apostila modulo i e ii
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Apostila
Projeto Nivelamento Matemática Básica
MóduloI
1. Conjuntos Numéricos.2. Razões.3. Proporções.4. Regra de três.5. Expressões Algébricas.6. Áreas das principais figuras planas.
Módulo II
1. Produtos notáveis.2. Fatoração.3. Equações e Inequações
Módulo I
1. Conjuntos NuméricosSímbolos Lógicos
Símbolo Lógico Leitura∃ Existe | Tal que∀ Para todos; para qualquer; para cada∈∉
Pertence aNão pertence a
Está contidoUnião
Intersecção
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Esta figura representa a classe dos números.
N Naturais
“São todos os números positivos inclusive o zero”
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
“Não há números naturais negativos”
Z Inteiros
“São todos os números positivos e negativos inclusive o zero”
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
No conjunto dos inteiros destacamos os seguintes subconjuntos:
Z* = Z - {0} = {...-3,-2,-1,1,2,3...}
Z+ = {0,1,2,3,4...} (inteiros não negativos)
Z - = {0,-1,-2,-3,-4...} (inteiros não positivos)
Z*+ = {1,2,3,4...} (inteiros positivos)
Z*- = {-1,-2,-3,-4...} (inteiros não negativos)
“Não há números inteiros em fração ou decimal”
Q Racionais
“São todas as decimais exatas ou periódicas diferente de zero”
Q = {...,
−34 ,
12 , ...}
I Irracionais
“São todas as decimais não exatas, não periódicas e não negativas”
I = {..., √2 , π ,
227 , ...}
R Reais
“É a união de todos os conjuntos numéricos, ∴ todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real)”
“Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo e o índice par”
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.
Alguns conjuntos especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
Reunião de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A B = { x: x A ou x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4}.
Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A B = { x: x A e x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
Propriedades dos conjuntos
1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo.
2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A A = A e A A = A
3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A A B, B A B, A B A, A B B
4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A B equivale a A B = BA B equivale a A B = A
5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C
6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A B = B A A B = B A
7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A Ø = A
8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
A Ø = Ø
9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A U = A
10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (B C ) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)
Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A-B = {x: x A e x B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
CAB = A-B = {x: x A e x B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.
2. RazãoConceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que podemos representar das seguintes formas:
As razões acima podem ser lidas como:
razão de a para b a está para b a para bEm qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.
Razão inversa ou recíprocaVejamos as seguintes razões:
e Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.Note que o antecedente de uma é o conseqüente da outra e vice-versa.Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da outra.Agora vejamos as seguintes razões:
e A primeira razão possui os números 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, já a segunda razão possui o número 2 como o seu antecedente e o número 1, omitido, como o seu consequente. Em função disto, pelo antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razões também são inversas uma em relação a outra.Apesar de uma razão ser apresentada na forma de uma fração ou de uma divisão, você pode calcular o seu valor final a fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:A razão de 15 para 5 é 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 é o triplo de 5.Neste outro caso, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal.
Razão centesimalComo visto acima, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal, ou seja, 3 equivale a 75% de4. 75% nada mais é que uma razão de antecedente igual 75 e consequente igual a 100. É por isto é chamada de razão centesimal.
ExemplosO salário de Paulo é de R$ 2.000,00 e João tem um salário de R$ 1.000,00. Qual a razão de
um salário para outro?Temos: Salário de Paulo : Salário de João.Então:
A razão acima pode ser lida como a razão de 2000 para 1000, ou 2000 está para 1000. Esta razão é igual a 2, o que equivale a dizer que o salário de Paulo é o dobro do salário de João, ou seja, através da razão estamos fazendo uma comparação de grandezas, que neste caso são os salários de Paulo e João.
Portanto a razão de um salário para outro é igual a 2.
3. ProporçãoA igualdade entre razões denomina-se proporção.
Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e
somente se, a razão a : b for igual à razão c : d.
Indicamos esta proporção por:
Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.
Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).
A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2).
Podemos então afirma que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo representa uma
proporção:
Lê-se a proporção acima da seguinte forma:
"10 está para 5, assim como 14 está para 7".
Propriedade fundamental das proporções
Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim
sendo, dados os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma
proporção, então o produto de a por dserá igual ao produto de b por c:
Segunda propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o
primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos
está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:
ou
Ou
ou Terceira propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a
diferença dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo
consequente. Temos então:
ou
Ou
ou
Grandezas diretamente proporcionais
São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma
dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duas partes iguais a outra
também é divida à metade.
Exemplo 1
Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. Observe que se dobramos o
número de cadernos também dobramos o valor dos cadernos. Confira pela tabela:
Grandezas inversamente proporcionais
Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas temos que dividir a outra por dois, se triplicamos uma delas devemos dividir a outra por três e assim sucessivamente. A velocidade e o tempo são considerados grandezas inversas, pois aumentarmos a velocidade, o tempo é reduzido, e se diminuímos a velocidade, o tempo aumenta.
Exemplo 2
Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 3 litros cada, quantas serão necessárias?
Utilizaremos 60 vasilhas, pois se a capacidade da vasilha diminui, o número de vasilhas aumenta no intuito de encher o tanque.
As duas grandezas são muito utilizadas em situações de comparação, isto é comum no cotidiano. A utilização da regra de três nos casos envolvendo proporcionalidade direta e inversa é de extrema importância para a obtenção dos resultados.
4. Regra de TrêsRegra de três simplesRegra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)1,2 4001,5 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãodiretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
Uma regra de três simples INVERSA é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.
Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
A · B = K e C · D = K segue que A · B = C · D
logo
Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos:
Velocidade (Km/h) Tempo (s)
180 20
200 T
Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela
acima.
Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.
Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume8 20 1605 x 125
Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
5. Expressões Algébricas
Expressões algébricasSão expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Exemplos:A = 2a + 7bB = (3c + 4) - 5C = 23c + 4As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão algébricaNas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:(1) Potenciação ou Radiciação(2) Multiplicação ou Divisão
(3) Adição ou SubtraçãoObservações quanto a prioridade:(1) Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.(2) A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto . ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.(3) Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido.
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações.
Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: x² + y » 1² + 2 =3 Portando o valor numérico da expressão é 3.
Monômio: os números e letras estão ligados apenas por produtos. Ex : 4x
Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. Ex: 4x+2y
Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais (variáveis) Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z » são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal.
Adição e Subtração de expressões algébricas
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes.
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z
-Convém lembrar dos jogos de sinais.
Na expressão
( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3
Multiplicacão e Divisão de expressões algébricas
Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade distributiva.
Exemplos:
1) a ( x+y ) = ax + ay
2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by
3) x ( x ² + y ) = x³ + xy
» Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.
» Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes Exemplos:
1) 4x² : 2 x = 2 x
2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4
3) =
[Resolução]
6. Áreas das principais figuras planas.
Medidas de comprimento Medidas de Área
Área do quadrado:
Se tratando do quadrado, dizemos que ele é um caso particular do retângulo, sendo que a área S de um quadrado de lado ℓ é S = ℓ . ℓ.
Área do retângulo:
Considerando uma área S de um retângulo como sendo o produto das medidas a e b dos seus lados consecutivos, temos:
Área do trapézio
Considerando um trapézio PQRS, onde suas bases medem B e b e sua altura mede h, podemos dizer que ele equivale ao trapézio P’Q’SR.
A junção destes dois trapézios resulta no paralelogramo PQP’Q, com uma base que mede B + b e uma altura que mede h, onde a área S do trapézio PQRS é considerada a metade da área do paralelogramo.
Área do paralelogramo: Considerando dois triângulos, um com lados RST e outro com lados QPU, sendo eles congruentes através do critério LAA, e equivalentes.
Considerando um paralelogramo PQRS e um retângulo UQRT onde ambos possuem altura h e base b possuindo, portanto a mesma área S.
Área do círculo Considerando uma área S, como sendo a área de um círculo de raio R, teremos:
Observação:
O comprimento da circunferência de raio R é:
Área dos triângulos
Em função da base e da altura Considerando um triângulo PQR, onde a base mede b e a altura mede h, podemos dizer que esse triângulo equivale ao triângulo RQ’P’. Portanto podemos concluir que a área S do triângulo PQR é considerada a metade da área do paralelogramo PQRQ’, onde sua base mede b e sua altura h.
Triângulo eqüilátero Vejamos um triângulo eqüilátero ABC, onde o lado mede ℓ, a área S e a altura h.
Hexágono regular Considerando ℓ a medida do lado de um hexágono regular da figura abaixo, temos:
Módulo II
1. Produtos notáveis.
Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.
(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²
(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²
(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes. Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.
Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.
1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
( a + b ).( a – b ) = a² - b²
2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
( a + b )² = a² + 2ab +b²
3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
( a – b )² = a² - 2ab + b²
Existem muitas outras outras fórmulas:
( a + b ) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³
(a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³
Não freqüentemente usadas:
2. Fatoração.Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.
Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:
1) Fator Comum em evidência
Quando os termos apresentam fatores comuns
Observe o polinômio: ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y) Forma fatorada
Exs : Fatore:
a) bx + by - bz = b.(x+y-z)
b)
c)
d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)
e)
2) Fatoração por agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.
Como por exemplo: ax + ay + bx + byOs dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:
(x+y).(a+b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)
Exs: Fatore:
a) x é fator a é fator (x-3) é fator comum Forma comum comum fatorada
b) é fator é fator (2+a) é fator comum Forma comum comum fatorada
3) Fatoração por diferença de quadrados:
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado
Assim:
Exs: Fatore:
a)
b)
c) Note que é possível fatorar a expressão duas vezes
4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios ( ) e ( ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
Assim: | |
| | 2x 3y
|__________| | 2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de
Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
= » forma fatorada |_______________| Sinal
Logo: = » forma fatorada |_______________| Sinal
Exs:
a)
b)
*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:Exs:
a)
b)
Outros casos de fatoração:
1)
2)
3)
3. Equações e Inequações Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 83a - b - c = 0Não são equações:4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)x - 5 < 3 (Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade)A equação geral do primeiro grau:ax+b = 0
onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:ax = -bdividindo agora por a (dos dois lados), temos:
Considera a equação 2x - 8 = 3x -10 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
Denomina-se equação do SEGUNDO GRAU, toda a equação do tipo ax²+bx+c=0, com coeficientes
numéricos a.b e c com .Exemplos:
Equação a b c
x²+2x+1 1 2 1
5x-2x²-1 -2 5 -1
Classificação:- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.1º caso: b=0Considere a equação do 2º grau incompleta:
x²-9=0 » x²=9 » x= » x= 2º caso: c=0Considere a equação do 2º grau incompleta:x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum xx(x-9)=0 » x=0,93º caso: b=c=02x²=0 » x=0Resolução de equações do 2º grau: A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara. Fórmula de Bháskara:
Propriedades:
Duas raízes reais e diferentes
Duas raízes reais e iguais
Nenhuma raiz real
Relações entre coeficientes e raízes
Inequações de primeiro grau
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:
, , , , como a e b reais . Exemplos:
Resolvendo uma inequação de 1° grauUma maneira simples de resolver uma equação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.Solução:-2x > -7Multiplicando por (-1)2x < 7x < 7/2
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;2. Localiza-se a raiz no eixo x;3. Estuda-se o sinal conforme o caso.Exemplo 1:-2x + 7 > 0-2x + 7 = 0x = 7/2
A resolução de equações do segundo grau se dá, entre outras formas, pela fórmula de Bhaskara:
E agora? Qual seria o significado dos valores encontrados para o conjunto solução? Se a inequação
é , deveríamos escrever a solução como ou ? Que significado isso teria?
Na verdade, resolver a inequação é saber para quais valores de x a
expressão é positiva.
Graficamente, essa expressão, em função de x, é uma parábola, uma função do segundo grau. Se estudarmos o sinal da função do segundo grau, descobriremos para quais valores de x essa expressão é positiva.
Seu gráfico é:
Estudando o sinal da função, temos:
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são ou . E o conjunto
solução da inequação é .
Exercícios:Módulo I
1. Conjuntos Numéricos
1) Determine x para que {1, 1, 2, 3} = {1, x, 3}.
2) Obtenha o conjunto de todos os valores inteiros de k, de modo que k + 17 seja um múltiplo de k –4.
3) Obtenha todos os valores inteiros de k, de modo que 2k + 9 seja múltiplo de k + 2.
4) Se r é um número racional e m um número irracional, podemos afirmar que:
a)r.m é um número racional b)r.m é um número irracional c)r + m é um número irracional
d)(r + 1)m é um número racional e) m2 é um número racional
5) Numa pesquisa realizada com 200 pessoas, 80 informaram que gostam de música sertaneja, 90 música romântica, 55 de música clássica, 32 de músicas sertaneja e romântica, 23 de músicas sertaneja e clássica, 16 de músicas romântica e clássica, 8 gostam dos três tipos de música e os demais de nenhuma das três. Obter o número de pessoas que não gostam de nenhuma das três.
6) Numa Universidade são lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos lêem o jornal X e 60% o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois jornais, calcule o valor que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos.
7) Classifique em V ou F:
8) - Usando ou , complete:
9- Considere as seguintes equações: I. x2 + 4 = 0 II. x2 - 2 = 0 III. 0,3x = 0,1
Sobre as soluções dessas equações é verdade que em:
a) II são números irracionais.
b) III é número irracional.
c) I e II são números reais.
d) I e III são números não reais.
a )−π ___ R− b )2.66 ____ R c )√−9 ____ R d )−√16 ___ R
e) II e III são números racionais.
10- Dados dois conjuntos E e F, sabe-se que:
1o) 45 elementos pertencem a pelo menos um dos conjuntos;
2o) 13 elementos pertencem a ambos;
3o) F tem 8 elementos a mais que E.
Quantos elementos possui cada um desses
conjuntos?
11) Foram consultadas 500 pessoas sobre
as emissoras de TV a que habitualmente
assistem. Obteve-se o seguinte resultado:
300 pessoas assistem ao canal Z, 270
assistem ao canal W e 80 assistem a outros
canais distintos de Z e W.
a)Quantas pessoas assistem aos dois
canais?
b) Quantas pessoas assistem somente ao
canal W?
c) Quantas pessoas não assistem ao canal
Z?
12) Observe os números abaixo e
responda as questões:
-27 ;
35 ;
324 ; -1,353535....;
√2=1,41423562...; π ; 8
A)Qual desses números pertence ao conjunto dos números naturais?
B) Qual desses números pertence ao conjunto dos números inteiros?
C) Quais números são racionais?
D) Quais números são irracionais?
E) Quais números são reais?
13) Considere o diagrama a seguir e complete:
a) B ¿ C =
b) A ¿ B =
c) A ¿ C =
d) A ¿ B C =
e) A B =
f) A C =
g) B C =
14) Nas sentenças abaixo, assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas:
I) {2} ∈ {0; 1; 2}
II) ⊂ {5; 6; 7}
III) ∈ { ; 4}
IV) 5 ∈ }3; {5; 1}; 4}
V) {5; 6} ⊃ {5; 6; 7}
Nesta ordem, a alternativa correta é:
a) F, V, V, F, F
b) V, F, F, V, F
c) F, V, V, F, V
d) V, F, F, V, V
15) Sendo A = {{1}; {2}; {1;2}} pode-se afirmar que:
a) {1} ∉ A
b) {1} ⊂ A
c) {1} ¿ {2} ⊄ A
d) 2 ∈ A
e) {1} ¿ {2} ∈ A
16) Se M = {1; 2; 3; 4; 5} e N são conjuntos tais que M¿ N = {1; 2; 3; 4; 5} e M ¿ N = {1; 2; 3}, então o conjunto N é:
a) Vazio
b) Impossível de determinar
c) {4; 5}
d) {1; 2; 3}
e) {1; 2; 3; 4; 5}
17) (FGV – SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A é:
a) 8
b) 256
c) 6
d) 128
e) 100
18) Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem de samba nem de rock?
a) 800
b) 730
c) 670
d) 560
e) 430
19) Sabe-se que os conjuntos A e B têm, respectivamente, 64 e 16 subconjuntos.Se A ¿ B tem 7 elementos, então A ¿ B tem:
a) nenhum elemento
b) três elementos
c) dois elementos
d) um elemento
e) quatro elementos
20) São dados os conjuntosA = {x ∈ IN / x é par}; B = {x ∈ Z / -1
x < 6}; C = {x ∈ IN / x 4}
O conjunto X, tal que X ⊂ B e B – X = A ¿ C:
a) {0; 3; 5}b) {1; 3; 5}c) {0; 1; 3; 5}d) {-1; 1; 3; 5}e) {-1; 1; 3; 5; 6}
2. Razão, Proporção e Regra de Três1. Ao encontrar um amigo, Paulo perguntou-lhe se seu nº de cel ainda era 834-5218. Muito brincalhão, o amigo respondeu-lhe não: “Não. O novo nº é tal que f(x)=x, x=8 e f(x)=2x-1 se x < 7, onde x representa um algarismo do antigo número”. O novo número do telefone do amigo de Paulo é:
a)879-0538 b)812-5438 c)868-0428 d)857-9318 e)934-5219
2. Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130 e o de bicicletas é o triplo do número de automóveis. O número de vepiculos que se encontram no pátio é:
a)50 b)51 c)52 d)53 e)54
3. Um pai tinha 30 anos quando seu filho nasceu. Se multiplicarmos as idades que possuem hoje, obtém-se um produto que é igual a 3 vezes o quadrado da idade do filho. Quais são suas idades?
4. Gastei 2/3 do meu salário, em seguida ¾ do restante e fiquei ainda com R$480,00. O meu salário é:
a)4800 b)4600 c)5760 d)3200 e)5000
5. Num terreno a área construída corresponde a 3/5 da área do terreno e a área livre é de 192m². Então, a área do terreno é:
6. Para abrir uma valeta de 50m de comprimento e 2m de profundidade, 10 operários levam 6 dias. Quantos dias serão necessários para abrir 80m
de valeta com 3m de profundidade, com 16 operários?7. Um fazendeiro repartiu 240 reses entre 3herdeiros na seguinte forma: O 1º recebeu 2/3 do 2º e o terceiro tanto quanto o 1º e o 2º juntos. A parte do 1º é?
8. Uma turma de 20 pessoas foi acampar, levando alimentos suficientes para 21 dias, com 3 refeições diárias. Chegando ao local, encontraram mais 15 pessoas. Por quantos dias terão alimento se fizerem apenas 2 refeições diárias?
9. Num concurso compareceram 200 candidatos dos quais 170 foram aprovados. A porcentagem de reprovados é?
10. (ESCRIT.CEF-1998-FCC) Em 3 dias, 72 000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108 000 bombons?a) 3 c) 4b) 3,5 d) 4,5 e) 5
11. (GUARDA CIVIL METR.-SP-2004-FCC)Um guarda em serviço percorre 22 km em 2 dias, andando 3 horas por dia. Se ele passar a andar 4 horas por dia, mantendo o mesmo ritmo anterior, em quantos dias ele percorrerá 396 km?(A) 23 (C) 25 (B) 24 (D) 26 (E) 27
12. (TÉC.JUDIC.-TRE-ACRE-2003-FCC) Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos
de pagamento de uma empresa em 3 h. Havendo um aumento de 50% no total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o trabalho em 1 hora e(A) 30 minutos. (C) 40 minutos.(B) 35 minutos. (D) 45 minutos. (E) 50 minutos.
16.Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos?
17. Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho?
13.Com 6 pedreiros podemos construir uma parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede?14. Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes?
15. Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirá em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia?
18. Oitenta pedreiros constroem 32 m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias?
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3. Expressões Algébricas
1) Efetue as operações:
a)(2 x+3 )+(−4 x−2)+(7x−4 )=
b)(2 x+3 )−(4 x−9)=
c)(2 x−3)( x2−3 x+5 )=
d)(2 x+ y )2=
2) Efetue as divisões:
a)x3+8 por x+2
b)3 y− y2+2 y3−1 por y−2
3) Efetue as operações:
a) (2 x2−3 x+1)+(2 x−3 )+( 4 x2+5 )
b) (2 x2−6 x−5 )−( x2−3 x−5 )
c) (2 x−1)( x2−3x+5 )
d) ( x−3 y )( x2−3 xy+ y2 )
e) (3 x−1)( x+2)−( x−2 )2
f) 2( x−2 )3−( x−2)2−3( x−2)
4) Luis e Maria resolveram comparar suas coleções de Cd’s. Descobriram que têm ao todo 104 CDs e que se Maria tivesse 12 CDs a menos teria o triplo do nº de CDs de Luis. É possível afirmar que quantidade de CDs que Luis possui é?a) 46 b)40 c)32 d)23
5) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas duas mesas é?a)4 b)5 c)6 d)7
6) Ache o valor de x:
x+2x+3 x+ x4=75
7) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?
8) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais. 9) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):a) 3ax – ax = 8a - 6ab) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
10) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número?
11) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? 12) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40.
13) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48.
14) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número?
15) Calcule o valor numérico das expressões algébricas:
a)
5a−ma2−3m2 para a=4 e m=1
b)
a+b+c5 para a=−3 , b=−9 e
c=−8
c)
a2+b3
b−a para a=−8 e b=−4
16) Calcule o valor numérico de
x+ y1+ xy
para x=12 e
y= 14 .
17) Calcule o valor numérico de
3x2−√ y5−x
para x=−2 e y=16 .
18) Calcule o valor numérico de
5ama+√m
para a=−2 e m=25 .
19) Existe o valor numérico da expressão 5 xx− y para x=2 e y=2? Por quê?
20) Seja a expressão
7 aa−2 , qual é o valor
que a não pode ter?
21) Qual o valor numérico da expressão x2−4x+2
+ x2−3 x+2x−1 , para x=4 y?
4. Áreas Principais Figuras
1) (VUNESP) A área de um triângulo retângulo é 12dm². Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da hipotenusa desse triângulo. a) 2 13dmb) 13 2dmc) 8 3dmd) 10 2dme) 13 5dm
2) Qual a área de um triângulo de lados 8cm, 12cm e 16cm?
3) A área de um retângulo é 18cm² e um de seus lados mede 0,2dm. Qual o seu perímetro em metros?
4) Qual a área de um trapézio de lados paralelos iguais a 10cm e 18cm e altura 6cm?
5) A diagonal de um quadrado mede 7 2cm . Qual a área deste quadrado?
6) Um terreno tem área 450m². Se o seu formato é um trapézio, onde a “frente” e o seu “fundo” são paralelos e iguais a 40m e 50m, qual a distância entre esses lados?
7) Um retângulo tem perímetro de 30m e as medidas de seus lados são números consecutivos. Qual é a área deste retângulo?
8) A área da figura abaixo é (em cm²)
a) 160. b) 180. c) 200. d) 220. e) 240
9) Calcule a área do triângulo destacado, sabendo que ABCD é um retângulo cuja base e altura medem, respectivamente, 12cm e 8cm e que CD está dividido em quatro segmentos congruentes, conforme a figura:
10) (FAAP-SP) Uma praça está inscrita em uma área retangular cujos lados medem 300 m e 500 m, conforme a figura abaixo. Calculando a área da praça, obtemos:
11) (PUC-SP) A área do quadrado sombreado é:
12)Um hexágono regular está inscrito numa circunferência de raio 18 cm. Nessas condições, determine: a) a medida do lado desse hexágono; b) o semiperímetro do hexágono; c) a medida do apótema do hexágono; d) a área desse hexágono 13) (ITE-SP) A área do círculo da figura é:
14) (UC-BA) Na figura abaixo temos dois círculos concêntricos, com raios 5 cm e 3 cm. A área da região sombreada, em cm², é:
15) (MACK-SP) A área do triângulo ABC da figura abaixo é:
16) Uma pizza circular tem área de 706,86 cm2. Qual é a área interna da menor caixa quadrada para transportá-la?
17) Um prato tem 24 cm de diâmetro e um outro tem 30 cm. Em termos de área, o prato menor é quantos por cento do maior?
18) Dada a figura a seguir e sabendo-se que os dois quadrados possuem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a área da parte preenchida?
a) 100. b) 20. c) 5. d) 10. e) 14.
19) A área A de um triângulo pode ser calculada pela fórmula:
onde a, b, c são os comprimentos dos lados e p é o semi-perímetro.
Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centímetros.
20) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é: a) (π/2) + 2 c) π+ 3 e) 2π+ 1 b) π+ 2 d) π+ 4
Módulo II
1. Produtos Notáveis, Fatoração, Equações e Inequações
1) Fatore:
a) 2 x2−10 x
b) 2 x2 y−12xy 2
c) a (x+ y )−b ( x+ y )
d) ax+ay+bx+by
e) x3−x2+x−1
f) a2−1
g) a4−1
h) x2−2xy+ y2
i) x2+2 x+1
j) 4 a2+20ab+25b2
k) 16 x2−56x+49
l) 9 x2+3 xy+ y
2
4
2) Simplifique as frações:
a)
x+3( x+3)2
b)
8( y−5 )2
2 ( y−5 )
c)
2x2 ( x+7 )6 x (x+7 )3
d)
x2−2 x2 x−4
e)
9 y+3 y2
3 y
f)
x2−9x2+6 x+9
g)
4 x2−9 y2
4 x2 y+6 xy 2
h)
x2−xy+3 x−3 yxy+3 y
i)
6 x3+28 x2−10 x12 x3−4 x2
j)
x3−8x2−4
k)
4 x−124 x ( x−3 )
− 2 x−64 x ( x−3)
l)
56( x−1 )
+ 2
9( x−1 )2
11) Resolva as seguintes inequações:
1) −2<3 x−1<42) −3← x<13) −4<4−2x ≤3
4) x+1≤7−3 x<x2−1
5) 3 x+4<5<6−2x6) 2−x<3 x+2<4 x+17) (3 x+3 ) (5 x−3 )>08) (4−2 x ) (5+2x )<09) (6 x−1 ) (2x+7 )≥010) (5 x+2 ) (2−x ) (4 x+3 )>011) (3 x+2 ) (−3 x+4 ) ( x−6 )<012) (4 x−1 ) x ≥013) ( x−2 ) (2 x−4 )≥014) (– x+5 ) (−4 x+20 )<0
15) 2x+1x+2
>0
16) 3x−23−2 x
<0
17) 3−4 x5 x+1
>0
18) (1−2 x ) (3+4 x )
(4−x )>0
19) 3 x+1
(2x+5 ) (5 x+3 )<0
20) (5x+4 ) (4 x+1 )
5 x−4≥0
21) 5 x−33x−4
>−1
22) x−1x+1
≥3
23) 3 x−52x−4
≤1
24) 1x−4
< 2x+3
25) x+1x+2
> x+3x+4
12) (PUC-RIO 2009) Quantas soluções inteiras a inequação x² + x – 20 ≤ 0 admite?
A) 2B) 3C) 7D) 10E) 13
13) (UDESC 2008) O conjunto solução da inequação x² – 2x – 3 ≤ 0 é:
A) {x R / -1 < x < 3}B) {x R / -1 < x ≤ 3}C) {x R / x < -1 ou x > 3}D) {x R / x ≤ -1 ou x ≥ 3}E) {x R / -1 ≤ x ≤ 3}