apostila método numérico - 2007

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Mtodos Numricos Mtodos Numricos com aplicaes computacionais no Matlab Profa. Patrcia Guimares Abramof Julho de 2007 patricia.abramof@etep.edu.br MTODOS NUMRICOS Apresentao do Curso Objetivo Estudar mtodos numricos seus fundamentos tericos analisando suas vantagens e desvantagens na resoluo de problemas de aplicao da Matemtica, Fsica e Engenharia. Justificativa Osmtodosnumricospropostosparaestecursoauxiliamnaresoluode problemas de aplicao em engenharia como exemplo: Pesquisa Operacional Dimensionamento e Simulao de Sistemas Otimizao de Sistemas Controle de Sistemas Programa Consideraes Gerais sobre Mtodos Numricos Erros e Aproximaes Numricas Razes de Funes Reais Interpolao Numrica Integrao Numrica Sistemas de Equaes Lineares Equaes Diferenciais Ordinrias Metodologia Aulas de teoria Aulas de exerccios Aulas de aplicao patricia.abramof@etep.edu.br Critrio de avaliao Trabalhos da aplicao, exerccios e avaliaes individuais. Pontuao Nas U1 e U2: 80% Avaliaes 20% Exerccios AD1 e AD2: Trabalho de aplicao Bibliografia RUGGIERO,MrciaA.G.;LOPES,VeraL.R.ClculoNumrico:AspectosTericose Computacionais. MAKRON Books do Brasil Editora Ltda, 1996. patricia.abramof@etep.edu.br 4 NDICE AULA 1 ..................................................................................................................................6 INTRODUO......................................................................................................................6 Mtodos Numricos............................................................................................................6 Resoluo de Problemas .....................................................................................................7 AULA 2 ..................................................................................................................................9 NOES SOBRE ERROS.....................................................................................................9 ERRO ABSOLUTO (( )E A) ..................................................................................................9 ERROS DE TRUNCAMENTO............................................................................................10 EXERCCIOS.......................................................................................................................14 AULA 3 ................................................................................................................................15 DETERMINAO DE RAZES DE FUNES REAIS ...................................................15 Introduo .........................................................................................................................15 FASE 1: ISOLAMENTO DE RAZES.................................................................................15 FASE 2: REFINAMENTO...................................................................................................18 MTODO DA BISSECO................................................................................................18 MTODO DE NEWTON-RAPHSON.................................................................................21 MTODO DA SECANTE....................................................................................................25 EXERCCIO.........................................................................................................................27 AULA 4 ................................................................................................................................28 INTERPOLAO................................................................................................................28 O CONCEITO DE INTERPOLAO.................................................................................28 INTERPOLAO POLINOMIAL - POLINMIO DE LAGRANGE................................29 EXERCCIOS.......................................................................................................................33 FUNO SPLINE INTERPOLANTE.................................................................................34 SPLINE LINEAR INTERPOLANTE...................................................................................34 SPLINE CBICA INTERPOLANTE ..................................................................................36 Funo de interpolao no Matlab....................................................................................36 EXERCCIOS.......................................................................................................................38 AULA 5 ................................................................................................................................41 INTEGRAO NUMRICA..............................................................................................41 REGRA DO TRAPZIO......................................................................................................41 EXERCCIOS.......................................................................................................................44 REGRA DE SIMPSON........................................................................................................44 EXERCCIOS.......................................................................................................................46 AULA 6 ................................................................................................................................47 RESOLUO DE SISTEMAS LINEARES........................................................................47 Introduo .........................................................................................................................47 MTODO ITERATIVO DE GAUSS-JACOBI E GAUSS-SEIDEL...................................47 Critrio de convergncia ...................................................................................................49 Critrio de parada..............................................................................................................49 Programa em Matlab para soluo por Gaus-Jacobi.........................................................51 patricia.abramof@etep.edu.br 5 EXERCCIOS.......................................................................................................................52 AULA 7 ................................................................................................................................53 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS - EDO........................................................53 PROBLEMA DE VALOR INICIAL EDO DE PRIMEIRA ORDEM..............................53 MTODO DE EULER.........................................................................................................53 EXERCCIOS.......................................................................................................................55 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS....................................................................56 MTODOS DE RUNGE-KUTTA.......................................................................................56 Mtodos de Passo Simples................................................................................................56 PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI..........................................................................56 MTODO DE RUNGE-KUTTA DE QUARTA ORDEM..................................................56 EXERCCIOS.......................................................................................................................59 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE ORDEM SUPERIOR..........................60 MTODO DE RUNGE-KUTTA .........................................................................................60 Mtodo de Quarta Ordem.................................................................................................60 Exemplo de aplicao - Vibrao Forada a Um Grau de Liberdade...............................61 BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................64 patricia.abramof@etep.edu.br 6 AULA 1 INTRODUO Consideraes Histricas Os mtodos numricos so antigos e tm um das primeiras exemplares anotaes do sculo 12a.c que tratam de mtodos de contagem em base quinria. Os babilnios sintetizaram um sistema eficaz de numerao baseado na mudana de posiodossmbolos,almdisso,porvoltadosc4a.c,desenvolveramcomplexos processosalgoritmoscomo,porexemplo,aextraoderaizquadrada,oqueatribudaa homens que viveram bem mais tarde (veja BOYER, Carl; Histria da Matemtica). Oshindusficamcomacriaodosistemadecimaledozerojqueosbabilnios no chegaram a uma definio sobre o mesmo. Modernamentesurgiramosmatemticos:Gauss,DLambert,Laplace,Lagrange, Paschoal, Newton, Stiling e outros. Atualmente,comainvenoeoaperfeioamentodasmquinasdeclculoedos aplicativoseprogramascomputacionais,osmtodosnumricossoaplicadosemvrias reas, entre elas, a engenharia. Assim, pode-se dizer que o clculo numrico visa diretamente aplicaes e contenta-se com mtodos, valores e resultados aproximados, que no to rigoroso em relao aos conceitos como o clculo ordinrio e que comete corretamente o erro, pois se tem o conhecimento da ordem de grandeza do erro cometido. Mtodos Numricos So o conjunto de processos que, isolados ou combinados, nos conduzem a solues particularesdeumcertoproblema,eesseconjuntodesoluesparticularesdevelevara uma soluo geral. Os mtodos numricos tm aplicaes em Matemtica, Fsica, Biologia, economia, engenharia, etc. O clculo numrico tem uma infinidade de mtodos numricos para a resoluo de ummesmoproblema.Paraaescolhadomaiseficiente,deve-seobedeceratrsseguintes critrios: Previso de resultados patricia.abramof@etep.edu.br 7 Capacidade de conduzir os resultados desejados Esforo de clculo despendido para a obteno dos resultados Mtodosnumricosdeaparnciainocentepodemserbemtrabalhososquando executados manualmente. a que o computador se torna til pela sua velocidade e pela sua capacidade de executar automat

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