apostila mecanica dos fluidos

152

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mecanica dos fluidos

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  • UNIVERSIDADE FEDERAL

    MECNICA DOS FLUIDOS

    UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS

    CENTRO DE ENGENHARIAS

    CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

    MECNICA DOS FLUIDOS

    Prof. Dr. Hugo Alexandre Soares Guedes

    Mara Martim de Moura

    Carina Krger Bork

    PELOTAS - RS MARO, 2015

    MECNICA DOS FLUIDOS

    Hugo Alexandre Soares Guedes UFPel

    Colaborao:

    Mara Martim de Moura UFPel

    Carina Krger Bork UfPel

  • 2

    SUMRIO

    UNIDADE 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ....................................................................... 6

    1.1. Introduo ........................................................................................................................................ 6 1.1.1. Aplicaes da Mecnica dos Fluidos ........................................................................................... 6

    1.2. Definio de fludo .......................................................................................................................... 6 1.2.1. Hiptese do Contnuo ..................................................................................................................... 7

    1.3. Classificao dos fluidos .............................................................................................................. 8 1.3.1. Lquido .............................................................................................................................................. 8 1.3.2. Aenforme .......................................................................................................................................... 8

    1.4. Sistemas de Unidades .................................................................................................................... 8 1.4.1. Correlaes ...................................................................................................................................... 9

    1.5. Propriedades dos Fluidos ............................................................................................................. 9 1.5.1. Peso Especfico () ........................................................................................................................ 9 1.5.2. Massa especfica () ou densidade absoluta ............................................................................. 9 1.5.3. Densidade relativa (dr) ................................................................................................................ 10 1.5.4. Volume especfico (Vs) ................................................................................................................ 10 1.5.5. Compressibilidade ..................................................................................................................... 11 1.5.6. Elasticidade () .............................................................................................................................. 11 1.5.7. Capilaridade (h) ............................................................................................................................. 12 1.5.8. Equao Geral dos Gases Perfeitos .......................................................................................... 12 1.5.9. A lei de Newton de Viscosidade ................................................................................................. 13 1.5.10. Viscosidade cintica ou cinemtica () ..................................................................................... 15

    1.6. Exerccios de Aplicao ...............................................................................................................16

    1.7. Exerccios de Reviso ...................................................................................................................18

    UNIDADE 2 A ESTTICA DOS FLUIDOS ........................................................................ 20 2.1. Conceito de Presso ..........................................................................................................................20

    2.2. Transmisso de Presso ...................................................................................................................21

    2.3. Presso Atmosfrica: Experincia de Torricelli ............................................................................22

    2.4. Atmosfera Tcnica: Experincia de Pascal ....................................................................................22

    2.5. Relaes importantes .........................................................................................................................23

    2.6. Presso em torno de um ponto de um fluido em repouso ..........................................................23

    2.7. Lei de Pascal ........................................................................................................................................23

  • 3

    2.8. Teorema de Steven .............................................................................................................................24 2.8.1. Fluido em equilbrio esttico .............................................................................................................. 25 2.8.2. Concluses do teorema ..................................................................................................................... 28 2.8.3. Aplicaes do Teorema de Stevin .................................................................................................... 29 2.8.3.1. Princpio dos vasos comunicantes ................................................................................................ 29 2.8.3.2. Presso e fora no fundo do recipiente ................................................................................ 29 2.8.3.4. Vasos comunicantes com lquidos diferentes ...................................................................... 31 2.8.4. Carga de Presso ......................................................................................................................... 32

    2.9. Exerccios de Aplicao ...............................................................................................................32

    2.10. Exerccios de Fixao ...............................................................................................................35

    UNIDADE 3 MANOMETRIA ................................................................................................... 37

    3.1. Finalidades dos dispositivos ............................................................................................................37

    3.2. Classificao dos dispositivos .........................................................................................................37 3.2.1. Manmetros de coluna lquida .......................................................................................................... 37 3.2.2. Dispositivos mecnicos ou piezmetro ............................................................................................ 42

    3.3. Exerccios de Aplicao ...............................................................................................................43

    3.4. Exerccios de Fixao ...................................................................................................................47

    UNIDADE 4 EMPUXO ............................................................................................................... 53

    4.1. Variao de presso com a profundidade ......................................................................................53

    4.2. Empuxo exercido por lquidos sobre superfcies planas .......................................................56 4.2.1. Conceito de empuxo ..................................................................................................................... 56

    4.3. Fora Hidrosttica Sobre Superfcies Planas ...........................................................................57 4.3.1. Empuxo sobre superfcie plana inclinada (grandeza e direo) ............................................ 57 4.3.2. Ponto de aplicao do empuxo: centro de presso (CP) ....................................................... 58 4.3.3. Profundidade de CP (HP) ............................................................................................................ 60

    4.4. Exerccios de Aplicao ...............................................................................................................61

    4.5. Empuxo sobre superfcies curvas ..............................................................................................65

    4.6. Exerccios de Aplicao ...............................................................................................................67

    4.7. Exerccios de Fixao ...................................................................................................................70

    UNIDADE 5 EQUILBRIO DE CORPOS FLUTUANTES............................................... 74 5.1. Corpos imersos ..............................................................................................................................74

    5.2. Corpos flutuantes ..........................................................................................................................74

  • 4

    5.3. Princpio de Arquimedes ..............................................................................................................75 5.3.1. Critrios de classificao ............................................................................................................. 75

    5.4. Carena ..............................................................................................................................................76

    5.5. Equilbrio dos corpos flutuantes ......................................................................................................76

    5.6. Altura metacntrica () ...................................................................................................................78

    5.7. Exerccio de Aplicao ......................................................................................................................82

    5.8. Exerccios de Fixao ........................................................................................................................83

    UNIDADE 6 CINEMTICA DOS FLUIDOS ....................................................................... 87 6.1. Conceito ...........................................................................................................................................87

    6.2. Mtodos de Estudo ........................................................................................................................87

    6.3. Regimes de Escoamento ..............................................................................................................87 6.3.1. Regime Permanente ..................................................................................................................... 87 6.3.2. Regime Variado ............................................................................................................................ 88

    6.4. Escoamento Laminar e Turbulento.............................................................................................89

    6.5. Trajetria e Linha de Corrente .....................................................................................................90

    6.6. Conceito de Vazo .........................................................................................................................92

    6.7. Conservao de massa .................................................................................................................94 6.7.1. Equao da Continuidade ........................................................................................................... 94

    6.8. Exerccios de Aplicao ...............................................................................................................96

    6.9. Teorema da Quantidade de Movimento .....................................................................................99 6.9.1. Equao Geral da Quantidade de Movimento .............................................................................. 100 6.9.2. Exerccios de Aplicao ................................................................................................................... 101

    6.10. Exerccios de Fixao ............................................................................................................. 105

    UNIDADE 7 EQUAO DE ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE ............. 109 7.1. Tipos de energias mecnicas associadas a um fluido ......................................................... 109

    7.1.1. Energia potencial (Ep) ................................................................................................................ 109 7.1.2. Energia cintica (Ec) .................................................................................................................. 109 7.1.3. Energia de presso (Epr) ........................................................................................................... 110 7.1.4. Energia mecnica total do fluido (E) ........................................................................................ 111

    7.2. Equao de Bernoulli .................................................................................................................. 111 7.2.1. Exerccios de Aplicao ............................................................................................................. 115

  • 5

    7.3. Tubo de Pilot ................................................................................................................................. 117 7.3.1. Presso total ao longo de uma linha de corrente .................................................................. 117 7.3.2. Exerccios de aplicao ............................................................................................................. 118

    7.4. Extenso do Teorema de Bernoulli para os Lquidos Naturais (Fluidos Reais) Perda de Carga 121

    7.4.1. Representao grfica da Equao de Bernoulli para fluidos naturais (reais) ................. 121 7.4.2. Equao da Energia ................................................................................................................... 122 7.4.3. Exerccios de Aplicao ............................................................................................................. 125

    UNIDADE 8 PERDA DE CARGA ........................................................................................ 130

    8.1. Conceito ......................................................................................................................................... 130

    8.2. Regime de escoamento .............................................................................................................. 130 8.2.1. Experincia de Osborne Reynolds ........................................................................................... 130 8.2.2. Nmero de Reynolds (Rey) ....................................................................................................... 131

    8.3. Classificao das perdas de carga ........................................................................................... 133 8.3.1. Perda da carga contnua ou distribuda ou perda por atrito () ........................................ 133 8.3.2. Resistncia das paredes internas do conduto ao escoamento ........................................... 133 8.3.3. Fator de atrito (f) ......................................................................................................................... 134 8.3.4. Frmula Racional ou Universal ................................................................................................. 139 8.3.5. Exerccios de Aplicao ............................................................................................................. 139 8.3.5. Perda de carga acidental ou localizada ou singular (ha)...................................................... 142 8.3.6. Valores K (Perda Localizada) ................................................................................................... 143 8.3.7. Perda de carga devida ao alongamento gradual de seo .................................................. 144 8.3.8. Perda de carga total .............................................................................................................. 145 8.3.9. Exerccios de Aplicao ............................................................................................................. 145

    8.4. Linha piezomtrica e linha de energia nas perdas de cargas distribudas e localizada . 147

    LITERATURA CONSULTADA ............................................................................................... 152.

  • 6

    Unidade 1 Conceitos Fundamentais

    1.1. Introduo

    Mecnica dos Fluidos a cincia que tem por objetivo o estudo do comportamento fsico dos fluidos e das leis que regem este comportamento.

    1.1.1. Aplicaes da Mecnica dos Fluidos

    Ao de fluidos sobre superfcies submersas; barragens; Equilbrio de corpos flutuantes; embarcaes; Ao dos ventos sobre construes civis; Estudos de lubrificao; Transporte de slidos por via pneumtica ou hidrulica; elevadores; Clculo de instalaes hidrulicas; instalaes de recalque; Clculo de mquinas hidrulicas; bombas e turbinas; Instalaes de vapor; caldeiras; Ao de fluidos sobre veculos; aerodinmica.

    1.2. Definio de fludo

    Fluidos so substncias capazes de escoar e que no resistem a foras de cisalhamento ou tangencial.

  • 7

    ForaNormal90 = PressoP = FA

    MecnicadosFluidosedosSlidos

    ForaTangencialoudeCisalhamento = FA

    MecnicadosSlidos

    1.2.1. Hiptese do Contnuo

    Na Engenharia, frequentemente empregamos expresses matemticas cujas dedues baseiam-se no clculo diferencial e integral.

    A matria tem estrutura descontinua, sendo caracterizada pela existncia de vazios. Para facilitar o estudo formula-se a Hiptese do Contnuo:

    A cada ponto do espao corresponde um ponto de fluido. No existem vazios no interior do fluido. Despreza-se a mobilidade das molculas e o espao intermolecular.

    Amostra de slido

    Amostra de lquido

  • 8

    Vazios nos fluidos NO existem. Pode-se aplicar os conceitos de limite, derivada e integral.

    1.3. Classificao dos fluidos

    1.3.1. Lquido

    um fluido que escoa por ao da gravidade at um determinado ponto do recipiente. Praticamente incompressvel. Volume constante. Superfcie livre.

    1.3.2. Aenforme

    Gases e vapores. Ocupam todo o espao do recipiente que o contm. Altamente compressvel e expansvel. Sem superfcie livre.

    1.4. Sistemas de Unidades

    SI CGS MKFS Fora N dyna Kgf (quilograma fora)

    Comprimento m cm m Massa kg g UTM (unidade tcnica de massa) Tempo s s s

    CGS: Sistema de unidades de medidas fsicas, ou sistema dimensional. MKFS: Sistema tcnico. SI: Sistema Internacional de Unidades.

  • 1.4.1. Correlaes

    1 Kgf = 9,811 UTM = 9,81 N = 105 d

    1.5. Propriedades dos Fluidos

    1.5.1. Peso Especfico (

    Em que,

    W peso;

    V volume;

    R a constante universal dos gases e,

    T temperatura absoluta.

    1.5.2. Massa especfica (

    1 N 81 kg dyna

    Propriedades dos Fluidos

    WV lquidos WRT gases

    R a constante universal dos gases e,

    T temperatura absoluta.

    Unidades:

    SI;

    Massa especfica () ou densidade absoluta

    mv e Wv

    mgv

    mv

    g

    9

    CGS;

    Mkfs

  • 10

    =

    Em que, m massa; v volume e, g gravidade.

    Unidades:

    SI;

    CGS;

    Mkfs.

    1.5.3. Densidade relativa (dr)

    dr =

    =

    Unidades: adimensional.

    Fluido de referncia:

    guaHO = 1000 Arar = 1,2

    1.5.4. Volume especfico (Vs)

    Vs =volume

    peso=

    V

    W=

    1

    Unidades:

    SI;

    CGS;

    (Mkfs)

  • 11

    1.5.5. Compressibilidade

    a propriedade do fluido de reduzir seu volume quando se aumenta a presso.

    dV = Vdp

    Em que, coeficiente de compressibilidade cbica; V volume inicial; dp a variao de presso e, dV a variao de volume.

    Unidades:SI;

    CGS;

    (Mkfs)

    Observao!

    O sinal negativo aparece devido s variaes, de sinal contrrio, que ocorrem com p e V. Sua presena acarreta que o valor de ser positivo.

    1.5.6. Elasticidade ()

    a propriedade do fluido de aumentar seu volume quando h diminuio da presso.

    dV =

    Vdp

    Em que,

    = coeicientedeelasticidadevolumtrica.

    Unidades:

    SI;

    CGS;

    (Mkfs)

  • 12

    1.5.7. Capilaridade (h)

    a propriedade de um lquido sofrer elevao ou queda na sua superfcie em contato com o corpo slido. A capilaridade inversamente proporcional ao dimetro.

    Coeso um esforo que ocorre entre as molculas do fluido. Adeso um esforo que ocorre entre o recipiente e o fluido.

    Mercrio gua

    Coeso > Adeso Adeso > Coeso Mercrio no gruda nas paredes do

    tubo. A gua gruda nas paredes do

    tubo.

    h 1D

    Dimetro menor, maior capilaridade

    1.5.8. Equao Geral dos Gases Perfeitos

    pV = WRT

    pVT

    =pV

    T WeRsoiguais

    pT

    =p

    T= R = constante

  • 13

    Em sistemas isotrmicos (T = T), portanto:

    PV = PV

    1.5.9. A lei de Newton de Viscosidade

    Sejam 2 placa paralelas, sendo a de baixo fixa e a de cima mvel, separadas por uma distncia Y. Entre elas existe um fluido.

    A Y Desprezarosefeitosdaborda.

    Figura 1.1: Representao da viscosidade de Newton.

    F

    A V

    Y

    Figura 1.2: Perfil de velocidade.

    =dFdA

    =F

    A= dV

    dY

    Em que, !

    " o gradiente de velocidade;

    o coeficiente de proporcionalidade e viscosidade absoluta ou dinmica.

  • 14

    1.5.9.1. Converso de Unidades

    =FY

    VA

    i) = #$$ = #$

    $ = #

    $ FLT(fora, comprimento, tempo)

    Unidades: %

    SI; %

    CGS; %

    (Mkfs)

    ii) = $$

    $$

    =

    $ MLT(massa, comprimento, temperatura)

    Unidades:

    &

    SI; &

    = poiseCGS;

    &

    (Mkfs)

    Observao!

    1Kg

    ms=

    10'g

    10cms=

    10g

    cms= 10poise

    1.5.9.2. Fluidos Newtonianos e no Newtonianos

    Figura 1.3: Representao dos fluidos Newtonianos e no Newtonianos.

  • 15

    (1) Fluido Newtoniano: relao linear entre e !"

    .

    (2) Fluido No Newtoniano: relao no linear entre e !"

    .

    (3) Plstico: resiste a at um certo limite, quando comea a deformar. (4) Fluido ideal: no precisa de para escoar. (5) Slido ideal: no escoa independentemente da taxa de deformao (!

    ").

    1.5.10. Viscosidade cintica ou cinemtica ()

    =

    Dimenses de :

    #

    $.$

    =

    #$

    Unidades:

    &CGS;

    &(stoke)

    $.$

    =

    $

    Unidades:

    &SIouMkfs

    1.5.10.1. Viscosmetro de cilindros coaxiais

    Mede a viscosidade dinmica.

    =KMt

    L

    Em que,

    M = massa

    t = tempodequeda

    L = comprimentodoio

    K = constantedointrumento

  • 16

    K = f(n, R, R)

    1.5.10.2. Viscosmetro de Saybolt

    Mede a viscosidade cinemtica.

    = 0,002197t 1798t

    Em que,

    = viscosidadecinematica(cm2/s); t = tempodeescoamento(s).

    1.6. Exerccios de Aplicao

    1) Um cilindro contm 0,5 de ar a 30 e a 2/. O ar comprimido at 0,05. Considerando condies isotrmicas, qual a presso do ar comprimido no novo volume e qual o mdulo de elasticidade volumtrica?

  • 17

    2) Duas placas horizontais esto separadas de 1,25cm. O espao entre elas ocupado por leo de viscosidade 14 poise. Calcular a resistncia viscosa no leo quando a placa superior se mover na velocidade de 2,5m/s.

    3) Um eixo de 50mm de dimetro gira num mancal de 51mm de dimetro e 80mm de comprimento com 500RPM. O espao entre o eixo e o mancal ocupado por um leo lubrificante de viscosidade absoluta de 1 poise. Calcular o torque necessrio

    para vencer a resistncia do leo gerada pela viscosidade. V = Wr;W = ; N =

    nmeroderotaeset = tempo.

  • 18

    1.7. Exerccios de Reviso

    1) Em um cilindro de 60 cm de comprimento e 16 mm de dimetro interno, determinar a massa de mercrio ( = 13,6 g/cm) necessria para encher o tubo.

    2) Colocam-se 5 kg de mercrio ( = 13,6 g/cm) em um recipiente em forma de prisma reto, com 100 cm na rea da base. Determinar a altura a que se elevaria o lquido no recipiente. Em seguida, substituindo o mercrio por leo de linhaa (dr = 0,93), obter a altura a que se elevaria igual massa de leo.

    3) Enche-se um frasco at o trao de afloramento com 3,06 g de cido sulfrico. Repete-se a experencia, substituido o cido por 1,66 g de gua. Obter a densidade relativa do cido sulfrico.

    4) A densidade do gelo em relao a gua 0,918. Calcular em porcentagem o aumento de volume da gua ao solidificar-se.

    5) Determinar a variao de volume de 0,04 m de gua a 27C quando sujeito a um aumento de 35 kgf/cm na presso. Dado: mdulo de elasticidade volumtrica da gua igual a 22.750 kgf/cm.

    6) Dos seguintes dados de teste, determinar o mdulo de elasticidade volumtrica da gua, sabendo que a 25 kfg/m, o volume era de 0,03 m, e a 250 kgf/m, o volume passou para 0,0291 m.

    7) Obter o mdulo de elasticidade da gua, em determinada temperatura, sendo que presso de 30 kgf/cm, o volume era de 0,04 m e que a 220 kgf/cm o volume passou para 0,0396 m.

    8) Converter a presso de 610 mm de mercrio para metros de: leo (dr = 0,750); querosene (dr = 0,80); tetracloreto de carbono (dr = 1,59); vinho (dr = 0,990).

  • 19

    Gabarito:

    1) m = 1,641 kg 2) h1 = 3,68 cm; h2 = 53,76 cm 3) dr = 1,843 4) 8,90% 5) dV = -61,54 cm 6) = 73,58 kPa 7) = 1,86 GPa 8) Poleo = 11,06 m; Pquerosene = 10,37 m; Ptetracloreto = 5,218 m; Pvinho = 8,38 m

  • 20

    Unidade 2 A Esttica dos Fluidos

    a parte da Mecnica dos Fluidos que estuda fluidos em equilbrio sujeitos a ao da gravidade e tambm sua interao com os corpos slidos.

    2.1. Conceito de Presso

    Seja uma poro de fluido no interior de um fluido em equilbrio.

    Figura 2.1: Representao de fluido em equilbrio.

    Em que,

    Foesforodevidoaodegravidade; dAoelementodereadaporodoluido; dFn

    ocomponentenormaldeF

    atuandoemdA.

    P = dFndA

    Direo:normalsupercie; Sentido compressodeforaparadentro.

  • 21

    Na maioria das aplicaes, a presso pode ser tratada como um escalar.

    Unidades:

    = PaSI;

    CGS;

    (Mkfs)

    2.2. Transmisso de Presso

    Se a presso medida em relao ao vcuo ou zero absoluto, chamada presso absoluta, quando medida adotando-se a presso atmosfrica como referncia, chamada presso efetiva ou presso manomtrica.

    Figura 2.2: Simplificao das presses (Fonte: BRUNETTI, 2008).

    P(& = P) + P

    Presso manomtrica negativa depresso. Exemplo: suco. Presso absoluta sempre maior que zero.

    A maioria dos medidores de presso indica uma diferena de presso a diferena entre a presso medida e aquela do ambiente (usualmente a presso atmosfrica).

    Por exemplo, uma medida manomtrica poderia indicar 30psi; a presso absoluta seria prxima de 44,7psi. Presses absolutas devem ser empregadas em todos os clculos com a equao de gs ideal ou com outras equaes de estado.

    A seguir so apresentadas as experincias de Torricelli e Pascal para o clculo da presso atmosfrica.

  • 22

    2.3. Presso Atmosfrica: Experincia de Torricelli

    Figura 2.3: Exemplificao da Experincia de Torricelli.

    A presso atmosfrica (ponto A) equilibra uma coluna de mercrio de aproximadamente 76cm de altura. Logo, a presso exercida pela atmosfera equilibra a presso exercida por uma coluna de Hg de 76cm, qualquer que seja a rea da base.

    preciso esclarecer, porm, que a presso atmosfrica no constante. Isto , no sempre que ela equilibra uma coluna de Hg de 76cm. S ser assim quando a presso atmosfrica for medida ao nvel do mar (atmosfera normal).

    2.4. Atmosfera Tcnica: Experincia de Pascal

    Figura 2.4: Exemplificao da Experincia de Pascal.

  • 23

    2.5. Relaes importantes

    Para atmosfera normal ou fsica

    1atmN = 10,33mca = 1,033 Kgfcm

    = 760mmHg

    Para atmosfera tcnica

    1atm = 0,968atmN 1atm = 10mca = 1

    = 10.000

    = 736mmHg = 1bar = 100cbar =

    1000mbar = 14,7PSI = 100.000Pa = 100KPa.

    2.6. Presso em torno de um ponto de um fluido em repouso

    A presso em torno de um ponto fluido contnuo, incompressvel e em repouso igual em todas as direes, e ao aplicar-se uma presso em um de seus pontos, esta ser transmitida integralmente a todos os demais pontos.

    Figura 2.5: Esquematizao da presso em um fluido em repouso.

    2.7. Lei de Pascal

    A presso aplicada num ponto de um fluido em repouso transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido.

    Observe o exemplo a seguir:

  • 24

    P = 1N/cm P = 1,5N/cm P' = 2N/cm P* = 3N/cm

    Figura 2.6: Fluido com superfcie livre atmosfera.

    Com aplicao de uma fora de 100 N, temos:

    P =++

    ,= 20cm

    P = 1N

    cm+ 20

    N

    cm= 21

    N

    cm

    P = 21,5N/cm P' = 22N/cm P* = 23N/cm Figura 2.7: Fluido com aplicao da fora de 100 N por meio do mbolo.

    2.8. Teorema de Steven

    Figura 2.8: Elemento diferencial de fluido e as presses na direo y.

    dF = dF- + dP&

  • 25

    Em que,

    dF = foratotal; dF- = foragravitacional; dP& = foradepressosupercial.

    =M

    V=

    dM

    dV dM = dV

    Em que,

    dV = dxdy(dz); dM = [dxdydz].

    dF- = (dM)g dF- = g[dxdydz]

    Em que,

    govetorgravidadelocal; massaespecica; dV = dxdydzovolumedoelemento.

    2.8.1. Fluido em equilbrio esttico F = presso P = Px, y, z F = 0

  • 26

    PE = P +P

    Yye y = P + P

    Y dy

    2

    PD = P +P

    Yyd y = P + P

    Y dy

    2

    dFps = P ./.0

    .1

    dydz + P + ./

    .0.1

    dydz+ P ./

    .".

    dxdz()

    + P + ./."

    .

    dxdz +

    P PZ

    .dz

    2dxdyk + P + P

    Z.dz

    2dxdy k!

    Desmembrando a equao diferencial no eixo x, temos:

    Pdydz .2.1

    13

    Pdydz .2

    .1

    13

    =

    .2

    .1dxdydz

    Agrupando todas as equaes, temos:

    dFps = px

    + py

    + pz

    k" dxdydz gradienteP = P = p

    x + p

    y + p

    zk"

    P = ..1 + .

    . + .

    .3k" P

    dFps = pdxdydz dF = dFG + dFps = gdxdydz + pdxdydz

  • 27

    dF = p + gdxdydz dF = p + gdV

    dFdV

    = p + g equilbrioesttico dFdV

    = 0

    p + g = 0 Em que,

    paforadepressolquidaporunidadedevolumeemumponto; gaforagravitacionalporunidadedevolumeemumponto.

    p

    x+ gx = 0 eixox

    p

    y+ gy = 0 eixoy

    p

    z+ gz = 0 eixoz

    Como,

    gx = gy = 0 px

    =p

    y= 0

    Portanto,

    p

    z= gz

    gz = g

  • 28

    p

    dz= g p

    z= g

    dp

    dz=

    P

    Z= P

    h=

    Em que,

    h a altura, profundidade.

    P = h

    2.8.2. Concluses do teorema

    a) Na diferena de presso entre dois pontos no interessa a distncia entre eles, mas sim a diferena de cotas.

    b) A presso dos pontos num mesmo plano ou nvel horizontal a mesma, desde que os pontos estejam localizados no mesmo fluido.

    c) O formato do recipiente no importante para o clculo da presso em algum ponto.

    d) Se a presso na superfcie livre de um lquido contido num recipiente for nula, a presso num ponto profundidade (h) dentro do lquido ser dada por: = .

    e) Nos gases, como o peso especfico pequeno, se a diferena de cota entre dois pontos no for muito grande, pode-se desprezar a diferena de presso entre eles.

    Lei de Steven ou Lei Fundamental da

    Hidrosttica

  • 29

    2.8.3. Aplicaes do Teorema de Stevin

    2.8.3.1. Princpio dos vasos comunicantes

    As superfcies livres de um lquido em equilbrio contido em recipientes interligados (vasos comunicantes) permanecem sempre horizontais e num mesmo plano, independente da forma dos vasos.

    Devem estar submetido presso atmosfrica.

    Figura 2.9: Vasos comunicantes.

    2.8.3.2. Presso e fora no fundo do recipiente

    Figura 2.10: Representao de presses em recipientes diferenciados.

    p =F

    Aep = h

    F

    A= h F = hA

    P4P

  • 30

    FA

    =FA

    FA = FAequlibrio Se, A > A F > F

    Quanto maior a rea, maior a fora sobre o fundo do reservatrio!

    2.8.3.3. Equilbrio de dois lquidos de pesos especficos diferentes

    Figura 2.11: Equilbrio entre lquidos de pesos especficos diferentes.

    P54P6

    h5 + h57 + P) = h6 + h67 + P) h5 h6 = h67 h57

    h5 h6 h67 + h57 = 0

    h5 h6 = h67 + h57 <

    As camadas se superpem na ordem crescente de seus pesos especficos, sendo plana e horizontal a superfcie de contato.

  • 31

    2.8.3.4. Vasos comunicantes com lquidos diferentes

    Figura 2.12: P1 >> Patm.

    Figura 2.13: Esquema de vaso comunicante relacionando lquidos diferentes.

    >

    p = p

    P)+h = P) + h

  • 32

    h = h

    hh

    =

    hh

    = drelativa

    Fluido de referencia: gua (= 1000 kgf/m) Fluido manomtrico: mercrio (= 13600 kgf/m)

    2.8.4. Carga de Presso

    A presso em um ponto qualquer de um lquido pode ser imaginada como sendo causada pelo peso da coluna vertical do lquido. A altura desta coluna chamada de carga e expressa em termos de metros de lquido.

    No confunda!!!

    P =F

    A (

    kgf

    m)

    h =P

    m

    2.9. Exerccios de Aplicao

    1) Converter a presso de 1,5 kgf/cm em: a) Metro de coluna de gua mca. b) Metro de coluna de mercrio mcHg.

    Sabendo: gua = 1000

    eHg = 13600 =

    .

  • 33

    2) Um mergulhador est trabalhando na profundidade de 20m da superfcie do mar = 1025

    . Um barmetro instalado no nvel do mar acusa a presso de

    760mmHg. Qual a presso absoluta sobre o mergulhador?

  • 34

    3) Seja um tubo com mbolo bem ajustado. Faamos baixar sua face interna num recipiente com lquido e elevamos gradualmente este mbolo. O lquido subir no cilindro atrs do mbolo e se elevar at uma certa altura h em relao a superfcie livre onde atua a presso atmosfrica. a) Qual a altura mxima se o lquido for a gua? b) E se for gasolina? c) Interprete os resultados encontrados.

    Dados: gua = 1000

    ; gasolina = 750

    ; Patm = 1,033

    .

  • 35

    2.10. Exerccios de Fixao

    1) As reas dos dois pistes de uma prensa hidrulica so de 3,00cm2 e 60,00cm2, respectivamente. Desejando-se obter uma fora de 3.000N no pisto maior, qual o mdulo da fora que deve ser aplicada no pisto menor?

    2) Deseja-se construir uma prensa hidrulica para exercer foras de 104N. Qual a rea que dever ter o pisto maior se, sobre o menor, com 39,20cm2, for aplicada uma fora de 40,00kgf?

    3) Os dimetros dos dois pistes de uma prensa hidrulica medem, respectivamente, 2,00cm e 20,00cm. Quantas vezes a fora aplicada no mbolo menor aparecer multiplicada no mbolo maior?

    4) No funcionamento de um elevador de automveis num posto de servio utilizou-se uma presso de at 5,0kgf/cm2. Qual o peso mximo que poder elevar se o dimetro do pisto maior mede 20,00cm?

    5) Uma prensa hidrulica, que contm um fluido incompressvel, possui dois pistes com reas que esto entre si na razo de 1/10. Pergunta-se:

    a) aplicando no pisto menor uma fora de 2,0kgf, qual a fora exercida sobre o pisto maior?

    b) se o pisto menor baixou 150,00cm, qual foi o deslocamento do pisto maior?

    6) No pisto menor de uma prensa hidrulica, de 10,00cm2, foi aplicada uma fora de 200N, que o desloca 100,00cm. Sendo a rea da seco transversal do pisto maior igual 500,00cm2, determine:

    a) a fora que atua no pisto maior;

    b) o deslocamento do pisto maior;

    7) Para acionar um elevador de automveis, num posto de gasolina, usa-se uma presso de 8,0kgf/cm2. Sabendo que o pisto maior tem um dimetro de 40,00cm e o menor de 4,00cm, determine:

  • 36

    a) a presso transferida para o pisto maior; b) o peso mximo que pode ser elevado; c) a fora aplicada no pisto menor; d) a razo entre o deslocamento do pisto menor e o maior.

    8) O mbolo maior de uma prensa hidrulica apresenta 1,00m2. Qual dever ser a rea, em cm2 , da seo reta do mbolo menor para que a fora aplicada seja multiplicada por 1.000?

    Gabarito:

    1) F = 150N 2) A = 9993,1cm 3) F2 = 100 x F1 4) F = 1570,8kgf 5) (a) F = 20kgf; (b) d = 15cm 6) (a) F = 10000N; (b) d = 2cm 7) (a) F = 8,0kgf; (b) F = 10047kgf; (c) F1 = 100,5kgf; (d) d1 = 100 x d2 8) A = 10 cm

  • 37

    UNIDADE 3 MANOMETRIA

    a parte da Mecnica dos Fluidos responsvel pela medio da presso.

    Os dispositivos que usam colunas de lquido em tubos verticais (ou inclinados) para medio de presso so denominados manmetros.

    3.1. Finalidades dos dispositivos

    Controle de vazo; Verificar condies de funcionamento das instalaes; Determinar alcance de jatos; Calcular esforos sobre paredes de recipientes; Determinar o potencial de gua no solo.

    3.2. Classificao dos dispositivos

    3.2.1. Manmetros de coluna lquida

    3.2.1.1. Piezmetro simples ou manmetro aberto

    Tipo mais simples de manmetro consiste de um tubo vertical, aberto na parte superior e fixado a um recipiente cuja presso se deseja determinar.

    P5 = h

  • 38

    Figura 3.1: Manmetro aberto ou piezmetro.

    3.2.1.1.1. Limitaes do Piezmetro

    Embora simples e precisos, os tubos piezomtricos tm as seguintes limitaes:

    a) S mede presses maiores que a atmosfrica. b) A presso medida deve ser relativamente baixa para proporcionar pequenas

    alturas da coluna do liquido. c) O fluido cuja presso deve ser medida deve ser um lquido e no um gs. d) O dimetro do tubo deve ser maior que 1cm.

    3.2.1.2. Manmetro de tubo em U

    Figura 3.2: Manmetro de tubo em U.

  • 39

    Consiste na insero de um tubo transparente contendo lquido indicador ou manomtrico. utilizado para medir altas ou baixas variaes de presses.

    Finalidades do liquido indicador: aumentar ou diminuir o comprimento da coluna liquida.

    Qualidades do liquido indicador: apresentar densidade bem definida, formar menisco bem definido com o lquido de contato, no ser miscvel com o lquido de contato e, ser de colorao diferente do lquido de contato.

    Figura 3.3: Manmetro de tubo em U, para obteno da presso em A.

    Mtodo 1

    P = Pe #P = P5 + hP = h $ P5 + h = h P5 = h h P5 = h( )

  • 40

    Mtodo 2

    P5 + h h = P) P5 + h h = 0

    P5 = h h P5 = h( )

    3.2.1.3. Manmetro diferencial

    Utilizado para medir a diferena de presso em dois pontos na tubulao.

    Figura 3.4: Manmetro diferencial, verificando diferena de presso entre A e B.

    P5 + x + y + h 'h y = P6 P5 P6 = h' + h (x + y + h)

  • 41

    3.2.1.4. Manmetro de tubo inclinado

    Usado na medio de pequenas presses ou pequenas diferenas de presso. Permite o aumento na preciso da leitura manomtrica.

    Figura 3.5: Manmetro inclinado sem fluido indicador.

    P = h

    sin =h

    L h = L sin

    P = L sin

    Figura 3.6: Manmetro inclinado para medir diferena de presso entre dois pontos

    P = P

    x + P6 = h + y + P5

    P6 P5 = h + y x

  • 42

    3.2.2. Dispositivos mecnicos ou piezmetro

    3.2.2.1. Manmetro de Bourdon

    Consiste de um tubo metlico de seo transversal (seo reta) elptica que tende a se deformar quando a presso P aumenta. Possui baixa preciso.

    Figura 3.7: Manmetro de Bourdon.

    3.2.2.2. Transdutor de presso

    O termo "medidor de presso" refere-se usualmente a um indicador que converte a presso detectada, num movimento mecnico de um ponteiro fixo a um mbolo mvel. Um transdutor de presso pode combinar o elemento primrio de um medidor com um conversor mecnico/eltrico.

    Durante o processo de transmisso de presso, o mbolo multiplicador da fora substitudo por uma membrana flexvel ou um fole que est acoplado a um sistema piso-eltrico (similar a um microfone) que ao se mover produz um pulso eltrico que captado por um ampermetro sensvel (medidor de corrente eltrica), convertendo numa escala para a unidade de presso.

  • 43

    3.3. Exerccios de Aplicao

    1) A tubulao da figura transporta leo = 880 . Um manmetro (M), instalado

    na sua parte superior, indica a presso de 2,05

    . Acoplando-se um manmetro

    de mercrio aberto na sua parte inferior, determinar a deflexo do mercrio

    h.Dado Hg = 13600 = .

  • 44

    2) Um manmetro de mercrio aberto instalado na entrada de uma bomba. Mede-se a deflexo manomtrica encontrando-se 0,4m. Determinar a presso efetiva e absoluta no eixo da tubulao de suco, sendo a gua o lquido succionado. Considere P absoluta igual a 1,0kgf/cm e dimetro de suco igual a 200mm.

  • 45

    3) Um manmetro diferencial apresenta a configurao (a) antes de ser ligado aos reservatrios A e B. Aps ser ligado a A e a B, o manmetro passa a apresentar a

    configurao (b). Sendo PA = 0,12

    ; PB = 0,08

    , determinar os pesos

    especficos dos lquidos manomtricos, considerando constante o dimetro dos tubos e que os reservatrios A e B transportam gua.

  • 46

    4) No sistema abaixo, sabe-se que PA = 1033,6

    ePlocal = 9356,8 . Determinar a presso absoluta em A, o peso especfico e o ngulo .Dados:L = 60cm; h = 10cm; h = 20cm; h = 30cm; = 1000 ; =

    1,201

    .

  • 3.4. Exerccios de Fixao

    1) No ponto R da figura abaixo, a presso efetiva de densidade do lquido E = 1,4. Determinar a densidade do lquido F, desprezandose o peso do ar entre A e C.

    2) No topo do reservatrio da figura abaixo, o manmetro registrade 0,122kgf/cm. Os lquidos de densidades dObter:

    a. as cotas nas colunas piezomtricas A, B e C;b. a deflexo hm do mercrio.

    Fixao

    No ponto R da figura abaixo, a presso efetiva de 960kgf/cm, sendo o a densidade do lquido E = 1,4. Determinar a densidade do lquido F, desprezandose o peso do ar entre A e C.

    No topo do reservatrio da figura abaixo, o manmetro registra0,122kgf/cm. Os lquidos de densidades d1 e d2 no miscveis com a gua.

    as cotas nas colunas piezomtricas A, B e C; do mercrio.

    47

    960kgf/cm, sendo o a densidade do lquido E = 1,4. Determinar a densidade do lquido F, desprezando-

    No topo do reservatrio da figura abaixo, o manmetro registra a presso efetiva no miscveis com a gua.

  • 3) Um aumento de presso no reservatrio R ocasiona um rebaixamento do nvel D para a posio B. Com isso, a gua sobe no tubo inclinado T do micromanmetro, desde o ponto N at C. Sabendo que as sees transversais do reservatrio R e do tubo T tm reas de Adiferena de presso ent

    4) No recipiente fechado da figura abaixo, h gua, leo (os pontos B, C e D, obter as respectivas presses (em mca).

    5) Para o ponto E, indicado na figura, calcular a presso efetiva. Adotar para o mercrio o peso especfico

    Um aumento de presso no reservatrio R ocasiona um rebaixamento do nvel D ra a posio B. Com isso, a gua sobe no tubo inclinado T do micromanmetro,

    desde o ponto N at C. Sabendo que as sees transversais do reservatrio R e do tubo T tm reas de AR = 3200 mm e AT = 80 mm, respectivamente, obter a diferena de presso entre B e C.

    No recipiente fechado da figura abaixo, h gua, leo ( = 895kgf/m) e ar. Para os pontos B, C e D, obter as respectivas presses (em mca).

    Para o ponto E, indicado na figura, calcular a presso efetiva. Adotar para o mercrio o peso especfico = 13600kgf/m.

    48

    Um aumento de presso no reservatrio R ocasiona um rebaixamento do nvel D ra a posio B. Com isso, a gua sobe no tubo inclinado T do micromanmetro,

    desde o ponto N at C. Sabendo que as sees transversais do reservatrio R e = 80 mm, respectivamente, obter a

    = 895kgf/m) e ar. Para

    Para o ponto E, indicado na figura, calcular a presso efetiva. Adotar para o

  • 49

    6) Um leo ( = 880kgf/m) passa pelo conduto da figura. Um manmetro de mercrio, ligado ao conduto, apresenta a deflexo indicada. A presso efetiva em M de 2kgf/cm. Obter hm.

    7) Um leo de peso especfico 1 = 980kgf/m transportado verticalmente de B para C. Calcular a diferena de presso entre os pontos B e C.

  • 50

    8) O recipiente da figura contm 2 lquidos no miscveis, de densidades d1 = 0,95 e d2 = 0,70. O peso do ar na parte superior desprezvel. Supondo que o lquido mais denso se eleve at o nvel N, determinar a leitura do manmetro instalado no topo do recipiente.

    9) Para o manmetro da figura abaixo se conhece o 1 = 830kgf/m, 2 = 1000kgf/m, h1 = 540mm e h2 = 675mm. Supondo que a presso atmosfrica local p0 = 1kgf/cm. Calcular as presses efetiva e absoluta em B.

  • 10) O conduto da figura, transporta gua (tubo em U, cujo lquido manomtrico o mercrio (d = 13,6). Calcular a presso efetiva (em kgf/cm) no ponto B.

    11) Os recipientes R e S contm gua, sob presses de 2,2 kgf/cm e 1,3 kgf/cm, respectivamente. Determinar o valor de h

    O conduto da figura, transporta gua (1 = 1000kgf/m). Ao conduto juntaido manomtrico o mercrio (d = 13,6). Calcular a presso

    efetiva (em kgf/cm) no ponto B.

    Os recipientes R e S contm gua, sob presses de 2,2 kgf/cm e 1,3 kgf/cm, respectivamente. Determinar o valor de hm da deflexo do mercrio.

    51

    = 1000kgf/m). Ao conduto junta-se um ido manomtrico o mercrio (d = 13,6). Calcular a presso

    Os recipientes R e S contm gua, sob presses de 2,2 kgf/cm e 1,3 kgf/cm, da deflexo do mercrio.

  • 12) Um encanamento de eixo horizontal contm gua sob presso e est ligado a um tubo em U, cujo lquido manomtrico o mercrio, ficando sua superfcie livre em nvel com o eixo do encanamento. Sendo h = 74mm a deflexo do Hg, calcular a presso efetiva em B

    Gabarito:

    1) dF = 0,8 2) a) ZF = 908,64m; Z3) PB PC = 483 kgf//m = 0,0483 kgf/cm4) PB = 2,7 mca; PC = 1,6mca; P5) PE = 15420kgf/cm6) hm = 1,62m 7) PB PC = 1680 kgf//m8) PN = 1700 kgf/m 9) Pefetiva = 226,8 kgf/m e P10)PB = 1,542 kgf/cm11)hm = 0,83m 12)PB = 932,4 kgf/m = 0,093 kgf/cm = 0,932 mca

    Um encanamento de eixo horizontal contm gua sob presso e est ligado a um tubo em U, cujo lquido manomtrico o mercrio, ficando sua superfcie livre em nvel com o eixo do encanamento. Sendo h = 74mm a deflexo do Hg, calcular a presso efetiva em B (em kgf/cm; kgf/m, mca e Pa).

    = 908,64m; ZG = 908,48m; ZI = 907,90m. b) hm = 0,62m= 483 kgf//m = 0,0483 kgf/cm

    = 1,6mca; PD = 0,526mca = 15420kgf/cm

    = 1680 kgf//m

    = 226,8 kgf/m e Pabs =10226,8 kgf/m = 1,542 kgf/cm

    = 932,4 kgf/m = 0,093 kgf/cm = 0,932 mca

    52

    Um encanamento de eixo horizontal contm gua sob presso e est ligado a um tubo em U, cujo lquido manomtrico o mercrio, ficando sua superfcie livre em nvel com o eixo do encanamento. Sendo h = 74mm a deflexo do Hg,

    (em kgf/cm; kgf/m, mca e Pa).

    = 0,62m

  • 53

    Unidade 4 Empuxo

    Nos fluidos em repouso, a fora perpendicular superfcie. A presso varia linearmente, aumentado com a profundidade .Para uma superfcie horizontal, temos:

    P = h

    F = PA

    Sendo P a presso uniforme sobre a superfcie e A a rea da mesma.

    Como a presso constante e uniformemente distribuda ao longo da superfcie ento a fora resultante atua no centroide da rea.

    4.1. Variao de presso com a profundidade

    Diagrama de presso para:

    i) Parede Vertical

    Figura 4.1: Presso atuante em parede vertical.

  • 54

    ii) Parede inclinada

    Figura 4.2: Presso atuante em parede inclinada.

    Figura 4.3: Presso atuante em parede com mais de uma inclinao.

  • 55

    iii) Parede vertical com lquido montante e a jusante

    Figura 4.4: Presso atuante em parede com lquido montante e jusante.

    iv) Parede com comporta

    Figura 4.5: Presso atuante em parede com comporta.

  • 56

    4.2. Empuxo exercido por lquidos sobre superfcies planas

    4.2.1. Conceito de empuxo

    Figura 4.6: Representao auxiliar para conceituao de empuxo.

    A presso em :

    P =#

    5 dF = PdA.

    Considerando-se toda a rea A, surgira uma fora resultante, o empuxo.

    F8 = E = %dF5

    = %PdA5

    = % hdA E = h& dA

    5 E = hA = V

    E = W = V Igual ao peso da

    massa fluida sobre a rea plana

    considerada.

  • 57

    4.3. Fora Hidrosttica Sobre Superfcies Planas

    O empuxo (fora hidrosttica) exercido por um lquido sobre uma superfcie plana imersa uma fora perpendicular superfcie e igual ao produto de sua rea pela presso relativa no seu centro de gravidade (C.G.).

    E = hA

    4.3.1. Empuxo sobre superfcie plana inclinada (grandeza e direo)

    Figura 4.7: Representao do empuxo atuando sobre superfcie plana inclinada.

    '( = )'* = +'* Mas,

    = , sin- ./0/'( = +, sin- '* 1 = %'(

    9

    = %+, sin-'*9

    + sin-%,'*9

    Da esttica,

    %ydA = y25

    A

    Logo,

    E = sin y2A

    Momento esttico em

    relao ao eixo 0

    saindo do papel.

  • 58

    Mas,

    y3 sin = h2

    E = h2A

    4.3.1.1. Direo em relao a horizontal

    Figura 4.8: Direo do empuxo em relao horizontal.

    + + 90 = 180

    = 90

    4.3.2. Ponto de aplicao do empuxo: centro de presso (CP)

    Determinado pelo teorema de Varignon: O momento da resultante em relao ao ponto 0 deve ser igual soma dos momentos das foras elementares dF.

    Y2 = Y + I+YA

  • 59

    Figura 4.9: Ponto de aplicao do empuxo.

    Da deduo anterior,

    E = sin y2A dF = y sin dA

    sin y2AY2 = % y sin dAy sin y2AY2 = sin & y5 dA

    I = & y5

    dA

    y3Ay2 = I(1)

    Do Teorema dos Eixos Paralelos,

    I = I+ + Y3A(2) Em que,

    I+ = momentodeinrciaemrelaoaoeixoquepassapeloCG.

    Momento de inrcia em relao

    ao eixo 0.

  • 60

    Igualando (1) e (2) temos:

    Y3AY2 = I+ + Y3A Y2 =

    :

    ";5+

    ";5

    ";5

    Y2 = Y3 + I+Y3A

    4.3.3. Profundidade de CP (HP)

    Figura 4.10: Profundidade do ponto de aplicao.

    h2 = y2 sin

  • 61

    4.4. Exerccios de Aplicao

    1) Determine o CP de uma comporta vertical retangular com lado superior coincidente com o nvel da gua.

  • 62

    2) Determine a fora de presso da gua atuante sobre uma comporta circular inclinada de dimetro igual a 0,5, bem como seu ponto de aplicao.

  • 63

    3) Um recipiente retangular com base de 2,54,0 e altura igual a 6,0 contm querosene de densidade relativa 0,8. Pede-se.

    a) O empuxo na base do recipiente; b) O empuxo nas faces verticais do recipiente.

  • 64

    4) Uma tubulao de 4,0 de dimetro possui uma vlvula de controle. A presso no centro do tubo 2/. Esta tubulao est cheia de densidade relativa 0,7. Pede-se a fora exercida pelo leo e a posio do CP.

  • 65

    4.5. Empuxo sobre superfcies curvas

    Seja a barragem apresentada a seguir.

    Fora elementar

    dF = hdA

    Empuxo

    E = %dF = %hdA5

  • 66

    Componente vertical

    EV = %hdA 1 ( = 5 1 6/78/9:;

  • 75

    5.3. Princpio de Arquimedes

    Seja um corpo slido no interior de um lquido, conforme ilustrao a seguir.

    Figura 5.4: Representao do experimento de Arquimedes.

    Fora atuante na base superior: FB% = hab

    Fora atuante na base inferior:FB: = hab

    Todo corpo imerso sofre um empuxo de baixo para cima igual ao volume de fluido deslocado vezes o peso especfico do fluido.

    E = FB: FB% = hab hab

    E = abh h E = abH E = V

    5.3.1. Critrios de classificao

    Se > W > o corpo afunda sob a ao da fora F = W E, at o fundo do recipiente.

    Se = W = E o corpo est em equilbrio.

    Se < W < o corpo flutua, tal que W = E.

  • 76

    5.4. Carena

    a poro imersa do corpo flutuante. O centro de gravidade (CG) da figura imersa denominado centro de carena, e ponto de aplicao do empuxo ().

    Figura 5.5: Representao do centro de carena.

    5.5. Equilbrio dos corpos flutuantes

    Quando um corpo flutuante sofre uma rotao o devido a uma ao qualquer (ventos, ondas etc.), o binrio formado pelo peso e pelo empuxo tender a uma das trs situaes a seguir:

    i) Centro de massa (G) abaixo do centro de carena (C)

  • 77

    ii) Centro de massa (G) coincidindo com o centro de carena (C)

    iii) Centro de massa (G) acima do centro de carena (C)

    Em que,

    M (metacentro) ponto em torno do qual gira o centro de carena. c = centrodecarena c7 = novocentrodecarena E = empuxonoequilbrio F= = acrscimoedecrscimodeempuxo E7 = composiodeEeF=

  • 78

    Logo, quando G est acima de c temos trs classes de equilbrio:

    a) Estvel quando M est acima de G. b) Instvel quando M est abaixo de G. c) Indiferente quando M coincide com G.

    5.6. Altura metacntrica ()

    a medida da instabilidade da embarcao.

    Seja um flutuante sofrendo uma pequena oscilao. O centro de carena passa de C para C. O empuxo E deve ter efeito equivalente ao sistema de foras formado por E e pelos Fs.

    Figura 5.6: Situao da planta.

  • 79

    O deslocamento de E para faz surgir o momento . O binrio de foras faz surgir o momento . no causa momento em relao .

    F E = 0

    =F

    E(5)

    F = V&(/ F = =b2 xL2 >

    F = b

    4xL

    Em que, b

    2= h;

    x = base.

    tg =xb2

    x = btg2

  • 80

    Substituindo:

    F = b

    4btg

    2L

    F = b

    8tgL(6)

    muito pequeno OA OA m = b2.

    CGA =2

    3h

    d

    2=

    2

    3

    b

    2

    d =2

    3b(7)

    Substituindo (6) e (7) em (5), tem-se:

    = b

    8tg. 2

    3b. 1

    E

    = tg

    E . b'L

    12

    Em que, L o comprimento do maior eixo.

    = tg

    EI(8)

    sen = xm sen = X

    b2

    = tg(paramuito8?@;?

  • 81

    Da figura,

    sen = >=?????

    = senCM2222(9) Igualando (8) e (9) tem-se:

    senCM2222 = tgI CM2222 = tg

    sen E I(muitopequeno)

    CM22222 = EI

    GM2222 = CM2222 CG2222 Em que,

    GM2222 = alturametacntrica. CM2222 = distnciaentreometacentroeocentrodecarena. CG2222 = distnciaentreocentrodecarenaeocentrodegravidade

  • 82

    Observar que,

    Se GM > 0 equilbrio estvel. Se GM < 0 equilbrio instvel. Se GM = 0 equilbrio indiferente. Valores muito altos de GM causam momentos restauradores grandes, com

    desconforto e prejuzo estrutural. Ex.= iates GM entre 0,9 a 1,2 m. Valores muito baixos de GM causam perigo iminente de instabilidade, devido

    possvel m distribuio de carga. Ex. = transatlntico GM entre 0,3 a 0,6m. Da prtica, observa-se em geral: 0,3 GM 1,2m.

    5.7. Exerccio de Aplicao

    1) Uma barcaa de 10m de comprimento7,5m de largura e 2,5m de profundidade, pesando 80t, flutua sobre um lago = 1000

    . A barcaa deve levar em seu

    convs uma caldeira cilndrica de 5m de dimetro pesando 50t. Determine altura metacntrica e anlise a estabilidade do sistema.

  • 83

    5.8. Exerccios de Fixao

    1) Sabendo-se que o deslocamento de um barco o peso do volume de gua deslocado pelo barco (desde a parte inferior at a linha de flutuao), suponha-se que seja de 2500 toneladas o peso total de um barco. Se este passa da gua de um rio ( = 1000 kgf/m) para a gua do mar ( = 1025 kgf/m), determinar a diferena entre os 02 volumes da gua deslocada.

    2) Sejam: V = volume total de um slido flutuante; V = carena, ou volume da parte submersa; 1 = peso especfico do slido; = peso especfico do lquido. Mostrar que V = V/2 se 1 = /2. Neste caso, o centro de gravidade G do slido estar no plano da superfcie livre.

    3) Um tronco de madeira cilndrico de raio r e comprimento L encontra-se semissubmerso na gua.

    a) Mostrar que o peso especfico da madeira 500 kgf/m. b) O que ocorrer ao colocar-se um peso de 01 tonelada, uniformemente distribudo

    na aresta superior do tronco, no caso em que r = 0,5 m e L = 4 m (Sugesto: calcule o peso a ser colocado de tal ordem que a aresta superior do tronco fique tangenciando o nvel dgua (NA)).

    V

    NA

    NA NA

  • 84

    4) Uma pedra possui massa igual a 40 kg no ar e quando imersa na gua possui massa igual a 25 kg. Determinar o volume da pedra e sua densidade.

    5) Um objeto prismtico de 200 mm de espessura por 200 mm de largura e 400 mm de comprimento (perpendicular ao plano do papel) foi pesado na gua a uma determinada profundidade encontrando-se o peso igual a 5 kgf. Qual o seu peso no ar e sua densidade?

    6) A boia cilndrica para balizamento de embarcao tem raio de 1 m na base. Seu peso prprio de 1200 kgf. A boia flutua na gua salgada, cujo peso especfico de = 1025 kgf/m. A boia no homognea, de modo que seu centro de gravidade fica na cota ZG = 0,40 m acima da base inferior. Pretende-se definir uma carga ideal para mant-la estvel. Inicialmente coloca-se um peso P = 250 kgf no seu topo. Com as informaes descritas solicita-se:

    a) Determinar o volume de gua deslocado; b) A profundidade de imerso; c) A cota do centro de carena em relao a base inferior; d) a cota da altura metacntrica GM (Dado I = r4/4); e) Faa a anlise da estabilidade do conjunto boia e peso.

    25 kg

    E

    NA

    NA

    40 kg

    E

    W

    5 kgf

  • 85

    7) Uma caixa de concreto armado tem 70 m na seo de flutuao, pesa 26 tf e colocado na gua do mar (dr = 1,025). Adicionando-se 2,4 tf de lastro, a seo de flutuao desce de h e continua com a rea indicada. Calcule h.

    8) Uma pedra (dr = 2,250) apresenta o peso de 18 kgf no ar. Em seguida a pedra totalmente imersa na gua. Obter:

    a) o volume de gua deslocado; b) o peso da pedra quando totalmente imersa.

    9) Em uma doca flutuante, com 5200 tf de peso, desloca-se uma carga de 12,5 tf ao longo dos 10 m de largura do convs, o que provoca uma inclinao de 207 na doca. Calcular a altura metacntrica.

    10) A seo de flutuao de um navio de 480 m. Adicionando-se determinada carga, a seo desce 8,0 cm e continua com a rea indicada. Sendo = 1025 kgf/m o peso especfico mdio da gua do mar, determinar o peso correspondente carga adicionada?

    NA

    Peso P

    M

    G

  • 86

    Gabarito:

    1) V = 61 m 3) Com o peso, o tronco no fica totalmente imerso. 4) 0,015 m; dr = 2,67 5) W = 21 kgf; dr = 1,31 6) a) 1,415 m; b) 0,45 m; c) 0,225 m; d) 0,38 m. 7) 400 mm 8) a) 0,008 m; 10 kgf 9) 1,35 m 10) 39,36 tf

  • 87

    UNIDADE 6 Cinemtica dos Fluidos

    6.1. Conceito

    a parte da Mecnica dos Fluidos que estuda o movimento e a vazo de uma massa fluida entre superfcies delimitadas sob a ao da gravidade ou presso externa.

    6.2. Mtodos de Estudo

    Lagrangeano: descreve o movimento de cada partcula, acompanhando-a em sua trajetria total.

    Euleriano: consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seo ou um volume de controle no espao e considerar todas as partculas que passam por este local. o mtodo mais utilizado para estudar o movimento de fluidos.

    6.3. Regimes de Escoamento

    6.3.1. Regime Permanente

    aquele em que as propriedades do fluido so invariveis em cada ponto com o passar do tempo. Note-se que as propriedades do fluido podem variar de ponto para ponto, desde que no haja variao com o tempo. Isso significa que, apesar do fluido estar em movimento, a configurao de suas propriedades em qualquer instante permanece a mesma.

    Figura 6.1: Exemplo de regime permanente.

  • 88

    No tanque da Figura 6.1, a quantidade de gua que passa em (1) idntica quantidade de gua que sai por (2); nessas condies, a configurao de todas as propriedades do fluido, como velocidade, massa especfica, presso, etc., ser, em cada ponto, a mesma em qualquer instante.

    O regime permanente pode ser ainda:

    Uniforme: quando a velocidade mdia permanece constante ao longo das sees.

    Q = Q VazoV = V VelocidadeMdiaA = A rea

    No uniforme: quando o movimento dito acelerado ou retardado.

    Q = QV < V A > AV > V A < A

    6.3.2. Regime Variado

    aquele em que as propriedades do fluido em alguns pontos ou regies de pontos variam com o passar do tempo.

    Figura 6.2: Exemplo de regime variado.

    muito comum em Mecnica dos Fluidos e em Hidrulica trabalhar com reservatrios de grandes dimenses. Denomina-se reservatrio de grandes dimenses um reservatrio do qual se extrai ou no qual se admite fluido, mas, devido sua dimenso transversal muito extensa, o nvel no varia sensivelmente com o passar do tempo.

  • 89

    Em um reservatrio de grandes dimenses o nvel mantm-se aproximadamente constante com o passar do tempo, de forma que o regime pode ser considerado aproximadamente permanente.

    6.4. Escoamento Laminar e Turbulento

    Laminar: aquele em que as partculas se deslocam em lminas individualizadas, sem troca de massa entre elas ( velocidade baixa).

    Figura 6.3: Regime laminar em tubulaes.

    Turbulento: aquele em que as partculas apresentam um movimento aleatrio macroscpico, isto , a velocidade apresenta componentes transversais ao movimento geral do conjunto do fluido (velocidade alta).

    Figura 6.4: Regime laminar em tubulaes.

    No regime laminar a velocidade mxima ocorre no centro da tubulao, junto s paredes da tubulao a velocidade nula (condio de aderncia).

    Figura 6.5: Lei Parablica Lei de variao de velocidade.

    V1 = 2V RegimeLaminar

    (1) Velocidade nula

    (2) Velocidade mdia (V)

    (3) Velocidade mxima

  • 90

    No regime turbulento, como ocorre maior intercmbio de quantidade de movimento no sentido transversal, a velocidade mxima :

    Figura 6.6: Lei Logartmica.

    V1 =120V

    98 V1 = 1,224V

    6.5. Trajetria e Linha de Corrente

    Trajetria: o lugar geomtrico dos pontos ocupados por uma partcula em instantes sucessivos, sendo a equao de trajetria dada em funo do ponto inicial, que individualiza a partcula, e do tempo.

    Figura 6.7: Trajetria.

    Linha de Corrente (LC): a linha tangente aos vetores de velocidade de diferentes partculas no mesmo instante. Note-se que, na equao de uma linha de corrente, o tempo no uma varivel, j que a noo se refere a um instante t.

  • 91

    Figura 6.8: Linha de corrente.

    Tubo de Corrente: a superfcie de forma tubular formada pelas linhas de corrente que se apoiam numa Lina geomtrica fechada qualquer.

    :()

    Figura 6.9: Tubo de corrente.

    Se a seo do tubo de corrente for suficientemente pequena, a velocidade do ponto mdio de qualquer seo pode ser tomada como velocidade mdia da seo. Propriedades dos tubos de correntes:

    a) Os tubos de correntes so fixos quando o regime permanente. b) Os tubos de correntes so impermeveis passagem de massa, isto , no

    existe passagem de partculas de fluido atravs do tubo de corrente.

    Outras definies:

    Sistema: poro de matria de massa constante. Um sistema pode mudar a forma e a posio, mas as condies termodinmicas permanecem constantes.

    Volume de controle: regio fixa no espao, em cujo interior podem variar a massa e as condies termodinmicas, mantendo, porm, a forma e a posio.

  • 92

    6.6. Conceito de Vazo

    A vazo em volume pode ser definida por:

    Q =Volume

    Tempo

    Unidades:m'

    s;L

    s;m'

    h

    Q = VolumeTempo

    =AS

    Tempo= A S

    Tempo= AV

    Q = AV

    Essa expresso s seria verdadeira se a velocidade fosse uniforme na seo. Posteriormente ser apresentada uma equao similar a Q = VA definindo a velocidade mdia na seo.

    Considere o tubo de corrente da Figura 6.10:

    Vazo ou Vazo Volumtrica

  • 93

    Figura 6.10: Esquema de um tubo de corrente.

    Q =Massa

    Tempo Q: vazoemmassa

    Unidades:Kg

    s;UTM

    s;Kg

    h

    Q2 =Peso

    Tempo Q2:vazoempeso

    Unidades:Kgf

    s;N

    s;Kgf

    h

    Como, = MassaVolume

    Massa = Volume

    Q = MassaTempo = VolumeTempo Q = VA dQ = VdA

    Q = % VdA

    A quantidade de massa fluida que atravessa a seo dA na unidade de tempo.

  • 94

    6.7. Conservao de massa

    6.7.1. Equao da Continuidade

    Considere o volume de controle abaixo, obtido em um tubo de corrente sobre o qual foram tomadas duas sees transversais perpendiculares ao eixo do tubo.

    Figura 6.11: Esquema de um volume de controle obtido em um tubo de corrente.

    Em que,

    : vetor com direo perpendicular superfcie de controle A, com sentido sempre para fora do volume de controle V.

    A variao de massa (dm) no interior do volume de controle ser igual a diferena de vazo em massa que entra e sai deste volume.

    dm = Qm Qm dm = % VdA % VdA

    Se o regime de escoamento permanente:

    dm = 0 Qm = Qm & VdA = & VdA (10)

  • 95

    Generalizando, para regime permanente:

    VdA = 0 (11) Em que,

    VdA Produtoescalar VdA = VdAcos : nguloformadoentreasdireesdeVedA

    Se o fluido for incompressvel = = e o regime permanente:

    De10, temos % VdA = % VdA &VdA = &VdA (12)

    Ede11, B VdA = 0

    De12: Q = Q = Q' = = Q

    A 1A%VdA = A 1A%VdA Em que,

    1

    A%VdA = V VelocidadeMdiaem1e

    1

    A%VdA = V VelocidadeMdiaem2

  • Logo, a velocidade mdia na seo pode ser obtida por:

    Equao

    6.8. Exerccios de Aplicao

    1) Determinar a velocidade mdia correspondente ao diagrama de velocidades a seguir. Supor que no haja variao de velocidade segundo a direo normal ao plano da figura (escoamento bidimensional).

    Logo, a velocidade mdia na seo pode ser obtida por:

    V$ 1A'VdA Q V$A

    EquaodaContinuidade: , Q QV$A V$A

    Exerccios de Aplicao

    Determinar a velocidade mdia correspondente ao diagrama de velocidades a no haja variao de velocidade segundo a direo normal ao

    plano da figura (escoamento bidimensional).

    96

    $

    -

    Determinar a velocidade mdia correspondente ao diagrama de velocidades a no haja variao de velocidade segundo a direo normal ao

  • 97

    2) O Venturi um tubo convergente/divergente, como mostrado na figura. Determinar a velocidade na seo mnima (garganta) de rea igual a 5 cm2, se na seo de entrada de rea 20 cm2 a velocidade 2 m/s. O fluido incompressvel.

  • 98

    3) Considere o escoamento permanente da gua atravs do dispositivo da figura abaixo. Determinar as componentes da velocidade mdia na seo 3. Considere o fluido incompressvel.

    Dados: A1= 0,09 m; A2 = 0,046 m; A3 = 0,019 m; V!1 = 3m/s; V!2 = 9m/s.

  • 99

    6.9. Teorema da Quantidade de Movimento

    Em inmeros problemas de Mecnica dos Fluidos ocorrem mudanas na grandeza e/ou na direo da velocidade de um fluido em movimento. A grandeza da fora necessria para produzir estas mudanas pode ser determinada por meio da Equao da Quantidade de Movimento.

    Assim, a quantidade de movimento uma grandeza vetorial dada por:

    Q = mv dQ = dVdv(13)

    Impulso para uma partcula de fludo em movimento:

    I = dFrdt14

    Da equao geral da mecnica:

    Fr = ma dFr = mdv

    dt

    dFrdt = dVdv15 I = dQ(16)

    Mas, de (14):

    dFr = dVdvdt

    dV

    dt= dQ(vazo)

    dFr = vdAdv(17)

  • 100

    De (14) e (16):

    dFrdt = dQ dFr = dQ

    dt(18)

    A resultante de todas as foras que atuam sobre um sistema de fluidos igual variao da quantidade de movimento num intervalo de tempo.

    6.9.1. Equao Geral da Quantidade de Movimento

    A fora resultante que age em um sistema igual taxa de variao com o tempo da quantidade de movimento no volume de controle (termo 1) mais o saldo dos fluxos da quantidade de movimento do sistema de controle (termo 2).

    C F = t% dVdv + % v(v. dA)

    Termo 1 Termo 2

    Caso particular da equao da quantidade de movimento para fluidos incompressveis:

    C F = % v(v. dA)

    Teorema da Quantidade de

    Movimento

  • 101

    Exemplos de foras que atuam sobre os fluidos e os corpos slidos:

    contato: presses estticas; gravitacional: peso da massa fluida; internas: atrito e viscosidade; externas: blocos de ancoragem (blocos de concreto)

    6.9.2. Exerccios de Aplicao

    OBS: Vista em Planta! Desprezar o volume e a diferena de cotas.

    1) No tubo de corrente da figura abaixo (fluxo permanente e fluido incompressvel), calcular a fora que o fluido exerce sobre o tubo (F

    ).

  • 102

    2) Consideremos um fluido incompressvel se deslocando em regime permanente atravs do tubo de corrente. Calcule a fora que o fluido exerce sobre o tubo (F

    ). Despreze o atrito nas paredes do tubo.

  • 103

    3) Calcule as foras que o fluido exerce sobre a curva da figura abaixo, sabendo que: = 30cm; Q = 250L/s; P = P = 4kgf/cm.

  • 104

  • 105

    6.10. Exerccios de Fixao

    1) A gua escoa em regime laminar atravs de um conduto cujo dimetro 1,50 m. A velocidade da gua em relao ao tubo dado por Vr = 0,563 r2 (m/s), sendo r o raio da tubulao. Qual a velocidade mdia da gua na sada do tubo, quando seu dimetro reduzido para 0,30 m?

    2) A gua escoa em regime laminar atravs de um conduto de dimetro 1,0 m. Se o perfil de velocidade do fluxo permanente dado por Vr = 3,75 15 r2 (m/s), calcule a vazo de escoamento.

    3) Um fluido com densidade relativa de 1,05 est escoando em regime permanente atravs da caixa retangular da figura abaixo. Determine a velocidade na seo 3. So dados: A1 = 0,05 m2; V1 = 4,0 i m/s; A2 = 0,01 m2; V2 = - 8,0 j m/s; A3 = 0,06 m2.

    4) Um joelho redutor usado para defletir gua ( = 102 utm/m) em um ngulo de 45, uma vazo de 0,40 m3/s. A presso na seo m aior igual a 1,5 kgf/cm2 e a presso na seo menor igual a 133.087 N/m2. Sabendo que os dimetros da seo maior e menor so iguais a, respectivamente, 610 mm e 305 mm, determinar a fora de ancoragem necessria para manter o joelho fixo.

    60 A1

    A2

    A3

  • 106

    5) O joelho defletor do exerccio anterior substitudo por um joelho reversor, conforme apresentado na figura abaixo, de forma que o fluido faa uma curva de 180 antes de ser descarregado na atmosfera, uma taxa de 14 kg por segundo. Determine a nova fora de ancoragem, sabendo que a presso manomtrica na seo de entrada igual a 202,2 kPa e a seo reta do joelho igual a 113 cm2.

    6) A gua escoa em regime permanente atravs do joelho de 90 mostrado na figura. Na entrada, a presso de 221 kPa e a seo reta de 0,01 m2. Na sada, a seo reta de 0,0025 m2 e a velocidade de 16 m/s. A presso na sada a atmosfrica. Determine a fora necessria para manter o joelho fixo.

  • 107

    7) Calcule a fora resultante de reao sobre o joelho redutor da figura, considerando a vazo volumtrica igual a 0,50 m3/s. Dados: A1 = 0,20 m2; P1 = 180 kPa; A2 = 0,05 m2; P2 = 150 kPa; = 60.

    8) A gua escoa pela curva com reduo, figura abaixo, localizada num plano vertical. Os dados a serem considerados so os seguintes: 1 = 1,83 m; 2 = 1,22 m; W = 8.172 kgf; P1 = 2,8 kgf/cm2; P2 = 2,2 kgf/cm2; Q = 8,5 m3/s. Considere o fluxo permanente e o fluido incompressvel. Com essas informaes, calcule as componentes Fx e Fy da fora resultante necessria para manter a curva fixa.

    120 1

    2

  • 108

    9) Um jato de gua encontra uma placa curva fixa, o que faz uma deflexo de 90 para cima, sem deformao do jato. Seu dimetro e sua velocidade mdia so D = 25 mm e V = 35 m/s, respectivamente. Desprezando-se as perdas de energia e o peso do fluido, obter a reao total e suas componentes.

    GABARITO

    1) V = 7,0 m/s 2) Q = 1,48 m3/s 3) V3 = 4,04 i 2,33 j (m/s); v3 = 4,667 m/s 4) F = 36,13 kN 5) F = 2434 N 6) Fx = -2,36 kN; Fy = -639 N 7) Rx = 31 kN; Ry = 10,8 kN; R = 32,8 kN 8) Fx = 907 kN; Fy = 352,21 kN 9) Fx = Fy = 61,34 kfg; F = 86,74 kgf

  • 109

    UNIDADE 7 Equao de Energia para Regime Permanente

    7.1. Tipos de energias mecnicas associadas a um fluido

    7.1.1. Energia potencial (Ep)

    o estado de energia do sistema devido sua posio no campo da gravidade em relao a um Plano Horizontal de Referncia (PHR). Esta energia medida pelo potencial de realizao de trabalho do sistema.

    Seja, por exemplo, um sistema de peso G = mg, cujo centro de gravidade est a uma cota Z em relao a um PHR.

    Figura 7.1: Exemplo de energia potencial.

    Como,

    Trabalho = ForaxDeslocamento W = GZ = mgZ Mas,

    Ep = W

    Ep = mgZ

    7.1.2. Energia cintica (Ec)

    o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um sistema de massa m e velocidade v; a energia cintica ser dada por:

  • 110

    Ec =

    @

    Figura 7.2: Exemplo de energia cintica.

    7.1.3. Energia de presso (Epr)

    Esta energia corresponde ao trabalho potencial das foras de presso no escoamento do fluido.

    Seja, por exemplo, um tubo de corrente. Admitindo que a presso seja uniforme na seo, ento a fora aplicada pelo fluido externo no fluido do tubo de corrente, na interface de rea A, ser F = pA. No intervalo de tempo dt, o fluido ir se deslocar de um ds, sob a ao da fora F, produzindo um trabalho W.

    Figura 7.3: Tubo de corrente.

    Por definio,

    dW = dEpr

    Logo,

    dEpr = pdV ou Epr = & pdV!

    dW = FdS = pAdS = pdV

  • 111

    7.1.4. Energia mecnica total do fluido (E)

    Excluindo-se energias trmicas e levando em conta apenas efeitos mecnicos, a energia total de um sistema de fluido ser:

    E = Ep + Ec + Epr

    E = mgZ +mv

    2+ %pdV(volume)

    !

    Figura 7.4: Escoamento do fluido em torno da energia.

    Fluido escoa da maior energia para a menor energia!

    7.2. Equao de Bernoulli

    A equao de Bernoulli uma relao aproximadamente entre presso, velocidade e elevao, sendo vlida em regies de escoamento incompreensvel e em regime permanente, onde as foras de atrito resultantes so desprezveis. Apesar de sua simplicidade uma ferramenta muito til na mecnica dos fluidos.

    A principal aproximao da deduo da equao de Bernoulli que os efeitos viscosos so desprezivelmente pequenos quando comparados aos efeitos da

  • 112

    inrcia, da gravidade e da presso. Como todos os fluidos tem viscosidade (no existe fluido no viscoso), essa aproximao no pode ser vlida para todos os escoamentos de interesse prtico.

    Em outras palavras, no podemos aplicar a equao de Bernoulli em todos os escoamentos mesmo quando a viscosidade do fluido pequena. Entretanto, a aproximao razovel em determinadas regies de muitos escoamentos de carter pratico. Chamamos tais regies de Regies de Escoamento sem Viscosidade, e enfatizamos que elas so regies nas quais as foras viscosas ou resultantes de atrito so desprezivelmente pequenas quando comparadas as outras foras que atuam sobre as partculas do fluido.

    Desde modo, para deduo da equao de Bernoulli, considere o movimento de uma partcula de fluido no campo de escoamento em regime permanente:

    Aplicando a Segunda Lei de Newton (conservao do momento linear), na direo S, a uma partcula que se movimenta ao longo de uma linha de corrente, tem-se:

    FA = ma&

    Nas regies do escoamento onde as foras resultantes de atrito so desprezveis, as foras significativas que atuam na direo S so a presso (agindo

  • 113

    em ambos os lados) e a componente do peso da partcula na direo S. Portanto, a equao torna-se:

    PdA P + dPdA sen sin = mv dvds

    Sendo que:

    o ngulo entre a normal da linha de corrente e o eixo vertical z naquele ponto;

    Massa(m) = Volume = dAds; PesodapartculadeluidoW = mg = dAdSg = gdAdS; sin = dz ds .

    Substituindo, tem-se:

    dpdA gdAdsdz

    ds= dAdsv

    dv

    ds

    dp gdz = vdv

    dp

    gdz =

    1

    2d(v)

    dp

    +

    1

    2dv + gdz = 0

    Dividindo-se tudo por g, temos:

    dp

    g+

    1

    2gdv + gdz

    g= 0

    Simplificando:

    dp

    +

    1

    2gdv + dz = 0

    =

    ()

    Dividindo-se por

  • 114

    Equao de Bernoulli, para escoamento incompressvel e regime

    permanente.

    Integrando:

    %dp

    +1

    2gdv + dz = contanteaologodeumalinhacorrente

    Considerando o escoamento incompressvel, todos os termos so uma diferencial exata e suas integraes resultam em:

    Em que,

    /

    carga piezomtrica/ carga de presso/carga esttica;

    @

    carga cintica/carga dinmica;

    z carga potencial/carga de posio.

    P

    =

    PV

    V=

    PV

    W=

    Epr

    W energiadepressoporunidadedepeso

    v

    2g=

    mv

    2gm= mv

    2W=

    Ec

    W energiacineticaporunidadedepeso

    z =mgz

    mg=

    Ep

    W energiapotencialporunidadedepeso

    Esta a famosa equao de Bernoulli, usada normalmente em Mecnica dos Fluidos para escoamento em regime permanente e incompressvel ao longo de uma linha de corrente nas regies do escoamento sem viscosidade. O valor da constante

    DE + FBGH + I = JKLMNOLNP

  • 115

    pode ser calculado em qualquer ponto da linha de corrente em que a presso, a massa especfica, a velocidade e a elevao sejam conhecidas.

    A equao de Bernoulli tambm pode ser escrita entre dois pontos quaisquer na mesma linha de corrente como:

    Figura 7.5: Esquema de um fluido ideal.

    P

    +v

    2g+ Z =

    P

    +v

    2g+ Z

    7.2.1. Exerccios de Aplicao

    1) Determinar a velocidade do jato do liquido no orifcio do tanque de grandes dimenses da figura a seguir. Considerar o fluido ideal.

    Para um fluido ideal (terico)!

    V1

    V2

  • 116

  • 117

    7.3. Tubo de Pilot

    Objetivo: determinar a velocidade de escoamento. Como feito: Utilizando a equao de Bernoulli

    P

    +

    v

    2g+ z = cte(xg)

    P + v

    2+ gz = cte

    Cada termo representa algum tipo de presso:

    P = Presso esttica: no incorpora nenhum efeito dinmico.

    @

    = Presso dinmica: representa o aumento de presso quando o fluido em

    movimento colocado em repouso.

    gz = Presso hidrosttica: depende do nvel de referncia selecionado.

    7.3.1. Presso total ao longo de uma linha de corrente

    Ptotal = P + v

    2+ gZ

    Figura 7.6: Tubo de Pitot.

  • 118

    v

    2g>

    v

    2g v

    2g= desprezvel

    Ponto de estagnao V = 0

    V1 = Q2. (Pestag P) Q = V3A

    Laminar = v1 = 2v2 Turbulento =v1 = 1,224v2

    7.3.2. Exerccios de aplicao

    1) Um piezmetro e um tubo de Pitot so colocados em um tubo horizontal transportando gua, como mostra a figura, para medir a presso esttica e de estagnao (esttica + dinmica). Para as alturas de coluna dgua indicadas, determine a velocidade no centro do tubo.

  • 119

  • 120

    2) gua escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supem-se as perdas por atrito desprezveis e as propriedades uniformes nas sees. A rea (1) 20cm, enquanto o da garganta (2) 10cm. Um manmetro, cujo fluido manomtrico mercrio (Hg = 13600

    ), ligado entre as sees (1)

    e (2) indicando o desnvel mostrado na figura. Pede-se a vazo da gua que escoa pelo Venturi (HO = 1000

    ).

  • 121

    7.4. Extenso do Teorema de Bernoulli para os Lquidos Naturais (Fluidos Reais) Perda de Carga

    A experincia no confirma rigorosamente o Teorema de Bernoulli porque os fluidos reais se afastam dos ideais (perfeitos). No movimento dos fluidos reais aparece o efeito da sua viscosidade e do atrito resultando na dissipao de uma parcela de sua energia que transformada em calor.

    A essa energia dissipada denomina-se Perda de Carga (hf), que ser introduzida na equao de Bernoulli.

    E = E + hf P

    +v

    2g+ Z =

    P

    +v

    2g+ Z + hfD

    7.4.1. Representao grfica da Equao de Bernoulli para fluidos naturais (reais)

    Considere o reservatrio de nvel constante ao qual est ligada uma tubulao de dimetro constante com um registro (") na parte final.

    Figura 7.7: Representao grfica da perda de carga.

    =

    =

    = !"#" $#!#%&'!'#

    Reservatrio de Nvel Constante

  • 122

    Registro fechado: pelo princpio dos vasos comunicantes o lquido alcana nos tubos piezomtricos A, B e C o mesmo nvel do lquido no reservatrio. Temos ento o plano de carga efetivo (PCE). Registro sendo aberto: com o registro agora sendo aberto e o nvel do

    reservatrio mantido constante, o lquido comea a adquirir velocidade e escoar pela tubulao. fcil perceber que o nvel de gua nos tubos piezomtricos A,B e C no mais alcanam o nvel do reservatrio.

    Quanto mais afastado do reservatrio mais baixo ser o nvel no tubo piezomtrico. Quanto maior a velocidade (o que se consegue abrindo mais o registro), menor tambm ser o nvel alcanado no piezmetro. Quanto menor o dimetro do tubo, para uma mesma vazo, menor tambm ser o nvel alcanado no piezmetro.

    Unindo-se agora os pontos correspondentes aos nveis alcanados pelo lquido nos piezmetros tem-se a chamada linha piezomtrica (LP): lugar geomtrico das cargas de posio e presso (condies dinmicas do escoamento), sendo a presso referida na escala manomtrica. interessante observar que quando o dimetro constante, ou LP uma reta de declividade constante (o que significa que a perda de carga diretamente proporcional ao comprimento da tubulao de dimetro constante). As alturas h,he h do nvel do lquido nos piezmetros at o PCE chamam-se perda de carga ou perda de presso ou perda de altura ou, ainda, perda de energia.

    7.4.2. Equao da Energia

    Quando se considera o escoamento de um fluido ideal, a equao utilizada a de Bernoulli. Entretanto, se adicionarmos um segundo membro nesta equao, o termo da perda de carga, temos a chamada equao de energia (fluidos reais) utilizada.

    Com efeito, considera-se o esquema a seguir (representao grfica), onde PCE significa (plano de carga efetivo), LCE (linha de carga efetiva): lugar geomtrico

  • 123

    das cargas de posio, presso e velocidade, estando a presso referida na escala manomtrica (condio dinmica de escoamento); LP (linha piezomtrica).

    A LCE se encontra sempre acima, e sempre defasada da LP de @

    . Em

    muitos problemas de natureza prtica, a LCE e LP se confundem por ser @

    muito

    pequeno. A LCE, por representar as condies dinmicas do escoamento, tambm conhecida como LE ou linha de energia. O PCE representa as condies estticas do fluido.

    A perda de carga representada pela declividade da linha de carga efetiva ou a declividade da linha de carga piezomtrica, que o caso usual, sendo as duas linhas paralelas.

  • 124

    Nota-se que a perda de carga agora s pode ser representada pela declividade da linha de energia, quando o dimetro varivel.

  • 125

    De forma geral, a linha de carga efetiva (LCE) ou linha de energia (LE) s pode decrescer ao longo do escoamento, e a linha piezomtrica (LP) tanto pode crescer quanto decrescer ao longo do escoamento.

    7.4.3. Exerccios de Aplicao

    1) A gua escoa pelo tubo indicado na figura, cuja seo varia do ponto 1 para o ponto 2 de 100cm para 50cm. Em (1) a presso de 0,5kgf/cm e a elevao 100m, ao passo que no ponto (2) a presso de 3,33kgf/cm na elevao de 70m. Sabendo que a perda de carga entre os pontos (1) e (2) 0,8mca, calcule a vazo em L/S.

  • 126

    2) Um tubo transportando leo (dr = 0,877) muda de dimetro de 150mm para 450mm. A seo 1-1 est 3,6m abaixo de 2-2 e as presses so respectivamente iguais a 1kgf/cm e 0,6kgf/cm. Se a vazo for igual a 0,150m/s, qual ser a perda de carga e o sentido do escoamento?

  • 127

    7.5. Exerccios de Fixao

    1) Supondo fluido ideal, mostrar que os jatos de dois orifcios na parede de um tanque interceptam-se num mesmo ponto sobre um plano, que passa pela base do tanque, se o nvel do lquido acima do orifcio superior igual altura do orifcio inferior acima da base.

    2) Um tubo de Pitot preso num barco que se desloca a 45 km/h. Qual ser a altura h alcanada pela gua no ramo vertical?

    3) Quais so as vazes de leo em massa e em peso no tubo convergente da figura, para elevar uma coluna de 20 cm de leo no ponto (0)? Dados: desprezar as perdas de carga; leo = 8.000 N/m; g = 10 m/s.

  • 128

    4) Dado o dispositivo da figura, calcular a vazo do escoamento da gua no conduto. Dados: gua = 104 N/m; m = 6 x 104 N/m; P2 = 20 kPa; A = 10-2 m; g = 10 m/s. Desprezar as perdas de carga e considerar o diagrama de velocidades uniforme.

    5) Na extremidade de uma tubulao de dimetro D, encontra-se instalado um bocal que lana um jato de gua (gua = 104 N/m) na atmosfera com dimetro de 2 cm. O manmetro metlico registra uma presso de 20 kPa e a gua sobre no tubo de Pitot at a altura de 2,5 m. Nessas condies, determinar:

    a) a vazo em peso do escoamento; b) o dimetro D do tubo, admitindo escoamento permanente e sem atrito.

    6) 6) No conduto da figura, o fluido considerado ideal. Dados: H1 = 16 m; P1 = 52 kPa; = 104 N/m; D1 = D3 = 10 cm. Determinar: a) a vazo em peso; b) a altura h1 do manmetro; c) o dimetro da seo (2).

  • 129

    7) Um dos mtodos para se produzir vcuo numa cmara descarregar gua por um tubo convergentedivergente, como mostrado na figura. Qual deve ser a vazo em massa de gua pelo convergente-divergente para produzir uma depresso de 22 cm de mercrio na cmara da figura? Dados: desprezar as perdas de carga; gua = 104 N/m; Hg = 1,36 x 105 N/m; g = 10 m/s; D1 = 72 mm; D2 = 36 mm.

    RESPOSTAS

    2) h = 7,8 m 3) Qm = 2,1 kg/s; Qp = 21 N/s 4) Q = 40 L/s 5) a) 22,3 N/s; D = 3 cm 6) Qp = 314 N/s; h1 = 0; c) D2 = 5,7 cm 7) Qm = 8,14 kg/s

  • 130

    UNIDADE 8 Perda de Carga

    8.1. Conceito

    um termo genrico designativo do consumo de energia desprendido por um fluido para vencer as resistncias ao escoamento. Essa energia se perde sob a forma de calor.

    Para se ter uma ideia, seriam necessrios 100 m de tubulao para a gua ter um aumento de temperatura de 0,234 graus centgrados.

    8.2. Regime de escoamento

    8.2.1. Experincia de Osborne Reynolds

    Em 1883 Osborne Reynolds realizou um experimento que mostrou a existncia de dois tipos de escoamento: o primeiro onde os elementos do fluido seguem-se ao longo