apostila matrizesmatrizes 2011 (1)

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C.E.E.E.A. Sesquicentenrio:Prof: Rosngela LgiaDisciplina: Matemtica 2 anoNome:____________________________________________ Turma:_______ Data:___/___/___Matrizes:Estudando as Matrizes:Para auxiliar na representao de informaes ou facilitar clculos complexos, comum a utilizao de tabelas numricas retangulares. Essas tabelas, compostas decerta quantidade delinhas edecolunas, so chamadas na matemtica de MATRIZES.Observe uma tabela indicada em uma planilha eletrnica.Populao em Idade AtivaSexoout 2010Nov 2010dez 2010jan 2011Fev 2011Mar 2011Total 41.449 41.502 41.590 41.653 41.714 41.770Homem 19.164 19.238 19.213 19.241 19.239 19.252Mulher 22.285 22.264 22.377 22.412 22.475 22.518Fonte http://www.sidra.ibge.gov.brPodemos representar essa tabela pela seguinte Matriz:111111]1

3 0 0 2 00 0 0 1 07 0 0 0 02 20 5 3 00 0 0 9 1C Como essa Matriz possuem 4 linhas e 5 colunas, dizemos que de ordem (ou tipo) 4x5 ( l-se quatro por cinco)

Respondam:1. O que correspondem s linhas dessa Matriz? 2. O que correspondemas colunas? 3. O que indica a primeira linha? 4. O que indica a terceira coluna?5.O que indica o elemento localizado na 1 linha e na 3 coluna? Definies de matrizes:1. Chama-se de matriz uma formao do tipon m (l-se m por n) toda tabela de nmeros ou elementos dispostos de m linhas e n colunas. Esta tabela deve ser representada entre parnteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas.Podemos representar genericamente uma Matriz A de ordem mxn, ou seja, com m linhas e n colunas, da seguinte maneira:n mij i ijja a aa a aa a aA11111]1

2 12 22 211 12 11Obs: i posio ensima do elemento na linha e j posio ensima do elemento na coluna. Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz n m(m por n). Na tabela acima a posio de cada elemento ( ) j , i a aij indicada pelo par ordenado ( ) j , i. Indicamos uma matriz A pelos seus elementos como: ( ) [ ]n mj , i a A oun m ij) a ( A.ATIVIDADES1. Escreva a ordem (ou tipo) de cada matriz.a)111]1

2 1 0 51 2 1 02 4 1 3Ab) 111]1

z y x2 2 2 2 00 0 1 c)

,_

532d)

,_

1 25 3Ae) ( ) 5 3 22. Observe a tabela abaixo e responda:Produo agrcola no Brasil(em milhes de toneladas)Ano Arroz Feijo Milho Soja Trigo2004 13,3 3 41,8 49,5 5,82005 13,2 3 35,1 51,2 4,72006 11,5 3,5 42,7 52,5 2,52007 11,1 3,2 52,1 57,9 4,1Fontea) Represente a tabela por uma matriz 4x5.b) Nessa matriz, o que representa:. a 4 linha? A 1 coluna? Oelementoda2 linhacoma3 coluna?3. Na Matriz1111]1

6 3 5 1599 0 2 17 4 3 51 3 10 2A, identifique os elementos:A11 a21 a34A42 a44 a434. Determine a matriz ( )3 2ija A tal que:a) j i aij2 + c) j i aij 2b) j i aij+ 2 d) i j aij2 5. Determine a matriz ( )2 2ija A tal que:a) 'j i s e ,j i s e ,ai j01 c) ' j i s e ,j i s e ,ai j11b) 'j i s e ,j i s e ,ai j10 d) ' +j i s e , j ij i s e , j iai j6. Dada a matriz111]1

2 1 0 51 2 1 02 4 1 3A, determineasomadoselementos ijatais que:a) 4 +j ib) 3 +j ic) 1 j id) j i 7. Represente explicitamente a matriz ( )3 3ija A tal que '>j i s e , j l o gj i s e ,is e nai j228. O retngulo abaixo tem lados medindo 4cm e 8cm.ConstruaamatrizA=aijtal queaijsejaigual distncia entre i e j9. Observe a figura abaixo:Construaamatrizassociadaaodiagramanaqual 2 ijase os pontosie jestiverem ligados ou se j i ,e1 ijase os pontosiejno estiverem ligados.10. Pelo cdigo anterior construa a matriz 5 5associada figura abaixo: 11.Dadas as matrizes ( ) j i a / a Aij ij 22 3 e( ) j i b / b Bij ij2 32 3+ , escreva a lei de formao da matriz:a) B A C + b) B A D c) A E 2 Dependendo de certas caractersticas, algumas matrizes recebem nomes especiais Matriz Linha : Quando m = 1 Ex.: (13-6). Matriz Coluna : Quando n = 1 Ex.:

,_

531A Matriz quadrada : a que tem o nmero de linhas igual ao nmero de colunas, isto ,n m .Matriz4 4 de nmeros reais Ex.: A=1111]1

374 58 406 4640 464 90 9058 0 0 406316 316 374 0Apenasa matrizquadrada possuemdiagonais (principal esecundria), adiagonal principalda matriz indicada pelos elementos da forma ( ) j , i a onde j i . Matrizdiagonal :aque tem elementos nulosfora dadiagonalprincipal.Alguns elementos dadiagonal principal podem ser nulos.Ex.: Matriz diagonal com Trs linhas e trs colunas: Matriz nula : aquela que possui todos os elementos iguais a zero.Ex.: Matriz nula com trs linhas e duas colunas: Matriz identidade:denotada por Id ou In, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.Ex.: I2 =

,_

1 00 1 Matriz Triangular: aquela que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal so todos nulos. Ex.: Matriz triangula inferiorMatriz triangula superior Matriz transposta: denotada deTA , aquela em que dada uma matriz n m ij) a ( Atemos m n jiT) b ( A tal queji ijb a. De uma maneira mais clara, o que coluna e linha na matriz A passa a ser linha e coluna na matriz AT, respectivamente.2 6 10 -5 -90 0 33 0 0 0 -6 05 0 00 00 00 02 0 00 -5 00 0 0A=AT = Matriz Simtrica : aquela que a matriz A igual a matriz AT, ou seja TA A A = = AT =Exerccio de aprendizagem1.Classifique cada matriz em quadrada, triangular, diagonal, identidade, nula, linha ou coluna.

,_

4 3 20 1 01 0 1AA =

,_

1 00 1

,_

4 3 20 1 01 0 1A

,_

4 3 20 1 01 0 1A

,_

4 3 20 1 01 0 1A( ) 2 5 1 B2.Calcule o produto dos elementos da diagonal principal da Matriz

,_

4 3 20 1 01 0 1A3.Dada a matriz

,_

1 2 43 1 02 0 5A, calcule a diferena entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria.4. Determine a matriz transposta de:

,_

1 2 43 1 02 0 5A

,_

7 04 1BC =

,_

5325. Uma matrizA simtrica se, e somente se, TA A . Obtenha os nmeros reaisxey, sabendo que a matriz: 111]1

53 34 9 02x yx A simtrica.6. Classifique cada afirmao como V ou F:( )Toda matriz identidade necessariamente quadrada ( )Existe matriz identidade que no quadrada( )Toda matriz nula necessariamente quadrada( ) Existe matriz nula que no quadrada ( )( ) A ATT, qualquer que seja a matriz A ( )A AT, qualquer que seja a matriz A ( )Se a matriz A do tipo 2x3, ento TA do tipo 3x2 7. Umaindstriatxtil vai fabricar tecidos com fios diferentes. Na matriz abaixo, ijaquantos rolosdefiojseroempregadasparafabricar uma pea do tecido tipo i.

,_

1 2 43 1 02 0 5Aa)Quantosrolosdefio3seroempregadospara produzir o tecido tipo 2?b)Quantosrolosdofio1seroempregadospara fabricar cinco peas de tecido tipo 1,quatro peas do tipo 2 e duas do tipo 3?Matrizes iguais:Duas matrizes [ ] ) j , i ( a A e [ ] ) j , i ( b B , de mesma ordemn m , so iguais se todos os seus correspondentes elementos so iguais, isto : j) b(i, j) a(i, para todo par ordenado ) j , i ( em n mS.Ex.: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto :1 2x 1 y 11 22 11 22 1-5 0-9 3-5 -90 33 4= x + y x2Soma de matrizes:A soma (adio) de duas matrizes [ ] ) j , i ( a A e [ ] ) j , i ( b B , de mesma ordemn m , uma outra matriz [ ] ) j , i ( c C , definida por:

j) b(i, j) a(i, ) j i, ( c + para todo par ordenado ) j , i ( em n mS.Ex.: Determine a soma das matrizes dadas abaixo.-23 10 79+10 58 9=-13 1515 18Multiplicao de escalar por matriz:Seja k um escalar e [ ] ) j , i ( a A uma matriz. Definimos a multiplicao do escalar k pela matriz A, como uma outra matrizA . k C , definida por: ) j , i ( a . k ) j , i ( c para todo par ordenado ) j , i ( em n mS.Exemplo: A multiplicao do escalar -4 pela matriz A, definida por: -4-2 107 9=8 -40-28 -36Exerccio de Fixao1. Dadas as matrizes( ) j i a / a Aij ij 22 3e ( ) j i b / b Bij ij2 32 3+ , Clcule:a) B A C + b) B A D c) A E 2 2. As matrizes

,_

532 e

,_

532 so iguais? Por qu?3. Considerando a matriz( )2 2ija Acom ( )2j i aij , calcule x, y, z e t para que se tenha:

,_

+t z y xt z y xA43 2 2 3.4. Determine a,b,c e d, para que as matrizes sejam iguais:1]1

1]1

+ +18 61 93 2 2 d a bc b b a5. Seja ( )ija A uma matriz quadrada de ordem 2 tal queaij =i +j. Determinex,y,zet praquese tenha:Az t t xz x y x1]1

+ + +36. Determine m e n para que se tenha:1]1

+n om n mI27. Calcule x,y e z na igualdade

,_

,_

x zyx1038. Determine a,b e c para que se tenha:

,_

+o bb c ab aA230O3x2Equaes envolvendo matrizes9. Seja Xuma matriz quadrada de ordem 2 tal que X A X 2 2 5 . Se1]1

18 99 18A, calcule a matriz X.10. Sabe-se que1]1

1 02 1Ae1]1

1 12 1B. Calcule as matrizesXeYque verificam as condies ' + +B A Y XB A Y X3 23 2Multiplicao de matrizes:Oprodutodeumamatriz k m ij) a ( Apelamatriz n k ij) b ( B, queseindicapor B . A oupor B A , a matrizn m ij) c ( C tal que cada elemento cij igual ao produto da linha i de A pela coluna j de B.Multiplicao de linha por coluna:Sejam as matrizesk m ij) a ( A en k ij) b ( B. Consideremos a linha i de A e a coluna j de B, isto :( )ik i i ia a a a 3 2 1 e

,_

kjjjjbbbb321O produto da linha pela coluna :kj ik j i j i j ib a b a b a b a + + + + 3 3 2 2 1 1Obs: Para obter o elemento da 2. linha e 3. coluna da matriz produtoAB C , isto , o elemento ) , ( c 3 2 ou 23c , devemos: 1. multiplicar os primeiros elementos da 2. linha e 3. coluna; 2. multiplicar os segundos elementos da 2. linha e 3. coluna; 3. multiplicar os terceiros elementos da 2. linha e 3. coluna; 4. multiplicar os quartos elementos da 2. linha e 3. coluna; 5. somar os quatro produtos obtidos anteriormente. Assim: 33 23 23 22 13 21 23b a b a b a c + + Podemos visualizar esta operao atravs das seguintes matrizes. Basta observar a linha sublinhada na primeira matriz, a coluna sublinhada na segunda matriz e o elemento sublinhado na terceira matriz.111]1

111]1

111]1

33 32 3123 22 2113 12 1133 32 3123 22 2113 12 1133 32 3123 22 2113 12 11c c cc c cc c cb b bb b bb b ba a aa a aa a aObservao:Somentepodemosmultiplicarduasmatrizesseo nmerodecolunasdaprimeiraforigualao nmero de linhas da segunda e a ordem da matriz resultante o nmero de linha da primeira com o nmero de coluna da segunda.Propriedades da multiplicao de matrizes:Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:M1: Nem sempre vale a comutatividade:Em geral,B A diferente deA B , como o caso do produto que segue:1 2 32 4 63 6 91 23 57 9M2: Distributividade da soma direita:C . A B . A ) C B .( A + +AM3: Distributividade da soma esquerda:C . B C . A C ). B A ( + +M4: Associatividade:C ). B . A ( ) C . B .( A M5: Nulidade do produto:Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto : O B . A , embora nem Anem B sejam matrizes nulas, como o caso do produto:x0 20 0=0 00 0M6: Nem sempre vale o cancelamento:Se ocorrer a igualdadeC . B C . A , ento nem sempre ser verdadeiro queB A , pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que: 010 0x0 50 0 =0 20 0x0 50 0mas as matrizes A e B so diferentes. Matrizes com propriedades especiais: Uma matriz A nilpotente de ndice k natural, se:0 TA Uma matriz A peridica de ndice k natural, se:A AT+1 Uma matriz A idempotente, se:A A 2 As matrizes A e B so comutativas, se:A . B B . A As matrizes A e B so anticomutativas, se:A . B B . A A matriz identidade Id multiplicada por toda matriz A, fornecer a prpria matriz A, quando o produto fizer sentido.A A . Id A matriz A ser a inversa da matriz B se, e somente se:dI A . B B . A Exerccio de Aprendizagem1. Calcule:a) 1]1

1]1

5 23 1.3 62 0Ab) B =-1 5 20 6 4.

,_

1 0 00 2 01 2 1c)

,_

,_

1 9 09 3 20 2 1.1 9 09 3 20 2 1d)( 6 8 3 2) .

,_

7324 2. SdefinimosoprodutoABdeduasmatrizes quando o nmero de colunas de Afor igual ao nmero de linhas de B. Ento, associe V ou F a cada uma das afirmaes:( )SeAumamatriz 1 3 eBumamatriz 2 1 , existe o produto AB. ( )Se

,_

531Ae( ) 2 5 1 B, existe o produto AB. ( )SeAumamatriz 3 4 eBumamatriz 4 1 , existe o produto AB. ( )SeAeBsomatrizesquadradasdeordem2, entooprodutoABser, tambm, umamatrizde ordem 2. 3. Responda e justifique usando as definies:a) Dadas duas matrizes quaisquer, sempre possvel determine seu produto?b)Pela definio, se A uma matrizn m e B uma matriz p n, existe o produto AB? Se existir, de que tipo matriz AB?c)SeA uma matriz 3 2 eB uma matriz 4 3 , existe o produto AB? Existindo o produto, de que tipo matriz AB?d)Dadas duas matrizes quadradas de ordem n, seu produtosempreexiste?Se existir, deque tipo matriz-produto?4. Para a fabricao de caminhes A,Be C, uma indstria montadora precisa de eixos e rodas paraseus trs modelos decaminhes, coma seguinte especificao:COMPONENTE X MODELOA B CEixos 2 3 4Rodas 4 6 8Para os dois primeiros meses do ano, a produo da fabrica dever seguir a tabela abaixo:MODELO X MESESJaneiro FevereiroA 30 20B 25 18C 20 15Usando a multiplicao de matrizes, responda: nessas condies, quantos eixos e quantas rodas so necessrios emcada umdos meses para que a montadora atinja a produo planejada?5. Uma indstria de calados est pretendendo introduzir trs novos modelos de sapatos A, B e C, em sua produo. Para isso, vai utilizar dois tipos deacessrios, conformeespecificadona tabela abaixo:ACESSRIO X MODELOA B CX 3 5 2Y 8 10 5A produo dos trs tipos de calados deve seguir a tabelaabaixonosmesesdetestedaaceitaodos novos modelos no mercado:MODELO X MESES1 2 3A 1000 1200 2000B 1200 1500 2000C 2000 2000 2500a)Quantos acessriosXe quantosYsero utilizados nessa produo experimental?b)O que mudaria no problema se a primeira linha da primeira tabela fosse 6, 10 e 4?c)Se os produtos tiverem boa aceitao no mercado, a fbrica pretende aumentar progressivamente a produo de cada modelo, atingindoem6meses umacrscimode10%na produo sobre os nmeros do terceiro ms de experincia. Se isso ocorrer, quantos acessrios do tipo X sero utilizados ao final de 6 meses?6. (UFPB-1994)Umamatriznxnrepresenta umquadrado mgico de ordemnquando satisfaz, simultaneamente, as seguintes condies:I - os elementos da matriz so nmeros inteiros de 1 at n2, sem repetio.II - a soma dos elementos de qualquer linha ou coluna ou diagonal da matriz igual a 212) ( + n nDas matrizes abaixo, a que representa um quadrado mgico de ordem 3 :111]1

111]1

111]1

111]1

111]1

9 6 38 5 27 4 15 5 55 5 55 5 52 1 33 2 11 3 22 9 47 5 36 1 81 9 53 4 87 2 6) d ) b) e ) c ) a7. (UFPB-2001) As mensagens entre duas agencias de espionagem, Gama e Rapa, so trocadas usando uma linguagemde cdigos, onde cada nmero inteiro entre 0 e 25 representa uma letra, conforme mostra a tabela abaixo:A B C D E F G H I J L M N7 10229 5 4 182 1724121480 P Q R S T U V W X Y Z1 19 15 20 21 11 3 16 24 6 13 0A agencia Gama enviou para a Rapa o nome de um espio codificado na matriz111111]1

200111A. Para decodificar umapalavradecincoletras, dadapor uma matrizA, de ordem 1 5 , formado por inteiros entre 0 e 5, deve-se multiplic-la pela matrizdeconverso111111]1

3 0 0 2 00 0 0 1 07 0 0 0 02 20 5 3 00 0 0 9 1Ce, usando-se a tabeladada,converter os nmeros em letras. Utilizando-se esse processo, conclui-se que o nome do espio :a)Diegob)Shumec)Sadand)Renane)Ramon8. (UFMG) Considere a matriz 1]1

sen coscos senAeamatriz1]1

1 00 1I. Mostre que o conjunto soluo da equao I A 2 ;' 2k ,kx / x9. (UFPB-1999) Considere a seguinte definio: Emuma matriz n m ij) b ( B, umelemento ijb denominadopontode selacaso satisfaa a uma das condies:I ijb o maior elemento da linha i e o menor da coluna j.II ijb o menor elemento da linha i e o maior da coluna j.De acordo com esta definio, na matriz 1111]1

6 3 5 1599 0 2 17 4 3 51 3 10 2A o ponto de sela :a) 34a b) 22a c) 24a d) 43a e) 33a10. (PUC-PR)UmbatalhodoExrcitoresolveu codificar suas mensagens atravs da multiplicao de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos nmeros, segundo a correspondncia abaixo considerada:A B C D E F G H I J L M N1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112130 P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25Destaforma, supondo-sequeobatalhoemquesto deseja enviar a mensagem PAZ, pode-se tomar uma matriz2 2 , da forma:1]1

ZA P, a qual, usando-se a tabela acima, ser dada por:1]1

0 251 15M. Tomando-se amatriz-chaveCpara ocdigo,isto : 1]1

2 13 2C, transmite-se a mensagem PAZ atravs da multiplicao das matrizes M e C, ou seja:1]1

1]1

1]1

75 5047 312 13 20 251 15. C . Mou atravs da cadeia de nmeros 31, 47, 50 e 75. Dessa forma, utilizando-se a mesma matriz-chaveC, a decodificao da mensagem51, 81, 9 e 14 ser compreendida pelo batalho como sendo a transmisso da palavra.a)LUTE b)FOGO c)AMOR d)VIDA e)FUGA11. (F. de P. adaptada) Em folhetos tursticos, comumapareceremtabelas comas distncias emquilmetros entre cidades, na forma de matrizes. Considerando as cidades de Joo Pessoa (JP), Alagoinha (AL), Santana dos Garrotes(SG) eCajazeiras(CJ), nessaordem para linhas e colunas, faa uma pesquisa e identifiquequal amatrizcorrespondentes distncias, aproximada, entre elas.JP AL SG CJJP ? ? ? ?AL ? ? ? ?SG ? ? ? ?CJ ? ? ? ?a)1111]1

0 406 90 90464 0 316 406374 316 0 46458 58 374 0c)1111]1

0 58 374 46458 0 316 406374 316 0 90464 406 90 0b)1111]1

374 58 406 4640 464 90 9058 0 0 406316 316 374 0d)1111]1

0 90 406 46490 0 316 374406 316 0 58464 374 58 0Umaindstriatxtil vai fabricar tecidoscomfios diferentes. Na matriz abaixo, ijaquantos rolos de fiojseroempregadosparafabricarumapeado tecido tipo i.

,_

1 2 43 1 02 0 5Aa)Quantosrolosdefio3seroempregadospara produzir o tecido tipo 2?b)Quantosrolosdofio1seroempregadospara fabricar cinco peas de tecido tipo 1,quatro peas do tipo 2 e duas do tipo 3?Matriz inversa de uma matriz dadaSendo A uma matriz quadrada de ordem n, denominamos a matriz quadrada B, tambm de ordem n, de matriz inversa de A, se A.B = I e B.A =I. De maneira geral indicamos a inversa de A por A-1.Quando uma matriz quadrada possui inversa, dizemos que essa matriz invertvel (ou inversvel)A. A-1 = I e A-1.A =IExerccio de aprendizagem1. Dadaasmatrizesabaixo, determinesuainversa caso exista.a) 1]1

2 31 2Ab)

,_

1 17 8Bc)

,_

1 25 3Ad)

,_

7 04 1Be)

,_

2 14 3A2. (UFPB-2000) Dadas as matrizes 2 2 , ( )ija A e( )ijb B , comj i aij e j i bij+ , ento a matriz( )1B 2 A+:a)

,_

121252c)

,_

0 11 0e)

,_

1 00 1b)

,_

123232 d)

,_

343735383. PB-1998) A inversa da matriz

,_

4 3 20 1 01 0 1A amatriz

,_

1 3 20 2 01 4211xA. Ento, o valor de x a) 1 b) 0 c) 1 d) 3 e) 2Determinante:Definio:A cada matriz quadrada Aexiste um nmero associado a matriz, na qual a esta funo dar-se um nome de determinante da matriz, que indicamos pelo smbolo det(A) ou A.Determinante de uma matriz de ordem 1: O determinante da matriz ) a ( A11 igual ao prprio elemento a11 ou seja,11a A A det .Ex: [ ] 7 7 A A det ento , ADeterminante de uma matriz de ordem 2: Odeterminantedamatriz2 2 ) a ( Aijoprodutodadiagonalprincipalmenosoprodutodadiagonal secundaria.21 12 2222 2112 11a . a a . a detA ento ,a aa aA11

,_

Ex: 16 5 6 7 27 56 2 1]1

). ( ) .( A det ento , AExerccio de aprendizagem1. Calcule os determinantes das matrizes abaixo:1]1

2 31 2A

,_

1 17 8B

,_

1 25 3A

,_

7 04 1B

,_

2 14 3AC =

,_

1212522. Dadas as matrizes2 2 , ( )ija A e ( )ijb B , comj i aij ej i bij+ , calcule a matriz ( )1B 2 A+ .Determinante de uma matriz de ordem 3:Utilizaremos uma regra prtica chamada de Regra de Sarrus, enumerada abaixo:1. Repete as duas primeiras colunas a direita da terceira coluna:2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e os elementos de cada paralela a essa diagonal, conservando o sinal, depois multiplica os elementos da diagonal secundaria e os elementos de cada paralela a essa diagonal, invertendo o sinal.3. Soma os resultados obtidos no passo 2.111]1

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aA , ento:( ) ( ) k a . a . a a . a . a a . a . a a . a . a a . a . a a . a . aaaaaaaa a aa a aa a adetA + + + + 33 21 12 32 23 11 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 1132221231211133 32 3123 22 2113 12 11Ex: 111]1

3 3 52 5 26 0 1A, ento:( ) ( ) 177 156 21 3 2 0 3 2 1 5 5 6 3 2 6 5 2 0 3 5 13505213 3 52 5 26 0 1 + + + + ) ( ) ( . . ) ).( .( . . ) .( . ). .( . . A detPropriedades de Determinantes:P1: Se A uma matriz quadrada, ento TA det A det P2:Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz Aforem todos iguais a zero, ento 0 A detP3: Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada A por um nmero real k, obtm-se uma nova matriz B tal queA det k B det .P4: Se, em uma matriz quadrada A, uma fila (linha ou coluna) mltipla de outra fila paralela, ento 0 A detP5: Permutando entre si duas filas paralelas de uma matriz quadrada A, obtm-se uma nova matriz B tal que:A det B det P6: Se uma fila de uma matriz quadrada A combinao linear de duas ou mais filas paralelas, ento 0 A detP7:Quandoos elementos acima ouabaixodadiagonal principal, ousecundaria deuma matriz quadrada forem iguais a zero o seu determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal.P8:SeAeBsomatrizes quadradas demesmaordem, ento: B det . A det AB det , comisso conclumos que: 011 1 A det ,A detA det I det A det . A detn.P9: SeIR k , ento A det k ) A . k det(n, onde o n a ordem da matriz dada.Exerccio de Aprendizagem1. Calcule os determinantes:A =3 42 6B =2 12 3 C =b a b ab a+ + D =4 210 6E = 11++b ba a2. Sendo

,_

1 25 3A e

,_

7 04 1B, calcule det AB.3. Resolva as equaes:4. (FGV-SP) O determinante associado matriz 111]1

+++b z zb y yb x x2 12 12 1 igual a:a) 8xyz b) b c) 0 d) xyz e) 8xyz5. (Vunesp-SP) Determine o valor de , 2 0 , de maneira que o determinante 1 0 sen sen coscos sensen cos seja nulo.6. (UFMG) Sejax sen mx sen ) x ( f01 00 1 2. Determine todos os valores de mpara os quais f(x) admite razes reais.Determinante de uma matriz de ordem 3:Utilizaremos uma regra prtica chamada de Regra de Sarrus, enumerada abaixo:a)25 36 2 xb) 01 15 3+xxc) 11 111 11 11xxxRepete as duas primeiras colunas a direita da terceira coluna:1. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e os elementos de cada paralela a essa diagonal, conservando o sinal, depois multiplica os elementos da diagonal secundaria e os elementos de cada paralela a essa diagonal, invertendo o sinal.2. Soma os resultados obtidos no passo 2.111]1

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aA, ento:( ) ( ) k a . a . a a . a . a a . a . a a . a . a a . a . a a . a . aaaaaaaa a aa a aa a adetA + + + + 33 21 12 32 23 11 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 1132221231211133 32 3123 22 2113 12 11Ex: 111]1

3 3 52 5 26 0 1A, ento:( ) ( ) 177 156 21 3 2 0 3 2 1 5 5 6 3 2 6 5 2 0 3 5 13505213 3 52 5 26 0 1 + + + + ) ( ) ( . . ) ).( .( . . ) .( . ). .( . . A detExerccio de Aprendizagem1. Aplicando a regra de Sarrus, calcule os determinantes das matrizes abaixo.2.A = 111]1

1 3 24 0 51 2 3B = 111]1

3 1 40 1 32 1 2C = 111]1

1 1 000 0a baD = 111]1

11 00 1a aaaE = 111]1

2 0 02 4 01 5 0F = 111]1

0 9 47 7 08 0 3G = 111]1

4 7 03 10 85 0 0H = 111]1

1 1 11 1 11 1 13. Sabendo que X= 2 23 1 e Y= 3 1 31 2 21 3 1, calcule X 2Y.4. Resolva a equao 23 21 02 3 2xx.5. Para que valores de x o determinante 02 1 34 21 4 2> x( isto positiovo).6. Quais os valores de x que satisfazem a igualdade 01 21 33 1+x xxx x.Teorema de LaplaceO determinante de uma matriz quadrada de ordem n,n 2, igual soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos seus cofatores.Obs: Chama-se cofator o nmero indicado por Aij, tal que: B det . ) ( Aj iij+ 1, onde B a matriz que se obtm eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz A. +ij ijj iijA . a B det . ) .( a A det 1Ex: 23 18 5 6 1 3 5 1 15 36 11 2 1 1 + + + +) .( ) .( . ) .(Exerccio de Aprendizagem1. Calcule os determinantes das matrizes abaixo utilizando o Teorema de Laplace:A = 111]1

1 3 24 0 51 2 3B = 111]1

3 1 40 1 32 1 2C = 111]1

1 1 000 0a baD = 111]1

11 00 1a aaaE = 111]1

2 0 02 4 01 5 0F = 111]1

0 9 47 7 08 0 3G = 111]1

4 7 03 10 85 0 0H = 111]1

1 1 11 1 11 1 1Regra de ChiA regra de Chi um artifcio utilizado para reduzir a ordem de uma matriz sem alterar o valor de seu determinante.Essa regra pode ser utilizada em uma matriz quadrada de ordem n, n 2,em que a11 =1,Por meio dos seguintes procedimentos:1. Suprimimos a primeira linha e a primeira coluna de A;2. De cada elemento aij restante subtramos o produto dos elementos suprimidos da mesma coluna e linha de aij, ou seja a1j .ai1.3. A matriz B obtida de ordem n-1, tem determinante igual ao de A, ou seja, det A = det B.Ex.: Calcule o determinante de A = 1111]1

0 2 3 43 1 7 05 4 5 22 3 0 1utilizando a Regra de Chi.1. Suprimimos a primeira linha (1032) e a primeira coluna

,_

532de A; A = 111]1

0 2 33 1 75 4 52. subtramos o produto dos elementos suprimidos da mesma coluna e linha de aij, ou seja a1j .ai1.

5 (0.-2) = 5 4 (3. -2) =10 5 (2.-2) = 9Temos, 57-310 97 (0.0) = 7 1- (3. 0) = 1 3 (2.0) = 31 3-3 - (0.4) = -32 (3.4) = -10 0 (2.4) = -8-10 -81 0 3 2-2 5 4 50 7 1 34 -3 2 03. Agora calcula o determinante de 111]1

8 10 33 1 79 10 5 = -40 + - 630 90 + 27 + 150 + 560 = -23Portanto o determinante de A = -23.Exerccio de Aprendizagem1. Aplicando a regra de Chi, calcule o determinante das matrizes abaixo:A = 1111]1

1111]1

1111]1

1 0 0 10 1 0 11 0 1 01 1 1 10 1 2 52 3 0 31 2 1 00 5 1 12 2 0 21 6 5 33 0 1 04 1 6 1C B A