de qualquer segmento da corda? d) Qual a velocidade mxima de qualquer segmento da corda?

    2) Uma onda de comprimento de onda de 35 cm e amplitude de 1,2 cm desloca-se ao longo de uma corda de

    15 m, cuja massa de 80 g e sujeita a uma tenso de 12 N. (a) Qual a velocidade e a freqncia angular da onda? b) Qual a energia total mdia da onda na corda.

    3) Nosso ouvido sensvel a sons de freqncias entre cerca de 20 Hz at cerca de 20.00 Hz. Se a velocidade

    do som no ar for de 340 m/s, que comprimentos de onda correspondem a estas freqncias. 4) O diafragma de um alto-falante tem 30 cm de dimetro e vibra a 1 kHz com a amplitude de 0,020 mm.

    Admitindo que a amplitude das molculas de ar nas vizinhanas do diafragma seja tambm de 0,020 mm, calcular a) a amplitude da variao de presso na regio vizinha e frente do diafragma, b) a intensidade do som na frente do diafragma e c) a potncia acstica irradiada pelo diafragma. d) Se a irradiao do som for uniforme no hemisfrio frontal ao diafragma, calcular a intensidade do som a 5 m do alto-falante. e) Por que a hiptese da uniformidade da radiao no hemisfrio frontal no correta?

    5) Um absorvedor acstico atenua de 30 dB o nvel de intensidade sonora. Qual o fato de decrscimo da

    intensidade? 6) Um trem, a 90 km/h, aproxima-se de uma estao onde est um ouvinte e faz soar a sua buzina, cuja

    freqncia de 630 Hz. (a) Qual o comprimento de onda das ondas na frente do trem? b) Qual a freqncia do som percebido pelo ouvinte? Use a velocidade do som como 340 m/s.

    7) Num instante t=0, um avio supersnico est na vertical do ponto P e avana para leste a uma altitude de

    15 km. O estrondo snico ouvido em P quando o avio est 22 km a leste do ponto P. Qual a velocidade do avio?

    8) Sobrevoando um poo do inferno, um demnio observa que os gritos de um condenado em queda com a

    velocidade terminal variam de freqncia de 842Hz a 820Hz. a) Calcular a velocidade terminal do condenado; b) os gritos do condenado refletem-se no fundo do poo. Calcular a freqncia do eco percebido pelo condenado em queda; c) calcular a freqncia do eco percebido pelo demnio. (Tipler 4a Ed., problema 15-115)

    Soluo: Se o condenado em queda est sobre o demnio, ento este o escuta com a freqncia de 842Hz(fonte se aproximando). Ao passar pelo demnio, este escuta-o com uma freqncia de 820Hz (fonte se afastando). Em termos de equaes, temos: ur = 0, pois o demnio est parado. Usando a Equao 51, obtemos:

    00

    3401*820

    1820 fu

    vu

    f ss

    =

    +

    += (fonte se afastando) (1)

    00

    3401*842

    1842 f

    u

    vu

    f ss

    =

    -

    -= (fonte se aproximando) (2)

    resolvendo as equaes acima, obtemos que a freqncia emitida pelo condenado f0 = 830,9 Hz e sua velocidade terminal (us) igual a 4,5m/s. b) O som emitido pelo condenado e que se propaga em direo ao fundo do poo tem uma freqncia de 842Hz. Esta a freqncia que ir ser refletida( pois o fundo do poo est parado). Neste caso, o fim do poo uma fonte estacionria emitindo nessa freqncia. Assim, se o condenado se move em direo a uma fonte (fim do poo) que emite uma freqncia de 842Hz, este perceber o som na seguinte freqncia (Equao 51 com us=0m/s e f0 = 842Hz):

  • Notas de aula - Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 22

    feco = (1 + 4,5/340)*842 = 853Hz. c) O eco percebido pelo demnio igual ao som refletido pois o demnio est parado com relao a fonte que tambm est parada. Ou seja, 842Hz.

    9) Um apito que emite continuamente a 500Hz descreve um crculo de 1 m de raio a 3 rev/s. Qual a freqncia mxima e a mnima percebida pelo ouvinte no plano do crculo, a 5 m do centro do crculo? (Tipler 4a Ed., problema 15-104)

    Freqncia maior: antes necessrio calcular a velocidade escalar do apito, ou seja: v=w.r v = 3.2.p .1 v = 6p m/s. Da Equao 51, temos:

    .529

    3406

    1

    500

    1

    1 0 Hzff

    vu

    vuf

    s

    r =-

    =

    = p

    Para a situao em que o apito move se afastando do receptor, temos:

    .474

    3406

    1

    500

    1

    1 0 Hzff

    vu

    vuf

    s

    r =+

    =

    = p

    Se voc fosse o ouvinte, voc escutaria uma variao na freqncia do som do apito a medida que ele se afastasse ou se aproximasse de voc. Exerccios para casa Vide o livro 4 a edio (captulo 15) De 1 a 8, 23 a 27, 33 a 38, 39 e 40, 51 e 52,68 a 72

    apito

    O apito gira no sentido anti-horrio (suponha), assim, a seta inferior do crculo indica que o som se propaga na direo do ouvinte. Logo, neste caso a freqncia percebida aumenta. A distncia entre o apito e o receptor no influencia no resultado.